Analysis und Lineare Algebra

  1. Die e-Funktion
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    Die e-Funktion
    Die e-Funktion ist definiert als $y = f(x) = e^x$  mit  $e = 2,718281828...$, (Eulersche Zahl) Die Exponentialfunktion wird durch folgende konvergente Reihe definiert: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + {x^4}{4!} + ... = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ Die Eulersche Zahl wird durch folgenden Grenzwert definiert:  $\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,71828...$. Eigenschaften der e-Funktion Die Zahl  $e$  ist durch folgenden Grenzwert definiert:$\lim\limits_{x ...
  2. Die allgemeine Exponentialfunktion
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    ... kann mit  $a = e^{ln \; a}$  durch eine e-Funktion abgebildet werden: $y = a^x = e^{x\; ln\; a}$ Gegeben sei die Funktion  $f(x) = 5^x$.  Für z.B.  $x = 2$  ergibt sich:  $f(2) = 5^2 = 25$  oder  $e^{2\; ln\; 5} = 25$ Rechenregeln $a$: Basis  mit  $ 0 < a \neq 1$ (1)  $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$ (2)  $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ (3)  $a^0 = 1$ (4)  $(a^x)^r = a^{xr}$
  3. Logarithmusfunktion
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    ... \approx 2,1761$ Umkehrfunktion für die e-Funktion $y = e^x \rightarrow  x = \ln(y)$ Die Funktion  $5 = e^x$ ergibt   $x = \ln(5) \approx 1,61$ Der Taschenrechner enthält meistens nur den Logarithmus für die Basis $10 (a = 10)$ und wird mit  $\log$  bezeichnet oder den natürlichen Logarithmus  $\ln$  für die Basis $e$ (=Eulersche Zahl). Für alle anderen Basen muss eine Basisumrechnung stattfinden. Basisumrechnung $x = \log_a(y)$: $\rightarrow a^x = y$ $\rightarrow \log_b ...
  4. Hyperbelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
    ... man bedenkt, dass Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion definiert sind, ist es nur logisch, dass sich Area-Funktionen durch ln-Funktionen ausdrücken lassen. $arcosh \ x = ln( x + \sqrt{x^2 - 1})$ für $\ x \ge 1 $,$arsinh \ x = ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$ für $\ x \in \mathbb{R}$$artanh \ x = \frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}$ für $\ |x| < 1$$arcoth \ x = \frac{1}{2} ln \frac{x+1}{x-1}$ für $\ |x| > 1$
  5. Regel von de l' Hospital
    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
    ... für $x \to \infty$ ? Eigenschaft der e-Funktion:  $\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$. $\lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \infty^2 = \infty$   Es gilt also:  $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \infty$ Ist die erste Ableitung für $x_0 = \infty$ ungleich Null? $g´(\infty) = 2 \cdot \infty = \infty \neq 0$ Anwendung der Regel von de l'Hospital: $\rightarrow \; \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} ...
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Fertigungslehre

  1. Induktionsofen
    Urformen > Schmelzverfahren > Elektroschmelzöfen > Induktionsofen
    Induktionsofen
    ... induziert, so dass die Stromdichte nach einer E-Funktion zum Kern hin abfällt. Diesen Effekt bezeichnet man als Skin-Effekt, der infolge der Stromverdrängung auftritt. In der nächsten Abbildung sehen Sie die schematische Darstellung eines Induktionsofens: Induktionsofen
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Regelungstechnik

  1. Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    ... einer Multiplikation der Zeitfunktion mit einer e-Funktion im Zeitbereich, woraufhin es dann zu einer Verschiebung der transformierten Funktion im Frequenzbereich kommt.  Dämpfungsatz: $ L\{e^{-at} \cdot f (t) \} = f (s + a) $ Beispiel: Es liegt eine Zeitfunktion in der Form $ e^{-3 t} \cdot t $ vor. Führen Sie hierfür die LAPLACE-Transformation durch. Die Kennzahlen, die wir aus dieser Zeitfunktion ableiten können sind nachfolgend aufgeführt: $ a = 3 $ $ f(t) = t $ $ f(s) = \frac{1}{s^2} ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion): $u(t) = {2t-3}$ $\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$ Einsetzen in die Lösungsformel: Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$  $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $ Integrieren: $= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$ Rücksubstitution und auflösen: $y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x - 3} - \frac{1}{2} e^{-3} = \frac{1}{2} ...
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