Technische Mechanik 1: Statik

  1. Betrag, Richtung und Angriffspunkt einer Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Betrag, Richtung und Angriffspunkt einer Kraft
    Wirkungslinie und Richtungssinn
    ... sich die Richtung der Kraft durch ihre Wirkungslinie und den Richtungssinn:Wirkungslinie und RichtungssinnIn der obigen Grafik ist die Wirkungslinie $f$ der Kraft $F$ zu sehen. Der Richtungssinn der Kraft $F$ ist durch den Pfeil gegeben. Zeigt die Kraft weder in vertikale noch in horizontale Richtung, so gibt man den Winkel $\alpha$ der Kraft zur Horizontalen an. Es ist möglich die Abweichung der Wirkungslinie von der Horizontalen durch einen Winkel zu bestimmen. In der obigen ...
  2. Darstellung der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Darstellung der Kraft
    Kraft F auf Box
    ... Vertikalkraft liegt dabei auf derselben Wirkungslinie, wie die nach unten gerichtete Vertikalkraft. Auf der Wirkungslinie selber kann die Kraft dann beliebig verschoben werden. Für die untere Box wurde die Kraft dann soweit nach unten verschoben, dass diese an der Boxunterseite angreift.Kraft F auf Box, WirkungslinieDie obige Darstellung wurde gewählt, weil bei der Berechnung von unbekannten Kräfte mittels der Gleichgewichtsbedingungen manchmal negative Werte resultieren. Ist dies ...
  3. Zentrales Kräftesystem
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Zentrales Kräftesystem
    Krfte sind linienflchtig
    ... Punkt angreifen, sondern dass sich ihre Wirkungslinien zumindest in einem Punkt schneiden. Kräfte können entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden und gelten somit als linienflüchtig.Die folgenden Abschnitte behandeln Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt. Das bedeutet, dass sich die Kräfte bzw. deren Wirkungslinien alle in einem Punkt schneiden. Kräfte sind linienflüchtigIn den folgenden Kapiteln werden Kräfte, die in einer Ebene liegen, als ...
  4. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    ... gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten Kräfte unter Berücksichtigung ihrer Richtung, zu sehen. Beide Varianten ergeben dieselbe Resultierende. Durch das Kommutativgesetz ist es möglich, die Kräfte in verschiedenen Kombinationen aneinander zu reihen, um die Resultierende zu erhalten. In der Grafik wurden zur Veranschaulichung ...
  5. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Krfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    ... zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie und ist ihre Orientierung gleich, so kann man den Betrag der Resultierenden durch Addition ihrer Beträge ermitteln:$R = F_1 + F_2$Addition von KräftenDie Richtung der Resultierenden entspricht dann der Richtung der beiden Kräfte. In diesem Fall zeigt die Resultierende nach unten und greift in dem gemeinsamen Angriffspunkt an.Besitzen zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie, ist ihre Orientierung aber entgegengesetzt, so ...
  6. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Rechtwinklige berlagerung Resultierende
    ... zwei Kräfte unterschiedliche Wirkungslinien und unterschiedliche Richtungen, kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Rechtwinklinge Überlagerung zweier KräfteIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit$R = ...
  7. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Resultierende
    ... und $F_{3x}$. Diese besitzen dieselbe Wirkungslinie (siehe Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie). Die Beträge dieser können durch Addition (bei gleicher Richtung) bzw. Subtraktion (bei entgegengesetzter Richtung) zusammengefasst werden zu einer Resultierenden $R_x$ (gleiches gilt für die $y$-Achse). Erfolgt die Berechnung mit den Winkeln zur positiven $x$-Achse, dann besitzen die Kräfte bereits ihre Vorzeichen und es erfolgt eine Addition (siehe obiges Beispiel).Berechnung ...
  8. Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Krftegleichgewicht zweier Krfte
    ... wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie liegen, einen entgegengesetzten Richtungssinn aufweisen und den gleichen Betrag besitzen.Zwei Kräfte $ F_1 $ und $ F_2 $ wirken auf einen Körper. Aus Messungen ist bekannt, dass $ F_1 = -4 N $ und $ F_2 = 4 N $ beträgt. Beide Kräfte liegen auf der gleichen Wirkungslinie und wirken entgegengesetzt. Die Resultierende $ R $ von den beiden Kräften ist:$ R = F_1 + F_2 = 4 N + (-4) N = 0 \rightarrow $ Da die Summe der Kräfte ...
  9. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... einzelnen Kräfte über ihre Wirkungslinien in genau den Punkt zu verschieben, in dem sich alle Wirkungslinien schneiden. Für die Zusammenfassung dieser Kräfte zu einer Resultierenden und die Angabe der Richtung über den Winkel $\alpha$ wurden die folgenden Gleichungen herangezogen:$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$          Betrag der Resultierenden$\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$Die Resultierende lag dann ...
  10. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... Weg $a_1$ entlang, dann erreicht die Wirkungslinie von $F_1$ die Resultierende. Diese Tatsache ermöglicht die Verwendung des Hebelgesetzes von Archimedes. Dieses Gesetz besagt, dass sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet, wenn für parallele Kräfte gilt: Die Summe aller Drehmomente in eine Richtung ist gleich der Summe aller Drehmomente in die entgegengesetzte Richtung. Im obigen Beispiel ist: $ a_1 F_1 = a_2 F_2 $ oder$a_1 F_1 = (h - a_1) F_2$ bzw. ...
  11. Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Schraubenzieher und Schraube
    ... mit gleichem Betrag auf zwei parallelen Wirkungslinien liegen und einen entgegengesetzten Wirkungssinn haben. Kräftepaar: Schraubenzieher und SchraubeIn der obigen Grafik ist eine Schraube zu sehen. Diese wird mit einem Schraubendreher befestigt (Richtung Uhrzeigersinn). Die Kraft, die der Schraubendreher auf die Schraube ausübt, ist im 1. Teil der Grafik zu sehen. Dadurch dreht sich die Schraube. Die Kraft, die die Schraube dabei auf den Schraubendreher ausübt, ist im 2. Teil ...
  12. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten 3
    ... zu sich selbst verschoben wird, bis die Wirkungslinie von $F_1$ den Bezugspunkt $A$ schneidet. Es ist deutlich zu erkennen, dass $F_1$ mit dem Abstand $l$ parallel zu sich selbst verschoben werden muss, damit die Wirkungslinie (blau) den Punkt $A$ schneidet. Es gilt nun den Abstand $l$ zu berechnen. Dazu wird das linke Teildreieck mit der Höhe $a$ und der Breite $a$ betrachtet. Die Seite $l$ kann dann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:$l = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \; ...
  13. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Beispiel: Resultierende ebener Krftegruppen
    ... 0$ : In diesem Fall ist $h = 0$ und die Wirkungslinie der Resultierenden schneidet den Bezugspunkt $ X$ und es existieren keine Momente.2. $ R = 0 $ und $ M_R^{(X)} \not= 0$: In diesem Fall liegen nur Momente vor und die Wahl des Bezugspunktes ist nicht mehr bedeutend für die Wirkweise der Momente.  Anwendungsbeispiel: Resultierende ebener KräftegruppenBeispiel: Resultierende ebener KräftegruppenGegeben sei ein gleichseitiges Sechseck, welches durch vier Kräfte ...
  14. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel Gleichgewicht
    ... gewählt, weil sich dieser auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ befindet. Das ist bei der späteren Berechnung einfacher, da der Hebelarm der Kraft $F_1$ somit null ist und in der Berechnung des Momentengleichgewichts nicht auftaucht (alternativ hätte man auch $F_2$ oder $F_L$ wählen können).Die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erfolgt durch:$\uparrow : F_L - F_1 - F_2 = 0$       (alternativ: $ \downarrow : -F_L + F_1 + F_2$)Erläuterung: ...
  15. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Balkenzug Seilkraft bestimmen
    ... der Momentenberechnung heraus, weil die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert. (3) $\curvearrowleft{B} :  -G \cdot r  + S_3 \cdot r + M = 0$Aus (2) kann die Stabkraft $S_1$ bestimmt werden:$S_1 = \frac{G}{\sin(45°)}$mit $G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 98,1 N$ ergibt sich:$S_1 = \frac{98,1 N}{\sin(45°)} = 138,73 N$Aus (3) kann dann $S_3$ bestimmt werden:$S_3 = G - \frac{M}{r} $mit $G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} ...
  16. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum - Koordinatensystem
    ... sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden. Kräfte im Raum - KoordinatensystemBerechnung der Teilresultierenden$R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg)$= -F_1 - F_3 = -5 - 10 = -15 N$   $R_y = F_5 + F_6 = 30 N$$R_z = F_2 - F_4 = 5 N$Betrag der Resultierenden$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} = \sqrt{(-15)^2 + 30^2 + 5^2} = \sqrt{1150} ...
  17. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkt im Raum
    ... Resultierenden direkt entgegen (gleiche Wirkungslinie, aber entgegengesetzte Richtung): $\ H = -R $Die Resultierende ist wie bereits gelernt die Zusammenfassung aller Kräfte. In diesem Abschnitt werden parallele Kräfte betrachtet. Die Resultierende hat demnach die gleiche Richtung wie die Kräfte. Die Haltekraft setzt sich der Resultierenden Kraft entgegen mit gleichem Betrag, aber in entgegengesetzter Richtung. Denn erst dann besitzt der Balken ein statisches Gleichgewicht. ...
  18. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt Kreisausschnitt
    Linienschwerpunkte konzentrieren sich, anders als Flächenschwerpunkte, auf die Berechnung des Schwerpunktes der LINIE. Das bedeutet zum Beispiel bei einem Kreisausschnitt, dass nicht die gesamte Fläche dieses Kreisausschnittes betrachtet wird, sondern nur der Kreisbogen. Die Berechnung eines Linienschwerpunktes gleicht der Berechnung des Schwerpunktes einer Fläche.Hierzu substituiert man einfach:$ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA $ [Fläche]   $\rightarrow$(1) $x_s = \frac{1}{l} ...
  19. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... Abstand zum Bezugspunkt. Schneidet die Wirkungslinie einer Kraft bereits den Bezugspunkt, so existiert kein Hebelarm und damit auch kein Moment für diese Kraft. Außerdem ist die Richtung der Drehung zu berücksichtigen. Für Drehungen des Körpers um den Bezugspunkt entgegen des Uhrzeigersinns wird ein positives Vorzeichen gewählt, ansonsten ein negatives.MomentengleichgewichtsbedingungDer Bezugspunkt wird bei $A$ gesetzt, um die Lagerreaktion $B$ zu berechnen:$\curvearrowleft ...
  20. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... vorgegangen: alle Kräfte, dessen Wirkungslinie bereits die rote $x$-Achse schneiden, werden nicht weiter berücksichtigt, da diese Kräfte keinen Hebelarm bezüglich der $x$-Achse aufweisen. Außerdem werden alle Kräfte, die in $x$-Richtung zeigen vernachlässigt, da diese nicht um die $x$-Achse drehen können. Alle anderen Kräfte werden mit ihrem Hebelarm berücksichtigt. Der Hebelarm ist dabei der senkrechte Abstand der betrachteten Kraft hin zur ...
  21. Aufbau eines Fachwerks
    Fachwerke > Aufbau eines Fachwerks
    1. Bildungsgesetz
    ... Stäbe dürfen nicht auf einer Wirkungslinie liegen!Diese Vorgehensweise lässt sich beliebig oft wiederholen. Ein Fachwerk, welches nach diesem Muster aufgebaut ist, heißt einfaches Fachwerk. Hier gilt die bereits bekannt Beziehung:$2 k = r + s $Fügt man in den weiteren Schritten jeweils zwei Stäbe (s) zu einem vorhandenen Dreieck hinzu, so erhöht sich die Anzahl der Knoten (k) um eins. Die obige Beziehung bleibt also bestehen. Es treten bei einem solchen ...
  22. 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Knotenpunktverfahren Beispiel
    ... Lagerkräfte $A$ angreifen. Da die Wirkungslinien der Lagerkräfte $A_v$ und $A_h$ den Knoten schneiden, werden diese bei der Momentenberechnung nicht berücksichtigt und es ist möglich die Lagerkraft $B$ zu berechnen:$\curvearrowleft : M_1 = -F_1 \cdot 4m - F_2 \cdot 2m + B \cdot 12m = 0$$0 = -20 \cdot 4m - 10 \cdot 2m + B \cdot 12m$$B = 8,33 kN$.Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, so wird die Kraft mit einem negativen Vorzeichen versehen, ansonsten mit einem positiven. Als ...
  23. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Nummerierung der Knoten
    ... Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden:Winkel berechnenGleichgewichtsbedingungen Knoten 1Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt:Knoten 1$\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$$ 11,67 kN + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$$S_{14} = -26,09 kN$.$\rightarrow :  A_h + S_{12} ...
  24. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Berechnung der Stbe
    ... zum Bezugspunkt (Schnitt mit der Wirkungslinie).Um die Lagerkraft $A$ zu berechnen, wird als Bezugspunkt der Knoten $K_3$ gewählt, da hier die Lagerkraft $B$ nicht mit eingeht. Da es sich hierbei um ein Festlager handelt, wirkt eine horizontale $A_h$ und eine vertikale $A_v$ Lagerkraft:$M_{K_3} = F_2 \cdot 2m + F_1 \cdot 6m - A_v \cdot 8 m = 0 $$0 = 20 \cdot 2m + 12 \cdot 6m - A \cdot 8 m$$A_v = 14 kN$Zur Berechnung von $A_h$ kann die Gleichgewichtsbedingung für die horizontalen ...
  25. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Ritterschnittverfahren Beispiel
    ... Momentengleichgewicht herausfallen. Die Wirkungslinie dieser Stäbe schneidet nämlich den Bezugspunkt und somit existiert kein Hebelarm. Es kann demnach aus den äußeren Kräften die Stabkraft $S_3$ bestimmt werden.Es wird zur Probe die Momentengleichgewichtsbedingungen des rechten Teilbalkens herangezogen, ebenfalls bezüglich des roten Bezugspunktes:$\curvearrowleft : B \cdot 12,5 m - S_3 \cdot 8m = 0$$S_3 = \frac{B \cdot 12,5 m}{8 m} = \frac{9,5 N \cdot 12,5 m}{8 ...
  26. Grafische Verfahren
    Grafische Verfahren
    ... einer vierten Kraft gegeben ist und die Wirkungslinien der drei unbekannten Kräfte.Cremona-Plan Der Cremona-Plan wird verwendet, um unbekannte Stabkräfte (z.B. eines Fachwerks) zu bestimmen. Voraussetzung für den Cremona-Plan ist die Kenntnis des Culmann-Verfahrens.
  27. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren grafische Vektoraddition
    ... als Pol bezeichnet und liegt auf der Wirkungslinie der Resultierenden.Im Nachfolgenden wird das Seileckverfahren anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt.Beispiel: SeileckverfahrenBeispiel: SeileckverfahrenGegeben seien die obigen vier Kräfte. Die Größe der Kräfte entspreche ihren Abmessungen. Bestimme die Lage der Resultierenden $R$!Wichtig ist zunächst die Größe der gegebenen Einzelkräfte den Abmessungen entsprechend anzupassen. In diesem ...
  28. Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren Kraftplan
    ... vier Kräfte gegeben sein. Die Wirkungslinien dieser Kräfte müssen vorgegeben sein sowie die Größe einer dieser Kräfte.  Das Culmann-Verfahren kann nicht angewendet werden, wenn sich alle vier Wirkungslinien in einen Punkt schneiden, da in diesem Fall die Culmann-Gerade zum Punkt wird.Im Folgenden soll die Anwendung des Culmann-Verfahrens zur Bestimmung der Größe und Richtung für drei unbekannte Kräfte aufgezeigt werden:Beispiel: Culmann-VerfahrenIn ...
  29. Resultierende mittels Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Resultierende mittels Seileckverfahren
    Seileckverfahren Resultierende
    ... (Fachwerk) betrachtet. Die Wirkungslinien der Kräfte $F_1$ bis $F_3$ werden verlängert eingezeichnet und die Polstrahlen übertragen.Begonnen wird mit dem Polstrahl $0$, welcher die Kraft $F_1$ berührt. Demnach muss dieser Polstrahl $0$ auf einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ abgetragen werden.Der Polstrahl $1$ berührt die Kraft $F_1$ und die Kraft $F_2$. Dieser Polstrahl beginnt also auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ (in dem bereits ...
  30. Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren Wirkungslinien Kraftplan
    ... sind 3 unbekannte Kräfte, deren Wirkungslinie gegeben sind und eine Kraft die mit Betrag und Richtung gegeben ist.Die aus dem Seileckverfahren ermittelte Resultierende ist mit Betrag (bzw. Länge) und Richtung gegegen. Die drei unbekannten Lagerkräfte sind mit ihren Wirkungslinien gegeben. Das Culmann-Verfahren kann hier also angewandt werden. Wir betrachten das Fachwerk und lösen dieses von den Lagern. Anstelle der drei Kräfte $F_1$ bis $F_3$ wird die Resultierende ...
  31. Cremonaplan aufstellen
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Cremonaplan aufstellen
    Cremonaplan Krafteck Knoten III
    ... vorangegangenen Kraft $B$ wird nun die Wirkungslinie der Stabkraft $2$ als Gerade (ohne Größe) abgetragen. Danach trifft man auf die Stabkraft $6$ und trägt diese ebenfalls mit ihrer Wirkungslinie ab. Da die Stabkraft $6$ das Krafteck schließen muss, geht sie durch den Anfangspunkt der Auflagerkraft $B$. Das Krafteck $B-2-6$ ist damit gegeben und die Richtungen und Längen der Stabkräfte $2$ und $6$. Dabei muss der Umlaufsinn beibehalten werden: Die Spitze einer ...
  32. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Faser und Achsen
    ... jedes Tragwerkteil eine gestrichelte Linie, welche direkt unterhalb des Tragwerkteils eingezeichnet wird. Diese Linie nennt man "gestrichelte Faser". Diese Faser dient zur Orientierung. So verläuft die x-Achse immer entlang dieser Faser und die z-Achse senkrecht zur gestrichelten Seite dieser Faser. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine eindeutige Schnittgrößenfestlegung.  Faser und Achsen
  33. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken
    ... Darstellung durch die Schnittgrößenlinie. Schnitte am ebenen Balken sind immer dann notwendig, wenn Belastungswechsel (Unstetigkeiten) auftreten. Hierbei unterscheidet man zwischen statischen und geometrischen Unstetigkeiten. Statische Unstetigkeiten - Einzellasten,- Knicke in Streckenlasten.Geometrische Unstetigkeiten- Knicke der Balkenachse,- Verbindungselemente [wie beispielsweise Gelenke].Die oben genannte Vorgehensweise wird im Folgenden anhand eines Beispiels und ...
  34. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgren am Rahmen Punkte
    ... verläuft parallel zur gestrichelten Linie (so wie die Normalkraft). Das bedeutet mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung lässt sich die Normalkraft ermitteln:$ \rightarrow : N_1 = 0$Mittels der vertikalen Gleichgewichtskraft lässt sich die Querkraft berechnen:$\uparrow : -Q_1 - F = 0 \rightarrow Q_1 = -F$Mittels des Momentengleichgewichts (Bezugspunkt ist der Schnitt) lässt sich das Biegemoment berechnen:$\stackrel{\curvearrowleft}{P1}: M_1 = 0$Bestimmung der ...
  35. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    Biegemoment am Bogen
    ... wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen sehen wie folgt aus:Pfeil nach rechts oben ($x$-Achse):$N + A_v \cdot \sin (55°) + A_h \cdot \sin (35°) = 0$$N =  -A_v \cdot \sin (55°) - A_h \cdot \sin (35°)$$N = \frac{2}{3}F \sin ...
  36. Föppl-Klammer
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Föppl-Klammer
    Fppl-Klammer Beispiel Schnittgren
    ... wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie von $A_h$ den Bezugspunkt schneidet und damit kein Hebelarm existiert.$M = A_v \cdot x = 13,03 N \cdot x$2. Schnitt (zwischen $F$ und $M$):$\curvearrowleft : M - A_v \cdot x + F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1)= 0$$A_h$ und $F \cos(\alpha)$ werden nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert.$M = A_v \cdot x - F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1) = 13,03 N \cdot x - 20 N \sin(50°) ...
Technische Mechanik 1: Statik
  • 83 Texte mit 643 Bildern
  • 158 Übungsaufgaben
  • und 21 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$. Bestimme den Gradienten der Funktion $\ f (x,y) = x^2 \cdot y^2$ an der ...
  2. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. es wird zur Darstellung mehr als eine Funktion benötigt. Damit für die Darstellung von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben.Implizite DarstellungBei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. ...
  3. Höhen- und Schnittlinien
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
    2D Ansicht einer Kugel
    ... $[y=0]$ ist : $\ z = \frac{1}{x^2} $HöhenlinienEine Höhenlinie (oder auch Niveaulinie genannt) stellt die Menge aller Punkte $\ P $ dar, die denselben Funktionswert besitzen. Das heißt, zu einer Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche $Z$ – Wert zugeordnet wird. d.h. für die gilt :$z = f(x,y) = c $. Um die Niveaulinien zu ermitteln setzt man den Wert $c$ konstant, also die Höhe. Man sieht dann von oben auf die Funktion. Jeder ...
  4. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... sind Kurven in der Ebene, entlang derer alle Linienelemente die gleiche Steigung besitzen. Dies bedeutet dass alle Punkte, deren Vektoren in die gleiche Richtung zeigen mit einer Linie (Isokline) verbunden werden könne.Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch$\ f(x,y) = const $ .In der folgenden Grafik wurden einige Isoklinen in das Richtungsfeld eingezeichnet.Isoklinen (blau)Zur Wahrung der Übersicht, ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
  • 55 Texte mit 48 Bildern
  • 79 Übungsaufgaben
  • und 10 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Baustatik 1

  1. Zerlegung in statisch bestimmte Systeme
    Kraftgrößenverfahren (KGV) > Anwendung des Kraftgrößenverfahrens > Zerlegung in statisch bestimmte Systeme
    Polplan statisch bestimmtes Hauptsystem Kraftgrenverfahren
    ... das Loslager (geometrischer Ort). Die Wirkungslinie des Loslagers ist immer senkrecht zur Verschiebung des Lagers gegeben. Die Wirkungslinie des Loslagers schneidet nicht den Hauptpol -> Widerspruch im Polplan und damit ist das System nicht kinematisch:Überprüfung der VerschieblichkeitWir haben also auch nach der hinreichenden Bedingung ein statisch bestimmtes und nicht kinematisches System gegeben, welches für die Anwendung des Kraftgrößenverfahrens zulässig ...
  2. Schnittgrößen am 0-System
    Kraftgrößenverfahren (KGV) > Anwendung des Kraftgrößenverfahrens > Schnittgrößen am 0-System
    Kraftgrenverfahren Hauptsystem Schnittgren
    ... Null, weil keine Momente auftreten. Die Wirkungslinie der Lagerkraft $A_v$ schneidet den Bezugspunkt. Für diese Kraft existiert demnach kein senkrechter Abstand zum Bezugspunkt und damit auch kein Hebelarm. Schnittgrößen-Bereich 2Mit Berücksichtigung der gestrichelten Faser ergibt sich:0-System: Bereich 2 Die $x$-Achse beginnt im Punkt $C$. Für den 2. Bereich $0 \le x \le 4m$ gilt dann:$\uparrow : -Q + A_v - q \cdot x = 0$-> $Q = -q \cdot x + A_v = -10 ...
  3. Schnittgrößen am Ausgangssystem
    Kraftgrößenverfahren (KGV) > Anwendung des Kraftgrößenverfahrens > Schnittgrößen am Ausgangssystem
    Schnittgrenverlufe - Ausgangssystem
    ... - AusgangssystemBei der Momentenlinie ist das Maximum der Parabel bei $M_{max} = 8,9$ und einem $x$-Wert von $x = 2,67m$ gegeben.Berechnet wird dies, indem die 1. Ableitung des Momentenverlaufs (Bereich 2) gleich Null gesetzt wird:$ \frac{dM}{dx} = 0$$-10x + 26,667 = 0$Nach $x$ auflösen:$x = 2,6667 \approx 2,67$Das Maximum erhält man dann durch Einsetzen in den Momentenverlauf:$M_{max} (2,67)  = -5 \cdot (2,67)^2 + 26,667 \cdot 2,67 - 26,668$$M_{max} (2,67)  ...
Bitte Beschreibung eingeben
  • 76 Texte mit 452 Bildern
  • 126 Übungsaufgaben
  • und 10 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$                      Es wurde hier nun der Index $B$ eingeführt, um zu zeigen, dass es sich bei dieser Gleichung nur um den ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
  • 109 Texte mit 434 Bildern
  • 139 Übungsaufgaben
  • und 17 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analysis und Lineare Algebra

  1. Identische Geraden
    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Identische Geraden
    identische Geraden
    ... identisch, wenn beide auf derselben Wirkungslinie liegen, also $h = g$ gilt:$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$$h: \vec{x} = \vec{b} + s \cdot \vec{u}$Bedingungen für identische Geraden:1. Die Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{u}$ sind Vielfache voneinander (kollinear).2. Der Stützvektor der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt ...
Analysis und Lineare Algebra
  • 125 Texte mit 157 Bildern
  • 214 Übungsaufgaben
  • und 22 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Strömungslehre

  1. Drallsatz (Impulsmomentensatz)
    Impulssatz und Drallsatz > Drallsatz (Impulsmomentensatz)
    Drallsatz Beispiel
    ... $A_v$ aus der Berechnung raus, da die Wirkungslinien bereits den Bezugspunkt $A$ schneiden und es kann die Lagerkraft $B$ berechnet werden. Liegt der Bezugspunkt bei $B$, so fällt $B$ aus der Berechnung heraus und es kann $A_v$ berechnet werden ($A_H$ schneidet die Wirkungslinie des Bezugspunktes bei $B$, fällt also raus). Der Bezugspunkt wird nun bei $A$ gelegt. Es müssen nun alle Kräfte berücksichtigt werden, dessen Wirkungslinie nicht diesen Punkt schneidet. Die Stützkraft ...
Strmungslehre
  • 62 Texte mit 172 Bildern
  • 102 Übungsaufgaben
  • und 14 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Maschinenelemente 1

  1. Wöhler-Kurve und Smith-Diagramm
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Beanspruchungsfälle und Werkstoffkennwerte > Wöhler-Kurve und Smith-Diagramm
    Stodmpfer und Federn sind dynamischen Beanspruchungen ausgesetzt
    ... nach ihm benannte Wöhlerkurve/Wöhlerlinie.Im Wöhlerversuch wird untersucht wie viele Lastwechsel/Schwingspiele für eine bestimmte Lastamplitude eines Bauteils zulässig sind, bevor der Bruch des Bauteils eintritt. Die Vorgaben für den Versuchsablauf sind in DIN 50100 geregelt.Die Bauteile werden unter einer sinusförmigen Beanspruchungs-Zeit-Funktion belastet. Für die Durchführung werden Hochfrequenzpulsatoren genutzt.Die Ermittlung der Werkstoffkennwerte ...
Maschinenelemente 1
  • 75 Texte mit 363 Bildern
  • 119 Übungsaufgaben
  • und 4 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Baustofftechnik 1

  1. Spannungs-Dehnungslinien, Spannungs-Dehnungs-Diagramm
    Stoffeigenschaften im Bauwesen > Mechanische Eigenschaften von Baustoffen > Spannungs-Dehnungslinien, Spannungs-Dehnungs-Diagramm
    Verfestigung-Entfestigung
    ... bezeichnet man als Spannungs-Dehnungslinie oder umfassender als Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Nachfolgend stellen wir dir die typischen Spannungs-Dehnungs-Linien für unterschiedliche Baustoffverhalten vor:Elastisches Baustoffverhalten1. Linear-elastisches Baustoffverhaltenlinear-elastisches Verhalten Formal beschrieben wird dieses Verhalten mit dem Hooke'schen Gesetz:Hooke'sches Gesetz: $ \sigma = E \cdot \varepsilon $mit dem baustoffabhängigen Elastizitätsmodul: ...
Bitte Beschreibung eingeben
  • 76 Texte mit 174 Bildern
  • 222 Übungsaufgaben
  • und 16 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG