Analysis und Lineare Algebra

  1. Hyperbelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
    ... man bedenkt, dass Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion definiert sind, ist es nur logisch, dass sich Area-Funktionen durch ln-Funktionen ausdrücken lassen.$arcosh \ x = ln( x + \sqrt{x^2 - 1})$ für $\ x \ge 1 $,$arsinh \ x = ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$ für $\ x \in \mathbb{R}$$artanh \ x = \frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}$ für $\ |x| < 1$$arcoth \ x = \frac{1}{2} ln \frac{x+1}{x-1}$ für $\ |x| > 1$
  2. Die allgemeine Exponentialfunktion
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die allgemeine Exponentialfunktion
    ... $\, f(x) = e^x$, die wir als e-Funktion bezeichnen, also die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl $\, e = 2,718282... \,$ als Basis. Diese hat gegenüber anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Ihr widmen wir uns im nächsten Kurstext. Wichtig für dich zu wissen ist, dass mit ihrer Hilfe unter Verwendung des natürlichen Logarithmus' sich jede Exponentialfunktion zur Basis $e$ umwandeln lässt. Aus $a = e^{ln \, a}$ folgt:$f(x) = a^x ...
  3. Die e-Funktion
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
    e-Funktion
    Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion lautet:$f(x) = e^x$Die Zahl $e = 2,718281828459...$ wird Eulersche Zahl genannt. Sie ist durch folgende Grenzwertberechnung definiert:$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,718281828459...$Die Exponentialfunktion können wir auf verschiedene Weise darstellen. Wir können sie als Potenzreihe definieren, die sogenannte Exponentialreihe:e-Funktion als Exponentialreihe: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} ...
  4. Regel von de l' Hospital
    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
    ... \to \infty$ ?Eigenschaft der e-Funktion:  $\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$.$\lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \infty^2 = \infty$  Es gilt also:  $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \infty$Ist die erste Ableitung für $x_0 = \infty$ ungleich Null?$g´(\infty) = 2 \cdot \infty = \infty \neq 0$Anwendung der Regel von de l'Hospital:$\rightarrow \; \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x ...
Analysis und Lineare Algebra
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Fertigungslehre

  1. Induktionsofen
    Urformen > Schmelzverfahren > Elektroschmelzöfen > Induktionsofen
    Induktionsofen
    ... induziert, sodass die Stromdichte nach einer E-Funktion zum Kern hin abfällt. Diesen Effekt bezeichnet man als Skin-Effekt, der infolge der Stromverdrängung auftritt.In der nächsten Abbildung siehst du die schematische Darstellung eines Induktionsofens.Induktionsofen
Fertigungslehre
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion):$u(t) = {2t-3}$$\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$Einsetzen in die Lösungsformel:Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$ $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $Integrieren:$= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$Rücksubstitution und auflösen:$y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x - 3} - \frac{1}{2} ...
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Regelungstechnik

  1. Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    Verschobener Einheitssprung
    ... einer Multiplikation der Zeitfunktion mit einer e-Funktion im Zeitbereich, woraufhin es dann zu einer Verschiebung der transformierten Funktion im Frequenzbereich kommt. Dämpfungsatz: $ L\{e^{-at} \cdot f (t) \} = f (s + a) $Beispiel:Es liegt eine Zeitfunktion in der Form $ e^{-3 t} \cdot t $ vor. Führen Sie hierfür die LAPLACE-Transformation durch.Die Kennzahlen, die wir aus dieser Zeitfunktion ableiten können sind nachfolgend aufgeführt:$ a = 3 $$ f(t) = t $$ f(s) ...
Regelungstechnik
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