Analysis und Lineare Algebra
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Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
Das Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Newton dient dazu, zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Näherungswerte zur Lösung der Gleichung $f(x) = 0$ (also Nullstellen der Funktion) zu finden. Das Näherungsverfahren wird angewandt, weil direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar sind. Die grundlegende Idee des Newtonverfahrens ... -
Nullstellen ganzrationaler Funktionen
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Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion $f(x)$ diejenige Zahl $x_0$, für die $f(x_0) = 0$ gilt. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus.Nullstellen einer Polynomfunktion 3. GradesDort, wo der Graph der Funktion $f(x)$ die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von $f(x)$. Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale ... -
Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
Nullstellen bei gebrochenrationalen FunktionenWie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen schon erwähnt haben, wird zur Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: ...Hebbare Definitionslücke
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Hebbare Definitionslücke
... erweitert werden kann.Vorgehensweise:Nullstellen des Nenners bestimmen.Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor.Zähler und Nenner faktorisieren und den Bruch kürzen.Gemeinsame Nullstelle aus 2. in den Nenner der gekürzten faktorisierten Funktion aus 3. einsetzen. Wird der Nenner ungleich null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Wird der Nenner hingegen ...abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel
Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel
... Gleichungen, also dem Auffinden von Nullstellen eines Polynoms.Die abc-FormelDie allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:allgemeine Form der quadratischen Gleichung: $ax^2 + bx + c = 0$mit:$a \neq 0$ $ax^2$ = quadratisches Glied $bx$ = lineares Glied $c$ = konstantes Glied (oder Absolutglied)Ist $b = 0$, dann sprechen wir von einer reinquadratischen Gleichung.Die Lösungen dieser Gleichung berechnen wir mit der sogenannten abc-Formel. Diese Formel wird in Teilen des deutschsprachigen ...Gebrochenrationale Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
... so liegt eine schiefe Asymptote vor.Nullstellen und DefinitionslückenNullstellen: Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler den Wert null annimmt, der Nenner aber einen Wert ungleich null besitzt. Definitionslücken: Eine Definitionslücke liegt vor, wenn der Nenner für $x_0$ den Wert null animmt, er also eine Nullstelle hat. Man unterscheidet hier zwischen Pol und hebbarer Definitionslücke: Pol: Eine Polstelle liegt vor, wenn der Nenner ...Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
... Fall, wenn bei einer $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen existieren.Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $mit$\chi_A(\lambda)$ = charakteristisches Polynom$\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 ...Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
... die anderen Diagonalen ergeben null.2. Schritt: Nullstellen/Eigenwerte bestimmenDie Eigenwerte können sofort abgelesen werden. Wenn eine Klammer null wird, dann wird der gesamte Ausdruck zu null und die Bedingung $\chi_n(\lambda) = 0$ ist erfüllt.$\lambda_1 = 9$, $\lambda_{2,3} = 6$Es sind also zwei Eigenwerte berechnet worden, wobei der 2. Eigenwert die Vielfachheit 2 aufweist. Es existieren also 3 Nullstellen für diese $3 \times 3$-Matrix. $\Longrightarrow$ Das charakteristische ...Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
... Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $I. Durchdividieren$\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann der Bruch $\frac{2x+3}{x^2-1}$ vereinfacht dargestellt werden:II. Nullstellen des Nenners bestimmen$\ x^2-1 \rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$III. ...Eigenwerte
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
... Polynom $\chi_n(\lambda)$ der Matrix $a$Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\chi_n(\lambda)$ sind die Eigenwerte $\lambda$ der Matrix $A$.Ein Polynom $n$-ten Grades hat höchstens $n$ Nullstellen. Somit existieren höchstens $n$ Eigenwerte der Matrix A.AnwendungsbeispielGegeben sei die folgende Matrix: $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms und Nullsetzen$det(A − \lambda E) = \begin{vmatrix} ...Fundamentalsatz der Algebra
Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > Fundamentalsatz der Algebra
... Zahlen $b_1, \, ... \, , b_n$ sind die Nullstellen von $ f(x)$.Zerlege das Polynom $x^4 - 1$ in Linearfaktoren!$x^4 - 1= (x-1)(x-i)(x+1)(x+i) \;\;$ (Beachte, dass $i^2 = -1$!)Probe: $(x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$$= (x^2 -1^2) (x^2 - i^2)$$= (x^2 -1) (x^2 + 1)$$= x^4 + x^2 - x^2 - 1$$= x^4 - 1$ Jedes Polynom $n$-ten Grades lässt sich in ein Produkt von $n$ Faktoren zerlegen.Hierbei ist anzumerken, dass jede ganzrationale Gleichung $n$-ten Grades mit komplexen Zahlen genau $n$ ...Diagonalisierbarkeit
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
... einer $n \times n$-Matrix weniger als $n$ Nullstellen gegeben, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar.Zu 2:geometrische Vielfachheit: Anzahl linear unabhängiger Eigenvektorenalgebraische Vielfachheit: Die Anzahl der Eigenwerte, wobei die Vielfachheit der Nullstellen mit berücksichtigt werden muss.Sind Eigenwerte und Eigenvektoren identisch, so ist die Matrix diagionalisierbar!Wie eine Matrix auf Diagonalisierbarkeit geprüft wird, zeigen wir dir in den nachfolgenden drei K...Monotone Funktionen
Differentialrechnung > Monotone Funktionen
... f'(x) = x^2 – 4x + 3 $1. Bestimme die Nullstellen $\ f'(x) = 0 \leftrightarrow x^2-4x+3 = 0 \rightarrow x_1= 1; x_2=3$2. Die Nullstellen werden nun die 1. Ableitung eingesetzt und geschaut, ob diese >0 oder < 0 wird.3. Erzeuge eine VorzeichentabelleBereich$x <1$$1 < x < 3$$x > 3$f'(x)+-+$f(x)$ ist streng monotonwachsendfallendwachsendExtremwerte
Differentialrechnung > Extremwerte
... Punkte ohne höhere Ableitung:(a1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen: $f´(x) = 0$ setzen (kritische Punkte)(a2) Werte > und < $x_0$ in $f´(x)$ einsetzen:- wechselt $f´$ in dem kritischen Punkt $x_0$ das Vorzeichen, so liegt ein Extremum vor:wechselt $f´$ von + nach -, so liegt bei $x_0$ ein lokales (relatives) Maximum vorwechselt $f´$ von - nach +, so liegt bei $x_0$ ...Beispiel 3: Diagonalisierbarkeit
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 3: Diagonalisierbarkeit
... so wird die gesamte Gleichung null. Die Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix. Sie können ermittelt werden, indem Werte für $\lambda$ eingesetzt werden. Diese Werte $\lambda$ führen dann dazu, dass die gesamte Gleichung null wird. $(-1-\lambda) = 0$ $\rightarrow \lambda_1 = -1$$(\lambda^2 - \lambda - 2 ) = 0$Anwendung der p/q-Formel:$\lambda_{2,3} = -\frac{-1}{2} \pm \sqrt{(\frac{-1}{2})^2 - (-2)}$$\lambda_{2,3} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{-1}{2})^2 +2}$$\lambda_{2,3} ...Asymptoten
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Asymptoten
... die Polstelle(n)!Wir berechnen die Nennernullstellen und prüfen, ob es sich um eine Polstelle handelt:$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$$n(x) = 6x^2 - 12x$ /6$n(x) = x^2 - 2x$$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$$x_1 = 2$$x_2 = 0$Wir setzen $x_1$ und $x_2$ in die Zählerfunktion ein:$z(x_1 = 2) = 0 \Longrightarrow \;$ (hebbare) Definitionslücke$z(x_2 = 0) = -12 \Longrightarrow \;$ PolstelleBei $x_2 = 0$ liegt eine Polstelle vor. ...Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
... 2. Ableitung noch abhängig von $x$, so die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen.Bereiche angegeben und durch Einsetzen kleinerer und größerer Werte in die 2. Ableitung die Konkavität bzw. Konvexität bestimmen.Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität$F(x) = 10x - 4x^2$$F'(x) = 10 - 8x$$F''(x) = -8$$\rightarrow$ streng konkav!$F(x) = 8x^3 - 2x^4$$F'(x) = 24x^2 - 8x^3$$F''(x) = 48x - 24x^2$$x$ ausklammern:$F''(x) = x(48 - 24x)$Die 2. ...Nullstellen von Polynomen
Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen
... Zahlen spielen in der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen eine wichtige Rolle, also die Werte von $x$, für die das Polynom verschwindet. Der Ausdruck algebraische Summe ist dem Polynom gleichbedeutend.Ein Beispiel für ein fünfgliedriges Polynom ist der Term $\, x^2 + x - 1 + c - \frac {1}{x}$. In den folgenden Kurstexten gehen wir auf den Fundamentalsatz der Algebra und die pq-Formel näher ein.Ganzrationale Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen
... zwei Abschnitten zeigen wir dir, wie man die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmt. Dabei greifen wir die pq-Formel wieder auf und gehen auf die Substitution sowie die Polynomdivision ein. Außerdem zeigen wir, wie man die Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen bestimmt.Die e-Funktion
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
... und besitzt für $x \in \mathbb{R}$ keine Nullstellen.Grenzwerte: $\lim\limits_{x \to \infty} e^x \widehat{=} \lim\limits_{x \to - \infty} e^{-x} = \infty$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} \widehat{=} \lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} = 0$Die Ableitung von $f(x) = e^x$ ergibt wieder $e^x$.Ableitung der e-Funktion: $(e^x)' = e^x$e-FunktionenWeitere GrenzwerteDie e-Funktion steigt im Unendlichen stärker als jede noch so große Potenzfunktion. ...Grenzwerte von Funktionen
Elementare Funktionen > Grenzwerte von Funktionen
... zu diesem Thema findest du unter dem Kurstext Nullstellen, Definitionslücken im Kapitel der gebrochenrationalen Funktionen. An dieser Stelle ist es wichtig zu wissen, dass eine gebrochenrationale Funktion nicht definiert ist, wenn ihr Nenner den Wert $0$ annimmt.Wir wollen zunächst den Grenzwert $G$ von $f(x)$ für $x \to 2$ ermitteln. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass $x = 2$ eingesetzt werden kann. Vorher formen wir deshalb mit Hilfe der binomischen Formeln ...Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
... f$$\ [-1, 1]$$\ [-1, 1]$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$Nullstellen $\ x_0$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Pole $\ x_p$--$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$Extrema $\ x_E$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$--Wendepunkte $\ x_W$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Asymptoten--$ y= \pi/2 + k\pi$$\ y= k\pi$
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
... \in \mathbb{R} $Nachstehend eine Tabelle mit Nullstellen der charakteristischen Gleichung und die zugehörigen Basislösungen.Nullstellen der charakteristischen GleichungBasislösungen der homogenen Differentialgleichung $ 1, -2, 3 $$ e^x, e^{-2x}, e^{3x} $$ 0, \sqrt{3}, 1 + \sqrt{2} $$ 1, e^{\sqrt{3}x}, e^{(1 + \sqrt{2})x} $$ 0, 0, 2, 2, 2 $$ 1, x, e^{2x}, x e^{2x}, x^2 e^{ex} $$ 1, 2 \pm 3i $$ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $Anwendungsbeispiel: Homogene ... -
Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
... für die $g(y_0) = 0 $, also $ y_0 $ eine Nullstelle der Funktion $ g(y) $ ist.2. Zudem befinden sich in der Lösungsgesamtheit alle Funktionen $ y = y(x) $, die sich aus $ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \; dx$, $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. Anwendungsbeispiel: TDVLösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: ... -
Implizite und explizite Darstellung
Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
... Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:$F(x,y) = 0 $.Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen. Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$.Explizite ... -
Formelsammlung
Formelsammlung
... so ist $ y_2(x) = y_1(x) \int z(x) dx $. Nullstellen der charakteristischen GleichungBasislösungen der homogenen Differentialgleichung$ 1, -2, 3 $$ e^x, e^{-2x}, e^{3x} $$ 0, \sqrt{3}, 1 + \sqrt{2} $$ 1, e^{\sqrt{3}x}, e^{(1 + \sqrt{2})x} $$ 0, 0, 2, 2, 2 $$ 1, x, e^{2x}, x e^{2x}, x^2 e^{ex} $$ 1, 2 \pm 3i $$ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $ Hier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Höhere Mathematik 2.Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und ...
- 55 Texte mit 37 Bildern
- 79 Übungsaufgaben
- und 10 Videos
Regelungstechnik
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Besonderheiten
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen > Besonderheiten
... Gleichung reell.Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein:$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha + a_0 = a_n \cdot (\alpha - \alpha_1)\cdot (\alpha - \alpha_2)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) $Dies gewährleistet, dass bei Nullstellen, die diese Eigenschaft besitzen, sich die Imaginärkomponenten ... -
Homogene Differenzialgleichungen
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen
... Polynomgleichung $ n$-ter Ordnung besitzt $ n $ Nullstellen $ \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3, ... \alpha_n$.Nun zerlegen wir die charakteristische Gleichung in Linearfaktoren:Linearfaktoren: $ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+....+ a_{1} \cdot \alpha^{1} + a_0 = 0 \Longrightarrow a_n \cdot (\alpha - \alpha_1) \cdot (\alpha - \alpha_2) \cdot (\alpha - \alpha_3)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) = ... -
Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
... wir mit $ T_1 \cdot \alpha + 1 = 0 $ auch die Nullstelle bestimmen:Nullstelle: $ \alpha_1 = - \frac{1}{T_1} $Fasst man nun alle Gleichung zusammen, so erhalten wir als Lösung der homogenen Differenzialgleichung:Lösung der homogenen Differenzialgleichung: $ x_{ah}(t) = C_1 \cdot e^{\alpha_1 t} $ bzw. $ x_{ah}(t) = C_1 e^{- \frac{t}{T_1}} $Fassen wir die logische Vorgehensweise zusammen:Lösungansatz aufstellen $\rightarrow $ Erste Ableitung bilden $\rightarrow $ Einsetzen in die ...
Wärmeübertragung: Wärmeleitung
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Aufheizung einer Kugel bei Randbedingung erster Art
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Exakte Lösungen durch Laplace-Transformation bei symmetrischen Randbedingungen > Aufheizung einer Kugel bei Randbedingung erster Art
... \cdot \mu_k}{\mu_k} = 1$. Unter Beachtung der Nullstellen für die Sinusfunktion entsteht eine etwas vereinfachte Form der speziellen Lösung:$\Theta(Fo, \xi = 0) = \sum \limits^{\infty}_{k=1} 2 \frac{-\mu_k \cdot cos(\mu_k)}{\mu_k} \cdot 1 \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo} = \sum \limits^{\infty}_{k=1} -2 cos(\mu_k) \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo}$ mit $\Theta = \frac{t - t_U}{t_0 - t_U}$ Auswertung für τ1 = 300 s oder dimensionslos für Fo(τ1) = 0,0714288 ... -
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Exakte Lösungen durch Laplace-Transformation bei symmetrischen Randbedingungen > Eindimensionale instationäre Wärmeleitung
... = 0,00$Die Eigenwerte μk stellen gerade die Nullstellen der Kosinusfunktion dar, also $k \cdot \frac{\pi}{2}$ mit k = 1, 2, 3, 4, …An diesen Stellen nimmt die Sinusfunktion für ungerades k den Wert 1 und für gerades k den Wert –1 an. Damit kann die oben angegebene Lösung einfacher geschrieben werden mit$\Theta (\xi ,Fo) = \sum \limits_{k=i}^{\infty} \frac{2 \cdot -1^{k+1}}{\mu_k } \cdot cos(\mu_k \cdot \xi) \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo}$ oder bezogen auf ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
... I_{z}) I + I_{y}I_{z} - I_{yz}^2 = 0$ Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion entsprechen den Hauptträgheitsmomenten. Die Nullstellen können mit der p/q-Formel berechnet werden:$I_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ p/q-Formel Hierbei ist $p = -(I_{y} + I_{z})$ Abhängig von $I$$q = I_{y}I_{z} - I_{yz}^2$ ...
Baustatik 1
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Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
... ob ein Nulldurchgang gegeben ist, wenn man die Nullstellen der Funktion berechnet. Wir haben eine quadratische Funktion gegeben und wenden die p/q-Formel an:$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$Momentenverlauf auf die Form $x^2 + bx + c $ bringen:$- 7,5 x_2^2 + 20 \cdot x_2 + 7,51 $ |: (-7,5)$x_2 - 2,67 x_2 - 1$Einsetzen:$x_{1,2} = - \frac{-2,67}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2,67}{2})^2 - (-1)}$$x_1 = - \frac{-2,67}{2} + \sqrt{(\frac{-2,67}{2})^2 - (-1)} = 3$$x_2 = - \frac{-2,67}{2} ...
Webinare
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Grenzwerte, Nullstellen, Stetigkeit
...e Nullstellen einer Funktion bestimmt werden können, d,h. den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse. Außerdem werden die Grenzwerte von Funktionen berechnet. Es wird also der Wert gesucht, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ferner wird die Stetigkeit von Funktionen untersucht.... -
Höhere Mathematik: Rationale und gebrochen-rationale Funktionen
...rationale Funktionen. Jessica zeigt euch, wie die Nullstellen einer Funktion bestimmt werden können. Außerdem werden die Grenzwerte von Funktionen berechnet. Es wird also der Wert gesucht, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ferner wird die Stetigkeit von Funktionen untersucht.... -
Gratis-Webinar Höhere Mathematik 1 - Nullstellen, Grenzwerte, Stetigkeit
...en rationale Funktionen. Es wird gezeigt, wie die Nullstellen einer Funktion bestimmt werden können, d,h. also den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse. Außerdem werden die Grenzwerte von Funktionen berechnet. Es wird also der Wert gesucht, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ferner wird die Stetigkeit von Funktionen untersucht....
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