Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
... Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel $\alpha \not= 0° $ wird. In diesem Kurstext soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel ändern. Hierzu vergleichen wir die Spannungen die beim einem senkrechten Schnitt $\alpha = 0°$ auftreten mit den Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel $\alpha \not= 0°$.Spannungen beim senkrechten SchnittSenkrechter Schnitt ... -
Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
... die Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung zusammengefasst.Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung)$ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$ Es existieren zwei Winkel, für welche die obige Gleichung erfüllt ist. Einmal der ermittelte Winkel $\alpha^*$ ... -
Beispiel 1: Koordinatentransformation
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
... MPa$.Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $65°$ zur $x$-Achse!Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen ... -
Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
... Normalspannung und Schubspannung in einem Drehwinkel $\beta = 40°$ zur x-Achse.Zeichnung des Mohrschen SpannungskreisesZeichnen des Mohrschen Spannungskreises aus den gegebenen Werten durch Festlegung eines sinnvollen Maßstabes.Beispiel: Mohrscher SpannungskreisDer Mohrsche Spannungskreis wird wie im vorherigen Abschnitt gelernt, so eingezeichnet, dass die Punkte $P_1 (\sigma_x | \tau_{xy}) = (-30 | -10)$ und $P_2 (\sigma_y | - \tau_{xy}) = (20 | 10)$ miteinander verbunden werden. Dort ... -
Beispiel 1: Hauptspannungen
Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
... Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $55°$ zur $x$-Achse!(2) Bestimme die Hauptspannungen (Hauptnormalspannungen) und die Hauptrichtungen!(3) Bestimme die Hauptschubspannungen und die Schnittrichtungen!(1) Spannungen bestimmenWie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und ... -
Mohrscher Spannungskreis
Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
... sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt. Zunächst wird gezeigt, wie der Mohrsche Spannungskreis gezeichnet wird und die Hauptspannungen und Hauptschubspannungen abgelesen werden. Außerdem wird ausführlich beschrieben, wie die Hauptrichtungen eingezeichnet werden. Zum Schluss folgt die Herleitung der Kreisgleichung und die Zusammenfassung der wichtigsten Gleichungen. Im nächsten Abschnitt folgt ... -
Beispiel 2: Hauptspannungen
Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen
... für den Schnitt 3-3!(b) Bestimmen Sie den Winkel $\beta$ unter welchem bei einem Schnitt 4-4 die Normalspannung betragsmäßig am größten wird. Wie groß ist die Normalspannung dann?Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich wird. Es wird zunächst der Schnitt 1-1 betrachtet:Aus der Aufgabenstellung wird deutlich, dass für die Schnittrichtung 1-1 die Normalspannung $\sigma_y$ ... -
Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
... abhängig von der Schnittrichtung, also vom Winkel. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Winkel, für welchen die Spannungen Extremwerte annehmen.Drehung des Koordinatensystems In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe Grafik b). Dazu wird folgendermaßen vorgegangen:1. Ableitung von $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$ nach $\alpha$ ... -
Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
... und die Seitenlängen, sondern auch die Winkel.Verschiebungen im ebenen FallVerschiebungen treten immer dann auf, wenn ein Bauteil derart stark belastet wird, so dass es zu einer Verformung kommt. Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung. Wählt man im Vorfeld einen Punkt innerhalb jenem Teil des Bauteils, der von der Verformung betroffen ist, so erfährt dieser Punkt eine Verschiebung $ u $.Die Verschiebung $ u $ wird dargestellt ... -
Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
... folgt die Herleitung der Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptschubspannung, danach werden die Hauptschubspannungen hergeleitet. Zum Abschluss werden die benötigten Formeln nochmals zusammengefasst.Herleitung der Hauptrichtung für die HauptschubspannungWie im vorherigen Abschnitt zur Bestimmung der Normalspannungen, erfolgt auch die Berechnung der Hauptschubspannungen unter Bildung der ersten Ableitung aus der Ausgangsgleichung $\tau_{x^*y^*}$.$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} ... -
Beispiel 2: Koordinatentransformation
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
... erhalten. Eine Rechtsdrehung bedeutet, dass der Winkel negativ berücksichtigt werden muss. Die in der Aufgabenstellung gegeben Spannungen tragen wir so ab, wie diese gegeben sind. Eine Spannung zeigt senkrecht nach oben, die andere nach horizontal nach rechts. Wir vergleichen dann die Spannungen des um 90° gedrehten Ausgangskoordinatensystems mit den gegeben Spannungen und sehen, dass die Schubspannung $\tau_{xy^{aa}}$ genau entgegengesetzt gerichtet ist und damit negativ berücksichtigt ... -
Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
... $l_2 = \frac{l}{\cos (\alpha)}$ (siehe Winkelberechnung eines Dreiecks).Es ist ersichtlich, dass der Stab $S_1$ länger wird (positive Längenänderung $\triangle l_1$) und dass der Stab $S_2$ kürzer wird (negative Längenänderung $\triangle l_2$).VerschiebungAls nächstes soll die Verschiebung des Knotens $K_2$ in vertikale und in horizontale Richtung betrachtet werden. Dies kann man anhand einer Skizze berechnen. Man weiß nun, dass der Stab $S_1$ sich ... -
Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
... welchen Einfluss die Änderung des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Spannungskomponenten in der Ebene Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} ... -
Beispiel 2: Torsion bei einem Stab
Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt > Beispiel 2: Torsion bei einem Stab
... müssen wir zunächst den Verdrehwinkel an der Stelle $B$ bestimmen, mit welcher der starre Hebel verbunden ist.$ \varphi = \frac{M_t \cdot l}{G \cdot I_p}$ VerdrehwinkelDie Verdrehung an der Stelle $B$ wird nun bestimmt, indem alle Torsionsmomente um die x-Achse berücksichtigt werden. Wir beginnen am Anfang des Stabes am Lager $A$. Dort wirkt zunächst das linksdrehende Moment $M_{tA}$. Dies berücksichtigen wir ... -
Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
... ist die Drehung der y-Achse. Ist der Winkel positiv, so erfolgt eine Linksdrehung, bei einem negativen Winkel eine Rechtsdrehung. Nach der Drehung um den Winkel resultiert die Lage einer der Hauptachsen. Die andere Hauptachse liegt senkrecht dazu. 2. Resultierende äußere Kraft bestimmenGreift nur eine Kraft auf den Balken bzw. zeigen alle Kräfte in dieselbe Richtung, so zeigt auch die Resultierende in diese Richtung. Wir kennen dann bereits die Richtung ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Grundlagen der Technischen Mechanik > Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
... In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie die Winkel innerhalb des Dreiecks berechnet werden können sowie die Längen der Seiten. Wir betrachten dazu ein rechtwinkliges Dreieck:Rechtwinkliges DreieckDas rechtwinklige Dreieck weist einen rechten Winkel (=90°-Winkel) auf. Die Seite gegenüber vom rechten Winkel wird als Hypotenuse bezeichnet. Führen wir die Winkel $\alpha$ und $\beta$ ein (Bezeichnungen der Winkel sind beliebig), so können wir die anderen beiden ... -
Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
... Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Eine Einführung in die Bestimmung von Resultierenden wird hier im nachfolgenden Video gegeben:Das Video wird geladen...(resultierende) In aller Regel wird die rechtwinklige Überlagerung zweier Kräfte bei der Berechnung in statischen Systemen vorgegeben, ... -
Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
... existieren Kräfte die mit einem bestimmten Winkel auf das Bauteil (z.B. Balken) wirken. Diese Kräfte müssen mittels Kräftezerlegung zunächst in ihre $x$- und $y$- Komponenten zerlegt werden. In der nachfolgenden Grafik ist die Kraft $F$ gegeben. Diese besitzt einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, nämlich den Winkel $\alpha$. Diese Kraft wirkt also zum Teil in $x$- als auch in $y$-Richtung. Diese Kraft wird nun in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt.Kräftezerlegung ... -
Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
... $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben wirken. Erstellt man nun einen Kräfteplan, wie in der obigen Abbildung, sieht man sehr schnell, dass ein geschlossenes Krafteck vorliegt und sich das Bild im Kräftegleichgewicht befindet. Das bedeutet, dass die resultierende Kraft gleich Null ist (es besteht keine Möglichkeit eine Resultierende in das Krafteck einzufügen, da es bereits geschlossen ist). Die einzige Möglichkeit wäre zwei Kräfte ... -
Schnittgrößen am Bogen
Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
... vertikal und horizontal, sondern besitzen einen Winkel.Querkraft und Normalkraft am BogenDie Normalkraft wirkt immer in Richtung der positiven $x$-Achse am positiven Schnittufer. Die Querkraft wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:Schnittgrößen am Bogen: KoordinatensystemDer Winkel von 35° wurde übernommen. ... -
Prinzip der virtuellen Arbeit: Schnittgrößen
Arbeit > Arbeitssatz > Prinzip der virtuellen Arbeit: Schnittgrößen
... die Scheibe I vom Hauptpol (1) ausgehend um den Winkel $\delta \varphi$ im Uhrzeigersinn. Das Gelenk verschiebt sich senkrecht zur Balkenachse, also vertikal nach unten. Wir ziehen eine Linie vom Hauptpol (1) zur neuen Position des Gelenks (1,2). Betrachten wir als nächsten den Hauptpol (2) und ziehen eine Linie zur neuen Position des Gelenks (1,2), so sehen wir, dass sich zweite Scheibe gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel $\delta \vartheta$ dreht. Die Winkel sind unterschiedlich. Würde ... -
Resultierende ebener Kräftegruppen
Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
... die Richtung der Resultierenden (Winkel) und die Lage der Resultierenden (Hebelarm) bestimmt werden.Zur Bestimmung der Resultierenden müssen zunächst die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ bestimmt werden. $ R_x = \sum F_{ix}, \; R_y = \sum F_{iy} $ Bestimmung der TeilresultierendenZur Bestimmung des Betrags und der Richtung der Resultierenden verwendet man die bereits bekannten Gleichungen.$\ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2},$ ... -
Seilreibung
Reibung und Haftung > Seilreibung
... > F_1$ beidseitig belastet werden. Der Winkel in dem sich das Seil um die Rolle legt ist $\alpha $. Seilreibung: BeispielUm nun eine Berechnung anstellen zu können, wird aus dem Seil ein Stück der Länge $ ds $ herausgeschnitten und dafür die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Weiter wird angenommen, dass sich die Seilkraft längs von $ ds $ um den Betrag $ dS $ ändert. Geht man jetzt davon aus, dass die Kraft $ F_2 > F_1 $ ist, das Seil also nach ... -
Haftreibung
Reibung und Haftung > Haftreibung
... NHDie Richtung der Resultierenden wird mit dem Winkel $\varphi$ angegeben und berechnet sich durch:$\tan \varphi = \frac{H}{N}$.Im Grenzfall für $H_0$ wird der Grenzwinkel zu $\rho_0$ mit:$\tan \rho_0 = \frac{H_0}{N} = \frac{\mu_0 \cdot N}{N} = \mu_0$.$\rho_0$ ist also der Haftungswinkel.Man kann grafisch feststellen, ob sich ein Körper in Ruhe befindet, indem man den Haftungswinkel $\rho_0$ links und rechts von der Normalkraft $N$ abträgt. Befindet sich die Resultierende $NH$ innerhalb ... -
Kräftegleichgewicht im Raum
Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
... $x, \; y $ und $z$ hinzugefügt sowie die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.Aufstellung der GleichgewichtsbedingungenAus dem gezeichneten Kräfteplan ist es möglich die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Hierzu werden alle Zugkräfte oder Druckkräfte, sowie die Schwerkraft $ G $ entsprechend ihrer Wirkrichtungen und unter Verwendung der zugehörigen Winkel $\alpha, \beta, \gamma $ in die jeweilige Gleichgewichtsbedingung eingetragen.Gleichgewichtsbedingung ...
Technische Mechanik 3: Dynamik
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Gleichförmige Kreisbewegung
Kinematik eines Massenpunktes > Gleichförmige Kreisbewegung
... sehen, welcher sich zum Zeitpunkt $t_0$ an dem Winkel $\varphi_0$ befindet und die Geschwindigkeit $\vec{v}$ aufweist, welche tangential an dem Kreis in diesem Punkt liegt.Zum Zeitpunkt $t_1$ weist der Massenpunkt den Winkel $\varphi_1$ auf und besitzt die Geschwindigkeit $\vec{v}$. Wir können dann den Differenzwinkel, den der Massenpunkt überstrichen hat, bestimmen durch: $\triangle \varphi = \varphi_1 - \varphi_0$und die Zeitdifferenz, in welcher der Massenpunkt diesen Differenzwinkel ... -
Sonderfall: Kreisbewegung
Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten > Sonderfall: Kreisbewegung
... Basisvektoren stehen orthogonal (im 90°-Winkel) zueinander. Der Winkel $\varphi$ ist derjenige Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und dem Basisvektor $e_r$. Vergleicht man nun den zweiten Kreis, in welchem der Geschwindigkeitsvektor (tangential zur Bahnkurve) abgetragen ist, so sieht man deutlich, dass der Basisvektor $e_{\varphi}$ genau die selbe Richtung aufweist wie der Geschwindigkeitsvektor. Der Geschwindigkeitsvektor besitzt bei der Kreisbewegung nur eine skalare Komponente, ... -
Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss
Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss
... mit $v_{rel} = 2,5 m/s$.(a) Welchen Vorhaltewinkel muss der Bootsfahrer einhalten, damit dieser den Punkt $C$ erreicht?(b) Wie groß ist die Absolutgeschwindigkeit des Bootes?(c) Nach welcher Zeit erreicht das Boot den Punkt $C$?(a) VorhaltewinkelBei einem Vorhaltewinkel handelt es sich um einen Korrekturwinkel. Dieser muss eingenommen werden, damit das Boot den Punkt $C$ erreicht. Würde sich das Boot auf der Strecke $\overline{BC}$ ohne Korrekturwinkel bewegen (Wirkungslinie fällt ... -
Drehimpuls / Drehimpulssatz
Kinetik des Massenpunktes > Impulssatz und Impulsmomentensatz > Drehimpuls / Drehimpulssatz
... man das ganze in Abhängigkeit vom Winkel ausdrücken, so ergibt sich mit $v = r \dot{\varphi} = r \omega$:$L^{(0)} = r^2 \; m \; \omega$ Drehimpulsmit$\omega $ = WinkelgeschwindigkeitEs besteht auch hier wieder der Zusammenhang:$\frac{L^{(0)} }{dt} = M^{(0)}$Und damit:$M^{(0)} = mr^2 \; \dot{\omega} = mr^2 \; \ddot{\varphi} $ Drehimpulssatzmit$\ddot{\varphi}$ = WinkelbeschleunigungBeispiel: Drehimpuls und BeschleunigungGegeben sei ... -
Drehimpuls / Drehimpulssatz
Kinetik des Massenpunktsystems > Drehimpuls / Drehimpulssatz
... man das ganze in Abhängigkeit vom Winkel ausdrücken, so ergibt sich der Drehimpuls mit $v_i = r_i \dot{\varphi} = r_i \omega$:$L^{(0)} = \sum (r_i^2 \; \cdot \; m_i \cdot \dot{\varphi})$ Drehimpulsmit$\dot{\varphi} = \omega$ WinkelgeschwindigkeitDer Drehimpulssatz in Abhängigkeit vom Winkel ergibt sich dann zu:$\frac{dL^{(0)}}{dt} = M^{(0)} = \sum (r_i^2 \cdot m_i \cdot \ddot{\varphi})$ Drehimpulssatzmit$\ddot{\varphi} ... -
Stoßvorgänge
Kinetik des Massenpunktes > Impulssatz und Impulsmomentensatz > Stoßvorgänge
... welcher mit der Geschwindigkeit $v_0$ im Winkel von $\alpha_0$ auf eine glatte Wand auftrifft:Als nächstes wird das Freikörperbild aufgezeigt. Dieses wird für den Stoß (Massenpunkt trifft auf die Wand) gezeichnet:Da es sich um eine glatte Wand handelt, treten keine Reibungskräfte in $z$-Richtung auf. Es tritt demnach nur eine Kraft $F$ (von der Wand auf den Massenpunkt) in $x$-Richtung auf. Die Komponentendarstellung für die betrachtete $z$,$x$-Ebene lautet ... -
Rotation um eine feste Achse
Kinematik des starren Körpers > Translation/Rotation > Rotation um eine feste Achse
... in derselben Zeit den selben Drehwinkel $\varphi$. Das bedeutet, dass auch die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \frac{\varphi}{dt}$ (Ableitung des Winkels nach der Zeit) und die Winkelbeschleunigungen $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2 \varphi}{dt^2}$ (Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit) für alle Körperpunkte gleich sind. Es genügt also die Betrachtung eines Punktes auf dem starren Körper und die Bestimmung der Winkelgeschwindigkeiten und Winkelbeschleunigungen ... -
Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
... zusammenfällt. Der Winkel $\varphi$ wird dabei von der positiven $x$-Achse ausgehend positiv gezählt. Es werden die Basisvektoren $e_r$ und $e_{\varphi}$ eingeführt, welche beide orthogonal (senkrecht) zueinander stehen:In der obigen Grafik ist eine Bahnkurve (rot), welche in der $x,y$-Ebene liegt zu sehen. Der Punkt $P$ auf der Bahnkurve ist durch die $x,y$-Koordinaten festgelegt. Man kann diese nun auch durch Polarkoordinaten ersetzen, indem die Basisvektoren ...
Physik
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Skalarprodukt
Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Skalarprodukt
... vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.Unterschiedliche Winkel, SkalarproduktIn der obigen Grafik sind je zwei Vektoren gegeben mit einem eingeschlossenen Winkel $\varphi$. Links ist ein spitzer Winkel veranschaulicht, welcher durch ein positives Skalarprodukt angezeigt wird, der stumpfe Winkel rechts wird durch ein negatives Skalarprodukt gekennzeichnet.Spitzer Winkel: $0° < ... -
Konstante Vektorgeschwindigkeit
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Superpositionsprinzip > Konstante Vektorgeschwindigkeit
... $y$-Richtung ist also konstant. Mithilfe des Winkels $\varphi$ können die Geschwindigkeiten $v_x$ und $v_y$ aus dem Betrag der Geschwindigkeit $v$ bestimmt werden:$v_x = v \cdot \cos(\varphi)$$v_y = v \cdot \sin(\varphi)$Dabei ist $v = |vec{v}|$ der Betrag der Geschwindigkeit. Dieser kann mittels der folgenden Formel bestimmt werden:$v = |vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ Betrag der GeschwindigkeitWill man den WInkel $\varphi$ zwischen dem Geschwindigkeitsvektor ... -
Haftreibung
Kinetik: Ursache von Bewegungen > Beispiele für Kräfte > Haftreibung
... bestimmt werden. HaftungswinkelHaftungswinkelDer Haftungswinkel ist derjenige Winkel, bei welchem sich das System gerade noch im Gleichgewicht befindet. Betrachtet wird dabei der Winkel aus der Grenzhaftkraft $R$ zur Normalenrichtung, also nur Normalkraft. Die Grenzhaftkraft ist die Resultierende aus der Normalkraft und der Haftkraft. Da beide Kräfte in einem rechten Winkel zueinander liegen, kann die Grenzhaftkraft mittels Satz des Pythagoras ermittelt werden:$R = \sqrt{N^2 ... -
Hangantriebskraft/Normalkraft
Kinetik: Ursache von Bewegungen > Beispiele für Kräfte > Hangantriebskraft/Normalkraft
... nach unten bewegt. Je größer der Winkel $\alpha$ ist, desto größer ist die $x$-Komponente der Gewichtskraft und desto schneller bewegt sich der Körper. Dabei muss eine sogenannte Kräftezerlegung vorgenommen werden. Die senkrecht nach unten gerichtete Gewichtskraft wird dabei in eine Komponente parallel zur Kontaktfläche ($x$-Achse) und in eine Komponente senkrecht zur Kontaktfläche ($y$-Achse) zerlegt. Hierfür ist es erforderlich das ... -
Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel
... vorstellen ($x$-Richtung). Der Winkel $\varphi$ beschreibt die Auslenkung des Stabes in Bezug auf die Ruhelage. Die Gewichtskraft $F_G$ des Stabes ist vertikal nach unten gerichtet und greift im Schwerpunkt des Stabs an. Es handelt sich bei dem obigen Stab um ein physikalisches Pendel, wenn die Auslenkung $\varphi$ sehr klein ist. Wird nun der Stab um den Winkel $\varphi$ nach links ausgelenkt (in Richtung der positiven $y$-Achse), so sorgt die rücktreibende Kraft $F_R$ dafür, ... -
Bewegungsgleichungen mit Phasenverschiebung
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Bewegungsgleichungen mit Phasenverschiebung
... eine Phasenverschiebung um einen Winkel $\varphi_0$ mitberücksichtigt werden:Zeigerdiagramm: Sinus-Funktion mit PhasenverschiebungIn der obigen Grafik beginnt nun die Zeitmessung nicht in der Ruhelage. Wir müssen also die Sinusfunktion anpassen, indem wir den Winkel $\varphi_0$ berücksichtigen. Dies ist der Winkel zwischen dem Beginn der Betrachtung und der Ruhelage. Die Winkel $\varphi_1$ und $\varphi_2$ müssen bis zum Startpunkt berücksichtigt werden, also ... -
Gleichförmige Kreisbewegung
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Kreisbewegung > Gleichförmige Kreisbewegung
... Eine volle Umdrehung entspricht dabei einem Winkel von $2 \pi$ Radiant oder 360 Grad. Um die Bogenlänge $s^*$ zu bestimmen, die ein Körper auf einer Kreisbahn zurücklegt, muss der Radius des Kreises herangezogen werden:$s^* = 2 \cdot \pi \cdot r$ Bogenlänge Winkelgeschwindigkeit Bei Kreisbewegungen wird anstelle der Bahngeschwindigkeit $v$ die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ angegeben. Die Winkelgeschwindigkeit ...
Analysis und Lineare Algebra
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Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
... der folgenden Grafik siehst, existiert dann ein Winkel $\varphi$, welcher sich mit der positiven x-Achse (Polarwinkel) bilden lässt.PolarkoordinatenUmformung von kartesischen in polare KoordinatenWir wollen nun einen Punkt im obigen Koordinatensystem beschreiben. Wenn wir diesen Punkt in kartesischen Koordinaten angeben, so verwenden wir die $x$- und $y$-Koordinaten. Wir können jedoch auch Polarkoordinaten verwenden, um einen Punkt im obigen Koordinatensystem anzugeben. Hier benötigen ... -
Skalarprodukt und Winkel
Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
... vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.eingeschlossener WinkelSkalarproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).Für die Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht bekannt sein muss:Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = ... -
Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
... < 2 \, \pi$Quadranten des EinheitskreisesWinkel die im Uhrzeigersinn überstrichen werden, sind negativ, Winkel die gegen den Uhrzeigersinn überstrichen werden positiv. Das Bogenmaß mit der Einheit RadiantFür die Betrachtungen am Einheitskreis verwenden wir nicht für einen Winkel nicht die Einheit Grad ($°$), welche wir für gewöhnlich zur Winkelberechnung benutzen. Am Einheitskreis verwenden wir zur Angabe eines Winkels das Bogenmaß mit der ... -
Beziehungen trigonometrischer Funktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Beziehungen trigonometrischer Funktionen
... Sinus, Kosinus, Tangens usw. eines unbekannten Winkels $\beta$ mit Hilfe eines bekannten Winkels $\alpha$ bestimmen. Die Komplementbeziehungen (lat. komplementum = Abschluss) bezeichnen die Beziehungen zweier Winkel, die addiert $90°$ ergeben:$\alpha + \beta = 90°$Ziehen wir in einem rechtwinkligen Dreieck den rechten Winkel von der Innenwinkelsumme eines Dreiecks von $180°$ ab, so sehen wir, dass die beiden anderen Winkel im rechtwinkligen Dreieck in ihrer Summe $90°$ ergeben:$180° ... -
Das Vektorprodukt
Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
... anderen Vektor, wobei hier immer der kleinere Winkel als Beurteilung gewählt wird.Im obigen Beispiel liegt Vektor $\vec{a}$ rechts von Vektor $\vec{b}$ ausgehend vom kleineren Winkel. Demnach erhält $\vec{a}$ den Zeigefinger und $\vec{b}$ den Mittelfinger. Der Daumen gibt dann die Richtung von $\vec{c}$ an und steht senkrecht auf der von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Ebene. Berechnung des VektorproduktsDie allgemeine Berechnung sieht wie folgt aus:$\vec{a} \times \vec{b} ...
Strömungslehre
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Beispiel: Stromfunktion
Ebene Strömungen > Stromfunktion > Beispiel: Stromfunktion
... obigen Punkte ein!(d) Wie groß ist der Winkel $\alpha$ (also die Richtung des Geschwindigkeitvektors) zur Komponente $w_x$ im Punkt (1,1)?(e) Berechnen Sie den Volumenstrom je Breiteneinheit zwischen den Stromlinien der oben genannten Punkte.(a) Nachweis der StromfunktionUm den Nachweis für die Stromfunktion zu erbringen, müssen zunächst die Geschwindigkeitskomponenten bestimmt werden mit:$w_x = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$,$w_y = -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$.Zunächst ... -
Druckkräfte auf eben geneigte nicht-rechteckige Flächen
Hydrostatik > Druckkräfte auf eben geneigte nicht-rechteckige Flächen
... hinzugefügt, welche einen 30°-Winkel zur Horizontalen ($x$-Achse) aufweist. Außerdem die Hilfslinie (schwarz gestrichelt), welche einen 90°-Winkel zur Türklappe aufweist, genau wie auch die Resultierende. Mit diesem Wissen kann man nun den Winkel der Resultierenden zur Vertikalkomponente (30°) und zur Horizontalkomponente (60° = 90° - 30°) ermitteln und dann die Komponenten bestimmen:$F_H = F_R \cos(60°) = F_R \sin(30°) = 479.106,03 ...
Baustatik 1
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Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
... können. Wir benötigen hierzu die Winkel von $A_v$ und $A_h$ zur Balkenachse. Um diese bestimmen zu können, betrachten wir das folgende rechtwinklige Dreieck:Trigonometrie anwenden Der Winkel $\alpha$ beträgt:$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{3m}{2m}$$\alpha = arctan (\frac{3m}{2m}) = 56,31°$Dies ist der Winkel von der Balkenachse zur Horizontalen. Da die Auflagerkraft $A_h$ eine Horizontalkraft darstellt, kann diese mit dem Winkel ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Polarkoordinatendarstellung
Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
... der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom Koordinatenursprung hin zum Punkt geht) zur positiven $x$-Achse abgetragen.Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in kartesische Koordinaten ...
- 55 Texte mit 37 Bildern
- 79 Übungsaufgaben
- und 10 Videos
Elektrotechnik
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Kirchhoff'sche Regeln bei Wechselstrom
Wechselstrom > Wechselstromkreise > Kirchhoff'sche Regeln bei Wechselstrom
... $ u_2 $ dargestellt. Die Spannungen sind um den Winkel $\varphi_{12} $ gegeneinander versetzt. Nun sollen der Effektivwert $ U $ und der Winkel $\varphi_{1u}$ der Wechselspannung $ u_1 $ bestimmt werden. Hierzu nehmen wir wieder die allgemeine Maschenregel zur Hand:$ u = u_1 + u_2 $Die Projektion eines Zeigers, dessen Betrag der Amplitude der betreffenden Wechselgröße entspricht, stellt auf der Ordinate ihren jeweiligen Augenblickwert dar. Hierfür betrachten wir die nächste ...
Webinare
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Allgemeine Kräftegruppe: Bestimmung der Resultierenden und Gleichgewichtsbedingungen
...mengefasst werden. Wie die Größe, die Richtung (Winkel) und die Lage (Angriffspunkt) der Resultierenden bestimmt werden, zeigt euch Jessica in diesem Webinar. Zur Bestimmung der Resultierenden ist es notwendig die Zerlegung von Kräften durchzuführen. Jessica zeigt euch, wie eine Kraft in ihre Teilkomponenten zerlegt wird. Innerhalb der Statik befinden sich die betrachteten Körper in Ruhe. Ein Körper befindet sich nach Newton dan...
