Analysis und Lineare Algebra
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Uneigentliche Integrale
Integralrechnung > Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale unterscheiden sich von anderen Integralen dadurch, dass der Integrand $\ f(x)$ nur teilweise stetig und folglich beschränkt ist. Sie werden als Grenzwerte von bestimmten Integralen definiert und auf gleiche Weise zur Flächenberechnung benutzt. Jedoch erstrecken sich diese Flächen ins Unendliche und besitzen demnach auch keinen endlichen Flächeninhalt. Uneigentliche IntegraleWie man in der obigen Grafik erkennt, nähert ...Uneigentliche Integrale Typ 1
Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 1
Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen$\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck:$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$. VorgehensweiseZuerst ist das Integral $ \int_a^r f(x) dx$ in ...Uneigentliche Integrale Typ 2
Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2
... Polstelle $x = p$ erneut in 2 uneigentliche Integrale aufgespalten werden. Hierbei ist $x = p$ für das eine Integral die obere und für das andere Integral die untere Grenze. Auch hier gilt: Liefert das Ergebnis, dass beide uneigentlichen Teilintegrale einen endlichen Wert besitzen, so existiert auch das Gesamtintervall.Rechenregeln für unbestimmte Integrale
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Rechenregeln für unbestimmte Integrale
Zur Lösung eines unbestimmten Integrals kann man sich bei der Umformung an den folgenden Regeln orientieren:Vorziehen eines konstanten FaktorsBeim Vorziehen eines konstanten Faktors geht man so vor, dass der Faktor, welcher eine Konstante darstellt vor das Integral gezogen werden kann. Faktoren zeichnen sich durch ein Multiplikations- bzw. Divisionzeichen aus. Konstant bedeutet, dass dieser Faktor nicht von $x$ abhängig ist.$\int a \cdot f(x) \ dx = a \cdot \int f(x) \ dx $ Integriere ...Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
Man greift selten auf die Definition mit dem Grenzwert zurück um ein bestimmtes Integral zu berechnen. Stattdessen verwendet man für die Berechnung bestimmter Integrale einen Satz, welcher auf die Berechnung unbestimmter Integrale zurückzuführen ist:Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungIst $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f(x)$, also $F'(x) = f(x)$ so gilt:$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a)$FlächenberechnungGegeben ...Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
Eine andere Möglichkeit zur Lösung eines unbestimmten Integrals ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.Partielle Integration:$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher ...Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
Kann eine Funktion nicht direkt integriert werden, so ist es oft möglich diese durch Substitution dennoch zu Lösen. Unter Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen anderen Term als sog. Stellvertreter zu verstehen. Meist wird der Vereinfachung halber, nur ein neues Symbol für einen ganzen Term eingesetzt. Man gewinnt mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer ...Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen.Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll. 1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals$\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $ Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $ mit $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$$ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$.Man ...Unbestimmte Integrale
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für ...Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
Im Gegensatz zu den bisherigen rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch ...Bestimmte Integrale
Integralrechnung > Bestimmte Integrale
Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Fläche unter einem Funktionsgraphen $f(x)$. Das Intervall $[a, b]$ wird dafür in mehrere Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$ zerlegt, um den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen im Intervall $[a, b]$ zu ermitteln.Bestimmtes IntegralSei $f(x)$ eine auf dem Intervall $[a, b]$ stetige Funktion. Wird das Intervall $[a, b]$ in $n$ gleiche Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$ der Länge $\frac{b ...Partielle Integration bei bestimmten Integralen
Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$ bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.Sei $[a. b]$ ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$ zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral: $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es ...
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Baustatik 1
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Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)
Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)
Tragwerke können sich infolge äußerer Belastungen an bestimmten Stellen vertikal und/oder horizontal verschieben bzw. verdrehen. Diese Verschiebungen/Verdrehungen können mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte bestimmt werden.Die Idee des Prinzips der virtuellen Kräfte (kurz: PdvK) ist es, eine virtuelle Kraftgröße aufzubringen, welche auf der gesuchten Verschiebung Arbeit leistet.Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) Bei ...Federn
Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Federn
Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, wie mittels Prinzip der virtuellen Kräfte die Verschiebung eines Punktes am Balken bestimmt werden kann. Wir haben bis hierhin die virtuelle Verschiebungsarbeit der inneren Kraftgrößen infolge äußerer Kräfte und Temperaturbeanspruchungen berücksichtigt. Auf Federn gelagerte Punkte leisten ebenfalls virtuelle Verschiebungsarbeit und müssen zusätzlich innerhalb der Arbeitsgleichung bei Anwendung ...Lagerverschiebungen/-verdrehungen
Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Lagerverschiebungen/-verdrehungen
Eingeprägte Lagerverschiebungen oder -verdrehungen leisten virtuelle Verschiebungsarbeit und müssen demnach innerhalb der Arbeitsgleichung berücksichtigt werden:Eingeprägte Lagerverschiebungen/-verdrehungenVon eingeprägten Lagerverformungen ist die Rede, wenn sich Lager infolge von Setzungen oder Hebungen des Baugrundes verschieben bzw. verdrehen. So treten diese z. B. auf bei- unterirdische Hohlräume - ungleichmäßigem Baugrund - Erdbeben - ...Dehnungen im Stab
Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnungen im Stab
Kräfte entlang der Stabachse führen zusätzlich zu den inneren Spannungen auch zur Dehnung bzw. Stauchung des Stabes in $x$-Richtung. Eine Zugkraft führt zu einer Dehnung (=Verlängerung) des Stabes, eine Druckkraft zu einer Stauchung (=Verkürzung) des Stabes. Wir wollen in diesem Kurs nur die Dehnung längs der Stabachse betrachten. Eine Zugspannung führt ebenfalls zu einer Querdehnung des Stabes in $y$- und $z$-Richtung, d. h. der Stab wird dünner. ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Bogenlänge berechnen
Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
Die Länge $L$ einer Kurve $K$ innerhalb eines Intervalls $I \in [a, b]$ lässt sich durch ein Kurvenintegral errechnen. Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b ds $ Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist. Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen ...Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Eine Differentialgleichung, welche die Form$ y' = f(x) \cdot g(y) $ Trennung der Veränderlichen T.d.Vbesitzt, nennt man Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Um hieraus Lösungen zu erhalten, bedient man sich der Methode der "Trennung der Veränderlichen":$\ y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $.Aus ...
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Technische Mechanik 1: Statik
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Linienschwerpunkte
Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
Linienschwerpunkte konzentrieren sich, anders als Flächenschwerpunkte, auf die Berechnung des Schwerpunktes der LINIE. Das bedeutet zum Beispiel bei einem Kreisausschnitt, dass nicht die gesamte Fläche dieses Kreisausschnittes betrachtet wird, sondern nur der Kreisbogen. Die Berechnung eines Linienschwerpunktes gleicht der Berechnung des Schwerpunktes einer Fläche.Hierzu substituiert man einfach:$ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA $ [Fläche] $\rightarrow$(1) $x_s = \frac{1}{l} ...Kontinuierlich verteilte Kräfte
Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
Kontinuierlich verteilte Kräfte liegen vor, wenn eine Kraft über eine bestimmte Strecke gleichmäßig verteilt wird. Die Streckenlast wird bezeichnet mit $q(x)$. Die Streckenlast $q(x)$ hat die Einheit Newton pro Meter [N / m].Angenommen auf ein Carport fällt Schnee und es bildet sich eine Schneedecke, die gleichmäßig auf das Carport verteilt ist. Es liegt also eine Streckenlast vor.StreckenlastIn der obigen Grafik greift die vertikale Streckenlast $q(x)$ an. ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
Soll eine Berechnung der Flächenträgheitsmomente in Bezug auf die Koordinatenachsen erfolgen, so ist die Ausgangssituation oft so beschaffen, dass die Koordinatenachsen auch durch den entsprechenden Flächenschwerpunkt verlaufen. Im Folgenden wird nun der Fall betrachtet in welchem diese Ausgangssituation nicht mehr vorliegt, d.h. also, die Achsen nicht mehr durch den Flächenschwerpunkt verlaufen. Um dieses Problem dennoch mathematisch zu lösen, lassen sich zwei Lösungswege ...Dehnung (Stabelement)
Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
Wie bereits im vorherigen Abschnitt erwähnt, muss bei nicht konstanter Dehnung $\epsilon$ die örtliche Dehnung eines Stabes betrachtet werden. Dies tritt auf, wenn z.B. ein Stab eine veränderliche Querschnittsfläche $A$ aufweist oder aber beispielsweise Volumenkräfte längs der Stabachse auftreten. Ist dies der Fall, so wird nicht der gesamte Stab, sondern lediglich ein Stabelement betrachtet. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie sich die Dehnung in diesem Fall herleiten ...
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Regelungstechnik
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LAPLACE-Transformation
LAPLACE Transformation > LAPLACE-Transformation
Im vorherigen Kurstext hast Du bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation, weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.LAPLACE-Transformation:Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert ...
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Physik
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Isotherme Zustandsänderung
Thermodynamik > Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik > Zustandsänderungen idealer Gase > Isotherme Zustandsänderung
Handelt es sich um eine isotherme Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass die Temperatur $T$ konstant bleibt:$T = const \; \rightarrow \; \triangle T = 0$.Was passiert bei einer isothermen Zustandsänderung?Bei der isothermen Zustandsänderung wird die Temperatur konstant gehalten. Es wird ein Kolben betrachtet, in welchem sich Luft befindet. Das Volumen, der Druck und die Temperatur nehmen einen bestimmten Wert an. Es soll sich hierbei um einen nicht-adiabten Kolben handeln. ...
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Mechanische Verfahrenstechnik
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Verteilungsdichte
Partikel und disperse Systeme > Partikelgrößenverteilung > Verteilungsdichte
Die Verteilungsdichte $ q_r(x) $ gibt uns Auskunft darüber, mit welchem Mengenanteil der verschiedenen Mengenarten eine vorliegende Dispersitätsgröße an der Größenverteilung im Merkmalsintervall $\Delta x $ beteiligt ist. Hierbei können wir uns erneut dem Sieben bedienen um den Massenanteil zu bestimmen, welcher zwischen Sieben mit den Maschenweiten $ x_i $ und $ x_{i-1} $ verbleibt.Stetige und Diskrete VerteilungsdichtekurveÄhnlich wie bei der Verteilungssumme ...
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Themen unserer Kurse
- Ungleichung, Uneigentliche Integrale, Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
- Vektor, variable Kosten, Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
- Wendepunkt, Winkel, Werkstoffe für Wellen und Achsen
- X-Y-Theorie nach Mc Gregor
- Zugversuch, zwei Kräften, Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
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