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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Implizite und explizite Darstellung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Implizite und explizite Darstellung

explizite Darstellung

Im Kurs Höhere Mathematikwurde eine Funktion in Form $y = f(x)$ dargestellt. Das bedeutet, dass diese Funktion nach der Variablen $y$ aufgelöst ist. Man spricht in diesem Fall von einer expliziten Darstellung.

Da bei dieser Darstellungsform jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert zugeordnet wird, können einfache und häufig notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. es wird zur Darstellung mehr als eine Funktion benötigt. Damit für die Darstellung von Ellipsen oder Kreisen nicht mehrere Funktionen aufgestellt werden müssen, kann man diese auch in impliziter Form angeben.

Implizite Darstellung

Bei der impliziten Darstellungsform ist die Funktion nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die Funktion wird als Menge aller Nullstellen von $F$ angegeben und hat die Form:

$F(x,y) = 0 $.

Mit Hilfe der impliziten Darstellung können auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.

Anwendungsbeispiele

Um einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen. 

Beispiel

Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$

Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$.

Explizite Darstellung eines Kreises
Explizite Darstellung eines Kreises

Indem man die explizite Funktion in eine implizite Funktion umstellt, kann der Kreis mithilfe einer Funktion dargestellt werden:

$F(x, y) = 0$

$\sqrt{1-x^2} - y = 0 \ \rightarrow \ x^2 + y^2 = 1$

Implizite Darstellung eines Kreises
Implizite Darstellung eines Kreises


Je nachdem wie die Kurven beschaffen sind, ergeben sich verschiedene Typen von Funktionen. 

Am gängigsten sind

1. Lineare Funktionen, d.h. $\ F(x,y) = a \cdot x + b \cdot y + c $

$\rightarrow $ Die Gleichung $\ F(x,y) = 0 $ ist somit in der Ebene die Normalform einer Geraden.

2. Quadratische Funktionen $ F(x,y) = a \cdot x^2 + b \cdot y + c \cdot y^2 + d \cdot x + e \cdot y + f$ 

$\rightarrow $ Die sich aus der Gleichung $\ F(x,y) = 0 $ ergebende Lösungsmenge wird als Kegelschnitt bezeichnet, weil sie
als Schnittkurve einer Ebene mit einem Doppelkegel darstellbar ist. Durch eine unterschiedliche Zusammensetzung der Parameter $\ a, b, c, d, e, $ und $\ f$ erhält man auch unterschiedliche Lagebeziehungen von Doppelkegel und Ebene. Besonders interessant sind hierbei die Kurven von Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Übersicht impliziter Funktionen
Übersicht impliziter Funktionen