Technische Mechanik 1: Statik

  1. Eigenschaften der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Eigenschaften der Kraft
    Eigenschaften der Kraft
    ... sich die Richtung der Kraft durch ihre Wirkungslinie und den Richtungssinn: Wirkungslinie und Richtungssinn In der obigen Grafik ist die Wirkungslinie $f$ der Kraft $F$ zu sehen. Es ist möglich die Abweichung der Wirkungslinie von der Horizontalen durch einen Winkel zu bestimmen. Der Richtungssinn ist durch den Pfeil gegeben. $G$ ist die Gewichtskraft, die durch die Schwerkraft senkrecht nach unten gezogen wird. Angriffspunkt Zuletzt erfolgt die Beschreibung des Angriffspunkts. Dieser ...
  2. Darstellung der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Darstellung der Kraft
    Darstellung der Kraft
    ... Vertikalkraft liegt dabei auf derselben Wirkungslinie, wie die nach unten gerichtete Vertikalkraft. Auf der Wirkungslinie selber kann die Kraft dann beliebig verschoben werden. Für die untere Box wurde die Kraft dann soweit nach unten verschoben, dass diese an der Boxunterseite angreift. Kraft F auf Box, Wirkungslinie Die obige Darstellung wurde gewählt, weil bei der Berechnung von unbekannten Kräfte mittels der Gleichgewichtsbedingungen manchmal negative Werte resultieren. Ist dies der ...
  3. Zentrales Kräftesystem
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Zentrales Kräftesystem
    Zentrales Kräftesystem
    ... Punkt angreifen, sondern dass sich ihre Wirkungslinien zumindest in einem Punkt schneiden. Es ist hierbei wichtig zu wissen, dass Kräfte entlang ihrer Wirkungslinie hin zu ihrem Schnittpunkt verschoben werden dürfen und somit als linienflüchtig gelten.  Die folgenden Abschnitte behandeln Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt. Das bedeutet, dass sich die Kräfte bzw. deren Wirkungslinien alle in einem Punkt schneiden.  Kräfte sind linienflüchtig In den folgenden Kapiteln ...
  4. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    ... gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten Kräfte unter Berücksichtigung ihrer Richtung, zu sehen. Beide Varianten ergeben dieselbe Resultierende. Durch das Kommutativgesetz ist es möglich, die Kräfte in verschiedenen Kombinationen aneinander zu reihen, um die Resultierende zu erhalten. In der Grafik wurden zur Veranschaulichung zwei Varianten ausgewählt...
  5. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Besitzen zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie und ist ihre Orientierung gleich, so kann man den Betrag der Resultierenden durch Addition ihrer Beträge ermitteln: $R = F_1 + F_2$ Addition von Kräften Die Richtung der Resultierenden entspricht dann der Richtung der beiden Kräfte. In diesem Fall zeigt die Resultierende nach unten und greift in dem gemeinsamen Angriffspunkt an. Besitzen zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie, ist ihre Orientierung aber entgegengesetzt, so kann man ...
  6. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Besitzen zwei Kräfte unterschiedliche Wirkungslinien und unterschiedliche Richtungen, kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden.  WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden. Rechtwinklinge Überlagerung zweier Kräfte In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$       ...
  7. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    ... und $F_{3x}$. Diese besitzen dieselbe Wirkungslinie (siehe Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie). Die Beträge dieser können durch Addition (bei gleicher Richtung) bzw. Subtraktion (bei entgegengesetzter Richtung) zusammengefasst werden zu einer Resultierenden $R_x$ (gleiches gilt für die $y$-Achse). Erfolgt die Berechnung nicht mit den Beträgen, sondern mit der Kraft $\textbf{F}$, dann besitzen die Kräfte bereits ihre Vorzeichen und es erfolgt eine Addition (siehe obiges Beispiel). Berechnung ...
  8. Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    ... wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie liegen, einen entgegengesetzten Richtungssinn aufweisen und den gleichen Betrag besitzen. Zwei Kräfte $ F_1 $ und $ F_2 $ wirken auf einen Körper. Aus Messungen ist bekannt, dass $ F_1 = -4 N $ und $ F_2 = 4 N $ beträgt. Beide Kräfte liegen auf der gleichen Wirkungslinie und wirken entgegengesetzt. Die Resultierende $ R $ von den beiden Kräften ist:$ R = F_1 + F_2 = 4 N + (-4) N = 0 \rightarrow $ Da die Summe der Kräfte gleich null ist, ...
  9. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... die einzelnen Kräfte über ihre Wirkungslinien in genau den Punkt zu verschieben, in dem sich alle Wirkungslinien schneiden. Die Bestimmung des Betrags der Resultierenden und der Richtung der Resultierenden konnte dann mit den folgenden Formeln erfolgen: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$          Betrag der Resultierenden $\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$ Die Resultierende lag dann im gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte. In diesem Kapitel tritt nun ...
  10. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    ... Weg $a_1$ entlang, dann erreicht die Wirkungslinie von $F_1$ die Resultierende. Diese Tatsache ermöglicht die Verwendung des Hebelgesetzes von Archimedes. Dieses Gesetz besagt, dass sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet, wenn für parallele Kräfte gilt: Die Summe aller Drehmomente in eine Richtung ist gleich der Summe aller Drehmomente in die entgegengesetzte Richtung. Im obigen Beispiel ist:  $ a_1 F_1 = a_2 F_2 $  oder $a_1 F_1 = (h - a_1) F_2$ bzw. $(h - a_2) F_1 = a_2 F_2$ Durch ...
  11. Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    ... mit gleichem Betrag auf zwei parallelen Wirkungslinien liegen und einen entgegengesetzten Wirkungssinn haben.  Kräftepaar: Schraubenzieher und Schraube In der obigen Grafik ist eine Schraube zu sehen. Diese wird mit einem Schraubendreher befestigt (Richtung Uhrzeigersinn). Die Kraft, die der Schraubendreher auf die Schraube ausübt, ist im 1. Teil der Grafik zu sehen. Dadurch dreht sich die Schraube. Die Kraft, die die Schraube dabei auf den Schraubendreher ausübt, ist im 2. Teil der Grafik ...
  12. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... zu sich selbst verschoben wird, bis die Wirkungslinie von $F_1$ den Bezugspunkt $A$ schneidet.  Es ist deutlich zu erkennen, dass $F_1$ mit dem Abstand $l$ parallel zu sich selbst verschoben werden muss, damit die Wirkungslinie (blau) den Punkt $A$ schneidet. Es gilt nun den Abstand $l$ zu berechnen. Dazu wird das linke Teildreieck mit der Höhe $a$ und der Breite $a$ betrachtet. Die Seite $l$ kann dann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden: $l = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \; a$. Als ...
  13. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Resultierende ebener Kräftegruppen
    ... 0$ : In diesem Fall ist $h = 0$ und die Wirkungslinie der Resultierenden schneidet den Bezugspunkt $ X$ und es existieren keine Momente. 2. $ R = 0 $ und $ M_R^{(X)} \not= 0$: In diesem Fall liegen nur Momente vor und die Wahl des Bezugspunktes ist nicht mehr bedeutend für die Wirkweise der Momente.  Download: Aufgabe und Lösung zur Bestimmung der Resultierenden Download: Resultierende bestimmen Download2: Resultierende bestimmen Anwendungsbeispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen Beispiel: ...
  14. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    ... gewählt, weil sich dieser auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ befindet. Das ist bei der späteren Berechnung einfacher, da der Hebelarm der Kraft $F_1$ somit null ist und in der Berechnung des Momentengleichgewichts nicht auftaucht (alternativ hätte man auch $F_2$ oder $F_L$ wählen können). Die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erfolgt durch: $\uparrow : F_L - F_1 - F_2 = 0$       (alternativ: $ \downarrow : -F_L + F_1 + F_2$) Erläuterung: Bei $\uparrow$ sind alle Kräfte ...
  15. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    ... der Momentenberechnung heraus, weil die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert.  (3) $\curvearrowleft{B} :  -G \cdot r  + S_3 \cdot r + M = 0$ Aus (2) kann die Stabkraft $S_1$ bestimmt werden: $S_1 = \frac{G}{\sin(45°)}$ mit $G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 98,1 N$ ergibt sich: $S_1 = \frac{98,1 N}{\sin(45°)} = 138,73 N$ Aus (3) kann dann $S_3$ bestimmt werden: $S_3 = G - \frac{M}{r} $ mit $G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} ...
  16. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    ... sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden.  Kräfte im Raum - Koordinatensystem Berechnung der Teilresultierenden $R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg) $= -F_1 - F_3 = -5 - 10 = -15 N$    $R_y = F_5 + F_6 = 30 N$ $R_z = F_2 - F_4 = 5 N$ Betrag der Resultierenden $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} = \sqrt{(-15)^2 + 30^2 + 5^2} = \sqrt{1150} = 33,91 N$ Berechnung ...
  17. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Einzelne parallele Kräfte
    ... Resultierenden direkt entgegen (gleiche Wirkungslinie, aber entgegengesetzte Richtung):  $\ H = -R $ Die Resultierende ist wie bereits gelernt die Zusammenfassung aller Kräfte. In diesem Abschnitt werden parallele Kräfte betrachtet. Die Resultierende hat demnach die gleiche Richtung wie die Kräfte. Die Haltekraft setzt sich der Resultierenden Kraft entgegen mit gleichem Betrag, aber in entgegengesetzter Richtung. Denn erst dann besitzt der Balken ein statisches Gleichgewicht. Die Haltekraft ...
  18. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkte konzentrieren sich, anders als Flächenschwerpunkte, auf die Berechnung des Schwerpunktes der LINIE. Das bedeutet zum Beispiel bei einem Kreisausschnitt, dass nicht die gesamte Fläche dieses Kreisausschnittes betrachtet wird, sondern nur der Kreisbogen. Die Berechnung eines Linienschwerpunktes gleicht der Berechnung des Schwerpunktes einer Fläche. Hierzu substituiert man einfach: $ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA $ [Fläche]   $\rightarrow$ (1) $x_s = \frac{1}{l} \int x ...
  19. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    ... Abstand zum Bezugspunkt. Schneidet die Wirkungslinie einer Kraft bereits den Bezugspunkt, so existiert kein Hebelarm und damit auch kein Moment für diese Kraft. Außerdem ist die Richtung der Drehung zu berücksichtigen. Für Drehungen des Körpers um den Bezugspunkt entgegen des Uhrzeigersinns wird ein positives Vorzeichen gewählt, ansonsten ein negatives. Momentengleichgewichtsbedingung Der Bezugspunkt wird bei $A$ gesetzt, um die Lagerreaktion $B$ zu berechnen: $\curvearrowleft M^{(A)} ...
  20. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    ... folgt vorgegangen: alle Kräfte, dessen Wirkungslinie bereits die rote $x$-Achse schneiden, werden nicht weiter berücksichtigt, da diese Kräfte keinen Hebelarm bezüglich der $x$-Achse aufweisen. Außerdem werden alle Kräfte, die in $x$-Richtung zeigen vernachlässigt, da diese nicht um die $x$-Achse drehen können. Alle anderen Kräfte werden mit ihrem Hebelarm berücksichtigt. Der Hebelarm ist dabei der senkrechte Abstand der betrachteten Kraft hin zur $x$-Achse. Die Kraft wird also solange ...
  21. 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    ... die Lagerkräfte $A$ angreifen. Da die Wirkungslinien der Lagerkräfte $A_v$ und $A_h$ den Knoten schneiden, werden diese bei der Momentenberechnung nicht berücksichtigt und es ist möglich die Lagerkraft $B$ zu berechnen: $\curvearrowleft : M_1 = -F_1 \cdot 4m - F_2 \cdot 2m + B \cdot 12m = 0$ $0 = -20 \cdot 4m - 10 \cdot 2m + B \cdot 12m$ $B = 8,33 kN$. Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, so wird die Kraft mit einem negativen Vorzeichen versehen, ansonsten mit einem positiven.  Als ...
  22. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    ... erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden: Winkel berechnen Gleichgewichtsbedingungen Knoten 1 Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt: Knoten 1 $\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$ $ 11,67 kN + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$ $S_{14} = -26,09 kN$. $\rightarrow :  A_h + S_{12} ...
  23. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    ... zum Bezugspunkt (Schnitt mit der Wirkungslinie). Um die Lagerkraft $A$ zu berechnen, wird als Bezugspunkt der Knoten $K_3$ gewählt, da hier die Lagerkraft $B$ nicht mit eingeht. Da es sich hierbei um ein Festlager handelt, wirkt eine horizontale $A_h$ und eine vertikale $A_v$ Lagerkraft: $M_{K_3} = F_2 \cdot 2m + F_1 \cdot 6m - A_v \cdot 8 m = 0 $ $0 = 20 \cdot 2m + 12 \cdot 6m - A \cdot 8 m$ $A_v = 14 kN$ Zur Berechnung von $A_h$ kann die Gleichgewichtsbedingung für die horizontalen ...
  24. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    ... Momentengleichgewicht herausfallen. Die Wirkungslinie dieser Stäbe schneidet nämlich den Bezugspunkt und somit existiert kein Hebelarm. Es kann demnach aus den äußeren Kräften die Stabkraft $S_3$ bestimmt werden. Es wird zur Probe die Momentengleichgewichtsbedingungen des rechten Teilbalkens herangezogen, ebenfalls bezüglich des roten Bezugspunktes: $\curvearrowleft : B \cdot 12,5 m - S_3 \cdot 8m = 0$ $S_3 = \frac{B \cdot 12,5 m}{8 m} = \frac{9,5 N \cdot 12,5 m}{8 m} = 14,84 N$. Die ...
  25. Grafische Verfahren
    Grafische Verfahren
    ... einer vierten Kraft gegeben ist und die Wirkungslinien der drei unbekannten Kräfte. Cremona-Plan (folgt) Der Cremona-Plan wird verwendet, um unbekannte Stabkräfte (z.B. eines Fachwerks) zu bestimmen. Voraussetzung für den Cremona-Plan ist die Kenntnis des Culmann-Verfahrens.
  26. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren
    ... als Pol bezeichnet und liegt auf der Wirkungslinie der Resultierenden. Im Nachfolgenden wird das Seileckverfahren anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt. Beispiel: Seileckverfahren Beispiel: Seileckverfahren Gegeben seien die obigen vier Kräfte. Die Größe der Kräfte entspreche ihren Abmessungen. Bestimme die Lage der Resultierenden $R$! Wichtig ist zunächst die Größe der gegebenen Einzelkräfte den Abmessungen entsprechend anzupassen. In diesem Beispiel spiegeln die ...
  27. Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren
    ... müssen vier Kräfte gegeben sein. Die Wirkungslinien dieser Kräfte müssen vorgegeben sein sowie die Größe einer dieser Kräfte.   Das Culmann-Verfahren kann nicht angewendet werden, wenn sich alle vier Wirkungslinien in einen Punkt schneiden, da in diesem Fall die Culmann-Gerade zum Punkt wird. Im Folgenden soll die Anwendung des Culmann-Verfahrens zur Bestimmung der Größe und Richtung für drei unbekannte Kräfte aufgezeigt werden: Beispiel: Culmann-Verfahren In der obigen ...
  28. Resultierende mittels Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Resultierende mittels Seileckverfahren
    Resultierende mittels Seileckverfahren
    ... (Fachwerk) betrachtet. Die Wirkungslinien der Kräfte $F_1$ bis $F_3$ werden verlängert eingezeichnet und die Polstrahlen übertragen. Begonnen wird mit dem Polstrahl $0$, welcher die Kraft $F_1$ berührt. Demnach muss dieser Polstrahl $0$ auf einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ abgetragen werden. Der Polstrahl $1$ berührt die Kraft $F_1$ und die Kraft $F_2$. Dieser Polstrahl beginnt also auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ (in dem bereits ermittelten ...
  29. Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    ... sind 3 unbekannte Kräfte, deren Wirkungslinie gegeben sind und eine Kraft die mit Betrag und Richtung gegeben ist. Die aus dem Seileckverfahren ermittelte Resultierende ist mit Betrag (bzw. Länge) und Richtung gegegen. Die drei unbekannten Lagerkräfte sind mit ihren Wirkungslinien gegeben. Das Culmann-Verfahren kann hier also angewandt werden.  Wir betrachten das Fachwerk und lösen dieses von den Lagern. Anstelle der drei Kräfte $F_1$ bis $F_3$ wird die Resultierende $R$ eingezeichnet. ...
  30. Cremonaplan aufstellen
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Cremonaplan aufstellen
    Cremonaplan aufstellen
    ... vorangegangenen Kraft $B$ wird nun die Wirkungslinie der Stabkraft $2$ als Gerade (ohne Größe) abgetragen. Danach trifft man auf die Stabkraft $6$ und trägt diese ebenfalls mit ihrer Wirkungslinie ab. Da die Stabkraft $2$ das Krafteck schließen muss, geht sie durch den Anfangspunkt der Auflagerkraft $B$. Das Krafteck $B-1-6$ ist damit gegeben und die Richtungen und Längen der Stabkräfte $1$ und $6$. Dabei muss der Umlaufsinn beibehalten werden: Die Spitze einer Kraft berührt immer den ...
  31. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... erhält jedes Tragwerkteil eine gestrichelte Linie, welche direkt unterhalb des Tragwerkteils eingezeichnet wird. Diese Linie nennt man "gestrichelte Faser". Diese Faser dient zur Orientierung. So verläuft die x-Achse immer entlang dieser Faser und die z-Achse senkrecht zur gestrichelten Seite dieser Faser. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine eindeutige Schnittgrößenfestlegung.   Faser und Achsen
  32. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    ... oder eine Darstellung durch die Schnittgrößenlinie.  Schnitte am ebenen Balken sind immer dann notwendig, wenn Belastungswechsel (Unstetigkeiten) auftreten. Hierbei unterscheidet man zwischen statischen und geometrischen Unstetigkeiten.  Statische Unstetigkeiten  - Einzellasten, - Knicke in Streckenlasten. Geometrische Unstetigkeiten - Knicke der Balkenachse, - Verbindungselemente [wie beispielsweise Gelenke]. Die oben genannte Vorgehensweise wird im Folgenden anhand eines Beispiels ...
  33. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgrößen am Rahmen
    ... $x$-Achse verläuft parallel zur gestrichelten Linie (so wie die Normalkraft). Das bedeutet mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung lässt sich die Normalkraft ermitteln: $ \rightarrow : N_1 = 0$ Mittels der vertikalen Gleichgewichtskraft lässt sich die Querkraft berechnen: $\uparrow : -Q_1 - F = 0 \rightarrow Q_1 = -F$ Mittels des Momentengleichgewichts (Bezugspunkt ist der Schnitt) lässt sich das Biegemoment berechnen: $\stackrel{\curvearrowleft}{P1}: M_1 = 0$ Bestimmung der ...
  34. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    Schnittgrößen am Bogen
    ... von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen sehen wie folgt aus: Pfeil nach rechts oben ($x$-Achse): $N + A_v \cdot \sin (55°) + A_h \cdot \sin (35°) = 0$ $N =  -A_v \cdot \sin (55°) - A_h \cdot \sin (35°)$ $N = \frac{2}{3}F \sin (55°)  + 2F \cdot ...
  35. Föppl-Klammer
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Föppl-Klammer
    Föppl-Klammer
    ... wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie von $A_h$ den Bezugspunkt schneidet und damit kein Hebelarm existiert. $M = A_v \cdot x = 13,03 N \cdot x$ 2. Schnitt (zwischen $F$ und $M$): $\curvearrowleft : M - A_v \cdot x + F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1)= 0$ $A_h$ und $F \cos(\alpha)$ werden nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert. $M = A_v \cdot x - F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1) = 13,03 N \cdot x - F \sin(50°) \cdot ...
  36. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung
    ... Resultierenden $NH$ innerhalb der gestrichelten Linien liegt, befindet sich der Körper in Ruhe $H < H_0$, ansonsten in Bewegung $H > H_0$. Einige Haftungskoeffizienten für trockene Materialien Material Haftungskoeffizient $\mu_0$ Holz auf Holz 0,5 Stahl auf Stahl 0,15 - 0,5 Stahl auf Teflon 0,04 Stahl auf Eis 0,03 Leder auf Metall 0,4 Autoreifen auf Straße 0,7 - 0,9 Anwendungsbeispiel: Haftreibung Gegeben sei der nachfolgende rechteckige ...
  37. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung
    ... dabei aus der Berechnung raus, da die Wirkungslinien bereits den Bezugspunkt schneiden. Es müssen nur die Kräfte, welche auf die Walze wirken, berücksichtigt werden. Der Hebel wird später separat betrachtet. Das Lager $B$ liegt in der Mitte der Walze, d.h. es gilt ein Abstand $r = 5m$ vom Rand der Walze: $\curvearrowleft{B} : -M_d -S_1 \cdot r + S_2 \cdot r = 0$ $M_d = (S_2 - S_1) \cdot r$ Das Drehmoment kann so noch nicht bestimmt werden, da die Seilkräfte $S_2$ und $S_1$ unbekannt ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite und explizite Darstellung
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    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite und explizite Darstellung
    ... notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. es wird zur Darstellung mehr als eine Funktion benötigt. Damit für die Darstellung von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben. Implizite Darstellung Bei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die Funktion ...
  2. Höhen- und Schnittlinien
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
    Höhen- und Schnittlinien
    ... $[y=0]$ ist : $\ z = \frac{1}{x^2} $ Höhenlinien Eine Höhenlinie (oder auch Niveaulinie genannt) stellt die Menge aller Punkte $\ P $ dar, die denselben Funktionswert besitzen. Das heißt, zu einer Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche $Z$ – Wert zugeordnet wird. d.h. für die gilt : $z = f(x,y) = c $.  Um die Niveaulinien zu ermitteln setzt man den Wert $c$ konstant, also die Höhe. Man sieht dann von oben auf die Funktion. Jeder Punkt auf der Niveaulinie hat die ...
  3. Gradient einfach berechnen
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    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradient einfach berechnen
    ... $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung. Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also $\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$.  Bestimme den Gradienten der Funktion $\ f (x,y) = x^2 \cdot y^2$ an der Stelle ...
  4. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... sind Kurven in der Ebene, entlang derer alle Linienelemente die gleiche Steigung besitzen. Dies bedeutet dass alle Punkte, deren Vektoren in die gleiche Richtung zeigen mit einer Linie (Isokline) verbunden werden könne. Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch $\ f(x,y) = const $ . In der folgenden Grafik wurden einige Isoklinen in das Richtungsfeld eingezeichnet. Isoklinen (blau) Zur Wahrung der Übersicht, ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beanspruchungsarten
    Grundlagen > Beanspruchungsarten
    Beanspruchungsarten
    ... in Richtung der Stabachse statt. Die Wirkungslinie ist richtungsgleich mit der Stabachse. Überschreitet die Belastung jedoch einen Grenzwert, kommt es zur Knickung des Stabes und die stabile Gleichgewichtslage wandelt sich in eine instabile Lage. Ein Material, das besondere Druckeigenschaften besitzt, ist Beton. Druckbeanspruchung Knickung und Bruch infolge der Druckbeanspruchung Beanspruchung durch Zug: Auch hier findet eine Belastung ausschließlich in Richtung der Stabachse statt. ...
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