Analysis und Lineare Algebra

  1. Kurs: Höhere Mathematik 1
    Kurs: Höhere Mathematik 1
    Kurs: Höhere Mathematik 1
    ... nicht ganz einfache Thematik der Mengenlehre, Vektorrechnung, komplexen Zahlen, Integral- und Differentialrechnung sowie der linearen Algebra einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themenpunkte eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden wir Ihnen mithilfe von Lernvideos die einzelnen ...
  2. Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    ... komplexe Zahlen, elementare Funktionen, Vektorrechnung, Differentialrechnung, Integralrechnung, Folgen und Reihen sowie lineare Algebra.
  3. Einführung in die Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Einführung in die Vektorrechnung
    Unter Vektoren versteht man Objekte mit einer vorgegebenen Länge und Richtung. Mit Hilfe von Vektoren kann man z.B. die Geschwindigkeit von Objekten oder die Strömungsrichtungen in einem Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten.  Vektor ...
  4. Addition von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Addition von Vektoren
    Die Addition von zwei Vektoren    $\vec{a} =  \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$    und    $\vec{b} =  \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$    ist definiert durch $\vec{a} + \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right)$ Die grafische Addition von Vektoren erfolgt, indem der Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ an den Endpunkt des Vektors $\vec{a}$ angreiht wird. Dabei darf die Richtung der Vektoren nicht verändert ...
  5. Subtraktion von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Subtraktion von Vektoren
    Subtraktion von Vektoren
    Die Subtraktion von zwei Vektoren    $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$    und    $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$    ist definiert durch $\vec{a} - \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{array} \right)$ Die grafische Subtraktion des Vektors  $\vec{b}$  vom Vektor  $\vec{a}$  erfolgt, indem man den entgegengesetzten Vektor  $- \vec{b}$ zum Vektor  $\vec{a}$  hinzuaddiert. Man tauscht also ...
  6. Skalieren von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Skalieren von Vektoren
    Skalieren von Vektoren
    Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man Skalierung eines Vektors. Das Produkt ist wiederum ein Vektor, der entsprechend des mit ihm multiplizierten Wertes länger $(\vec{x} \cdot 2)$, kürzer $(\vec{x} \cdot 0,5)$ oder sogar in entgegengesetzter Richtung $(\vec{x} \cdot (-1,5))$ neu abgebildet wird. Skalieren von Vektoren In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass ein Vektor $\vec{x}$ multipliziert mit einem Skalar größer 1  (z.B. $2$) länger wird. Bei der ...
  7. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Ein Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen. Basisvektoren Die drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt. Hierbei ...
  8. Dreiecksungleichung
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    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Dreiecksungleichung
    Dreiecksungleichung
    ... Länge der Seite a$b$ Länge der Seite b Für Vektoren gilt analog: $|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$             Dreiecksungleichung mit $|\vec{a}| $ Länge der Seite a $|\vec{b}|$ Länge der Seite b $|\vec{a} + \vec{b}|$ Länge der Seite a+b Beweis der Dreiecksungleichung Der Beweis der Dreiecksungleichung wird wie folgt durchgeführt: Zunächst einmal gilt: $a \le |a|$    und    $b \le |b| $ (1)    $(a + b) \le |a| + |b|$  und   Es gilt $ -a \le ...
  9. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt und Winkel
    Sind zwei Vektoren $\vec{a} \neq 0$ und $\vec{b} \neq 0$ (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$. Eingeschlossener Winkel Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar). $ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & \text{für} ...
  10. Zerlegung von Vektoren
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Zerlegung von Vektoren
    ... mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen. In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt. Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die Zerlegung des Vektors $\vec{a}$ in zwei Vektoren, einer parallel zu $\vec{b}$ und einer ...
  11. Das Vektorprodukt
    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Das Vektorprodukt
    Das Vektorprodukt ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wo hingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist. Eigenschaften des Vektorprodukts Ein Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, ...
  12. Das Spatprodukt
    Vektorrechnung > Das Spatprodukt
    Das Spatprodukt
    ... stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$. Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.Im Umkehrschluss bedeutet dies:1.Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene so verschwindet das Spatprodukt, also$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$.2.Ist ...
  13. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    In diesem Abschnitt werden Beispielaufgaben zur Vektorrechnung aufgeführt. Aufgabe 1: Addition und Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,-4,1)$ und $\vec{b} = (1,1,-2)$. Berechnen Sie: a) $\vec{a} + \vec{b}$ b) $-2\vec{a}$ c)$3\vec{a} - 2\vec{b}$ a) $\vec{a} + \vec{b} = (2+1, -4+1, 1-2) = (3, -3, -1) $ b) $-2\vec{a} = -2((2,-4,1) = (-4,8,-2)$ c) $3\vec{a} - 2\vec{b} = 3(2,-4,1) -  2(1,1,-2) = (4,-14,7)$ Aufgabe 2: Länge eines ...
  14. Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen > Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    ... (wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren): Addition:  $z + w := (x + c) + i (y + v)$ Subtraktion:  $z - w := (x - c) + i (y - v)$ Multiplikation komplexer Zahlen Die Multiplikation komplexer Zahlen mit einer reellen Zahlen (hier: $\lambda$)  ist wie die Skalarmultiplikation von Vektoren: $ \lambda z := \lambda x + i \cdot \lambda y$ Unter Berücksichtigung von $i^2 = -1$  lässt sich hieraus die Multiplikation zweier komplexer Zahlen  $z$  und  $w$  ableiten: $z ...
  15. Matrizen
    Lineare Algebra > Matrizen
    ... besteht. Diese sind in $m$-Zeilen [Zeilenvektoren] und $n$-Spalten [Spaltenvektoren] angeordnet. Die allgemeine Form einer Matrix. Die allgemeine Form einer Matrix ist$\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & .... & a_{1n} \\ .... & .... & .... \\ a_{m1} & .... & a_{mn} \end{pmatrix} = ( a_{ij}), 1\ge i,j \ge m,n $ $\ a_{ij}$ ist ein Element der Matrix, dass in der $i$-ten Zeile und in der $j$-ten Spalte steht. Hierbei steht $i$ für den Zeilenindex und $j$ für den Spaltenindex, ...
  16. Rang einer Matrix
    Lineare Algebra > Rang einer Matrix
    Rang einer Matrix
    ... $i, j = 0, ... ,n$  besteht aus  $m$-Zeilenvektoren  $\vec{a_1}, ... , \vec{a_m}$  und aus  $n$-Spaltenvektoren  $\vec{b_1}, ..., \vec{b_n}$: Die Matrix  $\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$  besteht unter anderem aus dem Zeilenvektor $\vec{a_i} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \end{pmatrix}$ und dem Spaltenvektor $\vec{b_j} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ ... \\ a_{m1} \end{pmatrix}$ Der ...
  17. Determinanten
    Lineare Algebra > Determinanten
    Determinanten
    Unter einer Determinante versteht man einen eindeutigen Zahlenwert, der genau einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.  Ist die Matrix nicht quadratisch, so existiert für sie auch keine Determinante. Die Determinante hat die Kennzeichnung $\ det(A) $ oder $\ |A| $. Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe Zur Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe existieren verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden aufgezeigt werden. Determinante ...
  18. Cramersche Regel
    Lineare Algebra > Determinanten > Cramersche Regel
    Cramersche Regel
    ... \\ -2 & 6 & 7 \end{pmatrix}$  und der Vektor  $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ Berechnung der Determinanten  $|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & -8 \\ -2 & 6 & 7 \end{vmatrix}$ Regel von Sarrus $|A| = -1 \cdot 5 \cdot 7 + 2 \cdot 6 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 \cdot (-8) - 4 \cdot 5 \cdot (-2) - (-8) \cdot 6 \cdot (-1) - 7 \cdot 2 \cdot 2 = 9$ Da  $|A| \neq 0$  besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, welche ...
  19. Eigenwerte
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    Eigenwerte
    ... eine Zahl $\lambda$ und einen dazugehörigen Vektor $\vec{x}$ damit: $Ax = \lambda x$  Dabei ist die Zahl $\lambda$ der Eigenwert. Der Vektor $\vec{x} \neq \vec{0}$  ist der Eigenvektor. Die Gleichung $Ax = \lambda x$ lässt sich folgendermaßen umformen: $Ax = \lambda x \leftrightarrow Ax − \lambda x = 0 \; \;$ mit $x = Ex$ $\rightarrow(A − \lambda E)x = 0$ Eigenwerte Die Eigenwerte der Matrix $A$ sind nun die Lösungen der folgenden Gleichung: $det(A − \lambda E) = 0$  wobei ...
  20. Eigenvektoren
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenvektoren
    Eigenvektoren
    Der zu dem Eigenwert $\lambda$ gehörende Eigenvektor  $\vec{x}$ ist die Lösung der Gleichung: $(A - \lambda E)\vec{x} = 0$ wobei gilt: $\vec{x} \neq \vec{0}$ Gegeben sei die Matrix aus dem vorherigen Beispiel $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$  mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$. Berechnung des 1. Eigenvektors: $\lambda_1 = 5$: $(A - 5 E)\vec{x} = 0$: $=  \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} - 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & ...
  21. Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
    ... den Hauptdiagonalen mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren Definition der Diagonalisierbarkeit Eine $n \times n$-Matrix $A$ mit Einträgen aus einem Körper $K$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren 2. Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert $\lambda_i$. Zu 1): Sind für das charakteristische Polynom einer ...
  22. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... in Linearfaktoren. 3. Bestimmung der Eigenvektoren: Es muss als nächstes geprüft werden, ob die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte mit der geometrischen übereinstimmt. Hierfür müssen die Eigenvektoren zu den ermittelten Eigenwerten berechnet werden. Dies geschieht mit der folgenden Formel: $(A-\lambda E) \cdot \vec{x} = 0$ 1. Eigenvektor: mit $\lambda = 9$ ergibt sich: $(A-9 \cdot  E) \cdot \vec{x} = 0$ Es gilt: $ \begin{pmatrix} 9-9 & 0 & -6 \\ 18 & 6-9 & ...
Analysis und Lineare Algebra
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... einer Kurve untersucht werden. In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt vier verschiedene Arten dargestellt werden.  Kurven in der Ebene:1. Explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 \le t \le ...
  2. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Parameterdarstellung
    ... sieht wie folgt aus: Parameterdarstellung Vektordarstellung Um im Weiteren die Kurveneigenschaften zu bestimmen, ist es sinnvoll die Kurve in Vektordarstellung anzugeben: $\vec{r} = (x(t), y(t)) \; \; t \in [a, b]$ Der Punkt $P(x(t), y(t))$ der Kurve $K$ liegt dann in der Spitze des Vektors $\vec{x}$, welcher vom Nullpunkt ausgeht. Vektordarstellung In der obigen Grafik wird der Punkt $t_5(1,5, 2,25)$ durch den Vektor $\vec{x} = (x(t), y(t)) = (x(1,5), y(1,5)) = (1,5, \ 2,25)$ dargestellt. ...
  3. Tangentenvektor
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht. Allgemein Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]: $\vec{t}(t) ...
  4. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Hauptnormalenvektor
    Der Hauptnormalenvektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve.  Allgemein Ist der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ aus dem Tangentenvektor, ...
  5. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    ... sich in Richtung des zuvor bestimmten Normalenvektors krümmt (also nach links) und negativ, wenn die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts).  Das Krümmungsmaß einer Kurve an einem bestimmten Punkt kann über den Radius eines Kreises errechnet werden, indem der Kehrwert des Krümmungskreisradius gebildet wird. Ein großer Kreisradius bedeutet eine schwache Krümmung und ein kleiner Radius bedeutet eine starke Krümmung. Beispiel: $r ...
  6. Evolvente
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente
    Evolvente
    ... der Parabel Bestimmung des Normalenvektors Die Tangenten der Evolute sind gleich der Normalen der Kurve. Die Normalen der Kurve wurden bereits im Abschnitt 'Evolute' berechnet. In diesem Beispiel soll es reichen einen Punkt auszuwählen und dessen Normale zu berechnen. In diesem Fall wird der Punkt $E(2, \ 2)$ dafür bestimmt. Der Normalenvektor für diesen Punkt ist: $\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-2, \ 1)$ Der Normalenvektor wird an den Punkt $E$ verschoben und damit ...
  7. Tangentenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
    ... $ K $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]: $\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$ wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt: $\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$,  $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$ $\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$. Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem man die ...
  8. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    Der Hauptnormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch: $\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$ Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge. In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet: $\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$ Hauptnormalenvektor ...
  9. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    Der Binormalenvektor $\vec{b}(t)$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$, $\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$. mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve. Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ auf $\vec{t}_e ...
  10. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$, die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$.  Die drei Ebenen des begleitenden Dreibeins Durch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 = \vec{x_0}(t)$ drei ...
  11. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... einmal ableitet. Es entsteht wiederum ein Vektor. Man berechnet dann die Länge dieses Ableitungsvektors. Als nächstes integriert man die berechnete Länge nach $t$. Man erhält somit die Bogenlänge $s$, die nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist: $s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| ...
  12. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (0, -1, 0)$ Vektorprodukt und Länge berechnen Für Krümmung: $\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)  =(0, 1, 1) \; \text{X} \; (-1, 0, 0) = (0, -1, 1)$ $|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ $|\dot{\alpha} (t) |^3 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}^3 = \sqrt{2}^3$ Für Torsion: $(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \cdot \dddot{\alpha} (t)  = (0, -1, 1) \cdot (0, -1, ...
  13. Gradient
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient
    Gradient
    ... $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung. Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also $\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$.  Bestimme den Gradienten ...
  14. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... $ an der Stelle $ \vec{x_0} $ in Richtung des Vektors $\vec{a} \not= 0 $ ist durch den Grenzwert $\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0}) := \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (\vec{x_0} + t \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}) - f (\vec{x_0})}{t} $ definiert.  Die Richtungsableitung hängt nur von der Richtung des Vektors $\vec{a}$ ab, nicht von seiner Länge, aus diesem Grund ersetzt man den Vektor durch den Einheitsvektor $\vec{e}= \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} $ in Richtung $\vec{a}$. Jeder Einheitsvektor ...
  15. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, die durch $ f(x,y) $ definiert sind. Zur Veranschaulichung siehe folgende Grafik: Richtungsfeld Isoklinen Isoklinen ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Darstellung der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Darstellung der Kraft
    Darstellung der Kraft
    ... Kraft ist falsch, Drehung um 180° Der Kraftvektor ist ein gebundener Vektor mit gegebener Richtung, Länge und Angriffspunkt. Eine Parallelverschiebung ist nicht möglich. Auf ihrerer Wirkungslinie hingegen kann die Kraft verschoben werden.
  2. Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    ... Umgebung auf den Körper einwirken, durch Kraftvektoren ersetzt sowie Abmessungen und Entfernungen angezeichnet. Freikörperbild Freikörperbilder sind für die Statik ein wichtiges zeichnerisches Hilfsmittel, da sich hiermit eine vereinfachte und übersichtliche Darstellung der Realität abbilden lässt.
  3. Kräftepolygon in der Ebene
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftepolygon in der Ebene
    Kräftepolygon in der Ebene
    ... geometrische Konstruktion entspricht einer Vektoraddition. Bei dieser genügt es ein Kräftedreieck zu zeichnen. Dabei reiht man die Kraftvektoren in beliebiger Reihenfolge aneinander. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt vom Anfangsvektor und dem Endpunkt vom Endvektor.  Grafische Vektoraddition Kräftepolygon Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon genannt. Das Kräftepolygon in einer Ebene ist einfach die zeichnerische Verbindung aller ...
  4. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    Bei der Vektoraddition ist das Kommutativgesetz zu beachten, welches besagt, dass bei der Bestimmung der Resultierenden die Additions-Reihenfolge der Einzelkräfte gleichgültig ist: $\ F_1 + F_2 + F_3 = F_2 + F_3 + F_1 = ... = R $ Kommutativgesetz In der obigen Grafik ist zum einen der Lageplan (links) gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten Kräfte unter Berücksichtigung ...
  5. Bestimmung der Resultierenden
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden
    ... wurde die Resultierende durch die grafische Vektoraddition ermittelt. Die Kräfte wurden, in beliebiger Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Richtung, aneinandergereiht und dann die Anfangskraft mit der Endkraft verbunden. In diesem Abschnitt soll die analytische Berechnung des Betrages der Resultierenden und die Bestimmung der Richtung der Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden. Es wird zunächst gezeigt, wie man zwei Kräfte, die durch einen gemeinsamen ...
  6. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    ... kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden.  WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden. Rechtwinklinge Überlagerung In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                         Satz des Pythagoras In der obigen Grafik sind zwei Kräfte mit einem ...
  7. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    ... kann gegeben werden, wenn hier eine grafische Vektoraddition durchgeführt wird. Liegt ein geschlossenes Krafteck vor, so befindet sich der Balken in Ruhe, ansonsten nicht: Es ist deutlich zu erkennen, dass hier kein geschlossenes Krafteck vorliegt. Um ein geschlossenes Krafteck zu erhalten, muss eine weitere Kraft eingefügt werden. Diese liegt mit ihrem Fuß an der Spitze der letzten Kraft und mit ihrer Spitze am Fuß der ersten Kraft: Wird diese zusätzliche Kraft (schwarz) dem Balken ...
  8. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    ... und der Kraft $F_h$ die Resultierende mittels Vektoraddition gebildet und aus der Kraft $F_2$ und der Kraft $F_h$: Diese beiden ermittelten Resultierenden $R$ werden nun solange auf ihrer Wirkungslinie verschoben, bis diese sich schneiden:
  9. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    ... in einem einzigen resultierenden Momentenvektor ausgedrückt werden: $M_R^{(X)} = \sum{M_i^{(X)}}$ mit $M_i^{(X)} = F_i \cdot h$ Bei der Berechnung der Momente $M_i$ ist wieder wichtig, dass der Abstand $h$ zwischen gewähltem Bezugspunkt und tatsächlicher Lage berücksichtigt wird.  Anwendungsbeispiel: Kräfte im Raum Kräfte im Raum Gegeben sei der obige Quader auf den die 6 Kräfte $F_1$ bis $F_6$ wirken. Die Seitenlängen sind gegeben mit $a = 5m$, $b = 5m$ und $c = ...
  10. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... dass das Schnittufer, welches einen Normalenvektor $n$ in positive x-Richtung besitzt, als positiv bezeichnet wird. Beim positiven Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in positive Richtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Drehung um die $y$-Achse entgegen des Uhrzeigersinns ...
  11. Gleitreibung
    Reibung und Haftung > Gleitreibung
    Gleitreibung
    ... richtig zu erfassen, führt man einen Einheitsvektor $\frac{v}{|v|} $ in Richtung der Geschwindigkeit $v$ ein ($|v|$ ist die Länge des Vektors $v$. Dividiert man einen Vektor durch seine Länge, so erhält man einen Einheitsvektor). Einige Reibungskoeffizienten für trockene Materialien Material Haftungskoeffizient $\mu_0$ Reibungskoeffizient $\mu$ Holz auf Holz 0,5 0,3 Stahl auf Stahl 0,15 - 0,5 0,1 - 0,4 Stahl auf Teflon 0,04 0,04 Stahl auf Eis 0,03 0,015 Leder ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Gleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Gleichförmige Kreisbewegung
    Gleichförmige Kreisbewegung
    ... Kreisbewegung überstreicht der Ortsvektor eines Körpers in gleichen Zeitabschnitten $\triangle t$ den selben Winkel $\varphi$. Das bedeutet also, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist.  Die Winkelgeschwindigkeit wird in Radiant pro Sekunde angebenen: Einheit: $\frac{rad}{s}$             Winkelgeschwindigkeit Bei der Winkelgeschwindigkeit handelt es sich - wie bei der Bahngeschwindigkeit - um einen Skalar. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung, bei welcher die ...
  2. Bahnbeschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Bahnbeschleunigung
    Bahnbeschleunigung
    Bildet man aus dem Beschleunigungsvektor den Betrag, so erhält man den Betrag der Tangentialbeschleunigung. Hierbei handelt es sich um einen Skalar: Betrag der Bahnbeschleunigung: $|a_t| = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$      Tangentialbeschleunigung Die Tangentialbeschleunigung (auch Bahnbeschleunigung) lässt sich bestimmen durch die 1. Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ oder durch die 2. Ableitung der Bogenlänge $s$ nach der Zeit $t$: Tangentialbeschleunigung $a_t ...
Technische Mechanik 3: Dynamik
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