Analysis und Lineare Algebra
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Elementare Funktionen
Elementare Funktionen
In der Mathematik sprechen wir von einer Funktion oder Abbildung, wenn zwischen zwei Mengen eine Beziehung besteht, bei der jedem Element der einen Menge ($x$-Wert, unabhängige Variable oder Funktionsargument genannt) genau ein Element der anderen Menge ($y$-Wert, abhängige Variable oder Funktionswert genannt) zugeordnet werden kann.In der Literatur wird der Begriff unterschiedlich definiert. Allgemein wird jedoch davon ausgegangen, dass mathematischen Objekten (z. B. Zahlen, Mengen, geometrische ...Beispiel 3: Diagonalisierbarkeit
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 3: Diagonalisierbarkeit
In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie eine Matrix diagonalisiert werden kann.Anwendungsbeispiel 3: Diagonalisierbarkeit$A = \begin{pmatrix} -2 & - 2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$Ist die Matrix $A$ diagonalisierbar? Wenn ja, diagonalisiere die Matrix $A$ (ermittele die Diagonalmatrix $B$)!1. Schritt: Bestimmung des charakteristischen Polynoms$\chi_A(\lambda) = det(A - \lambda E) $$(A-\lambda E) = \begin{pmatrix} -2-\lambda & - 2 & 1 \\ 2 ...Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
In diesem Abschnitt überprüfen wir, ob die algebraische Vielfachheit mit der geometrischen Vielfachheit in der Beispielmatrix übereinstimmt.Anwendungsbeispiel 2: Diagonalisierbarkeit$A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -6 \\ 18 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen PolynomsBerechnung des charakteristischen Polynoms mittels Regel von Sarrus:$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} ...Nullstellen von Polynomen
Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen
Als Polynome bezeichnet man vielgliedrige Summen oder Differenzen. Der Begriff Binome wird im Gegensatz dazu für zweigliedrige Summen oder Differenzen verwendet.Komplexe Zahlen spielen in der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen eine wichtige Rolle, also die Werte von $x$, für die das Polynom verschwindet. Der Ausdruck algebraische Summe ist dem Polynom gleichbedeutend.Ein Beispiel für ein fünfgliedriges Polynom ist der Term $\, x^2 + x - 1 + ...Kurseinführung
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Kurseinführung
... 1 zu den Themen Analysis und Lineare Algebra. Wir freuen uns, dass du dich dazu entschlossen hast, dich mithilfe dieses Kurses in die sehr interessante, jedoch nicht ganz einfache Thematik der Mengenlehre, Vektorrechnung, komplexen Zahlen, Integral- und Differentialrechnung sowie der linearen Algebra einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir dich mit den Grundlagen vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themenpunkte ...Diagonalisierbarkeit
Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
Es ist sinnvoll eine gegebene quadratische Matrix in eine Diagonalmatrix zu überführen, weil sich die Matrizenaddition, die Skalarmultiplikation und die Matrizenmultiplikation vereinfachen (wie im vorherigen Abschnitt gezeigt). Es gibt aber noch weitere Vorteile, die eine Diagonalmatrix aufweist:Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen.Der Rang einer Diagonalmatrix entspricht den Einträgen auf der Hauptdiagonalen, sofern ungleich ...Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen
Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen
... und Reihenlineare AlgebraDeterminanten
Matrizen > Determinanten
Unter einer Determinante versteht man einen eindeutigen Zahlenwert, der genau einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Ist die Matrix nicht quadratisch, so existiert für sie auch keine Determinante.Die Determinante hat die Kennzeichnung $ det(A) $ oder $ |A| $.Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher GrößeZur Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe existieren verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden aufgezeigt werden.Determinante ...Wurzelfunktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Wurzelfunktionen
Die Wurzelfunktion ist eine algebraische, jedoch nichtrationale Funktion. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.Die allgemeine Form der Wurzelfunktion lautet:allgemeine Wurzelfunktion: $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \;\;\;\; | x \in \mathbb{R}^+_0 \;$ und $\; n \in \mathbb{N}$Wir bezeichnen$\sqrt[n]{x} \;$ als Wurzel, Radikal oder Radix,$n \;$ als Wurzelexponent und$x \;$ als Radikand.Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ hebt das Potenzieren mit dem Exponenten $n$ auf. Wenn ...Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
... -2 \end{pmatrix}$Die Eigenwerte (siehe Kapitel: Lineare Algebra) müssen bestimmt werden:$H(\lambda) = \begin{pmatrix} -2 - \lambda & 1 \\ 1 & -2 - \lambda \end{pmatrix}$Berechnung:$H(\lambda) = (-2 - \lambda) \cdot (-2 - \lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 + 4 \lambda + 3$$p/q$-Formel anwenden:$\lambda_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$$\lambda_{1,2} = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2 - 3} $$\lambda_1 = -1$$\lambda_2 = -3$Beide Eigenwerte der Hessematrix ...Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren
Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren
Wir wollen uns als nächstes mit der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren beschäftigen. Lineare Abhängigkeit von VektorenDie Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ heißen linear abhängig, wenn gilt: $\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} = \vec{0}$mit$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) \in \mathbb{R}$Dabei dürfen nicht alle $\lambda_i \; (i = 1,2,...,n)$ den Wert Null annehmen, damit ...Lineare Abhängigkeit im R²
Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R²
Zwei Vektoren im R²Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$mit$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig.Daraus folgt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.Alternativ ...Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
Vektorräume > Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
Definition: VektorraumDie Elemente eines Vektorraums $\mathcal V$ heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums $\mathcal V$.Addition von VektorenEine Bedingung ist, dass die Vektoren miteinander addiert werden können. Sind also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n}$ Vektoren aus $\mathcal V$, also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \in \mathcal V$, dann muss es möglich sein, ihre ...Lineare Abhängigkeit im R³
Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R³
Zwei Vektoren im R³Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$mit$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert null annehmen dürfen.Sinnvoll ...Übungsaufgaben zu Geraden im Raum
Vektorrechnung > Geraden im Raum > Übungsaufgaben zu Geraden im Raum
Für die nachfolgenden Aufgaben soll die Lage der Geraden zueinander (parallel, identisch, windschief, sich schneidend) bestimmt und der Abstand zwischen den Geraden berechnet werden (bei parallelen und windschiefen Geraden).Die Geraden werden in der folgenden Parameterdarstellung angegeben:$g: \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$$h: \vec{x} = \vec{b} + t_2 \vec{w}$Aufgabe 1: Lagebeziehung von GeradenGegeben seien die beiden Geraden$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -7 \end{array}\right) ...Identische Geraden
Vektorrechnung > Geraden im Raum > Identische Geraden
Zwei Geraden $g$ und $h$ sind identisch, wenn beide auf derselben Wirkungslinie liegen, also $h = g$ gilt:$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$$h: \vec{x} = \vec{b} + s \cdot \vec{u}$Bedingungen für identische Geraden:1. Die Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{u}$ sind Vielfache voneinander (kollinear).2. Der Stützvektor der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, ...Windschiefe Geraden
Vektorrechnung > Geraden im Raum > Windschiefe Geraden
Geraden werden als windschief bezeichnet, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Im zweidimensionalen Raum sind zwei Geraden entweder parallel zueinander (bzw. identisch) oder schneiden sich. Windschiefe Geraden können also nur in mindestens dreidimensionalen Räumen auftreten.Die Voraussetzungen für windschiefe Geraden sind:Die Richtungsvektoren der Geraden sind nicht Vielfache voneinander.Die Geraden schneiden sich nicht.Zum besseren Verständnis folgt ein ...
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Regelungstechnik
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LAPLACE Transformation
LAPLACE Transformation
In diesem Kapitel behandeln wir das für die Regelungstechnik sehr wichtige Thema der LAPLACE-Transformation.Das Video wird geladen...(1rt-laplace-transformation-prinzip) Mit der LAPLACE-Transformation lassen sich Differenzial-und Integralausdrücke in algebraische Ausdrücke umwandeln. Der hauptsächliche Vorteil besteht darin, dass anstelle einer Differenzialgleichungen eine algebraische Gleichung gelöst werden muss. Dabei werden die bekannten Anfangsbedingungen die innerhalb ...Homogene Differenzialgleichungen
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen
Unter den Grundannahmen des vorherigen Textes wenden wir uns jetzt der Lösung der homogenen Differenzialgleichung zu.Im ersten Schritt stellen wir eine homogene Differenzialgleichung auf:Homogene Differenzialgleichung: $ a_n \cdot \frac{d^n x_a}{dt^n} + a_{n-1} \cdot \frac{d^{n-1} x_a}{dt^{n-1}} + a_{n-2} \cdot \frac{d^{n-2} x_a}{dt^{2-1}}+....+ a_{1} \cdot \frac{d^{1} x_a}{dt^{1}}+a_{0} \cdot \frac{d^{0} x_a}{dt^{0}} = 0 $ Der letzte Term auf der linken Seite wird gekürzt ...Mathematische Transformation
LAPLACE Transformation > Mathematische Transformation
Sinn und Zweck von Transformationen bestehen in der Mathematik hauptsächlich darin, Berechnungen zu vereinfachen. Dies ist auch in der Regelungstechnik der Fall.Das Video wird geladen...(1rt-laplace-transformation-mathematisch) Die Vereinfachung der Berechnung durch Transformation ist dadurch gegeben, dass Rechenoperationen höherer Ordnung durch Rechenoperationen niedriger Ordnung ersetzt werden.Eine übliche Transformation ist beispielsweise die Logarithmierung. So ist es möglich ...Original- und Bildbereich
LAPLACE Transformation > Mathematische Transformation > Original- und Bildbereich
Man bezeichnet den Bereich in dem eine mathematische Operation durchgeführt wird als Originalbereich. Transformiert man nun eine gegebene Differenzialgleichung, so wird diese im Bildbereich abgebildet und stellt nun eine einfache algebraische Gleichung dar. Denn im Bildbereich wird eine entsprechende Rechenoperation niederer Ordnung vorgenommen. Zu diesem Zeitpunkt liegt lediglich ein Zwischenergebnis vor, das es zum Ende wieder in den Originalbereich zurück zu transformieren gilt, um ein ...Differenziationssatz, Integrationssatz
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Differenziationssatz, Integrationssatz
In diesem Kurstext stellen wir Dir den Differenziationssatz und den Integrationssatz für eine LAPLACE-Transformation vor. Mit dem Differenziationssatz und dem Integrationssatz werden bei der LAPLACE-Transformation Differenziale und Integrale in eine algebraische Form überführt. DifferenziationssatzMöchte man eine stetige Funktion im Zeitbereich differenzieren, so bewirkt dies auch eine Änderung im Frequenzbereich.Diesen Zusammenhang erfasst der Differenziationssatz:Differenziationssatz: ...
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Elektrotechnik
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Komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen
Wechselstrom > Wechselstromkreise > Komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen
Bisher hast du zwei Möglichkeiten kennengelernt Wechselstromschaltungen zu berechnen. Die erste Methode ist das geometrische Zeigerbild, die zweite Methode ist die algebraische Berechnung. Beide Methoden haben gemein, dass die Berechnungen umso schwieriger und umfangreicher werden, je mehr Maschen und Knoten in der Schaltung vorhanden sind. Um dieses Problem zu vereinfachen, wenden wir uns nun den komplexen Berechnungen zu. Dazu behandeln wir GrundlagenKomplexe Zahlen undKomponenten- und ...Kirchhoff'sche Regeln bei Wechselstrom
Wechselstrom > Wechselstromkreise > Kirchhoff'sche Regeln bei Wechselstrom
Wie du der Liste auf der vorangegangenen Seite entnehmen konntest, beginnen wir erneut mit den Kirchhoff'schen Regeln, nun aber nicht mehr für einen Gleichstromkreis, sondern für einen Wechselstromkreis. Zur Erinnerung:Knotenregel für die Ströme im Gleichstromkreis: $\sum I_{zu} = \sum I_{ab} $.Maschenregel für Spannungen im Gleichstromkreis: $\sum U = 0 $ Im Allgemeinen gelten die Kirchhoff'schen Regeln für die Augenblickwerte der Wechselströme $ ...Lineare Widerstände, Strom-Spannungs-Kennlinie
Gleichstrom > Gleichstromkreise > Schaltung von Widerständen > Lineare Widerstände, Strom-Spannungs-Kennlinie
Lineare Widerstände zeichnet aus, dass die Strom-Spannungs-Kennlinie linear verläuft. BeispielIn einem unverzweigten Stromkreis liegt ein Strom mit einem Wert $ I_0 $ vor, der durch einen Widerstand R fließt. Die auftretende Spannung $ U_0 $ ist dabei formal definiert durch$\ U_0 = R \cdot I_0 $. $ U_0 = $ Klemmspannung$ I_0 = $ Klemmstrom und $ R = $ Widerstand.Die Klemmspannung und der Klemmstrom bilden zusammen den Arbeitspunkt. Dies bedeutet, dass sich die Spannung ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Homogene Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
Es wurde bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt.Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $. Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die ...Formelsammlung
Formelsammlung
In dieser Formelsammlung findest du alle im Kurs behandelten Gleichungen als Übersicht für deine Klausur. Immer unterteilt nach Kapiteln:Darstellung ebener KurvenFunktionstypen:Lineare Funktionen:$ \ F(x,y) = a \cdot x + b \cdot y + c $Quadratische Funktionen: $ F(x,y) = a \cdot x^2 + b \cdot x \cdot y + c \cdot y^2 + d \cdot x + e \cdot y + f$Polarkoordinatendarstellung (Umrechnung in kartetische Koordinaten)$x = r(\varphi) \cos (\varphi)$$y = r(\varphi) \sin (\varphi)$Parameterdarstellung ...Bernoulli Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
Den Anfang macht die Bernoulli Differentialgleichung, welche die Form$ y' + a(x)y = r(x) y^{\alpha}$ Bernoulli Differentialgleichungmit$\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \not= 0, 1 $besitzt.Diese Differentialgleichung wird in einem nächsten Schritt durch $y^{\alpha}$ geteilt bzw. mit $y^{-\alpha}$ multipliziert. Dies führt zu der Form:$y^{-\alpha} \cdot y' + a(x) y^{ 1 - \alpha} = r(x)$SubstitutionDurch Substitution lässt sich diese Differentialgleichung ...
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Operations Research 1
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Standardform: Maximierungsproblem
Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem
Im vorangegangenen Abschnitt ist zunächst das allgemeine lineare Programm aufgestellt worden. Hierbei sind alle Nebenbedingungen (mit Ungleichungen $\le$, $\ge$ sowie ohne Ungleichungen $=$) berücksichtigt worden. Bei der Lösung von linearen Optimierungsmodellen, muss dieses allerdings in Standardform gegegeben sein. Von der Standardform ist die Rede, wenn ein Maximierungsproblem vorliegt (Maximierung der Zielfunktion), die Nebenbedingungen die Ungleichungen $\le$ enthalten und die ...Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
In den folgenden Abschnitten soll gezeigt werden, wie man mittels des Simplex-Verfahrens ein lineares Optimierungsproblem löst. Zunächst aber muss das lineare Optimierungsproblem in Normalform gegeben sein. Die Normalform lässt sich ganz einfach aus der Standardform (siehe vorherige Kapitel) ableiten.Die Normalform ist wie folgt definiert: maximiere $f(x_1, x_2, ... , x_n) = c x_1 + c x_2 + ... c x_n = \sum_{j = 1}^n ...
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Operations Research 2
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Standardform: Maximierungsproblem
Grundlagen des Operations Research 1 > Standardform: Maximierungsproblem
Im vorangegangenen Abschnitt ist zunächst das allgemeine lineare Programm aufgestellt worden. Hierbei sind alle Nebenbedingungen (mit Ungleichungen $\le$, $\ge$ sowie ohne Ungleichungen $=$) berücksichtigt worden. Bei der Lösung von linearen Optimierungsmodellen, muss dieses allerdings in Standardform gegegeben sein. Von der Standardform ist die Rede, wenn ein Maximierungsproblem vorliegt (Maximierung der Zielfunktion), die Nebenbedingungen die Ungleichungen $\le$ enthalten ...Grafisches Verfahren
Ganzzahlige Optimierung > Grafisches Verfahren
Das im ersten Kapitel Wiederholung OR 1 eingeführte lineare Programm und die dort vorgestellte grafische Lösung des Maximierungsproblems hatte eine ganzzahlige Lösung zum Ergebnis. Dies ist allerdings nicht immer gegeben, denn häufig werden bei linearen Programme nicht ganzzahlige Lösungen ermittelt. In diesem Abschnitt soll die grafische Lösung eines Maximierungsproblems im Hinblick auf die Ganzzahligkeitsbedingung aufgezeigt werden.Die grafischen Lösung von linearen ...
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Baustatik 1
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Spannung und Dehnung bei reiner Biegung
Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge reiner Biegung > Spannung und Dehnung bei reiner Biegung
Gebogene Brückenelemente mit konstanten Querschnitten (Köln) Wir wollen in diesem Abschnitt die Spannung und Dehnung bei reiner Biegung bestimmen. Es gilt weiterhin die Normalenhypothese von Bernoulli:Die Querschnitte bleiben also auch nach der Verformung im 90°-Winkel auf der Balkenachse (=neutrale Faser) stehen.Die neutrale Faser ändert auch nach der Verformung ihre Länge nicht.Anhand der Kreisbogenlänge $ds$ zwischen zwei Nachbarquerschnitten kann man ...Lagerverschiebungen/-verdrehungen
Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Lagerverschiebungen/-verdrehungen
Eingeprägte Lagerverschiebungen oder -verdrehungen leisten virtuelle Verschiebungsarbeit und müssen demnach innerhalb der Arbeitsgleichung berücksichtigt werden:Eingeprägte Lagerverschiebungen/-verdrehungenVon eingeprägten Lagerverformungen ist die Rede, wenn sich Lager infolge von Setzungen oder Hebungen des Baugrundes verschieben bzw. verdrehen. So treten diese z. B. auf bei- unterirdische Hohlräume - ungleichmäßigem Baugrund - Erdbeben - ...
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Baustofftechnik 1
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Spannungs-Dehnungslinien, Spannungs-Dehnungs-Diagramm
Stoffeigenschaften im Bauwesen > Mechanische Eigenschaften von Baustoffen > Spannungs-Dehnungslinien, Spannungs-Dehnungs-Diagramm
In diesem Kurstext stellen wir den Zusammenhang zwischen einer einachsigen Spannung und der dadurch in Spannungsrichtung ausgelösten Dehnung grafisch dar.Die Spannungen werden auf der Ordinate aufgetragen und die Dehnungen auf der Abszisse.Diese Darstellung bezeichnet man als Spannungs-Dehnungslinie oder umfassender als Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Nachfolgend stellen wir dir die typischen Spannungs-Dehnungs-Linien für unterschiedliche Baustoffverhalten vor:Elastisches Baustoffverhalten1. ...Verformungsenergie und Arbeitsvermögen
Stoffeigenschaften im Bauwesen > Mechanische Eigenschaften von Baustoffen > Verformungsenergie und Arbeitsvermögen
In diesem Kurstext thematisieren wir die Verformungsenergie und das Arbeitsvermögen von Baustoffen.DefinitionAls Verformungsenergie bezeichnet man die Arbeit, die aufgewendet werden muss, um einen Baustoff zu verformen. Ist hingegen die Rede vom Arbeitsvermögen, so meint man die Arbeit bezogen auf das verformte Volumen. Letztere entspricht der Fläche unterhalb des $ \sigma $-$ \epsilon $-Diagramms.Das Arbeitsvermögen stellt ein Maß für die zum Bruch des Baustoffs erforderliche ...
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Produktion
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Arten von Kostenfunktionen
Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Kostenfunktionen > Arten von Kostenfunktionen
In diesem Abschnitt werden drei Arten von Kostenfunktionen aufgeführt: Die lineare, degressive und progressive Kostenfunktion.Lineare KostenfunktionBei der linearen Kostenfunktion steigen die variablen Kosten proportional zur produzierten Menge. Die variablen Stückkosten bleiben (unabhängig von der Menge) konstant und sind gleich der Grenzkosten.Die allgemeine Form der linearen Kostenfunktion lautet:$K(x)=k_v*x+K_f$Ein Unternehmen hat die folgende Kostenfunktion:$K(x) = 100x + 500$Hierbei ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Gesamtkrümmung
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Gesamtkrümmung
Wir wollen uns als nächstes die Krümmung näher anschauen. Aus dem vorherigen Abschnitt haben wir die Krümmung bestimmt zu:$ \kappa = \frac{1}{p} = \frac{d\varphi}{dx} = \varphi' $ KrümmungSetzen wir nun die lineare Dehnungsverteilung $ \epsilon_x = \frac{z}{p} $ in das Hookesche Gesetz ein $\sigma_x = E \cdot \epsilon_x $ so erhalten wir: $\frac{z}{p} = \frac{\sigma_x}{E}$ Auflösen ...
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Themen unserer Kurse
- Ungleichung, Uneigentliche Integrale, Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
- Vektor, variable Kosten, Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
- Wendepunkt, Winkel, Werkstoffe für Wellen und Achsen
- X-Y-Theorie nach Mc Gregor
- Zugversuch, zwei Kräften, Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
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