Baustatik 2

  1. Kurs Baustatik 2
    Kurs Baustatik 2
    Strommast, Stabtragwerk
    ... I und zeigt ausführlich auf, wie das Drehwinkelverfahren für statisch unbestimmte Systeme angwendet wird. Im Kurs Baustatik I haben wir zunächst gezeigt, wie die Formänderungsarbeiten (Eigenarbeit, Verschiebungsarbeit) hergeleitet werden und einzelne Verformungen berechnet werden können (z.B. mit den Satz von Castigliano und dem PvK). Außerdem haben wir das Kraftgrößenverfahren zur Berechnung von Schnittgrößen und Auflagerreaktionen statisch ...
  2. Geometrisch unbestimmte Systeme
    Kurs Baustatik 2 > Geometrisch unbestimmte Systeme
    geometrisch, unbestimmt, System, Tragwerk, unbekannte Weggren
    ... vertikalen Kraft ein unbekannter Knotendrehwinkel $\varphi$ auf. Beim zweiten Tragwerk tritt die unbekannte Verschiebung $w$ infolge der äußeren horizontalen Kraft auf (das Loslager ist horizontal verschieblich). Diese unbekannte Knotenverschiebung wird beim Drehwinkelverfahren mit dem Stabdrehwinkel $\Psi$ ausgedrückt.Geometrisch bestimmtes SystemDas Drehwinkelverfahren arbeitet mit geometrisch bestimmten Tragwerken. Geometrisch bestimmte Tragwerke sind dann gegeben, wenn ...
  3. Theorie 1. Ordnung
    Kurs Baustatik 2 > Annahmen der Stabwerktheorie > Theorie 1. Ordnung
    Theorie 1. Ordnung, Winkelnderungen
    ... Ausgangslänge $l$, so wie auch die Winkeländerungen $\varphi$. Damit ergeben sich bei der Berechnung eines Winkels mittels Sinus, Cosinus und Tangens folgende Vereinfachungen:$\sin \varphi = \varphi$$\tan \varphi = \varphi$$\cos \varphi = 1$ In der nachfolgenden Grafik sind die Vereinfachungen visualisiert:Theorie 1. Ordnung - kleine Winkeländerungen Im Gegensatz zur Theorie I. Ordnung bei welcher die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System ...
  4. Normalenhypothese von Bernoulli
    Kurs Baustatik 2 > Annahmen der Stabwerktheorie > Normalenhypothese von Bernoulli
    Neutrale Faser
    ... auch nach der Verformung senkrecht (im 90°-Winkel) auf dieser:Normalenhypothese von Bernoulli In der obigen Grafik ist die neutrale Faser (gestrichelt) zu sehen. Bei der Biegung des Balkens wird diese in ihrer Länge nicht verändert und die Querschnitte stehen weiterhin im 90°-Winkel zu dieser Faser (wie beim unverformten Balken). Betrachtet man die einzelnen Abschnitte des Kreisbogens im Vergleich zum Ausgangsbalken, so sieht man, dass im unteren Bereich $\downarrow$ ...
  5. Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren
    ... wir uns ausführlich mit dem Drehwinkelverfahren. Das Drehwinkelverfahren ist eine Variante des Weggrößenverfahrens, bei welchem - im Gegensatz zum Weggrößenverfahren - Längenänderungen der Stäbe unberücksichtigt bleiben.Das Drehwinkelverfahren ist ein Näherungsverfahren zur Berechnung ebener, statisch unbestimmter Stabwerke.Das Drehwinkelverfahren wird angewendet, wenn für ein Tragwerk mehr Auflagerkräfte vorhanden ...
  6. Knotendrehwinkel / Stabdrehwinkel
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Knotendrehwinkel / Stabdrehwinkel
    Stabsehnenverdrehung
    Beim Drehwinkelverfahren wird angenommen, dass alle Stäbe des Tragwerks dehnstarr $EA \to \infty$ sind und sich damit die Länge der Stäbe nicht ändert.Für diesen Fall ist es möglich auftretende Knotenverschiebungen $w$ senkrecht zur Stabachse durch Stabsehenverdrehungen zu beschreiben. Beim Drehwinkelverfahren treten damit als unbekannte Größen nur Verdrehungen auf, und zwar Stabdrehwinkel $\Psi$ und Knotendrehwinkel $\varphi$. Bei Drehwinkelverfahren ...
  7. Verschiebungsgleichungen und Knotengleichungen
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Verschiebungsgleichungen und Knotengleichungen
    Nachdem die Knotendrehwinkel und Stabdrehwinkel voneinander abgegrenzt sind, können wir als nächstes damit beginnen die Anzahl der Verschiebungs- und Knotengleichungen für das Drehwinkelverfahren zu bestimmen. Um die Anzahl der Verschiebunsgleichungen bestimmen zu können, wird der Grad der elastischen Verschieblichkeit herangezogen. Der Grad der elastischen Verschieblichkeit $w$ entspricht genau der Anzahl der Verschiebungsgleichungen. Die Anzahl der Knotengleichungen ...
  8. Grad der elastischen Verschieblichkeit
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Verschiebungsgleichungen und Knotengleichungen > Grad der elastischen Verschieblichkeit
    geometrisch bestimmt, unbestimmt
    ... gegeben, so treten auch die unbekannten Stabdrehwinkel $\Psi$ auf. Aus den aufzustellenden Verschiebungsgleichungen können später die unbekannten Festhaltekräfte berechnet werden, die auftreten, um die unbekannte Knotenverschiebung zu unterbinden.Die Anzahl der aufzustellenden Verschiebungsgleichungen $n_v$ für das Drehwinkelverfahren entspricht dem Grad  der elastischen Verschieblichkeit $w$:$w = n_v$               mit$w$  ...
  9. Bestimmung der unbekannten Knotendrehwinkel
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Verschiebungsgleichungen und Knotengleichungen > Bestimmung der unbekannten Knotendrehwinkel
    geometrisch bestimmt, unbestimmt
    Die Knotengleichungen werden für das Drehwinkelverfahren benötigt, um die unbekannten Knotendrehwinkel $\varphi$ und Stabdrehwinkel $\Psi$ bestimmen zu können.In diesem Abschnitt zeigen wir euch, wir ihr die Anzahl der aufzustellenden Knotengleichungen $n_\varphi$ ermitteln könnt.Die Anzahl $n_\varphi$ der Knotengleichungen entspricht der Anzahl der unbekannten Knotendrehwinkel. Nachfolgend wird euch gezeigt, wie ihr diese bestimmt.Bestimmung der unbekannten KnotendrehwinkelFür ...
  10. Grad der Geometrische Unbestimmtheit
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Grad der Geometrische Unbestimmtheit
    geometrisch bestimmt, unbestimmt
    ... sowie die unbekannten Knotendrehwinkel und damit die Anzahl der unbekannten Knotengleichungen bestimmt haben, können wir als nächstes den Grad der geometrischen Unbestimmtheit bestimmen.Der Grad der geometrischen Unbestimmtheit wird allgemein bestimmt zu:$n = n_v + n_\varphi$mit$n_v$: Anzahl der Verschiebungsgleichungen$n_\varphi$: Anzahl der KnotengleichungenIn den vorherigen Abschnitten haben wir gezeigt, wie ihr die Anzahl der Verschiebungs- und Knotengleichungen ermittelt. ...
  11. Knotenfesthaltungen
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Knotenfesthaltungen
    Festhaltungen gegen Verschieben undVerdrehen
    ... aus den unbekannten Knotendrehwinkeln bestimmt. Unser jetziges System ist kinematisch.Eine wichtige Voraussetzung für die Anwendung des Drehwinkelverfahrens ist aber, dass die Verformungsbedingungen des Tragwerks erfüllt sind. Das bedeutet nichts anderes, als dass alle Knotenverschiebungen und -verdrehungen unterdrückt werden. Wir können dies erreichen, indem wir das Tragwerk in allen notwendingen Knoten künstlich gegen Verdrehen und Verschieben festhalten. ...
  12. Festhaltung gegen Verdrehen
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Knotenfesthaltungen > Festhaltung gegen Verdrehen
    Knotendrehwinkel, Festhaltung
    ... dort eingefügt, wo unbekannte Knotendrehwinkel auftreten.Wir betrachten das Ausgangssystem nach Bestimmung der unbekannten Knotendrehwinkel (siehe Bestimmung der unbekannten Knotendrehwinkel).Unbekannte Knotendrehwinkel Es werden genau dort Verdrehfesthaltungen (oder: Volleinspannung gegen Verdrehen) eingefügt, wo unbekannte Knotendrehwinkel gegeben sind:VerdrehfesthaltungenBeispiel - VerdrehfesthaltungAls weiteres Beispiel betrachten wir das bereits im vorherigen Abschnitt ...
  13. Geometrisch bestimmtes System
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Geometrisch bestimmtes System
    geometrisch bestimmt, Drehwinkelverfahren, Festhaltungen
    ... für die Anwendung des Drehwinkelverfahrens ist es also den Grad der geometrischen Unbestimmtheit festzustellen und das gegebene System durch Einfügen von Festhaltungen in ein geometrisch bestimmtes Hauptsystem zu überführen.  Das Video wird geladen...(Geometrisch bestimmtes System) 
  14. Beispiel 1 : Geometrisch bestimmtes System
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Geometrisch bestimmtes System > Beispiel 1 : Geometrisch bestimmtes System
    Grad der geometrischen Unbestimmtheit
    ... ermitteln wir die unbekannten Knotendrehwinkel. Der Grad der geometrischen Unbestimmtheit ergibt sich dann aus der Addition:$n = n_v + n_{\varphi} = 2 + 4 = 6$Wir haben also ein 6-fach geometrisch unbestimmtes System gegeben. Häufig wird auch von einem kinematisch unbestimmten System gesprochen.Geometrisch bestimmtes System Da für das Drehwinkelverfahren nur geometrisch bestimmte Systeme in Frage kommen, muss das obige kinematische System durch Festhaltungen ...
  15. Beispiel 2: Geometrische bestimmtes System
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Geometrisch bestimmtes System > Beispiel 2: Geometrische bestimmtes System
    geometrisch unbestimmt, Drehwinkelverfahren
    ... Systems, welches für die Anwendung des Drehwinkelverfahrens vorliegen muss. Für unser Beispiel betrachten wir das folgende Stabtragwerk:AusgangssystemZunächst bestimmen wir den Grad der geomtrischen Unbestimmtheit.Grad der geometrischen UnbestimmtheitWir benötigen als erstes die Anzahl der Verschiebungsgleichungen $n_v$ bzw. den Grad der kinematischen Verschieblichkeit $w$:Grad der kinematischen VerschieblichkeitZunächst werden für alle Knoten für die gilt ...
  16. Grundelemente
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Grundelemente
    Grundstbe, Einzelstbe, Drehwinkelverfahren
    ... auf:GrundelementeWir betrachten also beim Drehwinkelverfahren jeden Stab separat voneinander und bestimmen für diesen die gegebenfalls auftretenden Stabendmomente. Die Stabendmomente können Tabellenwerken entnommen werden und sind im nachfolgenden Kurstext für ausgewählte äußere Einwirkungen sowie Knotenverdrehungen und -verschiebungen aufgeführt.
  17. Stabendmomente
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Stabendmomente
    Stabendmomente infolge Streckenlast und Einzellast mit Momentenlinie
    ... aus Einheitsverdrehung eines Knotens (Knotendrehwinkel $\varphi$),Momente aus Ralativverschiebung eines Knotens (Stabdrehwinkel $\Psi$).Stabendmomente für das geometrisch bestimmte SystemDie Stabendmomente können aus Tabellenwerken entnommen werden. In der folgenden Grafik sind die Stabendmomente inklusive Momentenlinie (rot) für eine Streckenlast sowie für eine mittig am Balken angreifende Kraft gegeben. Stabendmomente für das geometrisch bestimmte System Im ...
  18. Gelenkige Lager am Stabende
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Gelenkige Lager am Stabende
    Verschieblichkeit aufheben, Abzhlformel, Festhaltung
    ... = 0$ und es treten keine unbekannten Knotendrehwinkel an diesen auf.Nun ist es bei gelenkigen Lager (Festlager, Loslager) aber so, dass die Verdrehungen ungleich Null und damit unbekannt sind.Hier treten also unbekannte Knotendrehwinkel $\varphi$ auf. Zunächst werden für gelenkige Lager also die unbekannten Knotendrehwinkel $\varphi$ angegeben. Wir wollen nun für gelenkige Lager am Stabenende prüfen, ob hier gegebenfalls die unbekannten Knotendrehwinkel eliminiert werden ...
  19. Anwendung des Drehwinkelverfahrens
    Anwendung des Drehwinkelverfahrens
    ... Voraussetzungen für die Anwendung des Drehwinkelverfahrens vorliegen (geomtrisch bestimmtes System), können wir mit dem Drehwinkelverfahren beginnen. Zunächst schauen wir uns die Vorzeichenkonvention des Drehwinkelverfahrens nochmals genauer an. Danach betrachten wir das geometrisch bestimmte System und tragen die Momentenlinie sowie die Stabendmomente (aus Tabellen) infolge äußerer Einwirkungen ein. Anschließend betrachten wir die Einheitssysteme ...
  20. Vorzeichenkonvention des Drehwinkelverfahrens
    Anwendung des Drehwinkelverfahrens > Vorzeichenkonvention des Drehwinkelverfahrens
    Stabdrehwinkel,Vorzeichenkonvention
    ... die Vorzeichenkonventionen für die Stabdrehwinkel, die Knotendrehwinkel und die Stabendmomente festlegen.Vorzeichenkonvention StabdrehwinkelFür die Stabdrehwinkel (auch: Stabverdrehung) $\Psi$ gilt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn als positiv. Das bedeutet, dass die Stabsehnenverdrehung gegen Uhrzeigersinn positiv berücksichtigt wird und im Uhrzeigersinn negativ.Stabdrehwinkel - Vorzeichenkonvention Vorzeichenkonvention Knotendrehwinkel Für ...
  21. Verformungen am geometrisch bestimmten System
    Anwendung des Drehwinkelverfahrens > Verformungen am geometrisch bestimmten System
    Drehwinkelverfahren, Verformung, 0-System, Stabendmomente
    ... sind. Verwendung für das DrehwinkelverfahrenFür das Drehwinkelverfahren werden die Veformungen am 0-System benötigt, die infolge der äußeren Einwirkungen auftreten. Äußere Einwirkungen können zum Beispiel Einzelkräfte, äußere Momente oder Streckenlasten sein.Zur Bestimmung der Momentenlinie der einzelnen Grundelemente (Einzelstäbe) werden die Stabendmomente infolge äußerer Einwirkungen benötigt. Diese ...
  22. Verformungen am Einheitssystem
    Anwendung des Drehwinkelverfahrens > Verformungen am Einheitssystem
    Drehwinkelverfahren, Einheitssysteme, Verformung, Stabendmomente
    ... die unbekannte Weggröße (Knotendrehwinkel/Stabdrehwinkel) abgetragen wird. Zusätzlich dazu treten an den Festhaltungen gegen Verschieben noch die Festhaltekräfte auf, die ebenfalls in jedem Einheitssystem berücksichtigt werden müssen.Eigenschaften der EinheitssystemeDie Einheitssysteme erfüllen - wie das 0-System -  alle Verformungsbedingungen an den Übergängen zu den benachbarten Stäben. Hier treten also keine Knicke ...
  23. Querkraft aus Stabendmomenten - unbelasteter Stababschnitt
    Anwendung des Drehwinkelverfahrens > Querkraft aus Stabendmomenten - unbelasteter Stababschnitt
    Querkraft, Momentenlinie, Stabendmomente, Stabschnitt
    Wir benötigen für das Drehwinkelverfahren die Größe der Auflagerkräfte der Festhaltungen (=Festhaltekräfte), die bei Knotenverschiebungen anfallen und im 0-System sowie in den Einheitssystemen berücksichtigt werden müssen. Die Festhaltekräfte liegen an den Knoten, an denen die Festhaltungen gegen Verschieben angebracht sind.Die Festhaltekräfte können aus dem Knotengleichgewicht berechnet werden und entsprechen den Querkräfte, ...
  24. Querkraft aus Stabendmomenten - belasteter Stababschnitt
    Anwendung des Drehwinkelverfahrens > Querkraft aus Stabendmomenten - belasteter Stababschnitt
    Drehwinkelverfahren, Stababschnitt, Einzelkraft, Querkraft, Stabendmomente
    ... +  \frac{1}{2} F $Anwendung beim DrehwinkelverfahrenAuch hier muss die unterschiedliche Vorzeichenkonvention der Stabendmomente berücksichtigt werden, weshalb die Gleichung wie folgt angepasst werden muss:$Q_{re} = \frac{M_{re} - M_{li}}{l} + \frac{1}{2} F$Zu dieser Gleichung gelangen wir, wenn wir uns die Stabendmomente infolge einer mittig angreifenden Einzellast ansehen:Querkraft aus Stabendmomenten - EinzellastDie Drehrichtung der Stabendmomente ist der PDF Stabendmomente ...
  25. Gleichgewichtsbedingungen
    Anwendung des Drehwinkelverfahrens > Gleichgewichtsbedingungen
    ... werden aufgestellt, um die unbekannten Drehwinkel $\varphi$ und $\Psi$ zu berechnen. Die wirklichen Drehwinkel des wirklichen Systems sind unbekannt, weshalb wir bei den Einheitssystemen die unbekannten Drehwinkel mit den unbekannten Faktoren $Y_j$ multiplizieren müssen.Es werden also diejenigen Werte $Y_j \cdot \varphi_j $ und $Y:j \cdot $ gesucht, mit denen auch die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind. Wir Formulieren die Gleichgewichtsbedingungen für die Knoten, an ...
  26. Knotengleichgewicht
    Anwendung des Drehwinkelverfahrens > Gleichgewichtsbedingungen > Knotengleichgewicht
    ... es dann möglich die unbekannten Knotendrehwinkel $\varphi_i$ wie folgt zu bestimmen:$\varphi_j = \frac{Y_j}{EI_c}$mit$Y_j$ unbekannte Faktoren im j-System$EI_c$ BiegesteifigkeitVerschiebliche SystemeNeben den unbekannten Knotendrehwinkeln $\varphi$ treten bei verschieblichen Systemen auch unbekannte Stabdrehwinkel $\Psi$ auf. Diese führen ebenfalls zu Stabendmomenten, die in der Momentengleichgewichtsbedingung am Knoten (=Knotengleichgewicht) berücksichtigt werden müssen. ...
  27. Beispiele zum Drehwinkelverfahren
    Beispiele zum Drehwinkelverfahren
    ... folgenden Abschnitten folgen Beispiele zum Drehwinkelverfahren.
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Baustatik 1

  1. Eindimensionale Tragelemente
    Kurs Baustatik > Tragwerke > Tragelemente > Eindimensionale Tragelemente
    Zugstab Druckstab Stab
    ... ein gradliniges (nicht gekrümmt oder abgewinkelt) Tragelement verwendet, welches durch Kräfte quer zu seiner Achse oder durch Momente belastet wird. Ebenso können natürlich auch Kräfte normal zur Stabachse auftreten:BalkenBogenEin gekrümmter Balken wird als Bogen bezeichnet:BogenRahmenEin Rahmen besteht aus abgeknickten oder starr miteinander verbundenen Balken:Rahmen In diesem Kurs werden wir im Weiteren nur Tragwerke behandeln, welche ...
  2. Definition: Kraft
    Kurs Baustatik > Grundlagen der Statik > Definition: Kraft
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    ... der Richtung einer Kraft wird häufig der Winkel der Kraft zur Horizontalen angegeben.AngriffspunktDer Angriffspunkt der Kraft zeigt an, an welchen Punkt auf den Körper die Kraft angreift.Die durch den Angriffspunkt und die Kraftrichtung bestimmte Gerade bezeichnet man als Wirkungslinie. 
  3. Kräftezerlegung
    Kurs Baustatik > Grundlagen der Statik > Kräftezerlegung
    Krftezerlegung: Tragwerk mit ueren Krften
    ... die im Koordinatensystem an dem Winkel liegt, ist die Ankathete und wird mit dem Kosinus berechnet. Die Kraftkomponente auf der anderen Achse wird dann mit dem Sinus berechnet.Beispiel: KräftezerlegungBeispiel: Kräftezerlegung Gegeben sei der obige Träger, welcher durch die zwei äußeren Kräfte $F_1 = 15 N$ und $F_2 = 32 N$ belastet wird. Die Kraft $F_2$ weist einen Winkel von $\alpha = 50°$ zur Horizontalen auf. Bestimme die unbekannten Kräfte ...
  4. Gelenke
    Kurs Baustatik > Gelenke
    Tragwerk Gelenk
    ... also bei einem schrägen Balken mit einem Winkel $\alpha$ zur Horizontalen verläuft auch die Normalkraft schräg mit dem Winkel $\alpha$. Für das Normalkraftgelenk gilt, dass die Querkraft immer senkrecht zur Balkenachse abgetragen wird. Beim Momentengelenk hingegen können die Normal- und Querkräfte immer horizontal und vertikal abgetragen werden.Gelenkreaktionen: Balkenachse mit Winkel Wir wollen im Folgenden zeigen, wie ein Gelenk in einem Fachwerk freigeschnitten ...
  5. Theorie I. Ordnung
    Kurs Baustatik > Theorie I. Ordnung
    Theorie II. Ordnung - kleine Winkelnderungen
    ... Ausgangslänge $l$, so wie auch die Winkeländerungen $\varphi$. Damit ergeben sich bei der Berechnung eines Winkels mittels Sinus, Cosinus und Tangens folgende Vereinfachungen:$\sin \varphi = \varphi$$\tan \varphi = \varphi$$\cos \varphi = 1$ In der nachfolgenden Grafik sind die Vereinfachungen visualisiert:Theorie I. Ordnung - kleine Winkeländerungen Im Gegensatz zur Theorie I. Ordnun,g bei welcher die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System ...
  6. Aufgaben und Lösungen
    Kurs Baustatik > Aufgaben und Lösungen
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... Schwerpunkt bei 1/3 der Fläche vom rechten Winkel ausgehend.Bei einem Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte. In unserem Beispiel ist die Angabe der Lage der Schwerpunkte nur in Richtung der Balkenachse notwendig (x-Richtung).  Alternativ können hier auch die Angriffspunkte (Schwerpunkt der Streckenlast) über die Integration erfolgen:$x_S = \frac{ \int q(x) \cdot x \; dx}{\int q(x) \; dx} = \frac{ \int q(x) \cdot x \; dx}{F_q} $Dafür ist der Verlauf ...
  7. Normalenhypothese von Bernoulli
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge reiner Biegung > Normalenhypothese von Bernoulli
    Neutrale Faser
    ... auch nach der Verformung senkrecht (im 90°-Winkel) auf dieser:Normalenhypothese von Bernoulli In der obigen Grafik ist die neutrale Faser (gestrichelt) zu sehen. Bei der Biegung des Balkens wird diese in ihrer Länge nicht verändert und die Querschnitte stehen weiterhin im 90°-Winkel zu dieser Faser (wie beim unverformten Balken). Betrachtet man die einzelnen Abschnitte des Kreisbogens im Vergleich zum Ausgangsbalken, so sieht man, dass im unteren Bereich $\downarrow$ ...
  8. Spannung und Dehnung bei reiner Biegung
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge reiner Biegung > Spannung und Dehnung bei reiner Biegung
    Kreisbogenlnge bei reiner Biegung
    ... also auch nach der Verformung im 90°-Winkel auf der Balkenachse (=neutrale Faser) stehen.Die neutrale Faser ändert auch nach der Verformung ihre Länge nicht.Anhand der Kreisbogenlänge $ds$ zwischen zwei Nachbarquerschnitten kann man diese Dehnung bzw. Stauchung bestimmen:Kreisbogenlänge bei reiner Biegung Die obige Grafik zeigt zwei Nachbarquerschnitte nach der Verformung. Wir können nun zunächst die Kreisbogenlänge der unteren Randfaser bestimmen ...
  9. Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
    Querkraftbiegung - Bestimmung der Normal- und Schubspannungen
    ... Schubspannung$\gamma$ Gleitwinkel$G$ Schubmodul7. Infolge der Schubspannungen kommt es zur Querschnittswölbung im Zusammenhang mit der Querkraftbiegung. Der siebte Punkt birgt jedoch ein Problem. Er besagt, dass die Bernoullische Hypothese nicht mehr gilt, wodurch es sehr kompliziert wird, die Gleitung zu berechnen. Daher wird weiterhin angenommen, dass bei der Querkraftbiegung die Querschnitte eben bleiben.DehnungVerschiebung und Dehnung Die Dehnung in ...
  10. Differentialgleichung der Biegelinie
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung der Biegelinie
    Balkenverformung
    ... Gleichung wird herangezogen, wenn nach dem Drehwinkel der Balkenachse in einem bestimmten Punkt gefragt wird.Wichtig ist, dass bei jeder Integration Integrationskonstanten auftreten. Diese können aus den Randbedingungen bestimmt werden.RandbedingungenDie Randbedingungen für verschiedene Lagerungen können Tabellenwerken entnommen werden. Hier eine kleine Übersicht:Randbedingungen Beispiel: Biegelinie und KrümmungBalken mit StreckenlastGegeben sei der obige Balken mit ...
  11. Differentialgleichung mit Schubanteil
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung mit Schubanteil
    ... dabei den Zusammenhang zwischen dem Neigungswinkel $\varphi$ des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:$w'_B = -\varphi$ Wie groß ist der Fehler, wenn der Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt wird? Neben der Durchbiegung des Balkens infolge Biegespannungen haben auch die auftretenden Schubspannungen (ausgehend von einer Querkraftbiegung) Auswirkungen auf die Durchbiegung des Balkens. Wir haben bereits im Abschnitt Querkraftbiegung das Hookesche ...
  12. Verformung infolge Torsion
    Verformungen > Verformung infolge Torsion
    Torsion bei Wellen - herausgeschnittenes Element
    ... -> Querschnitte verformen sich nur um einen Winkel $\varphi$.Die Querschnitte bleiben trotz Torsion eben, d. h. es treten keine Querschnittsverwölbungen auf. Infolge der Torsion erfährt der Stab keine Verschiebung in Richtung der Längesachse ($x$-Richtung).Außerdem:Die Berechnung liegt im Geltungsbereich des Hookeschen Gesetzes, d. h. also die Gleichung $\gamma$ ist proportional.Spannungen liegen weiterhin im elastischen Bereich [keine nachhaltige plastische Verformung],Spannungsüberhöhungen ...
  13. Arbeit
    Formänderungsarbeit > Arbeit
    Arbeit - Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor
    ... $W =|\vec{F}| \cdot |\vec{s}| $ da der Winkel null und sein Kosinus = 1 ist. Die Arbeit wird dann positiv. Physikalisch: Dem Körper wird Arbeit und damit Energie zugeführt.Ist die Richtung der Kraft hingegen entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung, dann bilden Kraftvektor und Wegvektor einen 180° Winkel, dessen Kosinus den Wert -1 annimmt ($\cos(180°) = -1$). Die Arbeit wird dann negativ. Physikalisch bedeutet dies, dass an dem Körper eine negative Arbeit verrichtet ...
  14. Innere Eigenarbeit
    Formänderungsarbeit > Innere Formänderungsarbeit > Innere Eigenarbeit
    Innere Verschiebungsarbeit
    ... dann haben wir also einen eingeschlossenen Winkel von 180° zwischen Kraft und Weg gegeben und damit $\cos(180°) = -1$.Setzen wir nun $N_i = N$ dann erhalten wir:$dW_i = -\frac{1}{2} N \; du$Der Betrag der inneren Kraftgröße $N_i$ ist durch den Betrag der Schnittgröße $N$ ersetzt worden. Damit wird die innere Arbeit durch die äußere Kraftgröße ausgedrückt. Das ist deswegen möglich, weil Normalkraft $N$ und innere Kraftgröße ...
  15. Federn
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Federn
    Drehfeder, Federkonstante, Feder
    ... bewirkt bei einer Verdrehung des Stabes um den Winkel $\varphi$ ein rückdrehendes Moment der Größe $M = k_M \cdot \varphi$ (Federgesetz). Der Winkel $\varphi$ wird im Bogenmaß gemessen und hat die Einheit rad. Die Federkonstante $k_M$ hat demnach die Einheit kNm / rad.Für die Berechnungen eines Moments einer Drehfeder gilt also:$M = k_M \cdot \varphi$mit$M$ Federmoment$k_M$ Federkonstante der Drehfeder$\varphi$ VerdrehwinkelVirtuelle innere VerschiebungsarbeitWir betrachten ...
  16. Lagerverschiebungen/-verdrehungen
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Lagerverschiebungen/-verdrehungen
    Prinzip der virtuellen Krfte, Auflagerverformungen
    ... multipliziert mit dem Verdrehwinkel, welcher berechnet werden soll.Zur Bestimmung der Verdrehung des Querschnitts in $d$ sollte die Streckenlast und die Auflagersenkung berücksichtigt werden. D. h. also wir benötigen die Verschiebungsarbeit der virtuellen Schnittgrößen und die virtuelle Auflagerkraft. Da in der Aufgabenstellung nur die Biegesteifigkeit $EI$ gegeben ist, benötigen wir auch nur das Biegemoment. Temperaturänderungen und Federn sich ...
  17. Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Prinzip der virtuellen Krfte, Verschiebung, Verdrehung
    ... können. Wir benötigen hierzu die Winkel von $A_v$ und $A_h$ zur Balkenachse. Um diese bestimmen zu können, betrachten wir das folgende rechtwinklige Dreieck:Trigonometrie anwenden Der Winkel $\alpha$ beträgt:$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{3m}{2m}$$\alpha = arctan (\frac{3m}{2m}) = 56,31°$Dies ist der Winkel von der Balkenachse zur Horizontalen. Da die Auflagerkraft $A_h$ eine Horizontalkraft darstellt, kann diese mit dem Winkel ...
  18. Formelsammlung
    Formelsammlung
    ... werden. Anwendung der Theorie I. OrdnungWinkelberechnung: $\sin \varphi = \varphi$$\tan \varphi = \varphi$$\cos \varphi = 1$VerformungenNormalkraft$N = \sigma \cdot A$ Normalspannung bei konstantem Querschnitt$\sigma = \frac{F}{A}$                                      mit$\sigma$ Normalspannung, Einheit: $\frac{N}{m^2}$$F$ Zugkraft (positiv) bzw. Druckkraft (negativ), Einheit: $N$$A$ ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Trigonometrische Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen
    Winkelfunktionen
    ... = Dreieck, gr. metron = Maß), auch Winkelfunktionen genannt, dienen in der Mathematik zur Berechnung der Zusammenhänge zwischen Winkeln und Seitenverhältinissen. In den Naturwissenschaften dienen sie als fundamentale Funktionen zur Berechnung periodischer Vorgänge.Die wichtigen trigonometrischen Funktionen sind:Sinusfunktion: $f(x) = sin(x)$Kosinusfunktion: $f(x) = cos(x)$Tangensfunktion: $f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} $sowie deren Kehrwerte:Kosekansfunktion: ...
  2. Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... < 2 \, \pi$Quadranten des EinheitskreisesWinkel die im Uhrzeigersinn überstrichen werden, sind negativ, Winkel die gegen den Uhrzeigersinn überstrichen werden positiv. Das Bogenmaß mit der Einheit RadiantFür die Betrachtungen am Einheitskreis verwenden wir nicht für einen Winkel nicht die Einheit Grad ($°$), welche wir für gewöhnlich zur Winkelberechnung benutzen. Am Einheitskreis verwenden wir zur Angabe eines Winkels das Bogenmaß mit der ...
Analysis und Lineare Algebra
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:$w'_B = -\varphi$In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet. Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des Balkens. Die Betrachtung beschränkt sich hierbei auf Schubspannungen ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... dass die Gradienten senkrecht (im 90° - Winkel) auf den Niveaulinien bzw. Höhenlinien liegen.Bewegung auf dem GradientenvektorUm die Punkte auf dem Gradientenvektor entlangzuwandern benötigt man die Einheitslänge. Diese wird berechnet:$ \text{grad} \ f (x,y) \cdot \frac{1}{\text{Länge}}$$(2 \ , \ 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = (0,71 \ , \ 0,71)$Einen "Schritt" auf dem Gradienten ausgehend vom Punkt $(1 \ , \ 1)$ führt uns dann zum nächsten Punkt $(1,71 ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Anorganische Chemie

  1. Gittertypen nach Pearson
    Aggregatzustände > Der feste Zustand > Der kristalline Zustand > Gittertypen nach Pearson
    ... er anhand von drei Kantenlängen und drei Winkeln zwischen den Kanten sieben Gitterarten eindeutig charakterisieren. Unter zur Hilfenahme von zusätzlichen Symmetriegesichtspunkten erhöht sich die Anzahl der Gitterarten auf 14. Die folgende Tabelle umfasst nochmal alle Gitterarten mit ihren spezifischen Eigenschaften:Gittersystem/GitterartKürzelGitterparameterTypische VertreterKubisch......primitiv$\ a = b = c \ \ $, $\alpha = \beta = \gamma = 90° \ \ $...raumzentriertkrz$\ ...
Anorganische Chemie
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Webinare

  1. Allgemeine Kräftegruppe: Bestimmung der Resultierenden und Gleichgewichtsbedingungen
    ...mengefasst werden. Wie die Größe, die Richtung (Winkel) und die Lage (Angriffspunkt) der Resultierenden bestimmt werden, zeigt euch Jessica in diesem Webinar. Zur Bestimmung der Resultierenden ist es notwendig die Zerlegung von Kräften durchzuführen. Jessica zeigt euch, wie eine Kraft in ihre Teilkomponenten zerlegt wird. Innerhalb der Statik befinden sich die betrachteten Körper in Ruhe. Ein Körper befindet sich nach Newton dan...