Analysis und Lineare Algebra

  1. Übungsaufgaben zu Geraden im Raum
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Übungsaufgaben zu Geraden im Raum
    ... sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen $\lambda$:$\vec{v} = \lambda \vec{w}$  (alternativ: $\vec{w} = \lambda \vec{v}$).$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:(1) $1 = 3\lambda $(2) $2 = \lambda$(3) $-2 = -3\lambda$Jede Zeile nach $\lambda$ auflösen:(1) $\lambda = \frac{1}{3}$(2) $\lambda = 2$(3) $\lambda = \frac{2}{3}$Nur ...
  2. Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    ... Zahlen,elementare Funktionen,Vektorrechnung,Differentialrechnung,Integralrechnung,Folgen und Reihen sowielineare Algebra.
  3. Kurseinführung
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Kurseinführung
    ... nicht ganz einfache Thematik der Mengenlehre, Vektorrechnung, komplexen Zahlen, Integral- und Differentialrechnung sowie der linearen Algebra einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themenpunkte eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden wir Ihnen mithilfe von Lernvideos ...
  4. Einführung in die Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Vektoren in der Ebene
    Unter Vektoren versteht man Objekte mit einer vorgegebenen Länge und Richtung. Mit Hilfe von Vektoren kann man z.B. die Geschwindigkeit von Objekten oder die Strömungsrichtungen in einem Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor ...
  5. Addition von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Vektoraddition
    Die Addition von zwei Vektoren    $\vec{a} =  \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$    und    $\vec{b} =  \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$    ist definiert durch$\vec{a} + \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right)$Die grafische Addition von Vektoren erfolgt, indem der Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ an den Endpunkt des Vektors $\vec{a}$ angreiht wird. Dabei darf ...
  6. Subtraktion von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Subtraktion von Vektoren
    Vektorsubtraktion
    Die Subtraktion von zwei Vektoren    $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$    und    $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$    ist definiert durch$\vec{a} - \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{array} \right)$Die grafische Subtraktion des Vektors  $\vec{b}$  vom Vektor  $\vec{a}$  erfolgt, indem man den entgegengesetzten Vektor  $- \vec{b}$ ...
  7. Skalieren von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Skalieren von Vektoren
    Skalieren von Vektoren
    Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man Skalierung eines Vektors. Das Produkt ist wiederum ein Vektor, der entsprechend des mit ihm multiplizierten Wertes länger $(\vec{x} \cdot 2)$, kürzer $(\vec{x} \cdot 0,5)$ oder sogar in entgegengesetzter Richtung $(\vec{x} \cdot (-1,5))$ neu abgebildet wird.Skalieren von VektorenIn der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass ein Vektor $\vec{x}$ multipliziert mit einem Skalar größer 1 ...
  8. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Basisvektoren
    Ein Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.BasisvektorenDie drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren ...
  9. Dreiecksungleichung
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    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Dreiecksungleichung
    Dreieck
    ... der Seite a$b$ Länge der Seite bFür Vektoren gilt analog:$|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$             Dreiecksungleichungmit$|\vec{a}| $ Länge der Seite a$|\vec{b}|$ Länge der Seite b$|\vec{a} + \vec{b}|$ Länge der Seite a+bBeweis der DreiecksungleichungDer Beweis der Dreiecksungleichung wird wie folgt durchgeführt:Zunächst einmal gilt: $a \le |a|$    und    $b \le |b| $(1)    $(a ...
  10. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    Sind zwei Vektoren $\vec{a} \neq 0$ und $\vec{b} \neq 0$ (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.Eingeschlossener WinkelSkalarproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).$ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & ...
  11. Zerlegung von Vektoren
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    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Vektor
    Vektor Wie bereits in dem vorherigen Kapitel gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt.Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die ...
  12. Das Vektorprodukt
    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Vektorprodukt
    Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wo hingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.Eigenschaften des VektorproduktsEin Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und ...
  13. Das Spatprodukt
    Vektorrechnung > Das Spatprodukt
    Spatprodukt Vektorprodukt
    ... stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.Im Umkehrschluss bedeutet dies:1.Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene so verschwindet das Spatprodukt, also$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$.2.Ist ...
  14. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    In diesem Abschnitt werden Beispielaufgaben zur Vektorrechnung aufgeführt.Aufgabe 1: Addition und Subtraktion, Multiplikation mit einem SkalarGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,-4,1)$ und $\vec{b} = (1,1,-2)$.Berechnen Sie:a) $\vec{a} + \vec{b}$b) $-2\vec{a}$c)$3\vec{a} - 2\vec{b}$a) $\vec{a} + \vec{b} = (2+1, -4+1, 1-2) = (3, -3, -1) $b) $-2\vec{a} = -2((2,-4,1) = (-4,8,-2)$c) $3\vec{a} - 2\vec{b} = 3(2,-4,1) -  2(1,1,-2) = (4,-14,7)$Aufgabe 2: Länge ...
  15. Geraden im Raum
    Vektorrechnung > Geraden im Raum
    Geraden im Raum
    ... können mittels Parameterdarstellung durch Vektoren abgebildet werden. Gerade durch den UrsprungEine Gerade wird allgemein definiert als:$G : \vec{x} = t \cdot \vec{v}$ mit$t \in \mathbb{R}$ Parameter$\vec{v}$ RichtungsvektorDie obige Gerade verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ zeigt dabei die Richtung der Geraden an, der Parameter $t$ die Länge der Geraden. In der folgenden Grafik ist der Richtungsvektor $\vec{v} = \{1,2,0\}$ zu sehen. Hier ...
  16. Identische Geraden
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Identische Geraden
    identische Geraden
    ... für identische Geraden:1. Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander (kollinear).2. Der Aufpunkt der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.Zur Überprüfung der zweiten Bedingung kann grundsätzlich jeder Punkt der Geraden verwendet werden. Da der Aufpunkt aber bereits gegeben ist, ist es sinnvoll diesen zu wählen.Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel, in welchem ...
  17. Parallele Geraden
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Parallele Geraden
    Parallele Geraden
    ... für identische Geraden:1.Die Richtungsvektoren der Geraden sind Vielfache voneinander.2.Der Aufpunkt der einen Geraden befindet sich nicht auf der anderen Geraden.Ist diese Bedingung erfüllt, so handelt es sich um parallele Geraden. Um identische Geraden ausschließen zu können, darf aber die 2. Bedingung nicht erfülllt sein. D.h. es müssen beide Bedingungen geprüft werden, wobei die 1. erfüllt sein muss und die 2. nicht erfüllt sein darf, weil ...
  18. Windschiefe Geraden
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Windschiefe Geraden
    ... für windschiefe Geraden sind:Die Richtungsvektoren der Geraden sind nicht Vielfache voneinander. Die Geraden schneiden sich nicht.Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel zum Nachweis von windschiefen Geraden.Beispiel: Windschiefe GeradenGegeben seien die beiden Geraden:$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) $$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) + ...
  19. Abstände von Geraden/Punkten
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Abstände von Geraden/Punkten
    ... \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ und dem Richtungsvektor $\vec{b}$. Dann berechnet sich der Abstand wie folgt:$d(P,g) = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$Zwei parallele GeradenDa der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden immer gleich groß ist, wählt man auf einer der beiden Geraden einen Punkt aus und berechnet den Abstand zwischen der anderen Gerade und diesem Punkt. Am sinnvollsten ist es den Aufpunkt einer Geraden zu wählen, ...
  20. Matrizen
    Matrizen
    ... besteht. Diese sind in $m$-Zeilen [Zeilenvektoren] und $n$-Spalten [Spaltenvektoren] angeordnet. Die allgemeine Form einer Matrix.Die allgemeine Form einer Matrix ist$\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & .... & a_{1n} \\ .... & .... & .... \\ a_{m1} & .... & a_{mn} \end{pmatrix} = ( a_{ij}), 1\ge i,j \ge m,n $$\ a_{ij}$ ist ein Element der Matrix, dass in der $i$-ten Zeile und in der $j$-ten Spalte steht. Hierbei steht $i$ für den Zeilenindex und $j$ für den Spaltenindex, ...
  21. Rang einer Matrix
    Matrizen > Rang einer Matrix
    Rang einer Matrix
    ... = 0, ... ,n$  besteht aus  $m$-Zeilenvektoren  $\vec{a_1}, ... , \vec{a_m}$  und aus  $n$-Spaltenvektoren  $\vec{b_1}, ..., \vec{b_n}$:Die Matrix  $\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$  besteht unter anderem aus demZeilenvektor$\vec{a_i} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \end{pmatrix}$und dem Spaltenvektor$\vec{b_j} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ ... \\ a_{m1} ...
  22. Determinanten
    Matrizen > Determinanten
    Regel von Sarrus
    Unter einer Determinante versteht man einen eindeutigen Zahlenwert, der genau einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.  Ist die Matrix nicht quadratisch, so existiert für sie auch keine Determinante.Die Determinante hat die Kennzeichnung $\ det(A) $ oder $\ |A| $.Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher GrößeZur Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe existieren verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden aufgezeigt ...
  23. Cramersche Regel
    Matrizen > Determinanten > Cramersche Regel
    Regel von Sarrus
    ... -2 & 6 & 7 \end{pmatrix}$  und der Vektor  $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$Berechnung der Determinanten $|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & -8 \\ -2 & 6 & 7 \end{vmatrix}$Regel von Sarrus$|A| = -1 \cdot 5 \cdot 7 + 2 \cdot 6 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 \cdot (-8) - 4 \cdot 5 \cdot (-2) - (-8) \cdot 6 \cdot (-1) - 7 \cdot 2 \cdot 2 = 9$Da  $|A| \neq 0$  besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, ...
  24. Eigenwerte
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    ... Zahl $\lambda$ und einen dazugehörigen Vektor $\vec{x}$ damit:$Ax = \lambda x$ Dabei ist die Zahl $\lambda$ der Eigenwert. Der Vektor $\vec{x} \neq \vec{0}$  ist der Eigenvektor.Die Gleichung $Ax = \lambda x$ lässt sich folgendermaßen umformen:$Ax = \lambda x \leftrightarrow Ax − \lambda x = 0 \; \;$ mit $x = Ex$$\rightarrow(A − \lambda E)x = 0$EigenwerteDie Eigenwerte der Matrix $A$ sind nun die Lösungen der folgenden Gleichung:$det(A − ...
  25. Eigenvektoren
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenvektoren
    ... zu dem Eigenwert $\lambda$ gehörende Eigenvektor  $\vec{x}$ ist die Lösung der Gleichung:$(A - \lambda E)\vec{x} = 0$wobei gilt: $\vec{x} \neq \vec{0}$Gegeben sei die Matrix aus dem vorherigen Beispiel $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$  mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$.Berechnung des 1. Eigenvektors:$\lambda_1 = 5$:$(A - 5 E)\vec{x} = 0$:$=  \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} - 5 \cdot \begin{pmatrix} ...
  26. Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
    ... den Hauptdiagonalen mit den kanonischen Einheitsvektoren als EigenvektorenDefinition der DiagonalisierbarkeitEine $n \times n$-Matrix $A$ mit Einträgen aus einem Körper $K$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:1. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren2. Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert $\lambda_i$.Zu 1): Sind für das charakteristische ...
  27. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... in Linearfaktoren.3. Bestimmung der Eigenvektoren:Es muss als nächstes geprüft werden, ob die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte mit der geometrischen übereinstimmt. Hierfür müssen die Eigenvektoren zu den ermittelten Eigenwerten berechnet werden. Dies geschieht mit der folgenden Formel:$(A-\lambda E) \cdot \vec{x} = 0$1. Eigenvektor:mit $\lambda = 9$ ergibt sich:$(A-9 \cdot  E) \cdot \vec{x} = 0$Es gilt:$ \begin{pmatrix} 9-9 & 0 & -6 \\ 18 & ...
  28. Vektorräume
    Vektorräume
    ... Abschnitte behandelnLinearkombination von VektorenLineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von VektorenDefinition: Vektorräume, lineare Hülle, Erzeugendensystem und Basis
  29. Linearkombination von Vektoren
    Vektorräume > Linearkombination von Vektoren
    Die Linearkombination von Vektoren bezeichnet die Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.$\vec{v} = \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n}$ Dabei sind $\vec{a_i}$ die Vektoren, $\lambda_i$ die reellen Zahlen und $\vec{v}$ der Ergebnisvektor.Der Vektor $\vec{v}$ ist eine Linearkombination aus den obigen Vektoren $\vec{a_i}$.Darstellung eines Vektors als Linearkombination Wir wollen ...
  30. Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren
    ... Unabhängigkeit von Vektoren beschäftigen. Lineare Abhängigkeit von VektorenDie Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ heißen linear abhängig, wenn gilt: $\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} = \vec{0}$mit$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) \in \mathbb{R}$Dabei dürfen nicht alle $\lambda_i \; (i = 1,2,...,n)$ den Wert Null annehmen, damit die obige Gleichung erfüllt ist. Lässt ...
  31. Lineare Abhängigkeit im R²
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R²
    Zwei Vektoren im R²Zwei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$mit$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert Null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen. Alternativ ...
  32. Lineare Abhängigkeit im R³
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R³
    Regel von Sarrus
    Zwei Vektoren im R³Zwei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$mit$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert Null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.Sinnvoll ist ...
  33. Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    Vektorräume > Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    Definition: VektorraumDie Elemente eines Vektorraums $\mathcal V$ heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums $\mathcal V$.Addition von VektorenEine Bedingung ist, dass die Vektoren miteinander addiert werden können. Sind also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n}$ Vektoren aus $\mathcal V$, also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \in \mathcal V$ dann muss es möglich sein ihre Summe ...
  34. Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen > Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    ... (wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren):Addition:  $z + w := (x + c) + i (y + v)$ Subtraktion:  $z - w := (x - c) + i (y - v)$Multiplikation komplexer ZahlenDie Multiplikation komplexer Zahlen mit einer reellen Zahlen (hier: $\lambda$)  ist wie die Skalarmultiplikation von Vektoren:$ \lambda z := \lambda x + i \cdot \lambda y$Unter Berücksichtigung von $i^2 = -1$  lässt sich hieraus die Multiplikation zweier komplexer Zahlen  $z$  und ...
  35. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ... Punktes ermitteln. Dabei ist $\vec{r}$ der Vektor der auf den Punkt zeigt und $r = |\vec{r}|$ ist die Länge des Vektors. Dieser Zusammhang wurde bereits im Kapitel Vektorrechnung behandelt. Ist der Vektor $\vec{r} \neq (0,0)$ (also vom Nullvektor verschieben), dann ist die Länge des Vektor größer Null: $r > 0$.  Genau dann existiert ein Winkel  $\varphi$, welcher sich mit der positiven x-Achse (Polarwinkel) kennzeichen lässt:PolarkoordinatenUmformung ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$. Bestimme ...
  2. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... einer Kurve untersucht werden.In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt vier verschiedene Arten dargestellt werden. Kurven in der Ebene:1. Explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 ...
  3. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Ebene Kurve
    ... dazu sieht wie folgt aus:ParameterdarstellungVektordarstellungUm im Weiteren die Kurveneigenschaften zu bestimmen, ist es sinnvoll die Kurve in Vektordarstellung anzugeben:$\vec{r} = (x(t), y(t)) \; \; t \in [a, b]$Der Punkt $P(x(t), y(t))$ der Kurve $K$ liegt dann in der Spitze des Vektors $\vec{x}$, welcher vom Nullpunkt ausgeht.VektordarstellungIn der obigen Grafik wird der Punkt $t_5(1,5, 2,25)$ durch den Vektor $\vec{x} = (x(t), y(t)) = (x(1,5), y(1,5)) = (1,5, \ 2,25)$ dargestellt. ...
  4. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder ...
  5. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    Der Hauptnormalenvektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve. EinführungIst der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ ...
  6. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krmmung
    ... sich in Richtung des zuvor bestimmten Normalenvektors krümmt (also nach links) und negativ, wenn die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts). Das Krümmungsmaß einer Kurve an einem bestimmten Punkt kann über den Radius eines Kreises errechnet werden, indem der Kehrwert des Krümmungskreisradius gebildet wird. Ein großer Kreisradius bedeutet eine schwache Krümmung und ein kleiner Radius bedeutet ...
  7. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... aus:Evolute der ParabelBestimmung des NormalenvektorsDie Tangenten der Evolute sind gleich der Normalen der Kurve.Die Normalen der Kurve wurden bereits im Abschnitt 'Evolute' berechnet.In diesem Beispiel soll es reichen einen Punkt auszuwählen und dessen Normale zu berechnen. In diesem Fall wird der Punkt $E(2, \ 2)$ dafür bestimmt. Der Normalenvektor für diesen Punkt ist:$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-2, \ 1)$Der Normalenvektor wird an den Punkt $E$ verschoben ...
  8. Tangentenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
    ... $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$$\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$.Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem ...
  9. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    Der Hauptnormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch:$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet:$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$Hauptnormalenvektor ...
  10. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    Der Binormalenvektor $\vec{b}(t)$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$,$\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$.mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve.Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ ...
  11. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen$\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$,die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$. Die drei Ebenen des begleitenden DreibeinsDurch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 ...
  12. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... einmal ableitet. Es entsteht wiederum ein Vektor. Man berechnet dann die Länge dieses Ableitungsvektors. Als nächstes integriert man die berechnete Länge nach $t$. Man erhält somit die Bogenlänge $s$, die nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist:$s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| ...
  13. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (0, -1, 0)$Vektorprodukt und Länge berechnenFür Krümmung:$\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)  =(0, 1, 1) \; \text{X} \; (-1, 0, 0) = (0, -1, 1)$$|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$|\dot{\alpha} (t) |^3 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}^3 = \sqrt{2}^3$Für Torsion:$(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \cdot \dddot{\alpha} (t)  ...
  14. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... der Stelle $ \vec{x_0} $ in Richtung des Vektors $\vec{a} \not= 0 $ ist durch den Grenzwert$\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0}) := \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (\vec{x_0} + t \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}) - f (\vec{x_0})}{t} $ definiert. Die Richtungsableitung hängt nur von der Richtung des Vektors $\vec{a}$ ab, nicht von seiner Länge, aus diesem Grund ersetzt man den Vektor durch den Einheitsvektor $\vec{e}= \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} $ in Richtung $\vec{a}$.Jeder ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    Bei der Vektoraddition ist das Kommutativgesetz zu beachten, welches besagt, dass bei der Bestimmung der Resultierenden die Additions-Reihenfolge der Einzelkräfte beliebig ist:$\ F_1 + F_2 + F_3 = F_2 + F_3 + F_1 = ... = R $KommutativgesetzIn der obigen Grafik ist zum einen der Lageplan (links) gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten ...
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