Analysis und Lineare Algebra

  1. Die allgemeine Exponentialfunktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die allgemeine Exponentialfunktion
    ... mit  $a = e^{ln \; a}$  durch eine e-Funktion abgebildet werden:$y = a^x = e^{x\; ln\; a}$Gegeben sei die Funktion  $f(x) = 5^x$. Für z.B.  $x = 2$  ergibt sich:  $f(2) = 5^2 = 25$  oder  $e^{2\; ln\; 5} = 25$Rechenregeln$a$: Basis  mit  $ 0 < a \neq 1$(1)  $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$(2)  $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$(3)  $a^0 = 1$(4)  $(a^x)^r = a^{xr}$
  2. Die e-Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
    e-Funktion
    Die e-Funktion ist definiert als$y = f(x) = e^x$  mit  $e = 2,718281828...$, (Eulersche Zahl)Die Exponentialfunktion wird durch folgende konvergente Reihe definiert:$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + {x^4}{4!} + ... = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$Die Eulersche Zahl wird durch folgenden Grenzwert definiert: $\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,71828...$.Eigenschaften der e-FunktionDie Zahl  $e$  ist durch folgenden Grenzwert definiert:$\lim\limits_{x ...
  3. Hyperbelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
    ... man bedenkt, dass Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion definiert sind, ist es nur logisch, dass sich Area-Funktionen durch ln-Funktionen ausdrücken lassen.$arcosh \ x = ln( x + \sqrt{x^2 - 1})$ für $\ x \ge 1 $,$arsinh \ x = ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$ für $\ x \in \mathbb{R}$$artanh \ x = \frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}$ für $\ |x| < 1$$arcoth \ x = \frac{1}{2} ln \frac{x+1}{x-1}$ für $\ |x| > 1$
  4. Regel von de l' Hospital
    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
    ... \to \infty$ ?Eigenschaft der e-Funktion:  $\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$.$\lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \infty^2 = \infty$  Es gilt also:  $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \infty$Ist die erste Ableitung für $x_0 = \infty$ ungleich Null?$g´(\infty) = 2 \cdot \infty = \infty \neq 0$Anwendung der Regel von de l'Hospital:$\rightarrow \; \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x ...
  5. Logarithmusfunktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Logarithmusfunktion
    ... \approx 2,1761$Umkehrfunktion für die e-Funktion$y = e^x \rightarrow  x = \ln(y)$Die Funktion  $5 = e^x$ ergibt   $x = \ln(5) \approx 1,61$Der Taschenrechner enthält meistens nur den Logarithmus für die Basis $10 (a = 10)$ und wird mit  $\log$  bezeichnet oder den natürlichen Logarithmus  $\ln$  für die Basis $e$ (=Eulersche Zahl). Für alle anderen Basen muss eine Basisumrechnung stattfinden.Basisumrechnung$x = \log_a(y)$:$\rightarrow ...
  • 113 Texte mit 84 Bildern
  • 200 Übungsaufgaben
  • und 25 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Fertigungslehre

  1. Induktionsofen
    Urformen > Schmelzverfahren > Elektroschmelzöfen > Induktionsofen
    Induktionsofen
    ... induziert, so dass die Stromdichte nach einer E-Funktion zum Kern hin abfällt. Diesen Effekt bezeichnet man als Skin-Effekt, der infolge der Stromverdrängung auftritt.In der nächsten Abbildung sehen Sie die schematische Darstellung eines Induktionsofens:Induktionsofen
  • 94 Texte mit 97 Bildern
  • 95 Übungsaufgaben
  • und 0 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion):$u(t) = {2t-3}$$\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$Einsetzen in die Lösungsformel:Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$ $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $Integrieren:$= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$Rücksubstitution und auflösen:$y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x - 3} - \frac{1}{2} ...
  • 54 Texte mit 37 Bildern
  • 79 Übungsaufgaben
  • und 12 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Regelungstechnik

  1. Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verschiebesätze, Dämpfungssatz
    Verschobener Einheitssprung
    ... einer Multiplikation der Zeitfunktion mit einer e-Funktion im Zeitbereich, woraufhin es dann zu einer Verschiebung der transformierten Funktion im Frequenzbereich kommt. Dämpfungsatz: $ L\{e^{-at} \cdot f (t) \} = f (s + a) $Beispiel:Es liegt eine Zeitfunktion in der Form $ e^{-3 t} \cdot t $ vor. Führen Sie hierfür die LAPLACE-Transformation durch.Die Kennzahlen, die wir aus dieser Zeitfunktion ableiten können sind nachfolgend aufgeführt:$ a = 3 $$ f(t) = t $$ f(s) ...
  • 79 Texte mit 121 Bildern
  • 106 Übungsaufgaben
  • und 14 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG