Analysis und Lineare Algebra

  1. Uneigentliche Integrale
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale unterscheiden sich von anderen Integralen dadurch, dass der Integrand $\ f(x)$ nur teilweise stetig und folglich beschränkt ist. Sie werden als Grenzwerte von bestimmten Integralen definiert und auf gleiche Weise zur Flächenberechnung benutzt. Jedoch erstrecken sich diese Flächen ins Unendliche und besitzen demnach auch keinen endlichen Flächeninhalt. Uneigentliche IntegraleWie man in der obigen Grafik erkennt, nähert ...
  2. Uneigentliche Integrale Typ 1
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 1
    Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen$\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck:$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$. VorgehensweiseZuerst ist  das Integral  $ \int_a^r f(x) dx$  in ...
  3. Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integrale mit unbeschrnkten Integranden
    Typ II Integrale mit unbeschränkten IntegrandenHierbei handelt es sich um Integrale, deren Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt]. Befindet sich die Polstelle $p$ am Rand $b$, so ist die Funktion wie folgt :$\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$. Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt ...
  4. Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Zur Lösung eines unbestimmten Integrals kann man sich bei der Umformung an den folgenden Regeln orientieren:Vorziehen eines konstanten FaktorsBeim Vorziehen eines konstanten Faktors geht man so vor, dass der Faktor, welcher eine Konstante darstellt vor das Integral gezogen werden kann. Faktoren zeichnen sich durch ein Multiplikations- bzw. Divisionzeichen aus. Konstant bedeutet, dass dieser Faktor nicht von $x$ abhängig ist.$\int a \cdot f(x) \ dx = a \cdot \int f(x) \ dx $ Integriere ...
  5. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Flche unter Funktion
    ... mit dem Grenzwert zurück um ein bestimmtes Integral zu berechnen. Stattdessen verwendet man für die Berechnung bestimmter Integrale einen Satz, welcher auf die Berechnung unbestimmter Integrale zurückzuführen ist:Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungIst $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f(x)$, also $F'(x) = f(x)$ so gilt:$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a)$FlächenberechnungGegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x^2$.  Bestimme ...
  6. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    ... zur Lösung eines unbestimmten Integrals ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.Partielle Integration:$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, ...
  7. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer etc. durch ein $t$ substituiert. Dieses $t$ muss außerdem noch nach $x$ abgeleitet werden, so dass man $\frac{dt}{dx}$ erhält. Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$.Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$.1. Zuerst ...
  8. Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
    Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen.Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll. 1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals$\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $ Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $  mit  $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$$ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$.Man ...
  9. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmtes Integral
    Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für ...
  10. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    ... allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch vorgerechnet.Gegeben sei $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+1)}$.Um diese Wurzelfunktion zu ...
  11. Bestimmte Integrale
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale
    Bestimmtes Integral
    Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Fläche unter einem Funktionsgraphen $f(x)$. Das Intervall $[a, b]$  wird dafür in mehrere Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$  zerlegt, um den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen im Intervall  $[a, b]$  zu ermitteln.Bestimmtes IntegralSei $f(x)$ eine auf dem Intervall $[a, b]$ stetige Funktion. Wird das Intervall $[a, b]$ in $n$ gleiche Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$ der Länge $\frac{b ...
  12. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    ... oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es gilt:$u´ = e^x \to u = e^x$$v = x \to v´ = 1$$\int\limits_0^1 e^x \cdot x \ ...
Analysis und Lineare Algebra
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Baustatik 1

  1. Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)
    Beispiel Prinzip der virtuellen Krfte
    ... $EI$ konstant, so erfolgt die Auswertung der Integrale mittels Koppeltafel. Bei Fachwerken gilt:$ -\overline{W}_i = \sum_i \frac{S_i \cdot \overline{S}_i \cdot l_i}{(EA)_i}$Vorgehensweise beim PvKBerechnung der Lagerkräfte und Schnittgrößen am Ausgangssystem mittels der Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System.Aufstellung des virtuellen Systems mit der Kraftgröße $\overline{1}$ in Richtung der Verschiebung $\delta$. Die äußeren Belastungen des ...
  2. Federn
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    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Federn
    Drehfeder, Federkonstante, Feder
    ... Mittels der  Koppeltafel, Tafel der Integrale ist es möglich die Verschiebung einfach aus den grafischen Schnittgrößenverläufen zu bestimmen, anstelle aufwendig die Integrale zu berechnen. Die Technik - die Schnittgrößenverläufe grafisch zu zeichnen, ohne vorherige Berechnungen durchzuführen - folgt in einem späteren Abschnitt. In Klausuraufgaben ist oft nicht die Zeit für große Berechnungen, weshalb die Zeichnung der ...
  3. Lagerverschiebungen/-verdrehungen
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Lagerverschiebungen/-verdrehungen
    Prinzip der virtuellen Krfte, Auflagerverformungen
    ... um die Koppeltafel zur Berechnung der Integrale anwenden zu können.Grafischer Schnittgrößenverlauf (Ausgangssystem)In der obigen Grafik ist der Schnittgrößenverlauf des Ausgangssystems grafisch dargestellt. Der Momentenverlauf im 1. Schnittbereich beginnt im Lager $A$ bei $x_1 = 0$ und nimmt den Wert Null an. Bei $x_1 = 3m$ nimmt dieser den Wert $M_1 = -7,5 kNm$ an. Es handelt sich hierbei um einen linearen Momentenverlauf.Der Momentenverlauf im 2. ...
  4. Dehnungen im Stab
    Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnungen im Stab
    rtliche Dehnung
    ... \; dx$          | Integral bilden$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$   | Integral auflösen$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon (x) \; dx$    Längenänderung (örtliche Dehnung)Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e_N (x)$ gegeben, so kann durch Integration die Längenänderung $\triangle l$ bestimmt werden.Ist die Dehnung konstant ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Bogenlänge berechnen
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    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... [a, b]$ lässt sich durch ein Kurvenintegral errechnen. Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b  ds $ Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist. Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen. DarstellungsartKurvenlänge ...
  2. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... ergibt:$\frac{dy}{y(y - 1)} = -2x \; dx $3. IntegralschreibweiseBeide Seiten der obigen Gleichung werden mit einen Integral versehen$\int \frac{dy}{y(y-1)} = \int -2x \ dx $ Umstellen:$\int \frac{1}{y(y-1)} \; dy = \int -2x \ dx $ 2. Auflösen der Integrale $\int -2x \ dx = -x^2 $ $\int \frac{dy}{y(y-1)} = ln|\frac{y-1}{y}|$3. Vereinfachen$ ln |\frac{y-1}{y}| = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt gerade Linie
    ... d\varphi}{\int R \cdot d\varphi}$$R$ aus dem Integral ziehen:$x_s = \frac{R^2}{R} \frac{\int_{-\alpha}^{\alpha} \cos (\varphi) \cdot d\varphi}{\int_{-\alpha}^{\alpha}  d\varphi}$Integral auflösen:$x_s = R \frac{[ \sin (\varphi)]_{-\alpha}^{\alpha} }{[ \varphi]_{-\alpha}^{\alpha} }$Da es sich um einen Viertelkreisbogen handelt, ist $\alpha = \pi /4$ (beide $\alpha$ zusammen ergeben also den Viertelkreis mit $2\alpha = \pi/2$). Für die Berechnung mit Sinus geben wir statt ...
  2. Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Streckenlast
    ... Summenzeichen wird im Grenzübergang ein Integral (siehe Höhere Mathematik I: Bestimmte Integrale):(1) $x_s = \frac{\int x q(x) dx}{\int q(x) dx}$       Abstand Schwerpunkt (kontinuierlich verteilte Kräfte) Die Resultierende der Streckenlast $R_q$ greift im Schwerpunkt (1) der Fläche an. Die Resultierende der Streckenlast wird bestimmt durch:(2) $R_q = \int q(x) \; dx$                          ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Satz von Steiner bersicht
    ... einschlagen:1. Direkte Lösung der Integrale im $ y^* - z^* $ - Koordinatensystem.2. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen und Nutzung der Flächenträgheitsmomente, welche sich auf das Schwerpunktkoordinatensystem beziehen (Steinersche Sätze). Die Formeln für letztere können Tabellenwerken entnommen werden. Im Folgenden wird der 2. Punkt ausführlich behandelt und die Steinerschen Sätze hergeleitet. Zum Schluss wird dies anhand eines ausführlichen ...
  2. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    rtliche Dehnung
    ... \; dx$          /Integral bilden$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e(x)$ gegeben, so kann durch Integration diese Längenänderung bestimmt werden.Spezialfall: Dehnung ist konstantIst die Dehnung konstant $\epsilon(x) = \epsilon_0 = const$, so kann das Integral aufgelöst werden und ...
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Regelungstechnik

  1. LAPLACE-Transformation
    LAPLACE Transformation > LAPLACE-Transformation
    ... erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.LAPLACE-Transformation:Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch:LAPLACE-Integral: $ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j  \; \omega \;  t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ ...
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Physik

  1. Isotherme Zustandsänderung
    Thermodynamik > Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik > Zustandsänderungen idealer Gase > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsnderung
    ... und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:$W_V = -  m \; R_i \; T \; (\ln(V_2) - \ln(V_1))$$\rightarrow W_V = m \; R_i \; T (\ln(V_1) - \ln(V_2))$.$\rightarrow \; W_V = m \; R_i \; T \; \ln \frac{V_1}{V_2}$.Setzt man nun für $m \; R_i \; T$ stattdessen $p_1V_1$ ein (denn $p_1V_1 = mR_iT$), und für $\ln \frac{V_1}{V_2} = \ln \frac{p_2}{p_1}$ (denn nach dem Gesetz von Boyle und Mariotte gilt $\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$), so ergibt ...
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Thermodynamik

  1. Isotherme Zustandsänderung
    Grundlagen der Thermodynamik > 2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsnderung Kolben
    ... und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:$W_V = -  m \; R_i \; T \; (\ln(V_2) - \ln(V_1))$$\rightarrow W_V = m \; R_i \; T (\ln(V_1) - \ln(V_2))$.$\rightarrow \; W_V = m \; R_i \; T \; \ln \frac{V_1}{V_2}$.Setzt man nun für $m \; R_i \; T$ stattdessen $p_1V_1$ ein (denn $p_1V_1 = mR_iT$), und für $\ln \frac{V_1}{V_2} = \ln \frac{p_2}{p_1}$ (denn nach dem Gesetz von Boyle und Mariotte gilt $\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$), so ergibt ...
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Mechanische Verfahrenstechnik

  1. Verteilungsdichte
    Partikel und disperse Systeme > Partikelgrößenverteilung > Verteilungsdichte
    Stetige Verteilungsdichtekurve
    ... dQ_r = q_r(x) \cdot dx $Mit Hilfe eines Integrals können wir die gesamte Fläche unter der Kurve beschreiben:$ \int_{x_{min}}^{x_{max}} q_r(x) \cdot dx = 1 $Integral - Gesamtfläche unter KurveDurchgang und Rückstand bei der SiebanalyseNutzen wir als Untersuchungsmethode die Siebanalyse mit abfallender Maschenweite bei der Versuchsdurchführung, so stellt der Durchgang $ D(x) $ die relative Masse unterhalb des Siebes und der Rückstand $ R(x) $ die relative Masse ...
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Webinare

  1. Integration durch Substitution, partielle Integration
    ...hrt wird....
  2. Höhere Mathematik: Integration durch Substitution und partielle Integration
    ...hrt wird....
  3. Gratis-Webinar (Höhere Mathematik 1): Integralrechnung
    ...n Kurs Höhere Mathematik 1. Heute geht es um die Integralrechnung. Es werden unbestimmte und bestimmte Integrale betrachtet und gezeigt, wie die Integration durch Substitution und die partielle Integration durchgeführt wird....