rationale Funktion

Im weiteren Verlauf des Kurse werden ganz rationale Funktionen und gebrochen rationale Funktionen unterschieden. Wie das ausschaut und was es hierbei zu beachten gibt, erfährst du in den kommenden Kurstexten

... einer ganz rationalen FunktionEine ganz rationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen  $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$   mit  $a_n \neq 0$  heißen Koeffizienten , die Zahl  $n \in \mathbb{N}$  ist der Grad des Polynoms.Gegeben sei die Funktion:  $f(x) ...

... von Lösungsformeln möglich. Ganzrationale Funktionen mit  $n \ge 3$ hingegen stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln mehr zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.Berechnung der Nullstellen bei linearen FunktionenGegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x - 12$.  Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion $= 0$ gesetzt und nach $x$ aufgelöst:$3x - 12 = 0$$x = 4$Der Graph der Funktion $f(x) = 3x - 12$  schneidet die ...

Eine Funktion wird als gebrochen rationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:$ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $oder in Zahlen$ y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$  (unecht gebrochen)Nullstellen, Pole, DefinitionslückenNullstellen: Eine Nullstelle ist gegeben, wenn der Zähler den Wert null annimmt, der Nenner aber einen Wert ...

Echt gebrochen / unecht gebrochen rationale FunktionIst der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion  $f(x)$  echt gebrochen.Beispiel:  $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen. Beispiel:  $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$Grad Nenner > ...

... aufgeführt:Gegeben sei die gebrochen rationale Funktion: $f(x)  = \frac{x-3}{x+1}$Es wird zur Bestimmung der Nullstelle der Zähler herangezogen und gleich Null gesetzt:$x-3 = 0$$x = 3$Dieser $x$-Wert wird nun in den Nenner eingesetzt: $3 + 1 = 4$ also $\neq 0$  Es liegt keine Definitionslücke vor!Demnach ist $x = 3$ eine Nullstelle von $f(x)$.Die Ermittlung der Nullstellen bei gebrochen rationalen Funktionen erfolgt demnach nach dem Prinzip der Nullstellenermittlung ...

... des Graphen. Betrachtet wird eine gebrochen rationale Funktion:$ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $Senkrechte AsymptoteEine gebrochen rationale Funktion besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn der Nenner gleich Null wird, der Zähler bei diesem Wert aber ungleich Null. Liegt also eine Polstelle vor, so existiert eine senkrechte Asymptote.$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; n(x) = 0 \; z(x) \neq 0$Gegeben sei die folgende ...

Nicht rationale Funktionen umfassen Funktionen, welche nicht der Algebra zuzurechnen sind. Der Fachterminus für diese Funktionen ist transzendente Funktionen. Transzendente Funktionen unterscheiden sich von den algebraischen Funktionen dadurch, dass sie über die Grundrechenarten im Funktionsterm hinausgehen.Zu den transzendenten Funktionen zählen:- Wurzelfunktionen,- Exponentialfunktionen,- Trigonometrische Funktionen,- Hyperbelfunktionen.

... definiert. Nicht definiert ist eine gebrochen rationale Funktion, wenn ihr Nenner den Wert $0$ annimmt.Allerdings soll der Grenzwert $G$ von $f(x)$  für  $x \to 2$  ermittelt werden. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass  $x = 2$  eingesetzt werden kann. Dafür wird der Term  $x^2 = 4$  umgeschrieben in:  $x = \pm\sqrt{4} \; \rightarrow \; x = - 2, x = +2 \; \rightarrow \; (x + 2), (x - 2)$.$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x ...

Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} ...

... rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch vorgerechnet.Gegeben sei ...

... vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) ...

... vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Einsetzen in die gegebene Funktion:$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) = 0 = f(0,0) $ Die Funktion $f(x,y)$ ist an der Stelle $P(0,0)$ ...