Baustatik 1

  1. Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte)
    Kurs Baustatik > Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte)
    Schnittgren - Schnittufer
    ... so muss die Berechnung mittels Integral erfolgen:$N = \int_A \sigma_x \; dA$                 Normalkraft bei veränderlichem Querschnitt QuerkraftAls nächsten betrachten wir die Schubspannungen, welche auftreten, wenn äußere Kräfte in Richtung der $z$-Achse angreifen:Schubspannungen und Querkraft Die Schubspannung $\tau_{xy}$ liegt parallel zur Querschnittsfläche und kann ...
  2. Aufgaben und Lösungen
    Kurs Baustatik > Aufgaben und Lösungen
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... \cdot x_1 - 3 kN/m] dx_1$ Die Grenzen des Integrals müssen der Teilstreckenlast entsprechend angepasst werden:$Q_1 = A_y + \int_0^{x_1} [\frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1 - 3 kN/m] dx_1$ Integration durchführen:$Q_1 = A_y + [\frac{3}{4} kN/m^2 \cdot \frac{1}{2} x_1^2 - 3 kN/m \cdot x_1]_0^{x_1} $Grenzen einsetzen:$Q_1 = A_y + \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot \frac{1}{2} x_1^2 - 3 kN/m \cdot x_1 $Einsetzen von $A_y = 21 kN$:$Q_1 = 21 kN + \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot \frac{1}{2} x_1^2 - 3 kN/m ...
  3. Dehnungen im Stab
    Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnungen im Stab
    rtliche Dehnung
    ... \; dx$          | Integral bilden$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$   | Integral auflösen$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon (x) \; dx$    Längenänderung (örtliche Dehnung)Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e_N (x)$ gegeben, so kann durch Integration die Längenänderung $\triangle l$ bestimmt werden.Ist die Dehnung konstant ...
  4. Spannung und Dehnung bei reiner Biegung
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge reiner Biegung > Spannung und Dehnung bei reiner Biegung
    Neutrale Faser
    ... geschichteter Balken), so kann dieses vor das Integral gezogen werden: $M_y = \frac{E}{p} \int_A z^2 \; dA$Hierbei ist $I_y = \int_A z^2 dA$ das Flächenträgheitsmoment 2. Grades bezüglich der $y$-Achse:$M_y = \frac{E}{p} \cdot I_y$Wir betrachten als Nächstes die lineare Spannungsverteilung $\sigma_x = E \cdot \frac{z}{p}$   und stellen diese um$\frac{E}{p} = \frac{\sigma_x}{ z}$ Die obige Gleichung setzen wir als nächstes ein in $M_y$:$M_y ...
  5. Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
    Querkraftbiegung - Bestimmung der Normal- und Schubspannungen
    ... $z$-Koordinate gegeben. Die obere Grenze des Integrals $z_{max}$ ist dabei der Abstand von der aktuellen $z$-Koordinate bis zum unteren Rand des Profils. Wir beginnen also bei $z = 0$ (im Koordinatenursprung) und gehen $\frac{0,75m}{2}$ in positive $z$-Richtung bis zum unteren Rand. Demnach ist $z_{max} = 0,375m$:$\tau(z) = \frac{150 N}{0,25m \cdot 0,00879 m^4} \int_0^{0,375m} b(\eta) \cdot \eta \; d\eta$Die Breite $b(\eta)$ ist genau der Bereich von $z$ bis $z_{max}$. Wir betrachten also ...
  6. Arbeit
    Formänderungsarbeit > Arbeit
    Arbeit - Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor
    ... Kräften ist die Arbeit das Kurvenintegral über das Skalarprodukt aus Kraft und Weg:$W = \int \vec{F}(\vec{s}) \cdot d\vec{s}$ Für ein Kräftepaar mit dem Momentenvektor $\vec{M}$ ergibt sich die Arbeit zu:$W = \vec{M} \cdot \vec{\varphi} = |\vec{M}| \cdot |\vec{\varphi}| \cos \sphericalangle (\vec{M}, \vec{\varphi})$ Und bei nicht konstantem Moment bzw. bei nicht konstantem Winkel ergibt sich:$W = \int \vec{M}(\vec{\varphi}) \cdot d\vec{\vec{\varphi}}$ Beispiel: ...
  7. Äußere Eigenarbeit
    Formänderungsarbeit > Äußere Formänderungsarbeit > Äußere Eigenarbeit
    Eigenarbeit einer Kraft (Formnderungsarbeit)
    ... \delta \; d\delta $Auflösen des Integrals führt zur Eigenarbeit:(1) $W_{eig} = \frac{1}{2} c \delta^2$Einsetzen von $F = c \delta$:(2) $W_{eig} = \frac{1}{2} F \delta$Einsetzen von $\delta = \frac{F}{c}$ ergibt:(3) $W_{eig} = \frac{1}{2} \frac{F^2}{c}$ Die drei obigen Gleichungen (1), (2) und (3) stellen drei verschiedene Schreibweisen für die Eigenarbeit dar. Die anschaulichste Schreibweise stellt die Gleichung (2) dar:$W_{eig} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot \delta$Der ...
  8. Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)
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    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)
    Beispiel Prinzip der virtuellen Krfte
    ... $EI$ konstant, so erfolgt die Auswertung der Integrale mittels Koppeltafel. Bei Fachwerken gilt:$ -\overline{W}_i = \sum_i \frac{S_i \cdot \overline{S}_i \cdot l_i}{(EA)_i}$Vorgehensweise beim PvKBerechnung der Lagerkräfte und Schnittgrößen am Ausgangssystem mittels der Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System.Aufstellung des virtuellen Systems mit der Kraftgröße $\overline{1}$ in Richtung der Verschiebung $\delta$. Die äußeren Belastungen des ...
  9. Federn
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Federn
    Drehfeder, Federkonstante, Feder
    ... Mittels der  Koppeltafel, Tafel der Integrale ist es möglich die Verschiebung einfach aus den grafischen Schnittgrößenverläufen zu bestimmen, anstelle aufwendig die Integrale zu berechnen. Die Technik - die Schnittgrößenverläufe grafisch zu zeichnen, ohne vorherige Berechnungen durchzuführen - folgt in einem späteren Abschnitt. In Klausuraufgaben ist oft nicht die Zeit für große Berechnungen, weshalb die Zeichnung der ...
  10. Lagerverschiebungen/-verdrehungen
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Lagerverschiebungen/-verdrehungen
    Prinzip der virtuellen Krfte, Auflagerverformungen
    ... um die Koppeltafel zur Berechnung der Integrale anwenden zu können.Grafischer Schnittgrößenverlauf (Ausgangssystem)In der obigen Grafik ist der Schnittgrößenverlauf des Ausgangssystems grafisch dargestellt. Der Momentenverlauf im 1. Schnittbereich beginnt im Lager $A$ bei $x_1 = 0$ und nimmt den Wert Null an. Bei $x_1 = 3m$ nimmt dieser den Wert $M_1 = -7,5 kNm$ an. Es handelt sich hierbei um einen linearen Momentenverlauf.Der Momentenverlauf im 2. ...
  11. Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Prinzip der virtuellen Krfte, Verschiebung, Verdrehung
    ... das virtuelle System). Da wir die obigen Integrale mittels Koppeltafel lösen, können wir uns komplett an den grafischen Schnittgrößenverläufen orientieren und die Aufteilung in vier Schnittbereiche des Ausgangssystems (Schnittbereich 2 wird in eins vor und eins nach dem Gelenk aufgeteilt) ist unproblematisch.Berechnen von $EA$ und $EI$ aus der Aufgabenstellung:$I = 18.000 cm^4$ , $A = 120 cm^2$, $E = 2,1 \cdot 10^8 kN/m^2$ Wir haben hier die Kräfte in ...
  12. Satz von Castigliano
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Satz von Castigliano
    Beispiel: Satz von Castigliano
    ... Da $EI$ konstant ist, ziehen wir dieses vor das Integral:$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}} \sum_j \int M_{yj} \cdot \frac{\partial M_{yj}}{\partial F} dx_j$Wir stellen die Formel ohne Summenzeichen auf und erhalten:$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}}  [\int M_{y1} \cdot \frac{\partial M_{y1}}{\partial F} dx_1 + \int M_{y2} \cdot \frac{\partial M_{y2}}{\partial F} dx_2 +  \int M_{y3} \cdot \frac{\partial M_{y3}}{\partial F} dx_3 ]$Wir haben alle notwendigen Werte gegeben, um die Berechnung durchzuführen: $M_{y1} ...
  13. Beispiel: Satz von Castigliano
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Satz von Castigliano > Beispiel: Satz von Castigliano
    Beispiel zum Satz von Castigliano
    ... \frac{\partial M_{y2}}{\partial F} ] dx_2 $Die Integralgrenzen entsprechen den Schnittbereichen.Da wir alle Ausdrücke gegeben haben, können wir diese nun in die Gleichung einsetzen:$\delta_C = \int_0^{2a} [\frac{F}{EA} \cdot 1 + \frac{M - F \cdot a}{EI_{yy}} \cdot (-a) ] dx_1 + \int_0^a [\frac{0}{EA} \cdot 0+ \frac{- F \cdot x_2}{EI_{yy}} \cdot (-x_2) ] dx_2 $ Zusammenfassen:$\delta_C = \int_0^{2a} [\frac{F}{EA} - \frac{Ma}{EI_{yy}} + \frac{F \cdot a^2}{EI_{yy}}] dx_1 + \int_0^a ...
  14. Schnittgrößen am 0-System
    Kraftgrößenverfahren (KGV) > Anwendung des Kraftgrößenverfahrens > Schnittgrößen am 0-System
    Kraftgrenverfahren Hauptsystem Schnittgren
    ... späteren Berechnung der Verschiebung die Integrale über die Koppeltafel  Koppeltafel, Tafel der Integrale gelöst werden können. Damit entfällt die teilweise schwierige Berechnung der Integrale.Die grafischen Darstellungen der Schnittgrößenverläufe werden bei der Verwendung der Koppeltafel benötigt!
  15. Verschiebung am 0-System
    Kraftgrößenverfahren (KGV) > Anwendung des Kraftgrößenverfahrens > Verschiebung am 0-System
    Verschiebung Momentenverlauf
    ... halten.Verschiebung Bereich 1Die Berechnung der Integrale wird mithilfe der Koppeltafel Koppeltafel, Tafel der Integrale durchgeführt. Dabei wird jeder Schnittbereich separat betrachtet. Wir beginnen mit dem Bereich $0 \le x \le 2m$ (linker Rahmenteil) und betrachten dort die Momentenverläufe im 0- und 1-System:Momentenverlauf 0- und 1-System Für die obigen Momentenverläufe müssen wir die Koppeltafel nicht heranziehen, weil $M_0 = 0$ ist. Die gesamte Gleichung ...
  16. Verschiebung am 1-System
    Kraftgrößenverfahren (KGV) > Anwendung des Kraftgrößenverfahrens > Verschiebung am 1-System
    Verschiebung 1-System Koppeltafel
    ... dx$Koppeltafel Zur Berechnung des Integrals wenden wir wieder die Koppeltafel Koppeltafel, Tafel der Integrale an. Dazu betrachten wir den Momentenverlauf im 1-System für beide Bereiche:Momentenverlauf: 1-System Bei Verwendung der Koppeltafel ist es wichtig, dass die Achsen beider Systeme in dieselbe Richtung zeigen. So können wir den linken Momentenverlauf (0-System) um 90° nach rechts drehen. Die $x$-Achsen zeigen dann beide nach rechts und die ...
  17. Aufgabe zum Kraftgrößenverfahren
    Kraftgrößenverfahren (KGV) > Beispiele zum Kraftgrößenverfahren > Aufgabe zum Kraftgrößenverfahren
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    ... \frac{M_1 \cdot M_1}{EI} dx$Zur Lösung der Integralen verwenden wir die Koppeltafel. Diese findet sich links im Ordner Materialien.Für die Anwendung der Koppeltafel benötigen wir die grafischen Schnittgrößenverläufe. Wir beginnen mit der Verschiebung $\varphi_{10}$ im 0-System und vergleichen die Momentenverläufe des 0-Systems und des 1-Systems für die jeweiligen Schnittbereiche miteinander.Verdrehung im 0-System1. Schnittbereich: ($0 \le x \le l$)0-System: ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen
    ... FunktionenVektorrechnungDifferentialrechnungIntegralrechnungFolgen und Reihenlineare Algebra
  2. Kurseinführung
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Kurseinführung
    ... Mengenlehre, Vektorrechnung, komplexen Zahlen, Integral- und Differentialrechnung sowie der linearen Algebra einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir dich mit den Grundlagen vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themenpunkte eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden wir dir mithilfe von Lernvideos die einzelnen Themen nochmals ...
  3. Regel von de l' Hospital
    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
    ... Jahrhundert  die Differential– und Integralrechnung in Frankreich ein. Mithilfe der Regel von de l'Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten bestimmen. Die Regel kann angewendet werden, wenn Nenner und Zähler entweder beide gegen Null $[\frac{0}{0}]$  oder beide gegen Unendlich $[\frac{\infty}{\infty}]$ streben. Regel 1: Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an der Stelle  $x_0$  differenzierbar und es gelte $\lim\limits_{x ...
  4. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmtes Integral
    Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für ...
  5. Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Zur Lösung eines unbestimmten Integrals kann man sich bei der Umformung an den folgenden Regeln orientieren:Vorziehen eines konstanten FaktorsBeim Vorziehen eines konstanten Faktors geht man so vor, dass der Faktor, welcher eine Konstante darstellt vor das Integral gezogen werden kann. Faktoren zeichnen sich durch ein Multiplikations- bzw. Divisionzeichen aus. Konstant bedeutet, dass dieser Faktor nicht von $x$ abhängig ist.$\int a \cdot f(x) \ dx = a \cdot \int f(x) \ dx $ Integriere ...
  6. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer etc. durch ein $t$ substituiert. Dieses $t$ muss außerdem noch nach $x$ abgeleitet werden, so dass man $\frac{dt}{dx}$ erhält. Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$.Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$.1. Zuerst ...
  7. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    ... zur Lösung eines unbestimmten Integrals ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.Partielle Integration:$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, ...
  8. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    ... allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch vorgerechnet.Gegeben sei $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+1)}$.Um diese Wurzelfunktion zu ...
  9. Bestimmte Integrale
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale
    Bestimmtes Integral
    Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Fläche unter einem Funktionsgraphen $f(x)$. Das Intervall $[a, b]$  wird dafür in mehrere Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$  zerlegt, um den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen im Intervall  $[a, b]$  zu ermitteln.Bestimmtes IntegralSei $f(x)$ eine auf dem Intervall $[a, b]$ stetige Funktion. Wird das Intervall $[a, b]$ in $n$ gleiche Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$ der Länge $\frac{b ...
  10. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Flche unter Funktion
    ... mit dem Grenzwert zurück um ein bestimmtes Integral zu berechnen. Stattdessen verwendet man für die Berechnung bestimmter Integrale einen Satz, welcher auf die Berechnung unbestimmter Integrale zurückzuführen ist:Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungIst $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f(x)$, also $F'(x) = f(x)$ so gilt:$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a)$FlächenberechnungGegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x^2$.  Bestimme ...
  11. Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
    Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen.Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll. 1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals$\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $ Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $  mit  $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$$ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$.Man ...
  12. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    ... oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es gilt:$u´ = e^x \to u = e^x$$v = x \to v´ = 1$$\int\limits_0^1 e^x \cdot x \ ...
  13. Uneigentliche Integrale
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale unterscheiden sich von anderen Integralen dadurch, dass der Integrand $\ f(x)$ nur teilweise stetig und folglich beschränkt ist. Sie werden als Grenzwerte von bestimmten Integralen definiert und auf gleiche Weise zur Flächenberechnung benutzt. Jedoch erstrecken sich diese Flächen ins Unendliche und besitzen demnach auch keinen endlichen Flächeninhalt. Uneigentliche IntegraleWie man in der obigen Grafik erkennt, nähert ...
  14. Uneigentliche Integrale Typ 1
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 1
    Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen$\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck:$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$. VorgehensweiseZuerst ist  das Integral  $ \int_a^r f(x) dx$  in ...
  15. Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integrale mit unbeschrnkten Integranden
    Typ II Integrale mit unbeschränkten IntegrandenHierbei handelt es sich um Integrale, deren Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt]. Befindet sich die Polstelle $p$ am Rand $b$, so ist die Funktion wie folgt :$\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$. Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt ...
Analysis und Lineare Algebra
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... I" erlernten Mittel der Differential- und Integralrechnung sollen nun die geometrischen Eigenschaften einer Kurve untersucht werden.In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt vier verschiedene Arten dargestellt werden. Kurven in der Ebene:1. Explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung ...
  2. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... [a, b]$ lässt sich durch ein Kurvenintegral errechnen. Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b  ds $ Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist. Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen. DarstellungsartKurvenlänge ...
  3. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... Hierzu formt man das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um.  $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt $  mit  $y(x_0) = y_0$Nach dieser Umformung ist es möglich die Integralgleichung iterativ zu lösen, womit man zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren gelangt.Man definiert:$ y_1 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_0)dt $$ y_2 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_1)dt $...$ y_{n+1} (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.Anwendungsbeispiel: ...
  4. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... ergibt:$\frac{dy}{y(y - 1)} = -2x \; dx $3. IntegralschreibweiseBeide Seiten der obigen Gleichung werden mit einen Integral versehen$\int \frac{dy}{y(y-1)} = \int -2x \ dx $ Umstellen:$\int \frac{1}{y(y-1)} \; dy = \int -2x \ dx $ 2. Auflösen der Integrale $\int -2x \ dx = -x^2 $ $\int \frac{dy}{y(y-1)} = ln|\frac{y-1}{y}|$3. Vereinfachen$ ln |\frac{y-1}{y}| = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits ...
  5. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ...            [Integral auflösen]$ u  =x^{-\frac{2}{3}} [\frac{2}{11} x^{\frac{11}{3}} + c] $$ u  =cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3 $.6. Nun fehlt nur noch die Rücksubstitution von  $ u = y^{\frac{2}{3}} \rightarrow y = u^{\frac{3}{2}}$ und man erhält als Lösung:$y^{\frac{2}{3}} = [cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3]$$y = [cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3]^{\frac{3}{2}}$.Mit der obigen Gleichung ist die Überführung ...
  6. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... $$     = x^4 [\int x^{-4} dx + c] $ [Integral auflösen]$     = x^4 [-\frac{1}{3} x^{-3} + c] $$     = cx^4 - \frac{1}{3} x$. 5. Die abschließende Rücksubstitution von $ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ liefert die Lösung:$\ y = \frac{1}{cx^4 -\frac{1}{3}x} + \frac{1}{x}$. Die Riccati Differentialgleichung hat die Besonderheit, dass sie eng mit der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung zusammenhängt. Diese wird in einem der ...
  7. Formelsammlung
    Formelsammlung
    ... |\vec{n}| = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} $Kurvenintegral$\ L = \int\limits_a^b ds $DarstellungsartKurvenlänge $ L$Bogenelement $ ds$kartesisch:$\ y = f(x) $$\ a \le  x \le b $$\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx $$\sqrt{dx^2 + dy^2} $$ = \sqrt{1 + f'^2} dx$Parameter:$\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t)\end{array}\right) $$\ t_0 \le t \le t_1 $$\int\limits_{t_1}^{t_2} |\dot{\vec{x}}| dt = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2} dt $$\ |\dot{\vec{x}}| dt ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Physik

  1. Spannarbeit
    Arbeit, Energie und Leistung > Arbeit: Beispiele > Spannarbeit
    Ventilfedern (vorgespannt)
    ... der Arbeit nun die Schreibweise mit dem Integral herangezogen werden muss:$W = \int F(s) ds = \int_0^s k \cdot s \; ds$Lösen wir das Integral nun auf, so erhalten wir:$W = \frac{1}{2} k \cdot s^2$                    Spannarbeit/Verformungsarbeitmit$k$ Federkonstante$s$ FederwegDie beim Spannen einer Feder zu leistende Arbeit $W$ hängt also quadratisch vom Weg $s$ ab und linear von der Federkonstanten $k$. Ist die Kraft $F$ ...
  2. Reibungsarbeit
    Arbeit, Energie und Leistung > Arbeit: Beispiele > Reibungsarbeit
    ... Reibungskraft vor, so entfällt das Integral und die Berechnung der Reibungsarbeit kann wie folgt durchgeführt werden:$W_R = R \cdot s$                    Reibungsarbeit bei konstanter Reibungskraftmit$R = \mu \cdot N$  Reibungskraft$N$ Normalkraft$s$ zurückgelegter WegWird Reibungsarbeit verrichtet, so wandelt sich die mechanische Energie (kinetische und potentielle) in thermische Energie um, die dann in Form von Wärme ...
  3. Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
    Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik > Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
    ... = m \int_1^2 c_v \; dT$Werte einsetzen und Integral auflösen:$-585 kJ + 450 kJ = 20 kg \int_{18 + 273,15 K}^{T_2} 0,8 kJ/(kg \; K) \; dT $$-135 kJ = 20 kg \;  [0,8 \; T]_{291,15 K}^{T_2}$$-135 kJ  = 20 kg \; [0,8 \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 0,8 \;  kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K]$$--135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K$$-135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 4.658,40 \; kg \; ...
  4. Entropie
    Thermodynamik > Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik > Entropie
    Entropie, T,S-Diagramm
    ... (isotherme Zustandsgleichung) fällt das Integral weg und es ergibt sich:$S_2 - S_1 = \frac{Q + W_{diss}}{T}$.Entropieerzeugung und EntropietransportDie Entropie eines Systems ändert sich, wenn Wärme $Q$ über die Systemgrenzen tritt oder Energie im Inneren des System dissipiert $W_{diss}$. Arbeit die über die Systemgrenzen tritt ändert die Entropie nicht. Wird dem System Wärme zugeführt, so erhöht sich die Entropie, wird Wärme abgeführt ...
  5. Isobare Zustandsänderung
    Thermodynamik > Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik > Zustandsänderungen idealer Gase > Isobare Zustandsänderung
    Isobare Zustandsnderung pV-Diagramm
    ... Da der Druck konstant ist, fällt das Integral weg und es bleibt:$W_V = - p (V_2 - V_ 1) = p(V_1 - V_2)$.Man kann hier die thermische Zustandsgleichung einsetzen:$W_V = p(V_1 - V_2) = m \; R_i \; (T_1 - T_2)$bzw.$W_V = p(V_1 - V_2) = n \; R \; (T_1 - T_2)$.Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ lässt sich im p,V-Diagramm darstellen und ist die Fläche unter der Kurve zur horizontalen Achse ($V$-Achse). Es handelt sich in der unteren Grafik um Arbeit, welche vom System ...
Physik
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Mechanische Verfahrenstechnik

  1. Verteilungsdichte
    Partikel und disperse Systeme > Partikelgrößenverteilung > Verteilungsdichte
    Stetige Verteilungsdichtekurve
    ... dQ_r = q_r(x) \cdot dx $Mit Hilfe eines Integrals können wir die gesamte Fläche unter der Kurve beschreiben:$ \int_{x_{min}}^{x_{max}} q_r(x) \cdot dx = 1 $Integral - Gesamtfläche unter KurveDurchgang und Rückstand bei der SiebanalyseNutzen wir als Untersuchungsmethode die Siebanalyse mit abfallender Maschenweite bei der Versuchsdurchführung, so stellt der Durchgang $ D(x) $ die relative Masse unterhalb des Siebes und der Rückstand $ R(x) $ die relative Masse ...
  2. Median, Modus, Arithmetisches Mittel, Statistische Lagemaße
    Partikel und disperse Systeme > Partikelgrößenverteilung > Median, Modus, Arithmetisches Mittel, Statistische Lagemaße
    Unimodale Verteilung
    ... zwei- oder dreidimensionale Betrachtung, sind Integrale oder homogene Mittelwerte. Nicht selten spricht man auch von Erwartungswerten oder statistischen Momenten. Statistische MomenteDas vollständige k-te Moment der $ q_r-$Verteilung von x liegt vor, wenn die Integrationsgrenzen den vollständigen Partikelgrößenbereich abdecken. Formal beschrieben wird es durch:$ M_{k,r} = \int_{x_{min}}^{x_{max}} x^k \cdot q_r(x) \cdot dx = \overline{x}_r^k $Das unvollständige k-te ...
  3. Empirische Verteilungsfunktionen
    Partikel und disperse Systeme > Partikelgrößenverteilung > Empirische Verteilungsfunktionen
    ... x_{mod,r} $gewogenes Mittel, $ \overline{x_r} $integraler Mittelwert. $ \overline{x^k}$ mit $ = M_{k,0} $Größen des Streuungsparameters sind:Minimale und maximale Partikelgröße, $ x_{min}, x_{max} $Differenzbetrag aus minimaler und maximaler Partikelgröße, $ | x_{min} - x_{max}| $Spezielle Partikelgrößen, $ x_{90} $. $ x_{10} $Varianz, $ \sigma_r^2 $ Die charakteristischen Parameterwerte sind an das Partikelkollektiv angepasst und approximieren ...
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Baustofftechnik 1

  1. Wärmeleitung durch eine ebene Wand
    Stoffeigenschaften im Bauwesen > Physikalische Eigenschaften von Baustoffen > Verhalten gegenüber Wärme und Kälte > Wärmeleitung und Wärmedämmung > Wärmeleitung durch eine ebene Wand
    Wrmeleitung ebene Wand mehrere Schichten
    ... \int_{T_1}^{T_2} dT $ Auflösen des Integrals:$ \dot{Q} \cdot  (x_2 - x_1) = - \lambda_m \cdot A \cdot (T_2 - T_1) $ mit $ x_2 - x_1 = s $ und $ T_1 > T_2 $ gilt demnach:$ \dot{Q} = \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2) $mit$ \lambda_m $ = mittlere Wärmeleitfähigkeit [$ \frac{ W}{m \ K} $]$ A $ = Wandfläche [m²]$ T_1 $ = maximale Oberflächentemperatur [K]$ T_2 $ = minimale Oberflächentemperatur [K]$ T_1 - T_2 $ = Temperaturdifferenz ...
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Elektrotechnik

  1. Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    Magnetisches Feld > Grundlagen des Magnetischen Feldes > Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    nderung der Feldstrke mit zunehmenden Radius
    ... das Durchflutungsgesetz anstelle eines normalen Integrals ein Kreisintegral $\oint $.Durchflutungsgesetz: $\oint  \vec{H} d \vec{s} =  \Theta = \int_A \vec{S} d \vec{A} $ Aus dem Durchflutungsgesetz lässt sich ablesen, dass die Einheit der magnetischen Feldstärke $ \frac{A}{m} $ ist. 
Elektrotechnik
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Maschinenelemente 2

  1. Federung und Arbeitsvermögen
    Elastische Verbindungselemente > Elastisches Verhalten von Federn > Federung und Arbeitsvermögen
    Arbeitsbereich W einer Feder
    ... Arbeit zu berechnen, müssen wir nun in die Integralrechnung übergehen. Formal lässt sich die Arbeit  $ W $ ausdrücken durch:Arbeit: $ W = \int_0^{s_{max}} ds $Arbeit Drehfeder: $ W = \int_0^{\phi_{max}} T d\phi $Für Federn mit linearer Kennlinie ist die Arbeit $ W $:$ W = \frac{1}{2} \cdot F \cdot s_{max} $Unter Berücksichtigung, dass $ F = C \cdot s $ ist, wird die vorherige Gleichung zu:$ W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot s^2_{max} $ Nun schauen wir einmal, ...
Maschinenelemente 2
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Webinare

  1. Integration durch Substitution, partielle Integration
    ...hrt wird....
  2. Höhere Mathematik: Integration durch Substitution und partielle Integration
    ...hrt wird....
  3. Gratis-Webinar (Höhere Mathematik 1): Integralrechnung
    ...n Kurs Höhere Mathematik 1. Heute geht es um die Integralrechnung. Es werden unbestimmte und bestimmte Integrale betrachtet und gezeigt, wie die Integration durch Substitution und die partielle Integration durchgeführt wird....