Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beanspruchungsarten
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    Beanspruchungsarten
    ... in Richtung der Stabachse statt. Die Wirkungslinie ist richtungsgleich mit der Stabachse. Überschreitet die Belastung jedoch einen Grenzwert, kommt es zur Knickung des Stabes und die stabile Gleichgewichtslage wandelt sich in eine instabile Lage. Ein Material, das besondere Druckeigenschaften besitzt, ist Beton. Druckbeanspruchung Knickung und Bruch infolge der Druckbeanspruchung 2. Beanspruchung durch Zug: Auch hier findet eine Belastung ausschließlich in Richtung der Stabachse ...
  2. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    ... konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt der Querschnittsfläche vom Stab dar. Da man sich nicht für die äußeren Kräfte, sondern stattdessen für die Spannungen im Inneren interessiert, wird nach dem Schnittprinzip der Stab in zwei Bestandteile zerlegt. Senkrechter Schnitt am Balken Im ersten Schnitt wird angenommen, dass der Schnitt im Winkel von 90° [senkrecht] zur Stabachse durchgeführt wird. Es wird ...
  3. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    ... durchgeführt wird. Dazu wird die Gerade (rote Linie) berechnet: Dies geschieht indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird: Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet: $r(x = 0) = r_0$ $r(x = l) ...
  4. Differentialgleichung eines Stabes
    Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
    Differentialgleichung eines Stabes
    ... $F_2$ belastet. Zusätzlich greift noch eine Linienkraft $n(x)$ in Richtung der Stabachse an. An der linken Schnittstelle des Stabelements $ x$ wirkt die Normalkraft $N$ und an der rechten Schnittstelle $ x + dx $ die Normalkraft $ N + dN $. Die Normalkräfte stehen immer senkrecht auf der betrachteten Querschnittsfläche: Normalkräfte am Stabelement Es wird nun die horizontale Gleichgewichtsbedingung am unteren Stabelement angewandt:  $\rightarrow : -N + ndx + (N + dN) = 0$ Kürzen ...
  5. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... $N(x) = EAu'$ Sonderfall: Keine Linienkraft Ist $EA$ konstant und ebenfalls $\triangle T$ konstant, so vereinfacht sich die Differentialgleichung wie oben gezeigt zu: $ EAu'' = - n $. Ist nun aber in der Aufgabenstellung keine Linienkraft gegeben, also $n = 0$, dann gilt: $EAu'' = 0$. Das wiederum bedeutet, dass die Normalkraft konstant sein muss: $EAu' = N = const.$ Die Normalkraft $N$ kann aus den Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Stab bestimmt werden. ...
  6. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    ... = -n $ Um diese Differentialgleichung mit der Linienkraft $n$ berechnen zu können, wird die Gewichtskraft $G$ in eine Linienkraft umgerechnet mit [Kraft je Längeneinheit]: $n = \frac{G}{l} = \frac{10 N}{20 cm} = 0,5 \frac{N}{cm}$ Die Verschiebung kann nun durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung gelöst werden: (1) $EAu'' = -0,5 \frac{N}{cm}$ (2) $EAu' = -0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1$ (3) $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$ Die Integrationskonstanten ...
  7. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
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    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    ... T = 0$. $EAu'' = -n$. Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft): (1) $EAu'' = 0$ (2)$EAu' = N(x)$ Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant: $EAu' = N $. (3) $EAu = N \cdot x + C_1$ Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$: $EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$ $C_1 ...
  8. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    ... Die Differentialgleichung des Stabes mit Linienkraft und mit angreifender Kraft sollte separat wie in den vorherigen Abschnitten betrachtet werden. Da dieses Vorgehen hier allerdings zu aufwendig ist, sollte die Bestimmung der Längenänderung wie oben bestimmt werden.
  9. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... um $\triangle l_1$ verlängert. Es wurde eine Linie der verlängerten Seite von $S_1$ nach unten gezogen (im rechten Winkel). Das Gleiche wurde mit der verkürzten Seite von $S_2$ durchgeführt (ebenfalls im rechten Winkel). Dort wo die Linien sich schneiden, befindet sich die neue Lage des Knotens $K'_2$: Verschiebung Als Nächstes wird der Ausgangsknoten $K_2$ mit dem verschobenen Knoten $K'_2$ verbunden, indem eine vertikale Linie nach unten gezogen (grüne Linie) wird und dann eine ...
  10. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    ... Stäbe verlängert eingezeichnet (gestrichelte Linien). Die äußeren verlängerten Linien ($\triangle l_3$ und $\triangle l_1$) wurden mit einer weiteren Linie (im rechten Winkel) verbunden. Dort wo sich diese Linien mit der verlängerte $\triangle l_2$ treffen liegt der neue Knoten $K'$. Es sind nun zwei Dreiecke entstanden, die mittels Kosinus berechnet werden können: 1. Dreieck: $\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\triangle l_3}{\triangle l_2}$ $\triangle ...
  11. Allgemeine Annahmen
    Mehrachsige Spannungszustände > Allgemeine Annahmen
    Allgemeine Annahmen
    ... da diese keinen Hebelarm besitzen (Wirkungslinien schneiden den betrachteten Mittelpunkt). Zusätzlich zum Hebelarm muss noch die Fläche $dA$ berücksichtigt werden, welche sich z.B. bei der Querschnittsfläche in $y$-Richtung ergibt aus $dx \cdot dz$: Momentengleichgewichtsbedingung: $\curvearrowleft M = \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz + \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz - \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy - \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy = 0$ $\rightarrow : 2 \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz = 2 \frac{dz}{2} ...
  12. Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    ... (schwarzer Punkt in der Grafik). Die Wirkungslinien der Normalspannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ schneiden diesen Bezugspunkt bereits und gehen deshalb nicht in die Berechnung mit ein. Es werden nur die Schubspannungen $\tau_{xy}$ und $\tau_{yx}$ berücksichtigt, welche jeweils einen Hebelarm von $\frac{1}{2}$ mal Fläche besitzen (da der Bezugspunkt in der Mitte liegt). Außerdem muss berücksicjtigt werden, dass die Schubspannung auf eine gesamte Fläche wirkt. Das bedeutet also, dass die ...
  13. Mohrscher Spannungskreis
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    Mohrscher Spannungskreis
    ... P´ miteinander. 3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$. 4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$. Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen. Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen verschwinden $\tau_{xy} = 0$ (vorherige Kapitel). Da die Hauptspannungen die Extremwerte der Normalspannung ...
  14. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    ... verbunden werden. Dort wo diese Verbindungslinie die $\sigma$-Achse schneidet, liegt der Mittelpunkt und somit die mittlere Normalspannung $\sigma_m$. Der Kreis kann nun vom Mittelpunkt aus durch die beiden Punkte gezeichnet werden. Ablesen der Werte Lösung 1 Die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ befinden sich auf dem äußersten Rand des Kreises auf der $\sigma$-Achse, da dort die Schubspannung $\tau_{xy} = 0$ ist. Es gilt $\sigma_2 < \sigma_1$. Das bedeutet, dass $\sigma_1$ ...
  15. Arten der Biegung
    Balkenbiegung > Arten der Biegung
    Arten der Biegung
    ... zwei folgenden Arten der Biegung anhand der Wirklinie der Belastung unterschieden: Gerade Biegung (auch: einachsige Biegung): Eine gerade Biegung ist dann gegeben, wenn ein Moment um eine der Hauptachsen wirkt. Dies geschieht, wenn die äußere Belastung am Bauteil nur in die Richtung einer Hauptachse vorliegt.  Schiefe Biegung (auch: zweiachsige Biegung): Bei der schiefen Biegung liegen Momente um beide Hauptachsen vor. Dies ist der Fall, wenn die äußere Kraft nicht in Richtung einer ...
  16. Flächenträgheitsmomente: Definition
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Definition
    Flächenträgheitsmomente: Definition
    ... der entsprechenden Schwerpunktachse liegt (rote Linie), umso höher ist der Flächenträgheitsmoment. 2. Polares Flächenträgheitsmoment Mit dem polaren Flächenträgheitsmoment $ I_P $ wird die Torsion eines Balkens unter Belastung in Abhängigkeit des Querschnittes umfassend beschrieben. Auch hier gilt, umso größer das polare Flächenträgheitsmoment, umso kleiner die Torsion und die im Querschnitt auftretenden inneren Spannungen. Das wesentliche Maß im Querschnitt ist hierbei die radiale ...
  17. Gerade bzw. einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung
    Gerade bzw. einachsige Biegung
    ... die einachsige Biegung die Bestimmung der Biegelinie aufgezeigt, d.h. also die Verformung des Balkens aufgrund der äußeren Belastung. Einachsige Biegung liegt vor, wenn nur ein Moment um eine Hauptachse wirkt.
  18. Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Normalspannung bei reiner Biegung
    Normalspannung bei reiner Biegung
    ... also, dass die neutrale Faser diejenige Linie ist, deren Länge sich beim Biegevorgang nicht ändert. Die weiter außen liegenden Fasern werden beim Biegen gedehnt, die weiter innen liegenden hingegen gestaucht. Für die gedehnte Faser besteht die Gefahr, dass sich Risse bilden. Bei symmetrischen Querschnitten (Quadrat, Rechteck, Kreis) liegt die neutrale Faser genau in der Mitte des Bauteils.  Unverformter Balken mit mehreren Querschnitten In der obigen Grafik ist der unverformte ...
  19. Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    ... des Balkens bezeichnet man als elastische Biegelinie. In den folgenden Abschnitten wird auf die Berechnung der Verformung mittels Differentialgleichung eingegangen.
  20. Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    ... eines Balkens versteht man die Biegelinie der neutralen Faser, die auch als elastische Linie bezeichnet wird.  Balkenverformung In den nachfolgenden Abschnitten werden u.a. die Differentialgleichung der Biegelinie bestimmt und die Rand- und Übergangsbedingungen für den Einbereichs- und Mehrbereichsfall bestimmt. Auch die Überlagerungsmethode ist Gegenstand dieses Kapitels. 
  21. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    ... die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie für eine einachsige Biegung hergeleitet.  Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt: $ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $  Ferner ist auch diese Gleichung interessant: $\tau_{xz} = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $ Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft: $ Q = \int_A \tau_{xz} dA $ Setzt man nun die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ein, so folgt daraus:  $ ...
  22. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet. Auflösen der Differentialgleichung der Biegelinie Um die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal: $EI \cdot w'' = - M_y(x)$ mit $EI$ Biegesteifigkeit $E$ Elastizitätsmodul $I_y$ ...
  23. Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
    Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
    ... die für die Berechnung der elastischen Biegelinie benötigt werden. Randbedingungen Dabei gilt für die gerade Biegung: $EIw'' = -M(x)$ $EIw''' = -Q(x)$ $EIw^{IV} = q(x)$
  24. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... der elastischen Linie beschrieben wird, angewandt. Eine Einbereichsaufgabe ist gegeben, wenn der Momentenverlauf $M(x)$ durch eine einzige Funktion für den gesamten Balken beschrieben werden kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn auf dem gesamten Balken eine konstante Streckenlast wirkt oder eine Kraft oder ein Moment am Ende des Balkens angreift. Beispiel: Feste Einspannung In der obigen Abbildung liegt ein Balken mit der Länge $l$ vor, welcher auf der ...
  25. Biegelinie mit Streckenlast
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
    Biegelinie mit Streckenlast
    ... Abschnitt soll gezeigt werden wie die Biegelinie bestimmt wird, wenn eine Streckenlast auf den Balken wirkt.  Anwendungsbeispiel 1: Bestimmung der Durchbiegung Gegeben sei der obige Balken, auf dem eine Streckenlast wirkt. Die Biegesteifigkeit sei konstant. Bestimme die Biegelinie! Die Formel für die Berechnung der Biegelinie ergibt sich zu: $EIw^{IV} = q(x)$ Die Streckenlast ist über die gesamte Balkenlänge konstant, weshalb $q(x) = q_0$: $EIw^{IV} = q_0$ Es folgt die 1. ...
  26. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... 1. Die Differentialgleichung der Biegelinie muss abschnittsweise integriert werden. 2. Neben den Randbedingungen sind nun Übergangsbedingungen für die Übergänge zweier Bereiche zu formulieren.  Unter der Berücksichtigung dieser beiden Punkte lässt sich nun die folgende Aufgabe lösen. Beispiel: Asymmetrisch belasteter Balken Man sieht einen Balken der auf einem Fest- und Loslager gelagert ist. Im rechten Bereich des Balkens wirkt eine Kraft F und unterteilt den Balken ...
  27. Superpositionsprinzip
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Superpositionsprinzip
    Superpositionsprinzip
    ... bestimmt. Aus der Tabelle in Abschnitt Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen kann man die Gleichung für die Biegelinie für einen fest eingespannten Balken mit Belastung $F$ ablesen: $w_1(x) = \frac{F}{EI} (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3)$ Die Belastung für ein Moment auf einem eingespannten Balken ist auch in der Tabelle zu finden: $w_2(x) = \frac{Mx^2}{2EI}$ Die Addition von beiden führt dann zu: $w(x) = w_1(x) + w_2(x) = \frac{F}{EI} (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3) ...
  28. Statisch unbestimmt gelagerte Balken
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Statisch unbestimmt gelagerte Balken
    Statisch unbestimmt gelagerte Balken
    ... bzw. ist aus der Tabelle Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastung im nächsten Abschnitt zu entnehmen: $w_F (x = l) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot (l - a)$ Hier muss allerdings die Länge $l = 2a$: $w_F (x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot a$ In einem zweiten Schritt betrachtet wir nun die Durchbiegung des Balkens, wenn die statisch Unbestimmte $X$ auf den Balken wirkt: Superpositionsprinzip: Entfernung der Kraft F Die Berechnung ...
  29. Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen
    Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen
  30. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... $y_{max}$. Differentialgleichung der Biegelinie Belastung in $z$-Richtung: $ w(x)'' = - \frac{M_y (x)}{E \cdot I_{y}} $             mit $w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und $ E\cdot I_{y}$ als Biegesteifigkeit. Belastung in $y$-Richtung: $ w(x)'' = - \frac{M_z (x)}{E \cdot I_{z}} $             mit $w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und $ E\cdot I_{z}$ als Biegesteifigkeit. Streckenlast in $z$-Richtung ($M_z = 0$): $EIw^{IV}(x) = ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Darstellung der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Darstellung der Kraft
    Darstellung der Kraft
    ... Vertikalkraft liegt dabei auf derselben Wirkungslinie, wie die nach unten gerichtete Vertikalkraft. Auf der Wirkungslinie selber kann die Kraft dann beliebig verschoben werden. Für die untere Box wurde die Kraft dann soweit nach unten verschoben, dass diese an der Boxunterseite angreift. Kraft F auf Box, Wirkungslinie Die obige Darstellung wurde gewählt, weil bei der Berechnung von unbekannten Kräfte mittels der Gleichgewichtsbedingungen manchmal negative Werte resultieren. Dann weiß ...
  2. Zentrales Kräftesystem
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Zentrales Kräftesystem
    Zentrales Kräftesystem
    ... Punkt angreifen, sondern dass sich ihre Wirkungslinien zumindest in einem Punkt schneiden. Es ist hierbei wichtig zu wissen, dass Kräfte entlang ihrer Wirkungslinie hin zu ihrem Schnittpunkt verschoben werden dürfen und somit als linienflüchtig gelten.  Die folgenden Abschnitte behandeln Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt. Das bedeutet, dass sich die Kräfte bzw. deren Wirkungslinien ALLE in einem Punkt schneiden.  Kräfte sind linienflüchtig In den folgenden Kapiteln ...
  3. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    ... gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten Kräfte unter Berücksichtigung ihrer Richtung, zu sehen. Beide Varianten ergeben dieselbe Resultierende. Durch das Kommutativgesetz ist es möglich, die Kräfte in verschiedenen Kombinationen aneinander zu reihen, um die Resultierende zu erhalten. In der Grafik wurden zur Veranschaulichung zwei Varianten ausgewählt...
  4. Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    ... wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie liegen, einen entgegengesetzten Richtungssinn aufweisen und den gleichen Betrag besitzen. Zwei Kräfte $ F_1 $ und $ F_2 $ wirken auf einen Körper. Aus Messungen ist bekannt, dass $ F_1 = -4 N $ und $ F_2 = 4 N $ beträgt. Beide Kräfte liegen auf der gleichen Wirkungslinie und wirken entgegengesetzt. Die Resultierende $ R $ von den beiden Kräften ist:$ R = F_1 + F_2 = 4 N + (-4) N = 0 \rightarrow $ Da die Summe der Kräfte gleich null ist, ...
  5. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Einzelne parallele Kräfte
    ... Resultierenden direkt entgegen (gleiche Wirkungslinie, aber entgegengesetzte Richtung):  $\ H = -R $ Die Resultierende ist wie bereits gelernt die Zusammenfassung aller Kräfte. In diesem Abschnitt werden parallele Kräfte betrachtet. Die Resultierende hat demnach die gleiche Richtung wie die Kräfte. Die Haltekraft setzt sich der Resultierenden Kraft entgegen mit gleichem Betrag, aber in entgegengesetzter Richtung. Denn erst dann besitzt der Balken ein statisches Gleichgewicht. Die Haltekraft ...
  6. 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    ... die Lagerkräfte $A$ angreifen. Da die Wirkungslinien der Lagerkräfte $A_v$ und $A_h$ den Knoten schneiden, werden diese bei der Momentenberechnung nicht berücksichtigt und es ist möglich die Lagerkraft $B$ zu berechnen: $\curvearrowleft : M_1 = -F_1 \cdot 4m - F_2 \cdot 2m + B \cdot 12m = 0$ $0 = -20 \cdot 4m - 10 \cdot 2m + B \cdot 12m$ $B = 8,33 kN$. Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, so wird die Kraft mit einem negativen Vorzeichen versehen, ansonsten mit einem positiven.  Als ...
  7. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... erhält jedes Tragwerkteil eine gestrichelte Linie, welche direkt unterhalb des Tragwerkteils eingezeichnet wird. Diese Linie nennt man "gestrichelte Faser". Diese Faser dient zur Orientierung. So verläuft die x-Achse immer entlang dieser Faser und die z-Achse senkrecht zur gestrichelten Seite dieser Faser. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine eindeutige Schnittgrößenfestlegung.   Faser und Achsen
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Produktion

  1. Produktionsorganisation
    Produktionssysteme > Planung und Organisation > Produktionsorganisation
    Produktionsorganisation
    ... Besonderheiten beschrieben. Hierzu zählen Einliniensysteme und Mehrliniensysteme. 
  2. Einliniensysteme
    Produktionssysteme > Planung und Organisation > Produktionsorganisation > Einliniensysteme
    Einliniensysteme
    Das Einliniensystem kennzeichnet sich dadurch, dass jeder Position im Aufbau immer nur eine Position vorgelagert ist. Hierzu betrachte man die folgende Abbildung, welche den Aufbau einer Weisungshierarchie in der Produktion darstellt: Einliniensystem (Weisungshierarchie) Wie der Abbildung zu entnehmen ist, teilt sich die Weisungshierarchie in obere, mittlere und untere Führungsebene auf. Die obere Führungsebene besteht aus der Geschäftsleitung und dem Produktionsleiter. Diese haben auf ...
  3. Mehrliniensysteme
    Produktionssysteme > Planung und Organisation > Produktionsorganisation > Mehrliniensysteme
    Mehrliniensysteme
    Im Gegensatz zum Einliniensystem erfolgen im Mehrliniensystem Anweisungen nicht ausschließlich an eine, sondern an mehrere nachgeordnete Stellen. Eine nachgeordnete Stelle erhält wiederum Anweisungen von mehreren übergeordneten Stellen. In Folge dessen werden zwar die Informationswege kürzer und die Unterschiede der Informationen zwischen Abteilungen auf gleicher Ebene können minimiert werden, dennoch sind oft die Kompetenzen der Abteilungen nicht scharf getrennt, wodurch es zu Weisungsüberschneidungen ...
  4. Substitutionalität
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Grundlegende Eigenschaften > Substitutionalität
    Substitutionalität
    ... Diese Isoquanten sind Linien des gleichen Outputs, d.h. jeder beliebige Punkt auf einer dieser Linien liefert identischen Output. Die Linien stellen  jeweils eine Einprodukt-Zweifaktoren-Produktionsfunktion dar. Diese hat die Form $\ x = f(r_1, r_2) $. Einziger Unterschied zwischen den Linien ist die Höhe des Outputs mit $ x^1, x^2 $ und $ x^3 $.  Die Frage ist nun, welche Erkenntnis lässt sich aus diesen Isoquanten gewinnen?  Möchte man den Output $ x^1 $ ...
  5. Minimalkostenkombination
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Minimalkostenkombination
    Minimalkostenkombination
    ... $r_1$ und $r_2$ eingezeichnet. Isoquanten sind Linien des gleichen Outputs, d.h. jeder beliebiger Punkt auf der Linien liefert identischen Output. Das bedeutet, dass dem Unternehmen mehrere Faktorkombinationen zur Verfügung stehen, um das Endprodukt zu erzielen.  Isoquante einer substitutionalen Produktionsfunktion Unter Berücksichtigung der Preise für die Produktionsfaktoren $q_i$ und den Fixkosten $K_f$ sieht die Kostenfunktion wie folgt aus: $K = q_1 r_1 + q_2 r_2 + K_f$ mit $K_v ...
  6. Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung > Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    ... ein und verbindet sie miteinander (gestrichelte Linie). Als nächstes nimmt man sich ein Geodreieck in die Hand und verschiebt die Gerade solange (parallel zu sich selbst) nach oben bis zu dem Punkt, welcher sich gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches befindet. In der Grafik ist dies der schwarz eingezeichnete Punkt.  Es werden also von $x_1 = 1.250$ Stück und von $x_2 = 2.500$ Stück produziert. Dies ergibt einen Gesamtdeckungsbeitrag in Höhe von: $DB = 1.250 \cdot 2 + 2.500 \cdot ...
  7. Verbrauchsgesteuerte Materialbedarfsplanung
    Materialbedarfsplanung > Verbrauchsgesteuerte Materialbedarfsplanung
    Verbrauchsgesteuerte Materialbedarfsplanung
    ... eines Rohstoffes wird durch Entnahmen (blaue Linie) aus dem Lager verringert. Erreicht der Lagerbestand den Meldebestand (orange Linie), so wird eine Bestellung ausgelöst. Hierbei muss mit einem zeitlichen Verzug gerechnet werden, da die Bestellung nicht sofort im Unternehmen eingeht (Wiederbeschaffungszeit). Deswegen ist es notwendig den Meldebestand so zu wählen, dass sich bis zum Eintreffen der Bestellung noch ausreichend Waren auf Lager befinden. Außerdem muss ein Sicherheitsbestand ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite und explizite Darstellung
    ... notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. es wird zur Darstellung mehr als eine Funktion benötigt. Damit für die Darstellung von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben. Implizite Darstellung Bei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die Funktion ...
  2. Höhen- und Schnittlinien
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
    Höhen- und Schnittlinien
    ... $[y=0]$ ist : $\ z = \frac{1}{x^2} $ Höhenlinien Eine Höhenlinie (oder auch Niveaulinie genannt) stellt die Menge aller Punkte $\ P $ dar, die denselben Funktionswert besitzen. Das heißt, zu einer Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche $Z$ – Wert zugeordnet wird. d.h. für die gilt : $z = f(x,y) = c $.  Um die Niveaulinien zu ermitteln setzt man den Wert $c$ konstant, also die Höhe. Man sieht dann von oben auf die Funktion. Jeder Punkt auf der Niveaulinie hat die ...
  3. Gradient einfach berechnen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradient einfach berechnen
    ... $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung. Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also $\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$.  Bestimme den Gradienten der Funktion $\ f (x,y) = x^2 \cdot y^2$ an der Stelle ...
  4. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... sind Kurven in der Ebene, entlang derer alle Linienelemente die gleiche Steigung besitzen. Dies bedeutet dass alle Punkte, deren Vektoren in die gleiche Richtung zeigen mit einer Linie (Isokline) verbunden werden könne. Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch $\ f(x,y) = const $ . In der folgenden Grafik wurden einige Isoklinen in das Richtungsfeld eingezeichnet. Isoklinen (blau) Zur Wahrung der Übersicht, ...
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Anorganische Chemie

  1. Definition Stoff
    Grundlagen der Chemie > Definition Stoff
    Definition Stoff
    ... Einen Ingenieur interessieren in erster Linie die Größe und Form des Objekts, da er dieses Körper betrachtet. Ein Chemiker interessiert sich eher für die Stofflichkeit des Objektes. Form und Größe sind für ihn von geringerem Interesse. Eine eindeutige Definition von Stoff existiert in der Chemie nicht. Allgemein formuliert sind Stoffe Dinge, deren innere Eigenschaften im Vordergrund des Interesses stehen, d.h. die beteiligten Atomen oder Moleküle sowie die Art ihres Zusammenschlusses. ...
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Unternehmensführung

  1. Management aus funktionaler Sicht
    Einführung in die Unternehmensführung > Management und Unternehmensführung > Management aus funktionaler Sicht
    ... Werbekonzepterstellung übertragen] in erster Linie erfüllt, hat der Leiter anscheinend nicht auf die Überwachung des Prozessfortschritts geachtet.  Bei der Suche nach dem Grund für eine fehlerhafte Umsetzung der Zielvorgaben zeigen sich weitere Bereiche in denen eine Führungskraft und damit die Unternehmensführung gefragt ist: Organisation der Mitarbeiter, Informationsweitergabe an die Mitarbeiter, Kommunikation mit und unter den Mitarbeitern, Motivation der Mitarbeiter und Koordination ...
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