Analysis und Lineare Algebra

  1. Nullstellen, Definitionslücken
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    Definitionslcke
    ... 0$AnwendungsbeispielGegeben sei die gebrochenrationale Funktion $f(x)  = \frac{x-3}{x+1}$. Bestimme die Nullstellen!Zur Bestimmung der Nullstelle wird der Zähler herangezogen und gleich null gesetzt:$x - 3 = 0$$x = 3$Diesen $x$-Wert setzen wir nun in den Nenner ein: $3 + 1 = 4 \,$ und damit $\, \neq 0 \;\; \Longrightarrow \;$ Es liegt keine Definitionslücke vor!Demnach ist $x = 3$ eine Nullstelle von $f(x)$.Die Ermittlung der Nullstellen bei gebrochenrationalen Funktionen ...
  2. Rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen
    ... Kurses werden die rationalen Funktionen inganzrationale Funktionen undgebrochenrationale Funktionenunterscheiden. Was du hierbei beachten musst, erfährst du in den kommenden Kurstexten.
  3. Ganzrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen
    Definition einer ganzrationalen FunktionEine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$ mit $a_n \neq 0$ heißen Koeffizienten, die Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist der Grad des Polynoms.Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$. Dies ist eine ganzrationale ...
  4. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Nullstellen
    ... Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit $n \ge 3$ hingegen, stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.Berechnung der Nullstellen bei linearen FunktionenGegeben sei die Funktion $f(x) = 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst:$3x - 12 = 0$$3x = 12$$x = 4$Der Graph der Funktion $f(x) = 3x - 12$ schneidet die $x$-Achse bei ...
  5. Gebrochenrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
    Eine Funktion wird als gebrochenrationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:gebrochenrationale Funktion: $f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$ $y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2} \;\;\;$  (unecht gebrochen)AsymptotenNähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade parallel zur $y$-Achse an, so spricht man von einer senkrechten Asymptote. ...
  6. Asymptoten
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Asymptoten
    Waagerechte Asymptote
    ... des Graphen. Betrachtet wird eine gebrochen rationale Funktion:$ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $Senkrechte AsymptoteEine gebrochen rationale Funktion besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn der Nenner gleich Null wird, der Zähler bei diesem Wert aber ungleich Null. Liegt also eine Polstelle vor, so existiert eine senkrechte Asymptote.$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; n(x) = 0 \; z(x) \neq 0$Gegeben sei die folgende ...
  7. Nicht rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen
    Nicht rationale Funktionen umfassen Funktionen, welche nicht der Algebra zuzurechnen sind. Der Fachterminus für diese Funktionen ist transzendente Funktionen. Transzendente Funktionen unterscheiden sich von den algebraischen Funktionen dadurch, dass sie über die Grundrechenarten im Funktionsterm hinausgehen.Zu den transzendenten Funktionen zählen:- Wurzelfunktionen,- Exponentialfunktionen,- Trigonometrische Funktionen,- Hyperbelfunktionen.
  8. Grenzwert von Funktionen
    Elementare Funktionen > Grenzwert von Funktionen
    Grenzwert
    ... definiert. Nicht definiert ist eine gebrochen rationale Funktion, wenn ihr Nenner den Wert $0$ annimmt.Allerdings soll der Grenzwert $G$ von $f(x)$  für  $x \to 2$  ermittelt werden. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass  $x = 2$  eingesetzt werden kann. Dafür wird der Term  $x^2 = 4$  umgeschrieben in:  $x = \pm\sqrt{4} \; \rightarrow \; x = - 2, x = +2 \; \rightarrow \; (x + 2), (x - 2)$.$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x ...
  9. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} ...
  10. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    ... rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch vorgerechnet.Gegeben sei ...
  11. Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
    Echt gebrochen/unecht gebrochenrationale FunktionIst der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion $f(x)$ echt gebrochen.Echt gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen. Unecht gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$ $\text{Grad Nenner} ...
Analysis und Lineare Algebra
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) ...
  2. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Einsetzen in die gegebene Funktion:$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) = 0 = f(0,0) $ Die Funktion $f(x,y)$ ist an der Stelle $P(0,0)$ ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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