Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    ... indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird: Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet: $r(x = 0) = r_0$ $r(x = l) = 3r_0$ Es ist schon mal ersichtlich, dass die Gerade bei $r(0) = r_0$ beginnt. ...
  2. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen: Normalspannung und Dehnung in x-Richtung: $\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung] $\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung]        [Umstellung ...
  3. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... Beziehung unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems ist [Elastische Isotropie]. Die Gleichung für einen Baustahl mit einer Querkontraktionszahl von $\nu = 0,3 $ hat die Form:$\ G = \frac{E}{2 \cdot ( 1 + \nu)} \rightarrow  G \approx \frac{3}{8} E \approx 0,4 E $. Daraus lässt sich ableiten, dass ein elastischer, isotroper Körper zwei unabhängige Materialkonstanten hat. Entweder $ E$ und $ G$ oder $ E$ und $\nu $. Erfüllt ein Körper nicht die Eigenschaft der Isotropie, kann ...
  4. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... indem man die Stäbe $S_1$ und $S_2$ in ein Koordinatensystem legt und dupliziert (und dabei dreht). Man wird dann erkennen, dass die gestrichelte grüne Linie den Stab $S_1$ widerspiegelt und die schräge Linie (dick schwarz) den Stab $S_2$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass diese einen Abstand vom Winkel $\alpha$ besitzen. In der obigen Grafik sind die Stäbe $S_1$ und $S_1$ solange gedreht worden, bis das gedrehte $S_2$ (gestrichelte Linie) im rechten Winkel zu dem ursprünglichen ...
  5. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    ... des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben.  Drehung des Koordinatensystems Dazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet: Die resultierende Spannungsmatrix ist:  $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $  Es wird nun der Einfluss der Drehung des Koordinatensystems [x,y] um den ...
  6. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Beispiel 1: Koordinatentransformation
    ... Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 65°-Winkel zur $x$-Achse: Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als nächstes muss ...
  7. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    ... Hauptrichtung, also die Drehung des Ausgangskoordinatensystems um einen bestimmten Winkel, so dass die Hauptnormalspannungen auftreten, erfolgt durch: $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$     Um den Winkel $\alpha^*$ zu berechnen muss die Gleichung nach $\alpha^*$ aufgelöst werden: $2 \alpha^*) = \tan^{-1}(\frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}})$     Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, ...
  8. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... der Winkel also um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptschubspannung auftritt, wird bestimmt zu: $\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})} = - \frac{2\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)}$ Um den Winkel zu bestimmen, muss die Gleichung nach $\alpha^{**}$ aufgelöst werden: $2 \alpha^{**} = \tan^{-1} ( - \frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})$ Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, so erfolgt ...
  9. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ... Winkel bestimmt, um welchen sich das Ausgangskoordinatensystem drehen muss (Linksdrehung), damit die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen: $\tan (2\alpha^{**}) = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{(2 \tau_{xy})}$ Alternativ kann die Berechnung des Winkels auch über die Hauptrichtungen der Hauptnormalspannungen erfolgen:  $\alpha^{**} = \alpha^* \pm \frac{\pi}{4} $ mit $\frac{\pi}{2} = 45°$ Normalspannung bei Hauptschubspannungen Liegen die Hauptschubspannungen vor, so nehmen ...
  10. Beispiel 1: Hauptspannungen
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    Beispiel 1: Hauptspannungen
    ... Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung die auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 55°-Winkel zur $x$-Achse: Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als nächstes muss ...
  11. Beispiel 2: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen
    Beispiel 2: Hauptspannungen
    ... von 120° zur x-Achse liegt das neue $x^*, y^*$-Koordinatensystem im Gegensatz zum $x,y$-Koordinatensystem um 30° im Uhrzeigersinn gedreht vor. Da IM Uhrzeigersinn gedreht wird, ist $\alpha = -30°$. Die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt gelten für ein positives $\alpha$, wenn GEGEN den Uhrzeigersinn gedreht wird und entsprechend muss $\alpha = -30°$ hier negativ berücksichtigt werden. Dreht man nun die Scheibe mit den in positive Richtung zeigenden Spannungen ebenfalls um 30° mit den Uhrzeigersinn, ...
  12. Mohrscher Spannungskreis
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    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis
    ... den Punkt $P´(\sigma_y | -\tau_{xy})$ in das Koordinatensystem ein. 2. Man verbindet die Punkte P und P´ miteinander. 3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$. 4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$. Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen. Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen ...
  13. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    ... sich also um die Linksdrehung des Ausgangskoordinatensystems um 40° zur x-Achse. Um die Normalspannungen und Schubspannung für den Winkel $\beta = 40°$ zu erhalten, muss der Winkel $2 \beta$ von der Verbindungslinie $P_1(-30/-10)$ zu $\sigma_m$ aus abgetragen werden. Im Mohrschen Spannungskreis erfolgt die Abtragung entgegen der Drehung des Koordinatensystems, also in einer Rechtsdrehung MIT dem Uhrzeigersinn: Nachdem der Winkel abgetragen wurde, wird eine Verbindungslinie mit diesem ...
  14. Transformation von Verzerrungskomponenten
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten
    ... gelten auch für eine Drehung des zugehörigen Koordinatensystems anstelle des Bauteils. 
  15. Hauptdehnungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen
    Hauptdehnungen
    ... das bedeutet, dass hier ein neues $x^*y^*$-Koordinatensystem eingeführt werden kann. Man legt die $x^*$-Achse auf den Messstreifen $a$, das bedeutet die $y^*$-Achse liegt dann auf dem Messstreifen $c$ (Achsen liegen im 90° Winkel zueinander). Das $x,y$-Koordinatensystem wird also um $\alpha = 45°$ (positiv, da gegen den Uhrzeigersinn) gedreht: Bestimmung der Hauptdehnungen Die Formel zur Berechnung der Hauptdehnungen lautet: $\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\epsilon_x ...
  16. Arten der Biegung
    Balkenbiegung > Arten der Biegung
    Arten der Biegung
    ... Symmetrie wird immer in Abhängigkeit vom $y,z$-Koordinatensystem des Querschnitts bestimmt. Das bedeutet, ein Querschnitt wird als asymmetrisch betrachtet, wenn die $y$- und $z$-Achse keine Symmetrieachsen des Querschnittes darstellen. Besitzt der Balken den obigen rechteckigen Querschnitt, so ist dieser symmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen. Beide Achsen stellen in diesem Fall Symmetrieachsen dar. Die Hauptachsen sind also gleichzeitig die $y,z$-Achsen und verlaufen durch den Schwerpunkt ...
  17. Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
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    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
    Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
    ... ist immer auch von der Lage des zugewiesenen Koordinatensystems abhängig. Meistens fällt die Wahl auf ein Koordinatensystem dessen Ursprung auch gleichzeitig mit dem Flächenschwerpunkt $S$ der betrachteten geometrischen Figur zusammenfällt oder auf ein Koordinatensystem, bei dem zumindest eine Achse den Flächenschwerpunkt berührt. Dies birgt den Vorteil, dass das Deviationsmoment meistens null wird (dann wenn eine oder beide Achsen Symmetrieachsen darstellen). An dieser Stelle sei erwähnt, ...
  18. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    ... Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem gezeigt sind die Flächenträgheitsmomente für ein Rechteck: $I_y = \frac{ba^3}{12}$ $I_z = \frac{ab^3}{12}$ $I_{yz} = 0$ Es wird hier gezeigt, wie man diese Formeln erhält. Die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente erfolgt mit: $I_y = \int z^2 \; dA$ $I_z = \int y^2 \; dA$ $I_{yz} = \int yz \; dA$ Begonnen wird mit $I_y$. Man wählt nun einen infinitesimal kleinen Streifen mit der Breite $dz$ aus dem Rechteck, welcher ...
  19. Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    ... berechnen lassen, wenn das Ursprungskoordinatensystem um einen mathematisch positiven Winkel $\alpha $ gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel. Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem $y, z$ werden nun in das Koordinatensystem $\xi \eta $ überführt. Die Lage der Koordinaten im ...
  20. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    ... eine Hauptachse. Betrachten wir ein $y,z$-Koordinatensystem, welches durch den Schwerpunkt einer Querschnittsfläche verläuft. Doppelt symmetrische Querschnitte in Bezug auf dieses Koordinatensystem sind dann Rechtecke, Quadrate oder Kreise, weil beide Achsen Symmetrieachsen darstellen. Sowohl die $y$- als auch die $z$-Achse sind Hauptachsen des Querschnitts. Einfach symmetrische Querschnitte sind u.a. ein gleichschenkliges Dreieck oder ein gleichschenkliges Trapez, weil die $z$-Achse eine ...
  21. Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    ... Lösung der Integrale im $ y^* - z^* $ - Koordinatensystem. 2. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen und Nutzung der Flächenträgheitsmomente, welche sich auf das Schwerpunktkoordinatensystem beziehen (Steinersche Sätze). Die Formeln für letztere können Tabellenwerken entnommen werden.  Im Folgenden wird der 2. Punkt ausführlich behandelt und die Steinerschen Sätze hergeleitet. Zum Schluss wird dies anhand eines ausführlichen Beispiels dargestellt. Angewendet werden die ...
  22. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
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    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    ... Für zwei Teilflächen, die sich auf das $y, z$-Koordinatensystem beziehen, gilt: $ A_{ges} = A_1 + A_2 $ Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt.  Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen: $\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $  Das Video wird geladen ... Flächenträgheitsmomente ...
  23. Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
    Schub > Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
    Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
    ... Formel für die Parallelverschiebung des Koordinatensystems hin zum Schwerpunkt eines anderen Bereichs: $ I_{y^*} = I_{y} + z_s^{*2} \cdot A $ Für den Bereich 1 ist der Abstand $z_s$ (Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt des betrachteten Körpers): $z_s = b - \frac{h}{2}$ Der Schwerpunkt für das obige Profil liegt mittig, da es sich um ein Rechteck handelt. Der Abstand $b$ geht bis an den äußeren oberen Rand, da der Schwerpunkt aber mittig liegt muss noch die Hälfte ...
  24. Kritische Knickkraft
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickkraft
    Kritische Knickkraft
    ... Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem). Ist das Flächenträgheitsmoment nicht tabellarisch gegeben, muss dieses berechnet werden. Da es sich hierbei um einen kreisförmigen Querschnitt handelt, kann man $I$ aus der Tabelle ablesen: $I = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi \cdot (5mm)^4}{4} = 490,87 mm^4$ E-Modul Das E-Modul für den Werkstoff S235 (St 37) kann aus einer Tabelle abgelesen werden. Es handelt sich hierbei um Stahl mit dem E-Wert: $21 \cdot 10^4 N/mm^2$. Kritische ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Lage des Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Lage des Massenpunktes
    Lage des Massenpunktes
    ... Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung des Koordinatensystems auf den Punkt $P$. Ändert sich nun die Lage des Punktes $P$ mit der Zeit $t$, so beschreibt $r(t)$ die Bahn des Punktes $P$. Die Änderung des Ortsvektors $\triangle r$ kann angegeben werden durch: $\triangle r =  r(t + \triangle t) - r(t)$.  Der Massenpunkt befindet sich zum Zeitpunkt $t$ bei $P$ und zum Zeitpunkt $t + \triangle t$ bei $P'$. Die Änderung des Ortsvektors kann herangezogen werden, um die Strecke zwischen ...
  2. Geschwindigkeitsvektor
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor
    Geschwindigkeitsvektor
    ... 16, 6)$. Der Ortsvektor beginnt im Ursprung des Koordinatensystem und zeigt auf den Punkt (10,16,6). Es soll nun auch genau für diese Zeit $t = 2$ der Geschwindigkeitsvektor bestimmt werden. Die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$ führt auf den Geschwindigkeitsvektor. In dem hier angeführten Beispiel ergibt sich demnach ein Geschwindigkeitsvektor von $\dot{r(t)} = v(t) = (5, 8t, 3)$. Man erhält zunächst einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für die betrachtete Bahnkurve. Will man ...
  3. Ort-Zeit-Diagramm
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme > Ort-Zeit-Diagramm
    Ort-Zeit-Diagramm
    ... Tangentenvektoren zeigen vom Ursprung des Koordinatensystems auf den berechneten Punkt. Es muss dann eine Parallelverschiebung dieser Vektoren in den betrachteten Punkt stattfinden. Dabei darf die Richtung der Vektoren nicht verändert werden. Für z.B. $t=1$ muss der Vektor $\vec{v}_{t=1} = (1 / 0,7)$ in den Punkt $(1 / 2,6)$ verschoben werden. Der Punkt $(1 / 2,6)$ berechnet sich, indem $t = 1$ in die Ausgangsfunktion eingesetzt wird. Es resultiert dann $x = 2,6$. Bestimmung der Geschwindigkeit Die ...
  4. Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit > Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    ... obigen Grafik ist links eine Gerade im $x,y$-Koordinatensystem aufgezeigt. Die Geradengleichung ist $y = mx + b$ und sollte jedem bekannt sein. Die Steigung ist rot markiert. Zur Bestimmung der Steigung $m$ müssen $b$ Schritte nach unten und $x_1$ Schritte nach rechts durchgeführt werden. Die Schritte entlang der Abzisse (x-Achse) werden immer unter dem Bruchstrich berücksichtigt, die Schritte auf der Ordinate (y-Achse) oberhalb des Bruchstrichs. 2. Geradengleichung herleiten Für das hier ...
  5. Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
    Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
    Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
    ... Hierzu führt man ein ebenes $r, \varphi$-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung mit dem des $x,y$-Koordinatensystems zusammenfällt. Der Winkel $\varphi$ wird dabei von der positiven $x$-Achse ausgehend positiv gezählt.  Es werden die Basisvektoren $e_r$ und $e_{\varphi}$ eingeführt, welche beide orthogonal (senkrecht) zueinander stehen: In der obigen Grafik ist eine Bahnkurve (rot), welche in der $x,y$-Ebene liegt zu sehen. Der Punkt $P$ auf der Bahnkurve ist durch die $x,y$-Koordinaten ...
  6. Inertialsystem
    Kinetik des Massenpunktes > Inertialsystem
    Inertialsystem
    ... werden. Ein Inertialsystem ist zunächst ein Koordinatensystem. Allerdings gilt innerhalb eines Inertialsystem das 1. Newtonschen Gesetz: Ein Körper verbleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen gradlinigen Bewegung (kein Auftreten von Beschleunigung, konstante Geschwindigkeit), solange dieser nicht durch die Einwirkung von Kräften zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird. Das bedeutet also, dass sich innerhalb eines Inertialsystems nur Körper befinden, die kräftefrei sind. ...
  7. Impulssatz
    Kinetik des Massenpunktes > Impulssatz und Impulsmomentensatz > Impulssatz
    Impulssatz
    ... separat betrachtet werden.  Man wählt das Koordinatensystem so, dass die $x$-Achse in Richtung der Bewegung zeigt. Es wird mit der Betrachtung der $x$-Richtung begonnen: $\int F_x \; dt = mv_x - mv_{0x}$ In $x$-Richtung wirkt die Zugkraft $F$, die Reibungskraft $-R$ (minus, da entgegen der positiven $x$-Richtung) und anteilig die Gewichtskraft $G_x$  Einsetzen ergibt: $\int (F - R + G_x) dt = mv_x - mv_{0x}$. Es gilt für $F = 50 \frac{N}{s} t$, $R = \mu N$ und $G_x = G \sin (\alpha)$. ...
  8. Kinetik des Massenpunktsystems
    Kinetik des Massenpunktsystems
    Kinetik des Massenpunktsystems
    ... demnach in der Ebene. Legt man nun ein $x,y$-Koordinatensystem darüber, wobei die $x$-Achse die Breite und die $y$-Achse die Länge angibt, dann kann die Position jedes Schiffs mithilfe der $x$- und $y$-Koordinaten ermittelt werden. Jedes Schiff besitzt demnach zwei Freiheitsgrade. Es herrscht aber noch eine kinematische Bindung der beiden Schiffe zueinander $r = 1$. Insgesamt ergibt sich also: $f = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ Das Massenpunktsystem bestehend aus den zwei Schiffe besitzt 3 Freiheitsgrade. Als ...
  9. Gesamtimpuls / Impulssatz
    Kinetik des Massenpunktsystems > Gesamtimpuls / Impulssatz
    Gesamtimpuls / Impulssatz
    ... sich in der Ebene bewegen, wird ein $x,y$-Koordinatensystem eingeführt: Die Geschwindigkeiten werden in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt. Der Impulssatz ist konstant, also der Anfangsimpuls ist gleich der Summe der Endimpulse. In $x$-Richtung: $mv_{x0} = m_1 v_{x1} + m_2 v_{x2} + mv_{x3}$ Da sich der Massenpunkt $m_1$ in Ruhe befindet, gilt $v_{x1} = 0$ und damit: $mv_{x0} = m_2 v_{x2} + mv_{x3}$ Einsetzen der Komponenten: $m \; v_0 \cos (\alpha) = m_2 v_2 \cos (65°)  + m ...
  10. Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
    Kinematik des starren Körpers > Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
    Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
    ... Zur Lösung der Aufgabe, wird zunächst ein Koordinatensystem gewählt, welches mit dem Ursprung mit $A$ zusammenfällt: Es wird nun der Ort von $C$ und $B$ mittels kartesischer Koordinaten ausgedrückt. Dabei wird sich an der Grafik 3 des obigen Textest orientiert und der dort aufgestellten kartesischen Koordinaten. Es gilt: $x_C = x_B + l \cos (\beta)$ mit $x_B = r \cos(\alpha)$ $x_C = r \cos (\alpha) + l \cos (\beta)$ Man kann diese Gleichungen auch sehr gut mittels Winkelberechnungen ...
  11. Allgemeine räumliche Bewegung
    Kinematik des starren Körpers > Allgemeine räumliche Bewegung
    Allgemeine räumliche Bewegung
    ... betrachtet und das $x^*, y^*, z^*$-Koordinatensystem, welches sich translatorisch mit dem starren Körper mitbewegt, indem das Koordinatensystem fest mit dem Körperpunkt $A$ verbunden ist: Da sich das $x^*, y^*, z^*$-Koordinatensystem translatorisch mitbwegt, sieht ein Beobachter im Ursprung $A$ nur eine Rotationsbewegung des starren Körpers. Für die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes $P$ aufgrund der Rotationsbewegung des starren Körpers gelten demnach die Gleichungen ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kräftepolygon in der Ebene
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftepolygon in der Ebene
    Kräftepolygon in der Ebene
    ... unabhängig von einer bestimmten Wahl des Koordinatensystems. Parallelogrammkonstruktion Diese geometrische Konstruktion entspricht einer Vektoraddition. Bei dieser genügt es ein Kräftedreieck zu zeichnen. Dabei reiht man die Kraftvektoren in beliebiger Reihenfolge aneinander. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt vom Anfangsvektor und dem Endpunkt vom Endvektor.  Grafische Vektoraddition Kräftepolygon Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon ...
  2. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    ... In der obigen Grafik ist das $x,y,z$-Koordinatensystem eingeführt worden und die Lagerkräfte sowie die Abmessungen eingezeichnet worden. Das Lager $A$ überträgt nur Kräfte senkrecht zur Kurbel, d.h. keine Kraft in $x$-Richtung (da dies eine parallele Kraft zur Kurbel darstellen würde). Das Lager $B$ hingegen überträgt Kräfte in alle drei Raumrichtungen. Die Richtungen der Lagerkräfte werden zunächst so wie eingezeichnet angenommen. Resultieren am Ende positive Werte, so sind ...
  3. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... in positive Richtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Drehung um die $y$-Achse entgegen des Uhrzeigersinns vor. Zeigt der Normalenvektor $n$ eines Schnittufers in die negative $x$-Richtung, so spricht man entsprechend von einem negativen Schnittufer. In diesem Fall zeigen alle ...
  4. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    ... folgende Vorgehensweise: 1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist. 2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte. 3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, in denen ein Belastungswechsel durch äußere Kräfte und Momente auftritt. 4. Einzeichnen aller Schnittgrößen am positiven (linken) und/oder negativen (rechten) ...
  5. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    Schnittgrößen am Bogen
    ... wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus: Schnittgrößen am Bogen: Koordinatensystem Der Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen ...
  6. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... so sollte jedes Teilstück mit einem eigenen Koordinatensystem versehen werden.   
  7. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung
    ... In der rechten Grafik ist das Koordinatensystem eingezeichnet mit dem Winkel $\alpha$. $H$ und $F$ befinden sich beide auf der $x$-Achse nur entgegengesetzt mit dem Winkel $\alpha$ zur Hilfslinie (gestrichelte Linie). $N$ zeigt in Richtung der positiven $y$-Achse. Mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen können jetzt die fehlenden Größen ermittelt werden. Die Berechnung der Winkel erfolgt hier immer zur positiven $x$-Achse hin: Pfeil nach links oben ($y$-Achse): $N + G \cdot ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Produktmengen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
    ... man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter von geordneten Paaren $(x,y)$ in der Koordinatenebene. Gegeben seien die Mengen $A = \{1,2,3,4 \}$ und $B = \{X,Y,Z \}$. $A$ besitzt vier Elemente, $B$ drei Elemente. Die neue Menge $M = A \times B$ müsste also $4 \cdot 3 = 12$ Elemente besitzen. Wir erhalten somit: $A \times B = \{ (1, X), (2, X), (3, X), (4, X),(1, Y), (2,Y), (3, Y), (4, Y),(1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z) \}$. Zudem ist es ...
  2. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    ... Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt. Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung dar, die Einheitsvektoren  $\vec{e_2}$  und  $\vec{e_3}$  zeigen in $y$ - Richtung bzw. in $z$ ...
  3. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    ... welcher seiner Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems hat, unterteilt man die 4 Bereiche, in denen sich der jeweilige Winkel befindet, in Quadranten. Die Bereichseinteilung erfolgt mit Hilfe der Kreiszahl $\pi $. Wobei $\pi$ die Maßeinheit Radiant ist. Ausgedrückt in Bogenmaß ist $\pi$ Radiant $= 180$ Grad. Der Vollwinkel hat demnach $2\pi$ Radiant $= 360$ Grad und $\frac{\pi}{2} = 90°$.Bereich I $ = 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Bereich II $ = \frac {\pi}{2} < \alpha < ...
  4. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Ableitungen
    ... Speziell in zwei- oder mehrdimensionalen Koordinatensystemen kann mittels Ableitungen bestimmt werden ob ein Graph steigt oder fällt. Außerdem können Sattelpunkte, Wendepunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden. Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und Tiefpunkt In der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. Der $\color{blue}{\mathbf{blaue}}$ ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Parameterdarstellung
    ... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis). Parameterdarstellung Abhilfe schafft hier die Einführung eines Parameters ...
  2. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    ... Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen.  Es sei die Funktion: $z = f(x, y) = x + ...
  3. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, die ...
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Produktion

  1. Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung > Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    ... Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt. Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms 1. Einzeichnen der Restriktionen Die Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form: $ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $  Um $x_1$ einzuzeichnen, wird ...
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