Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Beispiel 2: Hauptspannungen
Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen
... 120° zur x-Achse liegt das neue $x^*, y^*$-Koordinatensystem im Gegensatz zum $x,y$-Koordinatensystem um 30° im Uhrzeigersinn gedreht vor. Da IM Uhrzeigersinn gedreht wird, ist $\alpha = -30°$. Die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt gelten für ein positives $\alpha$, wenn GEGEN den Uhrzeigersinn gedreht wird und entsprechend muss $\alpha = -30°$ hier negativ berücksichtigt werden. Dreht man nun die Scheibe mit den in positive Richtung zeigenden Spannungen ebenfalls ... -
Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
... berechnen lassen, wenn das Ursprungskoordinatensystem um einen mathematisch positiven Winkel $\alpha $ gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel.Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem $y, z$ werden nun in das Koordinatensystem $\xi \eta $ überführt. ... -
Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
... Lösung der Integrale im $ y^* - z^* $ - Koordinatensystem.2. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen und Nutzung der Flächenträgheitsmomente, welche sich auf das Schwerpunktkoordinatensystem beziehen (Steinersche Sätze). Die Formeln für letztere können Tabellenwerken entnommen werden. Im Folgenden wird der 2. Punkt ausführlich behandelt und die Steinerschen Sätze hergeleitet. Zum Schluss wird dies anhand eines ausführlichen Beispiels dargestellt.Angewendet ... -
Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
... zwei Teilflächen, die sich auf das $y, z$-Koordinatensystem beziehen, gilt:$ A_{ges} = A_1 + A_2 $Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt. Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen:$\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $ Das ... -
Hauptdehnungen
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen
... das bedeutet, dass hier ein neues $x^*y^*$-Koordinatensystem eingeführt werden kann. Man legt die $x^*$-Achse auf den Messstreifen $a$, das bedeutet die $y^*$-Achse liegt dann auf dem Messstreifen $c$ (Achsen liegen im 90° Winkel zueinander). Das $x,y$-Koordinatensystem wird also um $\alpha = 45°$ (positiv, da gegen den Uhrzeigersinn) gedreht:Bestimmung der HauptdehnungenDie Formel zur Berechnung der Hauptdehnungen lautet:$\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm ... -
Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
... des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Spannungskomponenten in der Ebene Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $ Es wird nun der Einfluss ... -
Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
... gezeigt - zunächst auf ein beliebiges Koordinatensystem bezogen. Bei Drehung des Koordinatensystems um den Schwerpunkt - Koordinatentransformation - ändern sich alle drei Flächenträgheitsmomente. Es gibt eine bestimmte Stellung des Koordinatensystems bei welcher die axialen Flächenträgheitsmomente ihr Maximum bzw. Minimum annehmen. Das Deviationsmomente verschwindet in diesem Fall. Nehmen die Flächenträgheitsmomente ihr Maximum an, so ist die Rede von ... -
Kritische Knickkraft
Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickkraft
... in Abhängigkeit vom Koordinatensystem). Ist das Flächenträgheitsmoment nicht tabellarisch gegeben, muss dieses berechnet werden.Da es sich hierbei um einen kreisförmigen Querschnitt handelt, kann man $I$ aus der Tabelle ablesen:$I = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi \cdot (5mm)^4}{4} = 490,87 mm^4$E-ModulDas E-Modul für den Werkstoff S235 (St 37) kann aus einer Tabelle abgelesen werden. Es handelt sich hierbei um Stahl mit dem E-Wert: $21 \cdot 10^4 N/mm^2$.Kritische ... -
Beispiel 2: Koordinatentransformation
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
... Es ist deutlich zu erkennen, dass das Ausgangskoordinatensystem um 90° zum a-a-Schnitt gedreht ist. Die $x$-Achse des Ausgangskoordinatensystem wird also MIT dem Uhrzeigersinn (Rechtsdrehung) um 90°-gedreht, um die $x^{aa}$-Achse zu erhalten. Eine Rechtsdrehung bedeutet, dass der Winkel negativ berücksichtigt werden muss. Die in der Aufgabenstellung gegeben Spannungen tragen wir so ab, wie diese gegeben sind. Eine Spannung zeigt senkrecht nach oben, die andere nach horizontal nach ... -
Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
... immer auch von der Lage des zugewiesenen Koordinatensystems abhängig. Meistens fällt die Wahl auf ein Koordinatensystem dessen Ursprung auch gleichzeitig mit dem Flächenschwerpunkt $S$ der betrachteten geometrischen Figur zusammenfällt oder auf ein Koordinatensystem, bei dem zumindest eine Achse den Flächenschwerpunkt berührt. Dies birgt den Vorteil, dass das Deviationsmoment meistens null wird (dann wenn eine oder beide Achsen Symmetrieachsen darstellen). ... -
Beispiel 1: Koordinatentransformation
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
... Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 65°-Winkel zur $x$-Achse:Schnitt im 65° Winkel Die Normalspannung $\sigma_x^*$ ... -
Mohrscher Spannungskreis
Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
... Punkt $P´(\sigma_y | -\tau_{xy})$ in das Koordinatensystem ein.2. Man verbindet die Punkte P und P´ miteinander.3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$.4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$.Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen.Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen ... -
Querdehnungen
Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
... richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen.Normalspannung und DehnungNormalspannung und Dehnung in x-Richtung:$\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung]$\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung] ... -
Arten der Biegung
Balkenbiegung > Arten der Biegung
... wird immer in Abhängigkeit vom $y,z$-Koordinatensystem des Querschnitts bestimmt. Das bedeutet, ein Querschnitt wird als asymmetrisch betrachtet, wenn die $y$- und $z$-Achse keine Symmetrieachsen des Querschnittes darstellen.Besitzt der Balken den obigen rechteckigen Querschnitt, so ist dieser symmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen. Beide Achsen stellen in diesem Fall Symmetrieachsen dar. Die Hauptachsen sind also gleichzeitig die $y,z$-Achsen und verlaufen durch den Schwerpunkt ... -
Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
... indem man sich diese orange Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird:Geradengleichung Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet:$r(x = 0) = r_0$$r(x = l) = 3r_0$Es ist schon mal ersichtlich, dass die Gerade bei $r(0) ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Schnittmethode und Schnittgrößen
Schnittmethode und Schnittgrößen
... positive Achsenrichtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Linksdrehung (positiver Drehsinn) um die $y$-Achse vor. Demnach ist in diesem Fall das linke Schnittufer gleichzeitig das positive Schnittufer.Zeigt der Normalenvektor $n$ eines Schnittufers in die negative ... -
Schnittgrößen am Bogen
Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
... wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:Schnittgrößen am Bogen: KoordinatensystemDer Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt ... -
Resultierende ebener Kräftegruppen
Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
... den Betrag von 20 N. Für den Ursprung des Koordinatensystems soll der Bezugspunkt $A$ (genau die Mitte des Sechsecks) gewählt werden. Wie groß ist die Resultierende und wo befindet sich ihre Lage? Zuerst sollte man wissen, wie sich in einem gleichseitigen Sechseck die Winkel verhalten:gleichseitiges SechseckMan kann ein gleichseitiges Sechseck in 6 gleichschenklige Dreiecke unterteilen. Die Spitzen der Dreiecke (in der Mitte) müssen zusammen 360° ergeben. Das Dreieck ... -
Flächenschwerpunkte
Schwerpunkte > Flächenschwerpunkte
... der Teilflächen eintragen3. Bezugskoordinatensystem festlegen. Das Bezugskoordinatensystem kann beliebig gewählt werden. Die Abmessungen vom Ursprung des Bezugskoordinatensystems zu den Schwerpunkten müssen gegeben sein.4. Abstände in $x$ und $y$-Richtung bestimmen (sofern $x,y$-Koordinatensystem zugrunde liegt). Dabei auf negative und positive Abstände achten. Ausgehend vom Bezugskoordinatensystem wird der Abstand positiv gewählt, wenn man sich zum Schwerpunkt ... -
Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
... erfolgen:In der obigen Grafik ist das $x,y,z$-Koordinatensystem eingeführt worden und die Lagerkräfte sowie die Abmessungen eingezeichnet worden. Das Lager $A$ überträgt nur Kräfte senkrecht zur Kurbel, d.h. keine Kraft in $x$-Richtung (da dies eine parallele Kraft zur Kurbel darstellen würde). Das Lager $B$ hingegen überträgt Kräfte in alle drei Raumrichtungen. Die Richtungen der Lagerkräfte werden zunächst so wie eingezeichnet angenommen. ... -
Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
... sollte jedes Teilstück mit einem eigenen Koordinatensystem versehen werden.
Technische Mechanik 3: Dynamik
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Allgemeine räumliche Bewegung
Kinematik des starren Körpers > Allgemeine räumliche Bewegung
... betrachtet und das $x^*, y^*, z^*$-Koordinatensystem, welches sich translatorisch mit dem starren Körper mitbewegt, indem das Koordinatensystem fest mit dem Körperpunkt $A$ verbunden ist:Da sich das $x^*, y^*, z^*$-Koordinatensystem translatorisch mitbwegt, sieht ein Beobachter im Ursprung $A$ nur eine Rotationsbewegung des starren Körpers. Für die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes $P$ aufgrund der Rotationsbewegung des starren Körpers gelten ... -
Inertialsystem
Kinetik des Massenpunktes > Inertialsystem
... Ein Inertialsystem ist zunächst ein Koordinatensystem. Allerdings gilt innerhalb eines Inertialsystem das 1. Newtonschen Gesetz:Ein Körper verbleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen gradlinigen Bewegung (kein Auftreten von Beschleunigung, konstante Geschwindigkeit), solange dieser nicht durch die Einwirkung von Kräften zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird.Das bedeutet also, dass sich innerhalb eines Inertialsystems nur Körper befinden, die ... -
Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
... Hierzu führt man ein ebenes $r, \varphi$-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung mit dem des $x,y$-Koordinatensystems zusammenfällt. Der Winkel $\varphi$ wird dabei von der positiven $x$-Achse ausgehend positiv gezählt. Es werden die Basisvektoren $e_r$ und $e_{\varphi}$ eingeführt, welche beide orthogonal (senkrecht) zueinander stehen:In der obigen Grafik ist eine Bahnkurve (rot), welche in der $x,y$-Ebene liegt zu sehen. Der Punkt $P$ auf der Bahnkurve ist durch die ... -
Kinetik des Massenpunktsystems
Kinetik des Massenpunktsystems
... demnach in der Ebene. Legt man nun ein $x,y$-Koordinatensystem darüber, wobei die $x$-Achse die Breite und die $y$-Achse die Länge angibt, dann kann die Position jedes Schiffs mithilfe der $x$- und $y$-Koordinaten ermittelt werden. Jedes Schiff besitzt demnach zwei Freiheitsgrade. Es herrscht aber noch eine kinematische Bindung der beiden Schiffe zueinander $r = 1$. Insgesamt ergibt sich also:$f = 2 \cdot 2 - 1 = 3$Das Massenpunktsystem bestehend aus den zwei Schiffe besitzt 3 Freiheitsgrade.Als ... -
Geschwindigkeitsvektor
Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor
... 16, 6)$. Der Ortsvektor beginnt im Ursprung des Koordinatensystem und zeigt auf den Punkt (10,16,6). Es soll nun auch genau für diese Zeit $t = 2$ der Geschwindigkeitsvektor bestimmt werden.Die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$ führt auf den Geschwindigkeitsvektor. In dem hier angeführten Beispiel ergibt sich demnach ein Geschwindigkeitsvektor von $\dot{r(t)} = v(t) = (5, 8t, 3)$. Man erhält zunächst einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für die betrachtete ...
Strömungslehre
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Geschichtete Fluide
Hydrostatik > Geschichtete Fluide
... Fläche des Lukendeckels ein $\eta$,$\xi$-Koordinatensystem ein und berechnet die Abstände in $\eta$- und $\xi$-Richtung vom Schwerpunkt der Fläche zum Druckmittelpunkt:$\eta_D = \frac{I_{\xi,S}}{\eta_S \; A}$.mit$I_{\xi,S}$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $\xi$-Achse im Schwerpunkt$\eta_S$ Abstand vom Schwerpunkt zur Flüssigkeitsoberfläche in $\eta$-Richtung$A$ Flächeninhaltund$\xi_D = \frac{I_{\eta \xi}}{\eta_S \; A}$mit$I_{\eta \xi}$ Deviationsmoment$\eta_S$ ... -
Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
Hydrostatik > Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
... berechnet ist immer abhängig von dem Koordinatensystem. Im Folgenden wird gezeigt, wie man die Horizontalkraft, die Vertikalkraft, die Resultierenden sowie deren Wirkungslinien bestimmt. StaumauerBeispiel: Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige FlächenBetrachtet wird obiges rechteckiges Wasserbecken, welches auf der rechten Seite eine eben geneigte Wand (rote Linie) aufweist. Das Wasserbecken ist 3 m hoch, 6 m lang und 0,5 m breit. Wie groß sind die Vertikal- ... -
Stationäre und instationäre Strömungen
Kinematik einer Strömung > Stationäre und instationäre Strömungen
... des Strömungsfeldes verwendeten Koordinatensystems, sondern auch von der Zeit abhängig sind.Es wird zwischen drei Arten von instationären Strömungsvorgängen unterschieden. Arten von instationären Strömungen:Stochastisch unregelmäßige Vorgänge wie bei turbulenten Schwankungen.Anlauf- oder Auslaufvorgänge wie beim Anfahren oder Abschalten einer Kreiselpumpe. Periodische Vorgänge wie bei Pulsationen, z. B. bei Druckstößen in Rohrleitungen, ... -
Druckkräfte auf eben geneigte nicht-rechteckige Flächen
Hydrostatik > Druckkräfte auf eben geneigte nicht-rechteckige Flächen
... wird für den Querschnitt ein $\eta, \xi$-Koordinatensystem eingeführt, welches genau durch den Schwerpunkt der Fläche verläuft. Die $\eta$-Achse verläuft parallel zur schrägen Flächen, die $\xi$-Achse senkrecht dazu. Es ergibt sich:Es kann nun mittels der folgenden Formel der Abstand des Druckmittelpunktes zum Schwerpunkt mittels der $\eta$-Achse und der $\xi$-Achse bestimmt werden:$\eta_D = \frac{I_{\xi,S}}{\eta_S \; A}$.$\eta_D$ liefert den Abstand vom Schwerpunkt ... -
Potentialfunktion
Ebene Strömungen > Potentialfunktion
... erkennen, dass in den vier Quadranten des $x,y$-Koordinatensystems die Potentiallinien Hyperbeln darstellen. Dabei befinden sich die Potentiallinien mit positiven Konstanten der Potentialfunktion $\Phi (x,y) = + const$ in dem Quadranten 1 und 3, die Potentiallinien mit negativen Konstanten der Potentialfunktion $\Phi (x,y) = - const$ in den Quadranten 2 und 4.In der nächsten Grafik sind die Stromlinien für unterschiedliche konstante Werte der Stromfunktion eingezeichnet:Die Zusammenfassung ...
Analysis und Lineare Algebra
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Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
... KoordinatenWir wollen nun einen Punkt im obigen Koordinatensystem beschreiben. Wenn wir diesen Punkt in kartesischen Koordinaten angeben, so verwenden wir die $x$- und $y$-Koordinaten. Wir können jedoch auch Polarkoordinaten verwenden, um einen Punkt im obigen Koordinatensystem anzugeben. Hier benötigen wir die Länge des Vektors $r = |\vec{r}|$ und den Winkel $\varphi$ zwischen dem Vektor $\vec{r}$ und der $x$-Achse.Wir können hierzu die folgenden Umformungen von kartesischen ... -
Beziehungen trigonometrischer Funktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Beziehungen trigonometrischer Funktionen
... Verlauf der Sinus- und Kosinuskurven in einem Koordinatensystem herleiten oder am Einheitskreis nachvollziehen:HIER EIN BILD REIN, WO DER INHALT DER FOLGENDEN GLEICHUNGEN GRAFISCH DARGESTELLT WIRD!!! (Am besten ein 2geteiltes, wo einmal bestimmte Werte für sin und cos und einmal für tan und cot jeweils in einem Koordinatensystem eingezeichnet sind sowie als einfache Variante sin und cos am Einheitskreis dargestellt sind.)$\, \Longrightarrow sin (\alpha) = sin (180° - \alpha)$$\, ... -
Produktmengen
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
... man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter von geordneten Paaren $(x,y)$ in der Koordinatenebene.Gegeben seien die Mengen $A = \{1,2,3,4 \}$ und $B = \{X,Y,Z \}$.$A$ besitzt vier Elemente, $B$ drei Elemente. Die neue Menge $M = A \times B$ müsste also $4 \cdot 3 = 12$ Elemente besitzen.Wir erhalten somit:$A \times B = \{ (1, X), (2, X), (3, X), (4, X),(1, Y), (2,Y), (3, Y), (4, Y),(1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z) \}$. Zudem ist ... -
Skalarprodukt und Winkel
Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
... Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht bekannt sein muss:Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$Für die geometrische Berechnung verwendet man die Formel, die den Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält:Skalarprodukt: ...
Operations Research 1
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Beispiel: Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Grafische Lösung eines Maximierungsproblems > Beispiel: Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
... Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt.Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms1. Einzeichnen der RestriktionenDie Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form:$ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $ Um $x_1$ einzuzeichnen, ... -
Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
... Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Maschinenrestriktion (in rot eingezeichnet) hat die Form:$x_1 + x_2 \le 15 $ Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 = 0$ gesetzt und dann nach $x_1$ aufgelöst:$ x_1 = 15$Um $x_2$ einzuzeichnen wird $x_1 = 0$ gesetzt und dann nach $x_2$ aufgelöst:$x_2 = 15$Werden keine Einheiten von $x_2$ produziert, so können 15 Einheiten von $x_1$ produziert werden und umgekehrt.Die beiden Punkte $x_1(15; ... -
Beispiel: Maximierungsproblem / grafische Lösung
Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Simlpex-Algorithmus: Einführung > Primales Simlpexverfahren > Beispiel: Maximierungsproblem / grafische Lösung
... $P_1(6; 0)$ und $P_2(0; 8)$ werden dann in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden. Dies liegt daran, dass die beiden Produkte hinsichtlich der Maschinenrestriktionen voneinander abhängig sind bzw. sich begrenzen. Je mehr von einem Produkt produziert wird, desto weniger Kapazität bleibt für das andere Produkt übrig.Entsprechend wird auch mit den anderen beiden Restriktionen verfahren:In der obigen Grafik ist das Koordinatensystem mit den eingezeichneten ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Parameterdarstellung
Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis).ParameterdarstellungAbhilfe schafft hier die Einführung ... -
Richtungsfeld und Isoklinen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
... (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, ... -
Funktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen mehrerer Veränderlicher
... Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen. Es sei die Funktion: $z = ...
- 55 Texte mit 37 Bildern
- 79 Übungsaufgaben
- und 10 Videos
Werkstofftechnik 1
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Miller'sche Indizes, Bestimmung von Gitterebenen
Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Miller'sche Indizes, Bestimmung von Gitterebenen
... h,k,l. Hierzu legt man ein räumliches Koordinatensystem in das Gitter und setzt die Bereiche, die die Ebene von den Achsen abschneidet, zueinander ins Verhältnis. Die Achsenabschnitte werden hierbei nicht wie üblich in Längenmaßen wie cm oder nm beschrieben, sondern durch Gitterparameter. Dies hat zur Folge, dass beispielsweise im rhombischen Gittersystem der Wert 4 auf jeder Achse eine andere Länge besitzt. Es ist zudem besonders wichtig den Achsenursprung ... -
Bestimmung von Gitterrichtungen
Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Bestimmung von Gitterrichtungen
... Gittergeraden verwendet man Vektoren, welche im Koordinatensystem vom Ursprung bis hin zum Schwerpunkt des betrachteten Atoms zeigen. Für die Gittergeraden verwendet man als Koordinaten ganze Zahlen, dh. man bezeichnet sie als teilerfremde Koordinaten. Um die Berechnung der Gitterrichtungen besser zu verstehen, folgt eine Veranschaulichung am orthorhombischen Gitter. Gitterrichtungen im orthorhombischen GitterZur Erinnerung die Geometrie des Orthorhombischen Gitters ist beschrieben durch:$\ ...
Fahrzeugtechnik
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Koordinatensysteme in der Fahrzeugtechnik
Fahrzeugklassen > Koordinatensysteme in der Fahrzeugtechnik
... von Fahrzeugebewegungen benötigen wir ein Koordinatensystem. Je nach Anwendung und Zweck kommt anderes Koordinatensystem zum Einsatz. Dennoch bestehen auch hier Gemeinsamkeiten, die nachfolgenden aufgelistet sind:Der Ursprung des Koordinatensystem wird auf die Fahrzeugmittelebenen gelegtDie x-Achse verläuft entlang der Fahrzeuglängsachse, zeigt in FahrrichtungDie y-Achse verläuft entlang der Fahrzeugquerachse, zeigt nach linksDie z-Achse verläuft entlang der Fahrzeughochachse, ...
Physik
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Inertialsystem
Kinetik: Ursache von Bewegungen > Inertialsystem
... Ein Inertialsystem ist zunächst ein Koordinatensystem. Allerdings gilt innerhalb eines Inertialsystem das 1. Newtonschen Gesetz:Ein Körper verbleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen gradlinigen Bewegung (kein Auftreten von Beschleunigung, konstante Geschwindigkeit), solange dieser nicht durch die Einwirkung von Kräften zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird.Das bedeutet also, dass sich innerhalb eines Inertialsystems nur Körper befinden, die ...
Produktion
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Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung > Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
... Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt.Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms1. Einzeichnen der RestriktionenDie Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form:$ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $ Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 ...
Baustatik 1
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Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte)
Kurs Baustatik > Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte)
... wir das obige $x,y,z$-Koordinatensystem zugrunde, so treten die Normalspannungen auf, wenn Kräfte in Richtung der $x$-Achse angreifen. Die Normalspannung $\sigma_x$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche und kann durch eine Spannungsresultierende zusammengefasst werden. Diese Spannungsresultierende ist die Normalkraft $N$:$N = \sigma_x \cdot A$ NormalkraftDie ...
Operations Research 2
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Grafische Lösung des Maximierungsproblems
Grundlagen des Operations Research 1 > Standardform: Maximierungsproblem > Grafische Lösung des Maximierungsproblems
... Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Maschinenrestriktion (in rot eingezeichnet) hat die Form:$x_1 + x_2 \le 15 $ Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 = 0$ gesetzt und dann nach $x_1$ aufgelöst:$ x_1 = 15$Um $x_2$ einzuzeichnen wird $x_1 = 0$ gesetzt und dann nach $x_2$ aufgelöst:$x_2 = 15$Werden keine Einheiten von $x_2$ produziert, so können 15 Einheiten von $x_1$ produziert werden und umgekehrt.Die beiden Punkte $x_1(15; ...
Grundlagen der technischen Kommunikation
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Die Isometrie
Wie kann man Bauteile, Baugruppen oder auch Bauwerke in technischen Zeichnungen darstellen? > Die Isometrie
... undSeitenansicht (Seitenriss)werden im Koordinatensystem in wahrer Größe, jedoch seitlich gedreht, abgebildet. Dadurch werden die Regeln der perspektivischen Betrachtung außer Kraft gesetzt und die Isometrie erscheint etwas verzerrt.Die Projektion erfolgt auf der Grundrissebene, wobei der Körper schräg zur Bildebene dargestellt wird.Die x- und y-Achsen bilden jeweils einen spitzen Winkel von 30° zur horizontalen Grundlinie. Daraus folgt ein eingeschlossener ...
Thermodynamik
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Darstellung von Zustandsänderungen für ideales Gas in Diagrammen
Zustandsänderung mit idealem Gas > Darstellung von Zustandsänderungen für ideales Gas in Diagrammen
... C. Das Funktionsbild in einem kartesischen Koordinatensystem ist eine gleichseitige Hyperbel. Da negative Volumina für unsere Betrachtungen entfallen, beschränken wir uns für die Darstellung des Zustandsverhaltens von Gasen auf den ersten Quadranten. Isothermen können sich im p,V-Diagramm nicht schneiden und sie verlaufen niemals parallel. In Richtung des Koordinatenursprungs „beulen“ sie immer weiter aus, im Unendlichen nähern sie sich immer weiter an, ...
Webinare
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Gratis-Webinar Elastostatik - Mohrscher Spannungskreis
...chnittwinkel bzw. für eine bestimmte Drehung des Koordinatensystems.... -
Gratis-Webinar Elastostatik - Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
...nen Spannungszustand sollen bei einer Drehung des Koordinatensystems bzw. bei der Durchführung eines Schnittes durch das Bauteil die Spannungen bestimmt werden. Es wird gezeigt, wie das neue Koordinatensystem eingezeichnet wird und die Normal- und Schubspannungen abgetragen werden. Dann wird die Berechnung der Normalspannung und Schubspannung für diesen Schnitt durchgefü...
