Analysis und Lineare Algebra

  1. Grenzwerte von Funktionen
    Elementare Funktionen > Grenzwerte von Funktionen
    Grenzwert
    ... ist es wichtig zu wissen, dass eine gebrochenrationale Funktion nicht definiert ist, wenn ihr Nenner den Wert $0$ annimmt.Wir wollen zunächst den Grenzwert $G$ von $f(x)$ für $x \to 2$ ermitteln. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass $x = 2$ eingesetzt werden kann. Vorher formen wir deshalb mit Hilfe der binomischen Formeln den Term $x^2 - 4$ um:$a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)$$\Longrightarrow x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} ...
  2. Elementare Funktionen
    Elementare Funktionen
    ... und transzendente Funktionen unterscheiden.Rationale FunktionenDie rationalen Funktionen unterscheiden wir inganzrationale Funktionen undgebrochenrationale Funktionen.Die ganzrationalen Funktionen können wir weiter unterscheiden in:Potenzfunktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = a x^n$konstante Funktionen: $\;\;\;\;\; f(x) = a_0$lineare Funktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = a_1x + a_0$quadratische Funktionen: $\, f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$allgemeine ganzrationale Funktionen n-ten Grades ...
  3. Rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen
    ... werden wir die rationalen Funktionen inganzrationale Funktionen undgebrochenrationale Funktionenunterscheiden und deren Eigenschaften betrachten.
  4. Ganzrationale Funktionen
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    Definition einer ganzrationalen FunktionEine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$ mit $a_n \neq 0$ heißen Koeffizienten, die Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist der Grad des Polynoms.Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$. Dies ist eine ganzrationale ...
  5. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Nullstellen
    ... Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit $n \ge 3$ hingegen, stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.Berechnung der Nullstellen bei linearen FunktionenGegeben sei die Funktion $f(x) = 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst:$3x - 12 = 0$$3x = 12$$x = 4$Der Graph der Funktion $f(x) = 3x - 12$ schneidet die $x$-Achse bei ...
  6. Gebrochenrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
    Eine Funktion wird als gebrochenrationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:gebrochenrationale Funktion: $f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$ gebrochenrationale Funktion: $y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$AsymptotenEine Asymptote (altgr. asymptotos = nicht übereinstimmend) ist eine "einfache" Funktion, zumeist eine Gerade, an die sich ...
  7. Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
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    Echt gebrochen/unecht gebrochenrationale FunktionIst der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion $f(x)$ echt gebrochen.echt gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen. unecht gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$ echt gebrochenrationale ...
  8. Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
    Definitionslcke
    ... FunktionenWie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen schon erwähnt haben, wird zur Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: Definitionslücke). ...
  9. Asymptoten
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Asymptoten
    schiefe Asymptote
    ... Betrachten wir eine beliebige gebrochenrationale Funktion:$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$Senkrechte AsymptoteSenkrechte Asymptoten befinden sich, wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen bereits erwähnt haben, an Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. Diese liegt vor, wenn in der Polynomform oder in der faktorisierten Form der gebrochenrationalen Funktion der Nenner gleich null ...
  10. Wurzelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Wurzelfunktionen
    ... ist eine algebraische, jedoch nichtrationale Funktion. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.Die allgemeine Form der Wurzelfunktion lautet:allgemeine Wurzelfunktion: $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \;\;\;\; | x \in \mathbb{R}^+_0 \;$ und $\; n \in \mathbb{N}$Wir bezeichnen$\sqrt[n]{x} \;$ als Wurzel, Radikal oder Radix,$n \;$ als Wurzelexponent und$x \;$ als Radikand.Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ hebt das Potenzieren mit dem Exponenten $n$ auf. Wenn wir ...
  11. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} ...
  12. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    ... rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch vorgerechnet.Gegeben sei ...
Analysis und Lineare Algebra
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) ...
  2. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Einsetzen in die gegebene Funktion:$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) = 0 = f(0,0) $ Die Funktion $f(x,y)$ ist an der Stelle $P(0,0)$ ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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