Technische Mechanik 1: Statik

  1. Resultierende mittels Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Resultierende mittels Seileckverfahren
    Seileckverfahren Resultierende
    ... (Fachwerk) betrachtet. Die Wirkungslinien der Kräfte $F_1$ bis $F_3$ werden verlängert eingezeichnet und die Polstrahlen übertragen.Begonnen wird mit dem Polstrahl $0$, welcher die Kraft $F_1$ berührt. Demnach muss dieser Polstrahl $0$ auf einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ abgetragen werden.Der Polstrahl $1$ berührt die Kraft $F_1$ und die Kraft $F_2$. Dieser Polstrahl beginnt also auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ (in dem bereits ...
  2. Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren Wirkungslinien Kraftplan
    ... sind 3 unbekannte Kräfte, deren Wirkungslinie gegeben sind und eine Kraft die mit Betrag und Richtung gegeben ist.Die aus dem Seileckverfahren ermittelte Resultierende ist mit Betrag (bzw. Länge) und Richtung gegegen. Die drei unbekannten Lagerkräfte sind mit ihren Wirkungslinien gegeben. Das Culmann-Verfahren kann hier also angewandt werden. Wir betrachten das Fachwerk und lösen dieses von den Lagern. Anstelle der drei Kräfte $F_1$ bis $F_3$ wird die Resultierende ...
  3. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren grafische Vektoraddition
    ... als Pol bezeichnet und liegt auf der Wirkungslinie der Resultierenden.Im Nachfolgenden wird das Seileckverfahren anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt.Beispiel: SeileckverfahrenBeispiel: SeileckverfahrenGegeben seien die obigen vier Kräfte. Die Größe der Kräfte entspreche ihren Abmessungen. Bestimme die Lage der Resultierenden $R$!Wichtig ist zunächst die Größe der gegebenen Einzelkräfte den Abmessungen entsprechend anzupassen. In diesem ...
  4. Grafische Verfahren
    Grafische Verfahren
    ... einer vierten Kraft gegeben ist und die Wirkungslinien der drei unbekannten Kräfte.Cremona-Plan (folgt)Der Cremona-Plan wird verwendet, um unbekannte Stabkräfte (z.B. eines Fachwerks) zu bestimmen. Voraussetzung für den Cremona-Plan ist die Kenntnis des Culmann-Verfahrens.
  5. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Addition von Krften
    ... zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie und ist ihre Orientierung gleich, so kann man den Betrag der Resultierenden durch Addition ihrer Beträge ermitteln:$R = F_1 + F_2$Addition von KräftenDie Richtung der Resultierenden entspricht dann der Richtung der beiden Kräfte. In diesem Fall zeigt die Resultierende nach unten und greift in dem gemeinsamen Angriffspunkt an.Besitzen zwei Kräfte eine gemeinsame Wirkungslinie, ist ihre Orientierung aber entgegengesetzt, so ...
  6. Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    ... einzelnen Kräfte über ihre Wirkungslinien in genau den Punkt zu verschieben, in dem sich alle Wirkungslinien schneiden. Die Bestimmung des Betrags der Resultierenden und der Richtung der Resultierenden konnte dann mit den folgenden Formeln erfolgen:$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$          Betrag der Resultierenden$\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$  Winkel zwischen $R$ und $R_x$Die Resultierende lag dann im gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte.In diesem ...
  7. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Beispiel Stabkrfte Krftezerlegung
    ... der Momentenberechnung heraus, weil die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert. (3) $\curvearrowleft{B} :  -G \cdot r  + S_3 \cdot r + M = 0$Aus (2) kann die Stabkraft $S_1$ bestimmt werden:$S_1 = \frac{G}{\sin(45°)}$mit $G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 98,1 N$ ergibt sich:$S_1 = \frac{98,1 N}{\sin(45°)} = 138,73 N$Aus (3) kann dann $S_3$ bestimmt werden:$S_3 = G - \frac{M}{r} $mit $G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} ...
  8. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Ritterschnittverfahren Beispiel
    ... Momentengleichgewicht herausfallen. Die Wirkungslinie dieser Stäbe schneidet nämlich den Bezugspunkt und somit existiert kein Hebelarm. Es kann demnach aus den äußeren Kräften die Stabkraft $S_3$ bestimmt werden.Es wird zur Probe die Momentengleichgewichtsbedingungen des rechten Teilbalkens herangezogen, ebenfalls bezüglich des roten Bezugspunktes:$\curvearrowleft : B \cdot 12,5 m - S_3 \cdot 8m = 0$$S_3 = \frac{B \cdot 12,5 m}{8 m} = \frac{9,5 N \cdot 12,5 m}{8 ...
  9. Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren Kraftplan
    ... vier Kräfte gegeben sein. Die Wirkungslinien dieser Kräfte müssen vorgegeben sein sowie die Größe einer dieser Kräfte.  Das Culmann-Verfahren kann nicht angewendet werden, wenn sich alle vier Wirkungslinien in einen Punkt schneiden, da in diesem Fall die Culmann-Gerade zum Punkt wird.Im Folgenden soll die Anwendung des Culmann-Verfahrens zur Bestimmung der Größe und Richtung für drei unbekannte Kräfte aufgezeigt werden:Beispiel: Culmann-VerfahrenIn ...
  10. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgren am Rahmen Punkte
    ... verläuft parallel zur gestrichelten Linie (so wie die Normalkraft). Das bedeutet mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung lässt sich die Normalkraft ermitteln:$ \rightarrow : N_1 = 0$Mittels der vertikalen Gleichgewichtskraft lässt sich die Querkraft berechnen:$\uparrow : -Q_1 - F = 0 \rightarrow Q_1 = -F$Mittels des Momentengleichgewichts (Bezugspunkt ist der Schnitt) lässt sich das Biegemoment berechnen:$\stackrel{\curvearrowleft}{P1}: M_1 = 0$Bestimmung der ...
  11. 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
    Knotenpunktverfahren Lagerreaktionen
    ... Lagerkräfte $A$ angreifen. Da die Wirkungslinien der Lagerkräfte $A_v$ und $A_h$ den Knoten schneiden, werden diese bei der Momentenberechnung nicht berücksichtigt und es ist möglich die Lagerkraft $B$ zu berechnen:$\curvearrowleft : M_1 = -F_1 \cdot 4m - F_2 \cdot 2m + B \cdot 12m = 0$$0 = -20 \cdot 4m - 10 \cdot 2m + B \cdot 12m$$B = 8,33 kN$.Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, so wird die Kraft mit einem negativen Vorzeichen versehen, ansonsten mit einem positiven. Als ...
  12. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... vorgegangen: alle Kräfte, dessen Wirkungslinie bereits die rote $x$-Achse schneiden, werden nicht weiter berücksichtigt, da diese Kräfte keinen Hebelarm bezüglich der $x$-Achse aufweisen. Außerdem werden alle Kräfte, die in $x$-Richtung zeigen vernachlässigt, da diese nicht um die $x$-Achse drehen können. Alle anderen Kräfte werden mit ihrem Hebelarm berücksichtigt. Der Hebelarm ist dabei der senkrechte Abstand der betrachteten Kraft hin zur ...
  13. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... Weg $a_1$ entlang, dann erreicht die Wirkungslinie von $F_1$ die Resultierende. Diese Tatsache ermöglicht die Verwendung des Hebelgesetzes von Archimedes. Dieses Gesetz besagt, dass sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet, wenn für parallele Kräfte gilt: Die Summe aller Drehmomente in eine Richtung ist gleich der Summe aller Drehmomente in die entgegengesetzte Richtung. Im obigen Beispiel ist: $ a_1 F_1 = a_2 F_2 $ oder$a_1 F_1 = (h - a_1) F_2$ bzw. ...
  14. Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
    Krftegleichgewicht zweier Krfte
    ... wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie liegen, einen entgegengesetzten Richtungssinn aufweisen und den gleichen Betrag besitzen.Zwei Kräfte $ F_1 $ und $ F_2 $ wirken auf einen Körper. Aus Messungen ist bekannt, dass $ F_1 = -4 N $ und $ F_2 = 4 N $ beträgt. Beide Kräfte liegen auf der gleichen Wirkungslinie und wirken entgegengesetzt. Die Resultierende $ R $ von den beiden Kräften ist:$ R = F_1 + F_2 = 4 N + (-4) N = 0 \rightarrow $ Da die Summe der Kräfte ...
  15. Eigenschaften der Kraft
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Eigenschaften der Kraft
    Wirkungslinie und Richtungssinn
    ... sich die Richtung der Kraft durch ihre Wirkungslinie und den Richtungssinn:Wirkungslinie und RichtungssinnIn der obigen Grafik ist die Wirkungslinie $f$ der Kraft $F$ zu sehen. Es ist möglich die Abweichung der Wirkungslinie von der Horizontalen durch einen Winkel zu bestimmen. Der Richtungssinn ist durch den Pfeil gegeben. $G$ ist die Gewichtskraft, die durch die Schwerkraft senkrecht nach unten gezogen wird.AngriffspunktZuletzt erfolgt die Beschreibung des Angriffspunkts. Dieser gibt den ...
  16. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum
    ... sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden. Kräfte im Raum - KoordinatensystemBerechnung der Teilresultierenden$R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg)$= -F_1 - F_3 = -5 - 10 = -15 N$   $R_y = F_5 + F_6 = 30 N$$R_z = F_2 - F_4 = 5 N$Betrag der Resultierenden$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} = \sqrt{(-15)^2 + 30^2 + 5^2} = \sqrt{1150} ...
  17. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... Abstand zum Bezugspunkt. Schneidet die Wirkungslinie einer Kraft bereits den Bezugspunkt, so existiert kein Hebelarm und damit auch kein Moment für diese Kraft. Außerdem ist die Richtung der Drehung zu berücksichtigen. Für Drehungen des Körpers um den Bezugspunkt entgegen des Uhrzeigersinns wird ein positives Vorzeichen gewählt, ansonsten ein negatives.MomentengleichgewichtsbedingungDer Bezugspunkt wird bei $A$ gesetzt, um die Lagerreaktion $B$ zu berechnen:$\curvearrowleft ...
  18. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittufer Schnittgren
    ... jedes Tragwerkteil eine gestrichelte Linie, welche direkt unterhalb des Tragwerkteils eingezeichnet wird. Diese Linie nennt man "gestrichelte Faser". Diese Faser dient zur Orientierung. So verläuft die x-Achse immer entlang dieser Faser und die z-Achse senkrecht zur gestrichelten Seite dieser Faser. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine eindeutige Schnittgrößenfestlegung.  Faser und Achsen
  19. Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Schraubenzieher und Schraube
    ... mit gleichem Betrag auf zwei parallelen Wirkungslinien liegen und einen entgegengesetzten Wirkungssinn haben. Kräftepaar: Schraubenzieher und SchraubeIn der obigen Grafik ist eine Schraube zu sehen. Diese wird mit einem Schraubendreher befestigt (Richtung Uhrzeigersinn). Die Kraft, die der Schraubendreher auf die Schraube ausübt, ist im 1. Teil der Grafik zu sehen. Dadurch dreht sich die Schraube. Die Kraft, die die Schraube dabei auf den Schraubendreher ausübt, ist im 2. Teil ...
  20. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    SChnittgren am Bogen Koordinatensystem
    ... wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen sehen wie folgt aus:Pfeil nach rechts oben ($x$-Achse):$N + A_v \cdot \sin (55°) + A_h \cdot \sin (35°) = 0$$N =  -A_v \cdot \sin (55°) - A_h \cdot \sin (35°)$$N = \frac{2}{3}F \sin ...
  21. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt gerade Linie
    Linienschwerpunkte konzentrieren sich, anders als Flächenschwerpunkte, auf die Berechnung des Schwerpunktes der LINIE. Das bedeutet zum Beispiel bei einem Kreisausschnitt, dass nicht die gesamte Fläche dieses Kreisausschnittes betrachtet wird, sondern nur der Kreisbogen. Die Berechnung eines Linienschwerpunktes gleicht der Berechnung des Schwerpunktes einer Fläche.Hierzu substituiert man einfach:$ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA $ [Fläche]   $\rightarrow$(1) $x_s = \frac{1}{l} ...
  22. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... Resultierenden $NH$ innerhalb der gestrichelten Linien liegt, befindet sich der Körper in Ruhe $H < H_0$, ansonsten in Bewegung $H > H_0$.Einige Haftungskoeffizienten für trockene MaterialienMaterialHaftungskoeffizient $\mu_0$Holz auf Holz0,5Stahl auf Stahl0,15 - 0,5Stahl auf Teflon0,04Stahl auf Eis0,03Leder auf Metall0,4Autoreifen auf Straße0,7 - 0,9Anwendungsbeispiel: HaftreibungGegeben sei der nachfolgende rechteckige Körper aus Stahl, welcher sich auf einer schiefen ...
  23. Bestimmung von Momenten
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... zu sich selbst verschoben wird, bis die Wirkungslinie von $F_1$ den Bezugspunkt $A$ schneidet. Es ist deutlich zu erkennen, dass $F_1$ mit dem Abstand $l$ parallel zu sich selbst verschoben werden muss, damit die Wirkungslinie (blau) den Punkt $A$ schneidet. Es gilt nun den Abstand $l$ zu berechnen. Dazu wird das linke Teildreieck mit der Höhe $a$ und der Breite $a$ betrachtet. Die Seite $l$ kann dann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:$l = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \; ...
  24. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... gewählt, weil sich dieser auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ befindet. Das ist bei der späteren Berechnung einfacher, da der Hebelarm der Kraft $F_1$ somit null ist und in der Berechnung des Momentengleichgewichts nicht auftaucht (alternativ hätte man auch $F_2$ oder $F_L$ wählen können).Die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erfolgt durch:$\uparrow : F_L - F_1 - F_2 = 0$       (alternativ: $ \downarrow : -F_L + F_1 + F_2$)Erläuterung: ...
  25. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Haltekraft
    ... Resultierenden direkt entgegen (gleiche Wirkungslinie, aber entgegengesetzte Richtung): $\ H = -R $Die Resultierende ist wie bereits gelernt die Zusammenfassung aller Kräfte. In diesem Abschnitt werden parallele Kräfte betrachtet. Die Resultierende hat demnach die gleiche Richtung wie die Kräfte. Die Haltekraft setzt sich der Resultierenden Kraft entgegen mit gleichem Betrag, aber in entgegengesetzter Richtung. Denn erst dann besitzt der Balken ein statisches Gleichgewicht. ...
  26. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Nummerierung der Knoten
    ... Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden:Winkel berechnenGleichgewichtsbedingungen Knoten 1Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt:Knoten 1$\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$$ 11,67 kN + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$$S_{14} = -26,09 kN$.$\rightarrow :  A_h + S_{12} ...
  27. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel: Ritterschnittverfahren
    ... zum Bezugspunkt (Schnitt mit der Wirkungslinie).Um die Lagerkraft $A$ zu berechnen, wird als Bezugspunkt der Knoten $K_3$ gewählt, da hier die Lagerkraft $B$ nicht mit eingeht. Da es sich hierbei um ein Festlager handelt, wirkt eine horizontale $A_h$ und eine vertikale $A_v$ Lagerkraft:$M_{K_3} = F_2 \cdot 2m + F_1 \cdot 6m - A_v \cdot 8 m = 0 $$0 = 20 \cdot 2m + 12 \cdot 6m - A \cdot 8 m$$A_v = 14 kN$Zur Berechnung von $A_h$ kann die Gleichgewichtsbedingung für die horizontalen ...
  28. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Beispiel: Resultierende ebener Krftegruppen
    ... 0$ : In diesem Fall ist $h = 0$ und die Wirkungslinie der Resultierenden schneidet den Bezugspunkt $ X$ und es existieren keine Momente.2. $ R = 0 $ und $ M_R^{(X)} \not= 0$: In diesem Fall liegen nur Momente vor und die Wahl des Bezugspunktes ist nicht mehr bedeutend für die Wirkweise der Momente. Download: Aufgabe und Lösung zur Bestimmung der ResultierendenAnwendungsbeispiel: Resultierende ebener KräftegruppenBeispiel: Resultierende ebener KräftegruppenGegeben sei ...
  29. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung: Beispiel
    ... dabei aus der Berechnung raus, da die Wirkungslinien bereits den Bezugspunkt schneiden. Es müssen nur die Kräfte, welche auf die Walze wirken, berücksichtigt werden. Der Hebel wird später separat betrachtet. Das Lager $B$ liegt in der Mitte der Walze, d.h. es gilt ein Abstand $r = 5m$ vom Rand der Walze:$\curvearrowleft{B} : -M_d -S_1 \cdot r + S_2 \cdot r = 0$$M_d = (S_2 - S_1) \cdot r$Das Drehmoment kann so noch nicht bestimmt werden, da die Seilkräfte $S_2$ und $S_1$ ...
  30. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... Darstellung durch die Schnittgrößenlinie. Schnitte am ebenen Balken sind immer dann notwendig, wenn Belastungswechsel (Unstetigkeiten) auftreten. Hierbei unterscheidet man zwischen statischen und geometrischen Unstetigkeiten. Statische Unstetigkeiten - Einzellasten,- Knicke in Streckenlasten.Geometrische Unstetigkeiten- Knicke der Balkenachse,- Verbindungselemente [wie beispielsweise Gelenke].Die oben genannte Vorgehensweise wird im Folgenden anhand eines Beispiels und ...
  31. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Dreieck
    ... zwei Kräfte unterschiedliche Wirkungslinien und unterschiedliche Richtungen, kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden. WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.Rechtwinklinge Überlagerung zweier KräfteIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit$R = ...
  32. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
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    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Krftezerlegung
    ... und $F_{3x}$. Diese besitzen dieselbe Wirkungslinie (siehe Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie). Die Beträge dieser können durch Addition (bei gleicher Richtung) bzw. Subtraktion (bei entgegengesetzter Richtung) zusammengefasst werden zu einer Resultierenden $R_x$ (gleiches gilt für die $y$-Achse). Erfolgt die Berechnung nicht mit den Beträgen, sondern mit der Kraft $\textbf{F}$, dann besitzen die Kräfte bereits ihre Vorzeichen und es erfolgt eine Addition ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Flchentrgheitsmoment dnnwandiges Quadrat
    ... des Balkens bezeichnet man als elastische Biegelinie. In den folgenden Abschnitten wird auf die Berechnung der Verformung mittels Differentialgleichung eingegangen.
  2. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... T = 0$.$EAu'' = -n$.Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft):(1) $EAu'' = 0$(2)$EAu' = N(x)$Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant:$EAu' = N $.(3) $EAu = N \cdot x + C_1$Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$:$EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$$C_1 = 0$.(3) ...
  3. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... $y_{max}$.Differentialgleichung der BiegelinieBelastung in $z$-Richtung:$ w(x)'' = - \frac{M_y (x)}{E \cdot I_{y}} $            mit$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und$ E\cdot I_{y}$ als Biegesteifigkeit.Belastung in $y$-Richtung:$ w(x)'' = - \frac{M_z (x)}{E \cdot I_{z}} $            mit$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und$ E\cdot I_{z}$ als Biegesteifigkeit.Streckenlast in $z$-Richtung ($M_z = ...
  4. Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenverformung
    ... eines Balkens versteht man die Biegelinie der neutralen Faser, die auch als elastische Linie bezeichnet wird. BalkenverformungIn den nachfolgenden Abschnitten werden u.a. die Differentialgleichung der Biegelinie bestimmt und die Rand- und Übergangsbedingungen für den Einbereichs- und Mehrbereichsfall bestimmt. Auch die Überlagerungsmethode ist Gegenstand dieses Kapitels. 
  5. Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion Kreisquerschnitt
    ... führt. Daher sind die Schubspannungslinien konzentrische Kreise. Bestimmung der VerdrillungUm nun eine genau Aussage bezüglich der Schubspannung treffen zu können, ist es vorab notwendig die Verdrillung $\vartheta $ zu bestimmen. Davon ausgehend, dass die Schubspannungen Momente hervorrufen, integriert man diese über die gesamte Kreisfläche. Als Resultat erhält man dann das resultierende Schnittmoment, welches dem äußeren Moment $ M_T $ ...
  6. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Spannungen im Stab konischer Stab
    ... wird. Dazu wird die Gerade (rote Linie) berechnet:Dies geschieht indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird:Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet:$r(x = 0) = r_0$$r(x = l) = 3r_0$Es ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... sind Kurven in der Ebene, entlang derer alle Linienelemente die gleiche Steigung besitzen. Dies bedeutet dass alle Punkte, deren Vektoren in die gleiche Richtung zeigen mit einer Linie (Isokline) verbunden werden könne.Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch$\ f(x,y) = const $ .In der folgenden Grafik wurden einige Isoklinen in das Richtungsfeld eingezeichnet.Isoklinen (blau)Zur Wahrung der Übersicht, ...
  2. Höhen- und Schnittlinien
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
    2D Ansicht einer Kugel
    ... $[y=0]$ ist : $\ z = \frac{1}{x^2} $HöhenlinienEine Höhenlinie (oder auch Niveaulinie genannt) stellt die Menge aller Punkte $\ P $ dar, die denselben Funktionswert besitzen. Das heißt, zu einer Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche $Z$ – Wert zugeordnet wird. d.h. für die gilt :$z = f(x,y) = c $. Um die Niveaulinien zu ermitteln setzt man den Wert $c$ konstant, also die Höhe. Man sieht dann von oben auf die Funktion. Jeder ...
  3. Implizite und explizite Darstellung
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    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. es wird zur Darstellung mehr als eine Funktion benötigt. Damit für die Darstellung von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben.Implizite DarstellungBei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. ...
  4. Gradient einfach berechnen
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    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    ... $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$. Bestimme den Gradienten der Funktion $\ f (x,y) = x^2 \cdot y^2$ an der ...
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