Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Partielle Ableitung erster Ordnung
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung
... y) = \dot{z_x} $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt.Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$. In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt.Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ ... -
Partielle Ableitung höherer Ordnung
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
... gilt der Satz von Schwarz: Bildet man mehrere partielle Ableitungen nacheinander, so kann die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden, sofern sie alle stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen. AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$1. MöglichkeitDie Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:$\frac{\partial}{\partial ... -
Kettenregel
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
Exkurs Höhere Mathematik 1Funktionen, deren Argumente erneut Funktionen sind, lassen sich differenzieren. Man differenziert dabei kettenartig, also zunächst nach dem Argument und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung des Arguments nach der gesuchten Variablen.Die Kettenregel für $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $ lautet $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ . Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher wird die Kettenregel ...Extremwerte ohne Nebenbedingungen
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte ohne Nebenbedingungen
... eine Extremstelle handelt indem man die 2. partielle Ableitung von $ x$ und $ y$ bildet und sowie die erste partielle Ableitung nach $ x $ bestimmt und diese anschließend wiederum nach $ y $ ableitet. 3. Nun berechnet man Delta $\triangle$$\triangle (x_E,y_E) = f_{xx}(x_E,y_E) \cdot f_{yy}(x_E,y_E) - (f_{xy}(x_E,y_E))^2 $Ergibt sich aus der Berechnung, dass $\triangle (x_E,y_E) > 0 $ ist, so existiert eine$\rightarrow $ Maximalstelle, wenn $ f_{xx} (x_E,y_E) < 0 ...Formelsammlung
Formelsammlung
... mit $G \in \mathbb{R}^2$$G = f(x_0, y_0)$.Partielle Ableitung 1. Ordnung für $ z = f(x,y)$Partielle Ableitung 1. Ordnung nach x$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $ Partielle Ableitung 1. Ordnung nach y$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $Partielle Ableitung 2. Ordnung $\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} f (x,y)= ...Verfahren von Lagrange
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen > Verfahren von Lagrange
... + y^2 - \frac{1}{16}) $.Partielle AbleitungenJetzt bildet man die partiellen Ableitungen nach $\ x,y$ und $\lambda $ und setzt diese gleich Null:Vereinfachte Schreibweise:$L(x,y, \lambda) = (1 - x^2 - y^2)^{\frac{1}{2}} + \lambda(x - \frac{1}{2})^2 + \lambda(y^2 - \frac{1}{16})$Ableitung nach $x$:$\ L_x = \frac{1}{2} (1 - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 = 0$$\ L_x = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) = 0$Ableitung ...Tangentenvektor
Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
In diesem Abschnitt wird zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man ...Partielle Ableitung
Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung
... betrachtet werden. Man unterscheidet die partielle Ableitung erster Ordnung von der partiellen Ableitung höherer Ordnung. Auf Beide wird im Folgenden näher eingegangen.Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
... $f$ in $G$ eine beschränkte partielle Ableitung $f_y(x,y)$, so genügt $f$ in $G$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$.Lipschitzbedingung (lokal)Besitzt $f$ in $G$ eine stetige partielle Ableitung $f_y (x,y)$, dann genügt $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.Anwendungsbeispiele: Globale LipschitzbedingungGegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich ...Tangentenvektor im Raum
Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$$\dot{\vec{z}}(t) ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik
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Beschleunigungsvektor
Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Beschleunigungsvektor
Die Beschleunigung ist die Änderung des Bewegungszustandes eines Punktes auf der Bahnkurve.Umgangssprachlich wird als Beschleunigung die Steigerung der Geschwindigkeit verstanden. Bei einer Beschleunigung von $1 m/s^2$ verändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um $1 m/s$. Die Beschleunigung ist aber tatsächlich nicht nur eine Zunahme der Geschwindigkeit, sondern jede Änderung der Bewegung, also auch die Abnahme der Geschwindigkeit.Die Berechnung des Beschleunigungsvektors ...Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
Kinematik des starren Körpers > Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
In diesem Abschnitt wird die allgemeine Bewegung eines starren Körpers betrachtet. Diese setzt sich zusammen aus der Translation und der Rotation. Im Folgenden soll zunächst auf die ebene Bewegung eines Körpers eingegangen werden. Hierbei wird die $x,y$-Ebene betrachtet. Es müssen drei Koordinaten festgelegt werden: Die Bewegung des körperfesten Punktes innerhalb der betrachteten Ebene erfordert die Einführung von zwei Koordinaten $x,y$ und zusätzlich die Drehbegewung ...Sonderfall: Kreisbewegung
Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten > Sonderfall: Kreisbewegung
In diesem Abschnitt wird die ebene Bewegung in Polarkoordinaten am Sonderfall der Kreisbewegung aufgezeigt.Der Sonderfall einer ebenen Bewegung ist die Kreisbewegung. Bei dieser ist $r =const$ und der Basisvektor $e_{\varphi}$ besitzt immer die Richtung der Bahntangente im Punkt $P$. In der obigen Grafik sind im ersten Kreis die Basisvektoren $e_r$ (immer in Richtung $r$ ) und $e_{\varphi}$ zu sehen. Beide Basisvektoren stehen orthogonal (im 90°-Winkel) zueinander. Der Winkel $\varphi$ ist ...Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor > Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
In diesem Kurstext stellen wir Ihnen drei Anwendungsbeispiele zum Thema Geschwindigkeitsvektor vor.Beispiel zum GeschwindigkeitsvektorGegeben sei die folgende Bahnkurve: $r(t) = (2t, 4t, 0t)$. Wie sieht der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t = 1$ aus? Der Punkt um den es sich hier handelt ist: $P(2,4,0)$ (Einsetzen von $t = 1$).$ \rightarrow $ Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:$\vec{v} = \dot{r} = (2,4,0)$. Man weiß ...Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
Bei einer geradlinigen Bewegung verläuft der Punkt $P$ auf einer Geraden. Lässt man diese Gerade mit der $x$-Achse zusammenfallen, so besitzt der Ortsvektor $r$ nur eine $x$-Komponente. Sowohl der Geschwindigkeitsvektor, als auch der Beschleunigungsvektor zeigen dann in $x$-Richtung. Aufgrund dessen kann man hier auf die Vektordarstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung verzichten:Geschwindigkeit: $v = \dot{s}$ Beschleunigung: $a = \ddot{s}$. ...Bahngeschwindigkeit und Bogenlänge
Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Bahngeschwindigkeit und Bogenlänge
Im vorherigen Kurstext wurde der Betrag der Bahngeschwindigkeit durch Bildung des Betrags des Geschwindigkeitsvektors angegeben. Man kann aber auch die Bahngeschwindigkeit (skalar) aus der Bogenlänge $s$ bestimmen.Die Bogenlänge $s$ ist die Länge einer Kurve.In diesem Fall ist also die Bogenlänge $s$ der gesamte Weg (nicht die Strecke), welcher der Massenpunkt $P$ zurückgelegt hat. Ist diese Bogenlänge $s$ gegeben, so kann die Bahngeschwindigkeit ...Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme > Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zeigt den Verlauf der Geschwindigkeit $v$ über die Zeit $t$. Wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt, kann man die Geschwindigkeit durch Ableitung der Ort-Zeit-Kurve $x$ nach der Zeit $t$ bestimmen:$v = \frac{dx}{dt}$.Für das Beispiel gilt:$x = \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + 2$.Aus der 1. Ableitung folgt dann:$v = \dot{x} = \frac{1}{5} t + \frac{1}{2}$.In der obigen Grafik ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm aufgezeigt. Den Geschwindigkeitsverlauf ...Bahnbeschleunigung
Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Bahnbeschleunigung
Bildet man aus dem Beschleunigungsvektor den Betrag, so erhält man den Betrag der Tangentialbeschleunigung. Hierbei handelt es sich um einen Skalar:Betrag der Bahnbeschleunigung: $|a_t| = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ TangentialbeschleunigungDie Tangentialbeschleunigung (auch Bahnbeschleunigung) lässt sich bestimmen durch die 1. Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ oder durch die 2. Ableitung der Bogenlänge $s$ nach ...Translation/Rotation
Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!Kinematik des starren Körpers > Translation/Rotation
In diesem Abschnitt soll näher auf die Translationsbewegung und auf die Rotationsbewegungen eingegangen werden, die ein starrer Körper als Bewegungsmöglichkeiten zur Verfügung stehen. Wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt, besitzt der starre Körper im Raum drei Translationen und drei Rotationen, insgesamt also sechs Freiheitsgrade.Ein starrer Körper besteht aus unendlich vielen Massenpunkten, deren Abstände sich untereinander nicht ändern!TranslationBei ...Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
Bei der ebenen Bewegung eines Massenpunktes wird der Ort bzw. die Lage dieses Punktes durch die $x$ und $y$ Koordinaten angegeben. Es ist häufig sinnvoll für diese ebenen Betrachtungen Polarkoordinaten einzuführen. Hierzu führt man ein ebenes $r, \varphi$-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung mit dem des $x,y$-Koordinatensystems zusammenfällt. Der Winkel $\varphi$ wird dabei von der positiven $x$-Achse ausgehend positiv gezählt. Es werden die Basisvektoren $e_r$ ...
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Physik
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Beschleunigungsvektor
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Beschleunigungsvektor
Bei der Beschleunigung handelt es sich um die Änderung des Bewegungszustandes eines Massenpunktes auf der Bahnkurve. Umgangssprachlich bezeichnet man Beschleunigung als die Steigerung der Geschwindigkeit. Tatsächlich bedeutet Beschleunigung sowohl eine Zunahme als auch eine Abnahme der Geschwindigkeit. Jede Geschwindigkeitsänderung wird also als Beschleunigung verstanden.Die Änderung des Bewegungszustandes bedeutet, dass der Massenpunkt seine Geschwindigkeit ändert. Eine ...Beispiel: Waagerechter Wurf
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beispiel: Waagerechter Wurf
Anwendungsbeispiel: Waagerechter WurfEin Ball wird mit der Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 10 \frac{m}{s}$ waagerecht abgeworfen. Wie groß sind Geschwindigkeit, Tangential- und Normalbeschleunigung 1s nach dem Start?Bei einem waagerechten Wurf können wir uns ein kartesisches Koordinatensystem zur Hilfe nehmen. Wir zerlegen die Bewegung in eine $x$- und in eine $y$-Komponente.Betrachtung der x-RichtungDie $x$-Komponente ist hierbei eine gleichförmige Bewegung, d.h. also der Ball ...Schwingungsgleichung: Federpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Federpendel
Ein Federpendel ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer Schraubenfeder und einer daran befestigten Masse besteht, welche sich geradlinig längs der Richtung bewegen kann, in der die Feder sich verlängert oder verkürzt. In der nachfolgenden Skizze ist ein solches Federpendel aufgezeigt:FederpendelZieht man einen Körper, in $y$-Richtung aus der Ruhelage, nach unten und lässt ihn los, so führt er eine periodische Bewegung um die Ruhelage aus.Wird der obige ...Schwingungsgleichung: Fadenpendel
Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Fadenpendel
In diesem Abschnitt betrachten wir das Fadenpendel. Ist die Auslenkung des Pendelkörpers nicht zu groß, so besitzen seine Schwingungen ebenfalls einen sinusförmigen Verlauf. Man spricht auch von einem mathematischen Pendel, wenn die Gewichtskraft des Fadens vernachlässigbar klein und die Größe des Pendelkörpers klein im Vergleich zur Fadenlänge ist. FadenpendelDie rücktreibend wirkende Kraft eines Fadenpendels lässt sich bestimmen, indem man ...Geschwindigkeitsvektor
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor
Die Geschwindigkeit ist eine Änderung des Ortes eines Massenpunktes. Das bedeutet, wenn der Massenpunkt mit der Zeit $t$ seinen Aufenthaltsort ändert, dann weist dieser eine Geschwindigkeit auf. Ein Auto, welches an einer Straße parkt, besitzt keine Geschwindigkeit und ändert damit auch nicht seinen Aufenthaltsort.Parkendes AutoEin mit konstanter Geschwindigkeit fahrendes Auto hingegen ändert mit der Zeit $t$ seinen Aufenthaltsort.GeschwindigkeitsvektorUm den Geschwindigkeitsvektor ...Kinematische Diagramme
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme
Bevor mit den kinematischen Grundaufgaben begonnen wird, werden zunächst die kinematischen Diagramme eingeführt. Diese helfen einen Eindruck von der Bewegung eines Punktes auf der Bahn zu erhalten. Es existieren drei kinematische Diagramme, welche hier für uns von Interesse sind:Das Ort-Zeit-Diagramm,das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm,das Beschleunigung-Zeit-Diagramm.Ort-Zeit-DiagrammDas Ort-Zeit-Diagramm zeigt den Verlauf der Ortskoordinate $s$ ...Ungleichförmige Kreisbewegung
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Kreisbewegung > Ungleichförmige Kreisbewegung
Achterbahn in einem LoopingBei der ungleichförmigen Kreisbewegung ist es nun nicht mehr so, dass die Bahngeschwindigkeit $v$ konstant ist. Beschreibt der Körper eine ungleichförmige Kreisbewegung, so ändert sich sowohl seine Geschwindigkeitsrichtung, als auch der Betrag seiner Geschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit). Das wiederum bedeutet, dass neben der Normalbeschleunigung eine Tangentialbeschleunigung gegeben sein muss, die dazu führt, dass sich die Bahngeschwindigkeit ständig ...Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik > Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
Die spezifische Wärmekapazität von Gasen hängt von den äußeren Bedingungen ab. Es wird zwischen der spezifischen Wärmekapazität $c_v$ bei konstantem Volumen (isochorer Prozess) und der spezifischen Wärmekapazität $c_p$ bei konstantem Druck (isobarer Prozess) unterschieden. Um die spezifische Wärmekapazität herleiten zu können, führen wir die kalorische Zustandsgleichung ein.Die kalorische Zustandsgleichung (nicht zu verwechseln mit ...Bewegungsgleichungen
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Bewegungsgleichungen
Nachdem wir nun die Eigenfrequenz $\omega$, Schwingungsdauer $T$ und Schwingungsfrequenz $f$ für das Federpendel, Fadenpendel und physikalische Pendel bestimmt haben, wollen wir uns in diesem Abschnitt den Bewegungsgleichungen zuwenden. Hierzu betrachten wir das Ort-Zeit-Gesetz, das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz sowie das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz für ungedämpfte harmonische Schwingungen. Dabei gehen wir davon aus, dass die Bewegung des Pendel in der Ruhelage beginnen.Das Ort-Zeit-Gesetz ...Bahngeschwindigkeit
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit
Um den Geschwindigkeitsvektor als Skalar (also als einzige Zahl) angeben zu können, berechnet man die Länge des Geschwindigkeitsvektors. Als Ergebnis erhält man den Betrag der momentanen Bahngeschwindigkeit, welcher in Länge/Zeit (z.B. m/s) angegeben wird:Betrag der Bahngeschwindigkeit: $|v| = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ Hierbei handelt es sich um den Betrag der momentanen Bahngeschwindigkeit. Die Richtung ist dem Geschwindigkeitsvektor ...
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Analysis und Lineare Algebra
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Extremwerte
Differentialrechnung > Extremwerte
Extremwerte$f(x)$ hat bei (1) ein Maximum. Es handelt sich hierbei um ein globales (absolutes) Maximum, denn das Maximum stellt den höchsten Punkt der Funktion dar.$f(x)$ hat bei (2) ein lokales (relatives) Minimum, denn es handelt sich um den tiefsten Punkt in diesem Bereich, allerdings nicht um den tiefsten Punkt der Funktion.$f(x)$ hat bei (3) ein lokales (relatives) Maximum.$f(x)$ hat bei (4) ein Minimum. Das ...Ableitungen höherer Ordnung
Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen höherer Ordnung
Existiert eine differenzierbare Funktion $\ f(x)$ und besitzt diese zudem eine differenzierbare Ableitung $ f'(x)$, so ist $f$ zweimal differenzierbar.Die 2. Ableitung schreibt sich $ f''(x) := (f'(x))'$Ist die Funktion $f^{(n)}$ mehrfach differenzierbar, so spricht man von der $n$-ten Ableitung von $ f $.Man berechne die 2. Ableitung von $ f(x) = x^3 + 3x^2 $Man erhält in 2 Schritten:I $\rightarrow f'(x)=3x^2 + 6x$II $\rightarrow f''(x)= 6x + 6$Die Vorgehensweise des Differenzierens ist ...Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.Konkave FunktionEine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ...Regel von de l' Hospital
Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
Guillaume François Antoine de l’Hospital führte im 17. Jahrhundert die Differential– und Integralrechnung in Frankreich ein. Mithilfe der Regel von de l'Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten bestimmen. Die Regel kann angewendet werden, wenn Nenner und Zähler entweder beide gegen Null $[\frac{0}{0}]$ oder beide gegen Unendlich $[\frac{\infty}{\infty}]$ streben. Regel 1: Die Funktionen $f(x), g(x)$ gelten an ...Unbestimmte Integrale
Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für ...Ableitungen erster Ordnung
Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
Ableitungen, bzw. Differentialquotienten, werden aus der Stammfunktion erzeugt. Die Ableitung erster Ordnung gibt die Änderung der Stammfunktion an, d.h. sie gibt Auskunft über die Steigung der Funktionskurve.Liegt eine Funktion $\ f$ auf dem Intervall $\ I \subseteq \mathbb{R}$ und ist $\ x_0 \in I$, so ist $\ f$ in $\ x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - ...Ableitungsregeln
Differentialrechnung > Ableitungsregeln
Elementare Funktionen sind an allen Stellen an denen sie definiert sind auch differenzierbar. Hierbei geht man selten auf die Definitionen zurück. Stattdessen benutzt man Ableitungsregeln, um auch aufwendige Funktionen differenzieren zu können.Im Folgenden eine Übersicht der Ableitungsregeln:Summenregel$\ (u + v)' = u' + v' $Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5x^2 + 3x$$(u + v)' = (5x^2 + 3x)´ = 10x + 3$$u' + v' = (5x^2)´ + (3x)´ = 10x + 3 $$\ (ru)' = ru' $ ...Ableitung der Elementaren Funktionen
Differentialrechnung > Ableitung der Elementaren Funktionen
Wurzelfunktion$f(x) = \sqrt{x} \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$Anders: $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$Logarithmus- und Exponentialfunktion:Die Exponentialfunktion $e^x$ und der natürliche Logarithmus $\ln|x|$ sind differenzierbar und es gilt:$f(x) = e^x \; \rightarrow \; f´(x) = e^x$$f(x) = \ln|x| ...Wendepunkte
Differentialrechnung > Wendepunkte
Ein Wendepunkt ist der Punkt $(x, y)$ an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt.Einen Wendepunkt bestimmt man, indem man die 2. Ableitung $f´´(x)$ gleich Null setzt und nach $x$ auflöst. Den sich ergebenden $x$-Wert setzt man in die 3. Ableitung $f´´´(x)$ ein:Für einen Wendepunkt an der Stelle ...
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Regelungstechnik
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Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL
Bevor wir nun mit unserer Beispielaufgabe beginnen, fassen wir kurz unsere bisherigen Erkenntnisse zusammen:Eine Differenzialgleichung stellt den Zusammenhang zwischen der Eingangsgröße und der Ausgangsgröße eines regelungstechnischen Übertragungselements her. Die Lösung der Differenzialgleichungen erfolgt durch die Überlagerung der Teillösungen $ x_{ah} (t) $ und $ x_{ap}(t) $.Nachfolgend siehst Du die schematische Darstellung einer Widerstand-Kondensator-Schaltung, ...Differentialregler, D-Regler
Einführung in die Regelungstechnik > Regelung > Reglertypen > Stetige Regler > Differentialregler, D-Regler
Als letzten stetigen Regler thematisieren wir nun den Differentialregler, kurz D-Regler. Dieser dient zur Optimierung des bereits bestehenden PI-Reglers hinsichtlich der Reaktionsgeschwindigkeit. Beziehen wir uns erneut auf das Beispiel Störfall im Atomkraftwerk aus dem vorherigen Kurstext, so dient der D-Regler dazu möglichst schnell auf plötzliche Änderungen der Regelabweichung zu reagieren und das unabhängig vom absoluten Wert ...Differenziationssatz, Integrationssatz
LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Differenziationssatz, Integrationssatz
In diesem Kurstext stellen wir Dir den Differenziationssatz und den Integrationssatz für eine LAPLACE-Transformation vor. Mit dem Differenziationssatz und dem Integrationssatz werden bei der LAPLACE-Transformation Differenziale und Integrale in eine algebraische Form überführt. DifferenziationssatzMöchte man eine stetige Funktion im Zeitbereich differenzieren, so bewirkt dies auch eine Änderung im Frequenzbereich.Diesen Zusammenhang erfasst der Differenziationssatz:Differenziationssatz: ...Formelsammlung
Formelsammlung
Einführung in die RegelungstechnikBezeichnungen $ u(t) =$ Eingangsgröße oder steuernde Größe oder beeinflussende Größe$ v(t) =$ Ausgangsgröße oder gesteuerte Größe oder beeinflusste GrößeRegeldifferenz$ e = h_1 - h_M $.Grundgrößen der RegelungstechnikRegelgröße $ x $Stellgröße $ y $Störgröße $ z $Bei mehreren Störgrößen $ z_1, z_2, z_3, ...
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Baustatik 1
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Satz von Castigliano
Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Satz von Castigliano
... W_i}{\partial \varphi_i} = M_i$Die partielle Ableitung der äußeren (oder negativ inneren) Eigenarbeit einer Kraftgrößengruppe nach einer Weggröße liefert die korrespondierende Kraftgröße.2. Satz von CastiglianoEs ist häufiger der Fall, dass die Verschiebungen $\delta_i$ und die Verdrehungen $\varphi_i$ für vorgegebene Belastungen gesucht werden. Diese können mit dem 2. Satz von Castigliano berechnet werden.$\frac{\partial W_a}{\partial ... -
Differentialgleichung der Biegelinie
Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung der Biegelinie
Wirken äußere Momente und/oder Querkräfte auf den Balken, so führt dies zu einer Verformung der Balkenachse aufgrund des auftretenden Moments um die $y$-Achse. Diese Verformung wird als Biegelinie $w(x)$ bezeichnet. Balkenverformung In der obigen Grafik erfolgt die Durchbiegung des Balkens aufgrund einer äußeren Streckenlast in $z$-Richtung. Es handelt sich hier also um eine Querkraftbiegung, welche ein Moment um die $y$-Achse zur Folge hat. Wir wollen ...Beispiel: Satz von Castigliano
Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Satz von Castigliano > Beispiel: Satz von Castigliano
Beispiel: Bestimmung der Verdrehung und der VerschiebungBeispiel: Satz von CastiglianoDer obige im Punkt $A$ fest eingespannte Träger wird durch die Kraft $F = 20 kN$ und durch das Moment $M = 15 kNm$ belastet. Bestimme die horizontale Verschiebung im Punkt $C$ sowie die Verdrehung im Punkt $B$.Es gilt: $EI = 210.000 MPa$, $A = 390 mm^2$, $I = 3 \cdot 10^6 mm^4$, $a = 400mm$ 1. Freischnitt:Freischnitt 2. Lagerreaktionen bestimmen$\rightarrow : A_h + F = 0$$A_h = -F$$\uparrow ...
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Operations Research 2
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Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit
Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung > Konkave und konvexe Funktionen > Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.Konkave FunktionEine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ...
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Thermodynamik
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Adiabate Zustandsänderung
Grundlagen der Thermodynamik > 2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Adiabate Zustandsänderung
Ein adiabatische Zustandsänderung liegt vor, wenn ein thermodynamischer Prozess ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung abläuft:$Q = 0$.Thermodynamische Systeme mit adabatischen Prozessen sind thermisch isoliert. Dies wird in der Praxis häufig durch entsprechende Isoliergefäße (Dewar-Gefäß) erreicht. Es können aber auch nicht-adiabatische Prozesse annhähernd als adiabat betrachtet werden und zwar genau dann, wenn ein Prozess hinreichend schnell abläuft, ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
Wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt, sind die Spannungen $\sigma_{x^*}, \; \sigma_{y^*}$ und $\tau_{x^*, y^*}$ abhängig von der Schnittrichtung, also vom Winkel. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Winkel, für welchen die Spannungen Extremwerte annehmen.Drehung des Koordinatensystems In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe ...
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Technische Mechanik 1: Statik
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Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
Im vorherigen Abschnitt wurde bereits erwähnt, dass ein Zusammenhang zwischen Biegemoment $ M $ und Querkraft $ Q $ besteht. Dieser Zusammenhang bezog sich jedoch nur auf Einzelkräfte. Im Folgenden soll der Zusammenhang für ein Biegemoment und eine Streckenlast hergestellt werden. Hierzu betrachte man die nachfolgende Abbildung:Schnittgrößen bei gegebener StreckenlastGrafik a zeigt einen durch eine Streckenlast belasteten Balken, aus dem ein Element ...
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