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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis

Definition: Vektorraum

Die Elemente eines Vektorraums $\mathcal V$ heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums $\mathcal V$.

Addition von Vektoren

Eine Bedingung ist, dass die Vektoren miteinander addiert werden können. Sind also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n}$ Vektoren aus $\mathcal V$, also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \in \mathcal V$ dann muss es möglich sein ihre Summe zu bilden. Das Ergebnis muss wieder ein Vektor aus $\mathcal V$ sein, also: 

$\vec{a_1} + \vec{a_2} + ... + \vec{a_n} \in \mathcal V$

Skalarmultiplikation mit Vektoren

Die Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \in \mathcal V$  müssen mit einer reellen Zahl (Skalar) $\lambda \in \mathbb{R}$ multpliziert werden können. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor aus $\mathcal V$:

$\lambda \vec{a_1} \in \mathcal V$

Lineare Hülle / Spann

Unter der linearen Hülle von $M = \{\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \}$ (engl: span) versteht man die Menge von Vektoren (in $\mathcal V$), die sich als Linearkombination mit Vektoren aus $M$ darstellen lassen:

Methode

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$[M] = \{\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} | \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n \in \mathbb{R} \}$

Hierbei ist $M$ eine Teilmenge von $\mathcal V$. 

Die lineare Hülle besteht besteht aus allen Vielfachen der Vektoren (aus $M$) und deren Summen, ist also die Menge aller möglichen Linearkombinationen, die mit den gegebenen Vektoren gebildet werden können.


Wir betrachten zunächst einen Vektor $\vec{a_1}$ im $\mathcal V = \mathbb{R}^3$. $M := \{\vec{a_1} \}$. Dieser Vektor sei gegeben mit den Einträgen $\vec{a_1} = (1,4,3)$.


Die lineare Hülle eines einzigen Vektors $\vec{a_1}$ ist die Menge aller Vielfachen dieses Vektors:

$[M] = \{\lambda \cdot \vec{a_1} | \lambda \in \mathbb{R} \}$

Nehmen wir z.B. $\lambda = 2$ so ergibt sich:

$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot (1,4,3) = (2, 8, 6)$.

Dieser Vektor bildet also unter anderem die lineare Hülle von $\vec{a_1}$. Wird der Vektor $\vec{a_1}$ also mit $\lambda $ multipliziert, wobei $\lambda$ alle reellen Zahlen annehmen kann, so resultierenden die Vektoren, die alle die lineare Hülle von $\vec{a_1}$ bilden.


Wir betrachten als nächstes zwei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ im $\mathcal V = \mathbb{R}^3$. $M := \{\vec{a_1}, \vec{a_2} \}$. Diese Vektoren seien gegeben mit den Einträgen $\vec{a_1} = (1,4,3)$, $\vec{a_2} = (2,1,6)$.

$[M] = \{\lambda_1 \cdot \vec{a_1} +  \lambda_2 \cdot \vec{a_2} | \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \}$

Ein Vektor ist genau dann in $[M]$, wenn es passende Skalare $\lambda_1$ und $\lambda_2$ gibt, sodass sich der Vektor als Linearkombination von $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ darstellen lässt.

Setzen wir z.B. $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 3$ so erhalten wir einen Vektor, der zur obigen linearen Hülle gehört:

$2 \cdot (1,4,3) + 3 \cdot (2,1,6) = (2,8,6) + (6,3,18) = (8, 11, 24)$

Auch hier können für $\lambda_1$ und $\lambda_2$ wieder alle reellen Zahlen eingesetzt werden. Man kann sich vorstellen wie groß die lineare Hülle dieser Menge wird.


Betrachten wir nun unendlich viele Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n}$ im $\mathcal V = \mathbb{R}^3$. $M := \{\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \}$. Dann ist die lineare Hülle definiert zu:

$[M] = \{\lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n}  | \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n \in \mathbb{R} \}$

Ein Vektor ist genau dann in $[M]$, wenn es passende Skalare $\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n$ gibt, sodass sich der Vektor als Linearkombination der Vektoren darstellen lässt. 

Merke

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Je mehr Vektoren innerhalb einer Menge gegeben sind, desto größer wird die lineare Hülle dieser Menge.

Erzeugendensystem, Basis

Sei $\mathcal V$ ein Vektorraum und $M$ Elemente dieses Vektorraums. Dann heißt $M$ Erzeugendensystem von $\mathcal V$, falls die lineare Hülle von $M$ den gesamten Vektorraum $\mathcal V$ ergibt:

Methode

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$[M] = \mathcal V$

Wir betrachten also einen Vektorraum $\mathcal V$. Das Erzeugendensystem für diesen Vektorraum ist die Menge von Vektoren, deren lineare Hülle den gesamten Vektorraum abbildet. 

Merke

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Einfach: Die Menge $M$ enthält Vektoren mit denen wir den gesamten Vektorraum "bauen" können. Diese Menge $M$ ist dann ein Erzeugendensystem. Das Erzeugendensystem kann linear abhängige und unabhängige Vektoren enthalten.

Wenn wir also eine Menge von Vektoren $M$ gegeben habe, dann ist diese Menge ein Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor im Vektorraum $\mathcal V$ als Linearkombinantion dieser Vektoren dargestellt werden kann. 

Wir können prüfen, ob eine Menge $M$ ein Erzeugendensystem darstellt, indem wir die Dimension der lineare Hülle mit der Dimension des Vektorraums vergleichen. Resultieren die gleichen Dimensionen, so ist die Menge $M$ ein Erzeugendensystem.

Basis

Die Basis von Vektoren ist ein Erzeugendensystem, bei dem alle Vektoren linear unabhängig sind. Im $\mathbb{R}^2$ besteht die Basis aus zwei linear unabhängigen Vektoren, im $\mathbb{R}^3$ aus drei unabhängigen Vektoren und im $\mathbb{R}^n$ aus $n$ unabhängigen Vektoren.

Merke

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Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, bei dem alle Vektoren linear unabhängig sind.

Wir können prüfen, ob eine Menge $M$ ein Erzeugendensystem darstellt, indem wir die Dimension der linearen Hülle mit der Dimension des Vektorraums vergleichen. Resultieren die gleichen Dimensionen, so ist die Menge $M$ ein Erzeugendensystem. Zusätzlich muss dann die Anzahl der Vektoren der Dimension entsprechen, dann handelt es sich um eine Basis.

Beispiel

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Beispiel: Sei eine Menge von Vektoren im $\mathbb{R}^3$ gegeben. Diese Menge ist dann ein Erzeugendensystem, wenn 3 (wegen $\mathcal V = \mathbb{R}^3$) unabhängige Vektoren gegeben sind. Dabei kann die Menge $M$ unendlich viele Vektoren enthalten, es müssen aber 3 linear unabhängige Vektoren enthalten sein, damit der gesamte Vektorraum $\mathcal V = \mathbb{R}^3$ abgebildet werden kann.

Eine Basis liegt dann vor, wenn nur 3 linear unabhängige Vektoren gegeben sind. Es dürfen also keine weiteren Vektoren gegeben sein.

Zum besseren Verständnis der oben aufgeführten Themen, wird ein Beispiel herangezogen.

Beispiel: Lineare Hülle, Erzeugendensystem, Basis

Beispiel

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Im Vektorraum $\mathcal V = \mathbb{R}^2$ sei die folgende Menge von Vektoren gegeben:

$M = \{\vec{a_1}, \vec{a_1}, \vec{a_1}, \vec{a_1} \}$ mit

$\vec{a_1} = (1,2)$, $\vec{a_2} = (2,1)$, $\vec{a_3} = (2,0)$, $\vec{a_4} = (0,3)$

Ist die Teilmenge $M$ ein Erzeugendensystem des $\mathbb{R}^2$?

Ist $M$ eine Basis?

Zeige alle möglichen Basen auf!

Erzeugendensystem

Zur Überprüfung können nun verschiedene Rechenwege herangezogen werden. Der einfachste Weg folgt über den Rang einer Matrix.

1.Ist $M$ Teilmenge des Vektorraums?

Wir prüfen zunächst ob die Menge $M$ eine Teilmenge des Vektorraums darstellt. Da alle Vektoren dem $\mathbb{R}^2$ angehören und demnach miteinander addiert und mit einem Skalar multipliziert werden können und wieder ein Vektor des $\mathbb{R}^2$ resultiert, ist $M$ eine Teilmenge von $\mathcal V$.

2.Dimension der linearen Hülle mit der Dimension des Vektorraums vergleichen

Wir bilden die lineare Hülle der Menge $M$:

$[M] = \{\lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot a_2 + \lambda_3 \vec{a_3} + \lambda_4 \vec{a_4} \}$

$[M] = \{\lambda_1 \cdot (1,2) + \lambda_2 \cdot (2,1) + \lambda_3 (2,0) + \lambda_4 (0,3) \}$


Wir schreiben zunächst das Gleichungssystem auf:

$\lambda_1 + 2 \lambda_2 + 2 \lambda_3 + 0 \lambda_4$

$2 \lambda_1 + \lambda_2 + 0 \lambda_3 + 3 \lambda_4$

Eine Möglichkeit ist es nun die Dimension der linearen Hülle zu bestimmen, indem wir die Vektoren in eine Matrix eintragen und den Rang dieser Matrix bestimmen. Entspricht der Rang der Dimension von $\mathcal V$, so ist die Menge $M$ ein Erzeugendensystem des Vektorraums $\mathcal V$.

 

Wir tragen nun die Vektoren in eine Matrix ein:

$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 3 
\end{vmatrix}
$

Hier müssen keine elementaren Umformungen mehr vorgenommen werden, da keine weiteren Nullen in den Zeilen erzeugt werden können, ohne dass eine andere Null verschwindet. Es ist aber deutlich zu erkennen, dass die 1. Zeile von der 2. Zeile unabhängig ist, aufgrund der Nullen an unterschiedlichen Stellen. Der 1. Zeilenvektor kann also nicht als Linearkombination des 2. Zeilenvektors dargestellt werden. Oder: Es gibt keine Zahl mit welcher der 1. Zeilenvektor multipliziert werden kann, damit der 2. Zeilenvektor resultiert.

Demnach sind hier 2 unabhängige Zeilenvektoren gegeben und damit ist der Rang der Matrix $rg2$. Zwei Vektoren sind also voneinander unabhängig. Um den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ zu erzeugen, benötigt man zwei linear unabhängige Vektoren.

Dimension des Vektorraums und Dimension der linearen Hülle sind demnach gleich. Damit ist die Menge $M$ ein Erzeugendensystem des Vektorraums $\mathcal V = \mathbb{R}^2$, weil gilt:

$[M] = \mathcal V$

Merke

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Die Vektoren in $M$ können also alle Vektoren des Vektorraums $\mathcal V = \mathbb{R}^2$ abbilden. 

Nehmen wir also einen beliebigen Vektor des $\mathbb{R}^2$:

$\vec{v} = (8,1)$

Dann kann dieser Vektor als Linearkombination der Vektoren in $M$ abgebildet werden. Jeder andere Vektor im $\mathcal V = \mathbb{R}^2$ kann ebenfalls als Linearkombination der Vektoren in $M$ abgebildet werden:

$(8,1) = \lambda_1 \cdot (1,2) + \lambda_2 \cdot (2,1) + \lambda_3 (2,0) + \lambda_4 (0,3)$

$(8,1) = 0 \cdot (1,2) + 0 \cdot (2,1) + 4 (2,0) + \frac{1}{3} (0,3)$  (frei gewählte Koeffizienten)

Wichtig: Die obigen Koeffizienten sind frei gewählt, so dass der Vektor (8,1) resultiert. Dabei muss mindestens ein Koeffizient $\lambda_i$ ungleich Null sein. Dies ist im obigen Beispiel der Fall. Zwei Koffizienten sind ungleich Null, zwei gleich Null. Mit $\lambda_{1,2} = 0$, $\lambda_3 = 4$ und $\lambda_4 = \frac{1}{3}$ kann der Vektor $\vec{v} = (8,1)$ abgebildet werden. 

Basis

Die Basis ist ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren. Wir betrachten den $\mathcal V = \mathbb{R}^2$. Mithilfe von zwei unabhängigen Vektoren lässt sich der gesamte Vektorraum $\mathcal V = \mathbb{R}^2$ darstellen. Die anderen Vektoren in der Menge $M$ sind nicht notwendig um den Vektorraum abzubilden. Die Basis ist also ein minimales Erzeugendensystem.

Wir müssen also als nächstes prüfen, ob die obige Menge $M$, die ja ein Erzeugendensystem darstellt, auch gleichzeitig eine Basis darstellt. Dieser Schritt ist nun einfach. Wir haben den Rang 2 $rg2$ ermittelt. Da aber 4 Vektoren gegeben sind, ist die Menge $M$ zwar ein Erzeugendensystem aber keine Basis. Wir haben nämlich nur zwei unabhängige Vektoren, die anderen beiden sind linear abhängig. Demnach ist die Menge $M$ keine Basis.

Für den $\mathbb{R}^2$ gilt, dass die Basis immer aus zwei unabhängigen Vektoren besteht. Jeder weitere Vektor ist nicht linear unabhängig und gehört demnach nicht zur Basis. 

Merke

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Eine Basis im $\mathbb{R}^n$ besteht aus $n$ unabhängigen Vektoren.

Wir wollen nun die Basen der obigen Vektoren aus $M$ bilden. Wir betrachten dazu zwei unabhängige Vektoren, weil wir uns im $\mathbb{R}^2$ befinden. Wir beginnen mit dem Vektor $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$. Lässt sich einer der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors darstellen, so sind beide linear abhängig und bilden keine Basis:

$\vec{a_1} = \lambda \vec{a_2}$

$(1,2) = \lambda  \cdot (2,1)$


Nach $\lambda$ auflösen:

$1 = 2 \lambda$   $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

$2 = 1 \lambda$   $\Rightarrow \lambda = 2$

Es resultieren zwei unterschiedliche Werte für $\lambda$, demnach sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Es gibt also kein $\lambda$, welches mit dem Vektor $\vec{a_2}$ multipliziert den Vektor $\vec{a_1}$ als Ergebnis hat (und anders herum).

Hinweis

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Die Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ bilden eine Basis.

Betrachten wir die Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_3}$. Führen wir nun die obige Berechnung durch, so erhalten wir zwei linear unabhängige Vektoren.

Hinweis

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Die Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_3}$ bilden eine Basis.

Für die weiteren Vektoren gilt:

Hinweis

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Die Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_4}$ bilden eine Basis.

Die Vektoren $\vec{a_2}$ und $\vec{a_3}$ bilden eine Basis.

Die Vektoren $\vec{a_2}$ und $\vec{a_4}$ bilden eine Basis.

Die Vektoren $\vec{a_3}$ und $\vec{a_4}$ bilden eine Basis.

Wir haben hier also 6 Basen gegeben, die jeweils zwei unabhängige Vektoren enthalten. Jeder weitere Vektor stellt eine Linearkombination der Vektoren innerhalb der Basis dar.

Nehmen wir die erste Basis mit den Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$. So ist z.B. der Vektor $\vec{a_3} = (0,3)$ eine Linearkombination aus diesen Vektoren:

$(0,3) = \lambda_1 (1,2) + \lambda_2 (2,1)$

Wir tragen das Ganze in eine Matrix ein:

$\left(
\begin{matrix} 1&2 \\ 2&1 \end{matrix}
\left|
\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}
\right) \right.$

Und wenden den Gauß-Algorithmus an. Hierbei versuchen wir so viele Nullen wie möglich zu erzeugen, um das Gleichungssystem zu lösen. Die 2. Zeile wird mit 2 multipliziert und danach die 1. Zeile abgezogen:

$\left(
\begin{matrix} 1&2 \\ 3&0 \end{matrix}
\left|
\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix}
\right) \right.$


Aus der 2. Zeile ergibt sich dann:

$3 \lambda_1 = 6$  $\Rightarrow \lambda_1 = 2$


Einsetzen in die 1.Zeile:

$\lambda_1 + 2 \lambda_2 = 0$   |$\lambda_1 = 2$ einsetzen

$2 + 2 \lambda_2 = 0$    $\Rightarrow \lambda_2 = -1$

Der Vektor $(0,3)$ kann also als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ dargestellt werden. Jeder andere Vektor im $\mathbb{R}^2$ kann als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden. Dies gilt ebenfalls für die anderen 5 Basen.