Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Evolute der Parabel
    ... entsteht bei der Abwicklung der Evolutentangente von der Evolute. Das bedeutet also, dass die Endpunkte der Evolutentangenten in einem bestimmten Punkt die Evolvente ergeben.  Tangenten der EvolutenWie bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt, stehen Normale und Tangenten der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der ...
  2. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... wird zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder ...
  3. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kreisradius und Krmmung
    ... $x_1 = -0,5$ bestimmt werden.Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor Zum besseren Verständnis wird der Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe entsprechende Kapitel).Der dazugehörige Tangentenvektor ist: $\vec{t} = (1, f´(x)) = (1, 3x^2 - 1)$Für $x_1: \ \vec{t} = (1, -0,25)$Der dazugehörige Normalenvektor ist: $\vec{n} = (-f´(x), 1) = (-(3x^2 - 1), 1)$Für $x_1: \ \vec{n} = (0,25, 1)$Grafisch bedeutet dies:Tangenten- und NormalenvektorBestimmung ...
  4. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch:$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet:$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$Hauptnormalenvektor ...
  5. Evolute berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolute berechnen
    Evolute
    ... \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$. Die Tangenten der Evolute sind gleichzeitig die Normalen der gegebenen Kurve.Berechnung der EvoluteGegeben sei die Parabel: $f(x) = 0,5x^2$.Für verschiedene Punkte auf der Kurve kann die Evolute berechnet werden.Nachfolgend werden einige Punkte auf der Kurve ausgewählt und anhand dieser wird die Evolute berechnet:$A(-2, \ 2), \ B(-1, \ 0,5), \ C( 0, \ 0), \ D(1, \ 0,5), \ E(2, \ 2)$Zur Berechnung werden benötigt: $\kappa$ und $\vec{n}$$\kappa ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Newton
    ... Idee des Newtonverfahrens besteht darin, eine Tangente zu bestimmen, welche in der Nähe der Nullstelle liegt. Die Nullstelle der Tangente dient dann als neue Approximation der Nullstelle der Funktion. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt.AllgemeinSei  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$  eine stetig differenzierbare Funktion, von der eine Stelle  $x_n \in D$ mit "kleinem" Funktionswert  $f(x_n)$ ...
  2. Mittelwertsätze
    Differentialrechnung > Mittelwertsätze
    Mittelwertsatz, Sekante, Tangente
    ... : [a, b] \in \mathbb{R}$  besitzt eine Tangente durch einen Punkt des Funktionsgraphen mit derselben Steigung wie die Sekante welche durch die beiden Punkte  $(a, f(a))$ und  $(b, f(b))$  des Funktionsgraphen geht.Genauer gilt:Ist die Funktion $f$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig und auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt $x_0 \in (a, b)$ mit$f´(x_0) = \frac{f(b) – f(a)}{b – ...
  3. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Steigung1
    ... ist. Zur Verdeutlichung wurde eine Tangente eingefügt, welche die gleiche Steigung wie der Punkt  $x = 1$  besitzt. Es ist deutlich zu erkennen, dass die anderen Punkte eine andere Steigung aufweisen.Die in der obigen Grafik eingezeichnete Tangente liegt im Punkt $x =1$ und weist dieselbe Steigung auf wie die Funktion in diesem Punkt. Für jeden Punkt auf der Funktion kann eine solche Tangente approximiert werden.Beim Ableiten wird die Funktion linearisiert, d.h. ...
  4. Wendepunkte
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    Differentialrechnung > Wendepunkte
    Wendepunkt
    ... ist bei  $f(2) = -12$.WendepunktWendetangenteEine Wendetangente ist eine Tangente, welche durch den Wendepunkt geht. Das bedeutet, dass eine Wendetangente die gleiche Steigung aufweist, wie der Funktionsgraph im Wendepunkt. Die Wendetangente $g(x)$ wird folgendermaßen berechnet:$g(x) = f´(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$mit:$x_0 = x$-Wert des Wendepunktes$f´(x_0) =$ erste Ableitung der Funktion $f$ im Punkt $x_0 \ \rightarrow \ $ Steigung$f(x_0) =$ Funktionswert im Punkt $x_0$Gegeben ...
  5. Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    image
    ... Stelle ist durch $a_1$ gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse hat also stets die Gleichung $f(x) = a_1x + a_0$.Zeige, dass der Graph der Funktion $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$  für  $x \to 0$ den gleichen Verlauf wie der Graph der Funktion $g(x) = -4x + 8$ besitzt!$x \to 0$:$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8 = 0 + 0 -0 + 8 = 8$$\lim\limits_{x \to 0} g(x) = -4x + 8 = 0 + 8 = 8$Die Graphen beider Funktionen schneiden die y-Achse bei $x ...
Analysis und Lineare Algebra
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Strömungslehre

  1. Beispiel: Stromfunktion
    Ebene Strömungen > Stromfunktion > Beispiel: Stromfunktion
    Beispiel Stromlinien
    ... Sie die Stromlinien.(c) Berechnen Sie die Tangenten bzw. Geschwindigkeitsvektoren und die zeichnen Sie diese für die obigen Punkte ein!(d) Wie groß ist der Winkel $\alpha$ (also die Richtung des Geschwindigkeitvektors) zur Komponente $w_x$ im Punkt (1,1)?(e) Berechnen Sie den Volumenstrom je Breiteneinheit zwischen den Stromlinien der oben genannten Punkte.(a) Nachweis der StromfunktionUm den Nachweis für die Stromfunktion zu erbringen, müssen zunächst die Geschwindigkeitskomponenten ...
  2. Stromfunktion
    Ebene Strömungen > Stromfunktion
    Stromlinien Geschwindigkeitsvektor
    ... $\vec{w} = (w_x; \; w_y)$ parallele Tangente besitzt. Die Stromlinien lassen sich als Höhenlinien der Stromfunktion $\Psi (x,y) = const.$ darstellen.In dem hier betrachteten speziellen Fall von ebenen Strömungen, kann man das Geschwindigkeitsfeld $\vec{w}$ in Form einer Stromfunktion $\Psi$ angeben. Zunächst lässt sich das Geschwindigkeitsfeld bzw. der Geschwindigkeitsvektor schreiben als:$\vec{w} = [w_x(x, y, t); \; w_y(x, y, t); \; 0]$.Die Stromfunktion ...
  3. Bahnkurven und Stromlinien
    Kinematik einer Strömung > Bahnkurven und Stromlinien
    Bahnlinie
    ... einer Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin.Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren ...
  4. Wiederholung: Stromlinienkonzept
    Ebene Strömungen > Wiederholung: Stromlinienkonzept
    Bahnlinie
    ... einer Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin.Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren ...
  5. Stromfaden und Stromröhre
    Kinematik einer Strömung > Stromfaden und Stromröhre
    Netz von Strmungsrohren
    ... handelt es sich um eine Kurve, deren Tangente in jedem Kurvenpunkt mit der Richtung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit übereinstimmt. Eine Stromlinienfläche ist die Summe aller Stromlinien, welche durch eine ortsfeste Linie gehen.Ist diese Linie geschlossen, so ergibt sich die Stromröhre. Die äußeren Stromlinien, welche durch die ortsfeste geschlossene Linie verlaufen, bilden dabei die Mantelfläche der Stromröhre. Ein Massendurchfluss durch ...
Strmungslehre
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Thermodynamik

  1. Isentrope Zustandsänderung
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    Grundlagen der Thermodynamik > 2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isentrope Zustandsänderung
    Isentrope Zustandsnderung p,V-Diagramm
    ... Isotherme. Auch bei der Isentrope kann man die Tangente mit folgendem Zusammenhang bestimmen:$\frac{dp}{dV} = -\kappa \frac{p}{V} = \frac{p}{\frac{V_1}{\kappa}}$.Isentrope ZustandsänderungIn der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der $V$-Achse eine Strecke der Länge $\frac{V_1}{\kappa}$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke ...
  2. Isotherme Zustandsänderung
    Grundlagen der Thermodynamik > 2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsnderung Kolben
    ... Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der $V$-Achse eine Strecke der Länge $V_1$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke mit der Länge $p_1$ durch den Zustand 1 gezeichnet (gestrichelte Linie). Die Tangente ist dann diejenige Strecke, welche durch den Zustand 1 und durch den Endpunkt der schwarzen Strecke verläuft. Es handelt ...
Thermodynamik
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Physik

  1. Isotherme Zustandsänderung
    Thermodynamik > Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik > Zustandsänderungen idealer Gase > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsnderung
    ... Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der positiven $V$-Achse eine Strecke der Länge $V_1$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke mit der Länge $p_1$ durch den Zustand 1 gezeichnet (gestrichelte Linie). Die Tangente ist dann diejenige Strecke, welche durch den Zustand 1 und durch den Endpunkt der schwarzen Strecke verläuft. ...
  2. Zentripetalkraft
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Beispiele für Kräfte > Zentripetalkraft
    Zentripentalkraft
    ... der Ball nach dem Trägheitsgesetz in Tangentenrichtung weiterfliegen. Würde die Person das Seil also loslassen, so würde sich der Ball an dem Punkt an dem er sich gerade befindet, tangential zur Kreisbahn weiterbewegen:ZentripetalkraftOben ist der Fall eingezeichnet, wenn sich der Ball genau in diesem Punkt vom Seil löst. Dieser fliegt dann tangentiell zu diesem Punkt weiter. Grund dafür ist, dass der Geschwindigkeitsvektor tangential zur Bahn liegt. Eine Tangente ...
Physik
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Mechanische Verfahrenstechnik

  1. Dispersitätsgrößen und geometrische Abmessungen
    Partikel und disperse Systeme > Dispersitätsgrößen und geometrische Abmessungen
    Messung mit Hilfe eines Mikroskops
    ... $\rightarrow $ Bestimmung: 1. Tangente parallel zur Messrichtung an das Partikel legen. $ x_{Na}$ entspricht der Länge einer Sehne im Partikel, die senkrecht auf dieser Tangente im Berührungspunkt steht.$ x_{c, max} = $ Längste Sehne in Messrichtung $\rightarrow $ Gibt die größte Länge in Messrichtung wieder. Beachte!: Je nach Messrichtung ändern sich die statistischen Durchmesser. Zudem sind die einzelnen Teilchen und Teilchengruppen meist ...
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Regelungstechnik

  1. Grafische Verfahren
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung > Grafische Verfahren
    Linearisierung im Arbeitspunkt
    ... Letzteres erfolgt durch das Anlegen einer Tangente im Arbeitspunkt A.Dieses Vorgehen ist in der folgenden Abbildung dargestellt.Linearisierung im ArbeitspunktDer zugehörige Proportionalbeiwert $ K_P $ stellt die stationäre Verstärkung des Regelkreiselements im besagten Arbeitspunkt für kleine Änderungen der Eingangsgröße $ x_e $ dar.Die Dimension des Proportionalbeiwerts beinhaltet die Dimension der Ausgangsgröße dividiert durch die Dimension ...
Regelungstechnik
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Anorganische Chemie für Ingenieure

  1. Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    image
    ... bezeichnet man den Mittelpunkt zwischen beiden Tangenten. Hier liegen nur die Gegenionen der betrachteten Säure und Base vor. Unserem Fall $ Cl^- $ und $ Na^+ $, wobei diese lediglich einer Natriumchlorid-Lösung entspricht. Denn alle Oxoniumionen haben mit dem zugegebenen Hydoxidionen zu Wasser reagiert. 
Anorganische Chemie
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