Analysis und Lineare Algebra

  1. Fundamentalsatz der Algebra
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > Fundamentalsatz der Algebra
    ... komplexen Zahlen $\ b_1,...,b_n$ sind die Nullstellen von $ f(x)$Zerlege folgendes Polynom  $\ x^4 - 1$   in Linearfaktoren.$\ x^4 - 1= (x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$ [Hier zu beachten $\ i^2 = -1$]Die Probe: $\ (x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$$\ = (x^2 -1^2) (x^2 - i^2)$$\ = (x^2 -1) (x^2 + 1)$$\ = x^4 + x^2 - x^2 - 1$$\ = x^4 - 1$  Jedes Polynom $n$ -ten Grades lässt sich in ein Produkt von $n$ -Faktoren zerlegen.Hierbei ist anzumerken, dass jede ganzrationale Gleichung  $n$-ten ...
  2. Asymptoten
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Asymptoten
    Waagerechte Asymptote
    ... werden also die Nennernullstellen berechnet und geprüft, ob es sich um eine Polstelle handelt.$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$$n(x) = 6x^2 - 12x$  /6$n(x) = x^2 - 2x$$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$$x_1 = 2$$x_2 = 0$Einsetzen in den Zähler:$z(x = 2) = 0$   hebbare Definitionslücke$z(x = 0) = -12$  PolstelleBei $x = 0$ liegt eine Polstelle vor. Demnach verläuft die senkrechte Asymptote durch ...
  3. Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
    ... einer $n \times n$-Matrix weniger als $n$ Nullstellen gegeben, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar.Zu 2):Geometrische Vielfachheit: Anzahl linear unabhängiger EigenvektorenAlgebraische Vielfachheit: Anzahl der Eigenwerte, wobei die Vielfachheit der Nullstellen mit berücksichtigt werden muss.Sind beide identisch, also Eigenwerte und Eigenvektoren, so ist die Matrix diagionalisierbar!Wie eine Matrix auf Diagonalisierbarkeit geprüft wird zeigen die nachfolgenden Abschnitt...
  4. Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Definitionslcke
    Nullstellen bei gebrochen rationalen FunktionenFür die Ermittlung der Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen wird der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochen rationalen Funktion wird gleich Null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert Null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: Definitionslücke). Ist der Nenner ungleich Null, so liegt ...
  5. Nullstellen von Polynomen
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen
    ... eine wichtige Rollen in der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen, also die Werte von $x$, für die das Polynom verschwindet. Der Ausdruck algebraische Summe ist dem Polynom gleichbedeutend.Ein Beispiel für ein fünfgliedriges Polynom ist:  $x^2 + x - 1 + c - \frac {1}{x}$Im Folgenden gehen wir auf den Fundamentalsatz der Algebra und die pq-Formel näher ein.
  6. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    ... 2. Ableitung noch abhängig von $x$, so die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen.Bereiche angegeben und durch Einsetzen kleinerer und größerer Werte in die 2. Ableitung die Konkavität bzw. Konvexität bestimmen.Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität$F(x) = 10x - 4x^2$$F'(x) = 10 - 8x$$F''(x) = -8$$\rightarrow$ streng konkav!$F(x) = 8x^3 - 2x^4$$F'(x) = 24x^2 - 8x^3$$F''(x) = 48x - 24x^2$$x$ ausklammern:$F''(x) = x(48 - 24x)$Die 2. ...
  7. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    ... Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $I. Durchdividieren$\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann der Bruch $\frac{2x+3}{x^2-1}$ vereinfacht dargestellt werden:II. Nullstellen des Nenners bestimmen$\ x^2-1 \rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$III. ...
  8. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    ... Fall, wenn bei einer $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen resultieren.Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{2} & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $mit$\chi_A(\lambda)$ charakteristisches Polynom$\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ ...
  9. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... (6-\lambda) \cdot (6-\lambda) $2. Schritt: Nullstellen\ Eigenwerte bestimmenDie Eigenwerte können sofort abgelesen werden. Wenn eine Klammer null wird, dann wird der gesamte Ausdruck zu null und die Bedingung $\chi_n(\lambda) = 0$ ist erfüllt.$\lambda_1 = 9$, $\lambda_{2,3} = 6$Es sind also zwei Eigenwerte berechnet worden, wobei der 2. Eigenwert die Vielfachheit 2 aufweist. Es existieren also 3 Nullstellen für eine $3 \times 3$-Matrix. Das charakteristische Polynom zerfällt ...
  10. Hebbare Definitionslücke
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Hebbare Definitionslücke
    ... erweitert werden kann.Vorgehensweise:Nullstellen des Nenners bestimmen.Nullstellen des Zählers bestimmen. Resultiert der selbe Wert wie in 1. liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor, ansonsten eine Polstelle.Zähler und Nenner faktorisieren, den Bruch kürzen.WICHTIG! Erneut prüfen, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt oder eine Polstelle.In 4. muss nochmals überprüft werden, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt. Dafür ...
  11. pq-Formel
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > pq-Formel
    ... quadratische Gleichungen, also dem Finden von Nullstellen eines Polynoms.Grundform, allgemeine Form der pq-FormelDie Allgemeine Form der pq-Formel ist wie folgt:$ x^2 + px + q = 0$Die Lösung der pq-Formel ist entsprechend:$ x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} $Alternativ: $\ ax^2 + bx + c = 0$$ x_{1/2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$Anwendungsbeispiel zur pq-FormelGegeben sei folgende quadratische Gleichung $ 4x^2 + 16x + 8$. Bestimmen Sie die Nullstellen.Zuerst ...
  12. Ganz rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen
    ... zwei Abschnitten wird gezeigt, wie man die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmt. Dabei wird auf die p/q-Formel, die Substitution sowie die Polynomdivision eingegangen. Außerdem soll gezeigt werden, wie man die Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen bestimmt.
  13. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... f$$\ [-1, 1]$$\ [-1, 1]$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$Nullstellen $\ x_0$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Pole $\ x_p$--$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$Extrema $\ x_E$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$--Wendepunkte $\ x_W$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Asymptoten--$ y= \pi/2 + k\pi$$\ y= k\pi$Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen FunktionenDas Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen verhält sich in den einzelnen Quadranten wie in der unten angegeben Grafik. Quadrantsincostan cotI++++II+---III--++IV-+--Begründung:$cos(\alpha) ...
  14. Die e-Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
    e-Funktion
    ...  $x \in \mathbb{R}$  hat keine Nullstellen.Die Ableitung von $e^x$  ergibt wieder  $e^x$:  $(e^x)' = e^x$e-FunktionWeitere Grenzwerte der e-Funktion$\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$$\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0$$\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = \lim\limits_{x\to\infty} e^{-x} = 0$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0, n \in \mathbb{N}$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty, n \in ...
  15. Eigenwerte
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    ... - 8\lambda + 15 = 0$2. Schritt: Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms durch Anwendung der p/q-Formel$p/q-Formel = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$$= \frac{8}{2} \pm \sqrt{(-\frac{8}{2})^2 - 15}$$\lambda_1= 4 + \sqrt{1} = 5$$\lambda_2 = 4 - \sqrt{1} = 3$$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$  sind die Eigenwerte der Matrix $A$.Die Lösung der Gleichung  $\chi_n(\lambda) = 0$  sind die Eigenwerte einer Matrix.Das Video wird geladen...
  16. Extremwerte
    Differentialrechnung > Extremwerte
    Extremwerte
    ... Punkte ohne höhere Ableitung:(a1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:  $f´(x) = 0$  setzen (kritische Punkte)(a2) Werte > und <  $x_0$  in  $f´(x)$  einsetzen:- wechselt  $f´$  in dem kritischen Punkt  $x_0$ das Vorzeichen, so liegt ein Extremum vor:wechselt $f´$  von + nach -, so liegt bei  $x_0$  ein lokales (relatives) Maximum vorwechselt $f´$  von - nach +, so liegt bei $x_0$ ...
  17. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Newton
    Das Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Newton dient dazu, zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Näherungswerte zur Lösung der Gleichung   $f(x) = 0$  (also Nullstellen der Funktion) zu finden. Das Näherungsverfahren wird angewandt, weil direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar sind. Die grundlegende Idee des Newtonverfahrens ...
  18. Monotone Funktionen
    Differentialrechnung > Monotone Funktionen
    streng monoton wachsend
    ... f'(x) = x^2 – 4x + 3 $1. Bestimme die Nullstellen $\ f'(x) = 0 \leftrightarrow x^2-4x+3 = 0 \rightarrow x_1= 1; x_2=3$2. Die Nullstellen werden nun die 1. Ableitung eingesetzt und geschaut, ob diese >0 oder < 0 wird.3. Erzeuge eine VorzeichentabelleBereich$x $1 < x < 3$$x > 3$f'(x)+-+$f(x)$ ist streng monotonwachsendfallendwachsend
  19. Gebrochen rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen
    ... x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$  (unecht gebrochen)Nullstellen, Pole, DefinitionslückenNullstellen: Eine Nullstelle ist gegeben, wenn der Zähler den Wert null annimmt, der Nenner aber einen Wert ungleich Null. Definitionslücke: Es liegt allgemein eine Definitionslücke vor, wenn der Nenner den Wert Null animmt. Man unterscheidet hier zwischen Pol und hebbarer Definitionslücke: Pole: Es liegt eine Polstelle vor, wenn der Nenner den Wert Null annimmt, ...
  20. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Nullstellen
    Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion  $f(x)$ diejenige Zahl  $x_0$, für die  $f(x_0) = 0$  gilt. Das bedeutet also, alle Lösungen einer Funktion $f(x)$ zu ermitteln. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus: NullstellenDort, wo der Graph der Funktion  $f(x)$  die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von  $f(x)$.  Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die ...
  • 113 Texte mit 84 Bildern
  • 200 Übungsaufgaben
  • und 25 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Regelungstechnik

  1. Homogene Differenzialgleichungen
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen
    ... Polynomgleichung $ n$-ter Ordnung besitzt $ n $ Nullstellen $ \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3, ...  \alpha_n$.Nun zerlegen wir die charakteristische Gleichung in Linearfaktoren:Linearfaktoren: $ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+....+ a_{1} \cdot \alpha^{1} + a_0 = 0 \Longrightarrow  a_n \cdot (\alpha - \alpha_1) \cdot (\alpha - \alpha_2) \cdot (\alpha - \alpha_3)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) = ...
  2. Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
    RC-Element
    ... wir mit $ T_1 \cdot \alpha + 1 = 0 $ auch die Nullstelle bestimmen:Nullstelle: $ \alpha_1 = - \frac{1}{T_1} $Fasst man nun alle Gleichung zusammen, so erhalten wir als Lösung der homogenen Differenzialgleichung:Lösung der homogenen Differenzialgleichung: $ x_{ah}(t) = C_1 \cdot e^{\alpha_1 t} $ bzw. $ x_{ah}(t) = C_1 e^{- \frac{t}{T_1}} $Fassen wir die logische Vorgehensweise zusammen:Lösungansatz aufstellen $\rightarrow $ Erste Ableitung bilden $\rightarrow $ Einsetzen in die ...
  3. Besonderheiten
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen > Besonderheiten
    ... Gleichung reell.Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein:$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha + a_0 = a_n \cdot (\alpha - \alpha_1)\cdot (\alpha - \alpha_2)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) $Dies gewährleistet, dass bei Nullstellen, die diese Eigenschaft besitzen, sich die Imaginärkomponenten ...
  • 79 Texte mit 121 Bildern
  • 106 Übungsaufgaben
  • und 14 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... für die $g(y_0) = 0 $, also $ y_0 $ eine Nullstelle der Funktion $ g(y) $ ist.2. Zudem befinden sich in der Lösungsgesamtheit alle Funktionen $ y = y(x) $, die sich aus $ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \; dx$, $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. Anwendungsbeispiel: TDVLösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: ...
  2. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:$F(x,y) = 0 $.Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen. Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$.Explizite ...
  3. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... \in \mathbb{R} $Nachstehend eine Tabelle mit Nullstellen der charakteristischen Gleichung und die zugehörigen Basislösungen.Nullstellen der charakteristischen GleichungBasislösungen der homogenen Differentialgleichung  $ 1, -2, 3 $$ e^x, e^{-2x}, e^{3x} $$ 0, \sqrt{3}, 1 + \sqrt{2} $$ 1, e^{\sqrt{3}x}, e^{(1 + \sqrt{2})x} $$ 0, 0, 2, 2, 2 $$ 1, x, e^{2x}, xe^{2x}, x^2e^{ex} $$ 1, 2 \pm 3i $$ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung ...
  • 54 Texte mit 37 Bildern
  • 79 Übungsaufgaben
  • und 12 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG