Regelungstechnik

  1. Stetige Regler
    Einführung in die Regelungstechnik > Regelung > Reglertypen > Stetige Regler
    Antriebsriemen eines Motors
    ... diesen:P-Regler: Proportionalregler,I-Regler: Integralregler,D-Regler: Differentialregler,PID-Regler: Kombination aus obigen
  2. Integralregler, I-Regler
    Einführung in die Regelungstechnik > Regelung > Reglertypen > Stetige Regler > Integralregler, I-Regler
    Verlauf des I-Reglers
    Den Integralregler, kurz I-Regler, kennzeichnet, dass es einen Vorfaktor $ V_i $ festzulegen gilt. Aus formaler Sicht definiert sich die Gleichung zur Bestimmung der Reglerausgangsgröße wie folgt:Reglerausgangsgröße I-Regler: $ U_{IR} = - V_i \cdot \int D \cdot dt $Die Gleichung verrät es bereits. Es wird die Regelabweichung integriert und anschließend daraus die Reglerausgangsgröße bestimmt. Der Zeitraum der Integration beträgt $ t - \Delta t ...
  3. Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan > Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
    Integrationsgleichung im Signalflussplan
    ... Eingangsgröße $ x_e(t) $ liegt als Integral vor.Darstellung im Signalflussplan:Bestandteile der Integrationsgleichung:Integrationsgleichung im Signalflussplan 2. Zusammensetzen der Bestandteile zu einem Signalflussplan:Logische Zusammensetzung der Bestandteile zu einem Signalflussplan 
  4. Fall 5 von 6: Variablen einer Masse als Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan > Fall 5 von 6: Variablen einer Masse als Signalflussplan
    Kausalitt mehrerer Gleichungen im Signalflussplan
    ... $ v(t) $. Bildet man nun noch das Integral der zeitabhängigen Geschwindigkeit, so liegt letztlich der zeitabhängige Weg $ s (t) $ vor. Nun gilt es diese Kausalitäten in einem logischen Signalflussplan darzustellen.   Darstellung im Signalflussplan:Bestandteile der GleichungenKausalität mehrerer Gleichungen im Signalflussplan 2. Zusammensetzen der Bestandteile zu einem Signalflussplan:Logische Zusammensetzung der Bestandteile zu einem Signalflussplan Vielleicht ...
  5. LAPLACE Transformation
    LAPLACE Transformation
    ... lassen sich Differenzial-und Integralausdrücke in algebraische Ausdrücke umwandeln. Der hauptsächliche Vorteil besteht darin, dass anstelle einer Differenzialgleichungen eine algebraische Gleichung gelöst werden muss. Dabei werden die bekannten Anfangsbedingungen die innerhalb einer LAPLACE-Transformation auftreten berücksichtigt. Dies hat wiederum den Vorteil, dass die Lösung der Differenzialgleichung in nur einem Schritt durchgeführt werden ...
  6. LAPLACE-Transformation
    LAPLACE Transformation > LAPLACE-Transformation
    ... erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.LAPLACE-Transformation:Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch:LAPLACE-Integral: $ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j  \; \omega \;  t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ ...
  7. Differenziationssatz, Integrationssatz
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Differenziationssatz, Integrationssatz
    ... der LAPLACE-Transformation Differenziale und Integrale in eine algebraische Form überführt. DifferenziationssatzMöchte man eine stetige Funktion im Zeitbereich differenzieren, so bewirkt dies auch eine Änderung im Frequenzbereich.Diesen Zusammenhang erfasst der Differenziationssatz:Differenziationssatz: $ L\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\} = s^n f (s) - [s^{n-1} f(t = 0+) + s^{n-2} \cdot \frac{df(t)}{dt}|_{t = 0+} + .... + s \frac{d^{(n-2)} f(t)}{dt^{(n-2)}}|_{t = 0+} + \frac{d^{(n-1)}f ...
  8. Faltungssatz
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Faltungssatz
    ... so rechnet man im Zeitbereich mit dem Faltungsintegral.Das Faltungsintegral ist formal definiert durch:Faltungsintegral: $ L\{ f_1(t) \cdot f_2(t)\} = L\{ \int_0^t f_1(t - \tau) \cdot f_2(\tau)d \tau\} = f_1(s) \cdot f_2(s) $Beispiel:Die LAPLACE-Transformierte $ f(s) hat folgende Form:$ f(s) = f_1(s) \cdot f_2(s) = \frac{1}{s + a} \cdot $die beiden Originalfunktionen sind:$ f_1(t) = L^{-1} \{ \frac{1}{s + a} \} = e^{-at} $$ f_2(t) = L^{-1} \{  \frac{1}{s + b} \} = e^{-bt} $Unter Anwendung ...
  9. Periodische Funktionen
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Periodische Funktionen
    Sgezahnfunktion
    ... \cdot e^{-st} dt$Nun beginnen wir das Integral aufzulösen:$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1}{1 - e^{-T_P s}} \cdot [ - \frac{ (1+ s \cdot t) \cdot e^{-st}}{s^2}]|_0^{T_P} $$ \Longrightarrow $$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1}{1 - e^{-T_P s}} \cdot [ - \frac{ (1+ s \cdot T_P) \cdot e^{-T_P s}}{s^2} + \frac{1}{s^2}] $$ \Longrightarrow $$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1 - (1 + T_P \cdot s) \cdot e^{-T_P s}}{(1 - e^{-T_Ps}) \cdot s^2} $$ \Longrightarrow $Als Lösung ...
  10. Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung
    Frequenzgang > Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung
    ... wird durch $ j \omega $  und der Integraloperator wird durch $ \frac{1}{j \omega} $ ersetzt. Eine dritte Annahme ist: 3. $ j \omega = p $ Letztere Annahme für die imaginäre Kreisfrequenz bezieht sich auf die Darstellung der Frequenzgangfunktion:$ F (p) := F (j \omega) $ Nun haben wir alles Notwendige, um die Frequenzgangfunktion für die lineare Differenzialgleichung zu bestimmen. Die lineare Differenzialgleichung wird ...
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Thermodynamik

  1. Volumenänderungsarbeit
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme > Innere Energie, Wärme und Arbeit > Arbeit am geschlossenen System > Volumenänderungsarbeit
    Nutzarbeit
    ... von $V_1$ und $p_1$ und rausziehen aus dem Integral ergibt:$W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V^{2,5}} \; dV$$W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \cdot V^{-2,5} \; dV$$W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \;  \cdot [-\frac{1}{1,5} V^{-1,5}]_{V_1}^{V_2} $$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-\frac{2}{3 \; V^{1,5}}]_{0,05}^{0,0272}$Die Integration erfolgt mit folgender Formel:$\int x^n = \frac{x^{(n + 1)}}{n ...
  2. Dissipationsarbeit
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme > Innere Energie, Wärme und Arbeit > Arbeit am geschlossenen System > Dissipationsarbeit
    Dissipationsarbeit Beispiel Zylinder
    ... Druck konstant gehalten wird, fällt das Integral weg und es gilt:$W_V = -p \triangle V = -p (V_2 - V_1)$Berechnung von $V_2$:Da es sich um ein ideales Gas handelt, kann die thermische Zustandsgleichung verwendet werden und hier vor allem das Gesetz von Gay-Lussac (Kapitel: Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes):$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$$V_2 = \frac{T_2}{T_1} \cdot V_1$Einsetzen der Werte (Umrechnung °C in Kelvin):$V_2 =  \frac{523,15 K}{293,15} \cdot 300 ...
  3. Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (homogenes System)
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > Kalorische Zustandsgleichungen > Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (homogenes System)
    ... = m \int_1^2 c_v \; dT$Werte einsetzen und Integral auflösen:$-585 kJ + 450 kJ = 20 kg \int_{18 + 273,15 K}^{T_2} 0,8 kJ/(kg \; K) \; dT $$-135 kJ = 20 kg \;  [0,8 \; T]_{291,15 K}^{T_2}$$-135 kJ  = 20 kg \; [0,8 \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 0,8 \;  kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K]$$--135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K$$-135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 4.658,40 \; kg \; ...
  4. Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > Kalorische Zustandsgleichungen > Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität
    ... aus den vorherigen Kapiteln abgeändert (Integral fällt weg). Für homogene Systeme:$Q + W_{diss} = m \cdot c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$      bei konstantem Volumen$Q + W_{diss} =  m \cdot c_{mp}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$     bei konstantem DruckFür ideale Gase:$u_2 - u_1 = c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$bzw.$U_2 - U_1 = m \cdot c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$$h_2 -h_1 = c_{mp}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 ...
  5. Entropie
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Entropie
    Entropie, T,S-Diagramm
    ... (isotherme Zustandsgleichung) fällt das Integral weg und es ergibt sich:$S_2 - S_1 = \frac{Q + W_{diss}}{T}$.Entropieerzeugung und EntropietransportDie Entropie eines Systems ändert sich, wenn Wärme $Q$ über die Systemgrenzen tritt oder Energie im Inneren des System dissipiert $W_{diss}$. Arbeit die über die Systemgrenzen tritt ändert die Entropie nicht. Wird dem System Wärme zugeführt, so erhöht sich die Entropie, wird Wärme abgeführt ...
  6. Isobare Zustandsänderung
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isobare Zustandsänderung
    Isobare Zustandsnderung T,S-Diagramm
    ... Da der Druck konstant ist, fällt das Integral weg und es bleibt:$W_V = - p (V_2 - V_ 1) = p(V_1 - V_2)$.Man kann hier die thermische Zustandsgleichung einsetzen:$W_V = p(V_1 - V_2) = m \; R_i \; (T_1 - T_2)$bzw.$W_V = p(V_1 - V_2) = n \; R \; (T_1 - T_2)$.Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ lässt sich im p,V-Diagramm darstellen und ist die Fläche unter der Kurve zur horizontalen Achse ($V$-Achse). Es handelt sich in der unteren Grafik um Arbeit, welche vom System ...
  7. Isotherme Zustandsänderung
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsnderung p,V-Diagramm
    ... und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:$W_V = -  m \; R_i \; T \; (\ln(V_2) - \ln(V_1))$$\rightarrow W_V = m \; R_i \; T (\ln(V_1) - \ln(V_2))$.$\rightarrow \; W_V = m \; R_i \; T \; \ln \frac{V_1}{V_2}$.Setzt man nun für $m \; R_i \; T$ stattdessen $p_1V_1$ ein (denn $p_1V_1 = mR_iT$), und für $\ln \frac{V_1}{V_2} = \ln \frac{p_2}{p_1}$ (denn nach dem Gesetz von Boyle und Mariotte gilt $\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$), so ergibt ...
  8. Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Kreisprozesse > Carnot-Prozess > Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit
    Carnot-Prozess p,V-Diagramm
    ... und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:$ W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln \frac{p_4}{p_3}$.bzw. nach Boyle und Mariotte$ W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln \frac{V_3}{V_4}$.Das ist die Arbeit die von dem System abgegeben wird. Da bei der isothermen Expansion $V_4 > V_3$ bzw. $p_3 > p_4$ werden beide Terme negativ. Diese Arbeit wird dem System also abgeführt.Isentrope ExpansionZustandsänderung ($4 \to 1$): Die Temperatur ...
  9. Exergie und Anergie: Geschlossenes System
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Exergie und Anergie > Exergie und Anergie: Geschlossenes System
    Exergie der inneren Energie
    ... = 0$) mit konstanter Temperatur $T_b$ (Integral fällt weg) gilt:$S_2 - S_1 = \frac{Q}{T_b}$.Aufgelöst nach $Q$ ergibt sich:$Q = T_b(S_2 - S_1)$ZusammenfassungEinsetzen von $W_V$ und $Q$ in die Gleichung für die innere Energie bei reversiblem Prozess:$U_2 - U_1 = T_b(S_2 - S_1) - E_G - p_b(V_2 - V_1)$.Die Indizes sind nun so aber noch nicht korrekt. Wir schauen uns nun folgendes T,S-Diagramm an, in welchem verdeutlicht wird was genau passiert:Exergie der inneren ...
  10. Exergie und Anergie: Offenes System
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Exergie und Anergie > Exergie und Anergie: Offenes System
    Exergie der inneren Energie
    ... = 0$) mit konstanter Temperatur $T_b$ (Integral fällt weg) gilt:$S_2 - S_1 = \frac{Q}{T_b}$.Aufgelöst nach $Q$ ergibt sich:$Q = T_b(S_2 - S_1)$ZusammenfassungEinsetzen von $E_1$ und $Q$ in die Gleichung für die Enthalpie bei reversiblem Prozess:$H_2 - H_1 = T_b(S_2 - S_1) - E_O$Die Indizes sind nun so aber noch nicht korrekt. Wir schauen uns nun folgendes T,S-Diagramm an, in welchem verdeutlicht wird was genau passiert:Exergie eines strömenden FluidsBei der isentropen ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... I" erlernten Mittel der Differential- und Integralrechnung sollen nun die geometrischen Eigenschaften einer Kurve untersucht werden.In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt vier verschiedene Arten dargestellt werden. Kurven in der Ebene:1. Explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung ...
  2. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... [a, b]$ lässt sich durch ein Kurvenintegral errechnen. Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b  ds $ Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist. Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen. DarstellungsartKurvenlänge ...
  3. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... Hierzu formt man das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um.  $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt $  mit  $y(x_0) = y_0$Nach dieser Umformung ist es möglich die Integralgleichung iterativ zu lösen, womit man zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren gelangt.Man definiert:$ y_1 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_0)dt $$ y_2 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_1)dt $...$ y_{n+1} (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.Anwendungsbeispiel: ...
  4. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... ergibt:$\frac{dy}{y(y - 1)} = -2x \; dx $3. IntegralschreibweiseBeide Seiten der obigen Gleichung werden mit einen Integral versehen$\int \frac{dy}{y(y-1)} = \int -2x \ dx $ Umstellen:$\int \frac{1}{y(y-1)} \; dy = \int -2x \ dx $ 2. Auflösen der Integrale $\int -2x \ dx = -x^2 $ $\int \frac{dy}{y(y-1)} = ln|\frac{y-1}{y}|$3. Vereinfachen$ ln |\frac{y-1}{y}| = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits ...
  5. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ...            [Integral auflösen]$ u  =x^{-\frac{2}{3}} [\frac{2}{11} x^{\frac{11}{3}} + c] $$ u  =cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3 $.6. Nun fehlt nur noch die Rücksubstitution von  $ u = y^{\frac{2}{3}} \rightarrow y = u^{\frac{3}{2}}$ und man erhält als Lösung:$y^{\frac{2}{3}} = [cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3]$$y = [cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3]^{\frac{3}{2}}$.Mit der obigen Gleichung ist die Überführung ...
  6. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... $$     = x^4 [\int x^{-4} dx + c] $ [Integral auflösen]$     = x^4 [-\frac{1}{3} x^{-3} + c] $$     = cx^4 - \frac{1}{3} x$. 5. Die abschließende Rücksubstitution von $ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ liefert die Lösung:$\ y = \frac{1}{cx^4 -\frac{1}{3}x} + \frac{1}{x}$. Die Riccati Differentialgleichung hat die Besonderheit, dass sie eng mit der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung zusammenhängt. Diese wird in einem der ...
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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

  1. Fourier'sche Gesetz
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    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Fourier'sche Gesetz
    symbolische Wand eines Rohbaus
    ... \cdot dx = - \lambda \cdot dT$Integralbildung:$\dot{q} \int_{x_1}^{x_2} dx = - \int_{T_1}^{T_2} \lambda (T) \cdot dT$Einsetzen der mittleren Wärmeleitfähigkeit $\lambda_m = const$:$\dot{q} \int_{x_1}^{x_2} dx = - \lambda_m \int_{T_1}^{T_2}\ \cdot dT$Auflösen des Intergals (mit $x_2 - x_1 = s$):$\dot{q} \cdot s = - \lambda_m (T_2 - T_1)$   mit $T_1 > T_2$ ergibt sich:$\dot{q} \cdot s =  \lambda_m (T_1 - T_2)$   Und demnach gilt für ...
  2. Wärmeleitung durch eine ebene Wand
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Wärmeleitung durch eine ebene Wand
    Dmmung als eine Wandschicht
    ... A \int_{T_1}^{T_2} dT$ Auflösen des Integrals:$\dot{Q} \cdot  (x_2 - x_1) = - \lambda_m \cdot A \cdot (T_2 - T_1)$ mit $x_2 - x_1 = s$ und $T_1 > T_2$ gilt demnach:$\dot{Q} = \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2)$mit$\lambda_m$ = mittlere Wärmeleitfähigkeit$A$ = Wandfläche$T_1$ = maximale Oberflächentemperatur$T_2$ = minimale Oberflächentemperatur$T_1 - T_2$ Temperaturdifferenz in [K]$s$ = WanddickeAlternativ kann man natürlich das ...
  3. Wärmeleitung durch eine Hohlkugelwand
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Wärmeleitung durch eine Hohlkugelwand
    ... \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot dT$Integralbildung:$\int_{r_i}^{r_a} \frac{1}{r^2} \; dr  = - \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot \int_{T_i}^{T_a} dT$Auflösen der Integrale:$ -\frac{1}{r} |_{r_i}^{r_a}  = - \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot T |_{T_i}^{T_a}$Einsetzen der Grenzen:$ - (\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_i})  = - \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot (T_a - T_i)$Mit $T_i > T_a$ ergibt sich dann:$ - ...
  4. Wärmeübertrager
    Erzwungene Konvektion > Wärmeübertrager
    Wrmebertrager Gleichstrom, Kreuzstrom, Gegenstrom
    ... dT$$d \dot{Q}_2 = -c_p \cdot \dot{m} \cdot dT$Integralbildung:$\int d \dot{Q}_1 = c_p \cdot \dot{m} \cdot \int_{T_1'}^{T_1''} dT$$\int d \dot{Q}_2 = -c_p \cdot \dot{m} \cdot \int_{T_2'}^{T_2''} dT$Auflösen des Intergals führt zu den Änderungen der Wärmeströme der Fluide:$\dot{Q}_1 = c_p \cdot \dot{m} \cdot (T_1'' - T_1')$$\dot{Q}_2 = -c_p \cdot \dot{m} \cdot (T_2'' - T_2')$$\rightarrow \dot{Q}_1 = - \dot{Q_2}$                   ...
  5. Anwendungsbeispiel: Wärmeübertrager
    Erzwungene Konvektion > Wärmeübertrager > Anwendungsbeispiel: Wärmeübertrager
    Beispiel Wrmebetrager Gegenstrom
    ... Fluid 2 negativ. Multiplikation mit (-1) und Integralbildung führt zu:$ \int d \dot{Q}_2 = - c_p \cdot \dot{m} \cdot \int_{T_2'}^{T_2''} dT_2$Auflösen des Integrals führt zu:$\dot{Q}_2 = - c_p \cdot \dot{m} \cdot (T_2'' - T_2')$Einsetzen der Werte für das untere Rohrteil:$\dot{Q}_{21} = -4.196 \frac{J}{kg K} \cdot 3 \frac{kg}{s} \cdot (60 - 80) K = 503520 \frac{J}{s} = 251.760 W$.Die Änderung des Wärmestroms für das Fluid 2 ist 251.760 Watt. Dies entspricht ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    rtliche Dehnung
    ... \; dx$          /Integral bilden$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e(x)$ gegeben, so kann durch Integration diese Längenänderung bestimmt werden.Spezialfall: Dehnung ist konstantIst die Dehnung konstant $\epsilon(x) = \epsilon_0 = const$, so kann das Integral aufgelöst werden und ...
  2. Flächenträgheitsmomente: Definition
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Definition
    image
    ... Mechanik I [Statik] wurden Flächenintegrale benötigt, um einen Flächenschwerpunkt zu bestimmen. Hierzu verwendete man Integralausdrücke, um die Schwerpunktkoordinaten zu berechnen. Die besagten Integralausdrücke, auch Flächenmomente 1. Ordnung genannt, haben die Form:$\ x_s = \frac{1}{A} \int_A xdA  $ sowie $\ y_s = \frac{1}{A} \int_A ydA$. Für das weitere Vorgehen in diesem Fall werden jedoch die Flächenmomente 2. Ordnung [Flächenträgheitsmomente] ...
  3. Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Satz von Steiner bersicht
    ... einschlagen:1. Direkte Lösung der Integrale im $ y^* - z^* $ - Koordinatensystem.2. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen und Nutzung der Flächenträgheitsmomente, welche sich auf das Schwerpunktkoordinatensystem beziehen (Steinersche Sätze). Die Formeln für letztere können Tabellenwerken entnommen werden. Im Folgenden wird der 2. Punkt ausführlich behandelt und die Steinerschen Sätze hergeleitet. Zum Schluss wird dies anhand eines ausführlichen ...
  4. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner - zusammengesetzte Flchen
    ... die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt. Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen:$\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $ Das Video wird geladen...Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezogen auf den eigenen FlächenschwerpunktHäufig tritt das Problem ...
  5. Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Torsion > Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Spannungen im dnnwandingen geschlossenen Profil
    ... \frac{1}{h(s)} ds}$$\oint$ ist das Umlaufintegral längs der Kurve $C$, welche der Profilmittellinie entspricht. Es wird also über den gesamten Weg $s$ der Profilmittellinie integriert.Ist die Wanddicke $h$ überall gleich groß, so folgt:$\oint_C \frac{1}{h(s)} ds = \frac{1}{h} \oint ds = \frac{1}{h} U_m$ und damit für $I_T$:$I_T =  \frac{4 A_m^2 h}{U_m}$                           ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort > Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
    Beschleunigung in Abhngigkeit vom Ort Beispiel
    ... \frac{a_0}{L} x + a_0) \; dx = v \; dv$Integral bilden:$\int_0^L (-\frac{1}{2} \frac{a_0}{L} x + a_0) \; dx = \int_0^v v \; dv$Integrieren:$ [-\frac{1}{4} \frac{a_0}{L} x^2 + a_0 \; x]_0^L = [\frac{1}{2} v^2]_0^v $Schranken einsetzen:$ -\frac{1}{4} \frac{a_0}{L} L^2 + a_0 \; L = \frac{1}{2} v^2$Kürzen:$\frac{3}{4} a_0 \; L = \frac{1}{2} v^2$Nach $v$ auflösen:$v = \sqrt{\frac{3}{2} a_0 \; L}$Angenommen das Abschussrohr sei 3 m lang und die Anfangsbeschleunigung betrage $2 ...
  2. Beispiel: Vertikaler Wurf
    Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Vertikaler Wurf
    Vertikaler Wurf, Freischnitt
    ... m/s)^2 +  \int_{z_0}^z -9,81 m/s^2 \; dz $Integral auflösen:$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} (20 m/s)^2 - 9,81 m/s^2 \cdot z + 9,81 m/s^2 \cdot z_0$Zu Beginn ist $z_0 = 0$:$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} (20 m/s)^2 - 9,81 m/s^2 \cdot z$Auflösen nach $v$:$v^2 = (20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot z$$v = \sqrt{(20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot z}$Hat der Ball die größtmögliche Höhe $z = h$ erreicht, so ist die Geschwindigkeit $v = 0$, da der Ball ...
  3. Leistung
    Kinetik des Massenpunktes > Leistung
    Beispiel Leistung: Kiste auf schiefer Ebene
    ... auf der rechten Seite weg und damit auch das Integral):$\frac{dW}{dt}  = P = F_e \; v$                   LeistungDiese Gleichung stellt die Leistung dar. Wie bei der Arbeit $W$ gilt auch für die Leistung $P = dW$, dass die Zwangskräfte $F_z$ hier nicht berücksichtigt werden dürfen, da diese senkrecht zur Geschwindigkeit $v$ stehen und damit keine Leistung vorliegt. Die Geschwindigkeit $v$ liegt immer tangential an der Bahnkurve. ...
  4. Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
    Kinetik des Massenpunktsystems > Stoßvorgänge > Stoßvorgänge - Definitionen > Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
    Beispiel: Gerader zentrischer Sto
    ... \; dt = m \; dv$         / Integral von $t$ bis $t^*$ bilden$\int_t^{t^*} F \; dt = \int_v^{v^*} m \; dv$      / Rechte Seite integrieren$\int_t^{t^*} F \; dt = mv - mv^*$Es gilt also für die Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase:$\tilde{F}_K = mv - mv^*$Betrachtet man nun die beiden Massenpunkte, so sieht man an der obigen Grafik deutlich, dass die beide Massenpunkte diese Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase aufeinander ausüben. ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Streckenlast
    ... Summenzeichen wird im Grenzübergang ein Integral (siehe Höhere Mathematik I: Bestimmte Integrale):(1) $x_s = \frac{\int x q(x) dx}{\int q(x) dx}$       Abstand Schwerpunkt (kontinuierlich verteilte Kräfte) Die Resultierende der Streckenlast $R_q$ greift im Schwerpunkt (1) der Fläche an. Die Resultierende der Streckenlast wird bestimmt durch:(2) $R_q = \int q(x) \; dx$                          ...
  2. Flächenschwerpunkte
    Schwerpunkte > Flächenschwerpunkte
    Flchenschwerpunkt
    ... y \; dA + \int_{A_3} y \; dA + ...} $Da alle Integrale entfallen, erhält man schließlich vereinfacht:$ x_s = \frac{1}{A} (x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3 + ....) \rightarrow x_s = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i} $$ y_s = \frac{1}{A} (y_1 A_1 + y_2 A_2 + y_3 A_3 + ....) \rightarrow y_s = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i} $Diese Schreibweise hat gleichzeitig den Vorteil, dass sie problemlos für Flächen mit Aussparungen verwendet werden kann, sofern die "fehlenden" Flächen mit einem ...
  3. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt gerade Linie
    ... d\varphi}{\int R \cdot d\varphi}$$R$ aus dem Integral ziehen:$x_s = \frac{R^2}{R} \frac{\int_{-\alpha}^{\alpha} \cos (\varphi) \cdot d\varphi}{\int_{-\alpha}^{\alpha}  d\varphi}$Integral auflösen:$x_s = R \frac{[ \sin (\varphi)]_{-\alpha}^{\alpha} }{[ \varphi]_{-\alpha}^{\alpha} }$Da es sich um einen Viertelkreisbogen handelt, ist $\alpha = \pi /4$ (beide $\alpha$ zusammen ergeben also den Viertelkreis mit $2\alpha = \pi/2$). Für die Berechnung mit Sinus geben wir statt ...
  4. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Verteilte Last Gleichgewichtsbedinungen
    ... berücksichtigt, da diese innerhalb des Integrals berücksichtigt wird. Bei der Integration würde in diesem Beispiel also nur $q_0$ in die Integration eingehen ohne Länge $x$. Wird allerdings nicht integriert, dann muss die gesamte verteilte Last berechnet werden, also der Flächeninhalt. Hier wird also einmal die Einzellast $q_0$ sowie die Länge benötigt. Also $q_0 \cdot x$. Man hat demnach den Flächeninhalt und somit die verteilte Last ohne Integration ...
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Physik

  1. Spannarbeit
    Arbeit, Energie und Leistung > Arbeit: Beispiele > Spannarbeit
    Ventilfedern (vorgespannt)
    ... der Arbeit nun die Schreibweise mit dem Integral herangezogen werden muss:$W = \int F(s) ds = \int_0^s k \cdot s \; ds$Lösen wir das Integral nun auf, so erhalten wir:$W = \frac{1}{2} k \cdot s^2$                    Spannarbeit/Verformungsarbeitmit$k$ Federkonstante$s$ FederwegDie beim Spannen einer Feder zu leistende Arbeit $W$ hängt also quadratisch vom Weg $s$ ab und linear von der Federkonstanten $k$. Ist die Kraft $F$ ...
  2. Reibungsarbeit
    Arbeit, Energie und Leistung > Arbeit: Beispiele > Reibungsarbeit
    ... Reibungskraft vor, so entfällt das Integral und die Berechnung der Reibungsarbeit kann wie folgt durchgeführt werden:$W_R = R \cdot s$                    Reibungsarbeit bei konstanter Reibungskraftmit$R = \mu \cdot N$  Reibungskraft$N$ Normalkraft$s$ zurückgelegter WegWird Reibungsarbeit verrichtet, so wandelt sich die mechanische Energie (kinetische und potentielle) in thermische Energie um, die dann in Form von Wärme ...
  3. Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
    Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik > Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
    ... = m \int_1^2 c_v \; dT$Werte einsetzen und Integral auflösen:$-585 kJ + 450 kJ = 20 kg \int_{18 + 273,15 K}^{T_2} 0,8 kJ/(kg \; K) \; dT $$-135 kJ = 20 kg \;  [0,8 \; T]_{291,15 K}^{T_2}$$-135 kJ  = 20 kg \; [0,8 \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 0,8 \;  kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K]$$--135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K$$-135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 4.658,40 \; kg \; ...
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Elektrotechnik

  1. Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Magnetisches Feld > Grundlagen des Magnetischen Feldes > Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    nderung der Feldstrke mit zunehmenden Radius
    ... das Durchflutungsgesetz anstelle eines normalen Integrals ein Kreisintegral $\oint $.Durchflutungsgesetz: $\oint  \vec{H} d \vec{s} =  \Theta = \int_A \vec{S} d \vec{A} $ Aus dem Durchflutungsgesetz lässt sich ablesen, dass die Einheit der magnetischen Feldstärke $ \frac{A}{m} $ ist. 
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integrale mit unbeschrnkten Integranden
    Typ II Integrale mit unbeschränkten IntegrandenHierbei handelt es sich um Integrale, deren Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt]. Befindet sich die Polstelle $p$ am Rand $b$, so ist die Funktion wie folgt :$\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$. Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt ...
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Maschinenelemente 2

  1. Federung und Arbeitsvermögen
    Elastische Verbindungselemente > Elastisches Verhalten von Federn > Federung und Arbeitsvermögen
    Arbeitsbereich W einer Feder
    ... Arbeit zu berechnen, müssen wir nun in die Integralrechnung übergehen. Formal lässt sich die Arbeit  $ W $ ausdrücken durch:Arbeit: $ W = \int_0^{s_{max}} ds $Arbeit Drehfeder: $ W = \int_0^{\phi_{max}} T d\phi $Für Federn mit linearer Kennlinie ist die Arbeit $ W $:$ W = \frac{1}{2} \cdot F \cdot s_{max} $Unter Berücksichtigung, dass $ F = C \cdot s $ ist, wird die vorherige Gleichung zu:$ W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot s^2_{max} $ Nun schauen wir einmal, ...
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