Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Arten der Biegung
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    Arten der Biegung
    ... sind diejenigen Achsen, bei denen die Flächenträgheitsmomente ihre Extremwerte annehmen. Bei symmetrischen Körpern sind dies alle Symmetriachsen bzw. die zu den Symmetrieachsen senkrecht stehenden Achsen. Bei unsymmetrischen Körpern existieren zwei Hauptachsen. Die Berechnung erfolgt im Kapitel Hauptträgheitsmomente. Bei der geraden und schiefen Biegung muss zwischen einem symmetrischen und asymmetrischen Querschnitt unterschieden und die Wirkrichtung der Belastung berücksichtigt ...
  2. Flächenträgheitsmomente
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    ... Im Weiteren folgen die Definitionen der Flächenträgheitsmomente. Es werden außerdem die Flächenträgheitsmomente für bestimmte geometrische Formen aufgeführt. Es folgen zudem Beispiele dazu, wie man die Flächenträgheitsmomente auch rechnerisch bestimmen kann, wenn keine Tabelle gegeben ist. Der Steinersche Anteil ist ebenfalls Gegenstand dieses Abschnittes.
  3. Flächenträgheitsmomente: Definition
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    Flächenträgheitsmomente: Definition
    ... werden jedoch die Flächenmomente 2. Ordnung [Flächenträgheitsmomente] benötigt. Diese treten entweder quadratisch oder als Produkt auf und haben die Form: $\int x^2dA, $              $\int y^2dA $ und     $\int xy dA $.  Es lassen sich drei Arten von Flächenträgheitsmomenten voneinander unterscheiden (bei weiterer Betrachtung der $y$-$z$-Ebene). 1. Axiales Flächenträgheitsmoment Mit dem axialen Flächenträgheitsmoment $ I_{yy} $ bzw. $ I_{zz}$ wird die Verbiegung eines ...
  4. Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
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    Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
    Die Berechnung der Flächenträgheitsmomente ist immer auch von der Lage des zugewiesenen Koordinatensystems abhängig. Meistens fällt die Wahl auf ein Koordinatensystem dessen Ursprung auch gleichzeitig mit dem Flächenschwerpunkt $S$ der betrachteten geometrischen Figur zusammenfällt oder auf ein Koordinatensystem, bei dem zumindest eine Achse den Flächenschwerpunkt berührt. Dies birgt den Vorteil, dass das Deviationsmoment meistens null wird (dann wenn eine oder beide Achsen Symmetrieachsen ...
  5. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
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    Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    ... Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Flächenträgheitsmomente bestimmt. Beispiel 1: Rechteck mit Achsen durch den Schwerpunkt In der obigen Grafik ist ein Rechteck zu sehen. Die Achsen liegen im Schwerpunkt des Rechtecks. Bestimme die Flächenträgheitsmomente $I_y$, $I_z$ und $I_{yz}$. Wie bereits aus dem Abschnitt Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem gezeigt sind die Flächenträgheitsmomente für ein Rechteck: $I_y = \frac{ba^3}{12}$ $I_z = ...
  6. Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
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    Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    ... Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Flächenträgheitsmomente für ein Dreieck bestimmt. Beispiel: Dreieck Gegeben sei das obige Dreieck mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Die Achsen gehen nicht durch den Schwerpunkt, sondern fallen mit den Seiten des Dreiecks zusammen. Es wird wieder ein infinitesimal kleiner Streifen der Breite $dz$ betrachtet, welcher den gleichen Abstand zur $y$-Achse besitzt. Die Länge ist nun aufgrund der abfallenden Steigung nicht mehr $b$. Es ist also ...
  7. Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
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    Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    In diesem Abschnitt wird gezeigt wie sich die Flächenträgheitsmomente berechnen lassen, wenn das Ursprungskoordinatensystem um einen mathematisch positiven Winkel $\alpha $ gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel. Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem $y, z$ werden nun in das Koordinatensystem ...
  8. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
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    Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    ... finden unter denen die axialen Flächenträgheitsmomente ihr Maximum bzw. Minimum annehmen. Die Momente in diese Richtungen stehen senkrecht aufeinander und werden Hauptträgheitsmomente $I_1, I_2$ genannt.  Es gilt demnach: $\ I_{\xi\xi}, I_{\xi\eta}, I_{\eta\eta} \rightarrow I_1 , I_2 $  Hierbei stehen $ I_1 $ und $ I_2 $ für die Extremwerte der axialen Flächenträgheitsmomente. $ I_{\xi\xi}, I_{\xi\eta},I_{\eta\eta} $ stellen die bereits bekannten Trägheitsmomente ...
  9. Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
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    Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Soll eine Berechnung der Flächenträgheitsmomente in Bezug auf die Koordinatenachsen erfolgen, so ist die Ausgangssituation oft so beschaffen, dass die Koordinatenachsen auch durch den entsprechenden Flächenschwerpunkt verlaufen. Im Folgenden wird nun der Fall betrachtet in welchem diese Ausgangssituation nicht mehr vorliegt, d.h. also, die Achsen nicht mehr durch den Flächenschwerpunkt verlaufen. Um dieses Problem dennoch mathematisch zu lösen, lassen sich zwei Lösungswege einschlagen: 1. ...
  10. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
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    Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    ... dass es sich bei der Bestimmung der Flächenträgheitsmomente um einteilige Flächen handelt. In der Praxis ist es jedoch häufig der Fall, dass Flächen aus zwei oder unzähligen Einzelflächen zusammengesetzt sind, sei es durch Klebung, Verschraubung oder etwaiges. Liegt eine besondere geometrische Figur vor, beispielsweise ein aus zwei Flächen bestehender Winkel oder ein aus vier Flächen bestehender Rahmen, empfiehlt es sich den "Gesamt"- Flächenträgheitsmoment der geometrischen ...
  11. Kritische Knickkraft
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickkraft
    Kritische Knickkraft
    ... aus einer Tabelle ablesen (siehe Abschnitt Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem). Ist das Flächenträgheitsmoment nicht tabellarisch gegeben, muss dieses berechnet werden. Da es sich hierbei um einen kreisförmigen Querschnitt handelt, kann man $I$ aus der Tabelle ablesen: $I = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi \cdot (5mm)^4}{4} = 490,87 mm^4$ E-Modul Das E-Modul für den Werkstoff S235 (St 37) kann aus einer Tabelle abgelesen werden. Es handelt sich hierbei um ...
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Maschinenelemente 2

  1. Tragfähigkeitsnachweis
    Wellen und Achsen > Tragfähigkeitsnachweis
    Tragfähigkeitsnachweis
    ... Widerstandsmomente $ W_b, W_t $ in $ m^3 $ und Flächenträgheitsmomente $ I_b, I_t $ in $ m^4 $. Wellenprofile Momente/Wellengeometrien Glatte Welle Genutete Welle Glatte Hohlwelle Keilwelle Durchbohrte Welle $ W_b$ $\approx 0,1 d^3 $ $\approx 0,012 (D + d^3)$ $\approx 0,1 \frac{D^4 - d^4}{D} $ $\approx 0,012 (D + d)^3 $  $\approx 0,1 D^3 - 0,17 d \cdot D^2 $  $ W_t $ $ 2 \cdot W_b $ $\approx 0,2 \cdot d^3 $ $ = 2 \cdot W_b $ $ = 2 \cdot W_b $ $\approx 2 ...
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Strömungslehre

  1. Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    Hydrostatik > Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    ... die Achsen durch den Schwerpunkt verlaufen. Flächenträgheitsmomente sollten aus dem Studienfach Elastostatik bekannt sein und können Tabellenwerken entnommen werden. Eingesetzt in die Formel ergibt: $\eta_D = \frac{1,73m^4}{1,73 m \cdot 1,73m^2} = 0,58 m$. Der Abstand vom Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt in positive $\eta$-Richtung beträgt 0,58 m. Insgesamt ergibt sich ein Abstand von der Flüssigkeitsoberfläche zum Druckmittelpunkt von (Schwerpunktlage + Abstand): $\eta_D^{ges} ...
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Maschinenelemente 1

  1. Berechnung der Spannungen einer Schweißverbindung
    Verbindungen und Verbindungselemente > Stoffschlüssige Verbindungen > Schweißverbindungen > Berechnung der Spannungen einer Schweißverbindung
    Berechnung der Spannungen einer Schweißverbindung
    ... halben Gesamtnahtlänge. Zur Ermittlung der Flächenträgheitsmomente und Widerstandsmomente werden die Schweißnahtquerschnitte in die Anschlussebene geklappt und daraus ein "Profil" gebildet. Der Stahlbau nimmt dabei die Wurzelnahtlinie als Schweißnahtschwerachse an, wo hingegen der Maschinenbau hierzu keine Vorschrift aufweist. 
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