Analysis und Lineare Algebra

  1. Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen
    ... Zahlenelementare FunktionenVektorrechnungDifferentialrechnungIntegralrechnungFolgen und Reihenlineare Algebra
  2. Kurseinführung
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Kurseinführung
    ... nicht ganz einfache Thematik der Mengenlehre, Vektorrechnung, komplexen Zahlen, Integral- und Differentialrechnung sowie der linearen Algebra einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir dich mit den Grundlagen vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themenpunkte eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden wir dir mithilfe von Lernvideos ...
  3. Einführung in die Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Vektoren in der Ebene
    Unter Vektoren versteht man Objekte mit einer vorgegebenen Länge und Richtung. Mit Hilfe von Vektoren kann man z. B. die Geschwindigkeit von Objekten oder die Strömungsrichtungen in einem Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor ...
  4. Addition von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Vektoraddition
    Die Addition von zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$ ist definiert durch:$\vec{a} + \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right)$Die grafische Addition von Vektoren erfolgt, indem der Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ an den Endpunkt des Vektors $\vec{a}$ angreiht wird. Dabei darf die Richtung der Vektoren nicht verändert werden. Der resultierende ...
  5. Subtraktion von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Subtraktion von Vektoren
    Vektoraddition, Vektorsubtraktion
    Die Subtraktion von zwei Vektoren $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$ und $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$ ist definiert durch:$\vec{a} - \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{array} \right)$Die grafische Subtraktion des Vektors  $\vec{b}$  vom Vektor  $\vec{a}$  erfolgt, indem man den entgegengesetzten Vektor  $- \vec{b}$ zum Vektor $\vec{a}$ hinzuaddiert. Man tauscht also ...
  6. Skalieren von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Skalieren von Vektoren
    Vektor, skalieren, Skalar
    Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man Skalierung eines Vektors. Das Produkt ist wiederum ein Vektor, der entsprechend des mit ihm multiplizierten Werteslänger $\longrightarrow (2 \cdot \vec{a})$,kürzer $\longrightarrow (0,5 \cdot \vec{a})$ oder sogarin entgegengesetzter Richtung $\longrightarrow (-0,5 \cdot \vec{a})$neu abgebildet wird.Skalieren von Vektoren In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass ein Vektor $\vec{a}$ multipliziert ...
  7. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Lnge von Vektoren, Satz des Pythagoras
    Ein Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.BasisvektorenDie drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren ...
  8. Dreiecksungleichung
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    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Dreiecksungleichung
    Dreieck
    ... b$|a + b|$ = Länge der Seite a+bFür Vektoren gilt analog: Dreiecksungleichung für Vektoren: $|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$mit$|\vec{a}| $ = Länge der Seite a$|\vec{b}|$ = Länge der Seite b$|\vec{a} + \vec{b}|$ = Länge der Seite a+bBeweis der DreiecksungleichungDer Beweis der Dreiecksungleichung wird wie folgt durchgeführt:Es gilt:Wenn $a \le |a|$    und    $b \le |b|  \;\;\;\;\;  \longrightarrow$    (1)  ...
  9. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    Sind zwei Vektoren $\vec{a} \neq 0$ und $\vec{b} \neq 0$ (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.eingeschlossener WinkelSkalarproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).Für die Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht ...
  10. Zerlegung von Vektoren
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Vektor
    Vektor Wie bereits in dem vorherigen Kapitel gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt.Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die ...
  11. Rechengesetze für das Skalarprodukt
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Rechengesetze für das Skalarprodukt
    ... \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$5. Betrag eines Vektors: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$Aus der Definition aus dem vorherigen Kurstext ergeben sich direkt die Punkte 1., 2. und 3. Das Distributivgesetz ist auch für den Fall, dass  $\vec{c} = 0$ ist erfüllt. Für den Fall $\vec{c} \neq 0$ legen wir $\vec{c}$ in Richtung der positiven $x$-Achse. Somit ist dann $\vec{c} = \alpha \vec{e}_1$.Mit $\vec{a} \ge 0$, mit 2. sowie mit  $\vec{a} \cdot \vec{e_1} = ...
  12. Das Vektorprodukt
    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Vereinfachte Berechnung des Skalarproduktes
    Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wohingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.Eigenschaften des VektorproduktsDas Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ...
  13. Das Spatprodukt
    Vektorrechnung > Das Spatprodukt
    Spatprodukt Vektorprodukt
    ... stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.Im Umkehrschluss bedeutet dies:1. Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene, so ergibt ihr Spatprodukt null:$\;\;\;[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$2. ...
  14. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    ... stellen wir einige Beispielaufgaben zur Vektorrechnung vor.Aufgabe 1: Addition und Subtraktion sowie Multiplikation mit einem SkalarGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,-4,1)$ und $\vec{b} = (1,1,-2)$.Bitte berechne:a) $\, \vec{a} + \vec{b}$b) $\, -2\vec{a}$c) $\, 3\vec{a} - 2\vec{b}$a) $\, \vec{a} + \vec{b} = (2+1, -4+1, 1-2) = (3, -3, -1) $b) $\, -2\vec{a} = -2((2,-4,1) = (-4,8,-2)$c) $\, 3\vec{a} - 2\vec{b} = 3(2,-4,1) -  2(1,1,-2) = (4,-14,7)$Aufgabe ...
  15. Geraden im Raum
    Vektorrechnung > Geraden im Raum
    Geraden im Raum
    ... können mittels Parameterdarstellung durch Vektoren abgebildet werden. Gerade durch den UrsprungEine Gerade durch den Koordinatenursprung wird allgemein definiert als:$G: \vec{x} = t \cdot \vec{v}$ mit$t \in \mathbb{R}$ = Parameter$\vec{v}$ = RichtungsvektorDie Gerade mit obiger Gleichung verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ zeigt dabei die Richtung der Geraden an, der Parameter $t$ die Länge der Geraden. In der folgenden Grafik ist der Richtungsvektor ...
  16. Identische Geraden
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Identische Geraden
    identische Geraden
    ... für identische Geraden:1. Die Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{u}$ sind Vielfache voneinander (kollinear).2. Der Stützvektor der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Geraden. Dieser wird auch als Aufpunkt bezeichnet. So ist ...
  17. Parallele Geraden
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Parallele Geraden
    Parallele Geraden
    ... für parallele Geraden:1. Die Richtungsvektoren der Geraden sind Vielfache voneinander.2. Der Aufpunkt der einen Geraden befindet sich nicht auf der anderen Geraden.Sind diese Bedingung erfüllt, so handelt es sich um parallele Geraden.Beispiel 1: Parallele Geraden in der EbeneGegeben seien die beiden Geraden:$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right) $$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right) ...
  18. Windschiefe Geraden
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Windschiefe Geraden
    ... für windschiefe Geraden sind:Die Richtungsvektoren der Geraden sind nicht Vielfache voneinander.Die Geraden schneiden sich nicht.Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel zum Nachweis von windschiefen Geraden.Beispiel: Windschiefe GeradenGegeben seien die beiden Geraden:$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) $$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) + t_2 \cdot ...
  19. Abstände von Geraden/Punkten
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Abstände von Geraden/Punkten
    ... \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ und dem Richtungsvektor $\vec{v}$. Dann berechnet sich der Abstand wie folgt:$d(P,g) = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$Zwei parallele GeradenDa der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden immer gleich groß ist, wählt man auf einer der beiden Geraden einen Punkt aus und berechnet den Abstand zwischen der anderen Gerade und diesem Punkt. Am sinnvollsten ist es, den Aufpunkt einer Geraden zu wählen, ...
  20. Übungsaufgaben zu Geraden im Raum
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Übungsaufgaben zu Geraden im Raum
    ... sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen $\lambda$:$\vec{v} = \lambda \; \vec{w}$             (alternativ: $\vec{w} = \lambda \vec{v}$).$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:(1) $1 = 3\lambda $(2) $2 = \lambda$(3) $-2 = -3\lambda$Jede Zeile nach $\lambda$ auflösen:(1) $\lambda = \frac{1}{3}$(2) ...
  21. Matrizen
    Matrizen
    Allgemeine Matrix, Hauptdiagonale, Spalten, Zeilen
    ... besteht. Diese sind in $m$-Zeilen (Zeilenvektoren) und $n$-Spalten (Spaltenvektoren) angeordnet. Die allgemeine Form einer Matrix ist:Allgemeine Matrixdarstellung Es gibt unterschiedliche Erscheinungsformen einer Matrix, die wir uns im Nachfolgenden mal genauer anschauen wollen.Einheitsmatrix Für die Einheitsmatrix gilt, dass die Elemente $a_{mn}$ auf der Diagonalen den Wert 1 annehmen, wobei alle übrigen Elemente den Wert Null annehmen.$A = \begin{pmatrix} 1 & ...
  22. Rang einer Matrix
    Matrizen > Rang einer Matrix
    Rang einer Matrix
    ... 0, ... ,n \,$ besteht aus $\, m \,$ Zeilenvektoren $\, \vec{a_1}, ... , \vec{a_m} \,$ und aus $\, n \,$ Spaltenvektoren $\, \vec{b_1}, ..., \vec{b_n}$:Die Matrix $\, A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \,$ besteht unter anderemaus dem Zeilenvektor$\vec{a_i} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \end{pmatrix}$und dem Spaltenvektor$\vec{b_j} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ ... \\ a_{m1} \end{pmatrix}$.Der ...
  23. Determinanten
    Matrizen > Determinanten
    Regel von Sarrus
    Unter einer Determinante versteht man einen eindeutigen Zahlenwert, der genau einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Ist die Matrix nicht quadratisch, so existiert für sie auch keine Determinante.Die Determinante hat die Kennzeichnung $ det(A) $ oder $ |A| $.Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher GrößeZur Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe existieren verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden aufgezeigt werden.Determinante ...
  24. Cramersche Regel
    Matrizen > Determinanten > Cramersche Regel
    Regel von Sarrus
    ... -8 \\ -2 & 6 & 7 \end{pmatrix}$ und der Vektor $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$.Berechnung der Determinanten $|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & -8 \\ -2 & 6 & 7 \end{vmatrix}$Regel von Sarrus$|A| = -1 \cdot 5 \cdot 7 + 2 \cdot 6 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 \cdot (-8) - 4 \cdot 5 \cdot (-2) - (-8) \cdot 6 \cdot (-1) - 7 \cdot 2 \cdot 2 = 9$Da  $|A| \neq 0$  besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, welche ...
  25. Eigenwerte
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    ... Zahl $\lambda$ und einen dazugehörigen Vektor $\vec{x}$ damit die Matrizengleichung$Ax = \lambda x$erfüllt ist.Die Zahl $\lambda$ wird als der Eigenwert bezeichnet, der Faktor $x \neq 0$ als der Eigenvektor.Im nächsten Kurstext behandeln wir die Berechnung der Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.Diese Gleichung lässt sich umformen in:$Ax - \lambda x = 0 \; \;$Multiplizieren wir die Einheitsmatrix mit dem Eigenvektor, so ergibt dieser sich selbst als Ergebnis. Wir ...
  26. Eigenvektoren
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenvektoren
    ... Kurstext zeigen wir dir die Berechnung der Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.Der zu dem Eigenwert $\lambda$ gehörende Eigenvektor $\vec{x}$ ist die Lösung der Gleichung$(A - \lambda E)\vec{x} = 0$, wobei $\vec{x} \neq \vec{0}$ gilt. AnwendungsbeispielGegeben sei die Matrix aus dem vorherigen Beispiel $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$. Berechne die zugehörigen Eigenvektoren zu $\lambda_1$ ...
  27. Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
    ... den Hauptdiagonalen mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren.Definition der DiagonalisierbarkeitEine $n \times n$-Matrix $A$ mit Einträgen aus einem Körper $K$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren.Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert $\lambda_i$.Zu 1:Sind für das charakteristische ...
  28. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... Linearfaktoren.3. Schritt: Bestimmung der EigenvektorenEs muss als nächstes geprüft werden, ob die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte mit der geometrischen übereinstimmt. Hierfür müssen die Eigenvektoren zu den ermittelten Eigenwerten berechnet werden. Dies geschieht mit der folgenden Formel:$(A-\lambda E) \cdot \vec{x} = 0$1. Eigenvektor:mit $\lambda = 9$ ergibt sich:$(A-9 \cdot  E) \cdot \vec{x} = 0$Es gilt:$ \begin{pmatrix} 9-9 & 0 & -6 \\ 18 & ...
  29. Vektorräume
    Vektorräume
    ... Abschnitte behandeln:Linearkombination von VektorenLineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von VektorenDefinition: Vektorräume, lineare Hülle, Erzeugendensystem und Basis
  30. Linearkombination von Vektoren
    Vektorräume > Linearkombination von Vektoren
    Die Linearkombination von Vektoren bezeichnet die Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.$\vec{v} = \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n}$ Dabei sind $\vec{a_i}$ die Vektoren, $\lambda_i$ die reellen Zahlen und $\vec{v}$ der Ergebnisvektor.Der Vektor $\vec{v}$ ist eine Linearkombination aus den obigen Vektoren $\vec{a_i}$.Darstellung eines Vektors als Linearkombination Wir wollen ...
  31. Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren
    ... Unabhängigkeit von Vektoren beschäftigen. Lineare Abhängigkeit von VektorenDie Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ heißen linear abhängig, wenn gilt: $\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} = \vec{0}$mit$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) \in \mathbb{R}$Dabei dürfen nicht alle $\lambda_i \; (i = 1,2,...,n)$ den Wert Null annehmen, damit die obige Gleichung erfüllt ist. Lässt ...
  32. Lineare Abhängigkeit im R²
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R²
    Zwei Vektoren im R²Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$mit$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig.Daraus folgt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.Alternativ ...
  33. Lineare Abhängigkeit im R³
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R³
    Regel von Sarrus
    Zwei Vektoren im R³Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und  $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$mit$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert null annehmen dürfen.Sinnvoll ...
  34. Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    Vektorräume > Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    Definition: VektorraumDie Elemente eines Vektorraums $\mathcal V$ heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums $\mathcal V$.Addition von VektorenEine Bedingung ist, dass die Vektoren miteinander addiert werden können. Sind also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n}$ Vektoren aus $\mathcal V$, also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \in \mathcal V$, dann muss es möglich sein, ihre ...
Analysis und Lineare Algebra
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Elektrotechnik

  1. Physikalische Größen
    Gleichstrom > Elektrische Größen > Physikalische Größen
    ... Wertes als potentielle Energie) Angabe von VektorenFormal werden Vektoren durch einen Pfeil über dem Formelzeichen angegeben. Ein Vektor gehört zu den physikalischen Größen, die neben dem Betrag / Zahlenwert auch eine Richtung angeben. Diese werden Ihnen besonders bei den Themen elektrische und magnetische Feldstärke erneut begegnen. BeispielVektor für eine Kraft: $\vec{F} $ Angabe von zeitveränderlichen GrößenTreten in einer Gleichung ...
  2. Größen
    Elektrisches Feld > Einführung Elektrisches Feld > Größen
    Leiterquerschnitte mit unterschiedlichen Elektronengeschwindigkeiten
    ... elektrische Feldstärke $\vec{E} $ ist ein Vektor welcher in die Richtung der Kraft zeigt, die auf eine positive Ladung wirkt. Der Zusammenhang zwischen der Kraft und der elektrischen Feldstärke wird formal ausgedrückt durch:Elektrische Feldstärke: $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q} $Liegt ein Plattenkondensator vor, so lässt sich die elektrische Feldstärke auch durch die Spannung und dem Abstand der Platten zueinander bestimmen. Diese wird dann formal beschrieben durch:Elektrische ...
  3. Fluss, Durchflutung, Spule
    Magnetisches Feld > Grundlagen des Magnetischen Feldes > Fluss, Durchflutung, Spule
    Durchflutung einer Flche
    ... Man drückt die Flussdichte durch den Vektor $\vec{B} $ aus. Man muss einen Vektor verwenden, da die magnetischen Feldlinien eine ortsabhängige Orientierung besitzen.Magnetische Flussdichte $\vec{B} \rightarrow $ Einheit: 1 T [Tesla]Man kann die Einheit der magnetischen Flussdichte auch aus der Einheit des magnetischen Flusses $ 1 Vs $ ableiten.Umrechnung $\ 1 \frac{Vs}{m^2} = 1 T $Formal beschreibt man den magnetischen Fluss dann durch:Magnetischer Fluss $\Phi = \int_A \vec{B}d ...
  4. Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    Magnetisches Feld > Grundlagen des Magnetischen Feldes > Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    nderung der Feldstrke mit zunehmenden Radius
    ... magnetische Feldstärke $ H $. Sie wird als Vektor dargestellt, da die Feldlinien unterschiedliche Positionen und unterschiedliche Richtungen aufweisen.Betrachtet man einen elektrischen Leiter, in dem eine Ladungsbewegung stattfindet, so liegt um diesen Leiter herum ein magnetisches Feld dessen Stärke als Feldstärke bemessen wird. Da die Intensität dieses Feldes mit Abstand zum Leiter radial abnimmt, verringert sich auch die magnetische Feldstärke mit zunehmender Entfernung ...
  5. Kirchhoff'sche Regeln bei Wechselstrom
    Wechselstrom > Wechselstromkreise > Kirchhoff'sche Regeln bei Wechselstrom
    Wechselstromschaltung mit Scheinwiderstnden
    ... + \underline{U}_2 $ Zeiger werden wie Vektoren in der Statik geometrisch zusammengesetzt. Man muss also sowohl den Betrag als auch die Richtung berücksichtigen. Aus diesem Grund verwendet man in Schaltplänen von Wechselstromschaltungen anstelle der Zählpfeile $ u $ und $ i $ die Zeiger $ \underline{U} $ und $\underline{I} $. Bei einer maßstäblichen Einzeichnung [unter Achtung der Phasenlage], wie sie in der nächsten Abbildung durchgeführt wurde, ...
  6. Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
    Wechselstrom > Wechselstromkreise > Wechselstromschaltungen mit R, L und C > Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
    Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivitt
    ... wird [3.].Führt man nun eine geometrische Vektoraddition durch, so ergibt sich daraus der Spannungszeiger $\underline{U} $ der Netzspannung [4.]. Entstehung eines Zeigerbildes in vier Schritten Im letzten zeichnerischen Schritt können wir noch den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ ins Zeigerbild eintragen. Dieser weist vom Stromzeiger hin zum Spannungszeiger. Er ist also positiv.Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild Nun liegen alle notwendigen Angaben zur Bestimmung ...
Elektrotechnik
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Baustatik 1

  1. Definition: Kraft
    Kurs Baustatik > Grundlagen der Statik > Definition: Kraft
    Bitte Beschreibung eingeben
    ... der Kraft (=Länge des Kraftvektors)AngriffspunktWirkungsrichtungMerkmale einer Kraft Betrag Der Betrag ist die Größe der Kraft bzw. die Länge des Kraftvektors und kann bestimmt werden zu:$F = |\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$Ist ein Kraftvektor gegeben, so kann der Betrag bzw. die Länge des Kraftvektors mittels Satz des Pythagoras bestimmt werden.Gegeben sei der ebene Kraftvektor $\vec{F} = (5N, 10N)$. Wie groß ist der Betrag der ...
  2. Momente
    Kurs Baustatik > Grundlagen der Statik > Momente
    Bestimmung von Momenten, Beispiel
    Das Moment $M$ ist wie die Kraft $F$ ein Vektor, was symbolisch durch $\vec{M}$ ausgedrückt wird.In der nächsten Abbildung siehst du die Schiffschleuse in Falkirk (Schottland): Schleuse in FalkirkDiese Schleuse nutzt Drehmomente um Binnenschiffe von einer Ebene auf eine andere Ebene zu senken/heben. Hierzulande werden Schleusen hingegen geflutet oder Wasser abgelassen.Der Vektor des Drehmoments $\vec{M}$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Kraftvektor:$\vec{M} = \vec{F} ...
  3. Kräftezerlegung
    Kurs Baustatik > Grundlagen der Statik > Kräftezerlegung
    Krftezerlegung: Tragwerk mit ueren Krften
    ... Grafisch führt man mit den Komponenten die Vektoraddition durch. Die Resultierende der Vektoraddition entspricht dabei genau der Kraft $F$. Es resultiert ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem die $x$-Komponente $F_x$ die Ankathete und die $y$-Komponente $F_y$ die Gegenkathete darstellt. Die Kraft $F$ ist die Hypotenuse. Mittels der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck können die Komponenten dann berechnet werden, indem die obigen Gleichungen nach diesen aufgelöst werden:$F_x ...
  4. Arbeit
    Formänderungsarbeit > Arbeit
    Arbeit - Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor
    ... definiert als das Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor: $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cos \sphericalangle (\vec{F}, \vec{s})$mit$F$ Kraftvektor$s$ Wegvektor Das Skalarprodukt berücksichtigt, dass nur der Kraftanteil mit dem ihm gleich gerichteten Weg multipliziert wird:Gegeben sei der Kraftvektor $\vec{F} = (F_x, F_y)$ und der Wegvektor $\vec{s} = (s_x, s_y)$. Bilden wir das Skalarprodukt so erhalten wir:$W = F_x \cdot s_x + F_y \cdot ...
  5. Formelsammlung
    Formelsammlung
    ... = |\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$Vektor des Drehmoments$\vec{M} = \vec{F} \times \vec{r}$Moment in der Ebene$M = F \cdot h$Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene$\sum F_{ix} = 0$$\sum F_{iy} = 0$$\sum M_i = 0$Gleichgewichtsbedingungen im Raum$\sum F_{ix} = 0$   Bewegung in $x$-Richtung$\sum F_{iy} = 0$   Bewegung in $y$-Richtung$\sum F_{iy} = 0$   Bewegung in $z$-Richtung$\sum M_{iz} = 0$   Drehung in der $x,y$-Ebene$\sum M_{ix} = 0$  ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Bestimmung von Hhen mit Gradienten
    ... $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$. Bestimme ...
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Physik

  1. Bahnbeschleunigung
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Bahnbeschleunigung
    Normalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung
    ... werden, indem die Länge des Beschleunigungsvektors berechnet wird:Betrag der Bahnbeschleunigung: $|a_t| = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$     Bahnbeschleunigung/TangentialbeschleunigungDie Bahnbeschleunigung lässt sich bestimmen durch die 1. Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ oder durch die 2. Ableitung der Bogenlänge $s$ nach der Zeit $t$:Bahnbeschleunigung: $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt}$     ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Verformungen am Zugstab
    ... durch den gleichnamigen Verschiebungsvektor, welcher eine Ortsabhängigkeit besitzt. Man schreibt daher:$\ u = u (x,y)\ \ \text{bzw.}  u \rightarrow \left\{\begin{array}{rcl} u = u (x,y) \\ v = v (x,y) \end{array}\right. $Dabei geben die skalaren Funktionen u bzw. v die Verschiebungen in x bzw. in y Richtung an. Sie sind also mit dem Ort (x,y) veränderliche Funktionen.Eine Verformung umfasst im allgemeinen Fall sowohl Längen- als auch Winkeländerungen. Verzerrungen ...
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Baustofftechnik 1

  1. Energieniveau
    Mikrostruktur von Baustoffen > Energieniveau
    Atommodell nach Rutherford
    ... durch die Orientierung des Bahndrehimpulsvektors gegenüber einem äußeren Magnetfeld bestimmt ist. m kann jeden ganzzahligen Wert zwischen -l und l annehmen. SpinquantenzahlDie Spinnquantenzahl s berücksichtigt den Einfluss auf die Elektronenenergie, welcher durch den Spin (Eigenrotation) des Elektronen entstehenden Spindrehimpulses entsteht. Die Spinquantenzahl hat den Wert $\ - \frac{1}{2} $ oder $\ + \frac{1}{2} $.Die 4 Quantenzahlen ermöglichen eine genaue ...
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Fertigungslehre

  1. Linienförmige Gitterfehler
    Umformen > Formänderung > Vielkristalle > Gitterfehler > Linienförmige Gitterfehler
    1. Versetzung, 2. Kleinwinkelkorngrenze, 3. Zwillingsgrenze
    ... zu können, verwendet man den Burgersvektor $ \vec{b} $. In der unteren Abbildung ist neben der flächenförmigen Gitterstörung auch eine Versetzung eingezeichnet.1. Versetzung, 2. Kleinwinkelkorngrenze, 3. ZwillingsgrenzeBurgersvektorDen Burgersvektor erhält man, indem man um die Versetzung durch Abtragen beliebiger Strecken einen Umlauf durchführt und diesen anschließend in das ungestörte Gitter überträgt. Als Burgersvektor erhält man ...
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