Regelungstechnik

  1. Faltungssatz
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Faltungssatz
    Möchte man zwei LAPLACE-Transformierte miteinander multiplizieren, also das Produkt bilden, so rechnet man im Zeitbereich mit dem Faltungsintegral.Das Faltungsintegral ist formal definiert durch:Faltungsintegral: $ L\{ f_1(t) \cdot f_2(t)\} = L\{ \int_0^t f_1(t - \tau) \cdot f_2(\tau)d \tau\} = f_1(s) \cdot f_2(s) $Beispiel:Die LAPLACE-Transformierte $ f(s) hat folgende Form:$ f(s) = f_1(s) \cdot f_2(s) = \frac{1}{s + a} \cdot $die beiden Originalfunktionen sind:$ f_1(t) = L^{-1} \{ \frac{1}{s ...
  2. Definition der Regelung
    Einführung in die Regelungstechnik > Regelung > Definition der Regelung
    Blockschema einer Regelung inkl. Strgren
    Obwohl wir bereits den Begriff Regelung größtenteils definiert haben, werden wir nochmals eine Definition der Regelung selbst und der zugehörigen Größen vornehmen.Den Beginn macht die Definition Regelung nach DIN 19226 Teil 1:Definition Regelung nach DIN 19226 Teil 1Das Regeln/die Regelung ist ein Vorgang bei dem eine Größe, die zu regelnde Größe (Regelgröße), fortlaufend erfasst, mit einer anderen Größe, der Führungsgröße ...
  3. Periodische Funktionen
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Periodische Funktionen
    Sgezahnfunktion
    In vielen anwendungstechnischen Prozessen der Regelungstechnik treten Signalverläufe auf, die keinen willkürlichen Verlauf haben sondern zeitlich periodisch sind. Um diese Signalverläufe abbilden zu können, verwendet man periodische Zeitfunktionen $ f(t) $, die eine bestimmte Periodendauer $ T_P $ aufweisen. Die formale Schreibweise hierfür ist:Periodische Zeitfunktion: $ f(t) = f(t + i \cdot T_p) $, wobei $ i = 0, 1, 2, 3, 4,.... $Nun möchten wir eine LAPLACE-Transformation ...
  4. Steuerung
    Einführung in die Regelungstechnik > Steuerung
    Anwendungsbeispiel - Schieber
    Bei der Steuerung bzw. dem Steuern handelt es sich um einen Prozess in einem System, bei dem Eingangsgrößen (eine oder mehrere) Ausgangsgrößen (andere Größen) beeinflussen. Dies geschieht aufgrund der vorliegenden Gesetzmäßigkeiten im System.Als Gesetzmäßigkeit bezeichnet man einen Vorgang, physikalische Umstände bzw. eine Apparatur durch die eine Größe eine andere Größe beeinflusst.Beispiele für Apparaturen sind:SystemeSchieberThermoelementeSpannungsverstärkerPotentiometerBeispiel:Durch ...
  5. Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    Verschobener Einheitssprung
    ... einer Multiplikation der Zeitfunktion mit einer e-Funktion im Zeitbereich, woraufhin es dann zu einer Verschiebung der transformierten Funktion im Frequenzbereich kommt. Dämpfungsatz: $ L\{e^{-at} \cdot f (t) \} = f (s + a) $Beispiel:Es liegt eine Zeitfunktion in der Form $ e^{-3 t} \cdot t $ vor. Führen Sie hierfür die LAPLACE-Transformation durch.Die Kennzahlen, die wir aus dieser Zeitfunktion ableiten können sind nachfolgend aufgeführt:$ a = 3 $$ f(t) = t $$ f(s) ...
  6. Besonderheiten
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen > Besonderheiten
    In Ergänzung zum vorherigen Kurstext gehen wir nochmals kurz auf die Besonderheiten im Zusammenhang mit homogenen Differenzialgleichungen ein.In physikalischen Systemen sind die Koeffizienten $ a_i $ der charakteristischen Gleichung reell.Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein:$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha ...
  7. Störgrößen
    Einführung in die Regelungstechnik > Steuerung > Störgrößen
    Blockschema einer Steuerung inkl. Strgren
    Wir greifen erneut das Beispiel aus dem vorherigen Kurstext auf. Wird die Aufgabengröße $ x_A $ neben der Stellgröße $ y $ durch weitere Größen beeinflusst, kann daraus eine Differenz zwischen Soll- und Istwert auftreten. Man spricht dann von einer entsprechenden Störgröße $ z $. Letztere wird dann unterschieden in eine Laststörgröße $ z_L $, die in unserem Beispiel durch eine Änderung der Abflussschieberstellung ...
  8. LAPLACE-Transformation
    LAPLACE Transformation > LAPLACE-Transformation
    Im vorherigen Kurstext hast Du bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation, weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.LAPLACE-Transformation:Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert ...
  9. Testfunktionen als Vergleichsmöglichkeit
    Testfunktionen > Testfunktionen als Vergleichsmöglichkeit
    bertragungselement
    Wie Du bereits weißt, lässt sich die Ausgangsgröße $ x_a(t) $ bei einem bekannten zeitlichen Verlauf der Eingangsgröße $ x_e(t) $ berechnen, sofern die Parameter des Übertragungselements bekannt sind.In der Regelungstechnik ist es immer sinnig, eine Vergleichsmöglichkeit zwischen unterschiedlichen Regelungssystemen oder bei einer Variation der Parameter eines Systems zu ermöglichen. Hierzu ermittelt man Testfunktionen.Dabei handelt es sich um die Lösung ...
  10. Fall 6 von 6: Gleichungen mit Proportionalelementen aus Regelkreis
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan > Fall 6 von 6: Gleichungen mit Proportionalelementen aus Regelkreis
    Regelkreisgleichung im Signalflussplan
    Aufgabe: Regelkreisgleichungen mit Proportionalelementen darstellen.Aufgabenstellung:In diesem Beispiel werden Regelkreisgleichungen mit Proportionalelementen dargestellt. Die abzubildenden Gleichungen sind:$ x_d = w - x $$  y_R= K_R \cdot x_d $$ x = K_S \cdot y $Damit du auch genau weißt wofür welche Variable steht, hier ein paar Informationen:$ x_d $ ist die Regeldifferenz$ w $ ist die Führungsgröße/ der Sollwert$ x $ ist die Regelgröße$ y_R $ ist ...
  11. Regelkreis mit Proportional-Elementen
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Regelkreis mit Proportional-Elementen
    Regelkreisstruktur mit idealen Elementen
    Anders als bisher liegt nun ein Regelkreis mit Proportional-Elementen vor. Die betroffenen Elemente sind der Regler und die Regelstrecke:Regelkreisstruktur mit idealen Elementen Auch hier stellen wir Ihnen erneut die auftretenden Größen vor:$ w $ = Führungsgröße$ x_d $ = Regeldifferenz$ y $ = Reglerausgangsgröße$ x $ = Regelgröße$ K_R $ = Übertragungsfaktor des Reglers$ K_S $ = Übertragungsfaktor der Regelstreckesowie (neu)$ z_1 $ = ...
  12. Sprungfunktion, Sprungantwort
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Testfunktionen > Sprungfunktion, Sprungantwort
    Sprungfunktion
    Die Sprungfunktion ist nach wie vor die wichtigste Testfunktion der Regelungstechnik. Die Eingangsfunktion $ x_e(t) $ wird zum Zeitpunkt $ t= 0 $ sprungförmig von Null auf einen Wert $ x_{e0}( = k_0) $ geändert. Die Sprungantwort ist entsprechend der zeitliche Verlauf der Ausgangsfunktion $ x_a(t) $ eines Übertragungselements.Eingangsfunktion - FormalFormal schreibt man für die Eingangsfunktion:Eingangsfunktion: $ x_e(t) = x_{e0} \cdot E(t) $$ x_{e0} $ bezeichnet die Sprunghöhe.$ ...
  13. Beispiel: Steuerung eines Füllstandes
    Einführung in die Regelungstechnik > Steuerung > Beispiel: Steuerung eines Füllstandes
    Schema einer Steuerung
    In diesem Beispiel behandeln wir eine gezielte Beeinflussung mit Hilfe der Steuerung. Hierzu betrachten wir zuerst nachfolgende Abbildung:Schema einer Steuerung Grundlegende Annahmen/FestlegungenDer abgebildete Tank hat einen aktuellen Füllstand $ h_0 $. Dieser soll durch gezielte Beeinflussung auf einen Füllstand $ h_1 $ gebracht werden. Da es sich bei $ h_0 $ um den zu beeinflussenden Füllstand handelt, bezeichnen wir ihn als Aufgabengröße $ x_A $.Der Wert der aktuellen ...
  14. Multiplikationssätze
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Multiplikationssätze
    Als Ergänzung zum Verschiebungssatz im Frequenzbereich, also dem Dämpfungssatz, möchten wir kurz auf die Multiplikationssätze für eine Transformation von trigonometrischen (sin, cos) und hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh) eingehen.Trigonometrische Funktionen:1. transformierte Sinusfunktion: $ L \{sin(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} - e^{- j a t}}{2j} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) - f (s + ja)}{2j} $2. transformierte Cosinusfunktion:$ L \{cos(at) \cdot ...
  15. LAPLACE-Rücktransformation
    LAPLACE Transformation > LAPLACE-Rücktransformation
    Um nun wieder die Zeitfunktion $ f(t) $ ermitteln zu können, verwenden wir ausgehend von der LAPLACE-Transformation $ f(s)$ eine komplexe Umkehrformel, die LAPLACE-Rücktransformation. Die LAPLACE-Rücktransformation wird formal beschrieben durch:LAPLACE-Rücktransformation:        $ f(t) = \frac{1}{2 \; \pi \; j} \oint f(s) \cdot e^{st} \; ds = L^{-1} \{f(s) \}$Achte bei der Rücktransformation darauf, dass Du den geschlossenen Integrationsweg ...
  16. Frequenzgang
    Frequenzgang > Frequenzgang
    Wir stellen uns ein Übertragungselement mit Eingangssignalen und Ausgangssignalen vor. Das Verhalten für eine Signalübertragung sollte bereits bekannt sein. Neu ist nun, dass es sich bei dem Eingangssignal um einen sinusförmigen Verlauf handelt.Sinusförmiges Eingangssignal - FormalDie formale Schreibweise hierfür ist:Sinusförmiges Eingangssignal: $ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $.Sinusförmiges Ausgangssignal - FormalWenn wir nun weiter davon ausgehen, ...
  17. Impulsfunktion, Impulsantwort
    Testfunktionen > Impulsfunktion, Impulsantwort
    Impulsfunktion
    Bei der Impulsfunktion wird der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße - die Impulsantwort - eines Übertragungsgliedes durch eine einmalige stoßartige Anregung durch die Eingangsgröße erzeugt. Man bezeichnet eine Anregung als stoßartig, wenn sie im Vergleich zur an Schwingzeit des Übertragungsgliedes kurz ist. Alternativ bezeichnet man die Ausgangsgröße auch als Gewichtsfunktion $ g(t) $.Die Impulsintensität hängt nicht von der Impulsform ...
Regelungstechnik
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Die e-Funktion
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
    e-Funktion
    Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion lautet:$f(x) = e^x$Die Zahl $e = 2,718281828459...$ wird Eulersche Zahl genannt. Sie ist durch folgende Grenzwertberechnung definiert:$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,718281828459...$Die Exponentialfunktion können wir auf verschiedene Weise darstellen. Wir können sie als Potenzreihe definieren, die sogenannte Exponentialreihe:e-Funktion als Exponentialreihe: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} ...
  2. Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
    Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen.Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll. 1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals$\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $ Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $  mit  $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$$ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$.Man ...
  3. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$  bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es ...
  4. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Kann eine Funktion nicht direkt integriert werden, so ist es oft möglich diese durch Substitution dennoch zu Lösen. Unter Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen anderen Term als sog. Stellvertreter zu verstehen. Meist wird der Vereinfachung halber, nur ein neues Symbol für einen ganzen Term eingesetzt. Man gewinnt mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer ...
  5. Hyperbelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
    ... man bedenkt, dass Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion definiert sind, ist es nur logisch, dass sich Area-Funktionen durch ln-Funktionen ausdrücken lassen.$arcosh \ x = ln( x + \sqrt{x^2 - 1})$ für $\ x \ge 1 $,$arsinh \ x = ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$ für $\ x \in \mathbb{R}$$artanh \ x = \frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}$ für $\ |x| < 1$$arcoth \ x = \frac{1}{2} ln \frac{x+1}{x-1}$ für $\ |x| > 1$
  6. Das Vektorprodukt
    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Vereinfachte Berechnung des Skalarproduktes
    Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wohingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.Eigenschaften des VektorproduktsDas Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ...
Analysis und Lineare Algebra
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand > Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen
    In diesem Abschnitt werden die Hauptdehnungen und Hauptspannungen für den ebenen Spannungszustand aufgezeigt.HauptdehnungenDie Hauptdehnung für den ebenen Spannungszustand [xy-Ebene] erhält man, indem man $\sigma_1$, $\sigma_2$ in die Dehnungsgleichungen (aus dem vorherigen Abschnitt) einsetzt:$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}$  $\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}$.Die Hauptdehnungen sind$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 ...
  2. Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Spannungen und Dehnungen im Raum Beispiel
    Der Zusammenhang zwischen Spannung und elastischer Verformung wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben und wurde für den einachsigen Fall bereits im Kapitel Stabbeanspruchungen behandelt. Das Hookesche Gesetz soll im Folgenden auf den räumlichen Fall ausgeweitet werden.Dehnungen im RaumUm die allgemeine Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln, wird das Hookesche Gesetz für den einachsigen Fall und das Gesetz von Poisson herangezogen und mittels Überlagerungsprinzip ...
  3. Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    Lngsdehnung und Querdehnung
    In diesem Abschnitt wird der ebene Spannungszustand aufgeführt. Ein ebener Spannungszustand in der (x,y)-Ebene bewirkt einen räumlichen Verzerrungszustand (auch: Dehnungszustand). Das bedeutet, dass die Spannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ die Dehnungen $\epsilon_{xx}$, $\epsilon_{yy}$ und $\epsilon_{zz}$ zur Folge habe. Dies soll im Weiteren gezeigt werden.Eines der Ziele des Hookeschen Gesetzes ist es einen Zusammenhang zwischen statischen Größen [Spannungen] und kinematischen ...
  4. Hookesches Gesetz
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Hookesches Gesetz
    Linear-elastischer Bereich (Hookesche Gerade)
    Mittels von Zugversuchen wird der Zusammenhang zwischen Dehnung $\epsilon$ und Spannung $\sigma$ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt (vorheriger Abschnitt). Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, das heißt, dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung ($\triangle ...
  5. Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
    Ebener Spannungszustand
    In diesem Abschnitt werden Beispiele zum Hookeschen Gesetz für mehrachsige Spannungszustände aufgeführt. Die Gleichungen aus den vorherigen Kapiteln finden hier ihre Anwendung.Beispiel 1: Hookesches Gesetz im ebenen SpannungszustandEbener SpannungszustandGegeben sei das obige Stück Metall mit $\nu = 0,3$. Die Ausgangsbreite (vor Verformung) betrage $b_0 = 12 mm$, die Ausgangshöhe $h_0 = 5 mm$. Nach der ebenen Belastung hat sich das Bauteil verformt. Die Breite beträgt ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

  1. Endlich langer Stab
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Wärmeübergang an der Oberfläche > Endlich langer Stab
    Wrmebergang kurzer Stab
    In diesem Abschnitt soll der Temperaturverlauf für einen endlich langen Stab der Länge $h$ betrachtet werden. Es gilt wieder die konstante Temperartur am Stabanfang $x = 0$. Für das Stabende bei $x = h$ ist die Steigung der Temperaturfunktion gleich Null: $\frac{dT}{dx} = 0$ (siehe folgende Grafik):Der Stab soll außerdem am Ende zunächst adiabat abgedichtet sein, d.h. das am Stabende keine Wärmeabgabe erfolgt.Es gilt also:1. Randbedingung: $T(x = 0) = T_1$.2. Randbedingung: ...
  2. Wärmestrom am Stabanfang
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Wärmeübergang an der Oberfläche > Wärmestrom am Stabanfang
    In diesem Abschnitt soll der Wärmestrom, welcher vom Stab an die Umgebung abgegeben wird, aufgezeigt werden. Der Wärmestrom, welcher an die Umgebung abgegeben wird ist gleich dem Wärmestrom $\dot{Q}_1$, welcher durch den Stabquerschnitt bei $x = 0$ fließt:$\dot{Q} = -\lambda \cdot A \cdot (\frac{dT}{dx})_{x = 0}$.Wärmestrom an Anfang des Stabes ist gleich dem Wärmestrom, welcher insgesamt von dem Stab abgegeben wird.Es wird zunächst ein Stab mit adiabaten ...
  3. Unendlich langer Stab
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Wärmeübergang an der Oberfläche > Unendlich langer Stab
    Es wird als nächstes ein langer Stab (uendlich lang) betrachtet. Für diesen langen Stab soll der Temperaturverlauf bestimmt werden. Dabei gilt für $x = 0$ immer die konstante Temperatur $T_1$ und für $x \to \infty$ nähert sich die Temperatur am Ende des Stabes $T(L)$ (siehe vorherigen Abschnitt) der Umgebungstemperatur $T_u$ an:1. Randbedingung: $T(x = 0) = T_1$2. Randbedingung: $T(x \to \infty) = T_u$Es werden nun als nächstes die Integrationskonstante aus den Randbedingungen ...
Wrmebertragung: Wrmeleitung
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion):$u(t) = {2t-3}$$\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$Einsetzen in die Lösungsformel:Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$ $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $Integrieren:$= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$Rücksubstitution und auflösen:$y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x - 3} - \frac{1}{2} ...
  2. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können relativ einfach gelöst werden. Homogene Differentialgleichung mit konstanten KoeffizientenIst die Differentialgleichungen der Form $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = s(x) $ ,mit Konstanten $ a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $mit Hilfe ...
  3. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    Wir haben bereits erfahren, dass die allgemeine Lösung, bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung $ y_H $ und der  Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ besteht.  Sind die Lösungen $ y_H = c_1y_1 + ... c_ny_n $ der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen. Grundlagen ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Baustofftechnik 1

  1. Elastizitätsmodul
    Mikrostruktur von Baustoffen > Charakteristische Baustoffeigenschaften in Bezug auf die Bindung > Elastizitätsmodul
    E-Modul
    Jetzt erklären wir dir, welchen Einfluss der Elastizitätsmodul auf die Baustoffeigenschaften hat. Der Elastizitätsmodul (auch bekannt unter Dehnungsmodul oder Youngscher Modul) stellt einen Materialkennwert dar. Mit seiner Hilft kann ein Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei einer Verformung hergestellt werden. Abgekürzt wird der Elastizitätsmodul mit E (Formelzeichen) oder E-Modul. Die Einheit entspricht einer mechanischen Spannung. Folgendes gilt: ...
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Operations Research 1

  1. Einführung: Graphentheorie
    Graphentheorie > Einführung: Graphentheorie
    Ungerichteter und gerichteter Graph
    Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Graphentheorie. Ein Graph besteht aus $n$ verschiedenen Knoten, welche ganz oder teilweise miteinander verbunden sind. Die Graphentheorie findet Anwendung z.B. bei der Planung von Verkehrsnetzen, Kommunikationsnetzen oder auch Versorgungsnetzen.Grundbegriffe der GraphentheorieEin Graph $G$ besteht aus einer nichtleeren Knotenmenge $V$ und einer Pfeil- oder Kantenmenge $E$. Jedem Element aus $E$ ist genau ein Knotenpaar $[i,j]$ aus $V$ zugeordnet.Es ...
Operations Research 1
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Maschinenelemente 1

  1. Das Hooksche Gesetz
    Alte Inhalte > Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen > Bestimmung der Zugkraft > Das Hooksche Gesetz
    Mittels von Zugversuchen wird der Zusammenhang zwischen Dehnung $ \epsilon $ und Spannung $ \sigma $ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt. Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, d. h. dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung $ (\Delta l) $ zunimmt. Hookesches GesetzDas Hookesche ...
Maschinenelemente 1
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Beispiel: Beschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit > Beispiel: Beschleunigung
    Es soll eine Beschleunigung von $a = -5 \frac{1}{s} \cdot v$ gegeben sein. Die Anfangsbedingungen seien $v(t = 0) = v_0$ und $x(t = 0) = x_0$.Bestimmen Sie die den Verlauf von Geschwindigkeit und Ort!Zunächst wird wieder der folgende Zusammenhang dargestellt:$a(v) = \frac{dv}{dt}$.Auflösen nach $dt$, damit $a(v)$ und $dv$ auf einer Seite sind:$dt = \frac{dv}{a(v)}$Anschließend für wir die Integration durch:$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t - t_0 =  \int_{v_0}^v ...
Technische Mechanik 3: Dynamik
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Werkstofftechnik 1

  1. Hookesches Gesetz
    Werkstoffprüfung > Mechanische Werkstoffprüfung > Zugversuch > Hookesches Gesetz
    Hooksche Gerade
    Mittels Zugversuchen wird der Zusammenhang zwischen Dehnung $\epsilon$ und Spannung $\sigma$ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt (siehe vorheriger Abschnitt). Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, d.h. dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung ($\triangle l$) zunimmt. Gummiband ...
Werkstofftechnik 1
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