Analysis und Lineare Algebra

  1. Rationale Funktion
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    Im Weiteren werden ganz rationale Funktionen und gebrochen rationale Funktionen unterschieden.
  2. Ganz rationale Funktionen
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    Definition Eine ganz rationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten: $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$ Die reellen Zahlen  $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$   mit  $a_n \neq 0$  heißen Koeffizienten , die Zahl  $n \in \mathbb{N}$  ist der Grad des Polynoms. Geben sei die Funktion:  $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$.  Dies ist eine ganzrationale Funktion (alle $n$ sind ...
  3. Echt / unecht gebrochen rationale Funktion
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    Echt gebrochen / unecht gebrochen rationale Funktion Ist der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion  $f(x)$  echt gebrochen. Beispiel:  $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$ Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen.  Beispiel:  $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$ Grad Nenner > Grad Zähler: echt gebrochen rationale Funktion Grad ...
  4. Gebrochen rationale Funktionen
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    Eine Funktion wird als gebrochen rationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet: $ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $ oder in Zahlen $ y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$  (unecht gebrochen) Nullstellen, Pole, Definitionslücken Nullstellen: Eine Nullstelle ist gegeben, wenn der Zähler den Wert null annimmt, der Nenner aber einen Wert ungleich ...
  5. Nicht rationale Funktionen
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    Nicht rationale Funktionen umfassen Funktionen, welche nicht der Algebra zuzurechnen sind. Der Fachterminus für diese Funktionen ist transzendente Funktionen. Transzendente Funktionen unterscheiden sich von den algebraischen Funktionen dadurch, dass sie über die Grundrechenarten im Funktionsterm hinausgehen. Zu den transzendenten Funktionen zählen:- Wurzelfunktionen,- Exponentialfunktionen,- Trigonometrische Funktionen,- Hyperbelfunktionen.
  6. Asymptoten
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    Asymptoten
    ... des Graphen. Betrachtet wird eine gebrochen rationale Funktion: $ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $ Senkrechte Asymptote Eine gebrochen rationale Funktion besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn der Nenner gleich Null wird, der Zähler bei diesem Wert aber ungleich Null. Liegt also eine Polstelle vor, so existiert eine senkrechte Asymptote. $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; n(x) = 0 \; z(x) \neq 0$ Gegeben sei ...
  7. Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
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    Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
    ... aufgeführt: Gegeben sei die gebrochen rationale Funktion: $f(x)  = \frac{x-3}{x+1}$ Es wird zur Bestimmung der Nullstelle der Zähler herangezogen und gleich Null gesetzt: $x-3 = 0$ $x = 3$ Dieser $x$-Wert wird nun in den Nenner eingesetzt:  $3 + 1 = 4$ also $\neq 0$  Es liegt keine Definitionslücke vor! Demnach ist $x = 3$ eine Nullstelle von $f(x)$. Die Ermittlung der Nullstellen bei gebrochen rationalen Funktionen erfolgt demnach nach dem Prinzip der Nullstellenermittlung ...
  8. Grenzwert von Funktionen
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    Grenzwert von Funktionen
    ... definiert. Nicht definiert ist eine gebrochen rationale Funktion, wenn ihr Nenner den Wert $0$ annimmt. Allerdings soll der Grenzwert $G$ von $f(x)$  für  $x \to 2$  ermittelt werden. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass  $x = 2$  eingesetzt werden kann. Dafür wird der Term  $x^2 = 4$  umgeschrieben in:   $x = \pm\sqrt{4} \; \rightarrow \; x = - 2, x = +2 \; \rightarrow \; (x + 2), (x - 2)$. $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x ...
  9. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    ... anhand von Lösungsformeln möglich. Ganzrationale Funktionen mit  $n \ge 3$ hingegen stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln mehr zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle. Berechnung der Nullstellen bei linearen Funktionen Gegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x - 12$.  Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion $= 0$ gesetzt und nach $x$ aufgelöst: $3x - 12 = 0$ $x = 4$ Der Graph der Funktion $f(x) = 3x - 12$  schneidet die $x$-Achse bei  $x = 4$. Berechnung ...
  10. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist. Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. Integration Integriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $ I. Durchdividieren $\int ...
  11. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    ... rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren.  Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch vorgerechnet. Gegeben sei $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+1)}$. Um ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür: $x = r \cos (\varphi)$ $y = r \sin (\varphi)$ und lässt $r$ gegen Null laufen. Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist. Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 ...
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