Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Extremwerte ohne Nebenbedingungen
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte ohne Nebenbedingungen
    ... um eine Extremstelle handelt indem man die 2. partielle Ableitung von $ x$ und $ y$ bildet und sowie die erste partielle Ableitung nach $ x $ bestimmt und diese anschließend wiederum nach $ y $ ableitet. 3. Nun berechnet man Delta $\triangle$$\triangle (x_E,y_E) = f_{xx}(x_E,y_E) \cdot f_{yy}(x_E,y_E) - (f_{xy}(x_E,y_E))^2 $Ergibt sich aus der Berechnung, dass $\triangle (x_E,y_E) > 0 $ ist, so existiert eine$\rightarrow $ Maximalstelle, wenn $ f_{xx} (x_E,y_E) < 0 $,$\rightarrow $ ...
  2. Partielle Ableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung
    ... betrachtet werden.  Man unterscheidet die partielle Ableitung erster Ordnung von der partiellen Ableitung höherer Ordnung. Auf Beide wird im Folgenden näher eingegangen. 
  3. Partielle Ableitung erster Ordnung
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    Partielle Ableitung erster Ordnung
    ... = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt. Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$. In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt. Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen.  Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ ...
  4. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Partielle Ableitung höherer Ordnung
    ... gilt der Satz von Schwarz: Bildet man mehrere partielle Ableitungen nacheinander, so kann die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden, sofern sie alle stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen.  Anwendungsbeispiele Gegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$ 1. Möglichkeit Die Ableitung nach $x$ und dann nach $y$: $\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$ $\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$ Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$: $\frac{\partial}{\partial ...
  5. Extremwerte
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte
    ... wenn bei n= 100 Veränderlichen nur eine 1. partielle Ableitung ungleich Null ist, existiert eine, vielleicht auch nur minimale, positive oder negative Steigung, womit automatisch kein Extremwert der Funktion vorliegen kann. Dies bedeutet folglich, dass auch der Gradient der Funktion gleich Null sein muss.  Im Folgenden wird anschaulich der Unterschied zwischen Extremwerten ohne und mit Nebenbedingungen erläutert und veranschaulicht. Im letzteren Fall wird zudem auf den Lagrange-Ansatz näher ...
  6. Verfahren von Lagrange
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen > Verfahren von Lagrange
    ... + y^2 - \frac{1}{16}) $. Partielle Ableitungen Jetzt bildet man die partiellen Ableitungen nach $\ x,y$ und $\lambda $ und setzt diese gleich Null: Vereinfachte Schreibweise: $L(x,y, \lambda) = (1 - x^2 - y^2)^{\frac{1}{2}} + \lambda(x - \frac{1}{2})^2 + \lambda(y^2 - \frac{1}{16})$ Ableitung nach $x$: $\ L_x = \frac{1}{2} (1 - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 = 0$ $\ L_x = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) ...
  7. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... G$.Oder:Besitzt $f$ in $G$ eine beschränkte partielle Ableitung $f_y(x,y)$, so genügt $f$ in $G$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$. Lipschitzbedingung (lokal)Besitzt $f$ in $G$ eine stetige partielle Ableitung $f_y (x,y)$, dann genügt $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung. Anwendungsbeispiele: Globale Lipschitzbedingung Gegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ ...
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