Analysis und Lineare Algebra

  1. Nullstellen von Polynomen
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen
    ... eine wichtige Rollen in der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen, also die Werte von $x$, für die das Polynom verschwindet.  Der Ausdruck algebraische Summe ist dem Polynom gleichbedeutend. Ein Beispiel für ein fünfgliedriges Polynom ist:  $x^2 + x - 1 + c - \frac {1}{x}$ Im Folgenden gehen wir auf den Fundamentalsatz der Algebra und die pq-Formel näher ein.
  2. Fundamentalsatz der Algebra
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > Fundamentalsatz der Algebra
    ... komplexen Zahlen $\ b_1,...,b_n$ sind die Nullstellen von $ f(x)$ Zerlege folgendes Polynom  $\ x^4 - 1$   in Linearfaktoren. $\ x^4 - 1= (x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$ [Hier zu beachten $\ i^2 = -1$]Die Probe:  $\ (x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$ $\ = (x^2 -1^2) (x^2 - i^2)$ $\ = (x^2 -1) (x^2 + 1)$ $\ = x^4 + x^2 - x^2 - 1$ $\ = x^4 - 1$  Jedes Polynom $n$ -ten Grades lässt sich in ein Produkt von $n$ -Faktoren zerlegen. Hierbei ist anzumerken, dass jede ganzrationale Gleichung  $n$-ten ...
  3. pq-Formel
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > pq-Formel
    ... quadratische Gleichungen, also dem Finden von Nullstellen eines Polynoms. Die Allgemeine Form der pq-Formel ist wie folgt: $ x^2 + px + q = 0$ ie Lösung der pq-Formel ist entsprechend: $ x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} $ Alternativ:  $\ ax^2 + bx + c = 0$ $ x_{1/2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Anwendungsbeispiel: p/q-Formel Gegeben sei folgende quadratische Gleichung $ 4x^2 + 16x + 8$. Bestimmen Sie die Nullstellen. Zuerst ist die Gleichung ...
  4. Ganz rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen
    ... zwei Abschnitten wird gezeigt, wie man die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmt. Dabei wird auf die p/q-Formel, die Substitution sowie die Polynomdivision eingegangen. Außerdem soll gezeigt werden, wie man die Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen bestimmt.
  5. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion  $f(x)$ diejenige Zahl  $x_0$, für die  $f(x_0) = 0$  gilt. Das bedeutet also, alle Lösungen einer Funktion $f(x)$ zu ermitteln. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus:  Nullstellen Dort, wo der Graph der Funktion  $f(x)$  die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von  $f(x)$.   Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln ...
  6. Gebrochen rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen
    ... + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$  (unecht gebrochen) Nullstellen, Pole, Definitionslücken Nullstellen: Eine Nullstelle ist gegeben, wenn der Zähler den Wert null annimmt, der Nenner aber einen Wert ungleich Null.  Definitionslücke: Es liegt allgemein eine Definitionslücke vor, wenn der Nenner den Wert Null animmt. Man unterscheidet hier zwischen Pol und hebbarer Definitionslücke:  Pole: Es liegt eine Polstelle vor, wenn der Nenner den Wert Null annimmt, der Zähler hingegen einen Wert ...
  7. Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Nullstellen bei gebrochen rationalen Funktionen Für die Ermittlung der Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen wird der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochen rationalen Funktion wird gleich Null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert Null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: Definitionslücke). Ist der Nenner ungleich Null, so liegt eine Nullstelle der gebrochen ...
  8. Hebbare Definitionslücke
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Hebbare Definitionslücke
    Hebbare Definitionslücke
    ... erweitert werden kann. Vorgehensweise: Nullstellen des Nenners bestimmen. Nullstellen des Zählers bestimmen. Resultiert der selbe Wert wie in 1. liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor, ansonsten eine Polstelle. Zähler und Nenner faktorisieren, den Bruch kürzen. WICHTIG! Erneut prüfen, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt oder eine Polstelle. In 4. muss nochmals überprüft werden, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt. Dafür wird der bei 2. ermittelte ...
  9. Asymptoten
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Asymptoten
    Asymptoten
    ... Es werden also die Nennernullstellen berechnet und geprüft, ob es sich um eine Polstelle handelt. $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ $n(x) = 6x^2 - 12x$  /6 $n(x) = x^2 - 2x$ $x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$ $x_1 = 2$ $x_2 = 0$ Einsetzen in den Zähler: $z(x = 2) = 0$   hebbare Definitionslücke $z(x = 0) = -12$  Polstelle Bei $x = 0$ liegt eine Polstelle vor. Demnach verläuft die senkrechte Asymptote durch $x = ...
  10. Die e-Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
    Die e-Funktion
    ... > 0$  für  $x \in \mathbb{R}$  hat keine Nullstellen. Die Ableitung von $e^x$  ergibt wieder  $e^x$:  $(e^x)' = e^x$ e-Funktion Weitere Grenzwerte der e-Funktion: $\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$ $\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0$ $\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = \lim\limits_{x\to\infty} e^{-x} = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0, n \in \mathbb{N}$ $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = ...
  11. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    ... $\ [-1, 1]$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ Nullstellen $\ x_0$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$ Pole $\ x_p$ - - $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ Extrema $\ x_E$ $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ - - Wendepunkte $\ x_W$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$ Asymptoten - - $ y= \pi/2 + k\pi$ $\ y= k\pi$ Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen Das Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen verhält sich in den einzelnen ...
  12. Extremwerte
    Differentialrechnung > Extremwerte
    Extremwerte
    ... kritischen Punkte ohne höhere Ableitung: (a1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:  $f´(x) = 0$  setzen (kritische Punkte) (a2) Werte > und <  $x_0$  in  $f´(x)$  einsetzen: - wechselt  $f´$  in dem kritischen Punkt  $x_0$ das Vorzeichen, so liegt ein Extremum vor: wechselt $f´$  von + nach -, so liegt bei  $x_0$  ein lokales (relatives) Maximum vor wechselt $f´$  von - nach +, so liegt bei $x_0$  ein lokales (relatives) Minimum vor (b) Untersuchung der kritischen ...
  13. Monotone Funktionen
    Differentialrechnung > Monotone Funktionen
    Monotone Funktionen
    ... f'(x) = x^2 – 4x + 3 $1. Bestimme die Nullstellen $\ f'(x) = 0 \leftrightarrow x^2-4x+3 = 0 \rightarrow x_1= 1; x_2=3$ 2. Die Nullstellen werden nun die 1. Ableitung eingesetzt und geschaut, ob diese >0 oder < 0 wird.3. Erzeuge eine Vorzeichentabelle Bereich $x <1$ $1 < x < 3$ $x > 3$ f'(x) + - + $f(x)$ ist streng monoton wachsend fallend wachsend
  14. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    ... die 2. Ableitung noch abhängig von $x$, so die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen. Bereiche angegeben und durch Einsetzen kleinerer und größerer Werte in die 2. Ableitung die Konkavität bzw. Konvexität bestimmen. Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität $F(x) = 10x - 4x^2$ $F'(x) = 10 - 8x$ $F''(x) = -8$ $\rightarrow$ streng konkav! $F(x) = 8x^3 - 2x^4$ $F'(x) = 24x^2 - 8x^3$ $F''(x) = 48x - 24x^2$ $x$ ausklammern: $F''(x) = x(48 - 24x)$ Die ...
  15. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Das Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Newton dient dazu, zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Näherungswerte zur Lösung der Gleichung   $f(x) = 0$  (also Nullstellen der Funktion) zu finden. Das Näherungsverfahren wird angewandt, weil direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar sind.  Die grundlegende Idee des Newtonverfahrens besteht darin, eine Tangente zu bestimmen, ...
  16. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    ... Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. Integration Integriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $ I. Durchdividieren $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$ Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann der Bruch $\frac{2x+3}{x^2-1}$ vereinfacht dargestellt werden: II. Nullstellen des Nenners bestimmen $\ x^2-1 \rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$ III. ...
  17. Eigenwerte
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    Eigenwerte
    ... 8\lambda + 15 = 0$ 2. Schritt: Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms durch Anwendung der p/q-Formel $p/q-Formel = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ $= \frac{8}{2} \pm \sqrt{(-\frac{8}{2})^2 - 15}$ $\lambda_1= 4 + \sqrt{1} = 5$ $\lambda_2 = 4 - \sqrt{1} = 3$ $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$  sind die Eigenwerte der Matrix $A$. Die Lösung der Gleichung  $\chi_n(\lambda) = 0$  sind die Eigenwerte einer Matrix. Das Video wird geladen ...
  18. Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
    ... einer $n \times n$-Matrix weniger als $n$ Nullstellen gegeben, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Zu 2): Geometrische Vielfachheit: Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren Algebraische Vielfachheit: Anzahl der Eigenwerte, wobei die Vielfachheit der Nullstellen mit berücksichtigt werden muss. Sind beide identisch, also Eigenwerte und Eigenvektoren, so ist die Matrix diagionalisierbar! Wie eine Matrix auf Diagonalisierbarkeit geprüft wird zeigen die nachfolgenden Abschnitt...
  19. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    ... Fall, wenn bei einer $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen resultieren. Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit  $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{2} & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ Ist die obige Matrix diagonalisierbar? 1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms $\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $ mit $\chi_A(\lambda)$ charakteristisches Polynom $\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda ...
  20. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... (6-\lambda) \cdot (6-\lambda) $ 2. Schritt: Nullstellen\ Eigenwerte bestimmen Die Eigenwerte können sofort abgelesen werden. Wenn eine Klammer null wird, dann wird der gesamte Ausdruck zu null und die Bedingung $\chi_n(\lambda) = 0$ ist erfüllt. $\lambda_1 = 9$, $\lambda_{2,3} = 6$ Es sind also zwei Eigenwerte berechnet worden, wobei der 2. Eigenwert die Vielfachheit 2 aufweist. Es existieren also 3 Nullstellen für eine $3 \times 3$-Matrix. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig ...
Analysis und Lineare Algebra
  • 112 Texte mit 81 Bildern
  • 200 Übungsaufgaben
  • und 23 Videos

39,00 Euro einmalig / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Regelungstechnik

  1. Homogene Differenzialgleichungen
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen
    ... Polynomgleichung$ n$-ter Ordnung besitzt $ n $ Nullstellen $ \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3, ...  \alpha_n$. Nun zerlegen wir die charakteristische Gleichung in Linearfaktoren: Linearfaktoren: $ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+....+ a_{1} \cdot \alpha^{1} + a_0 = 0 \Longrightarrow  a_n \cdot (\alpha - \alpha_1) \cdot (\alpha - \alpha_2) \cdot (\alpha - \alpha_3)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) = 0 $ Für die letztendliche Lösung der ...
  2. Besonderheiten
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen > Besonderheiten
    ... Gleichung reell. Wenn nun komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein: $ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha + a_0 = a_n \cdot (\alpha - \alpha_1)\cdot (\alpha - \alpha_2)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) $ Dies gewährleistet, dass bei Nullstellen, die diese Eigenschaft besitzen, sich die Imaginärkomponenten ...
  3. Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
    Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
    ... wir mit $ T_1 \cdot \alpha + 1 = 0 $ auch die Nullstelle bestimmen: Nullstelle: $ \alpha_1 = - \frac{1}{T_1} $ Fasst man nun alle Gleichung zusammen, so erhalten wir als Lösung der homogenen Differenzialgleichung: Lösung der homogenen Differenzialgleichung: $ x_{ah}(t) = C_1 \cdot e^{\alpha_1 t} $ bzw. $ x_{ah}(t) = C_1 e^{- \frac{t}{T_1}} $ Fassen wir die logische Vorgehensweise zusammen: Lösungansatz aufstellen $\rightarrow $ Erste Ableitung bilden $\rightarrow $ Einsetzen in die Differenzialgleichung ...
Regelungstechnik
  • 79 Texte mit 121 Bildern
  • 101 Übungsaufgaben
  • und 7 Videos

39,00 Euro einmalig / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite- und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite- und explizite Darstellung
    Implizite- und explizite Darstellung
    ... aufgelöst. Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:$F(x,y) = 0 $. Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargestellt werden. Anwendungsbeispiele Um einen Kreis darzustellen bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen aufzustellen.  Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$ Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargestellt werden. Um einen Kreis darzustellen bedarf es einer zweiten Funktion: ...
  2. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... $, für die $g(y_0) = 0 $, also $ y_0 $ eine Nullstelle der Funktion $ g(y) $ ist.2. Zudem befinden sich in der Lösungsgesamtheit alle Funktionen $ y = y(x) $, die sich aus $ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \; dx$, $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben.  Anwendungsbeispiel: TDV Lösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode! 0. Zerlegung der Veränderlichen  Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) ...
  3. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... \in \mathbb{R} $ Nachstehend eine Tabelle mit Nullstellen der charakteristischen Gleichung und die zugehörigen Basislösungen. Nullstellen der charakteristischen Gleichung Basislösungen der homogenen Differentialgleichung   $ 1, -2, 3 $ $ e^x, e^{-2x}, e^{3x} $ $ 0, \sqrt{3}, 1 + \sqrt{2} $ $ 1, e^{\sqrt{3}x}, e^{(1 + \sqrt{2})x} $ $ 0, 0, 2, 2, 2 $ $ 1, x, e^{2x}, xe^{2x}, x^2e^{ex} $ $ 1, 2 \pm 3i $ $ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $ Anwendungsbeispiel: ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • 54 Texte mit 36 Bildern
  • 77 Übungsaufgaben
  • und 10 Videos

39,00 Euro einmalig / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen