Analysis und Lineare Algebra

  1. Kurs: Höhere Mathematik 1
    Kurs: Höhere Mathematik 1
    Kurs: Höhere Mathematik 1
    ... Mengenlehre, Vektorrechnung, komplexen Zahlen, Integral- und Differentialrechnung sowie der linearen Algebra einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themenpunkte eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden wir Ihnen mithilfe von Lernvideos die einzelnen Themen nochmals näher erläutern. Sie ...
  2. Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    ... Vektorrechnung, Differentialrechnung, Integralrechnung, Folgen und Reihen, sowie lineare Algebra.
  3. Regel von de l' Hospital
    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
    ... im 17. Jahrhundert  die Differential– und Integralrechnung in Frankreich ein.  Mithilfe der Regel von de l'Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten bestimmen. Die Regel kann angewendet werden, wenn Nenner und Zähler entweder beide gegen Null $[\frac{0}{0}]$  oder beide gegen Unendlich $[\frac{\infty}{\infty}]$ streben.  Regel 1: Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an der Stelle  $x_0$  differenzierbar und es gelte  $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to ...
  4. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmte Integrale
    Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist. Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $. Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist.  Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt: $F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ Das $dx$ steht für ...
  5. Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Zur Lösung eines unbestimmten Integrals kann man sich bei der Umformung an den folgenden Regeln orientieren: Vorziehen eines konstanten Faktors Beim Vorziehen eines konstanten Faktors geht man so vor, dass der Faktor, welcher eine Konstante darstellt vor das Integral gezogen werden kann. Faktoren zeichnen sich durch ein Multiplikations- bzw. Divisionzeichen aus. Konstant bedeutet, dass dieser Faktor nicht von $x$ abhängig ist. $\int a \cdot f(x) \ dx = a \cdot \int f(x) \ dx $  Integriere ...
  6. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer.  Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer etc. durch ein $t$ substituiert. Dieses $t$ muss außerdem noch nach $x$ abgeleitet werden, so dass man $\frac{dt}{dx}$ erhält. Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$. Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden. Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$. 1. Zuerst ...
  7. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    ... Möglichkeit zur Lösung eines unbestimmten Integrals ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten.  Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens. Partielle Integration: $\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$. Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, ...
  8. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    ... allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren.  Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch vorgerechnet. Gegeben sei $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+1)}$. Um diese Wurzelfunktion zu integrieren bedarf es der ...
  9. Bestimmte Integrale
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale
    Bestimmte Integrale
    Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Fläche unter einem Funktionsgraphen $f(x)$. Das Intervall $[a, b]$  wird dafür in mehrere Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$  zerlegt, um den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen im Intervall  $[a, b]$  zu ermitteln. Bestimmtes Integral Sei $f(x)$ eine auf dem Intervall $[a, b]$ stetige Funktion. Wird das Intervall $[a, b]$ in $n$ gleiche Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$ der Länge $\frac{b – a}{n}$ zerlegt, ...
  10. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    ... mit dem Grenzwert zurück um ein bestimmtes Integral zu berechnen. Stattdessen verwendet man für die Berechnung bestimmter Integrale einen Satz, welcher auf die Berechnung unbestimmter Integrale zurückzuführen ist: Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungIst $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f(x)$, also $F'(x) = f(x)$ so gilt:$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a)$ Flächenberechnung Gegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x^2$.  Bestimme das bestimmte ...
  11. Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
    Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen. Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll.  1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $  Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $  mit  $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$ $ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$. Man erhält: $ \int\limits_{g^{-1} ...
  12. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    ... oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist. Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt: $\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$ Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$. Es gilt: $u´ = e^x \to u = e^x$ $v = x \to v´ = 1$ $\int\limits_0^1 e^x \cdot x \ dx = [e^x ...
  13. Uneigentliche Integrale
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale unterscheiden sich von anderen Integralen dadurch, dass der Integrand $\ f(x)$ nur teilweise stetig und folglich beschränkt ist.  Sie werden als Grenzwerte von bestimmten Integralen definiert und auf gleiche Weise zur Flächenberechnung benutzt. Jedoch erstrecken sich diese Flächen ins Unendliche und besitzen demnach auch keinen endlichen Flächeninhalt.  Uneigentliche Integrale Wie man in der obigen Grafik erkennt, nähert sich die $\color{blue}{Kurve}$ der ...
  14. Uneigentliche Integrale Typ 1
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 1
    Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen $\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck: $\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$.  Zum Vorgehen Zuerst ist  das Integral  $ \int_a^r f(x) dx$  in Abhängigkeit ...
  15. Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2
    Uneigentliche Integrale Typ 2
    Typ II Integrale mit unbeschränkten Integranden Hierbei handelt es sich um Integrale, deren Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt].  Befindet sich die Polstelle am Rand, so ist die Funktion wie folgt : $\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$.  Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt definiert: $\lim_{r ...
Analysis und Lineare Algebra
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Thermodynamik

  1. Dissipationsarbeit
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme > Innere Energie, Wärme und Arbeit > Arbeit am geschlossenen System > Dissipationsarbeit
    Dissipationsarbeit
    ... der Druck konstant gehalten wird, fällt das Integral weg und es gilt: $W_V = -p \triangle V = -p (V_2 - V_1)$ Berechnung von $V_2$: Da es sich um ein ideales Gas handelt, kann die thermische Zustandsgleichung verwendet werden und hier vor allem das Gesetz von Gay-Lussac (Kapitel: Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes): $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$ $V_2 = \frac{T_2}{T_1} \cdot V_1$ Einsetzen der Werte (Umrechnung °C in Kelvin): $V_2 =  \frac{523,15 K}{293,15} \cdot 300 l ...
  2. Volumenänderungsarbeit
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    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme > Innere Energie, Wärme und Arbeit > Arbeit am geschlossenen System > Volumenänderungsarbeit
    Volumenänderungsarbeit
    ... von $V_1$ und $p_1$ und rausziehen aus dem Integral ergibt: $W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V^{2,5}} \; dV$ $W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \cdot V^{-2,5} \; dV$ $W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \cdot V^{-2,5} \; dV$ $W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \cdot -\frac{1}{1,5} V^{-1,5} \; dV$ $W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-\frac{2}{3 \; V^{1,5}}]_{0,05}^{0,0272}$ Die ...
  3. Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (homogenes System)
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > Kalorische Zustandsgleichungen > Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (homogenes System)
    ... = m \int_1^2 c_v \; dT$ Werte einsetzen und Integral auflösen: $-585 kJ + 450 kJ = 20 kg \int_{18 + 273,15 K}^{T_2} 0,8 kJ/(kg \; K) \; dT $ $-135 kJ = 20 kg \;  [0,8 \; T]_{291,15 K}^{T_2}$ $-135 kJ  = 20 kg \; [0,8 \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 0,8 \;  kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K]$ $--135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K$ $-135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 4.658,40 \; kg \; kJ/(kg \; K) \; K$ Auflösen nach $T_2$: $T_2 ...
  4. Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > Kalorische Zustandsgleichungen > Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität
    ... aus den vorherigen Kapiteln abgeändert (Integral fällt weg).  Für homogene Systeme: $Q + W_{diss} = m \cdot c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$      bei konstantem Volumen $Q + W_{diss} =  m \cdot c_{mp}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$     bei konstantem Druck Für ideale Gase: $u_2 - u_1 = c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$ bzw. $U_2 - U_1 = m \cdot c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$ $h_2 -h_1 = c_{mp}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$ bzw. $H_2 ...
  5. Entropie
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Entropie
    Entropie
    ... const$ (isotherme Zustandsgleichung) fällt das Integral weg und es ergibt sich: $S_2 - S_1 = \frac{Q + W_{diss}}{T}$. Entropieerzeugung und Entropietransport Die Entropie eines Systems ändert sich, wenn Wärme $Q$ über die Systemgrenzen tritt oder Energie im Inneren des System dissipiert $W_{diss}$. Arbeit die über die Systemgrenzen tritt ändert die Entropie nicht.  Wird dem System Wärme zugeführt, so erhöht sich die Entropie, wird Wärme abgeführt so verringert sich die Entropie. ...
  6. Isobare Zustandsänderung
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isobare Zustandsänderung
    Isobare Zustandsänderung
    ... Da der Druck konstant ist, fällt das Integral weg und es bleibt: $W_V = - p (V_2 - V_ 1) = p(V_1 - V_2)$. Man kann hier die thermische Zustandsgleichung einsetzen: $W_V = p(V_1 - V_2) = m \; R_i \; (T_1 - T_2)$ bzw. $W_V = p(V_1 - V_2) = n \; R \; (T_1 - T_2)$. Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ lässt sich im p,V-Diagramm darstellen und ist die Fläche unter der Kurve zur horizontalen Achse ($V$-Achse). Es handelt sich in der unteren Grafik um Arbeit, welche vom System ...
  7. Isotherme Zustandsänderung
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsänderung
    ... und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen: $W_V = -  m \; R_i \; T \; (\ln(V_2) - \ln(V_1))$ $\rightarrow W_V = m \; R_i \; T (\ln(V_1) - \ln(V_2))$. $\rightarrow \; W_V = m \; R_i \; T \; \ln \frac{V_1}{V_2}$. Setzt man nun für $m \; R_i \; T$ stattdessen $p_1V_1$ ein (denn $p_1V_1 = mR_iT$), und für $\ln \frac{V_1}{V_2} = \ln \frac{p_2}{p_1}$ (denn nach dem Gesetz von Boyle und Mariotte gilt $\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$), so ergibt sich: $\rightarrow ...
  8. Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Kreisprozesse > Carnot-Prozess > Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit
    Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit
    ... und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen: $ W_{t12}^{rev} = m \; R_i \; T_I \; \ln \frac{p_2}{p_1}$. bzw. nach Boyle und Mariotte  $W_{V12} =  m \; R_i \; T_I \; \ln \frac{V_1}{V_2}$. Das ist die Arbeit die dem System zugeführt wird. Da bei der isothermen Kompression $V_1 > V_2$ bzw. $p_2 > p_1$ ist, werden beide Terme positiv. Diese Arbeit wird dem System also zugeführt. Eine ausführliche Herleitung für die obigen Rechnungen ist dem ...
  9. Exergie und Anergie: Geschlossenes System
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Exergie und Anergie > Exergie und Anergie: Geschlossenes System
    Exergie und Anergie: Geschlossenes System
    ... = 0$) mit konstanter Temperatur $T_b$ (Integral fällt weg) gilt: $S_2 - S_1 = \frac{Q}{T_b}$. Aufgelöst nach $Q$ ergibt sich: $Q = T_b(S_2 - S_1)$ Zusammenfassung Einsetzen von $W_V$ und $Q$ in die Gleichung für die innere Energie bei reversiblem Prozess: $U_2 - U_1 = T_b(S_2 - S_1) - E_G - p_b(V_2 - V_1)$. Die Indizes sind nun so aber noch nicht korrekt. Wir schauen uns nun folgendes T,S-Diagramm an, in welchem verdeutlicht wird was genau passiert: Exergie der inneren ...
  10. Exergie und Anergie: Offenes System
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Exergie und Anergie > Exergie und Anergie: Offenes System
    Exergie und Anergie: Offenes System
    ... = 0$) mit konstanter Temperatur $T_b$ (Integral fällt weg) gilt: $S_2 - S_1 = \frac{Q}{T_b}$. Aufgelöst nach $Q$ ergibt sich: $Q = T_b(S_2 - S_1)$ Zusammenfassung Einsetzen von $E_1$ und $Q$ in die Gleichung für die Enthalpie bei reversiblem Prozess: $H_2 - H_1 = T_b(S_2 - S_1) - E_O$ Die Indizes sind nun so aber noch nicht korrekt. Wir schauen uns nun folgendes T,S-Diagramm an, in welchem verdeutlicht wird was genau passiert: Exergie eines strömenden Fluids Bei der ...
Thermodynamik
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... I" erlernten Mitteln der Differential- und Integralrechnung sollen nun die geometrischen Eigenschaften einer Kurve untersucht werden. In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt 4 verschiedene Arten dargestellt werden.  Kurven in der Ebene:1. explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung ...
  2. Bogenlänge
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge
    Bogenlänge
    ... $I \in [a, b]$ lässt sich durch ein Kurvenintegral errechnen.  Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b  ds $  Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist.  Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen.  Darstellungsart Kurvenlänge ...
  3. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... Hierzu formt man das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um.   $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt $  mit  $y(x_0) = y_0$ Nach dieser Umformung ist es möglich die Integralgleichung iterativ zu lösen, womit man zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren gelangt. Man definiert:$ y_1 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_0)dt $$ y_2 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_1)dt $...$ y_{n+1} (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $. Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von ...
  4. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... ergibt: $\frac{dy}{y(y - 1)} = -2x \; dx $ 3. Integralschreibweise Beide Seiten der obigen Gleichung werden mit einen Integral versehen $\int \frac{dy}{y(y-1)} = \int -2x \ dx $  Umstellen: $\int \frac{1}{y(y-1)} \; dy = \int -2x \ dx $  2. Auflösen der Integrale  $\int -2x \ dx = -x^2 $  $\int \frac{dy}{y(y-1)} = ln|\frac{y-1}{y}|$ 3. Vereinfachen $ ln |\frac{y-1}{y}| = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten!] $ |\frac{y-1}{y}| ...
  5. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ...                                [Integral auflösen] $ u  =x^{-\frac{2}{3}} [\frac{2}{11} x^{\frac{11}{3}} + c] $ $ u  =cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3 $. 6. Nun fehlt nur noch die Rücksubstitution von  $ u = y^{\frac{2}{3}} \rightarrow y = u^{\frac{3}{2}}$ und man erhält als Lösung: $y^{\frac{2}{3}} = [cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3]$ $y = [cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3]^{\frac{3}{2}}$. Mit der obigen Gleichung ist die Überführung einer Bernoulli-Differentialgleichung ...
  6. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... + c] $ $     = x^4 [\int x^{-4} dx + c] $ [Integral auflösen] $     = x^4 [-\frac{1}{3} x^{-3} + c] $ $     = cx^4 - \frac{1}{3} x$.  5. Die abschließende Rücksubstitution von $ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ liefert die Lösung: $\ y = \frac{1}{cx^4 -\frac{1}{3}x} + \frac{1}{x}$.  Die Riccati Differentialgleichung hat die Besonderheit, dass sie eng mit der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung zusammenhängt. Diese wird in einem der folgenden Abschnitte näher erläute...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    Dehnung (Stabelement)
    ... $du$ $du = \epsilon(x) \; dx$          /Integral bilden $\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$ $\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$ Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e(x)$ gegeben, so kann durch Integration diese Längenänderung bestimmt werden. Spezialfall: Dehnung ist konstant Ist die Dehnung konstant $\epsilon(x) = \epsilon_0 = const$, so kann das Integral aufgelöst werden und es ...
  2. Flächenträgheitsmomente: Definition
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Definition
    Flächenträgheitsmomente: Definition
    ... Technischen Mechanik I [Statik] wurden Flächenintegrale benötigt, um einen Flächenschwerpunkt zu bestimmen. Hierzu verwendete man Integralausdrücke, um die Schwerpunktkoordinaten zu berechnen.  Die besagten Integralausdrücke, auch Flächenmomente 1. Ordnung genannt, haben die Form: $\ x_s = \frac{1}{A} \int_A xdA  $ sowie $\ y_s = \frac{1}{A} \int_A ydA$.  Für das weitere Vorgehen in diesem Fall werden jedoch die Flächenmomente 2. Ordnung [Flächenträgheitsmomente] benötigt. Diese ...
  3. Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    ... einschlagen: 1. Direkte Lösung der Integrale im $ y^* - z^* $ - Koordinatensystem. 2. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen und Nutzung der Flächenträgheitsmomente, welche sich auf das Schwerpunktkoordinatensystem beziehen (Steinersche Sätze). Die Formeln für letztere können Tabellenwerken entnommen werden.  Im Folgenden wird der 2. Punkt ausführlich behandelt und die Steinerschen Sätze hergeleitet. Zum Schluss wird dies anhand eines ausführlichen Beispiels dargestellt. In ...
  4. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
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    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    ... über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt.  Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen: $\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $  Das Video wird geladen ... Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezogen auf den eigenen Flächenschwerpunkt Häufig tritt das Problem auf, dass die Flächenträgheitsmomente ...
  5. Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Torsion > Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    ... \frac{1}{h(s)} ds}$ Wobei $\oint$ das Umlaufintegral längs der Kurve $C$ darstellt, die der Profilmittellinie entspricht. Ist die Wanddicke $h$ überall gleich groß, so folgt: $\oint_C \frac{1}{h(s)} ds = \frac{1}{h} \oint ds = \frac{1}{h} U_m$  und damit für $I_T$: $I_T =  \frac{4 A_m^2 h}{U_m}$                                              konstante Wanddicke Anwendungsbeispiel: Dünnwandiges geschlossenes Profil Trapezförmiger dünnwandiger Querschnitt Gegeben ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Kontinuierlich verteilte Kräfte
    ... dem Summenzeichen wird im Grenzübergang ein Integral (siehe Höhere Mathematik I: Bestimmte Integrale): (1) $x_s = \frac{\int x q(x) dx}{\int q(x) dx}$       Abstand Schwerpunkt (kontinuierlich verteilte Kräfte) Schwerpunktberechnung Die Formel für die Schwerpunktberechnung ist in (1) gegeben. Wie berechnet sich dieser nun aber an geometrischen Formen? Für geometrisch bekannte Formen, wie Rechtecke oder rechtwinklige Dreiecke, ist die Berechnung einfach.  Rechteck Streckenlast ...
  2. Flächenschwerpunkte
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    Schwerpunkte > Flächenschwerpunkte
    Flächenschwerpunkte
    ... y \; dA + \int_{A_3} y \; dA + ...} $ Da alle Integrale entfallen, erhält man schließlich vereinfacht: $ x_s = \frac{1}{A} (x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3 + ....) \rightarrow x_s = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i} $ $ y_s = \frac{1}{A} (y_1 A_1 + y_2 A_2 + y_3 A_3 + ....) \rightarrow y_s = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i} $ Diese Schreibweise hat gleichzeitig den Vorteil, dass sie problemlos für Flächen mit Aussparungen verwendet werden kann, sofern die "fehlenden" Flächen mit einem negativen ...
  3. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkte
    ... d\varphi}{\int R \cdot d\varphi}$ $R$ aus dem Integral ziehen: $x_s = \frac{R^2}{R} \frac{\int_{-\alpha}^{\alpha} \cos (\varphi) \cdot d\varphi}{\int_{-\alpha}^{\alpha}  d\varphi}$ Integral auflösen: $x_s = R \frac{[ \sin (\varphi)]_{-\alpha}^{\alpha} }{[ \varphi]_{-\alpha}^{\alpha} }$ Da es sich um einen Viertelkreisbogen handelt, ist $\alpha = \pi /4$ (beide $\alpha$ zusammen ergeben also den Viertelkreis mit $2\alpha = \pi/2$). Für die Berechnung mit Sinus geben wir statt des Bogenmaßes ...
  4. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    ... nicht berücksichtigt, da diese innerhalb des Integrals berücksichtigt wird. Bei der Integration würde in diesem Beispiel also nur $q_0$ in die Integration eingehen ohne Länge $x$. Wird allerdings nicht integriert, dann muss die gesamte verteilte Last berechnet werden, also der Flächeninhalt. Hier wird also einmal die Einzellast $q_0$ sowie die Länge benötigt. Also $q_0 \cdot x$. Man hat demnach den Flächeninhalt und somit die verteilte Last ohne Integration berechnet. Mit Integration ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort > Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
    Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
    ... \frac{a_0}{L} x + a_0) \; dx = v \; dv$ Integral bilden: $\int_0^L (-\frac{1}{2} \frac{a_0}{L} x + a_0) \; dx = \int_0^v v \; dv$ Integrieren: $ [-\frac{1}{4} \frac{a_0}{L} x^2 + a_0 \; x]_0^L = [\frac{1}{2} v^2]_0^v $ Schranken einsetzen: $ -\frac{1}{4} \frac{a_0}{L} L^2 + a_0 \; L = \frac{1}{2} v^2$ Kürzen: $\frac{3}{4} a_0 \; L = \frac{1}{2} v^2$ Nach $v$ auflösen: $v = \sqrt{\frac{3}{2} a_0 \; L}$ Angenommen das Abschussrohr sei 3 m lang und die Anfangsbeschleunigung betrage ...
  2. Beispiel: Vertikaler Wurf
    Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Vertikaler Wurf
    Beispiel: Vertikaler Wurf
    ... m/s)^2 +  \int_{z_0}^z -9,81 m/s^2 \; dz $ Integral auflösen: $\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} (20 m/s)^2 - 9,81 m/s^2 \cdot z + 9,81 m/s^2 \cdot z_0$ Zu Beginn ist $z_0 = 0$: $\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} (20 m/s)^2 - 9,81 m/s^2 \cdot z$ Auflösen nach $v$: $v^2 = (20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot z$ $v = \sqrt{(20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot z}$ Hat der Ball die größtmögliche Höhe $z = h$ erreicht, so ist die Geschwindigkeit $v = 0$, da der Ball an der höchsten Stelle ...
  3. Leistung
    Kinetik des Massenpunktes > Leistung
    Leistung
    ... auf der rechten Seite weg und damit auch das Integral): $\frac{dW}{dt}  = P = F_e \; v$                   Leistung Diese Gleichung stellt die Leistung dar. Wie bei der Arbeit $W$ gilt auch für die Leistung $P = dW$, dass die Zwangskräfte $F_z$ hier nicht berücksichtigt werden dürfen, da diese senkrecht zur Geschwindigkeit $v$ stehen und damit keine Leistung vorliegt. Die Geschwindigkeit $v$ liegt immer tangential an der Bahnkurve. Zwangskräfte stehen immer senkrecht zur ...
  4. Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
    Kinetik des Massenpunktsystems > Stoßvorgänge > Stoßvorgänge - Definitionen > Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
    Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
    ... / $\cdot dt$ $F \; dt = m \; dv$         / Integral von $t$ bis $t^*$ bilden $\int_t^{t^*} F \; dt = \int_v^{v^*} m \; dv$      / Rechte Seite integrieren $\int_t^{t^*} F \; dt = mv - mv^*$ Es gilt also für die Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase: $\tilde{F}_K = mv - mv^*$ Betrachtet man nun die beiden Massenpunkte, so sieht man an der obigen Grafik deutlich, dass die beide Massenpunkte diese Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase aufeinander ausüben. Die Stoßkraft ...
Technische Mechanik 3: Dynamik
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Regelungstechnik

  1. Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Anwendungsbeispiele > Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
    Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
    ... Die Eingangsgröße $ x_e(t) $ liegt als Integral vor. Darstellung im Signalflussplan: 1. Bestandteile der Integrationsgleichung: Integrationsgleichung im Signalflussplan 2. Zusammensetzen der Bestandteile zu einem Signalflussplan: Logisches Zusammensetzen der Bestandteile zu einem Signalflussplan
  2. Fall 5 von 6: Variablen einer Masse als Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Anwendungsbeispiele > Fall 5 von 6: Variablen einer Masse als Signalflussplan
    Fall 5 von 6: Variablen einer Masse als Signalflussplan
    ... $ v(t) $. Bildet man nun noch das Integral der zeitabhängige Geschwindigkeit so liegt letztlich der zeitabhängige Weg $ s (t) $ vor. Nun gilt es diese Kausalitäten in einem logischen Signalflussplan darzustellen.    Darstellung im Signalflussplan: 1. Bestandteile der Gleichungen Kausalität mehrerer Gleichungen im Signalflussplan 2. Zusammensetzen der Bestandteile zu einem Signalflussplan: Logisches Zusammensetzen der Bestandteile zu einem Signalflussplan Vielleicht ...
  3. LAPLACE Transformation
    LAPLACE Transformation
    ... lassen sich Differenzial-und Integralausdrücke in algebraische Ausdrücke umwandeln. Der hauptsächliche Vorteil besteht darin, dass anstelle einer Differenzialgleichungen eine algebraische Gleichung gelöst werden muss. Dabei werden die bekannten Anfangsbedingungen die innerhalb einer LAPLACE-Transformation auftreten berücksichtigt. Dies hat wiederum den Vorteil, dass die Lösung der Differenzialgleichung in nur einem Schritt durchgeführt werden kann. Zu Beginn dieses Kapitels ...
  4. LAPLACE-Transformation
    LAPLACE Transformation > LAPLACE-Transformation
    LAPLACE-Transformation
    ... erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $. LAPLACE-Transformation: Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch: LAPLACE-Integral: $ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j  \; \omega \;  t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ für $ t < 0 $mit ...
Regelungstechnik
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Elektrotechnik

  1. Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    Magnetisches Feld > Einführung Magnetisches Feld > Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    ... das Durchflutungsgesetz anstelle eines normalen Integrals ein Kreisintegral $\oint $. Durchflutungsgesetz: $\oint  \vec{H} d \vec{s} =  \varphi = \int_A \vec{S} d \vec{A} $  Aus dem Durchflutungsgesetz lässt sich ablesen, dass die Einheit der magnetischen Feldstärke $ \frac{A}{m} $ ist. 
Elektrotechnik
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Maschinenelemente 2

  1. Federung und Arbeitsvermögen
    Elastische Verbindungselemente > Elastisches Verhalten von Federn > Federung und Arbeitsvermögen
    Federung und Arbeitsvermögen
    ... die Arbeit zu berechnen, müssen wir nun in die Integralrechnung übergehen. Formal lässt sich die Arbeit  $ W $ ausdrücken durch: Arbeit: $ W = \int_0^{s_{max}} ds $Arbeit Drehfeder: $ W = \int_0^{\phi_{max}} T d\phi $ Für Federn mit linearer Kennlinie ist W: $ W = \frac{1}{2} \cdot F \cdot s_{max} $ Unter Berücksichtigung, dass $ F = C \cdot s $ ist, wird die vorherige Gleichung zu: $ W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot s^2_{max} $  Nun schauen wir einmal, welche Arbeit in welcher Feder ...
Maschinenelemente 2
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