Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Transformation von Verzerrungskomponenten
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten
    ... auch für eine Drehung des zugehörigen Koordinatensystems anstelle des Bauteils. 
  2. Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
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    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
    Flchentrgheitsmomente Rechteck
    ... immer auch von der Lage des zugewiesenen Koordinatensystems abhängig. Meistens fällt die Wahl auf ein Koordinatensystem dessen Ursprung auch gleichzeitig mit dem Flächenschwerpunkt $S$ der betrachteten geometrischen Figur zusammenfällt oder auf ein Koordinatensystem, bei dem zumindest eine Achse den Flächenschwerpunkt berührt. Dies birgt den Vorteil, dass das Deviationsmoment meistens null wird (dann wenn eine oder beide Achsen Symmetrieachsen darstellen). ...
  3. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Spannungen im Stab konischer Stab
    ... indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird:Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet:$r(x = 0) = r_0$$r(x = l) = 3r_0$Es ist schon mal ersichtlich, dass die Gerade bei $r(0) = r_0$ beginnt. Das bedeutet ...
  4. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabzweischlag
    ... indem man die Stäbe $S_1$ und $S_2$ in ein Koordinatensystem legt und dupliziert (und dabei dreht). Man wird dann erkennen, dass die gestrichelte grüne Linie den Stab $S_1$ widerspiegelt und die schräge Linie (dick schwarz) den Stab $S_2$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass diese einen Abstand vom Winkel $\alpha$ besitzen.In der obigen Grafik sind die Stäbe $S_1$ und $S_1$ solange gedreht worden, bis das gedrehte $S_2$ (gestrichelte Linie) im rechten Winkel zu dem ursprünglichen ...
  5. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    EBZ Transformation Scheibe
    ... des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $ Es wird nun der Einfluss der Drehung des Koordinatensystems [x,y] ...
  6. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen.Normalspannung und DehnungNormalspannung und Dehnung in x-Richtung:$\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung]$\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung] ...
  7. Hauptdehnungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen
    Hauptdehnungen DMS Beispiel
    ... das bedeutet, dass hier ein neues $x^*y^*$-Koordinatensystem eingeführt werden kann. Man legt die $x^*$-Achse auf den Messstreifen $a$, das bedeutet die $y^*$-Achse liegt dann auf dem Messstreifen $c$ (Achsen liegen im 90° Winkel zueinander). Das $x,y$-Koordinatensystem wird also um $\alpha = 45°$ (positiv, da gegen den Uhrzeigersinn) gedreht:Bestimmung der HauptdehnungenDie Formel zur Berechnung der Hauptdehnungen lautet:$\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm ...
  8. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems ist [Elastische Isotropie].Die Gleichung für einen Baustahl mit einer Querkontraktionszahl von $\nu = 0,3 $ hat die Form:$\ G = \frac{E}{2 \cdot ( 1 + \nu)} \rightarrow  G \approx \frac{3}{8} E \approx 0,4 E $.Daraus lässt sich ableiten, dass ein elastischer, isotroper Körper zwei unabhängige Materialkonstanten hat. Entweder $ E$ und $ G$ oder $ E$ und $\nu $. Erfüllt ein Körper nicht die Eigenschaft ...
  9. Kritische Knickkraft
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickkraft
    Beispiel Stabknickung
    ... in Abhängigkeit vom Koordinatensystem). Ist das Flächenträgheitsmoment nicht tabellarisch gegeben, muss dieses berechnet werden.Da es sich hierbei um einen kreisförmigen Querschnitt handelt, kann man $I$ aus der Tabelle ablesen:$I = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi \cdot (5mm)^4}{4} = 490,87 mm^4$E-ModulDas E-Modul für den Werkstoff S235 (St 37) kann aus einer Tabelle abgelesen werden. Es handelt sich hierbei um Stahl mit dem E-Wert: $21 \cdot 10^4 N/mm^2$.Kritische ...
  10. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Hauptrgheitsmomente Rechteck
    ... in Abhängigkeit vom Koordinatensystem gezeigt sind die Flächenträgheitsmomente für ein Rechteck:$I_y = \frac{ba^3}{12}$$I_z = \frac{ab^3}{12}$$I_{yz} = 0$Es wird hier gezeigt, wie man diese Formeln erhält.Die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente erfolgt mit:$I_y = \int z^2 \; dA$$I_z = \int y^2 \; dA$$I_{yz} = \int yz \; dA$Begonnen wird mit $I_y$. Man wählt nun einen infinitesimal kleinen Streifen mit der Breite $dz$ aus dem ...
  11. Beispiel 2: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen
    Hauptspannungen Beispiel
    ... 120° zur x-Achse liegt das neue $x^*, y^*$-Koordinatensystem im Gegensatz zum $x,y$-Koordinatensystem um 30° im Uhrzeigersinn gedreht vor. Da IM Uhrzeigersinn gedreht wird, ist $\alpha = -30°$. Die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt gelten für ein positives $\alpha$, wenn GEGEN den Uhrzeigersinn gedreht wird und entsprechend muss $\alpha = -30°$ hier negativ berücksichtigt werden. Dreht man nun die Scheibe mit den in positive Richtung zeigenden Spannungen ebenfalls ...
  12. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ... Winkel bestimmt, um welchen sich das Ausgangskoordinatensystem drehen muss (Linksdrehung), damit die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen:$\tan (2\alpha^{**}) = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{(2 \tau_{xy})}$Alternativ kann die Berechnung des Winkels auch über die Hauptrichtungen der Hauptnormalspannungen erfolgen: $\alpha^{**} = \alpha^* \pm \frac{\pi}{4} $mit $\frac{\pi}{2} = 45°$Normalspannung bei HauptschubspannungenLiegen die Hauptschubspannungen vor, so nehmen die ...
  13. Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Satz von Steiner bersicht
    ... Lösung der Integrale im $ y^* - z^* $ - Koordinatensystem.2. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen und Nutzung der Flächenträgheitsmomente, welche sich auf das Schwerpunktkoordinatensystem beziehen (Steinersche Sätze). Die Formeln für letztere können Tabellenwerken entnommen werden. Im Folgenden wird der 2. Punkt ausführlich behandelt und die Steinerschen Sätze hergeleitet. Zum Schluss wird dies anhand eines ausführlichen Beispiels dargestellt.Angewendet ...
  14. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Hauptspannungen Normalspannung
    ... Hauptrichtung, also die Drehung des Ausgangskoordinatensystems um einen bestimmten Winkel, so dass die Hauptnormalspannungen auftreten, erfolgt durch:$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$    Um den Winkel $\alpha^*$ zu berechnen muss die Gleichung nach $\alpha^*$ aufgelöst werden:$2 \alpha^*) = \tan^{-1}(\frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}})$    Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver ...
  15. Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    Drehung des Koordinatensystems
    ... berechnen lassen, wenn das Ursprungskoordinatensystem um einen mathematisch positiven Winkel $\alpha $ gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel.Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem $y, z$ werden nun in das Koordinatensystem $\xi \eta $ überführt. ...
  16. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... der Winkel also um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptschubspannung auftritt, wird bestimmt zu:$\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})} = - \frac{2\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)}$Um den Winkel zu bestimmen, muss die Gleichung nach $\alpha^{**}$ aufgelöst werden:$2 \alpha^{**} = \tan^{-1} ( - \frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})$Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, so erfolgt die ...
  17. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis Beispiel
    ... sich also um die Linksdrehung des Ausgangskoordinatensystems um 40° zur x-Achse. Um die Normalspannungen und Schubspannung für den Winkel $\beta = 40°$ zu erhalten, muss der Winkel $2 \beta$ von der Verbindungslinie $P_1(-30/-10)$ zu $\sigma_m$ aus abgetragen werden. Im Mohrschen Spannungskreis erfolgt die Abtragung entgegen der Drehung des Koordinatensystems, also in einer Rechtsdrehung MIT dem Uhrzeigersinn:Nachdem der Winkel abgetragen wurde, wird eine Verbindungslinie mit ...
  18. Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
    Schub > Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
    Dnnwandiges offenes Profil mit Schubspannung
    ... für die Parallelverschiebung des Koordinatensystems hin zum Schwerpunkt eines anderen Bereichs:$ I_{y^*} = I_{y} + z_s^{*2} \cdot A $Für den Bereich 1 ist der Abstand $z_s$ (Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt des betrachteten Körpers):$z_s = b - \frac{h}{2}$Der Schwerpunkt für das obige Profil liegt mittig, da es sich um ein Rechteck handelt. Der Abstand $b$ geht bis an den äußeren oberen Rand, da der Schwerpunkt aber mittig liegt muss noch ...
  19. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    image
    ... Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 65°-Winkel zur $x$-Achse:Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. ...
  20. Arten der Biegung
    Balkenbiegung > Arten der Biegung
    Reine Biegung und Querkraft-Biegung
    ... wird immer in Abhängigkeit vom $y,z$-Koordinatensystem des Querschnitts bestimmt. Das bedeutet, ein Querschnitt wird als asymmetrisch betrachtet, wenn die $y$- und $z$-Achse keine Symmetrieachsen des Querschnittes darstellen.Besitzt der Balken den obigen rechteckigen Querschnitt, so ist dieser symmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen. Beide Achsen stellen in diesem Fall Symmetrieachsen dar. Die Hauptachsen sind also gleichzeitig die $y,z$-Achsen und verlaufen durch den Schwerpunkt ...
  21. Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Beispiel Koordinatentransformation Elastostatik
    ... 135° zur x-Achse liegt das neue $x^*, y^*$-Koordinatensystem im Gegensatz zum $x,y$-Koordinatensystem um 45° im Uhrzeigersinn gedreht vor. Da IM Uhrzeigersinn gedreht wird, ist $\alpha = -45°$. Die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt gelten für positives $\alpha$, wenn GEGEN den Uhrzeigersinn gedreht wird und entsprechend muss $\alpha = -45°$ hier negativ berücksichtigt werden. Dreht man nun die Scheibe mit den in positive Richtung zeigenden Spannungen ebenfalls um 45° ...
  22. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
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    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner - zusammengesetzte Flchen
    ... zwei Teilflächen, die sich auf das $y, z$-Koordinatensystem beziehen, gilt:$ A_{ges} = A_1 + A_2 $Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt. Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen:$\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $ Das ...
  23. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Hauptspannungen und Richtung
    ... Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung die auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 55°-Winkel zur $x$-Achse:Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als ...
  24. Mohrscher Spannungskreis
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    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis Richtungen
    ... Punkt $P´(\sigma_y | -\tau_{xy})$ in das Koordinatensystem ein.2. Man verbindet die Punkte P und P´ miteinander.3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$.4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$.Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen.Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen ...
  25. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Hauptachsen Dreieck
    ... eine Hauptachse.Betrachten wir ein $y,z$-Koordinatensystem, welches durch den Schwerpunkt einer Querschnittsfläche verläuft. Doppelt symmetrische Querschnitte in Bezug auf dieses Koordinatensystem sind dann Rechtecke, Quadrate oder Kreise, weil beide Achsen Symmetrieachsen darstellen. Sowohl die $y$- als auch die $z$-Achse sind Hauptachsen des Querschnitts.Einfach symmetrische Querschnitte sind u.a. ein gleichschenkliges Dreieck oder ein gleichschenkliges Trapez, weil die $z$-Achse ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... erfolgen:In der obigen Grafik ist das $x,y,z$-Koordinatensystem eingeführt worden und die Lagerkräfte sowie die Abmessungen eingezeichnet worden. Das Lager $A$ überträgt nur Kräfte senkrecht zur Kurbel, d.h. keine Kraft in $x$-Richtung (da dies eine parallele Kraft zur Kurbel darstellen würde). Das Lager $B$ hingegen überträgt Kräfte in alle drei Raumrichtungen. Die Richtungen der Lagerkräfte werden zunächst so wie eingezeichnet angenommen. ...
  2. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... sollte jedes Teilstück mit einem eigenen Koordinatensystem versehen werden.   
  3. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum
    ... Dazu benötigt man das Einzeichnen des Koordinatensystems. Der Bezugspunkt $X$ ist dabei der Koordinatenursprung. Die Kräfte werden solange parallel zu sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden. Kräfte im Raum - KoordinatensystemBerechnung der Teilresultierenden$R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg)$= -F_1 - F_3 = -5 - 10 ...
  4. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    SChnittgren am Bogen Koordinatensystem
    ... wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:Schnittgrößen am Bogen: KoordinatensystemDer Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. ...
  5. Flächenschwerpunkte
    Schwerpunkte > Flächenschwerpunkte
    Flchenschwerpunkt
    ... der Teilflächen eintragen3. Bezugskoordinatensystem festlegen. Das Bezugskoordinatensystem kann beliebig gewählt werden. Die Abmessungen vom Ursprung des Bezugskoordinatensystems zu den Schwerpunkten müssen gegeben sein.4. Abstände in $x$ und $y$-Richtung bestimmen (sofern $x,y$-Koordinatensystem zugrunde liegt). Dabei auf negative und positive Abstände achten. Ausgehend vom Bezugskoordinatensystem wird der Abstand positiv gewählt, wenn man sich zum Schwerpunkt ...
  6. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... der rechten Grafik ist das Koordinatensystem eingezeichnet mit dem Winkel $\alpha$. $H$ und $F$ befinden sich beide auf der $x$-Achse nur entgegengesetzt mit dem Winkel $\alpha$ zur Hilfslinie (gestrichelte Linie). $N$ zeigt in Richtung der positiven $y$-Achse. Mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen können jetzt die fehlenden Größen ermittelt werden. Die Berechnung der Winkel erfolgt hier immer zur positiven $x$-Achse hin:Pfeil nach links oben ($y$-Achse): ...
  7. Bestimmung von Momenten
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    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... addieren. Dazu stellt man sich $F_1$ in einem Koordinatensystem vor. Die Kraft $F_1$ würde im 4. Quadraten liegen. Die Berechnung erfolgt:$R_x = F_1 \cos (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_x$ zeigt zur positiven x-Achse)$R_y = F_1 \sin (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_y$ zeigt zur negativen y-Achse)Die Momentenberechnung erfolgt nun so, dass man ausgehend von der Lage von $F_1$ die Resultierende $R_x$ solange parallel zu sich selbst nach unten verschiebt bis diese den Bezugspunkt ...
  8. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... nächstes wird das Koordinatensystem zur Bestimmung der Kräfte eingezeichnet. Es wird hier der Bezugspunkt $C$ (siehe Ausgangsgrafik) gewählt und die Kräfte parallel zu sich selbst bis zu diesem Punkt verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze:Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet:$\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$verkürzt: $W_1 + S \cos ...
  9. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... die folgende Vorgehensweise:1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist.2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte.3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, in denen ein Belastungswechsel durch äußere Kräfte und Momente auftritt.4. Einzeichnen aller Schnittgrößen am positiven (linken) ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Funktionen mit Steigung, Sattel- und Wendepunkten
    ... Speziell in zwei- oder mehrdimensionalen Koordinatensystemen kann mittels Ableitungen bestimmt werden ob ein Graph steigt oder fällt. Außerdem können Sattelpunkte, Wendepunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden.Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und TiefpunktIn der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. ...
  2. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... welcher seiner Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems hat, unterteilt man die 4 Bereiche, in denen sich der jeweilige Winkel befindet, in Quadranten. Die Bereichseinteilung erfolgt mit Hilfe der Kreiszahl $\pi $. Wobei $\pi$ die Maßeinheit Radiant ist. Ausgedrückt in Bogenmaß ist $\pi$ Radiant $= 180$ Grad. Der Vollwinkel hat demnach $2\pi$ Radiant $= 360$ Grad und $\frac{\pi}{2} = 90°$.Bereich I $ = 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Bereich II $ = \frac {\pi}{2} ...
  3. Produktmengen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
    ... man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter von geordneten Paaren $(x,y)$ in der Koordinatenebene.Gegeben seien die Mengen $A = \{1,2,3,4 \}$ und $B = \{X,Y,Z \}$.$A$ besitzt vier Elemente, $B$ drei Elemente. Die neue Menge $M = A \times B$ müsste also $4 \cdot 3 = 12$ Elemente besitzen.Wir erhalten somit:$A \times B = \{ (1, X), (2, X), (3, X), (4, X),(1, Y), (2,Y), (3, Y), (4, Y),(1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z) \}$.Zudem ist es möglich ...
  4. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ... wollen nun also einen Punkt im obigen Koordinatensystem beschreiben. Wenn wir diesen Punkt in kartesische Koordinate angeben, so verwenden wir die $x$- und $y$-Koordinaten.Wir können aber auch Polarkoordinaten verwenden, um einen Punkt im obigen Koordinatensystem anzugeben. Hier benötigen wir die Länge des Vektors $r = |\vec{r}|$ und den Winkel $\varphi$ zwischen dem Vektor $\vec{r}$ und der $x$-Achse.Wir können hierzu die folgenden Umformungen verwenden:(1)  $x ...
  5. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Basisvektoren
    ... Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung dar, die Einheitsvektoren  $\vec{e_2}$  und  $\vec{e_3}$  zeigen ...
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Strömungslehre

  1. Druckkräfte auf eben geneigte nicht-rechteckige Flächen
    Hydrostatik > Druckkräfte auf eben geneigte nicht-rechteckige Flächen
    Beispiel nicht rechteckige Flche
    ... bestimmen zu können, wird ein $\eta, \xi$-Koordinatensystem eingeführt, welches genau durch den Schwerpunkt der Fläche verläuft:Es kann nun mittels der folgenden Formel der Abstand des Druckmittelpunktes zum Schwerpunkt mittels der $\eta$-Achse und der $\xi$-Achse bestimmt werden:$\eta_D = \frac{I_{\xi,S}}{\eta_S \; A}$.$\eta_D$ liefert den Abstand vom Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt hin.Flächenträgheitsmoment $I_{\xi,S}$ für Rechteck und Halbkreis ist Tabellenwerken ...
  2. Geschichtete Fluide
    Hydrostatik > Geschichtete Fluide
    Geschichtete Fluide
    ... Fläche des Lukendeckels ein $\eta$,$\xi$-Koordinatensystem ein und berechnet den Abstand auf der $\eta$-Achse vom Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt aus:$\eta_D = \frac{I_{\xi}}{\eta_S \cdot A}$.Das Flächenträgheitsmoment bezüglich der $\xi$-Achse für ein Rechteck beträgt:$I_{\xi} = \frac{6^3 \cdot 2}{12}$.Die Schwerpunktlage des Lukendeckels (mittig) in Richtung der $\eta$-Achse beträgt:$\eta_S = 3m$.Die Fläche des Lukendeckels beträgt:$A = 12m^2$.Insgesamt ...
  3. Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung
    Impulssatz und Drallsatz > Impulssatz > Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung
    Sttzkraftprinzip Beispiel
    ... $F_{A, V}$. Da die Kraft $F_A$ in einem Koordinatensystem im 3. Quadranten liegt, zeigt die Horizontalkomponente in negative $x$-Richtung und die Vertikalkomponente in negative $y$-Richtung:In der folgenden Grafik ist das Ganze veranschaulicht:In der obigen Grafik ist nun die Auflagerkraft $F_A$ in zwei Komponenten zerlegt worden. Und zwar in eine Vertikalkomponente $F_{A,V}$ und in eine Horizontalkomponente $F_{A,H}$. Diese beiden Komponenten gehen stellvertretend für die Auflagerkraft ...
  4. Lagrange- / Euler-Darstellung
    Kinematik einer Strömung > Lagrange- / Euler-Darstellung
    Lagrange - Darstellung
    ... für alle – bezüglich eines Koordinatensystems analytisch beschrieben. Die sich dadurch ergebenden LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen sind oft sehr kompliziert und erfordern deshalb erheblichen mathematischen Aufwand. Aus diesem Grunde wird die LAGRANGEsche Betrachtungsweise nur in Sonderfällen angewendet.Gegeben sei der Ortsvektor $r_0$ eines Fluidteilchens zur Zeit $t = t_0$. Zur Zeit $t$ ist der Ortsvektor dann$\vec{r} = [x(x_0, y_0, z_0, t], \; y(x_0, y_0, z_0, ...
  5. Druckkräfte auf gekrümmte Flächen
    Hydrostatik > Druckkräfte auf gekrümmte Flächen
    Gekrmmte Flchen im Tank eines Tankwagen
    ... = 0$.Der Schwerpunkt liegt also (wenn man das Koordinatensystem in den Mittelpunkt legt) bei:$x_s = \frac{4 \cdot 3m}{3 \cdot \pi} = 1,27 m$.Da auch die Vertikalkraft bei gekrümmten Flächen durch den Druckmittelpunkt verläuft, hat man hier die Koordinate für diesen in $x$-Richtung gegeben. Bestimmung der ResultierendenDer Betrag der Resultierenden berechnet sich zu:$F_R = \sqrt{F_H^2 + F_V^2} = \sqrt{(176.574,70 N)^2 + (138.709,24 N)^2} = 224.541,48 N$.Die Wirkungslinie ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktion mit mehreren Vernderlichen
    ... Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen. Es sei die Funktion: $z = ...
  2. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, ...
  3. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Ebene Kurve
    ... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis).ParameterdarstellungAbhilfe schafft hier die Einführung ...
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Werkstofftechnik 1

  1. Bestimmung von Gitterrichtungen
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Bestimmung von Gitterrichtungen
    ... Gittergeraden verwendet man Vektoren, welche im Koordinatensystem vom Ursprung bis hin zum Schwerpunkt des betrachteten Atoms zeigen. Für die Gittergeraden verwendet man als Koordinaten ganze Zahlen, dh. man bezeichnet sie als teilerfremde Koordinaten. Um die Berechnung der Gitterrichtungen besser zu verstehen, folgt eine Veranschaulichung am orthorhombischen Gitter. Gitterrichtungen im orthorhombischen GitterZur Erinnerung die Geometrie des Orthorhombischen Gitters ist beschrieben durch:$\ ...
  2. Miller'sche Indizes, Bestimmung von Gitterebenen
    Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Miller'sche Indizes, Bestimmung von Gitterebenen
    Ableiten der Indizes
    ... h,k,l. Hierzu legt man ein räumliches Koordinatensystem in das Gitter und setzt die Bereiche, die die Ebene von den Achsen abschneidet, zueinander ins Verhältnis. Die Achsenabschnitte werden hierbei nicht wie üblich in Längenmaßen wie cm oder nm beschrieben, sondern durch Gitterparameter. Dies hat zur Folge, dass beispielsweise im rhombischen Gittersystem der Wert 4 auf jeder Achse eine andere Länge besitzt. Es ist zudem besonders wichtig den Achsenursprung ...
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Produktion

  1. Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung > Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms
    ... Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt.Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms1. Einzeichnen der RestriktionenDie Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form:$ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $ Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 ...
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