Technische Mechanik 1: Statik

  1. Zentrales Kräftesystem
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Zentrales Kräftesystem
    Krfte sind linienflchtig
    ... Punkt angreifen, sondern dass sich ihre Wirkungslinien zumindest in einem Punkt schneiden. Kräfte können entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden und gelten somit als linienflüchtig.Die folgenden Abschnitte behandeln Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt. Das bedeutet, dass sich die Kräfte bzw. deren Wirkungslinien alle in einem Punkt schneiden. Kräfte sind linienflüchtigIn den folgenden Kapiteln werden Kräfte, die in einer Ebene liegen als ...
  2. Kommutativgesetz
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen > Kommutativgesetz
    Kommutativgesetz
    ... gegeben, welcher die Wirkungslinien der Kräfte zeigt, die alle durch den Angriffspunkt $A$ gehen. Daneben sind die Kräftepläne, d.h. die aneinandergefügten Kräfte unter Berücksichtigung ihrer Richtung, zu sehen. Beide Varianten ergeben dieselbe Resultierende. Durch das Kommutativgesetz ist es möglich, die Kräfte in verschiedenen Kombinationen aneinander zu reihen, um die Resultierende zu erhalten. In der Grafik wurden zur Veranschaulichung ...
  3. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Addition von Krften
    ... zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie und ist ihre Orientierung gleich, so kann man den Betrag der Resultierenden durch Addition ihrer Beträge ermitteln:$R = F_1 + F_2$Addition von KräftenDie Richtung der Resultierenden entspricht dann der Richtung der beiden Kräfte. In diesem Fall zeigt die Resultierende nach unten und greift in dem gemeinsamen Angriffspunkt an.Besitzen zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie, ist ihre Orientierung aber entgegengesetzt, so ...
  4. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Dreieck
    ... zwei Kräfte unterschiedliche Wirkungslinien und unterschiedliche Richtungen, kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Rechtwinklinge Überlagerung zweier KräfteIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit$R = ...
  5. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Krftezerlegung
    ... und $F_{3x}$. Diese besitzen dieselbe Wirkungslinie (siehe Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie). Die Beträge dieser können durch Addition (bei gleicher Richtung) bzw. Subtraktion (bei entgegengesetzter Richtung) zusammengefasst werden zu einer Resultierenden $R_x$ (gleiches gilt für die $y$-Achse). Erfolgt die Berechnung nicht mit den Beträgen, sondern mit der Kraft $\textbf{F}$, dann besitzen die Kräfte bereits ihre Vorzeichen und es erfolgt eine Addition ...
  6. Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Krftegleichgewicht zweier Krfte
    ... wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie liegen, einen entgegengesetzten Richtungssinn aufweisen und den gleichen Betrag besitzen.Zwei Kräfte $ F_1 $ und $ F_2 $ wirken auf einen Körper. Aus Messungen ist bekannt, dass $ F_1 = -4 N $ und $ F_2 = 4 N $ beträgt. Beide Kräfte liegen auf der gleichen Wirkungslinie und wirken entgegengesetzt. Die Resultierende $ R $ von den beiden Kräften ist:$ R = F_1 + F_2 = 4 N + (-4) N = 0 \rightarrow $ Da die Summe der Kräfte ...
  7. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... einzelnen Kräfte über ihre Wirkungslinien in genau den Punkt zu verschieben, in dem sich alle Wirkungslinien schneiden. Die Bestimmung des Betrags der Resultierenden und der Richtung der Resultierenden konnte dann mit den folgenden Formeln erfolgen:$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$          Betrag der Resultierenden$\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$Die Resultierende lag dann im gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte bzw. ...
  8. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... Weg $a_1$ entlang, dann erreicht die Wirkungslinie von $F_1$ die Resultierende. Diese Tatsache ermöglicht die Verwendung des Hebelgesetzes von Archimedes. Dieses Gesetz besagt, dass sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet, wenn für parallele Kräfte gilt: Die Summe aller Drehmomente in eine Richtung ist gleich der Summe aller Drehmomente in die entgegengesetzte Richtung. Im obigen Beispiel ist: $ a_1 F_1 = a_2 F_2 $ oder$a_1 F_1 = (h - a_1) F_2$ bzw. ...
  9. Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Schraubenzieher und Schraube
    ... mit gleichem Betrag auf zwei parallelen Wirkungslinien liegen und einen entgegengesetzten Wirkungssinn haben. Kräftepaar: Schraubenzieher und SchraubeIn der obigen Grafik ist eine Schraube zu sehen. Diese wird mit einem Schraubendreher befestigt (Richtung Uhrzeigersinn). Die Kraft, die der Schraubendreher auf die Schraube ausübt, ist im 1. Teil der Grafik zu sehen. Dadurch dreht sich die Schraube. Die Kraft, die die Schraube dabei auf den Schraubendreher ausübt, ist im 2. Teil ...
  10. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... zu sich selbst verschoben wird, bis die Wirkungslinie von $F_1$ den Bezugspunkt $A$ schneidet. Es ist deutlich zu erkennen, dass $F_1$ mit dem Abstand $l$ parallel zu sich selbst verschoben werden muss, damit die Wirkungslinie (blau) den Punkt $A$ schneidet. Es gilt nun den Abstand $l$ zu berechnen. Dazu wird das linke Teildreieck mit der Höhe $a$ und der Breite $a$ betrachtet. Die Seite $l$ kann dann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:$l = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \; ...
  11. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... gewählt, weil sich dieser auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ befindet. Das ist bei der späteren Berechnung einfacher, da der Hebelarm der Kraft $F_1$ somit null ist und in der Berechnung des Momentengleichgewichts nicht auftaucht (alternativ hätte man auch $F_2$ oder $F_L$ wählen können).Die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erfolgt durch:$\uparrow : F_L - F_1 - F_2 = 0$       (alternativ: $ \downarrow : -F_L + F_1 + F_2$)Erläuterung: ...
  12. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Beispiel Stabkrfte Krftezerlegung
    ... der Momentenberechnung heraus, weil die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert. (3) $\curvearrowleft{B} :  -G \cdot r  + S_3 \cdot r + M = 0$Aus (2) kann die Stabkraft $S_1$ bestimmt werden:$S_1 = \frac{G}{\sin(45°)}$mit $G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 98,1 N$ ergibt sich:$S_1 = \frac{98,1 N}{\sin(45°)} = 138,73 N$Aus (3) kann dann $S_3$ bestimmt werden:$S_3 = G - \frac{M}{r} $mit $G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} ...
  13. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum
    ... sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden. Kräfte im Raum - KoordinatensystemBerechnung der Teilresultierenden$R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg)$= -F_1 - F_3 = -5 - 10 = -15 N$   $R_y = F_5 + F_6 = 30 N$$R_z = F_2 - F_4 = 5 N$Betrag der Resultierenden$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} = \sqrt{(-15)^2 + 30^2 + 5^2} = \sqrt{1150} ...
  14. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt gerade Linie
    Linienschwerpunkte konzentrieren sich, anders als Flächenschwerpunkte, auf die Berechnung des Schwerpunktes der LINIE. Das bedeutet zum Beispiel bei einem Kreisausschnitt, dass nicht die gesamte Fläche dieses Kreisausschnittes betrachtet wird, sondern nur der Kreisbogen. Die Berechnung eines Linienschwerpunktes gleicht der Berechnung des Schwerpunktes einer Fläche.Hierzu substituiert man einfach:$ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA $ [Fläche]   $\rightarrow$(1) $x_s = \frac{1}{l} ...
  15. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... Abstand zum Bezugspunkt. Schneidet die Wirkungslinie einer Kraft bereits den Bezugspunkt, so existiert kein Hebelarm und damit auch kein Moment für diese Kraft. Außerdem ist die Richtung der Drehung zu berücksichtigen. Für Drehungen des Körpers um den Bezugspunkt entgegen des Uhrzeigersinns wird ein positives Vorzeichen gewählt, ansonsten ein negatives.MomentengleichgewichtsbedingungDer Bezugspunkt wird bei $A$ gesetzt, um die Lagerreaktion $B$ zu berechnen:$\curvearrowleft ...
  16. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... vorgegangen: alle Kräfte, dessen Wirkungslinie bereits die rote $x$-Achse schneiden, werden nicht weiter berücksichtigt, da diese Kräfte keinen Hebelarm bezüglich der $x$-Achse aufweisen. Außerdem werden alle Kräfte, die in $x$-Richtung zeigen vernachlässigt, da diese nicht um die $x$-Achse drehen können. Alle anderen Kräfte werden mit ihrem Hebelarm berücksichtigt. Der Hebelarm ist dabei der senkrechte Abstand der betrachteten Kraft hin zur ...
  17. 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Knotenpunktverfahren Beispiel
    ... Lagerkräfte $A$ angreifen. Da die Wirkungslinien der Lagerkräfte $A_v$ und $A_h$ den Knoten schneiden, werden diese bei der Momentenberechnung nicht berücksichtigt und es ist möglich die Lagerkraft $B$ zu berechnen:$\curvearrowleft : M_1 = -F_1 \cdot 4m - F_2 \cdot 2m + B \cdot 12m = 0$$0 = -20 \cdot 4m - 10 \cdot 2m + B \cdot 12m$$B = 8,33 kN$.Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, so wird die Kraft mit einem negativen Vorzeichen versehen, ansonsten mit einem positiven. Als ...
  18. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel: Ritterschnittverfahren
    ... zum Bezugspunkt (Schnitt mit der Wirkungslinie).Um die Lagerkraft $A$ zu berechnen, wird als Bezugspunkt der Knoten $K_3$ gewählt, da hier die Lagerkraft $B$ nicht mit eingeht. Da es sich hierbei um ein Festlager handelt, wirkt eine horizontale $A_h$ und eine vertikale $A_v$ Lagerkraft:$M_{K_3} = F_2 \cdot 2m + F_1 \cdot 6m - A_v \cdot 8 m = 0 $$0 = 20 \cdot 2m + 12 \cdot 6m - A \cdot 8 m$$A_v = 14 kN$Zur Berechnung von $A_h$ kann die Gleichgewichtsbedingung für die horizontalen ...
  19. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Ritterschnittverfahren Beispiel
    ... Momentengleichgewicht herausfallen. Die Wirkungslinie dieser Stäbe schneidet nämlich den Bezugspunkt und somit existiert kein Hebelarm. Es kann demnach aus den äußeren Kräften die Stabkraft $S_3$ bestimmt werden.Es wird zur Probe die Momentengleichgewichtsbedingungen des rechten Teilbalkens herangezogen, ebenfalls bezüglich des roten Bezugspunktes:$\curvearrowleft : B \cdot 12,5 m - S_3 \cdot 8m = 0$$S_3 = \frac{B \cdot 12,5 m}{8 m} = \frac{9,5 N \cdot 12,5 m}{8 ...
  20. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren grafische Vektoraddition
    ... als Pol bezeichnet und liegt auf der Wirkungslinie der Resultierenden.Im Nachfolgenden wird das Seileckverfahren anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt.Beispiel: SeileckverfahrenBeispiel: SeileckverfahrenGegeben seien die obigen vier Kräfte. Die Größe der Kräfte entspreche ihren Abmessungen. Bestimme die Lage der Resultierenden $R$!Wichtig ist zunächst die Größe der gegebenen Einzelkräfte den Abmessungen entsprechend anzupassen. In diesem ...
  21. Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren Kraftplan
    ... vier Kräfte gegeben sein. Die Wirkungslinien dieser Kräfte müssen vorgegeben sein sowie die Größe einer dieser Kräfte.  Das Culmann-Verfahren kann nicht angewendet werden, wenn sich alle vier Wirkungslinien in einen Punkt schneiden, da in diesem Fall die Culmann-Gerade zum Punkt wird.Im Folgenden soll die Anwendung des Culmann-Verfahrens zur Bestimmung der Größe und Richtung für drei unbekannte Kräfte aufgezeigt werden:Beispiel: Culmann-VerfahrenIn ...
  22. Resultierende mittels Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Resultierende mittels Seileckverfahren
    Seileckverfahren Resultierende
    ... (Fachwerk) betrachtet. Die Wirkungslinien der Kräfte $F_1$ bis $F_3$ werden verlängert eingezeichnet und die Polstrahlen übertragen.Begonnen wird mit dem Polstrahl $0$, welcher die Kraft $F_1$ berührt. Demnach muss dieser Polstrahl $0$ auf einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ abgetragen werden.Der Polstrahl $1$ berührt die Kraft $F_1$ und die Kraft $F_2$. Dieser Polstrahl beginnt also auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ (in dem bereits ...
  23. Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren Wirkungslinien Kraftplan
    ... sind 3 unbekannte Kräfte, deren Wirkungslinie gegeben sind und eine Kraft die mit Betrag und Richtung gegeben ist.Die aus dem Seileckverfahren ermittelte Resultierende ist mit Betrag (bzw. Länge) und Richtung gegegen. Die drei unbekannten Lagerkräfte sind mit ihren Wirkungslinien gegeben. Das Culmann-Verfahren kann hier also angewandt werden. Wir betrachten das Fachwerk und lösen dieses von den Lagern. Anstelle der drei Kräfte $F_1$ bis $F_3$ wird die Resultierende ...
  24. Cremonaplan aufstellen
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Cremonaplan aufstellen
    Cremonaplan Krafteck Knoten III
    ... vorangegangenen Kraft $B$ wird nun die Wirkungslinie der Stabkraft $2$ als Gerade (ohne Größe) abgetragen. Danach trifft man auf die Stabkraft $6$ und trägt diese ebenfalls mit ihrer Wirkungslinie ab. Da die Stabkraft $2$ das Krafteck schließen muss, geht sie durch den Anfangspunkt der Auflagerkraft $B$. Das Krafteck $B-1-6$ ist damit gegeben und die Richtungen und Längen der Stabkräfte $1$ und $6$. Dabei muss der Umlaufsinn beibehalten werden: Die Spitze einer ...
  25. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Faser und Achsen
    ... jedes Tragwerkteil eine gestrichelte Linie, welche direkt unterhalb des Tragwerkteils eingezeichnet wird. Diese Linie nennt man "gestrichelte Faser". Diese Faser dient zur Orientierung. So verläuft die x-Achse immer entlang dieser Faser und die z-Achse senkrecht zur gestrichelten Seite dieser Faser. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine eindeutige Schnittgrößenfestlegung.  Faser und Achsen
  26. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... Darstellung durch die Schnittgrößenlinie. Schnitte am ebenen Balken sind immer dann notwendig, wenn Belastungswechsel (Unstetigkeiten) auftreten. Hierbei unterscheidet man zwischen statischen und geometrischen Unstetigkeiten. Statische Unstetigkeiten - Einzellasten,- Knicke in Streckenlasten.Geometrische Unstetigkeiten- Knicke der Balkenachse,- Verbindungselemente [wie beispielsweise Gelenke].Die oben genannte Vorgehensweise wird im Folgenden anhand eines Beispiels und ...
  27. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgren am Rahmen Punkte
    ... verläuft parallel zur gestrichelten Linie (so wie die Normalkraft). Das bedeutet mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung lässt sich die Normalkraft ermitteln:$ \rightarrow : N_1 = 0$Mittels der vertikalen Gleichgewichtskraft lässt sich die Querkraft berechnen:$\uparrow : -Q_1 - F = 0 \rightarrow Q_1 = -F$Mittels des Momentengleichgewichts (Bezugspunkt ist der Schnitt) lässt sich das Biegemoment berechnen:$\stackrel{\curvearrowleft}{P1}: M_1 = 0$Bestimmung der ...
  28. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    SChnittgren am Bogen Koordinatensystem
    ... wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen sehen wie folgt aus:Pfeil nach rechts oben ($x$-Achse):$N + A_v \cdot \sin (55°) + A_h \cdot \sin (35°) = 0$$N =  -A_v \cdot \sin (55°) - A_h \cdot \sin (35°)$$N = \frac{2}{3}F \sin ...
  29. Föppl-Klammer
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Föppl-Klammer
    Fppl-Klammer Beispiel Schnittgren
    ... wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie von $A_h$ den Bezugspunkt schneidet und damit kein Hebelarm existiert.$M = A_v \cdot x = 13,03 N \cdot x$2. Schnitt (zwischen $F$ und $M$):$\curvearrowleft : M - A_v \cdot x + F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1)= 0$$A_h$ und $F \cos(\alpha)$ werden nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert.$M = A_v \cdot x - F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1) = 13,03 N \cdot x - F \sin(50°) \cdot ...
  30. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... Resultierenden $NH$ innerhalb der gestrichelten Linien liegt, befindet sich der Körper in Ruhe $H < H_0$, ansonsten in Bewegung $H > H_0$.Einige Haftungskoeffizienten für trockene MaterialienMaterialHaftungskoeffizient $\mu_0$Holz auf Holz0,5Stahl auf Stahl0,15 - 0,5Stahl auf Teflon0,04Stahl auf Eis0,03Leder auf Metall0,4Autoreifen auf Straße0,7 - 0,9Anwendungsbeispiel: HaftreibungGegeben sei der nachfolgende rechteckige Körper aus Stahl, welcher sich auf einer schiefen ...
  31. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung: Beispiel
    ... dabei aus der Berechnung raus, da die Wirkungslinien bereits den Bezugspunkt schneiden. Es müssen nur die Kräfte, welche auf die Walze wirken, berücksichtigt werden. Der Hebel wird später separat betrachtet. Das Lager $B$ liegt in der Mitte der Walze, d.h. es gilt ein Abstand $r = 5m$ vom Rand der Walze:$\curvearrowleft{B} : -M_d -S_1 \cdot r + S_2 \cdot r = 0$$M_d = (S_2 - S_1) \cdot r$Das Drehmoment kann so noch nicht bestimmt werden, da die Seilkräfte $S_2$ und $S_1$ ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$                      Es wurde hier nun der Index $B$ eingeführt, um zu zeigen, dass es sich bei dieser Gleichung nur um den ...
  2. Beanspruchungsarten
    Grundlagen > Beanspruchungsarten
    Druckbeanspruchung
    ... in Richtung der Stabachse statt. Die Wirkungslinie ist richtungsgleich mit der Stabachse. Überschreitet die Belastung jedoch einen Grenzwert, kommt es zur Knickung des Stabes und die stabile Gleichgewichtslage wandelt sich in eine instabile Lage. Ein Material, das besondere Druckeigenschaften besitzt, ist Beton.DruckbeanspruchungKnickung und Bruch infolge der DruckbeanspruchungBeanspruchung durch Zug:Auch hier findet eine Belastung ausschließlich in Richtung der Stabachse statt. Die ...
  3. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Senkrechter Schnitt am Balken
    ... Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt der Querschnittsfläche vom Stab dar. Da man sich nicht für die äußeren Kräfte, sondern stattdessen für die Spannungen im Inneren interessiert, wird nach dem Schnittprinzip der Stab in zwei Bestandteile zerlegt.Senkrechter Schnitt am BalkenIm ersten Schnitt wird angenommen, dass der Schnitt im Winkel von 90° [senkrecht] zur Stabachse ...
  4. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Spannungen im Stab konischer Stab
    ... wird. Dazu wird die Gerade (rote Linie) berechnet:Dies geschieht indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird:Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet:$r(x = 0) = r_0$$r(x = l) = 3r_0$Es ...
  5. Differentialgleichung eines Stabes
    Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
    Normalkrfte am Stabelement
    ... belastet. Zusätzlich greift noch eine Linienkraft $n(x)$ in Richtung der Stabachse an. An der linken Schnittstelle des Stabelements $ x$ wirkt die Normalkraft $N$ und an der rechten Schnittstelle $ x + dx $ die Normalkraft $ N + dN $. Die Normalkräfte stehen immer senkrecht auf der betrachteten Querschnittsfläche:Normalkräfte am StabelementEs wird nun die horizontale Gleichgewichtsbedingung am unteren Stabelement angewandt: $\rightarrow : -N + ndx + (N + dN) = ...
  6. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... die Normalkraft:$N(x) = EAu'$Sonderfall: Keine LinienkraftIst $EA$ konstant und ebenfalls $\triangle T$ konstant, so vereinfacht sich die Differentialgleichung wie oben gezeigt zu:$ EAu'' = - n $.Ist nun aber in der Aufgabenstellung keine Linienkraft gegeben, also $n = 0$, dann gilt:$EAu'' = 0$.Das wiederum bedeutet, dass die Normalkraft konstant sein muss:$EAu' = N = const.$Die Normalkraft $N$ kann aus den Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Stab bestimmt werden. Die Verschiebung kann ...
  7. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Beispiel: Hngender Stab
    ... = -n $Um diese Differentialgleichung mit der Linienkraft $n$ berechnen zu können, wird die Gewichtskraft $G$ in eine Linienkraft umgerechnet mit [Kraft je Längeneinheit]:$n = \frac{G}{l} = \frac{10 N}{20 cm} = 0,5 \frac{N}{cm}$Die Verschiebung kann nun durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung gelöst werden:(1) $EAu'' = -0,5 \frac{N}{cm}$(2) $EAu' = -0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1$(3) $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$Die Integrationskonstanten ...
  8. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... T = 0$.$EAu'' = -n$.Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft):(1) $EAu'' = 0$(2)$EAu' = N(x)$Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant:$EAu' = N $.(3) $EAu = N \cdot x + C_1$Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$:$EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$$C_1 = 0$.(3) ...
  9. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... StabesDie Differentialgleichung des Stabes mit Linienkraft und mit angreifender Kraft sollte separat wie in den vorherigen Abschnitten betrachtet werden. Da dieses Vorgehen hier allerdings zu aufwendig ist, sollte die Bestimmung der Längenänderung wie oben bestimmt werden.
  10. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabzweischlag
    ... $\triangle l_1$ verlängert. Es wurde eine Linie der verlängerten Seite von $S_1$ nach unten gezogen (im rechten Winkel). Das Gleiche wurde mit der verkürzten Seite von $S_2$ durchgeführt (ebenfalls im rechten Winkel). Dort wo die Linien sich schneiden, befindet sich die neue Lage des Knotens $K'_2$:VerschiebungAls Nächstes wird der Ausgangsknoten $K_2$ mit dem verschobenen Knoten $K'_2$ verbunden, indem eine vertikale Linie nach unten gezogen (grüne Linie) wird und ...
  11. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Dreistab-Problem
    ... verlängert eingezeichnet (gestrichelte Linien). Die äußeren verlängerten Linien ($\triangle l_3$ und $\triangle l_1$) wurden mit einer weiteren Linie (im rechten Winkel) verbunden. Dort wo sich diese Linien mit der verlängerte $\triangle l_2$ treffen liegt der neue Knoten $K'$. Es sind nun zwei Dreiecke entstanden, die mittels Kosinus berechnet werden können:1. Dreieck:$\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\triangle l_3}{\triangle ...
  12. Allgemeine Annahmen
    Mehrachsige Spannungszustände > Allgemeine Annahmen
    Spannungstensor
    ... da diese keinen Hebelarm besitzen (Wirkungslinien schneiden den betrachteten Mittelpunkt). Zusätzlich zum Hebelarm muss noch die Fläche $dA$ berücksichtigt werden, welche sich z.B. bei der Querschnittsfläche in $y$-Richtung ergibt aus $dx \cdot dz$:Momentengleichgewichtsbedingung:$\curvearrowleft M = \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz + \frac{dy}{2} \tau_{yz} dxdz - \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy - \frac{dz}{2} \tau_{zy} dxdy = 0$$\rightarrow : 2 \frac{dy}{2} ...
  13. Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    Zugeordnete Schubspannungen bestimmen
    ... (schwarzer Punkt in der Grafik). Die Wirkungslinien der Normalspannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ schneiden diesen Bezugspunkt bereits und gehen deshalb nicht in die Berechnung mit ein. Es werden nur die Schubspannungen $\tau_{xy}$ und $\tau_{yx}$ berücksichtigt, welche jeweils einen Hebelarm von $\frac{1}{2}$ mal Fläche besitzen (da der Bezugspunkt in der Mitte liegt). Außerdem muss berücksicjtigt werden, dass die Schubspannung auf eine gesamte Fläche wirkt. ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Gradient einfach berechnen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$. Bestimme den Gradienten der Funktion $\ f (x,y) = x^2 \cdot y^2$ an der ...
  2. Implizite und explizite Darstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. es wird zur Darstellung mehr als eine Funktion benötigt. Damit für die Darstellung von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben.Implizite DarstellungBei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. ...
  3. Höhen- und Schnittlinien
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
    2D Ansicht einer Kugel
    ... $[y=0]$ ist : $\ z = \frac{1}{x^2} $HöhenlinienEine Höhenlinie (oder auch Niveaulinie genannt) stellt die Menge aller Punkte $\ P $ dar, die denselben Funktionswert besitzen. Das heißt, zu einer Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche $Z$ – Wert zugeordnet wird. d.h. für die gilt :$z = f(x,y) = c $. Um die Niveaulinien zu ermitteln setzt man den Wert $c$ konstant, also die Höhe. Man sieht dann von oben auf die Funktion. Jeder ...
  4. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... sind Kurven in der Ebene, entlang derer alle Linienelemente die gleiche Steigung besitzen. Dies bedeutet dass alle Punkte, deren Vektoren in die gleiche Richtung zeigen mit einer Linie (Isokline) verbunden werden könne.Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch$\ f(x,y) = const $ .In der folgenden Grafik wurden einige Isoklinen in das Richtungsfeld eingezeichnet.Isoklinen (blau)Zur Wahrung der Übersicht, ...
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Strömungslehre

  1. Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    Hydrostatik > Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    Druckkrfte auf eben geneigte Flchen Beispiel
    ... Flächen verläuftdie Wirkungslinie der Horizontalkraft durch den Druckmittelpunkt,die Wirkungslinie der Vertikalkraft durch den Schwerpunkt des Wasservolumens oberhalb der eben geneigten rechteckigen Wand,die Wirkungslinie der Resultierenden durch den Druckmittelpunkt.Bei rechteckigen eben geneigten Flächen fällt der Schwerpunkt der Dreieckslast und der Druckmittelpunkt zusammen.Die resultierende Druckkraft steht immer senkrecht (im 90°-Winkel) auf der betrachteten ...
  2. Horizontalkraft
    Hydrostatik > Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände > Horizontalkraft
    Vertikalkraft
    ... der projizierten Fläche. Die Wirkungslinie der Horizontalkraft $F_H$ befindet sich hingegen bei rechteckigen Flächen im Schwerpunkt der Dreieckslast. Der Schwerpunkt eines Dreiecks befindet sich bei zwei Drittel der Höhe:HorizontalkraftIn der obigen Grafik ist die ganze Problematik veranschaulicht. Die projizierte Fläche ist gegeben, die Dreieckslast und die Wirkungslinie der Kraft $F_H$, welche im Schwerpunkt der Dreieckslast liegt ($= \frac{2}{3} 12 m = 8m$) und (WICHTIG!) ...
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