Technische Mechanik 1: Statik

  1. Betrag, Richtung und Angriffspunkt einer Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Betrag, Richtung und Angriffspunkt einer Kraft
    Wirkungslinie und Richtungssinn
    ... noch in horizontale Richtung, so gibt man den Winkel $\alpha$ der Kraft zur Horizontalen an. Es ist möglich die Abweichung der Wirkungslinie von der Horizontalen durch einen Winkel zu bestimmen. In der obigen Grafik wird also die Kraft $F$ mit dem Winkel $\alpha$ zur Horizontalen in die Richtung des Pfeils angebracht, um das Gewicht $G$ zu halten. AngriffspunktZuletzt erfolgt die Beschreibung des Angriffspunkts. Dieser gibt den Punkt auf einem Körper an, der durch eine Kraft mit ...
  2. Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    ... In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie die Winkel innerhalb des Dreiecks berechnet werden können sowie die Längen der Seiten. Wir betrachten dazu ein rechtwinkliges Dreieck:Rechtwinkliges DreieckDas rechtwinklige Dreieck weist einen rechten Winkel (=90°-Winkel) auf. Die Seite gegenüber vom rechten Winkel wird als Hypotenuse bezeichnet. Führen wir die Winkel $\alpha$ und $\beta$ ein (Bezeichnungen der Winkel sind beliebig), so können wir die anderen beiden ...
  3. Resultierende analytisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen
    ... Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden.Es wird zunächst gezeigt wie man zwei Kräfte, die durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen, zu einer einzigen Resultierenden zusammenfassen kann. Danach werden mehrere Kräfte behandelt, die ebenfalls alle durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen, und gezeigt wie man diese Kräfte durch eine einzige Resultierende ersetzen kann. 
  4. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Dreieck
    ... Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Rechtwinklinge Überlagerung zweier KräfteIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                         Satz des Pythagoras In der ...
  5. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Krftezerlegung
    ... existieren Kräfte die mit einem bestimmten Winkel auf das Bauteil (z.B. Balken) wirken. Diese Kräfte müssen mittels Kräftezerlegung zunächst in ihre $x$- und $y$- Komponenten zerlegt werden. In der nachfolgenden Grafik ist die Kraft $F$ gegeben. Diese besitzt einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, nämlich den Winkel $\alpha$. Diese Kraft wirkt also zum Teil in $x$- als auch in $y$-Richtung. Diese Kraft wird nun in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt.Kräftezerlegung ...
  6. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Krftegleichgewicht ermitteln
    ... $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben wirken. Erstellt man nun einen Kräfteplan, wie in der obigen Abbildung, sieht man sehr schnell, dass ein geschlossenes Krafteck vorliegt und sich das Bild im Kräftegleichgewicht befindet. Das bedeutet, dass die resultierende Kraft gleich Null ist (es besteht keine Möglichkeit eine Resultierende in das Krafteck einzufügen, da es bereits geschlossen ist). Die einzige Möglichkeit wäre zwei Kräfte ...
  7. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Beispiel: Krftegleichgewicht im Raum
    ... $x, \; y $ und $z$ hinzugefügt sowie die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.Aufstellung der GleichgewichtsbedingungenAus dem gezeichneten Kräfteplan ist es möglich die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Hierzu werden alle Zugkräfte oder Druckkräfte, sowie die Schwerkraft $ G $ entsprechend ihrer Wirkrichtungen und unter Verwendung der zugehörigen Winkel $\alpha, \beta, \gamma $ in die jeweilige Gleichgewichtsbedingung eingetragen.Gleichgewichtsbedingung ...
  8. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... und die Angabe der Richtung über den Winkel $\alpha$ wurden die folgenden Gleichungen herangezogen:$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$          Betrag der Resultierenden$\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$Die Resultierende lag dann im gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte bzw. ihrer Wirkungslinien. D.h. der Kraftangriffspunkt der Resultierenden war der gemeinsame Schnittpunkt der Wirkungslinien.In diesem Kapitel tritt nun der ...
  9. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... die Kräfte $F_1$ bis $F_4$ wirken. Die Winkel kann man sich aufgrund der Längen gut ableiten. Die untere Seite beträgt $2a$ und die Höhe des Dreiecks $a$. Durch Hinzufügen der Höhe $h = a$ in der Mitte des Dreiecks werden aus diesem zwei Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel (90°) und damit jeweils zwei 45° Winkeln (insgesamt 180°). Die Winkel betragen beide 45°, da die Höhe $a$ beträgt und die untere Seite ebenfalls $a$ beträgt.Bestimmung ...
  10. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Beispiel: Resultierende ebener Krftegruppen
    ... die Richtung der Resultierenden (Winkel) und die Lage der Resultierenden (Hebelarm) bestimmt werden.Zur Bestimmung der Resultierenden müssen zunächst die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ bestimmt werden.  $ R_x = \sum F_{ix}, \;  R_y = \sum F_{iy} $          Bestimmung der TeilresultierendenZur Bestimmung des Betrags und der Richtung der Resultierenden verwendet man die bereits bekannten Gleichungen.$\ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2},$ ...
  11. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze:Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet:$\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$verkürzt: $W_1 + S \cos (120°) - W_2 = 0$Die Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung lautet:$\uparrow : W_1 \sin (0°) + S \sin (120°) + W_2 \sin (180°) + G \sin (270°) = 0$verkürzt: $ S \sin (120°) - G = 0$Berechnung der Abstände ...
  12. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Beispiel Stabkrfte Krftezerlegung
    ... zerlegt werden. Wir kenne nicht den Winkel der Seilkraft zur Horizontalen bzw. Vertikalen, aber die Steigung ist gegeben. Aus der Steigung kann mittels Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck der Winkel berechnet werden:Winkel berechnenMittels Tangens können wir den Winkel $\alpha$ zur Horizontalen bestimmen. Auflösen nach $\alpha$ ergibt:$tan(\alpha) = \frac{2}{5}$                  |$\cdot arctan$$\alpha = arctan(\frac{2}{5})$$\alpha ...
  13. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt gerade Linie
    ... auf DEG eingestellt berechnet er das Winkelmaß, bei RAD das Bogenmaß).Umrechnung von Bogenmaß in Winkelmaß:Bogenmaß $\cdot \frac{360°}{2\pi}$$x_s = R \frac{[ \sin (\frac{\pi}{4}) - \sin (-\frac{\pi}{4}) ]}{[ \frac{\pi}{4} - -\frac{\pi}{4}]} $Ersetzen von Bogenmaß durch Winkelmaß bei der Sinusberechnung, wenn der Taschenrechner das Bogenmaß nicht berechnet:$x_s = R \frac{[ \sin (45°) - \sin (-45°) ]}{[ \frac{\pi}{4} ...
  14. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen. Beispiel: Bestimmung der LagerreaktionenZur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y = 0$ und $M = 0$. Es müssen alle von außen wirkenden Kräfte, die auf den Balken wirken, berücksichtigt werden. Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes das Freikörperbild ...
  15. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... nicht bekannt ist. Dieser kann aber mittels Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck bestimmt werden. Gegeben ist die Abmessung $b = 0,5m$ (Hypotenuse) und der Winkel $\alpha = 35°$. Die blaue Linie ist der senkrechte Abstand der Kraft $F$ (Hebelarm) und stellt die Ankathete dar. Die folgende Formel gilt:$\cos (35°) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Ankathete}}{0,5 m}$Umstellen nach der Ankathete:$\text{Ankathete} = \cos(35°) \cdot 0,5m$Dies ist also ...
  16. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Nummerierung der Knoten
    ... begonnen werden kann, müssen noch die Winkel berechnet werden. Hierzu wird das erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden:Winkel berechnenGleichgewichtsbedingungen Knoten 1Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt:Knoten 1$\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$$ 11,67 kN ...
  17. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel: Ritterschnittverfahren
    ... =0$ und $R_y = 0$Berechnung der StäbeDer Winkel von 45° ergibt sich aus den Abmessungen des Fachwerks. Als nächstes werden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt:$\rightarrow : \; S_{12} + S_{14} \cdot \cos(45°) = 0$$\uparrow : \; A + S_{14} \cdot \cos(45°) = 0$Aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingungen kann $S_{14}$ berechnet werden:$S_{14} = -\frac{A}{\cos(45°)} = -\frac{14 kN}{\cos(45°)} = -19,80 kN$Danach kann aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung ...
  18. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
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    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... Schnittgrößen, wenn eine Kraft mit Winkel am Balken angreift!Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise:1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist.2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte.3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, ...
  19. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Verteilte Last Gleichgewichtsbedinungen
    ... $q_0 = \frac{4F}{l}$ und der Kraft $F$ mit dem Winkel $30°$ zur Horizontalen. Bestimmen Sie(a) die Lagerreaktionen(b) die Schnittgrößen $Q$, $N$ und $M$.(a) Zunächst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Hierzu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dafür muss die Last $q_0$ (ein einziger Pfeil der Streckenlast) mit der gesamten Strecke, auf welche die Last wirkt, multipliziert werden: $q_0 \cdot 3l$. Diese Kraft wird in den Schwerpunkt der Streckenlast ...
  20. Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... Schwerpunkt bei 1/3 der Fläche vom rechten Winkel ausgehend.Bei einem Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte. In unserem Beispiel ist die Angabe der Lage der Schwerpunkte nur in Richtung der Balkenachse notwendig (x-Richtung).  Alternativ können hier auch die Angriffspunkte (Schwerpunkt der Streckenlast) über die Integration erfolgen:$x_S = \frac{ \int q(x) \cdot x \; dx}{\int q(x) \; dx} = \frac{ \int q(x) \cdot x \; dx}{F_q} $Dafür ist der Verlauf ...
  21. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgren am Rahmen Punkte
    ... Tragwerke von starr miteinander verbundenen abgewinkelten Balken. Jedoch gilt zu beachten, dass in diesem Abschnitt nur Rahmen mit geraden Rahmenteilen betrachtet werden, und Bögen davon ausgenommen sind. Die Bestimmung der Schnittgrößen am Rahmen erfolgt punktweise, dh. es werden Punkte am Rahmen gewählt aus deren Gleichgewicht am geschnittenen Rahmen die Schnittgrößen bestimmt werden können. Die Punkte werden an Auflagern, an Knicken und Verzweigungen ...
  22. Beispiel: Kippender Stuhl
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen > Beispiel: Kippender Stuhl
    Kippender Stuhl Student Beispiel Schnittgren
    ... werden. Diese steht immer senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Schnittfläche. Man legt nun wieder die Kräfte $A_y$ und $A_x$ mit ihren Anteilen in Richtung der Normalkraft:$\nwarrow : N + A_y \cdot \cos(12°) - A_x \cdot \sin(12°) = 0$$N = -400 N\cdot \cos(12°) + 88,89 N \cdot \sin(12°) $$N = -372,78 N$Biegemoment bestimmenDas Biegemoment ist immer abhängig davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. In diesem Beispiel soll der Biegemomentverlauf berechnet ...
  23. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    SChnittgren am Bogen Koordinatensystem
    ... vertikal und horizontal, sondern besitzen einen Winkel.Querkraft und Normalkraft am BogenDie Normalkraft wirkt immer in Richtung der positiven $x$-Achse am positiven Schnittufer. Die Querkraft wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:Schnittgrößen am Bogen: KoordinatensystemDer Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) ...
  24. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... Bauteil aus mehreren zueinander abgewinkelten Bestandteilen, so sollte jedes Teilstück mit einem eigenen Koordinatensystem versehen werden.   
  25. Definition der Arbeit
    Arbeit > Definition der Arbeit
    Arbeit eines Kraftvektors, infinitesimal, Arbeit, Verschiebung
    ... {F}, d\vec {r})$ Der eingeschlossenen Winkel zwischen den beiden Vektoren sei \sphericalangle (\vec {F}, d\vec {r}) = \alpha$. Damit ergibt sich die Arbeit zu:$dW = |\vec {F}| |d\vec{r}| \cos (\alpha)$Die Arbeit ist also das Produkt aus der Kraftkomponente $F \cos (\alpha)$ in Richtung des Weges multipliziert mit dem  Weg $dr$. Für die Berechnung der Arbeit geht also nur diejenige Kraftkomponente ein, die in Richtung des Weges gerichtet ist. Stehen Kraft und Weg senkrecht ...
  26. Prinzip der virtuellen Arbeit: Lagerkräfte
    Arbeit > Arbeitssatz > Prinzip der virtuellen Arbeit: Lagerkräfte
    Prinzip der virtuellen Arbeit, Bindungen lsen
    ... Lagern $A$ und $B$ gezeichnet und im rechten Winkel unter Beachtung des Drehsinns die Verschiebung der Lager vorgenommen. Es ergibt sich die grün eingezeichnete Verschiebungsfigur:VerschiebungsfigurDie Verschiebungsfigur ist in grün eingezeichnet.4. Prinzip der virtuellen Arbeit anwendenPrinzip der virtuellen Arbeit anwenden Wir können jetzt das Prinzip der virtuellen Arbeit anwenden, indem wir die Verschiebung der Kräfte $4F$, $F$ und $A_x$ betrachten. Vom Hauptpol ...
  27. Beispiel: PdvA/ PdvV - Auflagerkräfte
    Arbeit > Arbeitssatz > Prinzip der virtuellen Arbeit: Lagerkräfte > Beispiel: PdvA/ PdvV - Auflagerkräfte
    Prinzip der virtuellen Arbeit - Beispiel
    ... (2) - eine senkrechte Verschiebung (im 90°-Winkel) der Ecke zur gestrichelten Linie. Der neue Eckpunkt ist dabei grün markiert. Die rote Linie ist dabei der Abstand um welchen sich die Ecke verschiebt.Danach gehen wir vom Pol (2) zum Gelenk (gestrichelte Linie). Auch hier erfolgt eine senkreckte Verschiebung (zur gestrichelten Linie). Neuer Gelenkpunkt ist ebenfalls grün markiert.Das Festlager selber bewegt sich nicht, weil es keine Bewegung zulässt (nur Verdrehungen). Wir haben ...
  28. Prinzip der virtuellen Arbeit: Schnittgrößen
    Arbeit > Arbeitssatz > Prinzip der virtuellen Arbeit: Schnittgrößen
    Prinzip der virtuellen Arbeit, Momentenverlauf
    ... die Scheibe I vom Hauptpol (1) ausgehend um den Winkel $\delta \varphi$ in einer Rechtsdrehung. Das Gelenk verschiebt sich vertikal nach unten. Damit dreht sich auch die Scheibe II (linksdrehend, also genau entgegengesetzt) um einen Winkel $\delta \vartheta$. Die Winkel sind unterschiedlich. Würde das Gelenk genau in der Mitte der beiden Lager liegen, so wären beide Winkel identisch. Das Gelenk wird aber irgendwo in Abhängigkeit von $x$ zwischen den Lagern angebracht. Wird das ...
  29. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... NHDie Richtung der Resultierenden wird mit dem Winkel $\varphi$ angegeben und berechnet sich durch:$\tan \varphi = \frac{H}{N}$.Im Grenzfall für $H_0$ wird der Grenzwinkel zu $\rho_0$ mit:$\tan \rho_0 = \frac{H_0}{N} = \frac{\mu_0 \cdot N}{N} = \mu_0$.$\rho_0$ ist also der Haftungswinkel.Man kann grafisch feststellen, ob sich ein Körper in Ruhe befindet, indem man den Haftungswinkel $\rho_0$ links und rechts von der Normalkraft $N$ abträgt. Befindet sich die Resultierende $NH$ innerhalb ...
  30. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung: Beispiel
    ... > F_1$ beidseitig belastet werden. Der Winkel in dem sich das Seil um die Rolle legt ist $\alpha $.  Seilreibung: BeispielUm nun eine Berechnung anstellen zu können, wird aus dem Seil ein Stück der Länge $ ds $ herausgeschnitten und dafür die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Weiter wird angenommen, dass sich die Seilkraft längs von $ ds $ um den Betrag $ dS $ ändert. Geht man jetzt davon aus, dass die Kraft $ F_2 > F_1 $ ist, das Seil also nach ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:$w'_B = -\varphi$In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet. Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des Balkens. Die Betrachtung beschränkt sich hierbei auf Schubspannungen ...
  2. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... senkrecht und ein Schnitt nicht-senkrecht (mit Winkel) zur Stabachse durchgeführt wird.
  3. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Senkrechter Schnitt am Balken
    ... der Betrachtung von unterschiedlichen Schnittwinkeln ändern. Senkrechter SchnittMan stelle sich einen Stab vor, der durch die Zugkraft $F$ belastet wird. Der Stab besitzt eine konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt der Querschnittsfläche vom Stab dar. Da man sich nicht für die äußeren Kräfte, sondern stattdessen für die Spannungen im Inneren interessiert, wird ...
  4. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Senkrechter Schnitt am Balken
    ... Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel $\alpha \not= 0° $ wird. In diesem Kurstext soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel ändern. Hierzu vergleichen wir die Spannungen die beim einem senkrechten Schnitt $\alpha = 0°$ auftreten mit den Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel $\alpha \not= 0°.Spannungen beim senkrechten SchnittSenkrechter Schnitt ...
  5. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Bestimmung der Normalkraft
    ... ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als$\sigma_0 = \frac{N}{A}$Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung $\sigma_0$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu wird ein Schnitt an einer beliebigen Stelle durchgeführt und der Abstand mit $x$ bezeichnet:$\sigma_0 = \frac{N(x)}{A(x)}$Um ...
  6. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... in $y$- und $z$-Richtung stehen im rechten Winkel zur Stabachse und können mit Hilfe der Querkontraktionszahl $\nu $ beschrieben werden. Die Querkontraktionszahl ist eine dimensionslose Größe, die im elastischen Bereich konstant ist und vom belasteten Material abhängt. Oft wird auch der Name Poissonzahl oder Querdehnzahl verwendet. Sie stellt einen Bezug zur Dehnung in $x$-Richtung her. Hieraus ergeben sich zwei Gleichungen:$\epsilon_y = - \nu \epsilon_x ...
  7. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... je nach Orientierung der Schnittfläche Winkeländerungen und infolgedessen auch Schubverformungen auf, die auch Schiebungen genannt werden. Der Änderungswinkel $\gamma $ wird als Gleitwinkel bezeichnet.Hookesches Gesetz für SchubverformungDer oben genannte Zusammenhang von Schubspannung $\tau $ und der Schubverformung $\gamma $ lässt sich durch das Hookesche Gesetz für Schubverformung beschreiben:Hookesche Gesetz für Schubverformung $\tau = G \cdot \gamma ...
  8. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Beispiel: Stabzweischlag
    ... $l_2 = \frac{l}{\cos (\alpha)}$ (siehe Winkelberechnung eines Dreiecks).Es ist ersichtlich, dass der Stab $S_1$ länger wird (positive Längenänderung $\triangle l_1$) und dass der Stab $S_2$ kürzer wird (negative Längenänderung $\triangle l_2$).VerschiebungAls nächstes soll die Verschiebung des Knotens $K_2$ in vertikale und in horizontale Richtung betrachtet werden. Dies kann man anhand einer Skizze berechnen. Man weiß nun, dass der Stab $S_1$ sich ...
  9. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Zusammenhang der Stablngen
    ... folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel $\alpha$. Der Stab $S_1$ hat dieselbe Länge wie der Stab $S_3$, also $l_1 = l_3$. An diese drei Stäbe greift im Knoten $K$ die Kraft $F$ an. Die Dehnsteifigkeit aller Stäbe sei gleich, so dass gilt $E_1A_1 = E_2A_2 = E_3A_3 = EA$. Dreistab-Problem GleichgewichtsbedingungenZunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten Körper aufgestellt:$\rightarrow : S_3 \cdot \sin (\alpha) - S_1 \cdot \sin ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... dass die Gradienten senkrecht (im 90° - Winkel) auf den Niveaulinien bzw. Höhenlinien liegen.Bewegung auf dem GradientenvektorUm die Punkte auf dem Gradientenvektor entlangzuwandern benötigt man die Einheitslänge. Diese wird berechnet:$ \text{grad} \ f (x,y) \cdot \frac{1}{\text{Länge}}$$(2 \ , \ 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = (0,71 \ , \ 0,71)$Einen "Schritt" auf dem Gradienten ausgehend vom Punkt $(1 \ , \ 1)$ führt uns dann zum nächsten Punkt $(1,71 ...
  2. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom Koordinatenursprung hin zum Punkt geht) zur positiven $x$-Achse abgetragen.Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in kartesische Koordinaten ...
  3. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... -\sin t, \\  \cos t \end {array}\right)$2. Winkel bestimmenIm Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$:$(r \cos t, \ r \sin t):$$t = 1 \cdot \cos^{-1} (0,8)$bzw.$t = 1 \cdot \sin^{-1} (0,6)$:$t \approx 36,8$3. Tangentenvektor berechnenDer Tangentenvektor im Punkt $P(0,8 | 0,6)$ ist demnach:$\vec{t} = (- \sin (t), \ \cos (t)) \ \rightarrow \ \vec{t} = (- \sin (36,8), \ \cos (36,8))$$\vec{t} = (-0,6, \ 0,8)$ TangentenvektorTangentenvektorDer Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und ...
  4. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    ... \ \rightarrow \ (- \cos t | - \sin t)$2. Winkel bestimmenIm Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$:$(r \cos t, \ r \sin t) \rightarrow t = 1 \cdot \text{argcos} (0,8)$bzw.$t = 1 \cdot \text{argsin} (0,6)$:$t \approx 36,8$3. Normalenvektor berechnenIm Punkt $(0,8 | 0,6)$ mit dem Winkel $t = 36,8°$ ist der Normalenvektor:$\vec{n} = (- \cos t, \ - \sin t) \ \rightarrow \ \vec{n} = (- \cos (36,8), \ - \sin (36,8))$$\vec{n} = (-0,8, \ -0,6)$  NormalenvektorNormalenvektorIn der Grafik ...
  5. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der Kurve verläuft.Die Tangente der Evolute ist gleich der Normalen der Kurve.Dies soll anhand des Beispiels aus dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden. Anwendungsbeispiel: Tangenten der EvoluteGegeben sei die Parabel: $0,5x^2$. Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für ...
  6. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... \\ 0 \end{pmatrix}$Als nächstes wird der Winkel $t$ benötigt:Dies kann man entweder aus $\cos (t) \; \rightarrow t = \text{argcos}(0,8) = 36,8°$Oder aus $\sin (t) \; \rightarrow t = \text{argsin} (0,6) = 36,8°$Jetzt kann man den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$ bestimmen:$\vec{n} (0,8|0,6|1) = \begin{pmatrix} -\cos (36,8) \\ -\sin (36,8) \\ 0 \end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \\ 0 \end{pmatrix}$Orthogonal zum TangenteneinheitsvektorDer Hauptnormalenvektor ...
  7. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation}$$f(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) = \frac{r^2 \cos^2 (\varphi) \cdot r \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + ...
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Maschinenelemente 1

  1. Versagenshypothesen
    Berechnungsgrundlagen > Hypothesen > Versagenshypothesen
    Zugversuch mit Zugprfmaschine
    ... Die Bruchfläche verläuft in einem Winkel von 45° und die Bruchfläche steht senkrecht zur Hauptspannungsrichtung.Vermutete Schadensursache ist in beiden Fällen ein Überschreiten einer maximal zulässigen Hauptspannung.3. FallEin zugbeanspruchter Stab bricht. Die Bruchfläche verläuft in einem Winkel von 45° und die Bruchfläche verläuft parallel zur Schubspannung.4. FallEine torsionsbeanspruchte Welle bricht. Der Bruch verläuft parallel ...
  2. Smith-Diagramm für den Zugbereich - Anleitung
    Beanspruchungsfälle und Werkstoffkennwerte > Smith-Diagramm für den Zugbereich - Anleitung
    Smith-Diagramm - Aufbau
    ... $ \sigma_m $ an die X-AchseDie Winkelhalbierende ist die Mittelspannung $ \sigma_m $ vom Koordinaten-Ursprung ausgehend.Bei einer Mittelspannung $ \sigma_m = 0 $ erhält man die Wechselfestigkeit ($ \sigma_w $) des Materials. Somit liegt der Wert der Oberspannung bei $ +\sigma_w $ und der Wert der Unterspannung bei $ -\sigma_w $. Beide Punkte werden auf der Y-Achse (positiver und negativer Achsenabschnitt) abgetragen.Auf der Y-Achse und der X-Achse trägt man den werkstoffspezifischen ...
  3. Kerbwirkung und konstruktive Gestaltung
    Kerbwirkung und konstruktive Gestaltung
    Kerbwirkung an Querschnittbergngen einer Welle
    ... $ = Radius der Kerbe (Grundradius)$\beta $ = Winkel zur Senkrechten (Werkstoffoberfläche)Schema einer Kerbe mit zugehörigen GrößenWährend dem Winkel $\beta $ nur ein geringer Einfluss zukommt, haben der Radius $\zeta $ und die Kerbentiefe $\ t $ einen besonders hohen Einfluss auf die Kerbwirkung.Maßgebend für das Versagen eines Bauteils ist das Verhalten des Werkstoffs unter Kerbwirkung und der jeweilige Belastungsfall.In der nächsten Abbildung vergleichen ...
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Elektrotechnik

  1. Leistung, Leistungsfaktor, Arbeit
    Drehstrom > Einführung in die Drehstromtechnik > Leistung, Leistungsfaktor, Arbeit
    ... und$ \varphi $ für den Phasenverschiebungswinkel der Strangspannung gegen den Strangstrom.LeistungsfaktorDer Leistungsfaktor wird hingegen wieder nach der bekannten Form verwendet:Leistungsfaktor: $\lambda = \frac{P}{S} = cos \varphi $ArbeitUnter Verwendung der Gleichungen für die Leistung erhalten wir für die Wirkarbeit, die Blindarbeit und die Scheinarbeit:Wirkarbeit: $ W = P \cdot t $Blindarbeit: $ W_q = Q \cdot t $undScheinarbeit: $ W_s = S \cdot t $
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