Regelungstechnik
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Faltungssatz
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Faltungssatz
Möchte man zwei LAPLACE-Transformierte miteinander multiplizieren, also das Produkt bilden, so rechnet man im Zeitbereich mit dem Faltungsintegral.Das Faltungsintegral ist formal definiert durch:Faltungsintegral: $ L\{ f_1(t) \cdot f_2(t)\} = L\{ \int_0^t f_1(t - \tau) \cdot f_2(\tau)d \tau\} = f_1(s) \cdot f_2(s) $Beispiel:Die LAPLACE-Transformierte $ f(s) hat folgende Form:$ f(s) = f_1(s) \cdot f_2(s) = \frac{1}{s + a} \cdot $die beiden Originalfunktionen sind:$ f_1(t) = L^{-1} \{ \frac{1}{s ...Definition der Regelung
Einführung in die Regelungstechnik > Regelung > Definition der Regelung
Obwohl wir bereits den Begriff Regelung größtenteils definiert haben, werden wir nochmals eine Definition der Regelung selbst und der zugehörigen Größen vornehmen.Den Beginn macht die Definition Regelung nach DIN 19226 Teil 1:Definition Regelung nach DIN 19226 Teil 1Das Regeln/die Regelung ist ein Vorgang bei dem eine Größe, die zu regelnde Größe (Regelgröße), fortlaufend erfasst, mit einer anderen Größe, der Führungsgröße ...Periodische Funktionen
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Periodische Funktionen
In vielen anwendungstechnischen Prozessen der Regelungstechnik treten Signalverläufe auf, die keinen willkürlichen Verlauf haben sondern zeitlich periodisch sind. Um diese Signalverläufe abbilden zu können, verwendet man periodische Zeitfunktionen $ f(t) $, die eine bestimmte Periodendauer $ T_P $ aufweisen. Die formale Schreibweise hierfür ist:Periodische Zeitfunktion: $ f(t) = f(t + i \cdot T_p) $, wobei $ i = 0, 1, 2, 3, 4,.... $Nun möchten wir eine LAPLACE-Transformation ...Steuerung
Einführung in die Regelungstechnik > Steuerung
Bei der Steuerung bzw. dem Steuern handelt es sich um einen Prozess in einem System, bei dem Eingangsgrößen (eine oder mehrere) Ausgangsgrößen (andere Größen) beeinflussen. Dies geschieht aufgrund der vorliegenden Gesetzmäßigkeiten im System.Als Gesetzmäßigkeit bezeichnet man einen Vorgang, physikalische Umstände bzw. eine Apparatur durch die eine Größe eine andere Größe beeinflusst.Beispiele für Apparaturen sind:SystemeSchieberThermoelementeSpannungsverstärkerPotentiometerBeispiel:Durch ...Verschiebesätze, Dämpfungssatz
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verschiebesätze, Dämpfungssatz
... einer Multiplikation der Zeitfunktion mit einer e-Funktion im Zeitbereich, woraufhin es dann zu einer Verschiebung der transformierten Funktion im Frequenzbereich kommt. Dämpfungsatz: $ L\{e^{-at} \cdot f (t) \} = f (s + a) $Beispiel:Es liegt eine Zeitfunktion in der Form $ e^{-3 t} \cdot t $ vor. Führen Sie hierfür die LAPLACE-Transformation durch.Die Kennzahlen, die wir aus dieser Zeitfunktion ableiten können sind nachfolgend aufgeführt:$ a = 3 $$ f(t) = t $$ f(s) ...Besonderheiten
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen > Besonderheiten
In Ergänzung zum vorherigen Kurstext gehen wir nochmals kurz auf die Besonderheiten im Zusammenhang mit homogenen Differenzialgleichungen ein.In physikalischen Systemen sind die Koeffizienten $ a_i $ der charakteristischen Gleichung reell.Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein:$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha ...Störgrößen
Einführung in die Regelungstechnik > Steuerung > Störgrößen
Wir greifen erneut das Beispiel aus dem vorherigen Kurstext auf. Wird die Aufgabengröße $ x_A $ neben der Stellgröße $ y $ durch weitere Größen beeinflusst, kann daraus eine Differenz zwischen Soll- und Istwert auftreten. Man spricht dann von einer entsprechenden Störgröße $ z $. Letztere wird dann unterschieden in eine Laststörgröße $ z_L $, die in unserem Beispiel durch eine Änderung der Abflussschieberstellung ...LAPLACE-Transformation
LAPLACE Transformation > LAPLACE-Transformation
Im vorherigen Kurstext hast Du bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation, weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.LAPLACE-Transformation:Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert ...Testfunktionen als Vergleichsmöglichkeit
Testfunktionen > Testfunktionen als Vergleichsmöglichkeit
Wie Du bereits weißt, lässt sich die Ausgangsgröße $ x_a(t) $ bei einem bekannten zeitlichen Verlauf der Eingangsgröße $ x_e(t) $ berechnen, sofern die Parameter des Übertragungselements bekannt sind.In der Regelungstechnik ist es immer sinnig, eine Vergleichsmöglichkeit zwischen unterschiedlichen Regelungssystemen oder bei einer Variation der Parameter eines Systems zu ermöglichen. Hierzu ermittelt man Testfunktionen.Dabei handelt es sich um die Lösung ...Fall 6 von 6: Gleichungen mit Proportionalelementen aus Regelkreis
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan > Fall 6 von 6: Gleichungen mit Proportionalelementen aus Regelkreis
Aufgabe: Regelkreisgleichungen mit Proportionalelementen darstellen.Aufgabenstellung:In diesem Beispiel werden Regelkreisgleichungen mit Proportionalelementen dargestellt. Die abzubildenden Gleichungen sind:$ x_d = w - x $$ y_R= K_R \cdot x_d $$ x = K_S \cdot y $Damit du auch genau weißt wofür welche Variable steht, hier ein paar Informationen:$ x_d $ ist die Regeldifferenz$ w $ ist die Führungsgröße/ der Sollwert$ x $ ist die Regelgröße$ y_R $ ist ...Regelkreis mit Proportional-Elementen
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Regelkreis mit Proportional-Elementen
Anders als bisher liegt nun ein Regelkreis mit Proportional-Elementen vor. Die betroffenen Elemente sind der Regler und die Regelstrecke:Regelkreisstruktur mit idealen Elementen Auch hier stellen wir Ihnen erneut die auftretenden Größen vor:$ w $ = Führungsgröße$ x_d $ = Regeldifferenz$ y $ = Reglerausgangsgröße$ x $ = Regelgröße$ K_R $ = Übertragungsfaktor des Reglers$ K_S $ = Übertragungsfaktor der Regelstreckesowie (neu)$ z_1 $ = ...Sprungfunktion, Sprungantwort
Testfunktionen > Sprungfunktion, Sprungantwort
Die Sprungfunktion ist nach wie vor die wichtigste Testfunktion der Regelungstechnik. Die Eingangsfunktion $ x_e(t) $ wird zum Zeitpunkt $ t= 0 $ sprungförmig von Null auf einen Wert $ x_{e0}( = k_0) $ geändert. Die Sprungantwort ist entsprechend der zeitliche Verlauf der Ausgangsfunktion $ x_a(t) $ eines Übertragungselements.Eingangsfunktion - FormalFormal schreibt man für die Eingangsfunktion:Eingangsfunktion: $ x_e(t) = x_{e0} \cdot E(t) $$ x_{e0} $ bezeichnet die Sprunghöhe.$ ...Beispiel: Steuerung eines Füllstandes
Einführung in die Regelungstechnik > Steuerung > Beispiel: Steuerung eines Füllstandes
In diesem Beispiel behandeln wir eine gezielte Beeinflussung mit Hilfe der Steuerung. Hierzu betrachten wir zuerst nachfolgende Abbildung:Schema einer Steuerung Grundlegende Annahmen/FestlegungenDer abgebildete Tank hat einen aktuellen Füllstand $ h_0 $. Dieser soll durch gezielte Beeinflussung auf einen Füllstand $ h_1 $ gebracht werden. Da es sich bei $ h_0 $ um den zu beeinflussenden Füllstand handelt, bezeichnen wir ihn als Aufgabengröße $ x_A $.Der Wert der aktuellen ...Multiplikationssätze
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Multiplikationssätze
Als Ergänzung zum Verschiebungssatz im Frequenzbereich, also dem Dämpfungssatz, möchten wir kurz auf die Multiplikationssätze für eine Transformation von trigonometrischen (sin, cos) und hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh) eingehen.Trigonometrische Funktionen:1. transformierte Sinusfunktion: $ L \{sin(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} - e^{- j a t}}{2j} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) - f (s + ja)}{2j} $2. transformierte Cosinusfunktion:$ L \{cos(at) \cdot ...LAPLACE-Rücktransformation
LAPLACE Transformation > LAPLACE-Rücktransformation
Um nun wieder die Zeitfunktion $ f(t) $ ermitteln zu können, verwenden wir ausgehend von der LAPLACE-Transformation $ f(s)$ eine komplexe Umkehrformel, die LAPLACE-Rücktransformation. Die LAPLACE-Rücktransformation wird formal beschrieben durch:LAPLACE-Rücktransformation: $ f(t) = \frac{1}{2 \; \pi \; j} \oint f(s) \cdot e^{st} \; ds = L^{-1} \{f(s) \}$Achte bei der Rücktransformation darauf, dass Du den geschlossenen Integrationsweg ...Frequenzgang
Frequenzgang > Frequenzgang
Wir stellen uns ein Übertragungselement mit Eingangssignalen und Ausgangssignalen vor. Das Verhalten für eine Signalübertragung sollte bereits bekannt sein. Neu ist nun, dass es sich bei dem Eingangssignal um einen sinusförmigen Verlauf handelt.Sinusförmiges Eingangssignal - FormalDie formale Schreibweise hierfür ist:Sinusförmiges Eingangssignal: $ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $.Sinusförmiges Ausgangssignal - FormalWenn wir nun weiter davon ausgehen, ...Impulsfunktion, Impulsantwort
Testfunktionen > Impulsfunktion, Impulsantwort
Bei der Impulsfunktion wird der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße - die Impulsantwort - eines Übertragungsgliedes durch eine einmalige stoßartige Anregung durch die Eingangsgröße erzeugt. Man bezeichnet eine Anregung als stoßartig, wenn sie im Vergleich zur an Schwingzeit des Übertragungsgliedes kurz ist. Alternativ bezeichnet man die Ausgangsgröße auch als Gewichtsfunktion $ g(t) $.Die Impulsintensität hängt nicht von der Impulsform ...Formelsammlung
Formelsammlung
Einführung in die RegelungstechnikBezeichnungen $ u(t) =$ Eingangsgröße oder steuernde Größe oder beeinflussende Größe$ v(t) =$ Ausgangsgröße oder gesteuerte Größe oder beeinflusste GrößeRegeldifferenz$ e = h_1 - h_M $.Grundgrößen der RegelungstechnikRegelgröße $ x $Stellgröße $ y $Störgröße $ z $Bei mehreren Störgrößen $ z_1, z_2, z_3, ...
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Analysis und Lineare Algebra
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Die e-Funktion
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion lautet:$f(x) = e^x$Die Zahl $e = 2,718281828459...$ wird Eulersche Zahl genannt. Sie ist durch folgende Grenzwertberechnung definiert:$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,718281828459...$Die Exponentialfunktion können wir auf verschiedene Weise darstellen. Wir können sie als Potenzreihe definieren, die sogenannte Exponentialreihe:e-Funktion als Exponentialreihe: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} ... -
Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen.Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll. 1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals$\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $ Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $ mit $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$$ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$.Man ...Partielle Integration bei bestimmten Integralen
Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$ bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.Sei $[a. b]$ ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$ zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral: $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es ...Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
Kann eine Funktion nicht direkt integriert werden, so ist es oft möglich diese durch Substitution dennoch zu Lösen. Unter Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen anderen Term als sog. Stellvertreter zu verstehen. Meist wird der Vereinfachung halber, nur ein neues Symbol für einen ganzen Term eingesetzt. Man gewinnt mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer ...Hyperbelfunktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
... man bedenkt, dass Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion definiert sind, ist es nur logisch, dass sich Area-Funktionen durch ln-Funktionen ausdrücken lassen.$arcosh \ x = ln( x + \sqrt{x^2 - 1})$ für $\ x \ge 1 $,$arsinh \ x = ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$ für $\ x \in \mathbb{R}$$artanh \ x = \frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}$ für $\ |x| < 1$$arcoth \ x = \frac{1}{2} ln \frac{x+1}{x-1}$ für $\ |x| > 1$Das Vektorprodukt
Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wohingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.Eigenschaften des VektorproduktsDas Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ...Die allgemeine Exponentialfunktion
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die allgemeine Exponentialfunktion
... $\, f(x) = e^x$, die wir als e-Funktion bezeichnen, also die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl $\, e = 2,718282... \,$ als Basis. Diese hat gegenüber anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Ihr widmen wir uns im nächsten Kurstext. Wichtig für dich zu wissen ist, dass mit ihrer Hilfe unter Verwendung des natürlichen Logarithmus' sich jede Exponentialfunktion zur Basis $e$ umwandeln lässt. Aus $a = e^{ln \, a}$ folgt:$f(x) = a^x ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen
Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand > Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen
In diesem Abschnitt werden die Hauptdehnungen und Hauptspannungen für den ebenen Spannungszustand aufgezeigt.HauptdehnungenDie Hauptdehnung für den ebenen Spannungszustand [xy-Ebene] erhält man, indem man $\sigma_1$, $\sigma_2$ in die Dehnungsgleichungen (aus dem vorherigen Abschnitt) einsetzt:$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}$ $\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}$.Die Hauptdehnungen sind$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 ...Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
Der Zusammenhang zwischen Spannung und elastischer Verformung wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben und wurde für den einachsigen Fall bereits im Kapitel Stabbeanspruchungen behandelt. Das Hookesche Gesetz soll im Folgenden auf den räumlichen Fall ausgeweitet werden.Dehnungen im RaumUm die allgemeine Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln, wird das Hookesche Gesetz für den einachsigen Fall und das Gesetz von Poisson herangezogen und mittels Überlagerungsprinzip ...Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
In diesem Abschnitt wird der ebene Spannungszustand aufgeführt. Ein ebener Spannungszustand in der (x,y)-Ebene bewirkt einen räumlichen Verzerrungszustand (auch: Dehnungszustand). Das bedeutet, dass die Spannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ die Dehnungen $\epsilon_{xx}$, $\epsilon_{yy}$ und $\epsilon_{zz}$ zur Folge habe. Dies soll im Weiteren gezeigt werden.Eines der Ziele des Hookeschen Gesetzes ist es einen Zusammenhang zwischen statischen Größen [Spannungen] und kinematischen ...Hookesches Gesetz
Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Hookesches Gesetz
Mittels von Zugversuchen wird der Zusammenhang zwischen Dehnung $\epsilon$ und Spannung $\sigma$ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt (vorheriger Abschnitt). Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, das heißt, dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung ($\triangle ...Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
In diesem Abschnitt werden Beispiele zum Hookeschen Gesetz für mehrachsige Spannungszustände aufgeführt. Die Gleichungen aus den vorherigen Kapiteln finden hier ihre Anwendung.Beispiel 1: Hookesches Gesetz im ebenen SpannungszustandEbener SpannungszustandGegeben sei das obige Stück Metall mit $\nu = 0,3$. Die Ausgangsbreite (vor Verformung) betrage $b_0 = 12 mm$, die Ausgangshöhe $h_0 = 5 mm$. Nach der ebenen Belastung hat sich das Bauteil verformt. Die Breite beträgt ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können relativ einfach gelöst werden. Homogene Differentialgleichung mit konstanten KoeffizientenIst die Differentialgleichungen der Form $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = s(x) $ ,mit Konstanten $ a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $mit Hilfe ...Inhomogene Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
Wir haben bereits erfahren, dass die allgemeine Lösung, bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung $ y_H $ und der Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ besteht. Sind die Lösungen $ y_H = c_1y_1 + ... c_ny_n $ der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen. Grundlagen ...
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Baustofftechnik 1
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Elastizitätsmodul
Mikrostruktur von Baustoffen > Charakteristische Baustoffeigenschaften in Bezug auf die Bindung > Elastizitätsmodul
Jetzt erklären wir dir, welchen Einfluss der Elastizitätsmodul auf die Baustoffeigenschaften hat. Der Elastizitätsmodul (auch bekannt unter Dehnungsmodul oder Youngscher Modul) stellt einen Materialkennwert dar. Mit seiner Hilft kann ein Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei einer Verformung hergestellt werden. Abgekürzt wird der Elastizitätsmodul mit E (Formelzeichen) oder E-Modul. Die Einheit entspricht einer mechanischen Spannung. Folgendes gilt: ...
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Operations Research 1
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Einführung: Graphentheorie
Graphentheorie > Einführung: Graphentheorie
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Graphentheorie. Ein Graph besteht aus $n$ verschiedenen Knoten, welche ganz oder teilweise miteinander verbunden sind. Die Graphentheorie findet Anwendung z.B. bei der Planung von Verkehrsnetzen, Kommunikationsnetzen oder auch Versorgungsnetzen.Grundbegriffe der GraphentheorieEin Graph $G$ besteht aus einer nichtleeren Knotenmenge $V$ und einer Pfeil- oder Kantenmenge $E$. Jedem Element aus $E$ ist genau ein Knotenpaar $[i,j]$ aus $V$ zugeordnet.Es ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik
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Beispiel: Beschleunigung
Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit > Beispiel: Beschleunigung
Es soll eine Beschleunigung von $a = -5 \frac{1}{s} \cdot v$ gegeben sein. Die Anfangsbedingungen seien $v(t = 0) = v_0$ und $x(t = 0) = x_0$.Bestimmen Sie die den Verlauf von Geschwindigkeit und Ort!Zunächst wird wieder der folgende Zusammenhang dargestellt:$a(v) = \frac{dv}{dt}$.Auflösen nach $dt$, damit $a(v)$ und $dv$ auf einer Seite sind:$dt = \frac{dv}{a(v)}$Anschließend für wir die Integration durch:$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t - t_0 = \int_{v_0}^v ...
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Technische Darstellungen - Bauwesen
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Beispiel zur Anpassung von Maßen einer Bauzeichnung an das oktametrische System
Das oktametrische Maßsystem > Beispiel zur Anpassung von Maßen einer Bauzeichnung an das oktametrische System
Da sich viele nicht so richtig vorstellen können wie man mit dem oktametrischen System ein Bauwerk und somit eine darauf aufbauende technische Zeichnung entwickelt, die sich am oktametrischen System orientiert, möchte ich hier ein kleines Beispiel erläutern:Stellt euch folgenden kleinen Grundriss vor, in dem bereits einige Maße eingetragen sind, die sich jedoch nicht am oktametrischen System orientieren:Abb.19Ziel soll es nun sein diese kleine Zeichnung oktametrisch aufzubereiten:Beim ...
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Werkstofftechnik 1
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Hookesches Gesetz
Werkstoffprüfung > Mechanische Werkstoffprüfung > Zugversuch > Hookesches Gesetz
Mittels Zugversuchen wird der Zusammenhang zwischen Dehnung $\epsilon$ und Spannung $\sigma$ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt (siehe vorheriger Abschnitt). Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, d.h. dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung ($\triangle l$) zunimmt. Gummiband ...
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Maschinenelemente 2
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Nachgiebigkeitsberechnung
Schraubenverbindungen > Nachgiebigkeitsberechnung
Bevor wir nun mit der Nachgiebigkeitsberechnung fortfahren, stellen wir noch ein paar Änderungen zu der Gleichung aus dem vorherigen Kurstext an. Dazu setzen wir die Gleichungen der Nachgiebigkeit und die Gleichungen für das Hooksche Gesetz gleich und stellen nach f, der Längenänderung, um.$ \sigma = E \cdot \frac{f}{l} $ und $ \sigma = \frac{F}{A} \rightarrow E \cdot \frac{f}{l} = \frac {F}{A} $$ \rightarrow f = \frac{F \, \cdot \, l}{A \, ...
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Baustatik 1
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Hookesche Gesetz
Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Hookesche Gesetz
Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung $\sigma$ und Dehnung $\epsilon_N$, das heißt, dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Wird beispielsweise ein Gummiband auseinandergezogen, also mit einer Zugkraft belastet, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung zunimmt. Das Hookesche Gesetz beschreibt den Zusammenhang von Spannung und Dehnung im linear-elastischen Bereich. Dabei ...
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Themen unserer Kurse
- Ungleichung, Uneigentliche Integrale, Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
- Vektor, variable Kosten, Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
- Wendepunkt, Winkel, Werkstoffe für Wellen und Achsen
- X-Y-Theorie nach Mc Gregor
- Zugversuch, zwei Kräften, Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
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