Technische Mechanik 1: Statik

  1. Beispiel: Kippender Stuhl
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen > Beispiel: Kippender Stuhl
    Kippender Stuhl Student Beispiel Schnittgren
    ... werden. Diese steht immer senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Schnittfläche. Man legt nun wieder die Kräfte $A_y$ und $A_x$ mit ihren Anteilen in Richtung der Normalkraft:$\nwarrow : N + A_y \cdot \cos(12°) - A_x \cdot \sin(12°) = 0$$N = -400 N\cdot \cos(12°) + 88,89 N \cdot \sin(12°) $$N = -372,78 N$Biegemoment bestimmenDas Biegemoment ist immer abhängig davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. In diesem Beispiel soll der Biegemomentverlauf berechnet ...
  2. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$Die Resultierende lag dann im gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte.In diesem Kapitel tritt nun der Fall auf, dass sich die Wirkungslinien der Einzelkräfte nicht mehr in einem Punkt schneiden und die Lage der Resultierenden somit nicht sofort bekannt ist. Der Betrag und die Richtung der Resultierenden wird auch hier gemäß der obigen Formeln bestimmt, allerdings muss für die Lage der Resultierenden ...
  3. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Beispiel Stabkrfte Krftezerlegung
    ... zerlegt werden. Wir kenne nicht den Winkel der Seilkraft zur Horizontalen bzw. Vertikalen, aber die Steigung ist gegeben. Aus der Steigung kann mittels Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck der Winkel berechnet werden:Winkel berechnenMittels Tangens können wir den Winkel $\alpha$ zur Horizontalen bestimmen. Auflösen nach $\alpha$ ergibt:$tan(\alpha) = \frac{2}{5}$                  |$\cdot arctan$$\alpha = arctan(\frac{2}{5})$$\alpha ...
  4. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgren am Rahmen Punkte
    ... Tragwerke von starr miteinander verbundenen abgewinkelten Balken. Jedoch gilt zu beachten, dass in diesem Abschnitt nur Rahmen mit geraden Rahmenteilen betrachtet werden, und Bögen davon ausgenommen sind. Die Bestimmung der Schnittgrößen am Rahmen erfolgt punktweise, dh. es werden Punkte am Rahmen gewählt aus deren Gleichgewicht am geschnittenen Rahmen die Schnittgrößen bestimmt werden können. Die Punkte werden an Auflagern, an Knicken und Verzweigungen ...
  5. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... nicht bekannt ist. Dieser kann aber mittels Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck bestimmt werden. Gegeben ist die Abmessung $b = 0,5m$ (Hypotenuse) und der Winkel $\alpha = 35°$. Die blaue Linie ist der senkrechte Abstand der Kraft $F$ (Hebelarm) und stellt die Ankathete dar. Die folgende Formel gilt:$\cos (35°) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Ankathete}}{0,5 m}$Umstellen nach der Ankathete:$\text{Ankathete} = \cos(35°) \cdot 0,5m$Dies ist also ...
  6. Resultierende analytisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen
    ... Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden.Es wird zunächst gezeigt wie man zwei Kräfte, die durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen, zu einer einzigen Resultierenden zusammenfassen kann. Danach werden mehrere Kräfte behandelt die ebenfalls alle durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen und aufgezeigt wie man diese Kräfte durch eine einzige Resultierende ersetzen kann. 
  7. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... Bauteil aus mehreren zueinander abgewinkelten Bestandteilen, so sollte jedes Teilstück mit einem eigenen Koordinatensystem versehen werden.   
  8. Eigenschaften der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Eigenschaften der Kraft
    Wirkungslinie und Richtungssinn
    ... Wirkungslinie von der Horizontalen durch einen Winkel zu bestimmen. Der Richtungssinn ist durch den Pfeil gegeben. $G$ ist die Gewichtskraft, die durch die Schwerkraft senkrecht nach unten gezogen wird.AngriffspunktZuletzt erfolgt die Beschreibung des Angriffspunkts. Dieser gibt den Punkt auf einem Körper an, der durch eine Kraft mit einem bestimmten Betrag aus einer bestimmen Richtung belastet wird. Sobald sich der Angriffspunkt verschiebt, ändert sich auch die Wirkung auf den belasteten ...
  9. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen. Beispiel: Bestimmung der LagerreaktionenZur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y = 0$ und $M = 0$. Es müssen alle von außen wirkenden Kräfte, die auf den Balken wirken, berücksichtigt werden. Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes das Freikörperbild ...
  10. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    SChnittgren am Bogen Koordinatensystem
    ... vertikal und horizontal, sondern besitzen einen Winkel.Querkraft und Normalkraft am BogenDie Normalkraft wirkt immer in Richtung der positiven $x$-Achse am positiven Schnittufer. Die Querkraft wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:Schnittgrößen am Bogen: KoordinatensystemDer Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) ...
  11. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt gerade Linie
    ... auf DEG eingestellt berechnet er das Winkelmaß, bei RAD das Bogenmaß).Umrechnung von Bogenmaß in Winkelmaß:Bogenmaß $\cdot \frac{360°}{2\pi}$$x_s = R \frac{[ \sin (\frac{\pi}{4}) - \sin (-\frac{\pi}{4}) ]}{[ \frac{\pi}{4} - -\frac{\pi}{4}]} $Ersetzen von Bogenmaß durch Winkelmaß bei der Sinusberechnung, wenn der Taschenrechner das Bogenmaß nicht berechnet:$x_s = R \frac{[ \sin (45°) - \sin (-45°) ]}{[ \frac{\pi}{4} ...
  12. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... NHDie Richtung der Resultierenden wird mit dem Winkel $\varphi$ angegeben und berechnet sich durch:$\tan \varphi = \frac{H}{N}$.Im Grenzfall für $H_0$ wird der Grenzwinkel zu $\rho_0$ mit:$\tan \rho_0 = \frac{H_0}{N} = \frac{\mu_0 \cdot N}{N} = \mu_0$.$\rho_0$ ist also der Haftungswinkel.Man kann grafisch feststellen, ob sich ein Körper in Ruhe befindet, indem man den Haftungswinkel $\rho_0$ links und rechts von der Normalkraft $N$ abträgt. Befindet sich die Resultierende $NH$ innerhalb ...
  13. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Beispiel: Krftegleichgewicht im Raum
    ... $x, \; y $ und $z$ hinzugefügt sowie die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.Aufstellung der GleichgewichtsbedingungenAus dem gezeichneten Kräfteplan ist es möglich die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Hierzu werden alle Zugkräfte oder Druckkräfte, sowie die Schwerkraft $ G $ entsprechend ihrer Wirkrichtungen und unter Verwendung der zugehörigen Winkel $\alpha, \beta, \gamma $ in die jeweilige Gleichgewichtsbedingung eingetragen.x-Achse$\sum ...
  14. Bestimmung von Momenten
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... die Kräfte $F_1$ bis $F_4$ wirken. Die Winkel kann man sich aufgrund der Längen gut ableiten. Die untere Seite beträgt $2a$ und die Höhe des Dreiecks $a$. Durch Hinzufügen der Höhe $h = a$ in der Mitte des Dreiecks werden aus diesem zwei Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel (90°) und damit jeweils zwei 45° Winkeln (insgesamt 180°). Die Winkel betragen beide 45°, da die Höhe $a$ beträgt und die untere Seite ebenfalls $a$ beträgt.Bestimmung ...
  15. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze:Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet:$\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$verkürzt: $W_1 + S \cos (120°) - W_2 = 0$Die Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung lautet:$\uparrow : W_1 \sin (0°) + S \sin (120°) + W_2 \sin (180°) + G \sin (270°) = 0$verkürzt: $ S \sin (120°) - G = 0$Berechnung der Abstände ...
  16. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Verteilte Last Gleichgewichtsbedinungen
    ... $q_0 = \frac{4F}{l}$ und der Kraft $F$ mit dem Winkel $30°$ zur Horizontalen. Bestimmen Sie(a) die Lagerreaktionen(b) die Schnittgrößen $Q$, $N$ und $M$.(a) Zunächst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Hierzu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dafür muss die Last $q_0$ (ein einziger Pfeil der Streckenlast) mit der gesamten Strecke, auf welche die Last wirkt, multipliziert werden: $q_0 \cdot 3l$. Diese Kraft wird in den Schwerpunkt der Streckenlast ...
  17. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Nummerierung der Knoten
    ... begonnen werden kann, müssen noch die Winkel berechnet werden. Hierzu wird das erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden:Winkel berechnenGleichgewichtsbedingungen Knoten 1Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt:Knoten 1$\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$$ 11,67 kN ...
  18. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel: Ritterschnittverfahren
    ... =0$ und $R_y = 0$Berechnung der StäbeDer Winkel von 45° ergibt sich aus den Abmessungen des Fachwerks. Als nächstes werden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt:$\rightarrow : \; S_{12} + S_{14} \cdot \cos(45°) = 0$$\uparrow : \; A + S_{14} \cdot \cos(45°) = 0$Aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingungen kann $S_{14}$ berechnet werden:$S_{14} = -\frac{A}{\cos(45°)} = -\frac{14 kN}{\cos(45°)} = -19,80 kN$Danach kann aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung ...
  19. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Beispiel: Resultierende ebener Krftegruppen
    ... die Richtung der Resultierenden (Winkel) und die Lage der Resultierenden (Hebelarm) bestimmt werden.Zur Bestimmung der Resultierenden müssen zunächst die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ bestimmt werden.  $ R_x = \sum F_{ix}, \;  R_y = \sum F_{iy} $          Bestimmung der TeilresultierendenZur Bestimmung des Betrags und der Richtung der Resultierenden verwendet man die bereits bekannten Gleichungen.$\ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2},$ ...
  20. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung: Beispiel
    ... $ mit $F_2 > F_1$ beidseitig belastet. Der Winkel in dem sich das Seil um die Rolle legt ist $\alpha $.  Seilreibung: BeispielUm nun eine Berechnung anstellen zu können, wird aus dem Seil ein Stück der Länge $ ds $ herausgeschnitten und dafür die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Weiter wird angenommen, dass sich die Seilkraft längs von $ ds $ um den Betrag $ dS $ ändert. Geht man jetzt davon aus, dass die Kraft $ F_2 > F_1 $ ist, das Seil also nach ...
  21. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... Schnittgrößen, wenn eine Kraft mit Winkel am Balken angreift!Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise:1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist.2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte.3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, ...
  22. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Dreieck
    ... Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Rechtwinklinge Überlagerung zweier KräfteIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                         Satz des PythagorasIn der obigen ...
  23. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
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    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Krftezerlegung
    ... existieren Kräfte die mit einem bestimmten Winkel auf das Bauteil (z.B. Balken) wirken. Diese Kräfte müssen mittels Kräftezerlegung zunächst in ihre $x$- und $y$- Komponenten zerlegt werden. In der nachfolgenden Grafik ist die Kraft $F$ gegeben. Diese besitzt einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, nämlich den Winkel $\alpha$. Diese Kraft wird nun in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt.Kräftezerlegung - KomponentendarstellungIn der Grafik wurde die Einzelkraft ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ESZ Sonderflle Zug/Druck
    ... Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung vonführt zu:$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$$\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $$\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha)$$\tau_{x^*y^*} ...
  2. Transformation von Verzerrungskomponenten
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten
    Es ist möglich die Winkelabhängigkeit der Verzerrungskomponenten nach einer Drehung des Bauteils zu bestimmen (siehe Kapitel Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation). Denn es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, weil die Verzerrungen ebenfalls Tensorkomponenten sind. Man ersetzt $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$ durch $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\gamma_{xy}$.Dehnungen und Gleitungen - FormelnDie Drehung des Bauteils unter einem bestimmten Winkel ...
  3. Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion Kreisquerschnitt
    ... dass sich die beiden Kreisflächen um einen Winkel $ d \varphi $ relativ gegeneinander verdrehen. 3. Ein Punkt legt auf der rechten Kreisfläche der entnommenen Scheibe einen Weg $ ds = r d\varphi $ zurück, analog dazu auf der linken Kreisfläche. $r $ steht hierbei für den Kreisradius.4. Alternativ lässt sich der Weg eines Punktes auch mit Hilfe des Winkels $\gamma$ bestimmen. Siehe hierzu die obige Abbildung.Es gilt: $ r d\varphi = \gamma dx $Stellt man diese Gleichung ...
  4. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Spannungen im Stab konischer Stab
    ... ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als$\sigma_0 = \frac{N}{A}$Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung $\sigma_0$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu wird ein Schnitt an einer beliebigen Stelle durchgeführt und der Abstand mit $x$ bezeichnet:$\sigma_0 = \frac{N(x)}{A(x)}$Um ...
  5. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabzweischlag
    ... $l_2 = \frac{l}{\cos (\alpha)}$ (siehe Winkelberechnung eines Dreiecks).Es ist ersichtlich, dass der Stab $S_1$ länger wird (positive Längenänderung $\triangle l_1$) und dass der Stab $S_2$ kürzer wird (negative Längenänderung $\triangle l_2$).VerschiebungAls nächstes soll die Verschiebung des Knotens $K_2$ in vertikale und in horizontale Richtung betrachtet werden. Dies kann man anhand einer Skizze berechnen. Man weiß nun, dass der Stab $S_1$ sich ...
  6. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... senkrecht und ein Schnitt nicht-senkrecht (mit Winkel) zur Stabachse durchgeführt wird.
  7. Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen
    ... sowie die dazugehörige Hauptrichtung (Winkel), sowie die Hauptschubspannung und der Winkel, bei dem die Hauptschubspannung auftritt, hergeleitet. Danach erfolgt eine Zusammenfassung der Gleichungen für die Hauptspannungen und zum Schluss ein ausführliches Beispiel für die Anwendung dieser Gleichungen.
  8. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    EBZ Transformation Scheibe
    ... welchen Einfluss die Änderung des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $ Es wird nun der Einfluss der ...
  9. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... in $y$- und $z$-Richtung stehen im rechten Winkel zur Stabachse und können mit Hilfe der Querkontraktionszahl $\nu $ beschrieben werden. Die Querkontraktionszahl ist eine dimensionslose Größe, die im elastischen Bereich konstant ist und vom belasteten Material abhängt. Oft wird auch der Name Poissonzahl oder Querdehnzahl verwendet. Sie stellt einen Bezug zur Dehnung in $x$-Richtung her. Hieraus ergeben sich zwei Gleichungen:$\epsilon_y = - \nu \epsilon_x ...
  10. Hauptdehnungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen
    Hauptdehnungen DMS Beispiel
    ... Hauptdehnungsrichtungen und sind durch einen Winkel $\tan (2\alpha^*) $ gegeben. Dieser ist durch folgende Gleichung beschrieben:$\tan (2 \alpha^*) = \frac{\gamma_{xy}}{(\epsilon_x - \epsilon_y)} $    HauptdehnungsrichtungenDie Hauptdehnungen haben die Form:$\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2})^2 + (\frac{1}{2}\gamma_{xy})^2} $     HauptdehnungenInvarianten der HauptdehnungenEs gelten auch die gleichen Zusammenhänge ...
  11. Verzerrungstensor
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen > Verzerrungstensor
    ... festgelegt. Die Gleitung stellt die gesamte Winkeländerung dar. Die halbe Winkeländerung wird bezeichnet mit $\epsilon_{xy} = \frac{1}{2} \gamma_{xy}$ und $\epsilon_{yx} = \frac{1}{2} \gamma_{yx}$. Daraus lässt sich der Tensor aufstellen:$ V = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy}\end{pmatrix} $bzw. $ V = \begin{pmatrix} \epsilon_{x} & \frac{1}{2}\gamma_{xy} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \epsilon_{y}\end{pmatrix} ...
  12. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... je nach Orientierung der Schnittfläche Winkeländerungen und infolgedessen auch Schubverformungen auf, die auch Schiebungen genannt werden. Der Änderungswinkel $\gamma $ wird als Gleitwinkel bezeichnet.Hookesches Gesetz für SchubverformungDer oben genannte Zusammenhang von Schubspannung $\tau $ und der Schubverformung $\gamma $ lässt sich durch das Hookesche Gesetz für Schubverformung beschreiben:Hookesche Gesetz für Schubverformung $\tau = G \cdot \gamma ...
  13. Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt > Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Torsion Beispiel
    ... $M_B$ sein ($M_A$ gegeben), damit der Verdrehwinkel am Stabende (2) null wird?2) Wie groß ist dann die maximale Schubspannung?Es sind mehrere Bereiche gegeben mit unterschiedlichen Momentenwirkungen. Im Bereich $\overline{01}$ wirken beide Torsionsmomente $M_A$ und $M_B$. Im Bereich $\overline{12}$ hingegen wirkt nur das Torsionsmoment $M_B$. In der Aufgabenstellung ist der Verdrehwinkel am Stabende beschrieben. Dies wird mit der folgenden Formel (bei konstanter Verdrillung $\vartheta) ...
  14. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Dreistab-Problem
    ... folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel $\alpha$. Der Stab $S_1$ hat dieselbe Länge wie der Stab $S_3$, also $l_1 = l_3$. An diese drei Stäbe greift im Knoten $K$ die Kraft $F$ an. Die Dehnsteifigkeit aller Stäbe sei gleich, so dass gilt $E_1A_1 = E_2A_2 = E_3A_3 = EA$. Dreistab-ProblemGleichgewichtsbedingungenZunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten Körper aufgestellt:$\rightarrow : S_3 \cdot \sin (\alpha) - S_1 \cdot \sin (\alpha) ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... \\ 0 \end{pmatrix}$Als nächstes wird der Winkel $t$ benötigt:Dies kann man entweder aus $\cos (t) \; \rightarrow t = \text{argcos}(0,8) = 36,8°$Oder aus $\sin (t) \; \rightarrow t = \text{argsin} (0,6) = 36,8°$Jetzt kann man den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$ bestimmen:$\vec{n} (0,8|0,6|1) = \begin{pmatrix} -\cos (36,8) \\ -\sin (36,8) \\ 0 \end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \\ 0 \end{pmatrix}$Orthogonal zum TangenteneinheitsvektorDer Hauptnormalenvektor ...
  2. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation}$$f(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) = \frac{r^2 \cos^2 (\varphi) \cdot r \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + ...
  3. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom Koordinatenursprung hin zum Punkt geht) zur positiven $x$-Achse abgetragen.Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in kartesische Koordinaten ...
  4. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... -\sin t, \\  \cos t \end {array}\right)$2. Winkel bestimmenIm Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$:$(r \cos t, \ r \sin t):$$t = 1 \cdot \cos^{-1} (0,8)$bzw.$t = 1 \cdot \sin^{-1} (0,6)$:$t \approx 36,8$3. Tangentenvektor berechnenDer Tangentenvektor im Punkt $P(0,8 | 0,6)$ ist demnach:$\vec{t} = (- \sin (t), \ \cos (t)) \ \rightarrow \ \vec{t} = (- \sin (36,8), \ \cos (36,8))$$\vec{t} = (-0,6, \ 0,8)$ TangentenvektorTangentenvektorDer Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und ...
  5. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    ... \ \rightarrow \ (- \cos t | - \sin t)$2. Winkel bestimmenIm Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$:$(r \cos t, \ r \sin t) \rightarrow t = 1 \cdot \text{argcos} (0,8)$bzw.$t = 1 \cdot \text{argsin} (0,6)$:$t \approx 36,8$3. Normalenvektor berechnenIm Punkt $(0,8 | 0,6)$ mit dem Winkel $t = 36,8°$ ist der Normalenvektor:$\vec{n} = (- \cos t, \ - \sin t) \ \rightarrow \ \vec{n} = (- \cos (36,8), \ - \sin (36,8))$$\vec{n} = (-0,8, \ -0,6)$  NormalenvektorNormalenvektorIn der Grafik ...
  6. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der Kurve verläuft.Die Tangente der Evolute ist gleich der Normalen der Kurve.Dies soll anhand des Beispiels aus dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden. Anwendungsbeispiel: Tangenten der EvoluteGegeben sei die Parabel: $0,5x^2$. Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für ...
  7. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... dass die Gradienten senkrecht (im 90° - Winkel) auf den Niveaulinien bzw. Höhenlinien liegen.Bewegung auf dem GradientenvektorUm die Punkte auf dem Gradientenvektor entlangzuwandern benötigt man die Einheitslänge. Diese wird berechnet:$ \text{grad} \ f (x,y) \cdot \frac{1}{\text{Länge}}$$(2 \ , \ 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = (0,71 \ , \ 0,71)$Einen "Schritt" auf dem Gradienten ausgehend vom Punkt $(1 \ , \ 1)$ führt uns dann zum nächsten Punkt $(1,71 ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Trigonometrische Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion
    Winkelfunktionen
    Trigonometrische Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt, dienen zur Berechnung von Winkeln in Dreiecken und in der Schwingungslehre. Hierbei bedient man sich der Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion, sowie deren Kehrwertfunktionen. Sinusfunktion: $\ f(x) = sin(x)$, Kosinusfunktion: $\ f(x) = cos(x)$, Tangensfunktion: $\ f(x) = tan(x)$, Kotangensfunktion $\ f(x) = cot(x)$Berechnung am Einheitskreis [siehe Bild]:SinusfunktionOrdinate von B:  $y=sin \alpha = |\overline{AB}|$KosinusfunktionAbszisse ...
  2. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... man die 4 Bereiche, in denen sich der jeweilige Winkel befindet, in Quadranten. Die Bereichseinteilung erfolgt mit Hilfe der Kreiszahl $\pi $. Wobei $\pi$ die Maßeinheit Radiant ist. Ausgedrückt in Bogenmaß ist $\pi$ Radiant $= 180$ Grad. Der Vollwinkel hat demnach $2\pi$ Radiant $= 360$ Grad und $\frac{\pi}{2} = 90°$.Bereich I $ = 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Bereich II $ = \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$Bereich III $ = \pi < \alpha < \frac {3}{\pi}$Bereich ...
  3. Skalarprodukt und Winkel
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.Eingeschlossener WinkelSkalarproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).$ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & \text{für} \; \; \vec{a} = \vec{0 } \; \text{oder} ...
  4. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ... $r > 0$.  Genau dann existiert ein Winkel  $\varphi$, welcher sich mit der positiven x-Achse (Polarwinkel) kennzeichen lässt:PolarkoordinatenUmformung von kartesische in polare KoordinatenWir wollen nun also einen Punkt im obigen Koordinatensystem beschreiben. Wenn wir diesen Punkt in kartesische Koordinate angeben, so verwenden wir die $x$- und $y$-Koordinaten.Wir können aber auch Polarkoordinaten verwenden, um einen Punkt im obigen Koordinatensystem anzugeben. Hier ...
  5. Zerlegung von Vektoren
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    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Vektor
    ... gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt.Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die Zerlegung des Vektors $\vec{a}$ in zwei Vektoren, ...
  6. Das Vektorprodukt
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Vektorprodukt
    ... außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms.Lösung: Berechnung des Vektorprodukts$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (1 \cdot 2) - (3 \cdot 0) \\ (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2)  \\ (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} ...
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