Analysis und Lineare Algebra

  1. Cramersche Regel
    Lineare Algebra > Determinanten > Cramersche Regel
    Regel von Sarrus
    ... -2 & 6 & 7 \end{pmatrix}$  und der Vektor  $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$Berechnung der Determinanten $|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & -8 \\ -2 & 6 & 7 \end{vmatrix}$Regel von Sarrus$|A| = -1 \cdot 5 \cdot 7 + 2 \cdot 6 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 \cdot (-8) - 4 \cdot 5 \cdot (-2) - (-8) \cdot 6 \cdot (-1) - 7 \cdot 2 \cdot 2 = 9$Da  $|A| \neq 0$  besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, ...
  2. Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
    ... den Hauptdiagonalen mit den kanonischen Einheitsvektoren als EigenvektorenDefinition der DiagonalisierbarkeitEine $n \times n$-Matrix $A$ mit Einträgen aus einem Körper $K$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:1. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren2. Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert $\lambda_i$.Zu 1): Sind für das charakteristische ...
  3. Das Spatprodukt
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Spatprodukt
    Spatprodukt Vektorprodukt
    ... stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.Im Umkehrschluss bedeutet dies:1.Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene so verschwindet das Spatprodukt, also$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$.2.Ist ...
  4. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    In diesem Abschnitt werden Beispielaufgaben zur Vektorrechnung aufgeführt.Aufgabe 1: Addition und Subtraktion, Multiplikation mit einem SkalarGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,-4,1)$ und $\vec{b} = (1,1,-2)$.Berechnen Sie:a) $\vec{a} + \vec{b}$b) $-2\vec{a}$c)$3\vec{a} - 2\vec{b}$a) $\vec{a} + \vec{b} = (2+1, -4+1, 1-2) = (3, -3, -1) $b) $-2\vec{a} = -2((2,-4,1) = (-4,8,-2)$c) $3\vec{a} - 2\vec{b} = 3(2,-4,1) -  2(1,1,-2) = (4,-14,7)$Aufgabe 2: Länge ...
  5. Rang einer Matrix
    Lineare Algebra > Rang einer Matrix
    Rang einer Matrix
    ... = 0, ... ,n$  besteht aus  $m$-Zeilenvektoren  $\vec{a_1}, ... , \vec{a_m}$  und aus  $n$-Spaltenvektoren  $\vec{b_1}, ..., \vec{b_n}$:Die Matrix  $\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$  besteht unter anderem aus demZeilenvektor$\vec{a_i} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \end{pmatrix}$und dem Spaltenvektor$\vec{b_j} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ ... \\ a_{m1} ...
  6. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... in Linearfaktoren.3. Bestimmung der Eigenvektoren:Es muss als nächstes geprüft werden, ob die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte mit der geometrischen übereinstimmt. Hierfür müssen die Eigenvektoren zu den ermittelten Eigenwerten berechnet werden. Dies geschieht mit der folgenden Formel:$(A-\lambda E) \cdot \vec{x} = 0$1. Eigenvektor:mit $\lambda = 9$ ergibt sich:$(A-9 \cdot  E) \cdot \vec{x} = 0$Es gilt:$ \begin{pmatrix} 9-9 & 0 & -6 \\ 18 & ...
  7. Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    ... Zahlen,elementare Funktionen,Vektorrechnung,Differentialrechnung,Integralrechnung,Folgen und Reihen sowielineare Algebra.
  8. Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen > Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    ... (wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren):Addition:  $z + w := (x + c) + i (y + v)$ Subtraktion:  $z - w := (x - c) + i (y - v)$Multiplikation komplexer ZahlenDie Multiplikation komplexer Zahlen mit einer reellen Zahlen (hier: $\lambda$)  ist wie die Skalarmultiplikation von Vektoren:$ \lambda z := \lambda x + i \cdot \lambda y$Unter Berücksichtigung von $i^2 = -1$  lässt sich hieraus die Multiplikation zweier komplexer Zahlen  $z$  und ...
  9. Matrizen
    Lineare Algebra > Matrizen
    ... besteht. Diese sind in $m$-Zeilen [Zeilenvektoren] und $n$-Spalten [Spaltenvektoren] angeordnet. Die allgemeine Form einer Matrix.Die allgemeine Form einer Matrix ist$\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & .... & a_{1n} \\ .... & .... & .... \\ a_{m1} & .... & a_{mn} \end{pmatrix} = ( a_{ij}), 1\ge i,j \ge m,n $$\ a_{ij}$ ist ein Element der Matrix, dass in der $i$-ten Zeile und in der $j$-ten Spalte steht. Hierbei steht $i$ für den Zeilenindex und $j$ für den Spaltenindex, ...
  10. Eigenwerte
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    ... Zahl $\lambda$ und einen dazugehörigen Vektor $\vec{x}$ damit:$Ax = \lambda x$ Dabei ist die Zahl $\lambda$ der Eigenwert. Der Vektor $\vec{x} \neq \vec{0}$  ist der Eigenvektor.Die Gleichung $Ax = \lambda x$ lässt sich folgendermaßen umformen:$Ax = \lambda x \leftrightarrow Ax − \lambda x = 0 \; \;$ mit $x = Ex$$\rightarrow(A − \lambda E)x = 0$EigenwerteDie Eigenwerte der Matrix $A$ sind nun die Lösungen der folgenden Gleichung:$det(A − ...
  11. Eigenvektoren
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenvektoren
    ... zu dem Eigenwert $\lambda$ gehörende Eigenvektor  $\vec{x}$ ist die Lösung der Gleichung:$(A - \lambda E)\vec{x} = 0$wobei gilt: $\vec{x} \neq \vec{0}$Gegeben sei die Matrix aus dem vorherigen Beispiel $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$  mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$.Berechnung des 1. Eigenvektors:$\lambda_1 = 5$:$(A - 5 E)\vec{x} = 0$:$=  \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} - 5 \cdot \begin{pmatrix} ...
  12. Kurseinführung
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Kurseinführung
    ... nicht ganz einfache Thematik der Mengenlehre, Vektorrechnung, komplexen Zahlen, Integral- und Differentialrechnung sowie der linearen Algebra einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themenpunkte eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden wir Ihnen mithilfe von Lernvideos ...
  13. Skalarprodukt und Winkel
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    Sind zwei Vektoren $\vec{a} \neq 0$ und $\vec{b} \neq 0$ (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.Eingeschlossener WinkelSkalarproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).$ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & ...
  14. Subtraktion von Vektoren
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Subtraktion von Vektoren
    Vektorsubtraktion
    Die Subtraktion von zwei Vektoren    $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$    und    $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$    ist definiert durch$\vec{a} - \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{array} \right)$Die grafische Subtraktion des Vektors  $\vec{b}$  vom Vektor  $\vec{a}$  erfolgt, indem man den entgegengesetzten Vektor  $- \vec{b}$ ...
  15. Skalieren von Vektoren
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Skalieren von Vektoren
    Skalieren von Vektoren
    Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man Skalierung eines Vektors. Das Produkt ist wiederum ein Vektor, der entsprechend des mit ihm multiplizierten Wertes länger $(\vec{x} \cdot 2)$, kürzer $(\vec{x} \cdot 0,5)$ oder sogar in entgegengesetzter Richtung $(\vec{x} \cdot (-1,5))$ neu abgebildet wird.Skalieren von VektorenIn der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass ein Vektor $\vec{x}$ multipliziert mit einem Skalar größer 1 ...
  16. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ... Punktes ermitteln. Dabei ist $\vec{r}$ der Vektor der auf den Punkt zeigt und $r = |\vec{r}|$ ist die Länge des Vektors. Dieser Zusammhang wurde bereits im Kapitel Vektorrechnung behandelt. Ist der Vektor $\vec{r} \neq (0,0)$ (also vom Nullvektor verschieben), dann ist die Länge des Vektor größer Null: $r > 0$.  Genau dann existiert ein Winkel  $\varphi$, welcher sich mit der positiven x-Achse (Polarwinkel) kennzeichen lässt:PolarkoordinatenUmformung ...
  17. Zerlegung von Vektoren
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Vektor
    Vektor Wie bereits in dem vorherigen Kapitel gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt.Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die ...
  18. Addition von Vektoren
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Vektoraddition
    Die Addition von zwei Vektoren    $\vec{a} =  \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$    und    $\vec{b} =  \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$    ist definiert durch$\vec{a} + \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right)$Die grafische Addition von Vektoren erfolgt, indem der Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ an den Endpunkt des Vektors $\vec{a}$ angreiht wird. Dabei darf ...
  19. Determinanten
    Lineare Algebra > Determinanten
    Regel von Sarrus
    Unter einer Determinante versteht man einen eindeutigen Zahlenwert, der genau einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.  Ist die Matrix nicht quadratisch, so existiert für sie auch keine Determinante.Die Determinante hat die Kennzeichnung $\ det(A) $ oder $\ |A| $.Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher GrößeZur Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe existieren verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden aufgezeigt ...
  20. Dreiecksungleichung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Dreiecksungleichung
    Dreieck
    ... der Seite a$b$ Länge der Seite bFür Vektoren gilt analog:$|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$             Dreiecksungleichungmit$|\vec{a}| $ Länge der Seite a$|\vec{b}|$ Länge der Seite b$|\vec{a} + \vec{b}|$ Länge der Seite a+bBeweis der DreiecksungleichungDer Beweis der Dreiecksungleichung wird wie folgt durchgeführt:Zunächst einmal gilt: $a \le |a|$    und    $b \le |b| $(1)    $(a ...
  21. Das Vektorprodukt
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Vektorprodukt
    Das Vektorprodukt ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wo hingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.Eigenschaften des VektorproduktsEin Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, ...
  22. Einführung in die Vektorrechnung
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Vektoren in der Ebene
    Unter Vektoren versteht man Objekte mit einer vorgegebenen Länge und Richtung. Mit Hilfe von Vektoren kann man z.B. die Geschwindigkeit von Objekten oder die Strömungsrichtungen in einem Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor ...
  23. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Basisvektoren
    Ein Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.BasisvektorenDie drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (0, -1, 0)$Vektorprodukt und Länge berechnenFür Krümmung:$\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)  =(0, 1, 1) \; \text{X} \; (-1, 0, 0) = (0, -1, 1)$$|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$|\dot{\alpha} (t) |^3 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}^3 = \sqrt{2}^3$Für Torsion:$(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \cdot \dddot{\alpha} (t)  ...
  2. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, die durch $ f(x,y) $ definiert sind. Zur Veranschaulichung siehe folgende Grafik:RichtungsfeldIsoklinenIsoklinen ...
  3. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... einer Kurve untersucht werden.In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt vier verschiedene Arten dargestellt werden. Kurven in der Ebene:1. Explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 ...
  4. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    Der Binormalenvektor $\vec{b}(t)$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$,$\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$.mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve.Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ ...
  5. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... einmal ableitet. Es entsteht wiederum ein Vektor. Man berechnet dann die Länge dieses Ableitungsvektors. Als nächstes integriert man die berechnete Länge nach $t$. Man erhält somit die Bogenlänge $s$, die nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist:$s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| ...
  6. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    Der Hauptnormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch:$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet:$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$Hauptnormalenvektor ...
  7. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen$\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$,die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$. Die drei Ebenen des begleitenden DreibeinsDurch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 ...
  8. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... der Stelle $ \vec{x_0} $ in Richtung des Vektors $\vec{a} \not= 0 $ ist durch den Grenzwert$\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0}) := \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (\vec{x_0} + t \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}) - f (\vec{x_0})}{t} $ definiert. Die Richtungsableitung hängt nur von der Richtung des Vektors $\vec{a}$ ab, nicht von seiner Länge, aus diesem Grund ersetzt man den Vektor durch den Einheitsvektor $\vec{e}= \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} $ in Richtung $\vec{a}$.Jeder ...
  9. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder ...
  10. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Ebene Kurve
    ... dazu sieht wie folgt aus:ParameterdarstellungVektordarstellungUm im Weiteren die Kurveneigenschaften zu bestimmen, ist es sinnvoll die Kurve in Vektordarstellung anzugeben:$\vec{r} = (x(t), y(t)) \; \; t \in [a, b]$Der Punkt $P(x(t), y(t))$ der Kurve $K$ liegt dann in der Spitze des Vektors $\vec{x}$, welcher vom Nullpunkt ausgeht.VektordarstellungIn der obigen Grafik wird der Punkt $t_5(1,5, 2,25)$ durch den Vektor $\vec{x} = (x(t), y(t)) = (x(1,5), y(1,5)) = (1,5, \ 2,25)$ dargestellt. ...
  11. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    Der Hauptnormalenvektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve. EinführungIst der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ ...
  12. Tangentenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
    ... $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$$\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$.Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem ...
  13. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krmmung
    ... sich in Richtung des zuvor bestimmten Normalenvektors krümmt (also nach links) und negativ, wenn die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts). Das Krümmungsmaß einer Kurve an einem bestimmten Punkt kann über den Radius eines Kreises errechnet werden, indem der Kehrwert des Krümmungskreisradius gebildet wird. Ein großer Kreisradius bedeutet eine schwache Krümmung und ein kleiner Radius bedeutet ...
  14. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... aus:Evolute der ParabelBestimmung des NormalenvektorsDie Tangenten der Evolute sind gleich der Normalen der Kurve.Die Normalen der Kurve wurden bereits im Abschnitt 'Evolute' berechnet.In diesem Beispiel soll es reichen einen Punkt auszuwählen und dessen Normale zu berechnen. In diesem Fall wird der Punkt $E(2, \ 2)$ dafür bestimmt. Der Normalenvektor für diesen Punkt ist:$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-2, \ 1)$Der Normalenvektor wird an den Punkt $E$ verschoben ...
  15. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$. Bestimme ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Resultierende mittels Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Resultierende mittels Seileckverfahren
    Seileckverfahren Resultierende
    ... (hier: $1 kN = 2cm$). Es folgt die grafische Vektoraddition um die Länge und Richtung der Resultierenden bestimmen zu können. Danach werden die Polstrahlen zu einem beliebigen Punkt gezogen (vom Kraftanfang und Kraftende ausgehend).Vektoraddition und Polstrahlen Nachdem die grafische Vektoraddition durchgeführt worden ist und die Polstrahlen zu einem beliebigen Punkt gezogen worden sind, wird als nächstes das Ausgangsbeispiel (Fachwerk) betrachtet. Die Wirkungslinien ...
  2. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren grafische Vektoraddition
    ... SeileckverfahrenSchritt 1: Grafische VektoradditionDie Größe und Richtung der Resultierenden wird mittels grafischer Vektoraddition ermittelt.Schritt 2: PolstrahlenEs folgt das Seileckverfahren um die Lage der Resultierenden bestimmen zu können. Von einem beliebigen Punkt aus werden nun Polstrahlen zu den Einzelkräften gelegt und fortlaufend nummeriert.Schritt 3: Pol bestimmenAnschliessend werden die Polstrahlen der Reihe nach abgetragen. Der Schnittpunkt zwischen ...
  3. Resultierende analytisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen
    ... die Resultierende durch die grafische Vektoraddition ermittelt. Die Kräfte wurden, in beliebiger Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Richtung, aneinandergereiht und dann die Anfangskraft mit der Endkraft verbunden. In diesem Abschnitt soll die analytische Berechnung des Betrages der Resultierenden und die Bestimmung der Richtung der Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden.Es wird zunächst gezeigt wie man zwei Kräfte, ...
  4. Gleitreibung
    Reibung und Haftung > Gleitreibung
    bergang von Haft- in Gleitreibung
    ... zu erfassen, führt man einen Einheitsvektor $\frac{v}{|v|} $ in Richtung der Geschwindigkeit $v$ ein ($|v|$ ist die Länge des Vektors $v$. Dividiert man einen Vektor durch seine Länge, so erhält man einen Einheitsvektor).Einige Reibungskoeffizienten für trockene MaterialienMaterialHaftungskoeffizient $\mu_0$Reibungskoeffizient $\mu$Holz auf Holz0,50,3Stahl auf Stahl0,15 - 0,50,1 - 0,4Stahl auf Teflon0,040,04Stahl auf Eis0,030,015Leder auf Metall0,40,3Autoreifen ...
  5. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... und der Kraft $F_h$ die Resultierende mittels Vektoraddition gebildet und aus der Kraft $F_2$ und der Kraft $F_h$:Diese beiden ermittelten Resultierenden $R$ werden nun solange auf ihrer Wirkungslinie verschoben, bis diese sich schneiden:
  6. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum
    ... in einem einzigen resultierenden Momentenvektor ausgedrückt werden:$M_R^{(X)} = \sum{M_i^{(X)}}$mit $M_i^{(X)} = F_i \cdot h$Bei der Berechnung der Momente $M_i$ ist wieder wichtig, dass der Abstand $h$ zwischen gewähltem Bezugspunkt und tatsächlicher Lage berücksichtigt wird. Gleichgewicht im RaumEin räumliches Kräftesystem befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultierende $R$ und das resultierende Moment $M^{(X)}_R$ bezüglich des Bezugspunktes ...
  7. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittufer Schnittgren
    ... dass das Schnittufer, welches einen Normalenvektor $n$ in positive x-Richtung besitzt, als positiv bezeichnet wird. Beim positiven Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in positive Richtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Drehung um die $y$-Achse entgegen des ...
  8. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Dreieck
    ... kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Rechtwinklinge Überlagerung zweier KräfteIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                     ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Räumlicher Verzerrungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Räumlicher Verzerrungszustand
    ... Verzerrungszustand der Verschiebungsvektor $ u $ um eine weitere Komponente in z-Richtung erweitert werden. Im Allgemeinen erhält diese Komponente die Kennzeichnung $ w $. Der räumliche Verschiebungsvektor hat dann die Form:$ u = u(x,y,z)e_x + v(x,y,z)e_y + w(x,y,z)e_z $Auch die zugehörigen Verzerrungskomponenten in z-Richtung müssen gebildet werden. Dies stellt jedoch keine Schwierigkeit dar, da sich die Bestimmung analog zum ebenen Fall verhält.Dehnung ...
  2. Ebener Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand
    Ebene Spannungszustnde
    ... nur in der Ebene wirken, ist der Normalenvektor $\sigma_y = 0 $. Die anderen Größen werden in den Spannungstensor aufgenommen:$\ S = \left(\begin{array}{c} \sigma_x\ \tau_{xz} \\ \tau_{zx} \ \sigma_z \end{array}\right) $. 
  3. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    EBZ Transformation Scheibe
    ... so herausgeschnitten, dass der Normalenvektor $n$ in $x^*$-Richtung zeigt. Da der Normalenvektor senkrecht (im 90° Winkel) auf der Querschnittsfläche liegt, muss der Schnitt also so erfolgen, dass dieser senkrecht zum Normalenvektor durchgeführt wird. Die Normalspannung $\sigma_x$ steht ebenfalls senkrecht auf der Querschnittsfläche des herausgeschnittenen Dreiecks:Der Winkel $\alpha$ des Dreiecks wurde übernommen, da der Normalenvektor $n$ den Winkel $\alpha$ zur ...
  4. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Verformungen am Zugstab
    ... durch den gleichnamigen Verschiebungsvektor, welcher eine Ortsabhängigkeit besitzt. Man schreibt daher:$\ u = u (x,y)\ \ \text{bzw.}  u \rightarrow \left\{\begin{array}{rcl} u = u (x,y) \\ v = v (x,y) \end{array}\right. $Dabei geben die skalaren Funktionen u bzw. v die Verschiebungen in x bzw. in y Richtung an. Sie sind also mit dem Ort (x,y) veränderliche Funktionen.Eine Verformung umfasst im allgemeinen Fall sowohl Längen- als auch Winkeländerungen. Verzerrungen ...
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