Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Gradient einfach berechnen
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    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$. Bestimme ...
  2. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... einer Kurve untersucht werden.In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt vier verschiedene Arten dargestellt werden. Kurven in der Ebene:1. Explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 ...
  3. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Ebene Kurve
    ... dazu sieht wie folgt aus:ParameterdarstellungVektordarstellungUm im Weiteren die Kurveneigenschaften zu bestimmen, ist es sinnvoll die Kurve in Vektordarstellung anzugeben:$\vec{r} = (x(t), y(t)) \; \; t \in [a, b]$Der Punkt $P(x(t), y(t))$ der Kurve $K$ liegt dann in der Spitze des Vektors $\vec{x}$, welcher vom Nullpunkt ausgeht.VektordarstellungIn der obigen Grafik wird der Punkt $t_5(1,5, 2,25)$ durch den Vektor $\vec{x} = (x(t), y(t)) = (x(1,5), y(1,5)) = (1,5, \ 2,25)$ dargestellt. ...
  4. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder ...
  5. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    Der Hauptnormalenvektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve. EinführungIst der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ ...
  6. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krmmung
    ... sich in Richtung des zuvor bestimmten Normalenvektors krümmt (also nach links) und negativ, wenn die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts). Das Krümmungsmaß einer Kurve an einem bestimmten Punkt kann über den Radius eines Kreises errechnet werden, indem der Kehrwert des Krümmungskreisradius gebildet wird. Ein großer Kreisradius bedeutet eine schwache Krümmung und ein kleiner Radius bedeutet ...
  7. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... aus:Evolute der ParabelBestimmung des NormalenvektorsDie Tangenten der Evolute sind gleich der Normalen der Kurve.Die Normalen der Kurve wurden bereits im Abschnitt 'Evolute' berechnet.In diesem Beispiel soll es reichen einen Punkt auszuwählen und dessen Normale zu berechnen. In diesem Fall wird der Punkt $E(2, \ 2)$ dafür bestimmt. Der Normalenvektor für diesen Punkt ist:$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-2, \ 1)$Der Normalenvektor wird an den Punkt $E$ verschoben ...
  8. Tangentenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
    ... $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$$\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$.Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem ...
  9. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    Der Hauptnormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch:$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet:$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$Hauptnormalenvektor ...
  10. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    Der Binormalenvektor $\vec{b}(t)$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$,$\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$.mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve.Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ ...
  11. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen$\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$,die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$. Die drei Ebenen des begleitenden DreibeinsDurch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 ...
  12. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... einmal ableitet. Es entsteht wiederum ein Vektor. Man berechnet dann die Länge dieses Ableitungsvektors. Als nächstes integriert man die berechnete Länge nach $t$. Man erhält somit die Bogenlänge $s$, die nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist:$s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| ...
  13. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (0, -1, 0)$Vektorprodukt und Länge berechnenFür Krümmung:$\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)  =(0, 1, 1) \; \text{X} \; (-1, 0, 0) = (0, -1, 1)$$|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$|\dot{\alpha} (t) |^3 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}^3 = \sqrt{2}^3$Für Torsion:$(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \cdot \dddot{\alpha} (t)  ...
  14. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... der Stelle $ \vec{x_0} $ in Richtung des Vektors $\vec{a} \not= 0 $ ist durch den Grenzwert$\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0}) := \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (\vec{x_0} + t \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}) - f (\vec{x_0})}{t} $ definiert. Die Richtungsableitung hängt nur von der Richtung des Vektors $\vec{a}$ ab, nicht von seiner Länge, aus diesem Grund ersetzt man den Vektor durch den Einheitsvektor $\vec{e}= \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} $ in Richtung $\vec{a}$.Jeder ...
  15. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, die durch $ f(x,y) $ definiert sind. Zur Veranschaulichung siehe folgende Grafik:RichtungsfeldIsoklinenIsoklinen ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    Bei der Vektoraddition ist das Kommutativgesetz zu beachten, welches besagt, dass bei der Bestimmung der Resultierenden die Additions-Reihenfolge der Einzelkräfte beliebig ist:$\ F_1 + F_2 + F_3 = F_2 + F_3 + F_1 = ... = R $KommutativgesetzIn der obigen Grafik ist zum einen der Lageplan (links) gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten ...
  2. Darstellung der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Darstellung der Kraft
    Kraft F auf Box
    ... ist (Drehung um 180°). Der Kraftvektor ist ein gebundener Vektor mit gegebener Richtung, Länge und gegebenem Angriffspunkt. Eine Parallelverschiebung ist nicht möglich. Auf ihrer Wirkungslinie hingegen kann die Kraft verschoben werden.
  3. Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Zwangskraft
    ... auf den Körper einwirken, durch Kraftvektoren ersetzt sowie Abmessungen und Entfernungen angezeichnet.FreikörperbildFreikörperbilder sind für die Statik ein wichtiges zeichnerisches Hilfsmittel, da sich hiermit eine vereinfachte und übersichtliche Darstellung der Realität abbilden lässt.
  4. Resultierende grafisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen
    Parallelogrammkonstruktion
    ... Konstruktion entspricht einer grafischen Vektoraddition. Hierbei werden die auf den Körper wirkenden Kräfte in einer beliebigen Reihenfolge aneinandergereiht. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt des Anfangsvektors und dem Endpunkt des Endvektors. Grafische Vektoraddition Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon genannt. Das Kräftepolygon in einer Ebene ist einfach die zeichnerische Verbindung aller Kräfte ...
  5. Resultierende analytisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen
    ... die Resultierende durch die grafische Vektoraddition ermittelt. Die Kräfte wurden, in beliebiger Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Richtung, aneinandergereiht und dann die Anfangskraft mit der Endkraft verbunden.In den folgenden Abschnitten soll die analytische Berechnung des Betrags der Resultierenden und die Bestimmung der Richtung der Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden.Es wird zunächst gezeigt wie man zwei ...
  6. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Dreieck
    ... kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Rechtwinklinge Überlagerung zweier KräfteIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                     ...
  7. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Krftegleichgewicht ermitteln
    ... kann gegeben werden, wenn hier eine grafische Vektoraddition durchgeführt wird. Liegt ein geschlossenes Krafteck vor, so befindet sich der Balken in Ruhe, ansonsten nicht: Es ist deutlich zu erkennen, dass hier kein geschlossenes Krafteck vorliegt. Um ein geschlossenes Krafteck zu erhalten, muss eine weitere Kraft eingefügt werden. Diese liegt mit ihrem Fuß an der Spitze der letzten Kraft und mit ihrer Spitze am Fuß der ersten Kraft:Wird diese zusätzliche Kraft ...
  8. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... und der Kraft $F_h$ die Resultierende mittels Vektoraddition gebildet und aus der Kraft $F_2$ und der Kraft $F_h$:Diese beiden ermittelten Resultierenden $R$ werden nun solange auf ihrer Wirkungslinie verschoben, bis diese sich schneiden: Anwendungsbeispiel: BetonmischerWir betrachten hier einen Betonmischer mit den Achslasten $F_1 = 47,5  kN$ und $F_2 = F_3 = 21,7  kN$. Die Abstände lauten $l_1 = 3,87  m$ sowie $l_2 = 1,23  m$.Wie lautet der Betrag der Resultierenden ...
  9. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum
    ... in einem einzigen resultierenden Momentenvektor ausgedrückt werden:$M_R^{(X)} = \sum{M_i^{(X)}}$mit $M_i^{(X)} = F_i \cdot h$Bei der Berechnung der Momente $M_i$ ist wieder wichtig, dass der Abstand $h$ zwischen gewähltem Bezugspunkt und tatsächlicher Lage berücksichtigt wird. Gleichgewicht im RaumEin räumliches Kräftesystem befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultierende $R$ und das resultierende Moment $M^{(X)}_R$ bezüglich des Bezugspunktes ...
  10. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren grafische Vektoraddition
    ... SeileckverfahrenSchritt 1: Grafische VektoradditionDie Größe und Richtung der Resultierenden wird mittels grafischer Vektoraddition ermittelt.Schritt 2: PolstrahlenEs folgt das Seileckverfahren um die Lage der Resultierenden bestimmen zu können. Von einem beliebigen Punkt aus werden nun Polstrahlen zu den Einzelkräften gelegt und fortlaufend nummeriert.Schritt 3: Pol bestimmenAnschliessend werden die Polstrahlen der Reihe nach abgetragen. Der Schnittpunkt zwischen ...
  11. Resultierende mittels Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Resultierende mittels Seileckverfahren
    Seileckverfahren Resultierende
    ... (hier: $1 kN = 2cm$). Es folgt die grafische Vektoraddition um die Länge und Richtung der Resultierenden bestimmen zu können. Danach werden die Polstrahlen zu einem beliebigen Punkt gezogen (vom Kraftanfang und Kraftende ausgehend).Vektoraddition und Polstrahlen Nachdem die grafische Vektoraddition durchgeführt worden ist und die Polstrahlen zu einem beliebigen Punkt gezogen worden sind, wird als nächstes das Ausgangsbeispiel (Fachwerk) betrachtet. Die Wirkungslinien ...
  12. Cremonaplan aufstellen
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Cremonaplan aufstellen
    Cremonaplan Krafteck Knoten III
    ... Krafteck ergeben.Die Längen der Kraftvektoren müssen mit einem geeigneten Maßstab eingezeichnet werden (z.B. $1 kN = 2cm$).Krafteck: Äußere Kräfte Es kann als nächstes begonnen werden die Stabkräfte mit einzubeziehen. Hierbei wählt man einen Knoten aus, welcher eine (oder mehrere) der obigen Kräfte beinhaltet und maximal zwei unbekannte Stäbe aufweist. Es wird hier der Knoten $III$ gewählt mit der bekannten Auflagerkraft $B$.Die ...
  13. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Faser und Achsen
    ... dass das Schnittufer mit einem Normalenvektor $n$ in positive x-Richtung als positives Schnittufer bezeichnet wird. Beim positiven Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in positive Achsenrichtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Linksdrehung (positiver ...
  14. Definition der Arbeit
    Arbeit > Definition der Arbeit
    Arbeit eines Kraftvektors, infinitesimal, Arbeit, Verschiebung
    ... sein müssen.  Arbeit eines Kraftvektors Betrachten wir als nächstes die Vektorrechnung. Gegeben sei ein Kraftvektor $\vec{F}$ mit dem Angriffspunkt $A$. Die Lage des Kraftvektors sei durch den Ortsvektor $\vec{r}$ beschrieben. Bei einer infinitesimalen (Duden: zum Grenzwert hin unendlich klein werdend) Verschiebung $dr$ des Kraftangriffspunktes, leistet der Kraftvektor $\vec{F}$ eine Arbeit $dW$, welche durch das Skalarprodukt definiert ist:$dW = \vec{F} \cdot ...
  15. Gleitreibung
    Reibung und Haftung > Gleitreibung
    bergang von Haft- in Gleitreibung
    ... zu erfassen, führt man einen Einheitsvektor $\frac{v}{|v|} $ in Richtung der Geschwindigkeit $v$ ein ($|v|$ ist die Länge des Vektors $v$. Dividiert man einen Vektor durch seine Länge, so erhält man einen Einheitsvektor).Einige Reibungskoeffizienten für trockene MaterialienMaterialHaftungskoeffizient $\mu_0$Reibungskoeffizient $\mu$Holz auf Holz0,50,3Stahl auf Stahl0,15 - 0,50,1 - 0,4Stahl auf Teflon0,040,04Stahl auf Eis0,030,015Leder auf Metall0,40,3Autoreifen ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Allgemeine Definition der Spannung
    Stabbeanspruchungen > Allgemeine Definition der Spannung
    Schnitt durch den Krper
    ... durch den Körper SpannungsvektorUm nun den Spannungsvektor zu ermitteln, reduziert man das Flächenelement $\triangle A $ auf das infinitesimale Flächenelement $d A $ und erhält dadurch:$\ t = \lim\limits_{\triangle A \rightarrow 0} \frac{\triangle F}{\triangle A} = \frac{dF}{dA} $Lokaler Spannungsvektor Normalspannung und SchubspannungMan unterscheidet zwei Spannungsarten: Normalspannungen und Schubspannungen. Um die Normalspannung $\sigma$ und ...
  2. Allgemeine Annahmen
    Mehrachsige Spannungszustände > Allgemeine Annahmen
    Spannungstensor
    ... der Spannungen herangezogen:Lokaler Spannungsvektor In der obigen Grafik greifen die Kräfte beliebig am Körper an. Die Kräfte greifen nun also nicht mehr nur in Richtung der Längsachse des Körpers (wie bei Zugstäben/Druckstäben) an. Bei einem Zug-/Druckstab war es so, dass nur Kräfte in einer Achsenrichtung aufgetreten sind:Beanspruchung eines Zugstabs Bei einem Schnitt und dem Abtragen der Schnittkräfte $N$ (senkrecht) auf der Schnittfläche, ...
  3. Ebener Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand
    Ebene Spannungszustnde
    ... nur in der Ebene wirken, ist der Normalenvektor $\sigma_y = 0 $. Die anderen Größen werden in den Spannungstensor aufgenommen:$\ S = \left(\begin{array}{c} \sigma_x\ \tau_{xz} \\ \tau_{zx} \ \sigma_z \end{array}\right) $. 
  4. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Spannungskomponenten in der Ebene
    ... so herausgeschnitten, dass der Normalenvektor $n$ in $x^*$-Richtung zeigt. Da der Normalenvektor senkrecht (im 90° Winkel) auf der Querschnittsfläche liegt, muss der Schnitt also so erfolgen, dass dieser senkrecht zum Normalenvektor durchgeführt wird. Die Normalspannung $\sigma_x$ steht ebenfalls senkrecht auf der Querschnittsfläche des herausgeschnittenen Dreiecks:Herausgeschnittenes Dreieck Der Winkel $\alpha$ des Dreiecks wurde übernommen, da der Normalenvektor ...
  5. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Schubspannungen und Normalspannungen
    ... durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 65°-Winkel zur $x$-Achse:Schnitt im 65° Winkel Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als nächstes muss nun das neue Koordinatensystem ...
  6. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Hauptspannungen Beispiel
    ... durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung die auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 55°-Winkel zur $x$-Achse:Schnitt im 55° Winkel zur x-Achse Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als nächstes muss nun das neue Koordinatensystem ...
  7. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Verformungen am Zugstab
    ... durch den gleichnamigen Verschiebungsvektor, welcher eine Ortsabhängigkeit besitzt. Man schreibt daher:$\ u = u (x,y)\ \ \text{bzw.}  u \rightarrow \left\{\begin{array}{rcl} u = u (x,y) \\ v = v (x,y) \end{array}\right. $Dabei geben die skalaren Funktionen u bzw. v die Verschiebungen in x bzw. in y Richtung an. Sie sind also mit dem Ort (x,y) veränderliche Funktionen.Eine Verformung umfasst im allgemeinen Fall sowohl Längen- als auch Winkeländerungen. Verzerrungen ...
  8. Räumlicher Verzerrungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Räumlicher Verzerrungszustand
    ... Verzerrungszustand der Verschiebungsvektor $ u $ um eine weitere Komponente in z-Richtung erweitert werden. Im Allgemeinen erhält diese Komponente die Kennzeichnung $ w $. Der räumliche Verschiebungsvektor hat dann die Form:$ u = u(x,y,z)e_x + v(x,y,z)e_y + w(x,y,z)e_z $Auch die zugehörigen Verzerrungskomponenten in z-Richtung müssen gebildet werden. Dies stellt jedoch keine Schwierigkeit dar, da sich die Bestimmung analog zum ebenen Fall verhält.Dehnung ...
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Werkstofftechnik 1

  1. Quantentheorie
    Metallographie > Aufbau der Elektronenhülle > Quantentheorie
    Zyklotron zur Untersuchung atomarer Teilchen
    ... durch die Orientierung des Bahndrehimpulsvektors gegenüber einem äußeren Magnetfeld bestimmt ist. m kann jeden ganzzahligen zwischen -l und l annehmen. SpinquantenzahlDie Spinnquantenzahl s berücksichtigt den Einfluss auf die Elektronenenergie, welcher durch den Spin (Eigenrotation) des Elektronen entstehenden Spindrehimpulses entsteht. Die Spinquantenzahl hat einen Wert zwischen $\ - \frac{1}{2} $ und $\ + \frac{1}{2} $.Die 4 Quantenzahlen ermöglichen ...
  2. Monokline Gitter
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Monokline Gitter
    Monokline Elementarzellen
    ... davon, dass sich diese Gitterform durch drei Vektoren aufspannen lässt, liegt keine Symmetrie mehr vor. Neben der bekannten Kristallstruktur der monoklinen Prismen, existiert zusätzlich die Doppelpyramide. Typische Vertreter mit monokliner Gitterstruktur sind: Schwefel, Diopsid, Azurit, Krokoit.Monokline Elementarzellen
  3. Bestimmung von Gitterrichtungen
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Bestimmung von Gitterrichtungen
    ... Beschreibung von Gittergeraden verwendet man Vektoren, welche im Koordinatensystem vom Ursprung bis hin zum Schwerpunkt des betrachteten Atoms zeigen. Für die Gittergeraden verwendet man als Koordinaten ganze Zahlen, dh. man bezeichnet sie als teilerfremde Koordinaten. Um die Berechnung der Gitterrichtungen besser zu verstehen, folgt eine Veranschaulichung am orthorhombischen Gitter. Gitterrichtungen im orthorhombischen GitterZur Erinnerung die Geometrie des Orthorhombischen Gitters ...
  4. Sonderfall: Richtungen und Ebenen im hexagonalen Gitter
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Sonderfall: Richtungen und Ebenen im hexagonalen Gitter
    Richtungsindizes im hexagonalen Gitter
    ... wird, wie in anderen Systeme, ein Richtungsvektor durch den Koordinatenursprung gelegt und bis zur nächsten Ecke einer Elementarzelle verlängert. Im nächsten Schritt werden die in Gitterparametern gezählten Projektionen des Pfeils auf den Achsen $ a, b, d$ als Zahlen $ u, v, w $ abgelesen. Die Projektion auf der Achse $ c $ wird hingegen nicht abgelesen. Jetzt ist es möglich aus den Werten $ u, v, w $ die vier Ziffern$  h,k,i $ und $ l $ zu berechnen$ ...
  5. Eindimensionale Gitterstörungen
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Gitterstörungen > Eindimensionale Gitterstörungen
    1. Versetzung, 2. Kleinwinkelkorngrenze, 3. Zwillingsgrenze
    ... zu können verwendet man den Burgervektor b. In der unteren Abbildung ist neben der flächenförmigen Gitterstörung auch eine Versetzung eingezeichnet. 1. Versetzung, 2. Kleinwinkelkorngrenze, 3. ZwillingsgrenzeBurgervektorDen Burgervektor erhält man, indem man um die Versetzung durch Abtragen beliebiger Strecken einen Umlauf durchführt und diesen anschließend in der ungestörte Gitter überträgt. Als Burgervektor erhält man dann ...
  6. Schneiden von Teilchen
    Mechanische Eigenschaften > Festigkeitssteigerung > Teilcheneinlagerung > Schneiden von Teilchen
    Schneiden von Teilchen
    ... zweier Teilchenmittelpunkte $ b $ = Burgersvektor$ \gamma $ = Energie der Grenzfläche infolge des Schneidvorgangs. Damit diese Berechnung zulässig ist, muss vorausgesetzt sein, dass die Versetzung nicht flexibel ist und dass die Teilchen die Form einer Kugel besitzen. Schema zum TeilchenschneidenDer Ablauf dieses Vorgangs ist nachfolgend skizziert:Schneiden von Teilchen
  7. Rekristallisation
    Wärmebehandlung > Rückbildung der Festkörperstruktur > Rekristallisation
    Rekristallisation durch Vereinigung von Subkrnern
    ... G = $ Schubmodul$ b = $ Burgervektor$ G \cdot b^2 = $ Linienenergie der Versetzungen.Unabhängig von der treibenden Kraft $ p $ benötigt die Rekristallisation eine Mindestverformung. Diese Mindestverformung, auch kritischer Verformungsgrad genannt, variiert von Werkstoff zu Werkstoff.So liegt der notwendige kritische Verformungsgrad im Falle von Magnesium bei 0,2 %. Aluminium muss zu mindestens 1,6 % und Eisen sogar zu 3,25 % verformt werden, damit die Rekristallisation ...
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Strömungslehre

  1. Stationäre und instationäre Strömungen
    Kinematik einer Strömung > Stationäre und instationäre Strömungen
    ... ist stationär, wenn die Geschwindigkeitsvektoren überall im Strömungsfeld hinsichtlich Betrag und Richtung zeitlich konstant, d.h. zeitunabhängig sind.Instationäre StrömungenDie Strömung eines Fluids ist instationär, wenn dessen Strömungsgrößen wie Geschwindigkeit und Druck nicht nur von den Koordinaten des zur Beschreibung des Strömungsfeldes verwendeten Koordinatensystems, sondern auch von der Zeit abhängig ...
  2. Bahnkurven und Stromlinien
    Kinematik einer Strömung > Bahnkurven und Stromlinien
    Bahnlinie
    ... mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin.Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren in einer Profilströmung (Momentaufnahme)In ...
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Maschinenelemente 1

  1. Bestimmung und Berechnung der Biegung
    Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen > Bestimmung und Berechnung der Biegung
    Schnittgren Schnitte
    ... Somit fällt der Biegemomentvektor mit der Hauptträgheitsachse des beanspruchten symmetrischen Querschnitts zusammen. Im Maschinenbau tritt jedoch durch den räumlichen Aufbau der Strukturen in vielen Fällen eine schiefe Biegung auf. Diese wird dann durch eine Überlagerung (Superposition) der Komponenten in den Hauptträgheitsachsen berechnet. Die Biegung selbst wird durch den Einfluss einer Querkraft, eines Biegemoments oder eines Kräftepaares ...
  2. Zusammengesetzte Beanspruchungen
    Berechnungsgrundlagen > Zusammengesetzte Beanspruchungen
    Normalspannungen und Schubspannungen am Stab
    ... $\sigma \rightarrow $ Hier steht der Spannungsvektor senkrecht zur Schnittebene. Normalspannungen treten bei Zug-, Druck- und Biegebelastungen auf. Schubspannungen $\tau \rightarrow $ Der Spannungsvektor liegt in der Schnittebene. Schubspannungen entstehen bei Querkräften und Torsion. Treten an einem Bauteil mehrere Beanspruchungen aus diesen beiden Grundbeanspruchungsarten auf, so werden diese Spannungen vektoriell addiert. SpannungsadditionIn der nächsten Abbildung ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Übungsaufgaben zu Geraden im Raum
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Übungsaufgaben zu Geraden im Raum
    ... sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen $\lambda$:$\vec{v} = \lambda \vec{w}$  (alternativ: $\vec{w} = \lambda \vec{v}$).$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:(1) $1 = 3\lambda $(2) $2 = \lambda$(3) $-2 = -3\lambda$Jede Zeile nach $\lambda$ auflösen:(1) $\lambda = \frac{1}{3}$(2) $\lambda = 2$(3) $\lambda = \frac{2}{3}$Nur ...
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