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Physik - Hubarbeit

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Physik

Hubarbeit

Inhaltsverzeichnis

Wird ein Körper angehoben, so wird Hubarbeit verrichtet. Ein Beispiel dafür wäre das Anheben einer Kiste. Wird die Kiste zum Beispiel senkrecht um eine bestimmte Höhe $h$ gehoben, so wird eine Hubarbeit von:

Methode

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$W = mgh$

verrichtet.

Wie genau kommt man nun auf diese Formel?

Der Weg $s$, welchen die Kiste zurücklegt ist hier die Höhe $h$, also $s = h$. Die Kraft $F$ ist dabei die Gewichtskraft der Kiste. Die Gewichtskraft schreibt sich zu $F_G = m \cdot g$, also Masse $m$ der Kiste in kg multipliziert mit der Erdbeschleunigung $g$.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Es ist wichtig, dass die Höhe $h$ die Differenz aus Endhöhe und Anfangshöhe darstellt. Befindet sich die Kiste also auf einem Schreibtisch, welcher in einem Meter Höhe vom Boden liegt und heben wir diese auf einen Schrank in 3m Höhe, so entspricht der Weg $3m - 1m = 2m$. Es ist also nicht entscheidet, welche Höhe die Kiste aufweist, sondern nur um welche Höhendifferenz die Kiste bewegt worden ist.
Veranschaulichungsbeispiel zur Höhendifferenz:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Zur Verdeutlichung eine einfache Überlegung: Welcher Wert muss für die Höhe angegeben werden, wenn die Hubarbeit für das Anheben der Kiste durch den Gabelstapler (nachfolgende Abbildung) berechnet werden soll?
Gabelstapler hebt Kiste an
Gabelstapler hebt Kiste an

Lösung: Der zurückgelegte Weg, also die einzubeziehende Höhendifferenz beträgt $ h = 80 cm + 20 cm = 100 cm = 1m $. Nicht berücksichtigt in der Berechnung werden die unteren 10 cm Höhenunterschied zwischen Erdboden und Gabel. Wenn man von der Gesamthöhe ausgeht würde man rechnen: h = 190 cm (Gesamthöhe) - 80 cm (Kiste) - 10 cm (Staplergabel) = 100 cm.

Die Hubarbeit hängt also nur von der überwundenen Höhendifferenz ab. Wenn du einen Berg besteigst, dann ist die geleistete Arbeit nur die zurückgelegte Höhendifferenz, unabhängig davon, ob du eine flache Route oder eine sehr steile Route wählst. Grund dafür ist, dass deine Masse $m$ konstant bleibt, deine Gewichtskraft sich also nicht verändert. Damit ist die Arbeit nur von der Höhendifferenz abhängig.

Die Hubarbeit hängt also nur vom Anfangs- und Endpunkt ab, nicht aber von dem dazwischen zurückgelegten Weg. Kräfte, die solche Eigenschaften aufweisen bezeichnet man als konservative Kräfte

Merke

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Bei konservativen Kräfte kann kinetische Energie ohne Energieverlust in potentielle Energie umgewandelt werden und umgekehrt. Hier gilt also der Energieerhaltungssatz (spätere Abschnitte dieses Kapitels).

Zusammenfassend kann man also für die Hubarbeit festhalten, dass nur die Höhendifferenz relevant ist und die Gewichtskraft des betrachteten Körpers. Um dies zu demonstrieren, betrachten wir als nächstes eine Kiste, die auf einer schiefen Ebene hochgeschoben wird. Wir stellen uns die Kiste im Schwerpunkt zentriert vor, wie im Kapitel Kinematik erlernt:

Hubarbeit, Kinematik
Hubarbeit, Kinematik

Wir betrachten wieder den Weg $s$ vom Beginn der Bewegung bis zum Ende der Bewegung. Dabei wird zur Wegmessung $s$ wieder der Schwerpunkt der Kiste herangezogen. Jetzt denkst du dir wahrscheinlich, wieso hier die Arbeit wieder mit dem Weg $s$ bezeichnet wird, wobei wir doch gerade von der Hubarbeit reden, und diese nur vom Höhenunterschied abhängig ist. Dazu stellen wir eine Berechnung an. Wir betrachten also zunächst die Formel:

$W = F \cdot s$

Diese stellt die allgemeine Formel für die Arbeit dar. Wir dürfen nur Kräfte berücksichtigen, welche in Richtung des Weges $s$ zeigen. Wir betrachten also unser Beispiel und müssen nun eine Kraft $F$ aufwenden, um die Kiste nach oben zu schieben. Dazu müssen wir also eine Kraft entgegen der Hangantriebskraft aufwenden.

Die Hangantriebskraft wird berechnet zu (siehe Abschnitt: Hangantriebskraft):

$F_{Hang} = G \cdot \sin (\alpha)$

Wir müssen also mindestens die Kraft $F_{Hang}$ aufwenden, um die Kiste nach oben zu verschieben. Unsere Kraft $F$ ist also:

Methode

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$F = G \cdot \sin(\alpha)$

Anders ausgedrückt: Wir müssen eine Kraft entgegen der anteiligen Gewichtskraft aufwenden. Dabei wird nur der Teil der Gewichtskraft der Kiste betrachtet, welche in Richtung der schiefen Ebene zeigt, also in Richtung des Weges $s$.

Nachdem wir nun die Kraft berechnet haben, müssen wir als nächstes den Weg $s$ bestimmen. Dieser kann durch Trigonometrie in Abhängigkeit von $h$ bestimmt werden. Wir betrachten hierzu das rechtwinklige Dreieck und wenden den Sinus an:

Hubarbeit, Trigonometrie
Hubarbeit, Trigonometrie

Die obige Gleichung kann zur Berechnung der Hypotenuse $s$ verwendet werden, indem nach $s$ aufgelöst wird:

Methode

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$s = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Der Weg wurde nun ebenfalls bestimmt. Sowohl der Weg als auch die Kraft werden als nächstes in die Formel für die Arbeit eingesetzt:

$W = G \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{h}{\sin(\alpha)}$


Es gilt $G = mg$:

$W = mg \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Wir können aus dieser Gleichung $\sin(\alpha)$ kürzen:

$W = mg \cdot h$

Und so erhalten wir wieder genau die Hubarbeit. Das bedeutet also, dass mittels der Höhendifferenz die Arbeit berechnet werden kann. 

Anwendungsbeispiel: Schleuse

Beispiel

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Ein Frachtschiff mit der Masse $m_S = 46.000  t$ fährt in eine Schleuse des Panamakanals ein. Mithilfe dieser Schleuse soll das Schiff auf das Niveau des Gatúnsees ($s_2 = 18  m$) angehoben werden. Zuvor hat das Schiff schon zwei Schleusen durchfahren und befindet sich jetzt auf einem Wasserniveau von $s_1 = 6  m$.

Wie hoch ist die Hubarbeit, die bei diesem letzten Hub verrichtet werden muss?
 

Hubarbeit 1b
 

 

Ein Körper, der angehoben wird, erfordert die Verrichtung von Arbeit, der sog. Hubarbeit. Die Hubarbeit $W$ wird in Joule angegeben. In unserem Beispiel ist dieser anzuhebende Körper ein Frachtschiff, welches auf eine Höhe von $s_2 = 18  m$ angehoben werden soll. 

Aus dem Kurstext wissen wir auch, dass die Hubarbeit $W = F  \cdot h$ ist. Der Kurstext gibt uns auch den Hinweis, dass wir immer auch die Ausgangslage des anzuhebenden Körpers mit einbeziehen müssen, d. h. es gilt:

$s_2  \neq  h$

Um die Hubhöhe zu erhalten, müssen wir wie folgt vorgehen:

$s_2 - s_1 = h$,

denn $h$ entspricht der Differenz von der Endposition und der Anfangsposition. In unserem Fall entspricht das:

$18  m - 6  m = 12  m$

Das Frachtschiff muss also um $h = 12  m$ angehoben werden.

Zur Berechnung der eigentlichen Hubarbeit nutzen wir die Formel aus dem Kurstext:

$W = F_s  \cdot  h$     |$F$ entspricht dabei der Gewichtskraft des Körpers und diese ergibt sich aus $F = m  \cdot  g$.

$W = m_s  \cdot  g  \cdot  h$     |$g  \hat{=}$  Erdbeschleunigung

Setzen wir nun die Werte ein, erhalten wir für die Hubarbeit $W$ folgendes Ergebnis:

$W = 46  \cdot  10^6  kg  \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}  \cdot  12  m$

$W = 5.415.120.000 \frac{kg  \cdot  m^2}{s^2}$

$W  \hat{=}  5,415  \cdot  10^9  Nm$

$W  \hat{=}  5,415  \cdot  10^9  J$

$\Rightarrow$ Die zu verrichtende Hubarbeit beträgt $W  \hat{=}  5,415  \cdot  10^9  J$.