Inhaltsverzeichnis
Besitzen zwei Kräfte unterschiedliche Wirkungslinien und unterschiedliche Richtungen, kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden.
Merke
WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.
Eine Einführung in die Bestimmung von Resultierenden wird hier im nachfolgenden Video gegeben:
In aller Regel wird die rechtwinklige Überlagerung zweier Kräfte bei der Berechnung in statischen Systemen vorgegeben, das ist aber nicht der einzige Fall, der real ausschließlich vorkommen kann!
Rechtwinklinge Überlagerung zweier Kräfte
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit
Methode
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$ Satz des Pythagoras
In der obigen Grafik sind zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt gegeben. Der Winkel zwischen den beiden Kräften ist ein 90°- Winkel. Durch die Parallelogrammdarstellung ergeben sich zwei Teildreicke. Hier kann der Satz des Pythagoras angewandt werden. Dies soll anhand des unteren Teildreiecks demonstriert werden (Vektoraddition):
Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ bilden einen rechten Winkel. Hier kann zur Ermittlung des Betrages der Resultierenden der Satz des Pythagoras angewandt werden:
$R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$
Um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen, der angibt in welche Richtung die Resultierende $R$ wirkt (gemessen von $F_1$ aus), bedient man sich der Tangensfunktion:
$\tan (\alpha) = \frac{F_2}{F_1} \; \rightarrow \alpha = \tan^{-1} (\frac{F_2}{F_1})$
In diesem Beispiel:
$\alpha = \tan^{-1} (\frac{3}{4}) = 36,87°$
Der Winkel zwischen der Resultierenden $R$ und der Kraft $F_1$ beträgt demnach 36,87°.
Nichtrechtwinklige Überlagerung zweier Kräfte
Bei einer nichtrechtwinkligen Überlagerung kann der Satz des Pythagoras nicht mehr angewandt werden. In diesem Fall bedient man sich des Kosinussatzes.
Merke
Der Kosinussatz ermöglicht die Berechnung einer unbekannten Seite eines Dreiecks, wenn zwei Seiten und der Winkel, welcher von diesen Seiten eingeschlossen wird, gegeben sind.
Um den Kosinussatz formal auszudrücken, soll die folgenden Grafik helfen:
In der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1$ und $F_2$ gegeben, außerdem der Winkel $\gamma$, der durch diese eingeschlossen wird. Die beiden Seiten können durch die Parallelogrammkonstruktion dupliziert werden und kommen somit zwei mal vor. So ergeben sich die Winkel wie folgt:
Der Kosinussatz berechnet nun den Betrag der Resultierenden $R$ mithilfe der beiden Kräfte und des eingeschlossenen Winkels $\gamma$:
Methode
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\gamma)}$ Kosinussatz
Es ist ebenfalls möglich die Resultierende durch den Winkel $\beta$ auszudrücken:
Methode
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\beta)}$
Merke
Achtung: Wird der Winkel $\beta$ verwendet, so muss in der Formel statt des Pluszeichens ein Minuszeichen verwendet werden.
Der Winkel $\beta$ kann auch über den Winkel $\gamma$ berechnet werden und umgekehrt:
Methode
$360° - 2 \gamma - 2\beta = 0$
$\beta = 180° - \gamma $
$\gamma = 180° - \beta$
Der Winkel $\beta$ ist der Winkel zwischen den beiden Kräften, wenn eine Vektoraddition der beiden Kräfte durchgeführt wird:
Zusammenfassung:
- Ist der Winkel $\gamma$ gegeben, welcher zwischen den Anfangspunkten der beiden Kräfte liegt, wenn diese in einem gemeinsamen Angriffspunkt angreifen, so wird der Kosinussatz mit dem Pluszeichen verwendet.
- Ist hingegen der Winkel $\beta$ gegeben, welcher zwischen den beiden Kräften liegt bei Anwendung der Vektoraddition, so wird der Kosinussatz mit dem Minuszeichen verwendet.
Wirkrichtung der Resultierenden
Die Richtung der Resultierenden wird durch den Winkel $\alpha$ angegeben, welcher durch den Sinussatz berechnet werden kann.
Merke
Sinussatz
In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.
$\frac{a}{\sin (\alpha)} = \frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}$
Der Sinussatz für das obige Beispiel lautet:
$\frac{F_2}{\sin (\alpha)} = \frac{R}{\sin (\beta)}$
$\rightarrow \; \sin (\alpha) = \frac{F_2 \cdot \sin (\beta)}{R}$.
Im folgenden Video wird die Problematik (nicht-rechtwinklige Überlagerung) nochmals veranschaulicht:
Anwendungsbeispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen Dreieck
Beispiel
Gegeben seien folgende Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt und dem eingeschlossenen Winkel $\gamma$.
Der Betrag der Resultierenden und ihre Wirkrichtung soll berechnet werden.
Um den Betrag zu ermitteln wird der Kosinussatz angewandt:
1. Möglichkeit
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\gamma)}$
$R = \sqrt{12^2 + 10^2 + 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos (110°)} = 12,72$
2. Möglichkeit
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\beta)}$
mit $\beta = 180° - 110° = 70°$
$R = \sqrt{12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos (70°)} = 12,72$
Je größer der Winkel $\gamma$ wird, desto kleiner wird die resultierende Kraft $R$, weil sich die Kräfte gegenseitig aufheben bzw. entgegenwirken. Im Gegensatz dazu nimmt die resultierende Kraft $R$ immer weiter zu, je kleiner der Winkel wird. Das liegt daran, dass die Kräfte sich in ihrer Wirkrichtung annähern oder damit verstärken, je kleiner der Winkel wird.
Um die Wirkrichtung der Resultierenden zu berechnen wird der Sinussatz angewandt:
$\sin (\alpha) = \frac{F_2 \cdot \sin (\beta)}{R}$
$\sin \alpha = \frac{10 \cdot \sin (70°)}{12,72} = 0,74$
$\alpha = \sin^{-1} (0,74) = 47,73°$
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