Partielle Ableitung

Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

1. Extremwerte ohne Nebenbedingungen

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte ohne Nebenbedingungen

   ... eine Extremstelle handelt indem man die 2. partielle Ableitung von $ x$ und $ y$ bildet und sowie die erste partielle Ableitung nach $ x $ bestimmt und diese anschließend wiederum nach $ y $ ableitet. 3. Nun berechnet man Delta $\triangle$$\triangle (x_E,y_E) = f_{xx}(x_E,y_E) \cdot f_{yy}(x_E,y_E) - (f_{xy}(x_E,y_E))^2 $Ergibt sich aus der Berechnung, dass $\triangle (x_E,y_E) > 0 $ ist, so existiert eine$\rightarrow $ Maximalstelle, wenn $ f_{xx} (x_E,y_E) < 0 ...

2. Partielle Ableitung

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung

   ... betrachtet werden. Man unterscheidet die partielle Ableitung erster Ordnung von der partiellen Ableitung höherer Ordnung. Auf Beide wird im Folgenden näher eingegangen. 

3. Partielle Ableitung erster Ordnung

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung

   

   ... y) = \dot{z_x} $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt.Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$. In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt.Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ ...

4. Partielle Ableitung höherer Ordnung

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung

   

   ... gilt der Satz von Schwarz: Bildet man mehrere partielle Ableitungen nacheinander, so kann die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden, sofern sie alle stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen. AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$1. MöglichkeitDie Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:$\frac{\partial}{\partial ...

5. Richtungsableitung

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung

   ... Variablen gegeben (z.B. $f(x,y)$), so gibt die partielle Ableitung $f'(x_0, y_0)$ an der Stelle $P = (x_0, y_0)$ an, wie sich der Funktionswert ändert, wenn von der Stelle $P$ aus ein kleiner Schritt in Richtung der $x$- und $y$-Achse gemacht wird. Wir können uns nicht mehr nur nach links oder rechts bewegen (also entlang der $x$-Achse), sondern in der Ebene (auch in $y$-Richtung).Mithilfe der Richtungsableitung erfahren wir, wie sich unser Funktionswert an einer bestimmten Stelle $P$ ...

6. Extremwerte

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte

   ... wenn bei n= 100 Veränderlichen nur eine 1. partielle Ableitung ungleich Null ist, existiert eine, vielleicht auch nur minimale, positive oder negative Steigung, womit automatisch kein Extremwert der Funktion vorliegen kann. Dies bedeutet folglich, dass auch der Gradient der Funktion gleich Null sein muss. Im Folgenden wird anschaulich der Unterschied zwischen Extremwerten ohne und mit Nebenbedingungen erläutert und veranschaulicht. Im letzteren Fall wird zudem auf den Lagrange-Ansatz ...

7. Verfahren von Lagrange

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen > Verfahren von Lagrange

   ... + y^2 - \frac{1}{16}) $.Partielle AbleitungenJetzt bildet man die partiellen Ableitungen nach $\ x,y$ und $\lambda $ und setzt diese gleich Null:Vereinfachte Schreibweise:$L(x,y, \lambda) = (1 - x^2 - y^2)^{\frac{1}{2}} + \lambda(x - \frac{1}{2})^2 + \lambda(y^2 - \frac{1}{16})$Ableitung nach $x$:$\ L_x = \frac{1}{2} (1 - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 = 0$$\ L_x = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) = 0$Ableitung ...

8. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

   Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

   ... $f$ in $G$ eine beschränkte partielle Ableitung $f_y(x,y)$, so genügt $f$ in $G$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$.Lipschitzbedingung (lokal)Besitzt $f$ in $G$ eine stetige partielle Ableitung $f_y (x,y)$, dann genügt $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.Anwendungsbeispiele: Globale LipschitzbedingungGegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich ...

9. Formelsammlung

   Formelsammlung

   ... mit  $G \in \mathbb{R}^2$$G = f(x_0, y_0)$.Partielle Ableitung 1. Ordnung für $ z = f(x,y)$Partielle Ableitung 1. Ordnung nach x$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $ Partielle Ableitung 1. Ordnung nach y$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $Partielle Ableitung 2. Ordnung $\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}  f (x,y)= ...

Baustatik 1

1. Satz von Castigliano

   Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Satz von Castigliano

   

   ... W_i}{\partial \varphi_i} = M_i$Die partielle Ableitung der äußeren (oder negativ inneren) Eigenarbeit einer Kraftgrößengruppe nach einer Weggröße liefert die korrespondierende Kraftgröße.2. Satz von CastiglianoEs ist häufiger der Fall, dass die Verschiebungen $\delta_i$ und die Verdrehungen $\varphi_i$ für vorgegebene Belastungen gesucht werden. Diese können mit dem 2. Satz von Castigliano berechnet werden.$\frac{\partial W_a}{\partial ...

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