Analysis und Lineare Algebra
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Elementare Funktionen
Elementare Funktionen
... und transzendente Funktionen unterscheiden.Rationale FunktionenDie rationalen Funktionen unterscheiden wir inganzrationale Funktionen undgebrochenrationale Funktionen.Die ganzrationalen Funktionen können wir weiter unterscheiden in:Potenzfunktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = a x^n$konstante Funktionen: $\;\;\;\;\; f(x) = a_0$lineare Funktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = a_1x + a_0$quadratische Funktionen: $\, f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$allgemeine ganzrationale Funktionen n-ten Grades ... -
Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
Echt gebrochen/unecht gebrochenrationale FunktionIst der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion $f(x)$ echt gebrochen.echt gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner oder gleich dem Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen. unecht gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$ echt ... -
Konkave und konvexe Funktionen
Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen
Eine reellwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ...Ganzrationale Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen
Definition einer ganzrationalen FunktionEine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$ mit $a_n \neq 0$ heißen Koeffizienten, die Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist der Grad des Polynoms.Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$. Dies ist eine ganzrationale ...Stetigkeit einer Funktion
Elementare Funktionen > Stetigkeit einer Funktion
... Beispiele für stetige Funktionen sind:rationale Funktionen wie die lineare, die quadratische oder die Potenzfunktionbestimmte trigonometrische Funktionen wie die SinusfunktionExponential oder Wurzelfunktionenweitere differenzierbare Funktionen Unstetigkeit von FunktionenEine mathematische Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ unstetig, wennder Funktionswert $f(x_0)$ definiert ist.$\;\;\;\;$ und mindestens eine der beiden Aussagen zutrifft:Der Grenzwert $\lim\limits_{x \to ...Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen
Es existieren noch weitere Rechenregeln für den Umgang mit trigonometrischen Funktionen. Folgende sind besonders wichtig:Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, bspw. $\, sin(x + y)$Regeln für Summen und Differenzen von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin(x) + cos(y)$Regeln für Produkte und Quotienten von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin(x) \cdot cos(y)$Regeln für Potenzen von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin^2(x)$Im Folgenden stellen wir nur ...Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
... Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit $n \ge 3$ hingegen, stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.Berechnung der Nullstellen bei linearen FunktionenGegeben sei die Funktion $f(x) = 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst:$3x - 12 = 0$$3x = 12$$x = 4$Der Graph der Funktion $f(x) = 3x - 12$ schneidet die $x$-Achse bei ...Gebrochenrationale Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
Eine Funktion wird als gebrochenrationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:gebrochenrationale Funktion: $f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$ gebrochenrationale Funktion: $y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$AsymptotenEine Asymptote (altgr. asymptotos = nicht übereinstimmend) ist eine "einfache" Funktion, zumeist eine Gerade, an die sich ...Die e-Funktion
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion lautet:$f(x) = e^x$Die Zahl $e = 2,718281828459...$ wird Eulersche Zahl genannt. Sie ist durch folgende Grenzwertberechnung definiert:$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,718281828459...$Die Exponentialfunktion können wir auf verschiedene Weise darstellen. Wir können sie als Potenzreihe definieren, die sogenannte Exponentialreihe:e-Funktion als Exponentialreihe: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} ...Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
... FunktionenWie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen schon erwähnt haben, wird zur Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: Definitionslücke). ...Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.Konkave FunktionEine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ...Ableitungen erster Ordnung
Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
Ableitungen, bzw. Differentialquotienten, werden aus der Stammfunktion erzeugt. Die Ableitung erster Ordnung gibt die Änderung der Stammfunktion an, d.h. sie gibt Auskunft über die Steigung der Funktionskurve.Liegt eine Funktion $\ f$ auf dem Intervall $\ I \subseteq \mathbb{R}$ und ist $\ x_0 \in I$, so ist $\ f$ in $\ x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - ...Hyperbelfunktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
Hyperbelfunktionen beziehen sich im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen, die am Einheitskreis mit der Formel $\ x^2 + y^2 = 1 $ definiert sind, auf analoge Strecken an der gleichseitigen Hyperbel mit der Formel $\ x^2 - y^2 = 1$. Es existieren sechs HyperbelfunktionenSinus Hyperbolicus ( abgekürzt sinh),Kosinus Hyperbolicus (cosh),Tangens Hyperbolicus (tanh),Kotangens Hyperbolicus (coth),Sekans Hyperbolicus (sech),und Kosekans Hyperbolicus (csch).Die ersten drei Funktionen, also Sinus ...Grenzwerte von Funktionen
Elementare Funktionen > Grenzwerte von Funktionen
... ist es wichtig zu wissen, dass eine gebrochenrationale Funktion nicht definiert ist, wenn ihr Nenner den Wert $0$ annimmt.Wir wollen zunächst den Grenzwert $G$ von $f(x)$ für $x \to 2$ ermitteln. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass $x = 2$ eingesetzt werden kann. Vorher formen wir deshalb mit Hilfe der binomischen Formeln den Term $x^2 - 4$ um:$a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)$$\Longrightarrow x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} ...Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
Das Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Newton dient dazu, zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Näherungswerte zur Lösung der Gleichung $f(x) = 0$ (also Nullstellen der Funktion) zu finden. Das Näherungsverfahren wird angewandt, weil direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar sind. Die grundlegende Idee des Newtonverfahrens ...Extremwerte
Differentialrechnung > Extremwerte
Extremwerte$f(x)$ hat bei (1) ein Maximum. Es handelt sich hierbei um ein globales (absolutes) Maximum, denn das Maximum stellt den höchsten Punkt der Funktion dar.$f(x)$ hat bei (2) ein lokales (relatives) Minimum, denn es handelt sich um den tiefsten Punkt in diesem Bereich, allerdings nicht um den tiefsten Punkt der Funktion.$f(x)$ hat bei (3) ein lokales (relatives) Maximum.$f(x)$ hat bei (4) ein Minimum. Das ...Ableitungsregeln
Differentialrechnung > Ableitungsregeln
Elementare Funktionen sind an allen Stellen an denen sie definiert sind auch differenzierbar. Hierbei geht man selten auf die Definitionen zurück. Stattdessen benutzt man Ableitungsregeln, um auch aufwendige Funktionen differenzieren zu können.Im Folgenden eine Übersicht der Ableitungsregeln:Summenregel$\ (u + v)' = u' + v' $Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5x^2 + 3x$$(u + v)' = (5x^2 + 3x)´ = 10x + 3$$u' + v' = (5x^2)´ + (3x)´ = 10x + 3 $$\ (ru)' = ru' $ ...Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen
In diesem Abschnitt zeigen wir dir die Berechnung von Grenzwerten bei gebrochenrationalen Funktionen. Möchten wir das Verhalten von Funktionen im Unendlichen herausfinden, müssen wir die beiden Fälle $x \to + \infty$ und $x \to - \infty$ betrachten:$lim_{x \to + \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$$lim_{x \to - \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$Für ...Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
Verhalten im UnendlichenDie Grenzwerte ganzrationaler Funktionen für $x \to \pm \infty$ sind $+ \infty$ sowie $- \infty$ und werden im Allgemeinen durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad $n$ einer Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient $a_n$ besitzt. Verhalten im UnendlichenÜberblick zu den Grenzwerten ganzrationaler FunktionenFür $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} ...Asymptoten
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Asymptoten
... Betrachten wir eine beliebige gebrochenrationale Funktion:$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$Senkrechte AsymptoteSenkrechte Asymptoten befinden sich, wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen bereits erwähnt haben, an Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. Diese liegt vor, wenn in der Polynomform oder in der faktorisierten Form der gebrochenrationalen Funktion der Nenner gleich null ...Monotone Funktionen
Differentialrechnung > Monotone Funktionen
MonotonieMonotonie beschreibt das gleichförmige Verhalten einer Funktion oder Folge. Hierbei wird untersucht ob eine Funktion/Folge wächst oder fällt.Monoton wachsendIn Funktionen spricht man von monoton wachsend wenn gilt:Für alle $x_1, x_2 \in D: x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) \ge f(x_1) $. und von streng monoton wachsend, wenn gilt:Für alle $x_1, x_2 \in D: x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) > f(x_1) $. streng monoton wachsendIn der obigen ...Regel von de l' Hospital
Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
Guillaume François Antoine de l’Hospital führte im 17. Jahrhundert die Differential– und Integralrechnung in Frankreich ein. Mithilfe der Regel von de l'Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten bestimmen. Die Regel kann angewendet werden, wenn Nenner und Zähler entweder beide gegen Null $[\frac{0}{0}]$ oder beide gegen Unendlich $[\frac{\infty}{\infty}]$ streben. Regel 1: Die Funktionen $f(x), g(x)$ gelten an ...Hebbare Definitionslücke
Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Hebbare Definitionslücke
Wie schon mehrmals erwähnt ist eine hebbare Definitionslücke gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für $x_0 = 0$wird. Der Begriff hebbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Definitionslücke behoben und damit der Definitionsbereich erweitert werden kann.Vorgehensweise:Nullstellen des Nenners bestimmen.Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke ...
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Methodische Produktentwicklung
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Funktions-Kosten-Analyse
Funktionsanalyse > Funktions-Kosten-Analyse
In diesem Kurstext werden wir uns der Funktions-Kosten-Analyse zu. Im Vorfeld gilt es jedoch noch ein paar Begrifflichkeiten zu klären.Funktionskosten sind laut Definition: die einer Funktion zugeordneten Anteile der Kosten eines FunktionsträgersFunktionsträger: Unter Funktionsträger versteht man im Rahmen der Funktions-Kosten-Analyse Gegebenheiten, die Funktionen realisieren.Problemfall Erstentwicklung: Liegt eine Erstentwicklung eines Objekts vor, so wäre es falsch ...Funktionsdefinition
Funktionsanalyse > Funktionsdefinition
Es ist immer zielführend, wenn man zu Beginn der Produktentwicklung überlegt welche Funktionen ein Produkt besitzen soll. 3D-Drucker Anschließend sammelt man diese Funktionen und benennt sie. Auch die Definition der Funktionen eines Produkts durchläuft ein festgelegtes Ablaufschema:Funktionsdefinition - Ablauf und SchemaIdentifizieren der Funktionen Klarstellen der Funktionen, dh. Abgrenzen der FunktionenDefinieren der FunktionenGliedern der Funktionen $\rightarrow ...Ablaufplan eines FAST-Diagramms
Funktionsanalyse > Function Analysis System Technique, FAST-Diagramm > Ablaufplan eines FAST-Diagramms
In der nächsten Abbildung sehen Sie ein typisches FAST-Diagramm: Fast-Diagramm Der Untersuchungsbereich wird durch die Left-Scope-Line und die Right-Scope-Line abgegrenzt. Der logische Funktionspfad beginnt bei der übergeordneten Funktion und endet in den unteren Verzweigungen, sowie den akzeptierten Funktionen.Spezifikationen, einmalige Funktionen sowie ständige Funktionen befinden sich zwar auch im Untersuchungsbereich, sie besitzen aber keine direkten Verbindungen ...Function Analysis System Technique, FAST-Diagramm
Funktionsanalyse > Function Analysis System Technique, FAST-Diagramm
Der Sinn und Zweck eines FAST-Diagramms besteht darin alle Einzelziele des Projektes eindeutig bestimmen zu können. Dabei können auch Voraussetzungen/Vorgaben aus dem Umfeld des Produkts mit in die Bestimmung einfließen.Im Gegensatz zum Funktionsbaum liegt beim FAST-Diagramm eine prozessorientierte Strukturierung der Funktionen vor. Das bedeutet:Das FAST-Diagramm strukturiert den Ablauf der Funktionsausführung eines Produkts.Man formuliert hierfür verschiedene ...Funktion-Potential-Analyse
Funktionsanalyse > Funktion-Potential-Analyse
In Bezug auf die Potential-Analyse einer Funktion sind 2 Elemente wichtig:Die Bedeutung (Wichtigkeit, Bedeutsamkeit, Unverzichtbarkeit) einer Funktion.Die der Funktion zuordenbaren Kosten.BewertungsquellenFür die Funktions-Potential-Analyse verwendet man nachfolgend aufgelistete Bewertungsquellen:Welcher Aufwand wird für die Durchführung der Bewertung toleriert?Welche Kompetenz haben die Bewertenden in Bezug auf die zu bewertenden Funktionen?Sind die zu bewertenden Funktionen überhaupt ...Funktionsklassen
Funktionsanalyse > Funktionsklassen
Jedes Produkt lässt sich in Funktionen zerlegen. Die Gewichtung der einzelnen Produktelemente ist unterschiedlich, weshalb man diese einer der nachfolgenden Funktionsklassen zuordnet:FunktionsklassenMan unterscheidet sechs Funktionsklassen von denen die meisten erwünschte Funktionen enthalten, jedoch auch unerwünschte Funktionen können erfasst werden. Hauptfunktion $\rightarrow $ Die Funktion, mit besonders hoch gewichteter Wirkung bezogen auf denSinn der Nutzung. ...Definition des Soll-Zustands
Funktionsanalyse > Definition des Soll-Zustands
Bei einem Soll-Zustand handelt es sich ja bekanntlich um den Zustand, den ein Objekt annehmen soll aber derzeit nicht besitzt. Aber um überhaupt zu wissen, wie der richtige Sollzustand auzusehen hat, bedienen wir uns erneut einem Entwicklungsschemas. Dieses Gliedert sich in zwei grundlegende Punkte:Die erodierten Informationen optimal verknüpfen, sowiedie Entwicklungsziele und die Optimierungspläne detailiert festlegen und formulieren. InformationsgewinnungZum ersten Punkt zählen ...Funktionsstrukturen und Funktionsbaum
Funktionsanalyse > Funktionsstrukturen und Funktionsbaum
Funktionsstrukturen sind visuelle Darstellungen eines Schemas, welche folgerichtige Zusammenhänge von Funktionen miteinander abbilden. Diese Funktionsstrukturen bezeichnet man auch als Funktionsbäume, weil sie sich wie die Äste an Bäumen verzweigen. Erzeugen eines FunktionsbaumsWenn man mit dem Aufbau eines Funktionsbaums beginnt, sucht man zuerst nach der Gesamtfunktion. Dabei sollte immer beachtet werden, dass ein Produkt nur eine Gesamtfunktion besitzen kann.Hat man die ...Gesetz der Koordinierung des Rhythmus von Systemteilen
Gesetzmäßigkeiten der Produktentwicklung > Gesetz der Koordinierung des Rhythmus von Systemteilen
Dieses Gesetz gehört zu den dynamischen Gesetzen der Evolution. Die notwendige Voraussetzung für die Leistungsfähigkeit eines technischen Systems ist die Koordination der Rhythmik aller Teile des Systems.Folgende Möglichkeiten gibt es:Koordination von periodischen Bewegungen und anderer Parameter zwischen den wesentlichen Teilen.Die Nutzung von Resonanz.Die Beseitigung von unerwünschten periodischen Bewegungen.Zu diesem Gesetz existieren verschiedene Entwicklungslinien ...Funktionsbewertung, House of Quality
Funktionsanalyse > Quality Function Deployment > Funktionsbewertung, House of Quality
Im Vergleich zur Verwendung des paarweisen Vergleichs ist die Nutzung des ersten House of Quality (1st HoQ) ein wesentlich umfassenderer Ansatz zur Ermittlung der Bedeutung von Funktionen. Dieser Ansatz der QFD ist jedoch auch vergleichsweise aufwendiger.Der wesentliche Unterschied zur Bewertung von Funktionen mit Hilfe eines paarweisen Vergleiches ist dabei die direkte Bewertung der Funktionen anhand von Kundenanforderungen. Das bedeutet, die Funktionen werden nicht wie im ...Funktionsanalyse
Funktionsanalyse
Funktionsprinzip einer ZentrifugeFunktionen beschreiben die Wirkungen eines Produktes oder Prozesses, nicht dessen Baugruppen, Einzelteile oder Verfahren. Ausgedrückt werden Funktionen in Form einer Kombination von Substantiv+aktivem Verb.Funktionen beschreiben aktive Wirkungen eines Objektes („Zahnrad drehen“) und nicht den Status einer Wirkung („Zahnraddrehung bereitstellen“)FunktionsanalyseDie Funktionsanalyse kann in vier Stufen unterteilt werden:Zu Beginn ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Funktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen mehrerer Veränderlicher
Reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sich beinahe sämtliche Problemstellungen aus Wirtschaft und Wissenschaft nicht anhand von Funktionen mit nur einer Variablen lösen lassen. Eine reellwertige Funktion mit $n$ Veränderlichen ist eine Abbildung der Form$\ f : P = (x_1,x_2,.....,x_n) \in D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow y = f (P) \in \mathbb{R}$.Die $\ x_i ( i = 1,2,....n) $ sind unabhängige Veränderliche. ...Implizite und explizite Darstellung
Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
Explizite DarstellungIm Kurs Höhere Mathematik I wurde eine Funktion in Form $y = f(x)$ dargestellt. Das bedeutet, dass diese Funktion nach der Variablen $y$ aufgelöst ist. Man spricht in diesem Fall von einer expliziten Darstellung.Da bei dieser Darstellungsform jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert zugeordnet wird, können einfache und häufig notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. ...Stetigkeit und Unstetigkeit
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
... vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) ...Höhen- und Schnittlinien
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde, kann man die dreidimensionale Sicht wählen um eine Funktion mit zwei Variablen darzustellen. Dies stellt allerdings in der Praxis ohne eine geeignete Software ein Problem dar. Deshalb muss versucht werden eine Funktion mit zwei Variablen anders darzustellen. Als Ausweg kann man die sogenannte Parameterdarstellung wählen. Bei dieser wird nur eine Variable wirklich als Variable genutzt, indem allen anderen Variablen ein fester Wert zugeordnet ...Richtungsableitung
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
... vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Einsetzen in die gegebene Funktion:$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) = 0 = f(0,0) $ Die Funktion $f(x,y)$ ist an der Stelle $P(0,0)$ ...Kettenregel
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
Exkurs Höhere Mathematik 1Funktionen, deren Argumente erneut Funktionen sind, lassen sich differenzieren. Man differenziert dabei kettenartig, also zunächst nach dem Argument und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung des Arguments nach der gesuchten Variablen.Die Kettenregel für $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $ lautet $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ . Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher wird die Kettenregel ...Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Der Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf kann in zwei Versionen betrachtet werden. Man unterscheidet die lokale von der globalen Version. Die Voraussetzung dieser Versionen ist immer die Stetigkeit der rechten Seite und das Bestehen einer Lipschitz-Bedingung. Lipschitzbedingung (global)$f$ genügt in $G \subseteq \mathbb{R}^2$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ mit $L \ge 0$:$ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $ für alle $(x, y_1), \; ...Totales Differential
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
Ändern sich die einzelnen Variablen $\ x_1,... x_n $ eines stetig differenzierbaren Funktionswertes $\ y $ zeitgleich, so beschreibt das totale Differential $\ dy $ die Summe aller einzelnen marginalen Änderungen von $\ x_1,...x_n $.In der Volkswirtschaftslehre sind ökonomische Vorgänge oft durch die gleichzeitige Änderung mehrerer Variablen gekennzeichnet. Ein Instrument, welches hierfür beinahe exemplarisch steht, ist das IS/LM-Modell zur gesamtheitlichen Erfassung ...
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Physik
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Bewegungsgleichungen
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Bewegungsgleichungen
Nachdem wir nun die Eigenfrequenz $\omega$, Schwingungsdauer $T$ und Schwingungsfrequenz $f$ für das Federpendel, Fadenpendel und physikalische Pendel bestimmt haben, wollen wir uns in diesem Abschnitt den Bewegungsgleichungen zuwenden. Hierzu betrachten wir das Ort-Zeit-Gesetz, das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz sowie das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz für ungedämpfte harmonische Schwingungen. Dabei gehen wir davon aus, dass die Bewegung des Pendel in der Ruhelage beginnen.Das Ort-Zeit-Gesetz ...Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Mechanische Wellen > Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Im vorherigen Abschnitt haben wir die Wellengleichung hergleitet:$\ddot{y}(x,t) = \frac{k \cdot \triangle x^2 \cdot y''(x,t)}{m}$Innerhalb dieser Bewegungsgleichung ist die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit $c$ enthalten:$c = \sqrt{\frac{k \cdot \triangle x^2}{m}}$ WellenausbreitungsgeschwindigkeitEs ergibt sich unter Berücksichtigung dieser Wellenausbreitungsgeschwindigkeit die Wellengleichung zu:$\ddot{y}(x,t) = c^2 \cdot ...Schwingungsgleichung: Federpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Federpendel
Ein Federpendel ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer Schraubenfeder und einer daran befestigten Masse besteht, welche sich geradlinig längs der Richtung bewegen kann, in der die Feder sich verlängert oder verkürzt. In der nachfolgenden Skizze ist ein solches Federpendel aufgezeigt:FederpendelZieht man einen Körper, in $y$-Richtung aus der Ruhelage, nach unten und lässt ihn los, so führt er eine periodische Bewegung um die Ruhelage aus.Wird der obige ...Schwingungsgleichung: Fadenpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Fadenpendel
In diesem Abschnitt betrachten wir das Fadenpendel. Ist die Auslenkung des Pendelkörpers nicht zu groß, so besitzen seine Schwingungen ebenfalls einen sinusförmigen Verlauf. Man spricht auch von einem mathematischen Pendel, wenn die Gewichtskraft des Fadens vernachlässigbar klein und die Größe des Pendelkörpers klein im Vergleich zur Fadenlänge ist. FadenpendelDie rücktreibend wirkende Kraft eines Fadenpendels lässt sich bestimmen, indem man ...
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Operations Research 2
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Konkave und konvexe Funktionen
Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung > Konkave und konvexe Funktionen
Eine reellwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ...Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit
Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung > Konkave und konvexe Funktionen > Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.Konkave FunktionEine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ...
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Regelungstechnik
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Verstärkungsprinzip, Überlagerungsprinzip
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verstärkungsprinzip, Überlagerungsprinzip
Das Verstärkungsprinzip und das Überlagerungsprinzip lässt sich in Bezug auf die LAPLACE-Transformation anwenden, da die LAPLACE-Transformation selbst linear ist.Aus diesem Zusammenhang ergeben sich die nachfolgenden Rechenregeln:Verstärkungsprinzip: $ L $ { $ k \cdot f(t)$}$ = k \cdot L ${ $f(t)$}$ = k \cdot f(s) $Überlagerungsprinzip: $ L ${$ f_1(t) \pm f_2(t) $}$ = L${$f_1(t)$}$ \pm L${$f_2(t)$}$ = f_1(s) \pm f_2(s) $Wir werden diese Gleichungen ...
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Themen unserer Kurse
- Ungleichung, Uneigentliche Integrale, Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
- Vektor, variable Kosten, Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
- Wendepunkt, Winkel, Werkstoffe für Wellen und Achsen
- X-Y-Theorie nach Mc Gregor
- Zugversuch, zwei Kräften, Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
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