Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... einer Kurve untersucht werden. In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt vier verschiedene Arten dargestellt werden.  Kurven in der Ebene:1. Explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 \le t \le ...
  2. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Parameterdarstellung
    ... sieht wie folgt aus: Parameterdarstellung Vektordarstellung Um im Weiteren die Kurveneigenschaften zu bestimmen, ist es sinnvoll die Kurve in Vektordarstellung anzugeben: $\vec{r} = (x(t), y(t)) \; \; t \in [a, b]$ Der Punkt $P(x(t), y(t))$ der Kurve $K$ liegt dann in der Spitze des Vektors $\vec{x}$, welcher vom Nullpunkt ausgeht. Vektordarstellung In der obigen Grafik wird der Punkt $t_5(1,5, 2,25)$ durch den Vektor $\vec{x} = (x(t), y(t)) = (x(1,5), y(1,5)) = (1,5, \ 2,25)$ dargestellt. ...
  3. Tangentenvektor
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    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht. Einführung Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]: $\vec{t}(t) ...
  4. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Hauptnormalenvektor
    Der Hauptnormalenvektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve.  Einführung Ist der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ aus dem Tangentenvektor, ...
  5. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    ... sich in Richtung des zuvor bestimmten Normalenvektors krümmt (also nach links) und negativ, wenn die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts).  Das Krümmungsmaß einer Kurve an einem bestimmten Punkt kann über den Radius eines Kreises errechnet werden, indem der Kehrwert des Krümmungskreisradius gebildet wird. Ein großer Kreisradius bedeutet eine schwache Krümmung und ein kleiner Radius bedeutet eine starke Krümmung. Beispiel: $r ...
  6. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Evolvente berechnen
    ... der Parabel Bestimmung des Normalenvektors Die Tangenten der Evolute sind gleich der Normalen der Kurve. Die Normalen der Kurve wurden bereits im Abschnitt 'Evolute' berechnet. In diesem Beispiel soll es reichen einen Punkt auszuwählen und dessen Normale zu berechnen. In diesem Fall wird der Punkt $E(2, \ 2)$ dafür bestimmt. Der Normalenvektor für diesen Punkt ist: $\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-2, \ 1)$ Der Normalenvektor wird an den Punkt $E$ verschoben und damit ...
  7. Tangentenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
    ... $ K $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]: $\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$ wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt: $\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$,  $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$ $\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$. Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem man die ...
  8. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    Der Hauptnormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch: $\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$ Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge. In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet: $\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$ Hauptnormalenvektor ...
  9. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    Der Binormalenvektor $\vec{b}(t)$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$, $\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$. mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve. Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ auf $\vec{t}_e ...
  10. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$, die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$.  Die drei Ebenen des begleitenden Dreibeins Durch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 = \vec{x_0}(t)$ drei ...
  11. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... einmal ableitet. Es entsteht wiederum ein Vektor. Man berechnet dann die Länge dieses Ableitungsvektors. Als nächstes integriert man die berechnete Länge nach $t$. Man erhält somit die Bogenlänge $s$, die nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist: $s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| ...
  12. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (0, -1, 0)$ Vektorprodukt und Länge berechnen Für Krümmung: $\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)  =(0, 1, 1) \; \text{X} \; (-1, 0, 0) = (0, -1, 1)$ $|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ $|\dot{\alpha} (t) |^3 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}^3 = \sqrt{2}^3$ Für Torsion: $(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \cdot \dddot{\alpha} (t)  = (0, -1, 1) \cdot (0, -1, ...
  13. Gradient einfach berechnen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradient einfach berechnen
    ... $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung. Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also $\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$.  Bestimme den Gradienten ...
  14. Richtungsableitung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... $ an der Stelle $ \vec{x_0} $ in Richtung des Vektors $\vec{a} \not= 0 $ ist durch den Grenzwert $\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0}) := \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (\vec{x_0} + t \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}) - f (\vec{x_0})}{t} $ definiert.  Die Richtungsableitung hängt nur von der Richtung des Vektors $\vec{a}$ ab, nicht von seiner Länge, aus diesem Grund ersetzt man den Vektor durch den Einheitsvektor $\vec{e}= \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} $ in Richtung $\vec{a}$. Jeder Einheitsvektor ...
  15. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, die durch $ f(x,y) $ definiert sind. Zur Veranschaulichung siehe folgende Grafik: Richtungsfeld Isoklinen Isoklinen ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Darstellung der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Darstellung der Kraft
    Darstellung der Kraft
    ... Kraft ist falsch, Drehung um 180° Der Kraftvektor ist ein gebundener Vektor mit gegebener Richtung, Länge und Angriffspunkt. Eine Parallelverschiebung ist nicht möglich. Auf ihrerer Wirkungslinie hingegen kann die Kraft verschoben werden.
  2. Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    ... Umgebung auf den Körper einwirken, durch Kraftvektoren ersetzt sowie Abmessungen und Entfernungen angezeichnet. Freikörperbild Freikörperbilder sind für die Statik ein wichtiges zeichnerisches Hilfsmittel, da sich hiermit eine vereinfachte und übersichtliche Darstellung der Realität abbilden lässt.
  3. Kräftepolygon in der Ebene
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftepolygon in der Ebene
    Kräftepolygon in der Ebene
    ... geometrische Konstruktion entspricht einer Vektoraddition. Bei dieser genügt es ein Kräftedreieck zu zeichnen. Dabei reiht man die Kraftvektoren in beliebiger Reihenfolge aneinander. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt vom Anfangsvektor und dem Endpunkt vom Endvektor.  Grafische Vektoraddition Kräftepolygon Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon genannt. Das Kräftepolygon in einer Ebene ist einfach die zeichnerische Verbindung aller ...
  4. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    Bei der Vektoraddition ist das Kommutativgesetz zu beachten, welches besagt, dass bei der Bestimmung der Resultierenden die Additions-Reihenfolge der Einzelkräfte gleichgültig ist: $\ F_1 + F_2 + F_3 = F_2 + F_3 + F_1 = ... = R $ Kommutativgesetz In der obigen Grafik ist zum einen der Lageplan (links) gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten Kräfte unter Berücksichtigung ...
  5. Bestimmung der Resultierenden
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden
    ... wurde die Resultierende durch die grafische Vektoraddition ermittelt. Die Kräfte wurden, in beliebiger Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Richtung, aneinandergereiht und dann die Anfangskraft mit der Endkraft verbunden. In diesem Abschnitt soll die analytische Berechnung des Betrages der Resultierenden und die Bestimmung der Richtung der Resultierenden unter Berücksichtigung von Winkeln dargestellt werden. Es wird zunächst gezeigt, wie man zwei Kräfte, die durch einen gemeinsamen ...
  6. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    ... kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden.  WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden. Rechtwinklinge Überlagerung zweier Kräfte In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                         Satz des Pythagoras In der obigen Grafik sind zwei ...
  7. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    ... kann gegeben werden, wenn hier eine grafische Vektoraddition durchgeführt wird. Liegt ein geschlossenes Krafteck vor, so befindet sich der Balken in Ruhe, ansonsten nicht: Es ist deutlich zu erkennen, dass hier kein geschlossenes Krafteck vorliegt. Um ein geschlossenes Krafteck zu erhalten, muss eine weitere Kraft eingefügt werden. Diese liegt mit ihrem Fuß an der Spitze der letzten Kraft und mit ihrer Spitze am Fuß der ersten Kraft: Wird diese zusätzliche Kraft (schwarz) dem Balken ...
  8. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    ... und der Kraft $F_h$ die Resultierende mittels Vektoraddition gebildet und aus der Kraft $F_2$ und der Kraft $F_h$: Diese beiden ermittelten Resultierenden $R$ werden nun solange auf ihrer Wirkungslinie verschoben, bis diese sich schneiden:
  9. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    ... in einem einzigen resultierenden Momentenvektor ausgedrückt werden: $M_R^{(X)} = \sum{M_i^{(X)}}$ mit $M_i^{(X)} = F_i \cdot h$ Bei der Berechnung der Momente $M_i$ ist wieder wichtig, dass der Abstand $h$ zwischen gewähltem Bezugspunkt und tatsächlicher Lage berücksichtigt wird.  Gleichgewicht im Raum Ein räumliches Kräftesystem befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultierende $R$ und das resultierende Moment $M^{(X)}_R$ bezüglich des Bezugspunktes $X$ verschwinden ...
  10. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... dass das Schnittufer, welches einen Normalenvektor $n$ in positive x-Richtung besitzt, als positiv bezeichnet wird. Beim positiven Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in positive Richtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Drehung um die $y$-Achse entgegen des Uhrzeigersinns ...
  11. Gleitreibung
    Reibung und Haftung > Gleitreibung
    Gleitreibung
    ... richtig zu erfassen, führt man einen Einheitsvektor $\frac{v}{|v|} $ in Richtung der Geschwindigkeit $v$ ein ($|v|$ ist die Länge des Vektors $v$. Dividiert man einen Vektor durch seine Länge, so erhält man einen Einheitsvektor). Einige Reibungskoeffizienten für trockene Materialien Material Haftungskoeffizient $\mu_0$ Reibungskoeffizient $\mu$ Holz auf Holz 0,5 0,3 Stahl auf Stahl 0,15 - 0,5 0,1 - 0,4 Stahl auf Teflon 0,04 0,04 Stahl auf Eis 0,03 0,015 Leder ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Allgemeine Definition der Spannung
    Stabbeanspruchungen > Allgemeine Definition der Spannung
    Allgemeine Definition der Spannung
    ... Schnitt durch den Körper Spannungsvektor Um nun den Spannungsvektor zu ermitteln, reduziert man das Flächenelement $\triangle A $ auf das infinitesimale Flächenelement $d A $ und erhält dadurch: $\ t = \lim\limits_{\triangle A \rightarrow 0} \frac{\triangle F}{\triangle A} = \frac{dF}{dA} $ Lokaler Spannungsvektor Normalspannung und Schubspannung Man unterscheidet zwei Spannungsarten: Normalspannungen und Schubspannungen.  Um die Normalspannung $\sigma$ und Schubspannung ...
  2. Allgemeine Annahmen
    Mehrachsige Spannungszustände > Allgemeine Annahmen
    Allgemeine Annahmen
    ... $\tau_{xy}$ und $\tau_{xz}$ auf. Der Normalenvektor, und damit die Normalspannung $\sigma$, ist deckungsgleich mit der x-Richtung. In einem nächsten Schritt werden die Spannungskomponenten indiziert: Spannungsvektor $ t = t_x\cdot e_x + t_y\cdot e_y + t_z\cdot e_z $ In der obigen Gleichung wird der Spannungsvektor durch seine Komponenten und den Einheitsvektoren in $x$-, $y$- und $z$-Richtung ausgedrückt. Da der Einheitsvektor $ e_x $ mit dem Normalenvektor $ n $ identisch ist, ist auch ...
  3. Ebener Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand
    Ebener Spannungszustand
    ... nur in der Ebene wirken, ist der Normalenvektor $\sigma_y = 0 $. Die anderen Größen werden in den Spannungstensor aufgenommen: $\ S = \left(\begin{array}{c} \sigma_x\ \tau_{xz} \\ \tau_{zx} \ \sigma_z \end{array}\right) $. 
  4. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    ... so herausgeschnitten, dass der Normalenvektor $n$ in $x^*$-Richtung zeigt. Da der Normalenvektor senkrecht (im 90° Winkel) auf der Querschnittsfläche liegt, muss der Schnitt also so erfolgen, dass dieser senkrecht zum Normalenvektor durchgeführt wird. Die Normalspannung $\sigma_x$ steht ebenfalls senkrecht auf der Querschnittsfläche des herausgeschnittenen Dreiecks: Der Winkel $\alpha$ des Dreiecks wurde übernommen, da der Normalenvektor $n$ den Winkel $\alpha$ zur Horizontalen ...
  5. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Beispiel 1: Koordinatentransformation
    ... Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 65°-Winkel zur $x$-Achse: Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als nächstes muss nun das neue Koordinatensystem $[x^*, y^*]$ eingeführt werden. Die $x^*$-Achse liegt ...
  6. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Beispiel 1: Hauptspannungen
    ... Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung die auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 55°-Winkel zur $x$-Achse: Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als nächstes muss nun das neue Koordinatensystem $[x^*, y^*]$ eingeführt werden. Die $x^*$-Achse liegt parallel ...
  7. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    ... durch den gleichnamigen Verschiebungsvektor, welcher eine Ortsabhängigkeit besitzt. Man schreibt daher: $\ u = u (x,y)\ \ \text{bzw.}  u \rightarrow \left\{\begin{array}{rcl} u = u (x,y) \\ v = v (x,y) \end{array}\right. $ Dabei geben die skalaren Funktionen u bzw. v die Verschiebungen in x bzw. in y Richtung an. Sie sind also mit dem Ort (x,y) veränderliche Funktionen. Eine Verformung umfasst im allgemeinen Fall sowohl Längen- als auch Winkeländerungen.  Verzerrungen im ebenen ...
  8. Räumlicher Verzerrungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Räumlicher Verzerrungszustand
    ... Verzerrungszustand der Verschiebungsvektor $ u $ um eine weitere Komponente in z-Richtung erweitert werden. Im Allgemeinen erhält diese Komponente die Kennzeichnung $ w $.  Der räumliche Verschiebungsvektor hat dann die Form: $ u = u(x,y,z)e_x + v(x,y,z)e_y + w(x,y,z)e_z $ Auch die zugehörigen Verzerrungskomponenten in z-Richtung müssen gebildet werden. Dies stellt jedoch keine Schwierigkeit dar, da sich die Bestimmung analog zum ebenen Fall verhält. Dehnung in alle Richtungen $\rightarrow ...
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Werkstofftechnik 1

  1. Quantentheorie
    Metallographie > Aufbau der Elektronenhülle > Quantentheorie
    Quantentheorie
    ... durch die Orientierung des Bahndrehimpulsvektors gegenüber einem äußeren Magnetfeld bestimmt ist. m kann jeden ganzzahligen zwischen -l und l annehmen.  Spinquantenzahl Die Spinnquantenzahl s berücksichtigt den Einfluss auf die Elektronenenergie, welcher durch den Spin (Eigenrotation) des Elektronen entstehenden Spindrehimpulses entsteht. Die Spinquantenzahl hat einen Wert zwischen $\ - \frac{1}{2} $ und $\ + \frac{1}{2} $. Die 4 Quantenzahlen ermöglichen eine genaue Kennzeichnung ...
  2. Monokline Gitter
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Monokline Gitter
    Monokline Gitter
    ... davon, dass sich diese Gitterform durch drei Vektoren aufspannen lässt, liegt keine Symmetrie mehr vor.  Neben der bekannten Kristallstruktur der monoklinen Prismen, existiert zusätzlich die Doppelpyramide. Typische Vertreter mit monokliner Gitterstruktur sind: Schwefel, Diopsid, Azurit, Krokoit. Monokline Elementarzellen
  3. Bestimmung von Gitterrichtungen
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Bestimmung von Gitterrichtungen
    ... Beschreibung von Gittergeraden verwendet man Vektoren, welche im Koordinatensystem vom Ursprung bis hin zum Schwerpunkt des betrachteten Atoms zeigen. Für die Gittergeraden verwendet man als Koordinaten ganze Zahlen, dh. man bezeichnet sie als teilerfremde Koordinaten. Um die Berechnung der Gitterrichtungen besser zu verstehen, folgt eine Veranschaulichung am orthorhombischen Gitter.  Gitterrichtungen im orthorhombischen Gitter Zur Erinnerung die Geometrie des Orthorhombischen Gitters ist ...
  4. Sonderfall: Richtungen und Ebenen im hexagonalen Gitter
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Sonderfall: Richtungen und Ebenen im hexagonalen Gitter
    Sonderfall: Richtungen und Ebenen im hexagonalen Gitter
    ... wird, wie in anderen Systeme, ein Richtungsvektor durch den Koordinatenursprung gelegt und bis zur nächsten Ecke einer Elementarzelle verlängert.  Im nächsten Schritt werden die in Gitterparametern gezählten Projektionen des Pfeils auf den Achsen $ a, b, d$ als Zahlen $ u, v, w $ abgelesen. Die Projektion auf der Achse $ c $ wird hingegen nicht abgelesen.  Jetzt ist es möglich aus den Werten $ u, v, w $ die vier Ziffern$  h,k,i $ und $ l $ zu berechnen $ h = 2 u - v $ $ k = 2 ...
  5. Eindimensionale Gitterstörungen
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Gitterstörungen > Eindimensionale Gitterstörungen
    Eindimensionale Gitterstörungen
    ... beschreiben zu können verwendet man den Burgervektor b. In der unteren Abbildung ist neben der flächenförmigen Gitterstörung auch eine Versetzung eingezeichnet.  1. Versetzung, 2. Kleinwinkelkorngrenze, 3. Zwillingsgrenze Burgervektor Den Burgervektor erhält man, indem man um die Versetzung durch Abtragen beliebiger Strecken einen Umlauf durchführt und diesen anschließend in der ungestörte Gitter überträgt. Als Burgervektor erhält man dann die Größe und Wegdifferenz [Anfangspunkt ...
  6. Schneiden von Teilchen
    Mechanische Eigenschaften > Festigkeitssteigerung > Teilcheneinlagerung > Schneiden von Teilchen
    Schneiden von Teilchen
    ... zweier Teilchenmittelpunkte  $ b $ = Burgersvektor $ \gamma $ = Energie der Grenzfläche infolge des Schneidvorgangs.  Damit diese Berechnung zulässig ist, muss vorausgesetzt sein, dass die Versetzung nicht flexibel ist und dass die Teilchen die Form einer Kugel besitzen.  Der Ablauf dieses Vorgangs ist nachfolgend skizziert: Schneiden von Teilchen
  7. Rekristallisation
    Wärmebehandlung > Rückbildung der Festkörperstruktur > Rekristallisation
    Rekristallisation
    ... $ G = $ Schubmodul $ b = $ Burgervektor $ G \cdot b^2 = $ Linienenergie der Versetzungen. Unabhängig von der treibenden Kraft $ p $ benötigt die Rekristallisation eine Mindestverformung. Diese Mindestverformung, auch kritischer Verformungsgrad genannt, variiert von Werkstoff zu Werkstoff. So liegt der notwendige kritische Verformungsgrad im Falle von Magnesium bei 0,2 %. Aluminium muss zu mindestens 1,6 % und Eisen sogar zu 3,25 % verformt werden, damit die Rekristallisation ...
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Strömungslehre

  1. Stationäre und instationäre Strömungen
    Kinematik einer Strömung > Stationäre und instationäre Strömungen
    ... ist stationär, wenn die Geschwindigkeitsvektoren überall im Strömungsfeld hinsichtlich Betrag und Richtung zeitlich konstant, d.h. zeitunabhängig sind. Instationäre Strömungen Die Strömung eines Fluids ist instationär, wenn dessen Strömungsgrößen wie Geschwindigkeit und Druck nicht nur von den Koordinaten des zur Beschreibung des Strömungsfeldes verwendeten Koordinatensystems, sondern auch von der Zeit abhängig sind. Es wird zwischen drei Arten von instationären Strömungsvorgängen ...
  2. Bahnkurven und Stromlinien
    Kinematik einer Strömung > Bahnkurven und Stromlinien
    Bahnkurven und Stromlinien
    ... mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin. Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren in einer Profilströmung (Momentaufnahme) In der obigen Grafik wird eine Profilumströmung ...
  3. Lagrange- / Euler-Darstellung
    Kinematik einer Strömung > Lagrange- / Euler-Darstellung
    Lagrange- / Euler-Darstellung
    ... Sonderfällen angewendet. Gegeben sei der Ortsvektor $r_0$ eines Fluidteilchens zur Zeit $t = t_0$. Zur Zeit $t$ ist der Ortsvektor dann $\vec{r} = [x(x_0, y_0, z_0, t], \; y(x_0, y_0, z_0, t), \; z(x_0, y_0, z_0, t)]$. Zur Bestimmung der Geschwindigkeit dieses Fluidteilchens berechnet man: $\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt} = [\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}] = [w_x, w_y, w_z]$. Anwendungsbeispiel: Lagrange Darstellung Gegeben sei der Ortsvektor zur Zeit $t = t_0$ mit $r_0 ...
  4. Impulssatz
    Impulssatz und Drallsatz > Impulssatz
    ... Der Impuls ist eine Vektorgröße, d.h. er besitzt einen Betrag und zeigt in die Richtung seiner Bewegung. Jeder bewegliche Kröper (hier: Fluid) kann seinen Impuls ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen oder eben von anderen Körpern aufnehmen.  Der Impuls stellt eine Erhaltungsgröße dar. Das bedeutet, dass in einem abgeschlossenen System (keine Wechselwirkung mit der Umgebung) der Gesamtimpuls konstant bleibt. Der Impuls berechnet sich durch $I ...
  5. Wiederholung: Stromlinienkonzept
    Ebene Strömungen > Wiederholung: Stromlinienkonzept
    Wiederholung: Stromlinienkonzept
    ... mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin. Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren in einer Profilströmung In der obigen Grafik wird eine Profilumströmung gezeigt. Die ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Gleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Gleichförmige Kreisbewegung
    Gleichförmige Kreisbewegung
    ... Kreisbewegung überstreicht der Ortsvektor eines Körpers in gleichen Zeitabschnitten $\triangle t$ den selben Winkel $\varphi$. Das bedeutet also, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist.  Die Winkelgeschwindigkeit wird in Radiant pro Sekunde angebenen: Einheit: $\frac{rad}{s}$             Winkelgeschwindigkeit Bei der Winkelgeschwindigkeit handelt es sich - wie bei der Bahngeschwindigkeit - um einen Skalar. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung, bei welcher die ...
  2. Bahnbeschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Bahnbeschleunigung
    Bahnbeschleunigung
    Bildet man aus dem Beschleunigungsvektor den Betrag, so erhält man den Betrag der Tangentialbeschleunigung. Hierbei handelt es sich um einen Skalar: Betrag der Bahnbeschleunigung: $|a_t| = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$      Tangentialbeschleunigung Die Tangentialbeschleunigung (auch Bahnbeschleunigung) lässt sich bestimmen durch die 1. Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ oder durch die 2. Ableitung der Bogenlänge $s$ nach der Zeit $t$: Tangentialbeschleunigung $a_t ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Determinanten
    Lineare Algebra > Determinanten
    Determinanten
    Unter einer Determinante versteht man einen eindeutigen Zahlenwert, der genau einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.  Ist die Matrix nicht quadratisch, so existiert für sie auch keine Determinante. Die Determinante hat die Kennzeichnung $\ det(A) $ oder $\ |A| $. Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe Zur Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe existieren verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden aufgezeigt werden. Determinante ...
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Physik

  1. Aktionsgesetz
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Erläuterungen zu den Newtonschen Axiomen > Aktionsgesetz
    Aktionsgesetz
    ... ebenfalls möglich die Bewegungsgleichung in vektorieller Form anzugeben: $\vec{F} = m \vec{a}$ bzw. $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$     mit $\vec{p} = m\vec{v}$ Impuls Anhand der vektoriellen Form der Bewegungsgleichung können einige zusätzliche Informationen hinsichtlich der Richtung der Bewegung gegeben werden: $\vec{F} || \vec{p}$ Wirkt die Kraft $\vec{F}$ auf einen Körper parallel (||) zum Impuls $\vec{p}$ (und damit auch parallel zur Geschwindigkeit, wegen: $\vec{p} ...
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