Technische Mechanik 1: Statik

  1. Eigenschaften der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Eigenschaften der Kraft
    Eigenschaften der Kraft
    ... Wirkungslinie von der Horizontalen durch einen Winkel zu bestimmen. Der Richtungssinn ist durch den Pfeil gegeben. $G$ ist die Gewichtskraft, die durch die Schwerkraft senkrecht nach unten gezogen wird. Angriffspunkt Zuletzt erfolgt die Beschreibung des Angriffspunkts. Dieser gibt den Punkt auf einem Körper an, der durch eine Kraft mit einem bestimmten Betrag aus einer bestimmen Richtung belastet wird. Sobald sich der Angriffspunkt verschiebt, ändert sich auch die Wirkung auf den belasteten ...
  2. Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
    ... In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie die Winkel innerhalb des Dreiecks berechnet werden können sowie die Längen der Seiten.  Wir betrachten dazu ein rechtwinkliges Dreieck: Rechtwinkliges Dreieck Das rechtwinklige Dreieck weist einen rechten Winkel (=90°-Winkel) auf. Die Seite gegenüber vom rechten Winkel wird als Hypotenuse bezeichnet.  Führen wir die Winkel $\alpha$ und $\beta$ ein (Bezeichnungen der Winkel sind beliebig), so können wir die anderen beiden Seite des rechtwinkligen ...
  3. Resultierende analytisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen
    ... der Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden. Es wird zunächst gezeigt wie man zwei Kräfte, die durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen, zu einer einzigen Resultierenden zusammenfassen kann. Danach werden mehrere Kräfte behandelt die ebenfalls alle durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen und aufgezeigt wie man diese Kräfte durch eine einzige Resultierende ersetzen kann. 
  4. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    ... Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden.  WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden. Rechtwinklinge Überlagerung zweier Kräfte In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                         Satz des Pythagoras In der obigen Grafik sind zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt ...
  5. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    ... existieren Kräfte die mit einem bestimmten Winkel auf das Bauteil (z.B. Balken) wirken. Diese Kräfte müssen mittels Kräftezerlegung zunächst in ihre $x$- und $y$- Komponenten zerlegt werden.  In der nachfolgenden Grafik ist die Kraft $F$ gegeben. Diese besitzt einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, nämlich den Winkel $\alpha$. Diese Kraft wird nun in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt. Kräftezerlegung - Komponentendarstellung In der Grafik wurde die Einzelkraft $F $ in ...
  6. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    ... $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben wirken. Erstellt man nun einen Kräfteplan, wie in der obigen Abbildung, sieht man sehr schnell, dass ein geschlossenes Krafteck vorliegt und sich das Bild im Kräftegleichgewicht befindet. Das bedeutet, dass die resultierende Kraft gleich Null ist (es besteht keine Möglichkeit eine Resultierende in das Krafteck einzufügen, da es bereits geschlossen ist). Die einzige Möglichkeit wäre zwei Kräfte zu einer Resultierenden zusammen ...
  7. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Kräftegleichgewicht im Raum
    ... $x, \; y $ und $z$ hinzugefügt sowie die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen Aus dem gezeichneten Kräfteplan ist es möglich die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Hierzu werden alle Zugkräfte oder Druckkräfte, sowie die Schwerkraft $ G $ entsprechend ihrer Wirkrichtungen und unter Verwendung der zugehörigen Winkel $\alpha, \beta, \gamma $ in die jeweilige Gleichgewichtsbedingung eingetragen. x-Achse $\sum F_{ix} = 0 ...
  8. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... $\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$ Die Resultierende lag dann im gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte. In diesem Kapitel tritt nun der Fall auf, dass sich die Wirkungslinien der Einzelkräfte nicht mehr in einem Punkt schneiden und die Lage der Resultierenden somit nicht sofort bekannt ist. Der Betrag und die Richtung der Resultierenden wird auch hier gemäß der obigen Formeln bestimmt, allerdings muss für die Lage der Resultierenden eine weitere ...
  9. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... welches die Kräfte $F_1$ bis $F_4$ wirken. Die Winkel kann man sich aufgrund der Längen gut ableiten. Die untere Seite beträgt $2a$ und die Höhe des Dreiecks $a$. Durch Hinzufügen der Höhe $h = a$ in der Mitte des Dreiecks werden aus diesem zwei Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel (90°) und damit jeweils zwei 45° Winkeln (insgesamt 180°). Die Winkel betragen beide 45°, da die Höhe $a$ beträgt und die untere Seite ebenfalls $a$ beträgt. Bestimmung von Momenten 2 Nachdem ...
  10. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Resultierende ebener Kräftegruppen
    ... die Richtung der Resultierenden (Winkel) und die Lage der Resultierenden (Hebelarm) bestimmt werden. Zur Bestimmung der Resultierenden müssen zunächst die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ bestimmt werden.   $ R_x = \sum F_{ix}, \;  R_y = \sum F_{iy} $          Bestimmung der Teilresultierenden Zur Bestimmung des Betrags und der Richtung der Resultierenden verwendet man die bereits bekannten Gleichungen. $\ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2},$                   ...
  11. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    ... Punkt verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze: Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet: $\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$ verkürzt: $W_1 + S \cos (120°) - W_2 = 0$Die Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung lautet: $\uparrow : W_1 \sin (0°) + S \sin (120°) + W_2 \sin (180°) + G \sin (270°) = 0$ verkürzt: $ S \sin (120°) - G = 0$ Berechnung der Abstände h Als nächstes muss die ...
  12. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    ... zerlegt werden. Wir kenne nicht den Winkel der Seilkraft zur Horizontalen bzw. Vertikalen, aber die Steigung ist gegeben. Aus der Steigung kann mittels Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck der Winkel berechnet werden: Winkel berechnen Mittels Tangens können wir den Winkel $\alpha$ zur Horizontalen bestimmen. Auflösen nach $\alpha$ ergibt: $tan(\alpha) = \frac{2}{5}$                  |$\cdot arctan$ $\alpha = arctan(\frac{2}{5})$ $\alpha = 21,80°$ Als nächstes ...
  13. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkte
    ... auf DEG eingestellt berechnet er das Winkelmaß, bei RAD das Bogenmaß). Umrechnung von Bogenmaß in Winkelmaß: Bogenmaß $\cdot \frac{360°}{2\pi}$ $x_s = R \frac{[ \sin (\frac{\pi}{4}) - \sin (-\frac{\pi}{4}) ]}{[ \frac{\pi}{4} - -\frac{\pi}{4}]} $ Ersetzen von Bogenmaß durch Winkelmaß bei der Sinusberechnung, wenn der Taschenrechner das Bogenmaß nicht berechnet: $x_s = R \frac{[ \sin (45°) - \sin (-45°) ]}{[ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}]} $ $x_s = R \frac{\sqrt{2}}{\frac{2\pi}{4}} ...
  14. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    ... Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen.  Beispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen Zur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y = 0$ und $M = 0$. Es müssen alle von außen wirkenden Kräfte, die auf den Balken wirken, berücksichtigt werden. Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes das Freikörperbild gezeichnet werden: Freikörperbild Da ...
  15. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    ... nicht bekannt ist. Dieser kann aber mittels Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck bestimmt werden. Gegeben ist die Abmessung $b = 0,5m$ (Hypotenuse) und der Winkel $\alpha = 35°$. Die blaue Linie ist der senkrechte Abstand der Kraft $F$ (Hebelarm) und stellt die Ankathete dar. Die folgende Formel gilt: $\cos (35°) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Ankathete}}{0,5 m}$ Umstellen nach der Ankathete: $\text{Ankathete} = \cos(35°) \cdot 0,5m$ Dies ist also der ...
  16. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    ... begonnen werden kann, müssen noch die Winkel berechnet werden. Hierzu wird das erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden: Winkel berechnen Gleichgewichtsbedingungen Knoten 1 Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt: Knoten 1 $\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$ $ 11,67 kN ...
  17. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    ... und $R_y = 0$ Berechnung der Stäbe Der Winkel von 45° ergibt sich aus den Abmessungen des Fachwerks. Als nächstes werden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt: $\rightarrow : \; S_{12} + S_{14} \cdot \cos(45°) = 0$ $\uparrow : \; A + S_{14} \cdot \cos(45°) = 0$ Aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingungen kann $S_{14}$ berechnet werden: $S_{14} = -\frac{A}{\cos(45°)} = -\frac{14 kN}{\cos(45°)} = -19,80 kN$ Danach kann aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung $S_{12}$ ...
  18. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    ... der Schnittgrößen, wenn eine Kraft mit Winkel am Balken angreift! Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise: 1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist. 2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte. 3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, in denen ein Belastungswechsel ...
  19. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    ... $q_0 = \frac{4F}{l}$ und der Kraft $F$ mit dem Winkel $30°$ zur Horizontalen. Bestimmen Sie (a) die Lagerreaktionen (b) die Schnittgrößen $Q$, $N$ und $M$. (a) Zunächst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Hierzu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dafür muss die Last $q_0$ (ein einziger Pfeil der Streckenlast) mit der gesamten Strecke, auf welche die Last wirkt, multipliziert werden: $q_0 \cdot 3l$. Diese Kraft wird in den Schwerpunkt der Streckenlast gelegt, ...
  20. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgrößen am Rahmen
    ... Tragwerke von starr miteinander verbundenen abgewinkelten Balken. Jedoch gilt zu beachten, dass in diesem Abschnitt nur Rahmen mit geraden Rahmenteilen betrachtet werden, und Bögen davon ausgenommen sind.  Die Bestimmung der Schnittgrößen am Rahmen erfolgt punktweise, dh. es werden Punkte am Rahmen gewählt aus deren Gleichgewicht am geschnittenen Rahmen die Schnittgrößen bestimmt werden können. Die Punkte werden an Auflagern, an Knicken und Verzweigungen gesetzt. Wie bereits bekannt orientiert ...
  21. Beispiel: Kippender Stuhl
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen > Beispiel: Kippender Stuhl
    Beispiel: Kippender Stuhl
    ... werden. Diese steht immer senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Schnittfläche. Man legt nun wieder die Kräfte $A_y$ und $A_x$ mit ihren Anteilen in Richtung der Normalkraft: $\nwarrow : N + A_y \cdot \cos(12°) - A_x \cdot \sin(12°) = 0$ $N = -400 N\cdot \cos(12°) + 88,89 N \cdot \sin(12°) $ $N = -372,78 N$ Biegemoment bestimmen Das Biegemoment ist immer abhängig davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. In diesem Beispiel soll der Biegemomentverlauf berechnet werden, d.h. ...
  22. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    Schnittgrößen am Bogen
    ... vertikal und horizontal, sondern besitzen einen Winkel. Querkraft und Normalkraft am Bogen Die Normalkraft wirkt immer in Richtung der positiven $x$-Achse am positiven Schnittufer. Die Querkraft wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus: Schnittgrößen am Bogen: Koordinatensystem Der Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) ...
  23. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... Bauteil aus mehreren zueinander abgewinkelten Bestandteilen, so sollte jedes Teilstück mit einem eigenen Koordinatensystem versehen werden.   
  24. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung
    ... Die Richtung der Resultierenden wird mit dem Winkel $\varphi$ angegeben und berechnet sich durch: $\tan \varphi = \frac{H}{N}$. Im Grenzfall für $H_0$ wird der Grenzwinkel zu $\rho_0$ mit: $\tan \rho_0 = \frac{H_0}{N} = \frac{\mu_0 \cdot N}{N} = \mu_0$. $\rho_0$ ist also der Haftungswinkel. Man kann grafisch feststellen, ob sich ein Körper in Ruhe befindet, indem man den Haftungswinkel $\rho_0$ links und rechts von der Normalkraft $N$ abträgt. Befindet sich die Resultierende $NH$ innerhalb ...
  25. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung
    ... $ mit $F_2 > F_1$ beidseitig belastet. Der Winkel in dem sich das Seil um die Rolle legt ist $\alpha $.   Seilreibung: Beispiel Um nun eine Berechnung anstellen zu können, wird aus dem Seil ein Stück der Länge $ ds $ herausgeschnitten und dafür die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Weiter wird angenommen, dass sich die Seilkraft längs von $ ds $ um den Betrag $ dS $ ändert. Geht man jetzt davon aus, dass die Kraft $ F_2 > F_1 $ ist, das Seil also nach links gezogen wird, ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... senkrecht und ein Schnitt nicht-senkrecht (mit Winkel) zur Stabachse durchgeführt wird.
  2. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    ... der Betrachtung von unterschiedlichen Schnittwinkeln ändern.  Senkrechter Schnitt Man stelle sich einen Stab vor, der durch die Zugkraft $F$ belastet wird. Der Stab besitzt eine konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt der Querschnittsfläche vom Stab dar. Da man sich nicht für die äußeren Kräfte, sondern stattdessen für die Spannungen im Inneren interessiert, wird nach dem Schnittprinzip der Stab in zwei ...
  3. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    ... Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel $\alpha \not= 0° $ wird. In diesem Kurstext soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel ändern. Hierzu vergleichen wir die Spannungen die beim einem senkrechten Schnitt $\alpha = 0°$ auftreten mit den Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel $\alpha \not= 0°. Spannungen beim senkrechten Schnitt Senkrechter Schnitt $\alpha = 0° ...
  4. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    ... ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als $\sigma_0 = \frac{N}{A}$ Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung $\sigma_0$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu wird ein Schnitt an einer beliebigen Stelle durchgeführt und der Abstand mit $x$ bezeichnet: $\sigma_0 = \frac{N(x)}{A(x)}$ Um ...
  5. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... in $y$- und $z$-Richtung stehen im rechten Winkel zur Stabachse und können mit Hilfe der Querkontraktionszahl $\nu $ beschrieben werden. Die Querkontraktionszahl ist eine dimensionslose Größe, die im elastischen Bereich konstant ist und vom belasteten Material abhängt. Oft wird auch der Name Poissonzahl oder Querdehnzahl verwendet. Sie stellt einen Bezug zur Dehnung in $x$-Richtung her. Hieraus ergeben sich zwei Gleichungen: $\epsilon_y = - \nu \epsilon_x = - \frac{\nu}{E} \sigma_x$ ...
  6. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... treten je nach Orientierung der Schnittfläche Winkeländerungen und infolgedessen auch Schubverformungen auf, die auch Schiebungen genannt werden. Der Änderungswinkel $\gamma $ wird als Gleitwinkel bezeichnet. Hookesches Gesetz für Schubverformung Der oben genannte Zusammenhang von Schubspannung $\tau $ und der Schubverformung $\gamma $ lässt sich durch das Hookesche Gesetz für Schubverformung beschreiben: Hookesche Gesetz für Schubverformung  $\tau = G \cdot \gamma \rightarrow $ ...
  7. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... Länge $l_2 = \frac{l}{\cos (\alpha)}$ (siehe Winkelberechnung eines Dreiecks). Es ist ersichtlich, dass der Stab $S_1$ länger wird (positive Längenänderung $\triangle l_1$) und dass der Stab $S_2$ kürzer wird (negative Längenänderung $\triangle l_2$). Verschiebung Als nächstes soll die Verschiebung des Knotens $K_2$ in vertikale und in horizontale Richtung betrachtet werden. Dies kann man anhand einer Skizze berechnen. Man weiß nun, dass der Stab $S_1$ sich verlängert (man zeichnet ...
  8. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    ... die folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel $\alpha$. Der Stab $S_1$ hat dieselbe Länge wie der Stab $S_3$, also $l_1 = l_3$. An diese drei Stäbe greift im Knoten $K$ die Kraft $F$ an. Die Dehnsteifigkeit aller Stäbe sei gleich, so dass gilt $E_1A_1 = E_2A_2 = E_3A_3 = EA$.  Dreistab-Problem Gleichgewichtsbedingungen Zunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten Körper aufgestellt: $\rightarrow : S_3 \cdot \sin (\alpha) - S_1 \cdot \sin (\alpha) = 0$ Daraus ...
  9. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    ... welchen Einfluss die Änderung des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben.  Drehung des Koordinatensystems Dazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet: Die resultierende Spannungsmatrix ist:  $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $  Es wird nun der Einfluss der Drehung ...
  10. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Beispiel 1: Koordinatentransformation
    ... MPa$. Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $65°$ zur $x$-Achse! Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel ...
  11. Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Beispiel 2: Koordinatentransformation
    ... b-b gegeben: Der Schnitt b-b ist im 135°-Winkel zur x-Achse gegeben. Bei der Koordinatentransformation legt man nun die neue gedrehte $y^*$-Achse durch diesen Schnitt. Die neue $x^*$-Achse liegt dabei senkrecht zur $y^*$-Achse. Bei einem Schnitt von 135° zur x-Achse liegt das neue $x^*, y^*$-Koordinatensystem im Gegensatz zum $x,y$-Koordinatensystem um 45° im Uhrzeigersinn gedreht vor. Da IM Uhrzeigersinn gedreht wird, ist $\alpha = -45°$. Die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt gelten ...
  12. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ... Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung): Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung von führt zu: $\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$ $\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$ Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$ $\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $ $\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha)$ $\tau_{x^*y^*} ...
  13. Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen
    ... sowie die dazugehörige Hauptrichtung (Winkel), sowie die Hauptschubspannung und der Winkel, bei dem die Hauptschubspannung auftritt, hergeleitet. Danach erfolgt eine Zusammenfassung der Gleichungen für die Hauptspannungen und zum Schluss ein ausführliches Beispiel für die Anwendung dieser Gleichungen.
  14. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    ... abhängig von der Schnittrichtung, also vom Winkel. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Winkel, für welchen die Spannungen Extremwerte annehmen. In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe Grafik b). Dazu wird folgendermaßen vorgegangen: 1. Ableitung von $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$ nach $\alpha$ und Nullsetzen dieser.  2. Den ermittelten ...
  15. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... folgt die Herleitung der Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptschubspannung, danach werden die Hauptschubspannungen hergeleitet. Zum Abschluss werden die benötigten Formeln nochmals zusammengefasst. Herleitung der Hauptrichtung für die Hauptschubspannung Wie im vorherigen Abschnitt zur Bestimmung der Normalspannungen, erfolgt auch die Berechnung der Hauptschubspannungen unter Bildung der ersten Ableitung aus der Ausgangsgleichung $\tau_{x^*y^*}$. $\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x ...
  16. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ... für die Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung zusammengefasst. Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung) $ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $ Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$       Es existieren zwei Winkel, für welche die obige Gleichung erfüllt ist. Einmal der ermittelte Winkel $\alpha^*$ und ...
  17. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Beispiel 1: Hauptspannungen
    ... (1) Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $55°$ zur $x$-Achse! (2) Bestimme die Hauptspannungen (Hauptnormalspannungen) und die Hauptrichtungen! (3) Bestimme die Hauptschubspannungen und die Schnittrichtungen! (1) Spannungen bestimmen Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben: $r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$ Polarkoordinatendarstellung Man kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom Koordinatenursprung hin zum Punkt geht) zur positiven $x$-Achse abgetragen. Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in kartesische ...
  2. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... -\sin t, \\  \cos t \end {array}\right)$ 2. Winkel bestimmen Im Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$: $(r \cos t, \ r \sin t):$ $t = 1 \cdot \cos^{-1} (0,8)$ bzw. $t = 1 \cdot \sin^{-1} (0,6)$: $t \approx 36,8$ 3. Tangentenvektor berechnen Der Tangentenvektor im Punkt $P(0,8 | 0,6)$ ist demnach: $\vec{t} = (- \sin (t), \ \cos (t)) \ \rightarrow \ \vec{t} = (- \sin (36,8), \ \cos (36,8))$ $\vec{t} = (-0,6, \ 0,8)$ Tangentenvektor Tangentenvektor Der Tangentenvektor hat seinen ...
  3. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Hauptnormalenvektor
    ... \ \rightarrow \ (- \cos t | - \sin t)$ 2. Winkel bestimmen Im Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$: $(r \cos t, \ r \sin t) \rightarrow t = 1 \cdot \text{argcos} (0,8)$ bzw. $t = 1 \cdot \text{argsin} (0,6)$: $t \approx 36,8$ 3. Normalenvektor berechnen Im Punkt $(0,8 | 0,6)$ mit dem Winkel $t = 36,8°$ ist der Normalenvektor: $\vec{n} = (- \cos t, \ - \sin t) \ \rightarrow \ \vec{n} = (- \cos (36,8), \ - \sin (36,8))$ $\vec{n} = (-0,8, \ -0,6)$  Normalenvektor Normalenvektor In ...
  4. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Evolvente berechnen
    ... der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der Kurve verläuft. Die Tangente der Evolute ist gleich der Normalen der Kurve. Dies soll anhand des Beispiels aus dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden.  Anwendungsbeispiel: Tangenten der Evolute Gegeben sei die Parabel: $0,5x^2$.  Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für ...
  5. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t) \\ 0 \end{pmatrix}$ Als nächstes wird der Winkel $t$ benötigt: Dies kann man entweder aus $\cos (t) \; \rightarrow t = \text{argcos}(0,8) = 36,8°$ Oder aus $\sin (t) \; \rightarrow t = \text{argsin} (0,6) = 36,8°$ Jetzt kann man den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$ bestimmen: $\vec{n} (0,8|0,6|1) = \begin{pmatrix} -\cos (36,8) \\ -\sin (36,8) \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \\ 0 \end{pmatrix}$ Orthogonal zum Tangenteneinheitsvektor Der Hauptnormalenvektor ...
  6. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist. Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation}$ $f(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) = \frac{r^2 \cos^2 (\varphi) \cdot r \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + r^2 ...
  7. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradient einfach berechnen
    ... dass die Gradienten senkrecht (im 90° - Winkel) auf den Niveaulinien bzw. Höhenlinien liegen. Bewegung auf dem Gradientenvektor Um die Punkte auf dem Gradientenvektor entlangzuwandern benötigt man die Einheitslänge. Diese wird berechnet: $ \text{grad} \ f (x,y) \cdot \frac{1}{\text{Länge}}$ $(2 \ , \ 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = (0,71 \ , \ 0,71)$ Einen "Schritt" auf dem Gradienten ausgehend vom Punkt $(1 \ , \ 1)$ führt uns dann zum nächsten Punkt $(1,71 \ , \ 1,71)$. etc. Bewegung ...
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Physik

  1. Kräftezerlegung
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Kräftezerlegung
    Kräftezerlegung
    ... in der $x,y$-Ebene liegen und damit einen Winkel zur $x$- oder $y$-Achse aufweisen. Diese Kräfte müssen dann zunächst in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt werden, um dann in die Berechnung der Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ einfließen zu können. Zwei Kräfte in der Ebene Kräftezerlegung Die obigen beiden Kräfte zeigen in $x$- und $y$-Richtung. Wir müssen diese beiden Kräfte also zunächst in ihre $x$- und $y$-Komponente zerlegen. In der nachfolgenden Grafik sind die ...
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