Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... senkrecht und ein Schnitt nicht-senkrecht (mit Winkel) zur Stabachse durchgeführt wird.
  2. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    ... der Betrachtung von unterschiedlichen Schnittwinkeln ändern.  Spannung im Stab / Senkrechter Schnitt Man stelle sich einen Stab vor, der durch die Zugkraft $F$ belastet wird. Der Stab besitzt eine konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt der Querschnittsfläche vom Stab dar. Da man sich nicht für die äußeren Kräfte, sondern stattdessen für die Spannungen im Inneren interessiert, wird nach dem Schnittprinzip ...
  3. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    ... Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel $\alpha \not= 0° $ wird. Hierzu ein Vergleich von einem Schnitt im Winkel $\alpha = 0° $ mit einem Winkel mit $\alpha \not= 0° $. Senkrechter Schnitt $\alpha = 0° $ (senkrechter Schnitt): Senkrecht geschnittener Balken $\rightarrow: -F + N = 0 \rightarrow N = F$ Normalspannung   $\sigma_0 = \frac{N}{A} \rightarrow \sigma_0 =  \frac{F}{A} $ Schubspannungen ...
  4. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    ... ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als $\sigma_0 = \frac{N}{A}$ Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung $\sigma_0$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu wird ein Schnitt an einer beliebigen Stelle durchgeführt und der Abstand mit $x$ bezeichnet: $\sigma_0 = \frac{N(x)}{A(x)}$ Um ...
  5. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... in $y$- und $z$-Richtung stehen im rechten Winkel zur Stabachse und können mit Hilfe der Querkontraktionszahl $\nu $ beschrieben werden. Die Querkontraktionszahl ist eine dimensionslose Größe, die im elastischen Bereich konstant ist und vom belasteten Material abhängt. Oft wird auch der Name Poissonzahl oder Querdehnzahl verwendet. Sie stellt einen Bezug zur Dehnung in $x$-Richtung her. Hieraus ergeben sich zwei Gleichungen: $\epsilon_y = - \nu \epsilon_x = - \frac{\nu}{E} \sigma_x$ ...
  6. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... treten je nach Orientierung der Schnittfläche Winkeländerungen und infolgedessen auch Schubverformungen auf, die auch Schiebungen genannt werden. Der Änderungswinkel $\gamma $ wird als Gleitwinkel bezeichnet. Der oben genannte Zusammenhang von Schubspannung $\tau $ und der Schubverformung $\gamma $ lässt sich durch das Hookesche Gesetz für Schubverformung beschreiben: Hookesche Gesetz für Schubverformung  $\tau = G \cdot \gamma \rightarrow $ Schubspannung = Schubmodul $\cdot $ Gleitwinkel. Der ...
  7. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... Länge $l_2 = \frac{l}{\cos (\alpha)}$ (siehe Winkelberechnung eines Dreiecks). Es ist ersichtlich, dass der Stab $S_1$ länger wird (positive Längenänderung $\triangle l_1$) und dass der Stab $S_2$ kürzer wird (negative Längenänderung $\triangle l_2$). Verschiebung Als nächstes soll die Verschiebung des Knotens $K_2$ in vertikale und in horizontale Richtung betrachtet werden. Dies kann man anhand einer Skizze berechnen. Man weiß nun, dass der Stab $S_1$ sich verlängert (man zeichnet ...
  8. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    ... die folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel $\alpha$. Der Stab $S_1$ hat dieselbe Länge wie der Stab $S_3$, also $l_1 = l_3$. An diese drei Stäbe greift im Knoten $K$ die Kraft $F$ an. Die Dehnsteifigkeit aller Stäbe sei gleich, so dass gilt $E_1A_1 = E_2A_2 = E_3A_3 = EA$.  Dreistab-Problem Gleichgewichtsbedingungen Zunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten Körper aufgestellt: $\rightarrow : S_3 \cdot \sin (\alpha) - S_1 \cdot \sin (\alpha) = 0$ Daraus ...
  9. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    ... welchen Einfluss die Änderung des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben.  Drehung des Koordinatensystems Dazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet: Die resultierende Spannungsmatrix ist:  $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $  Es wird nun der Einfluss der Drehung ...
  10. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Beispiel 1: Koordinatentransformation
    ... MPa$. Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $65°$ zur $x$-Achse! Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel ...
  11. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ... Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung): Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung von führt zu: $\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$ $\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$ Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$ $\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $ $\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha)$ $\tau_{x^*y^*} ...
  12. Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen
    ... sowie die dazugehörige Hauptrichtung (Winkel), sowie die Hauptschubspannung und der Winkel, bei dem die Hauptschubspannung auftritt, hergeleitet. Danach erfolgt eine Zusammenfassung der Gleichungen für die Hauptspannungen und zum Schluss ein ausführliches Beispiel für die Anwendung dieser Gleichungen.
  13. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    ... abhängig von der Schnittrichtung, also vom Winkel. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Winkel, für welchen die Spannungen Extremwerte annehmen. In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe Grafik b). Dazu wird folgendermaßen vorgegangen: 1. Ableitung von $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$ nach $\alpha$ und Nullsetzen dieser.  2. Den ermittelten ...
  14. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... folgt die Herleitung der Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptschubspannung, danach werden die Hauptschubspannungen hergeleitet. Zum Abschluss werden die benötigten Formeln nochmals zusammengefasst. Herleitung der Hauptrichtung für die Hauptschubspannung Wie im vorherigen Abschnitt zur Bestimmung der Normalspannungen, erfolgt auch die Berechnung der Hauptschubspannungen unter Bildung der ersten Ableitung aus der Ausgangsgleichung $\tau_{x^*y^*}$. $\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x ...
  15. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ... für die Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung zusammengefasst. Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung) $ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $ Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$       Es existieren zwei Winkel, für welche die obige Gleichung erfüllt ist. Einmal der ermittelte Winkel $\alpha^*$ und ...
  16. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Beispiel 1: Hauptspannungen
    ... (1) Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $55°$ zur $x$-Achse! (2) Bestimme die Hauptspannungen (Hauptnormalspannungen) und die Hauptrichtungen! (3) Bestimme die Hauptschubspannungen und die Schnittrichtungen! Lösung (1): Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt ...
  17. Beispiel 2: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen
    Beispiel 2: Hauptspannungen
    ... für den Schnitt 3-3! (b) Bestimmen Sie den Winkel $\beta$ unter welchem bei einem Schnitt 4-4 die Normalspannung betragsmäßig am größten wird. Wie groß ist die Normalspannung dann? Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich wird. Es wird zunächst der Schnitt 1-1 betrachtet: Aus der Aufgabenstellung wird deutlich, dass für die Schnittrichtung 1-1 die Normalspannung $\sigma_y$ (welche immer senkrecht auf dem ...
  18. Mohrscher Spannungskreis
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis
    ... sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt. Zunächst wird gezeigt, wie der Mohrsche Spannungskreis gezeichnet wird und die Hauptspannungen und Hauptschubspannungen abgelesen werden. Außerdem wird ausführlich beschrieben, wie die Hauptrichtungen eingezeichnet werden. Zum Schluss folgt die Herleitung der Kreisgleichung und die Zusammenfassung der wichtigsten Gleichungen. Im nächsten Abschnitt folgt dann ein ausführliches Beispiel ...
  19. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    ... Normalspannung und Schubspannung in einem Drehwinkel $\beta = 40°$ zur x-Achse. Zeichnung des Mohrschen Spannungskreises Zeichnen des Mohrschen Spannungskreises aus den gegebenen Werten durch Festlegung eines sinnvollen Maßstabes. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis Der Mohrsche Spannungskreis wird wie im vorherigen Abschnitt gelernt, so eingezeichnet, dass die Punkte $P_1 (\sigma_x | \tau_{xy}) = (-30 | -10)$ und $P_2 (\sigma_y | - \tau_{xy}) = (20 | 10)$ miteinander verbunden werden. ...
  20. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    ... Punkte und die Seitenlängen, sondern auch die Winkel. Verschiebungen im ebenen Fall Verschiebungen treten immer dann auf, wenn ein Bauteil derart stark belastet wird, so dass es zu einer Verformung kommt. Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung. Wählt man im Vorfeld einen Punkt innerhalb jenem Teil des Bauteils, der von der Verformung betroffen ist, so erfährt dieser Punkt eine Verschiebung $ u $. Die Verschiebung $ u $ wird dargestellt durch den gleichnamigen ...
  21. Verzerrungstensor
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen > Verzerrungstensor
    ... festgelegt. Die Gleitung stellt die gesamte Winkeländerung dar. Die halbe Winkeländerung wird bezeichnet mit $\epsilon_{xy} = \frac{1}{2} \gamma_{xy}$ und $\epsilon_{yx} = \frac{1}{2} \gamma_{yx}$. Daraus lässt sich der Tensor aufstellen: $ V = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy}\end{pmatrix} $ bzw.  $ V = \begin{pmatrix} \epsilon_{x} & \frac{1}{2}\gamma_{xy} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \epsilon_{y}\end{pmatrix} $.
  22. Transformation von Verzerrungskomponenten
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten
    Es ist möglich die Winkelabhängigkeit der Verzerrungskomponenten nach einer Drehung des Bauteils zu bestimmen (siehe Kapitel Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung). Denn es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, da beides Tensoren sind. Man ersetzt $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$ durch $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\gamma_{xy}$. Die Drehung des Bauteils unter einem bestimmten Winkel $\alpha$ ergibt die Dehnungen und Gleitungen: $\epsilon_x^* = \frac{\epsilon_x ...
  23. Hauptdehnungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen
    Hauptdehnungen
    ... Hauptdehnungsrichtungen und sind durch einen Winkel $\tan (2\alpha^*) $ gegeben. Dieser ist durch folgende Gleichung beschrieben: $\tan (2 \alpha^*) = \frac{\gamma_{xy}}{(\epsilon_x - \epsilon_y)} $    Hauptdehnungsrichtungen Die Hauptdehnungen haben die Form: $\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2})^2 + (\frac{1}{2}\gamma_{xy})^2} $     Hauptdehnungen Es gelten auch die gleichen Zusammenhänge für die Invarianten der ...
  24. Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    ... Relation Schubspannung - Gleitung/Gleitwinkel Nach der Herleitung des Zusammenhangs zwischen Normalspannungen und Dehnungen, gilt es in einem zweiten Schritt auch eine Relation zwischen Schubspannungen $\tau_{xy}$ und Gleitungen $\gamma_{xy}$ herzustellen. Wird das obige viereckige Bauteil nur durch Schubspannung belastet, so ist aus Experimenten ermittelt worden, dass ein linearer Zusammenhang zwischen Gleitung und Schubspannung besteht. Hierzu wird eine Konstante benötigt, um diesen ...
  25. Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    ... zwischen Schubspannungen $\tau$ und Gleitwinkel $\gamma$ erhält man aus dem Hookeschen Gesetz für Schubverformung (Abschnitt Schubverformung): Hookesche Gesetz für Schubverformung  $\tau = G \cdot \gamma \rightarrow $ Schubspannung = Schubmodul $\cdot $ Gleitwinkel. Für den räumlichen Fall gilt: $\tau_{xy} = G \cdot \gamma_{xy}$ $\tau_{yz} = G \cdot \gamma_{yz}$ $\tau_{zx} = G \cdot \gamma_{zx}$ Der Zusammenhang zwischen Schubmodul $G$ und Elastizitätsmodul $E$ ist ...
  26. Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
    Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
    ... $b = 12,04 mm$ und die Höhe $h = 4,98 mm$. Der Winkel beträgt $\beta = 89,5°$. Das Elastizitätsmodul sei $E = 60.000 \frac{N}{mm^2}$. Wie groß sind die Dehnungen $\epsilon_x$ und $\epsilon_y$ und der Gleitwinkel $\gamma_{xy}$? Wie groß sind die Spannungen $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$? Den Gleitwinkel $\gamma_{xy}$ kann man bestimmen durch: $\gamma_{xy} = 90° - \beta = 90° - 89,5° = 0,5°$ Der Gleitwinkel drückt die Änderung des Winkels nach der Verformung aus. Vor der ...
  27. Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    ... einen mathematisch positiven Winkel $\alpha $ gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel. Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem $y, z$ werden nun in das Koordinatensystem $\xi \eta $ überführt. Die Lage der Koordinaten im neuen Koordinatensystem lässt sich hierbei in Abhängigkeit ...
  28. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Bei Momenten lassen sich, wie bei Spannungen, Winkelstellungen finden unter denen die axialen Flächenträgheitsmomente ihr Maximum bzw. Minimum annehmen. Die Momente in diese Richtungen stehen senkrecht aufeinander und werden Hauptträgheitsmomente $I_1, I_2$ genannt.  Es gilt demnach: $\ I_{\xi\xi}, I_{\xi\eta}, I_{\eta\eta} \rightarrow I_1 , I_2 $  Hierbei stehen $ I_1 $ und $ I_2 $ für die Extremwerte der axialen Flächenträgheitsmomente. $ I_{\xi\xi}, I_{\xi\eta},I_{\eta\eta} $ stellen ...
  29. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    ... ein aus zwei Flächen bestehender Winkel oder ein aus vier Flächen bestehender Rahmen, empfiehlt es sich den "Gesamt"- Flächenträgheitsmoment der geometrischen Figur durch die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente der Teilflächen zu berechnen. Dabei entspricht das "Gesamt"- Flächenträgheitsmoment der Summe der Flächenträgheitsmomente der Teilflächen. In diesem Abschnitt wird die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente bei zusammengesetzten Flächen mit Hilfe der Steinerschen ...
  30. Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Normalspannung bei reiner Biegung
    Normalspannung bei reiner Biegung
    ... auch nach der Verformung senkrecht (im 90° Winkel) auf dieser: Neutrale Faser In der obigen Grafik ist die neutrale Faser (gestrichelt) zu sehen. Bei der Biegung des Balkens wird diese in ihrer Länge nicht verändert und die Querschnitte stehen weiterhin im 90°-Winkel zu dieser Faser (wie beim unverformten Balken). Betrachtet man die einzelnen Abschnitte des Kreisbogens im Vergleich zum Ausgangsbalken, so sieht man, dass im unteren Bereich $\downarrow$ [ z > 0 ] die Faser des Balkens ...
  31. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Querkraftbiegung
    ... u = \varphi \cdot z $ $\varphi = \text{Neigungswinkel} $ Setzt man nun den Term für $u$ ein, so erhält man für die Dehnung: $\epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x } = z \frac{\partial \varphi}{\partial x } = z \varphi' $              Dehnung    Verschiebung Die Verschiebung in $z$-Richtung, also die Absenkung des Balkens, wird durch $ w $ ausgedrückt. Es wird angenommen, dass alle Elemente des Balkenquerschnitts eine identische Verschiebung $ w $ erfahren. Diese Annahme ...
  32. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    ... sich vermuten, dass der Tangentensteigungswinkel $\alpha$ dem Neigungswinkel $\varphi $ entspricht. Dies gilt es nun zu überprüfen:  So ist $ \tan ( - \alpha) = w' $ für mittlere bis große Verformungen zulässig und $ \tan (-\alpha) = - \alpha $ für kleine Verformungen.  Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Gleichsetzen $w' = - \alpha = -\varphi$. Differentialgleichung der Biegelinie Nachdem nun alle relevanten Gleichungen erfasst sind, kann mit Hilfe dieser die Differentialgleichung ...
  33. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ...          Durchbiegeverlauf 6. Neigungswinkel der Querschnitte Den Neigungswinkel erhält man wiederum aus der ersten Ableitung des Durchbiegeverlaufs. Zur Erinnerung $w' = -\alpha = -\varphi$: $ w' = \frac{F}{EI} (lx - \frac{1}{2}x^2) \rightarrow w' = -\varphi (x) $      Neigungswinkel 7. Maximale Durchbiegung, maximale Verdrehung [optional, bzw. je nach Fragestellung] Ist neben dem Durchbiegeverlauf und dem Neigungswinkel auch nach der maximalen Durchbiegung und maximalen ...
  34. Superpositionsprinzip
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Superpositionsprinzip
    Superpositionsprinzip
    ... + \frac{Mx^2}{2EI}$ Den Neigungswinkel erhält man durch die 1. Ableitung von $w$: $w'(x) = \frac{F}{EI} (lx - \frac{1}{2}x^2) + \frac{Mx}{EI} = -\varphi(x)$ Anwendungsbeispiel 2: Überlagerung  Beispiel: Überlagerung Gegeben sei der obige Balken mit der Kraft $F$. Die Biegesteifigkeit sei konstant ($EI = const.$). Es soll die Absenkung des Balkens am Balkenende betrachtet werden (also $w_{max}$). Hierbei kann man anstatt das Ganze einmal durchzurechnen den Balken in ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben: $r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$ Polarkoordinatendarstellung Man kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom Koordinatenursprung hin zum Punkt geht) zur positiven $x$-Achse abgetragen. Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in kartesische ...
  2. Tangentenvektor
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... -\sin t, \\  \cos t \end {array}\right)$ 2. Winkel bestimmen Im Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$: $(r \cos t, \ r \sin t):$ $t = 1 \cdot \cos^{-1} (0,8)$ bzw. $t = 1 \cdot \sin^{-1} (0,6)$: $t \approx 36,8$ 3. Tangentenvektor berechnen Der Tangentenvektor im Punkt $P(0,8 | 0,6)$ ist demnach: $\vec{t} = (- \sin (t), \ \cos (t)) \ \rightarrow \ \vec{t} = (- \sin (36,8), \ \cos (36,8))$ $\vec{t} = (-0,6, \ 0,8)$ Tangentenvektor Tangentenvektor Der Tangentenvektor hat seinen ...
  3. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Hauptnormalenvektor
    ... \ \rightarrow \ (- \cos t | - \sin t)$ 2. Winkel bestimmen Im Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$: $(r \cos t, \ r \sin t) \rightarrow t = 1 \cdot \text{argcos} (0,8)$ bzw. $t = 1 \cdot \text{argsin} (0,6)$: $t \approx 36,8$ 3. Normalenvektor berechnen Im Punkt $(0,8 | 0,6)$ mit dem Winkel $t = 36,8°$ ist der Normalenvektor: $\vec{n} = (- \cos t, \ - \sin t) \ \rightarrow \ \vec{n} = (- \cos (36,8), \ - \sin (36,8))$ $\vec{n} = (-0,8, \ -0,6)$  Normalenvektor Normalenvektor In ...
  4. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Evolvente berechnen
    ... der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der Kurve verläuft. Die Tangente der Evolute ist gleich der Normalen der Kurve. Dies soll anhand des Beispiels aus dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden.  Anwendungsbeispiel: Tangenten der Evolute Gegeben sei die Parabel: $0,5x^2$.  Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für ...
  5. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t) \\ 0 \end{pmatrix}$ Als nächstes wird der Winkel $t$ benötigt: Dies kann man entweder aus $\cos (t) \; \rightarrow t = \text{argcos}(0,8) = 36,8°$ Oder aus $\sin (t) \; \rightarrow t = \text{argsin} (0,6) = 36,8°$ Jetzt kann man den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$ bestimmen: $\vec{n} (0,8|0,6|1) = \begin{pmatrix} -\cos (36,8) \\ -\sin (36,8) \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \\ 0 \end{pmatrix}$ Orthogonal zum Tangenteneinheitsvektor Der Hauptnormalenvektor ...
  6. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist. Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation}$ $f(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) = \frac{r^2 \cos^2 (\varphi) \cdot r \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + r^2 ...
  7. Gradient einfach berechnen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradient einfach berechnen
    ... dass die Gradienten senkrecht (im 90° - Winkel) auf den Niveaulinien bzw. Höhenlinien liegen. Bewegung auf dem Gradientenvektor Um die Punkte auf dem Gradientenvektor entlangzuwandern benötigt man die Einheitslänge. Diese wird berechnet: $ \text{grad} \ f (x,y) \cdot \frac{1}{\text{Länge}}$ $(2 \ , \ 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = (0,71 \ , \ 0,71)$ Einen "Schritt" auf dem Gradienten ausgehend vom Punkt $(1 \ , \ 1)$ führt uns dann zum nächsten Punkt $(1,71 \ , \ 1,71)$. etc. Bewegung ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt und Winkel
    ... vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$. Eingeschlossener Winkel Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar). $ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & \text{für} \; \; \vec{a} = \vec{0 } \; \text{oder} \; \vec{b} ...
  2. Zerlegung von Vektoren
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    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Zerlegung von Vektoren
    ... gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen. In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt. Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die Zerlegung des Vektors $\vec{a}$ in zwei Vektoren, einer parallel zu ...
  3. Das Vektorprodukt
    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Das Vektorprodukt
    ...  Berechne außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms. Lösung: Berechnung des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (1 \cdot 2) - (3 \cdot 0) \\ (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2)  \\ (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)$ Lösung: ...
  4. Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ...  $r > 0$. Dann nämlich existiert ein Winkel  $\varphi$, welcher sich mit der positiven x-Achse (Polarwinkel) kennzeichen lässt: Polarkoordinaten Umformung von kartesische in polare Koordinaten Kartesische Koordinaten:  $x$  und $y$. Polarkoordinaten: $r$  und $\varphi$. (1)  $z = x + iy = r (cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$ (2)  $x = r \cdot cos \varphi$     (3)  $y = r \cdot sin \varphi$  (4)  $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (5) $ \tan \varphi = \frac{y}{x}$ Berechnung ...
  5. Trigonometrische Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion
    Trigonometrische Funktion
    Trigonometrische Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt, dienen zur Berechnung von Winkeln in Dreiecken und in der Schwingungslehre. Hierbei bedient man sich der Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion, sowie deren Kehrwertfunktionen. Sinusfunktion: $\ f(x) = sin(x)$, Kosinusfunktion: $\ f(x) = cos(x)$, Tangensfunktion: $\ f(x) = tan(x)$, Kotangensfunktion $\ f(x) = cot(x)$ Berechnung am Einheitskreis [siehe Bild]:SinusfunktionOrdinate von B:  $y=sin \alpha = |\overline{AB}|$KosinusfunktionAbszisse ...
  6. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    ... man die 4 Bereiche, in denen sich der jeweilige Winkel befindet, in Quadranten. Die Bereichseinteilung erfolgt mit Hilfe der Kreiszahl $\pi $. Wobei $\pi$ die Maßeinheit Radiant ist. Ausgedrückt in Bogenmaß ist $\pi$ Radiant $= 180$ Grad. Der Vollwinkel hat demnach $2\pi$ Radiant $= 360$ Grad und $\frac{\pi}{2} = 90°$.Bereich I $ = 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Bereich II $ = \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$Bereich III $ = \pi < \alpha < \frac {3}{\pi}$Bereich IV $ = \frac {3}{\pi} < ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Bestimmung der Resultierenden
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden
    ... der Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden. Es wird zunächst gezeigt, wie man zwei Kräfte, die durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen, zu einer einzigen Resultierenden zusammenfassen kann. Danach werden dann mehrere Kräfte behandelt, die ebenfalls alle durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen und aufgezeigt, wie man diese Kräfte durch eine einzige Resultierende ersetzen kann. 
  2. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... Bauteil aus mehreren zueinander abgewinkelten Bestandteilen, so sollte jedes Teilstück mit einem eigenen Koordinatensystem versehen werden.   
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Gleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Gleichförmige Kreisbewegung
    Gleichförmige Kreisbewegung
    ... sehen, welcher sich zum Zeitpunkt $t_0$ an dem Winkel $\varphi_0$ befindet und die Geschwindigkeit $\vec{v}$ aufweist, welche tangential an dem Kreis in diesem Punkt liegt. Zum Zeitpunkt $t_1$ weist der Massenpunkt den Winkel $\varphi_1$ auf und besitzt die Geschwindigkeit $\vec{v}$.  Wir können dann den Differenzwinkel, den der Massenpunkt überstrichen hat, bestimmen durch:  $\triangle \varphi = \varphi_1 - \varphi_0$ und die Zeitdifferenz, in welcher den Massenpunkt diesen Differenzwinkel ...
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