Technische Mechanik 1: Statik

  1. Eigenschaften der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Eigenschaften der Kraft
    Eigenschaften der Kraft
    ... sich die Richtung der Kraft durch ihre Wirkungslinie und den Richtungssinn auf dieser. Wirkungslinie und Richtungssinn In der obigen Grafik ist die Wirkungslinie $f$ der Kraft $F$ zu sehen. Es ist möglich die Abweichung der Wirkungslinie von der Horizontalen durch einen Winkel zu bestimmen. Der Richtungssinn ist durch den Pfeil gegeben. $G$ ist die Gewichtskraft, die durch die Schwerkraft senkrecht nach unten gezogen wird. Angriffspunkt Zuletzt erfolgt die Beschreibung des Angriffspunkts. ...
  2. Darstellung der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Darstellung der Kraft
    Darstellung der Kraft
    ... Vertikalkraft liegt dabei auf derselben Wirkungslinie, wie die nach unten gerichtete Vertikalkraft. Auf der Wirkungslinie selber kann die Kraft dann beliebig verschoben werden. Für die untere Box wurde die Kraft dann soweit nach unten verschoben, dass diese an der Boxunterseite angreift. Kraft F auf Box, Wirkungslinie Die obige Darstellung wurde gewählt, weil bei der Berechnung von unbekannten Kräfte mittels der Gleichgewichtsbedingungen manchmal negative Werte resultieren. Dann weiß ...
  3. Zentrales Kräftesystem
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Zentrales Kräftesystem
    Zentrales Kräftesystem
    ... Punkt angreifen, sondern dass sich ihre Wirkungslinien zumindest in einem Punkt schneiden. Es ist hierbei wichtig zu wissen, dass Kräfte entlang ihrer Wirkungslinie hin zu ihrem Schnittpunkt verschoben werden dürfen und somit als linienflüchtig gelten.  Die folgenden Abschnitte behandeln Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt. Das bedeutet, dass sich die Kräfte bzw. deren Wirkungslinien ALLE in einem Punkt schneiden.  Kräfte sind linienflüchtig In den folgenden Kapiteln ...
  4. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    ... gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten Kräfte unter Berücksichtigung ihrer Richtung, zu sehen. Beide Varianten ergeben dieselbe Resultierende. Durch das Kommutativgesetz ist es möglich, die Kräfte in verschiedenen Kombinationen aneinander zu reihen, um die Resultierende zu erhalten. In der Grafik wurden zur Veranschaulichung zwei Varianten ausgewählt...
  5. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Besitzen zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie und ist ihre Orientierung gleich, so kann man den Betrag der Resultierenden durch Addition ihrer Beträge ermitteln: $R = F_1 + F_2$ Addition von Kräften Die Richtung der Resultierenden entspricht dann der Richtung der beiden Kräfte. In diesem Fall zeigt die Resultierende nach unten und greift in dem gemeinsamen Angriffspunkt an. Besitzen zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie, ist ihre Orientierung aber entgegengesetzt, so kann man ...
  6. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Besitzen zwei Kräfte unterschiedliche Wirkungslinien und unterschiedliche Richtungen, kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden.  WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden. Rechtwinklinge Überlagerung In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$                 ...
  7. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    ... und $F_{3x}$. Diese besitzen dieselbe Wirkungslinie (siehe Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie). Die Beträge dieser können durch Addition (bei gleicher Richtung) bzw. Subtraktion (bei entgegengesetzter Richtung) zusammengefasst werden zu einer Resultierenden $R_x$ (gleiches gilt für die $y$-Achse). Erfolgt die Berechnung nicht mit den Beträgen, sondern mit der Kraft $\textbf{F}$, dann besitzen die Kräfte bereits ihre Vorzeichen und es erfolgt eine Addition (siehe obiges Beispiel). Berechnung ...
  8. Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    ... wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie liegen, einen entgegengesetzten Richtungssinn aufweisen und den gleichen Betrag besitzen. Zwei Kräfte $ F_1 $ und $ F_2 $ wirken auf einen Körper. Aus Messungen ist bekannt, dass $ F_1 = -4 N $ und $ F_2 = 4 N $ beträgt. Beide Kräfte liegen auf der gleichen Wirkungslinie und wirken entgegengesetzt. Die Resultierende $ R $ von den beiden Kräften ist:$ R = F_1 + F_2 = 4 N + (-4) N = 0 \rightarrow $ Da die Summe der Kräfte gleich null ist, ...
  9. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... die einzelnen Kräfte über ihre Wirkungslinien auf genau den Punkt zu verschieben, in dem sich alle Wirkungslinien schneiden. Die Bestimmung des Betrags der Resultierenden und der Richtung der Resultierenden konnte dann mit den folgenden Formeln erfolgen: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$          Betrag der Resultierenden $\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$ Die Resultierende lag dann im gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte. In diesem Kapitel tritt nun ...
  10. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    ... Weg $a_1$ entlang, dann erreicht die Wirkungslinie von $F_1$ die Resultierende. Diese Tatsache ermöglicht die Verwendung des Hebelgesetzes von Archimedes. Dieses Gesetz besagt, dass sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet, wenn für parallele Kräfte gilt: Die Summe aller Drehmomente in eine Richtung ist gleich der Summe aller Drehmomente in die entgegengesetzte Richtung. Im obigen Beispiel ist:  $ a_1 F_1 = a_2 F_2 $  oder $a_1 F_1 = (h - a_1) F_2$ bzw. $(h - a_2) F_1 = a_2 F_2$ Durch ...
  11. Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    ... mit gleichem Betrag auf zwei parallelen Wirkungslinien liegen und einen entgegengesetzten Wirkungssinn haben.  Kräftepaar: Schraubenzieher und Schraube In der obigen Grafik ist eine Schraube zu sehen. Diese wird mit einem Schraubendreher befestigt (Richtung Uhrzeigersinn). Die Kraft, die der Schraubendreher auf die Schraube ausübt, ist im 1. Teil der Grafik zu sehen. Dadurch dreht sich die Schraube. Die Kraft, die die Schraube dabei auf den Schraubendreher ausübt, ist im 2. Teil der Grafik ...
  12. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... zu sich selbst verschoben wird, bis die Wirkungslinie von $F_1$ den Bezugspunkt $A$ schneidet.  Es ist deutlich zu erkennen, dass $F_1$ mit dem Abstand $l$ parallel zu sich selbst verschoben werden muss, damit die Wirkungslinie (blau) den Punkt $A$ schneidet. Es gilt nun den Abstand $l$ zu berechnen. Dazu wird das linke Teildreieck mit der Höhe $a$ und der Breite $a$ betrachtet. Die Seite $l$ kann dann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden: $l = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \; a$. Als ...
  13. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Resultierende ebener Kräftegruppen
    ... 0$ : In diesem Fall ist $h = 0$ und die Wirkungslinie der Resultierenden schneidet den Bezugspunkt $ X$ und es existieren keine Momente. 2. $ R = 0 $ und $ M_R^{(X)} \not= 0$: In diesem Fall liegen nur Momente vor und die Wahl des Bezugspunktes ist nicht mehr bedeutend für die Wirkweise der Momente.  Anwendungsbeispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen Beispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen Gegeben sei ein gleichseitiges Sechseck, welches durch vier Kräfte $F_1$ und $F_2$ ...
  14. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    ... gewählt, weil sich dieser auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ befindet. Das ist bei der späteren Berechnung einfacher, da der Hebelarm der Kraft $F_1$ somit null ist und in der Berechnung des Momentengleichgewichts nicht auftaucht (alternativ hätte man auch $F_2$ oder $F_L$ wählen können). Die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erfolgt durch: $\uparrow : F_L - F_1 - F_2 = 0$       (alternativ: $ \downarrow : -F_L + F_1 + F_2$) Erläuterung: Bei $\uparrow$ sind alle Kräfte ...
  15. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    ... sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden.  Kräfte im Raum - Koordinatensystem Berechnung der Teilresultierenden $R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg) $= -F_1 - F_3 = -5 - 10 = -15 N$    $R_y = F_5 + F_6 = 30 N$ $R_z = F_2 - F_4 = 5 N$ Betrag der Resultierenden $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} = \sqrt{(-15)^2 + 30^2 + 5^2} = \sqrt{1150} = 33,91 N$ Berechnung ...
  16. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Einzelne parallele Kräfte
    ... Resultierenden direkt entgegen (gleiche Wirkungslinie, aber entgegengesetzte Richtung):  $\ H = -R $ Die Resultierende ist wie bereits gelernt die Zusammenfassung aller Kräfte. In diesem Abschnitt werden parallele Kräfte betrachtet. Die Resultierende hat demnach die gleiche Richtung wie die Kräfte. Die Haltekraft setzt sich der Resultierenden Kraft entgegen mit gleichem Betrag, aber in entgegengesetzter Richtung. Denn erst dann besitzt der Balken ein statisches Gleichgewicht. Die Haltekraft ...
  17. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkte konzentrieren sich, anders als Flächenschwerpunkte, auf die Berechnung des Schwerpunktes der LINIE. Das bedeutet zum Beispiel bei einem Kreisausschnitt, dass nicht die gesamte Fläche dieses Kreisausschnittes betrachtet wird, sondern nur der Kreisbogen. Die Berechnung eines Linienschwerpunktes gleicht der Berechnung des Schwerpunktes einer Fläche. Hierzu substituiert man einfach: $ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA $ [Fläche]   $\rightarrow$ (1) $x_s = \frac{1}{l} \int x ...
  18. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    ... Abstand zum Bezugspunkt. Schneidet die Wirkungslinie einer Kraft bereits den Bezugspunkt, so existiert kein Hebelarm und damit auch kein Moment für diese Kraft. Außerdem ist die Richtung der Drehung zu berücksichtigen. Für Drehungen des Körpers um den Bezugspunkt entgegen des Uhrzeigersinns wird ein positives Vorzeichen gewählt, ansonsten ein negatives. Momentengleichgewichtsbedingung Der Bezugspunkt wird bei $A$ gesetzt, um die Lagerreaktion $B$ zu berechnen: $\curvearrowleft M^{(A)} ...
  19. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    ... folgt vorgegangen: alle Kräfte, dessen Wirkungslinie bereits die rote $x$-Achse schneiden, werden nicht weiter berücksichtigt, da diese Kräfte keinen Hebelarm bezüglich der $x$-Achse aufweisen. Außerdem werden alle Kräfte, die in $x$-Richtung zeigen vernachlässigt, da diese nicht um die $x$-Achse drehen können. Alle anderen Kräfte werden mit ihrem Hebelarm berücksichtigt. Der Hebelarm ist dabei der senkrechte Abstand der betrachteten Kraft hin zur $x$-Achse. Die Kraft wird also solange ...
  20. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    ... zum Bezugspunkt (Schnitt mit der Wirkungslinie). Um die Lagerkraft $A$ zu berechnen, wird als Bezugspunkt der Knoten $K_3$ gewählt, da hier die Lagerkraft $B$ nicht mit eingeht. Da es sich hierbei um ein Festlager handelt, wirkt eine horizontale $A_h$ und eine vertikale $A_v$ Lagerkraft: $M_{K_3} = F_2 \cdot 2m + F_1 \cdot 6m - A_v \cdot 8 m = 0 $ $0 = 20 \cdot 2m + 12 \cdot 6m - A \cdot 8 m$ $A_v = 14 kN$ Zur Berechnung von $A_h$ kann die Gleichgewichtsbedingung für die horizontalen ...
  21. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    ... Momentengleichgewicht herausfallen. Die Wirkungslinie dieser Stäbe schneidet nämlich den Bezugspunkt und somit existiert kein Hebelarm. Es kann demnach aus den äußeren Kräften die Stabkraft $S_3$ bestimmt werden. Es wird zur Probe die Momentengleichgewichtsbedingungen des rechten Teilbalkens herangezogen, ebenfalls bezüglich des roten Bezugspunktes: $\curvearrowleft : B \cdot 12,5 m - S_3 \cdot 8m = 0$ $S_3 = \frac{B \cdot 12,5 m}{8 m} = \frac{9,5 N \cdot 12,5 m}{8 m} = 14,84 N$. Die ...
  22. 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    ... die Lagerkräfte $A$ angreifen. Da die Wirkungslinien der Lagerkräfte $A_v$ und $A_h$ den Knoten schneiden, werden diese bei der Momentenberechnung nicht berücksichtigt und es ist möglich die Lagerkraft $B$ zu berechnen: $\curvearrowleft : M_1 = -F_1 \cdot 4m - F_2 \cdot 2m + B \cdot 12m = 0$ $0 = -20 \cdot 4m - 10 \cdot 2m + B \cdot 12m$ $B = 8,33 kN$. Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, so wird die Kraft mit einem negativen Vorzeichen versehen, ansonsten mit einem positiven.  Als ...
  23. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    ... erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden: Winkel berechnen Gleichgewichtsbedingungen Knoten 1 Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt: Knoten 1 $\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$ $ 11,67 kN + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$ $S_{14} = -26,09 kN$. $\rightarrow :  A_h + S_{12} ...
  24. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... erhält jedes Tragwerkteil eine gestrichelte Linie, welche direkt unterhalb des Tragwerkteils eingezeichnet wird. Diese Linie nennt man "gestrichelte Faser". Diese Faser dient zur Orientierung. So verläuft die x-Achse immer entlang dieser Faser und die z-Achse senkrecht zur gestrichelten Seite dieser Faser. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine eindeutige Schnittgrößenfestlegung.   Faser und Achsen
  25. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
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    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    ... oder eine Darstellung durch die Schnittgrößenlinie.  Schnitte am ebenen Balken sind immer dann notwendig, wenn Belastungswechsel (Unstetigkeiten) auftreten. Hierbei unterscheidet man zwischen statischen und geometrischen Unstetigkeiten.  Statische Unstetigkeiten  - Einzellasten, - Knicke in Streckenlasten. Geometrische Unstetigkeiten - Knicke der Balkenachse, - Verbindungselemente [wie beispielsweise Gelenke]. Die oben genannte Vorgehensweise wird im Folgenden anhand eines Beispiels ...
  26. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgrößen am Rahmen
    ... $x$-Achse verläuft parallel zur gestrichelten Linie (so wie die Normalkraft). Das bedeutet mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung lässt sich die Normalkraft ermitteln: $ \rightarrow : N_1 = 0$ Mittels der vertikalen Gleichgewichtskraft lässt sich die Querkraft berechnen: $\uparrow : -Q_1 - F = 0 \rightarrow Q_1 = -F$ Mittels des Momentengleichgewichts (Bezugspunkt ist der Schnitt) lässt sich das Biegemoment berechnen: $\stackrel{\curvearrowleft}{P1}: M_1 = 0$ Bestimmung der ...
  27. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    Schnittgrößen am Bogen
    ... von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen sehen wie folgt aus: Pfeil nach rechts oben ($x$-Achse): $N + A_v \cdot \cos (35°) + A_h \cdot \cos (305°) = 0$ $N = -\frac{2}{3}F \cos (35°)  - 2F \cdot \cos (305°) $ $N = -0,546 F - 1,147 F = -1,693 F$ Die ...
  28. Föppl-Klammer
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Föppl-Klammer
    Föppl-Klammer
    ... wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie von $A_h$ den Bezugspunkt schneidet und damit kein Hebelarm existiert. $M = A_v \cdot x = 13,03 N \cdot x$ 2. Schnitt (zwischen $F$ und $M$): $\curvearrowleft : M - A_v \cdot x + F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1)= 0$ $A_h$ und $F \cos(\alpha)$ werden nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert. $M = A_v \cdot x - F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1) = 13,03 N \cdot x - F \sin(50°) \cdot ...
  29. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung
    ... Resultierenden $NH$ innerhalb der gestrichelten Linien liegt, befindet sich der Körper in Ruhe $H < H_0$, ansonsten in Bewegung $H > H_0$. Einige Haftungskoeffizienten für trockene Materialien Material Haftungskoeffizient $\mu_0$ Holz auf Holz 0,5 Stahl auf Stahl 0,15 - 0,5 Stahl auf Teflon 0,04 Stahl auf Eis 0,03 Leder auf Metall 0,4 Autoreifen auf Straße 0,7 - 0,9 Anwendungsbeispiel: Körper in Ruhe Gegeben sei der nachfolgende rechteckige ...
  30. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung
    ... dabei aus der Berechnung raus, da die Wirkungslinien bereits den Bezugspunkt schneiden. Es müssen nur die Kräfte, welche auf die Walze wirken, berücksichtigt werden. Der Hebel wird später separat betrachtet. Das Lager $B$ liegt in der Mitte der Walze, d.h. es gilt ein Abstand $r = 5m$ vom Rand der Walze: $\curvearrowleft{B} : -M_d -S_1 \cdot r + S_2 \cdot r = 0$ $M_d = (S_2 - S_1) \cdot r$ Das Drehmoment kann so noch nicht bestimmt werden, da die Seilkräfte $S_2$ und $S_1$ unbekannt ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beanspruchungsarten
    Grundlagen > Beanspruchungsarten
    Beanspruchungsarten
    ... in Richtung der Stabachse statt. Die Wirkungslinie ist richtungsgleich mit der Stabachse. Überschreitet die Belastung jedoch einen Grenzwert, kommt es zur Knickung des Stabes und die stabile Gleichgewichtslage wandelt sich in eine instabile Lage. Ein Material, das besondere Druckeigenschaften besitzt, ist Beton. Druckbeanspruchung Knickung und Bruch infolge der Druckbeanspruchung 2. Beanspruchung durch Zug: Auch hier findet eine Belastung ausschließlich in Richtung der Stabachse ...
  2. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    ... konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt der Querschnittsfläche vom Stab dar. Da man sich nicht für die äußeren Kräfte, sondern stattdessen für die Spannungen im Inneren interessiert, wird nach dem Schnittprinzip der Stab in zwei Bestandteile zerlegt. Senkrechter Schnitt am Balken Im ersten Schnitt wird angenommen, dass der Schnitt im Winkel von 90° [senkrecht] zur Stabachse durchgeführt wird. Es wird ...
  3. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    ... durchgeführt wird. Dazu wird die Gerade (rote Linie) berechnet: Dies geschieht indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird: Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet: $r(x = 0) = r_0$ $r(x = l) ...
  4. Differentialgleichung eines Stabes
    Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
    Differentialgleichung eines Stabes
    ... $F_2$ belastet. Zusätzlich greift noch eine Linienkraft $n(x)$ in Richtung der Stabachse an. An der linken Schnittstelle des Stabelements $ x$ wirkt die Normalkraft $N$ und an der rechten Schnittstelle $ x + dx $ die Normalkraft $ N + dN $. Die Normalkräfte stehen immer senkrecht auf der betrachteten Querschnittsfläche: Normalkräfte am Stabelement Es wird nun die horizontale Gleichgewichtsbedingung am unteren Stabelement angewandt:  $\rightarrow : -N + ndx + (N + dN) = 0$ Kürzen ...
  5. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... $N(x) = EAu'$ Sonderfall: Keine Linienkraft Ist $EA$ konstant und ebenfalls $\triangle T$ konstant, so vereinfacht sich die Differentialgleichung wie oben gezeigt zu: $ EAu'' = - n $. Ist nun aber in der Aufgabenstellung keine Linienkraft gegeben, also $n = 0$, dann gilt: $EAu'' = 0$. Das wiederum bedeutet, dass die Normalkraft konstant sein muss: $EAu' = N = const.$ Die Normalkraft $N$ kann aus den Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Stab bestimmt werden. ...
  6. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    ... = -n $ Um diese Differentialgleichung mit der Linienkraft $n$ berechnen zu können, wird die Gewichtskraft $G$ in eine Linienkraft umgerechnet mit [Kraft je Längeneinheit]: $n = \frac{G}{l} = \frac{10 N}{20 cm} = 0,5 \frac{N}{cm}$ Die Verschiebung kann nun durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung gelöst werden: (1) $EAu'' = -0,5 \frac{N}{cm}$ (2) $EAu' = -0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1$ (3) $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$ Die Integrationskonstanten ...
  7. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    ... T = 0$. $EAu'' = -n$. Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft): (1) $EAu'' = 0$ (2)$EAu' = N(x)$ Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant: $EAu' = N $. (3) $EAu = N \cdot x + C_1$ Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$: $EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$ $C_1 ...
  8. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    ... Die Differentialgleichung des Stabes mit Linienkraft und mit angreifender Kraft sollte separat wie in den vorherigen Abschnitten betrachtet werden. Da dieses Vorgehen hier allerdings zu aufwendig ist, sollte die Bestimmung der Längenänderung wie oben bestimmt werden.
  9. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... um $\triangle l_1$ verlängert. Es wurde eine Linie der verlängerten Seite von $S_1$ nach unten gezogen (im rechten Winkel). Das Gleiche wurde mit der verkürzten Seite von $S_2$ durchgeführt (ebenfalls im rechten Winkel). Dort wo die Linien sich schneiden, befindet sich die neue Lage des Knotens $K'_2$: Verschiebung Als Nächstes wird der Ausgangsknoten $K_2$ mit dem verschobenen Knoten $K'_2$ verbunden, indem eine vertikale Linie nach unten gezogen (grüne Linie) wird und dann eine ...
  10. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    ... Stäbe verlängert eingezeichnet (gestrichelte Linien). Die äußeren verlängerten Linien ($\triangle l_3$ und $\triangle l_1$) wurden mit einer weiteren Linie (im rechten Winkel) verbunden. Dort wo sich diese Linien mit der verlängerte $\triangle l_2$ treffen liegt der neue Knoten $K'$. Es sind nun zwei Dreiecke entstanden, die mittels Kosinus berechnet werden können: 1. Dreieck: $\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\triangle l_3}{\triangle l_2}$ $\triangle ...
  11. Allgemeine Annahmen
    Mehrachsige Spannungszustände > Allgemeine Annahmen
    Allgemeine Annahmen
    ... da diese keinen Hebelarm besitzen (Wirkungslinien schneiden den betrachteten Mittelpunkt). Zusätzlich zum Hebelarm muss noch die Fläche $dA$ berücksichtigt werden, welche sich z.B. bei der Querschnittsfläche in $y$-Richtung ergibt aus $dx \cdot dz$: Momentengleichgewichtsbedingung: $\curvearrowleft M = \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz + \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz - \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy - \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy = 0$ $\rightarrow : 2 \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz = 2 \frac{dz}{2} ...
  12. Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    ... (schwarzer Punkt in der Grafik). Die Wirkungslinien der Normalspannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ schneiden diesen Bezugspunkt bereits und gehen deshalb nicht in die Berechnung mit ein. Es werden nur die Schubspannungen $\tau_{xy}$ und $\tau_{yx}$ berücksichtigt, welche jeweils einen Hebelarm von $\frac{1}{2}$ mal Fläche besitzen (da der Bezugspunkt in der Mitte liegt). Außerdem muss berücksicjtigt werden, dass die Schubspannung auf eine gesamte Fläche wirkt. Das bedeutet also, dass die ...
  13. Mohrscher Spannungskreis
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis
    ... P´ miteinander. 3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$. 4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$. Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen. Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen verschwinden $\tau_{xy} = 0$ (vorherige Kapitel). Da die Hauptspannungen die Extremwerte der Normalspannung ...
  14. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    ... verbunden werden. Dort wo diese Verbindungslinie die $\sigma$-Achse schneidet, liegt der Mittelpunkt und somit die mittlere Normalspannung $\sigma_m$. Der Kreis kann nun vom Mittelpunkt aus durch die beiden Punkte gezeichnet werden. Ablesen der Werte Lösung 1 Die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ befinden sich auf dem äußersten Rand des Kreises auf der $\sigma$-Achse, da dort die Schubspannung $\tau_{xy} = 0$ ist. Es gilt $\sigma_2 < \sigma_1$. Das bedeutet, dass $\sigma_1$ ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite und explizite Darstellung
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    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite- und explizite Darstellung
    Implizite und explizite Darstellung
    ... notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. es wird zur Darstellung mehr als eine Funktion benötigt. Damit für die Darstellung von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben. Implizite Darstellung Bei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die Funktion ...
  2. Höhen- und Schnittlinien
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
    Höhen- und Schnittlinien
    ... $[y=0]$ ist : $\ z = \frac{1}{x^2} $ Höhenlinien Eine Höhenlinie (oder auch Niveaulinie genannt) stellt die Menge aller Punkte $\ P $ dar, die denselben Funktionswert besitzen. Das heißt, zu einer Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche $Z$ – Wert zugeordnet wird. d.h. für die gilt : $z = f(x,y) = c $.  Um die Niveaulinien zu ermitteln setzt man den Wert $c$ konstant, also die Höhe. Man sieht dann von oben auf die Funktion. Jeder Punkt auf der Niveaulinie hat die ...
  3. Gradient
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient
    Gradient
    ... $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung. Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also $\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$.  Bestimme den Gradienten der Funktion $\ f (x,y) = x^2 \cdot y^2$ an der Stelle ...
  4. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... sind Kurven in der Ebene, entlang derer alle Linienelemente die gleiche Steigung besitzen. Dies bedeutet dass alle Punkte, deren Vektoren in die gleiche Richtung zeigen mit einer Linie (Isokline) verbunden werden könne. Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch $\ f(x,y) = const $ . In der folgenden Grafik wurden einige Isoklinen in das Richtungsfeld eingezeichnet. Isoklinen (blau) Zur Wahrung der Übersicht, ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Anorganische Chemie

  1. Definition Stoff
    Grundlagen der Chemie > Definition Stoff
    ... Einen Ingenieur interessieren in erster Linie die Größe und Form des Objekts, da er dieses Körper betrachtet. Ein Chemiker interessiert sich eher für die Stofflichkeit des Objektes. Form und Größe sind für ihn von geringerem Interesse. Eine eindeutige Definition von Stoff existiert in der Chemie nicht. Allgemein formuliert sind Stoffe Dinge, deren innere Eigenschaften im Vordergrund des Interesses stehen, d.h. die beteiligten Atomen oder Moleküle sowie die Art ihres Zusammenschlusses. ...
Anorganische Chemie
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Unternehmensführung

  1. Management aus funktionaler Sicht
    Einführung in die Unternehmensführung > Management und Unternehmensführung > Management aus funktionaler Sicht
    ... Werbekonzepterstellung übertragen] in erster Linie erfüllt, hat der Leiter anscheinend nicht auf die Überwachung des Prozessfortschritts geachtet.  Bei der Suche nach dem Grund für eine fehlerhafte Umsetzung der Zielvorgaben zeigen sich weitere Bereiche in denen eine Führungskraft und damit die Unternehmensführung gefragt ist: Organisation der Mitarbeiter, Informationsweitergabe an die Mitarbeiter, Kommunikation mit und unter den Mitarbeitern, Motivation der Mitarbeiter und Koordination ...
Unternehmensführung
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