Analysis und Lineare Algebra

  1. Nullstellen, Definitionslücken
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Definitionslcke
    Nullstellen bei gebrochenrationalen FunktionenFür die Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen wird der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: Definitionslücke). Ist der Nenner ungleich null, so liegt eine ...
  2. Eigenwerte
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    ... Polynom $\chi_n(\lambda)$ der Matrix $a$Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\chi_n(\lambda)$ sind die Eigenwerte $\lambda$ der Matrix $A$.Ein Polynom $n$-ten Grades hat höchstens $n$ Nullstellen. Somit existieren höchstens $n$ Eigenwerte der Matrix A.AnwendungsbeispielGegeben sei die folgende Matrix: $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms und Nullsetzen$det(A − \lambda E) =  \begin{vmatrix} ...
  3. Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
    ... einer $n \times n$-Matrix weniger als $n$ Nullstellen gegeben, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar.Zu 2:geometrische Vielfachheit: Anzahl linear unabhängiger Eigenvektorenalgebraische Vielfachheit: Die Anzahl der Eigenwerte, wobei die Vielfachheit der Nullstellen mit berücksichtigt werden muss.Sind Eigenwerte und Eigenvektoren identisch, so ist die Matrix diagionalisierbar!Wie eine Matrix auf Diagonalisierbarkeit geprüft wird, zeigen wir dir in den nachfolgenden drei K...
  4. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    ... Fall, wenn bei einer $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen existieren.Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $mit$\chi_A(\lambda)$ = charakteristisches Polynom$\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 ...
  5. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... die anderen Diagonalen ergeben null.2. Schritt: Nullstellen/Eigenwerte bestimmenDie Eigenwerte können sofort abgelesen werden. Wenn eine Klammer null wird, dann wird der gesamte Ausdruck zu null und die Bedingung $\chi_n(\lambda) = 0$ ist erfüllt.$\lambda_1 = 9$, $\lambda_{2,3} = 6$Es sind also zwei Eigenwerte berechnet worden, wobei der 2. Eigenwert die Vielfachheit 2 aufweist. Es existieren also 3 Nullstellen für diese $3 \times 3$-Matrix. $\Longrightarrow$ Das charakteristische ...
  6. Nullstellen von Polynomen
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen
    ... Zahlen spielen in der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen eine wichtige Rolle, also die Werte von $x$, für die das Polynom verschwindet. Der Ausdruck algebraische Summe ist dem Polynom gleichbedeutend.Ein Beispiel für ein fünfgliedriges Polynom ist der Term $\, x^2 + x - 1 + c - \frac {1}{x}$. In den folgenden Kurstexten gehen wir auf den Fundamentalsatz der Algebra und die pq-Formel näher ein. 
  7. Fundamentalsatz der Algebra
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > Fundamentalsatz der Algebra
    ... Zahlen $b_1, \, ... \, , b_n$ sind die Nullstellen von $ f(x)$.Zerlege das Polynom $x^4 - 1$ in Linearfaktoren!$x^4 - 1= (x-1)(x-i)(x+1)(x+i) \;\;$ (Beachte, dass $i^2 = -1$!)Probe: $(x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$$= (x^2 -1^2) (x^2 - i^2)$$= (x^2 -1) (x^2 + 1)$$= x^4 + x^2 - x^2 - 1$$= x^4 - 1$  Jedes Polynom $n$-ten Grades lässt sich in ein Produkt von $n$ Faktoren zerlegen.Hierbei ist anzumerken, dass jede ganzrationale Gleichung $n$-ten Grades mit komplexen Zahlen genau $n$  ...
  8. abc- und pq-Formel sowie Diskriminante
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > abc- und pq-Formel sowie Diskriminante
    Bitte Beschreibung eingeben
    ... Gleichungen, also dem Auffinden von Nullstellen eines Polynoms.Die abc-FormelDie allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:allgemeine Form der quadratischen Gleichung: $ax^2 + bx + c = 0$mit:$a \neq 0$ $ax^2$ = quadratisches Glied $bx$ = lineares Glied $c$ = konstantes Glied (oder Absolutglied)Ist $b = 0$, dann sprechen wir von einer reinquadratischen Gleichung.Die Lösungen dieser Gleichung berechnen wir mit der sogenannten abc-Formel. Diese Formel wird in Teilen des deutschsprachigen ...
  9. Ganzrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen
    ... zwei Abschnitten zeigen wir dir, wie man die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmt. Dabei gehen wir auf die p/q-Formel, die Substitution sowie die Polynomdivision ein. Außerdem zeigen wir, wie man die Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen bestimmt.
  10. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Nullstellen
    Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion $f(x)$ diejenige Zahl $x_0$, für die $f(x_0) = 0$  gilt. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus.NullstellenDort, wo der Graph der Funktion $f(x)$ die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von $f(x)$.  Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit $n ...
  11. Gebrochenrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
    ... parallelen Gerade für $x \to \infty$.Nullstellen und DefinitionslückenNullstellen: Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler den Wert null annimmt, der Nenner aber einen Wert ungleich null besitzt. Definitionslücken: Der Graph der Funktion nähert sich einer senkrechten Asymptoten an. Eine Definitionslücke liegt vor, wenn der Nenner für $x_0$ den Wert null animmt, er also eine Nullstelle hat. Man unterscheidet hier zwischen Pol und hebbarer ...
  12. Asymptoten
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Asymptoten
    Waagerechte Asymptote
    ... werden also die Nennernullstellen berechnet und geprüft, ob es sich um eine Polstelle handelt.$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$$n(x) = 6x^2 - 12x$  /6$n(x) = x^2 - 2x$$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$$x_1 = 2$$x_2 = 0$Einsetzen in den Zähler:$z(x = 2) = 0$   hebbare Definitionslücke$z(x = 0) = -12$  PolstelleBei $x = 0$ liegt eine Polstelle vor. Demnach verläuft die senkrechte Asymptote durch ...
  13. Die e-Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
    e-Funktion
    ...  $x \in \mathbb{R}$  hat keine Nullstellen.Die Ableitung von $e^x$  ergibt wieder  $e^x$:  $(e^x)' = e^x$e-FunktionWeitere Grenzwerte der e-Funktion$\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$$\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0$$\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = \lim\limits_{x\to\infty} e^{-x} = 0$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0, n \in \mathbb{N}$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty, n \in ...
  14. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... f$$\ [-1, 1]$$\ [-1, 1]$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$Nullstellen $\ x_0$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Pole $\ x_p$--$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$Extrema $\ x_E$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$--Wendepunkte $\ x_W$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Asymptoten--$ y= \pi/2 + k\pi$$\ y= k\pi$Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen FunktionenDas Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen verhält sich in den einzelnen Quadranten wie in der unten angegeben Grafik. Quadrantsincostan cotI++++II+---III--++IV-+--Begründung:$cos(\alpha) ...
  15. Extremwerte
    Differentialrechnung > Extremwerte
    Extremwerte
    ... Punkte ohne höhere Ableitung:(a1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:  $f´(x) = 0$  setzen (kritische Punkte)(a2) Werte > und <  $x_0$  in  $f´(x)$  einsetzen:- wechselt  $f´$  in dem kritischen Punkt  $x_0$ das Vorzeichen, so liegt ein Extremum vor:wechselt $f´$  von + nach -, so liegt bei  $x_0$  ein lokales (relatives) Maximum vorwechselt $f´$  von - nach +, so liegt bei $x_0$ ...
  16. Monotone Funktionen
    Differentialrechnung > Monotone Funktionen
    streng monoton wachsend
    ... f'(x) = x^2 – 4x + 3 $1. Bestimme die Nullstellen $\ f'(x) = 0 \leftrightarrow x^2-4x+3 = 0 \rightarrow x_1= 1; x_2=3$2. Die Nullstellen werden nun die 1. Ableitung eingesetzt und geschaut, ob diese >0 oder < 0 wird.3. Erzeuge eine VorzeichentabelleBereich$x $1 < x < 3$$x > 3$f'(x)+-+$f(x)$ ist streng monotonwachsendfallendwachsend
  17. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    ... 2. Ableitung noch abhängig von $x$, so die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen.Bereiche angegeben und durch Einsetzen kleinerer und größerer Werte in die 2. Ableitung die Konkavität bzw. Konvexität bestimmen.Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität$F(x) = 10x - 4x^2$$F'(x) = 10 - 8x$$F''(x) = -8$$\rightarrow$ streng konkav!$F(x) = 8x^3 - 2x^4$$F'(x) = 24x^2 - 8x^3$$F''(x) = 48x - 24x^2$$x$ ausklammern:$F''(x) = x(48 - 24x)$Die 2. ...
  18. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Newton
    Das Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Newton dient dazu, zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Näherungswerte zur Lösung der Gleichung   $f(x) = 0$  (also Nullstellen der Funktion) zu finden. Das Näherungsverfahren wird angewandt, weil direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar sind. Die grundlegende Idee des Newtonverfahrens ...
  19. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    ... Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $I. Durchdividieren$\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann der Bruch $\frac{2x+3}{x^2-1}$ vereinfacht dargestellt werden:II. Nullstellen des Nenners bestimmen$\ x^2-1 \rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$III. ...
  20. Hebbare Definitionslücke
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Hebbare Definitionslücke
    Hebbare Definitionslcke, Nullstelle, gebrochen rationale Funktion
    ... erweitert werden kann.Vorgehensweise:Nullstellen des Nenners bestimmen.Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor.Zähler und Nenner faktorisieren und den Bruch kürzen.Gemeinsame Nullstelle aus 2. in den Nenner der gekürzten faktorisierten Funktion aus 3. einsetzen. Wird der Nenner ungleich null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Wird der Nenner hingegen ...
Analysis und Lineare Algebra
  • 124 Texte mit 138 Bildern
  • 209 Übungsaufgaben
  • und 22 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Regelungstechnik

  1. Homogene Differenzialgleichungen
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen
    ... Polynomgleichung $ n$-ter Ordnung besitzt $ n $ Nullstellen $ \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3, ...  \alpha_n$.Nun zerlegen wir die charakteristische Gleichung in Linearfaktoren:Linearfaktoren: $ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+....+ a_{1} \cdot \alpha^{1} + a_0 = 0 \Longrightarrow  a_n \cdot (\alpha - \alpha_1) \cdot (\alpha - \alpha_2) \cdot (\alpha - \alpha_3)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) = ...
  2. Besonderheiten
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen > Besonderheiten
    ... Gleichung reell.Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein:$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha + a_0 = a_n \cdot (\alpha - \alpha_1)\cdot (\alpha - \alpha_2)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) $Dies gewährleistet, dass bei Nullstellen, die diese Eigenschaft besitzen, sich die Imaginärkomponenten ...
  3. Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
    Widerstand-Kondensator-Schaltung
    ... wir mit $ T_1 \cdot \alpha + 1 = 0 $ auch die Nullstelle bestimmen:Nullstelle: $ \alpha_1 = - \frac{1}{T_1} $Fasst man nun alle Gleichung zusammen, so erhalten wir als Lösung der homogenen Differenzialgleichung:Lösung der homogenen Differenzialgleichung: $ x_{ah}(t) = C_1 \cdot e^{\alpha_1 t} $ bzw. $ x_{ah}(t) = C_1 e^{- \frac{t}{T_1}} $Fassen wir die logische Vorgehensweise zusammen:Lösungansatz aufstellen $\rightarrow $ Erste Ableitung bilden $\rightarrow $ Einsetzen in die ...
Regelungstechnik
  • 86 Texte mit 260 Bildern
  • 108 Übungsaufgaben
  • und 14 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:$F(x,y) = 0 $.Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen. Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$.Explizite ...
  2. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... für die $g(y_0) = 0 $, also $ y_0 $ eine Nullstelle der Funktion $ g(y) $ ist.2. Zudem befinden sich in der Lösungsgesamtheit alle Funktionen $ y = y(x) $, die sich aus $ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \; dx$, $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. Anwendungsbeispiel: TDVLösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: ...
  3. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... \in \mathbb{R} $Nachstehend eine Tabelle mit Nullstellen der charakteristischen Gleichung und die zugehörigen Basislösungen.Nullstellen der charakteristischen GleichungBasislösungen der homogenen Differentialgleichung  $ 1, -2, 3 $$ e^x, e^{-2x}, e^{3x} $$ 0, \sqrt{3}, 1 + \sqrt{2} $$ 1, e^{\sqrt{3}x}, e^{(1 + \sqrt{2})x} $$ 0, 0, 2, 2, 2 $$ 1, x, e^{2x}, xe^{2x}, x^2e^{ex} $$ 1, 2 \pm 3i $$ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
  • 54 Texte mit 48 Bildern
  • 79 Übungsaufgaben
  • und 10 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Baustatik 1

  1. Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Prinzip der virtuellen Krfte, Verschiebung, Verdrehung
    ... ob ein Nulldurchgang gegeben ist, wenn man die Nullstellen der Funktion berechnet. Wir haben eine quadratische Funktion gegeben und wenden die p/q-Formel an:$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$Momentenverlauf auf die Form $x^2 + bx + c $ bringen:$- 7,5  x_2^2 + 20 \cdot x_2 + 7,51 $  |: (-7,5)$x_2 - 2,67 x_2 - 1$Einsetzen:$x_{1,2} = - \frac{-2,67}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2,67}{2})^2 - (-1)}$$x_1 = - \frac{-2,67}{2} + \sqrt{(\frac{-2,67}{2})^2 - (-1)} = 3$$x_2 = - \frac{-2,67}{2} ...
Bitte Beschreibung eingeben
  • 76 Texte mit 446 Bildern
  • 126 Übungsaufgaben
  • und 10 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Rechteck
    ... I_{z}) I + I_{y}I_{z} - I_{yz}^2 = 0$ Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion entsprechen den Hauptträgheitsmomenten. Die Nullstellen können mit der p/q-Formel berechnet werden:$I_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$           p/q-Formel Hierbei ist $p = -(I_{y} + I_{z})$           Abhängig von $I$$q = I_{y}I_{z} - I_{yz}^2$                  ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
  • 109 Texte mit 433 Bildern
  • 139 Übungsaufgaben
  • und 17 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG