Technische Mechanik 1: Statik

  1. Resultierende analytisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen
    ... Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden.Es wird zunächst gezeigt wie man zwei Kräfte, die durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen, zu einer einzigen Resultierenden zusammenfassen kann. Danach werden mehrere Kräfte behandelt die ebenfalls alle durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen und aufgezeigt wie man diese Kräfte durch eine einzige Resultierende ersetzen kann. 
  2. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Dreieck
    ... Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Rechtwinklinge Überlagerung zweier KräfteIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                         Satz des PythagorasIn der obigen ...
  3. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Krftezerlegung
    ... existieren Kräfte die mit einem bestimmten Winkel auf das Bauteil (z.B. Balken) wirken. Diese Kräfte müssen mittels Kräftezerlegung zunächst in ihre $x$- und $y$- Komponenten zerlegt werden. In der nachfolgenden Grafik ist die Kraft $F$ gegeben. Diese besitzt einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, nämlich den Winkel $\alpha$. Diese Kraft wird nun in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt.Kräftezerlegung - KomponentendarstellungIn der Grafik wurde die Einzelkraft ...
  4. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Beispiel: Krftegleichgewicht im Raum
    ... $x, \; y $ und $z$ hinzugefügt sowie die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.Aufstellung der GleichgewichtsbedingungenAus dem gezeichneten Kräfteplan ist es möglich die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Hierzu werden alle Zugkräfte oder Druckkräfte, sowie die Schwerkraft $ G $ entsprechend ihrer Wirkrichtungen und unter Verwendung der zugehörigen Winkel $\alpha, \beta, \gamma $ in die jeweilige Gleichgewichtsbedingung eingetragen.x-Achse$\sum ...
  5. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$Die Resultierende lag dann im gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte bzw. ihrer Wirkungslinien.In diesem Kapitel tritt nun der Fall auf, dass sich die Wirkungslinien der Einzelkräfte nicht mehr in einem Punkt schneiden und die Lage der Resultierenden somit nicht sofort bekannt ist. Der Betrag und die Richtung der Resultierenden wird auch hier gemäß der obigen Formeln bestimmt, allerdings muss für ...
  6. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... die Kräfte $F_1$ bis $F_4$ wirken. Die Winkel kann man sich aufgrund der Längen gut ableiten. Die untere Seite beträgt $2a$ und die Höhe des Dreiecks $a$. Durch Hinzufügen der Höhe $h = a$ in der Mitte des Dreiecks werden aus diesem zwei Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel (90°) und damit jeweils zwei 45° Winkeln (insgesamt 180°). Die Winkel betragen beide 45°, da die Höhe $a$ beträgt und die untere Seite ebenfalls $a$ beträgt.Bestimmung ...
  7. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze:Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet:$\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$verkürzt: $W_1 + S \cos (120°) - W_2 = 0$Die Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung lautet:$\uparrow : W_1 \sin (0°) + S \sin (120°) + W_2 \sin (180°) + G \sin (270°) = 0$verkürzt: $ S \sin (120°) - G = 0$Berechnung der Abstände ...
  8. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Beispiel Stabkrfte Krftezerlegung
    ... zerlegt werden. Wir kenne nicht den Winkel der Seilkraft zur Horizontalen bzw. Vertikalen, aber die Steigung ist gegeben. Aus der Steigung kann mittels Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck der Winkel berechnet werden:Winkel berechnenMittels Tangens können wir den Winkel $\alpha$ zur Horizontalen bestimmen. Auflösen nach $\alpha$ ergibt:$tan(\alpha) = \frac{2}{5}$                  |$\cdot arctan$$\alpha = arctan(\frac{2}{5})$$\alpha ...
  9. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt gerade Linie
    ... auf DEG eingestellt berechnet er das Winkelmaß, bei RAD das Bogenmaß).Umrechnung von Bogenmaß in Winkelmaß:Bogenmaß $\cdot \frac{360°}{2\pi}$$x_s = R \frac{[ \sin (\frac{\pi}{4}) - \sin (-\frac{\pi}{4}) ]}{[ \frac{\pi}{4} - -\frac{\pi}{4}]} $Ersetzen von Bogenmaß durch Winkelmaß bei der Sinusberechnung, wenn der Taschenrechner das Bogenmaß nicht berechnet:$x_s = R \frac{[ \sin (45°) - \sin (-45°) ]}{[ \frac{\pi}{4} ...
  10. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen. Beispiel: Bestimmung der LagerreaktionenZur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y = 0$ und $M = 0$. Es müssen alle von außen wirkenden Kräfte, die auf den Balken wirken, berücksichtigt werden. Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes das Freikörperbild ...
  11. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... nicht bekannt ist. Dieser kann aber mittels Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck bestimmt werden. Gegeben ist die Abmessung $b = 0,5m$ (Hypotenuse) und der Winkel $\alpha = 35°$. Die blaue Linie ist der senkrechte Abstand der Kraft $F$ (Hebelarm) und stellt die Ankathete dar. Die folgende Formel gilt:$\cos (35°) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Ankathete}}{0,5 m}$Umstellen nach der Ankathete:$\text{Ankathete} = \cos(35°) \cdot 0,5m$Dies ist also ...
  12. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel: Ritterschnittverfahren
    ... =0$ und $R_y = 0$Berechnung der StäbeDer Winkel von 45° ergibt sich aus den Abmessungen des Fachwerks. Als nächstes werden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt:$\rightarrow : \; S_{12} + S_{14} \cdot \cos(45°) = 0$$\uparrow : \; A + S_{14} \cdot \cos(45°) = 0$Aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingungen kann $S_{14}$ berechnet werden:$S_{14} = -\frac{A}{\cos(45°)} = -\frac{14 kN}{\cos(45°)} = -19,80 kN$Danach kann aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung ...
  13. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... Schnittgrößen, wenn eine Kraft mit Winkel am Balken angreift!Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise:1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist.2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte.3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, ...
  14. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Verteilte Last Gleichgewichtsbedinungen
    ... $q_0 = \frac{4F}{l}$ und der Kraft $F$ mit dem Winkel $30°$ zur Horizontalen. Bestimmen Sie(a) die Lagerreaktionen(b) die Schnittgrößen $Q$, $N$ und $M$.(a) Zunächst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Hierzu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dafür muss die Last $q_0$ (ein einziger Pfeil der Streckenlast) mit der gesamten Strecke, auf welche die Last wirkt, multipliziert werden: $q_0 \cdot 3l$. Diese Kraft wird in den Schwerpunkt der Streckenlast ...
  15. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgren am Rahmen Punkte
    ... Tragwerke von starr miteinander verbundenen abgewinkelten Balken. Jedoch gilt zu beachten, dass in diesem Abschnitt nur Rahmen mit geraden Rahmenteilen betrachtet werden, und Bögen davon ausgenommen sind. Die Bestimmung der Schnittgrößen am Rahmen erfolgt punktweise, dh. es werden Punkte am Rahmen gewählt aus deren Gleichgewicht am geschnittenen Rahmen die Schnittgrößen bestimmt werden können. Die Punkte werden an Auflagern, an Knicken und Verzweigungen ...
  16. Beispiel: Kippender Stuhl
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen > Beispiel: Kippender Stuhl
    Kippender Stuhl Student Beispiel Schnittgren
    ... werden. Diese steht immer senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Schnittfläche. Man legt nun wieder die Kräfte $A_y$ und $A_x$ mit ihren Anteilen in Richtung der Normalkraft:$\nwarrow : N + A_y \cdot \cos(12°) - A_x \cdot \sin(12°) = 0$$N = -400 N\cdot \cos(12°) + 88,89 N \cdot \sin(12°) $$N = -372,78 N$Biegemoment bestimmenDas Biegemoment ist immer abhängig davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. In diesem Beispiel soll der Biegemomentverlauf berechnet ...
  17. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    SChnittgren am Bogen Koordinatensystem
    ... vertikal und horizontal, sondern besitzen einen Winkel.Querkraft und Normalkraft am BogenDie Normalkraft wirkt immer in Richtung der positiven $x$-Achse am positiven Schnittufer. Die Querkraft wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:Schnittgrößen am Bogen: KoordinatensystemDer Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) ...
  18. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... Bauteil aus mehreren zueinander abgewinkelten Bestandteilen, so sollte jedes Teilstück mit einem eigenen Koordinatensystem versehen werden.   
  19. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... NHDie Richtung der Resultierenden wird mit dem Winkel $\varphi$ angegeben und berechnet sich durch:$\tan \varphi = \frac{H}{N}$.Im Grenzfall für $H_0$ wird der Grenzwinkel zu $\rho_0$ mit:$\tan \rho_0 = \frac{H_0}{N} = \frac{\mu_0 \cdot N}{N} = \mu_0$.$\rho_0$ ist also der Haftungswinkel.Man kann grafisch feststellen, ob sich ein Körper in Ruhe befindet, indem man den Haftungswinkel $\rho_0$ links und rechts von der Normalkraft $N$ abträgt. Befindet sich die Resultierende $NH$ innerhalb ...
  20. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung: Beispiel
    ... $ mit $F_2 > F_1$ beidseitig belastet. Der Winkel in dem sich das Seil um die Rolle legt ist $\alpha $.  Seilreibung: BeispielUm nun eine Berechnung anstellen zu können, wird aus dem Seil ein Stück der Länge $ ds $ herausgeschnitten und dafür die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Weiter wird angenommen, dass sich die Seilkraft längs von $ ds $ um den Betrag $ dS $ ändert. Geht man jetzt davon aus, dass die Kraft $ F_2 > F_1 $ ist, das Seil also nach ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:$w'_B = -\varphi$In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet. Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des Balkens. Die Betrachtung beschränkt sich hierbei auf Schubspannungen ...
  2. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... senkrecht und ein Schnitt nicht-senkrecht (mit Winkel) zur Stabachse durchgeführt wird.
  3. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Senkrechter Schnitt am Balken
    ... der Betrachtung von unterschiedlichen Schnittwinkeln ändern. Senkrechter SchnittMan stelle sich einen Stab vor, der durch die Zugkraft $F$ belastet wird. Der Stab besitzt eine konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt der Querschnittsfläche vom Stab dar. Da man sich nicht für die äußeren Kräfte, sondern stattdessen für die Spannungen im Inneren interessiert, wird ...
  4. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Senkrechter Schnitt am Balken
    ... Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel $\alpha \not= 0° $ wird. In diesem Kurstext soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel ändern. Hierzu vergleichen wir die Spannungen die beim einem senkrechten Schnitt $\alpha = 0°$ auftreten mit den Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel $\alpha \not= 0°.Spannungen beim senkrechten SchnittSenkrechter Schnitt$\alpha ...
  5. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Spannungen im Stab konischer Stab
    ... ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als$\sigma_0 = \frac{N}{A}$Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung $\sigma_0$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu wird ein Schnitt an einer beliebigen Stelle durchgeführt und der Abstand mit $x$ bezeichnet:$\sigma_0 = \frac{N(x)}{A(x)}$Um ...
  6. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... in $y$- und $z$-Richtung stehen im rechten Winkel zur Stabachse und können mit Hilfe der Querkontraktionszahl $\nu $ beschrieben werden. Die Querkontraktionszahl ist eine dimensionslose Größe, die im elastischen Bereich konstant ist und vom belasteten Material abhängt. Oft wird auch der Name Poissonzahl oder Querdehnzahl verwendet. Sie stellt einen Bezug zur Dehnung in $x$-Richtung her. Hieraus ergeben sich zwei Gleichungen:$\epsilon_y = - \nu \epsilon_x ...
  7. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... je nach Orientierung der Schnittfläche Winkeländerungen und infolgedessen auch Schubverformungen auf, die auch Schiebungen genannt werden. Der Änderungswinkel $\gamma $ wird als Gleitwinkel bezeichnet.Hookesches Gesetz für SchubverformungDer oben genannte Zusammenhang von Schubspannung $\tau $ und der Schubverformung $\gamma $ lässt sich durch das Hookesche Gesetz für Schubverformung beschreiben:Hookesche Gesetz für Schubverformung $\tau = G \cdot \gamma ...
  8. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabzweischlag
    ... $l_2 = \frac{l}{\cos (\alpha)}$ (siehe Winkelberechnung eines Dreiecks).Es ist ersichtlich, dass der Stab $S_1$ länger wird (positive Längenänderung $\triangle l_1$) und dass der Stab $S_2$ kürzer wird (negative Längenänderung $\triangle l_2$).VerschiebungAls nächstes soll die Verschiebung des Knotens $K_2$ in vertikale und in horizontale Richtung betrachtet werden. Dies kann man anhand einer Skizze berechnen. Man weiß nun, dass der Stab $S_1$ sich ...
  9. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Dreistab-Problem
    ... folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel $\alpha$. Der Stab $S_1$ hat dieselbe Länge wie der Stab $S_3$, also $l_1 = l_3$. An diese drei Stäbe greift im Knoten $K$ die Kraft $F$ an. Die Dehnsteifigkeit aller Stäbe sei gleich, so dass gilt $E_1A_1 = E_2A_2 = E_3A_3 = EA$. Dreistab-ProblemGleichgewichtsbedingungenZunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten Körper aufgestellt:$\rightarrow : S_3 \cdot \sin (\alpha) - S_1 \cdot \sin (\alpha) ...
  10. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    EBZ Transformation Scheibe
    ... welchen Einfluss die Änderung des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $ Es wird nun der Einfluss der ...
  11. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    image
    ... MPa$.Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $65°$ zur $x$-Achse!Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen ...
  12. Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Beispiel verschiedene Schnittrichtungen
    ... b-b gegeben:Der Schnitt b-b ist im 135°-Winkel zur x-Achse gegeben. Bei der Koordinatentransformation legt man nun die neue gedrehte $y^*$-Achse durch diesen Schnitt. Die neue $x^*$-Achse liegt dabei senkrecht zur $y^*$-Achse. Bei einem Schnitt von 135° zur x-Achse liegt das neue $x^*, y^*$-Koordinatensystem im Gegensatz zum $x,y$-Koordinatensystem um 45° im Uhrzeigersinn gedreht vor. Da IM Uhrzeigersinn gedreht wird, ist $\alpha = -45°$. Die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt ...
  13. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ESZ Sonderflle Zug/Druck
    ... Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung vonführt zu:$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$$\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $$\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha)$$\tau_{x^*y^*} ...
  14. Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen
    ... sowie die dazugehörige Hauptrichtung (Winkel), sowie die Hauptschubspannung und der Winkel, bei dem die Hauptschubspannung auftritt, hergeleitet. Danach erfolgt eine Zusammenfassung der Gleichungen für die Hauptspannungen und zum Schluss ein ausführliches Beispiel für die Anwendung dieser Gleichungen.
  15. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Hauptspannungen Normalspannung
    ... abhängig von der Schnittrichtung, also vom Winkel. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Winkel, für welchen die Spannungen Extremwerte annehmen.In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe Grafik b). Dazu wird folgendermaßen vorgegangen:1. Ableitung von $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$ nach $\alpha$ und Nullsetzen dieser. 2. Den ...
  16. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... folgt die Herleitung der Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptschubspannung, danach werden die Hauptschubspannungen hergeleitet. Zum Abschluss werden die benötigten Formeln nochmals zusammengefasst.Herleitung der Hauptrichtung für die HauptschubspannungWie im vorherigen Abschnitt zur Bestimmung der Normalspannungen, erfolgt auch die Berechnung der Hauptschubspannungen unter Bildung der ersten Ableitung aus der Ausgangsgleichung $\tau_{x^*y^*}$.$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Gradient einfach berechnen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... dass die Gradienten senkrecht (im 90° - Winkel) auf den Niveaulinien bzw. Höhenlinien liegen.Bewegung auf dem GradientenvektorUm die Punkte auf dem Gradientenvektor entlangzuwandern benötigt man die Einheitslänge. Diese wird berechnet:$ \text{grad} \ f (x,y) \cdot \frac{1}{\text{Länge}}$$(2 \ , \ 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = (0,71 \ , \ 0,71)$Einen "Schritt" auf dem Gradienten ausgehend vom Punkt $(1 \ , \ 1)$ führt uns dann zum nächsten Punkt $(1,71 ...
  2. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom Koordinatenursprung hin zum Punkt geht) zur positiven $x$-Achse abgetragen.Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in kartesische Koordinaten ...
  3. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... -\sin t, \\  \cos t \end {array}\right)$2. Winkel bestimmenIm Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$:$(r \cos t, \ r \sin t):$$t = 1 \cdot \cos^{-1} (0,8)$bzw.$t = 1 \cdot \sin^{-1} (0,6)$:$t \approx 36,8$3. Tangentenvektor berechnenDer Tangentenvektor im Punkt $P(0,8 | 0,6)$ ist demnach:$\vec{t} = (- \sin (t), \ \cos (t)) \ \rightarrow \ \vec{t} = (- \sin (36,8), \ \cos (36,8))$$\vec{t} = (-0,6, \ 0,8)$ TangentenvektorTangentenvektorDer Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und ...
  4. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    ... \ \rightarrow \ (- \cos t | - \sin t)$2. Winkel bestimmenIm Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$:$(r \cos t, \ r \sin t) \rightarrow t = 1 \cdot \text{argcos} (0,8)$bzw.$t = 1 \cdot \text{argsin} (0,6)$:$t \approx 36,8$3. Normalenvektor berechnenIm Punkt $(0,8 | 0,6)$ mit dem Winkel $t = 36,8°$ ist der Normalenvektor:$\vec{n} = (- \cos t, \ - \sin t) \ \rightarrow \ \vec{n} = (- \cos (36,8), \ - \sin (36,8))$$\vec{n} = (-0,8, \ -0,6)$  NormalenvektorNormalenvektorIn der Grafik ...
  5. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der Kurve verläuft.Die Tangente der Evolute ist gleich der Normalen der Kurve.Dies soll anhand des Beispiels aus dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden. Anwendungsbeispiel: Tangenten der EvoluteGegeben sei die Parabel: $0,5x^2$. Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für ...
  6. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... \\ 0 \end{pmatrix}$Als nächstes wird der Winkel $t$ benötigt:Dies kann man entweder aus $\cos (t) \; \rightarrow t = \text{argcos}(0,8) = 36,8°$Oder aus $\sin (t) \; \rightarrow t = \text{argsin} (0,6) = 36,8°$Jetzt kann man den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$ bestimmen:$\vec{n} (0,8|0,6|1) = \begin{pmatrix} -\cos (36,8) \\ -\sin (36,8) \\ 0 \end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \\ 0 \end{pmatrix}$Orthogonal zum TangenteneinheitsvektorDer Hauptnormalenvektor ...
  7. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation}$$f(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) = \frac{r^2 \cos^2 (\varphi) \cdot r \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.Eingeschlossener WinkelSkalarproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).$ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & \text{für} \; \; \vec{a} = \vec{0 } \; \text{oder} ...
  2. Zerlegung von Vektoren
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Vektor
    ... gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt.Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die Zerlegung des Vektors $\vec{a}$ in zwei Vektoren, ...
  3. Das Vektorprodukt
    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Vektorprodukt
    ... außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms.Lösung: Berechnung des Vektorprodukts$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (1 \cdot 2) - (3 \cdot 0) \\ (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2)  \\ (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} ...
  4. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ... $r > 0$.  Genau dann existiert ein Winkel  $\varphi$, welcher sich mit der positiven x-Achse (Polarwinkel) kennzeichen lässt:PolarkoordinatenUmformung von kartesische in polare KoordinatenWir wollen nun also einen Punkt im obigen Koordinatensystem beschreiben. Wenn wir diesen Punkt in kartesische Koordinate angeben, so verwenden wir die $x$- und $y$-Koordinaten.Wir können aber auch Polarkoordinaten verwenden, um einen Punkt im obigen Koordinatensystem anzugeben. Hier ...
  5. Trigonometrische Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion
    Winkelfunktionen
    Trigonometrische Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt, dienen zur Berechnung von Winkeln in Dreiecken und in der Schwingungslehre. Hierbei bedient man sich der Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion, sowie deren Kehrwertfunktionen. Sinusfunktion: $\ f(x) = sin(x)$, Kosinusfunktion: $\ f(x) = cos(x)$, Tangensfunktion: $\ f(x) = tan(x)$, Kotangensfunktion $\ f(x) = cot(x)$Berechnung am Einheitskreis [siehe Bild]:SinusfunktionOrdinate von B:  $y=sin \alpha = |\overline{AB}|$KosinusfunktionAbszisse ...
  6. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... man die 4 Bereiche, in denen sich der jeweilige Winkel befindet, in Quadranten. Die Bereichseinteilung erfolgt mit Hilfe der Kreiszahl $\pi $. Wobei $\pi$ die Maßeinheit Radiant ist. Ausgedrückt in Bogenmaß ist $\pi$ Radiant $= 180$ Grad. Der Vollwinkel hat demnach $2\pi$ Radiant $= 360$ Grad und $\frac{\pi}{2} = 90°$.Bereich I $ = 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Bereich II $ = \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$Bereich III $ = \pi < \alpha < \frac {3}{\pi}$Bereich ...
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Strömungslehre

  1. Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    Hydrostatik > Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    Druckkrfte auf eben geneigte Flchen Beispiel
    ... Druckkraft steht immer senkrecht (im 90°-Winkel) auf der betrachteten Fläche. Die Wirkungslinie dieser Resultierenden schneidet die betrachtete eben geneigte Fläche im Druckmittelpunkt $D$. Dieser Druckmittelpunkt liegt stets tiefer als der Schwerpunkt der betrachteten Fläche. Wie sich der Druckmittelpunkt berechnet ist immer abhängig von dem Koordinatensystem. Im Folgenden wird gezeigt, wie man die Horizontalkraft, die Vertikalkraft, die Resultierenden sowie deren Wirkungslinien ...
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