Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Tangentenvektor
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... wird zunächst allgemein gezeigt, wie man einen Tangentenvektor bestimmt. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und zum Schluss wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht. Allgemein Zu jeder Parameterdarstellung   $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $  in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]: $\vec{t}(t) ...
  2. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Hauptnormalenvektor
    ... einer Kurve ein Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve.  Allgemein Ist der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ aus dem Tangentenvektor indem man ihn um $\ 90° $ in die positive ...
  3. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    ... $x_1 = -0,5$ bestimmt werden. Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor  Zum besseren Verständnis werden Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe dazugehörige Kapitel). Der dazugehörige Tangentenvektor ist: $\vec{t} = (1, f´(x)) = (1, 3x^2 - 1)$ Für $x_1: \ \vec{t} = (1, -0,25)$ Der dazugehörige Normalenvektor ist: $\vec{n} = (-f´(x), 1) = (-(3x^2 - 1), 1)$ Für $x_1: \ \vec{n} = (0,25, 1)$ Grafisch sieht die folgendermaßen aus: Tangenten- und Normalenvektor Bestimmung ...
  4. Evolute
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolute
    Evolute
    ... \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$.  Die Tangenten der Evolute sind gleichzeitig die Normalen der gegebenen Kurve. Berechnung der Evolute Gegeben sei die Parabel: $f(x) = 0,5x^2$. Für verschiedene Punkte auf der Kurve kann die Evolute berechnet werden. Im folgenden werden einige Punkte auf der Kurve ausgewählt und anhand dieser die Evolute berechnet: $A(-2, \ 2), \ B(-1, \ 0,5), \ C( 0, \ 0), \ D(1, \ 0,5), \ E(2, \ 2)$ Zur Berechnung werden benötigt: $\kappa$ und $\vec{n}$ $\kappa ...
  5. Evolvente
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente
    Evolvente
    ... entsteht bei der Abwicklung der Evolutentangente von der Evolute. Das bedeutet also, dass die Endpunkte der Evolutentangenten in einem bestimmten Punkt die Evolvente ergibt.   Tangenten der Evoluten Wie bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt stehen Normalen und Tangenten der Kurve senkrecht zueinander (im 90° Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90° Winkel) zur Tangente der Kurve, daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der Kurve verläuft. Die ...
  6. Tangentenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
    ... einer Kurve $ K $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]: $\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$ wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt: $\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$,  $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$ $\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$. Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem ...
  7. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch: $\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$ Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge. In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet: $\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$ Hauptnormalenvektor ...
  8. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$, $\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$. mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve. Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ auf $\vec{t}_e (t)$ und $\vec{n}(t)$ ...
  9. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$, die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$.  Die drei Ebenen des begleitenden Dreibeins Durch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 = \vec{x_0}(t)$ drei ...
  10. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... \;   0 \le s \le 2\pi\sqrt{2}$. Tangentenvektor in Bogenlänge: Die Formel ist:  $\vec{t} (s) = \dot{\vec{r}} (t)$ $\vec{t}(s) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ Normalenvektor in Bogenlänge Die Formel ist:  $\vec{n}(s) = \frac{\ddot{\vec{r}}(s)}{|\ddot{\vec{r}}(s)|}$ $\ddot{\alpha}(s) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ -\frac{1}{2} ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Trigonometrische Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion
    Trigonometrische Funktion
    ... \alpha = |\overline{0A}|$TangensfunktionHaupttangentenabschnitt:  $y=tan \alpha = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = |\overline{CD}|$KotangensfunktionNebentangentenabschnitt:  $y=cot \alpha = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = |\overline{EF}|$ Winkelfunktionen Berechnung eines Punktes auf dem Einheitskreis Zu jedem Winkel $\alpha$ zwischen $0°$ und $360°$ gehört ein Punkt $P$ auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten $(x, y)$. Wie lautet der Punkt auf dem Einheitskreis wenn $\alpha ...
  2. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Ableitungen erster Ordnung
    ... ist. Zur Verdeutlichung wurde eine Tangente eingefügt, welche die gleiche Steigung wie der Punkt  $x = 1$  besitzt. Es ist deutlich zu erkennen, dass die anderen Punkte eine andere Steigung aufweisen. Die in der obigen Grafik eingezeichnete Tangente liegt im Punkt $x =1$ und weist dieselbe Steigung auf wie die Funktion in diesem Punkt. Für jeden Punkt auf der Funktion kann eine solche Tangente approximiert werden. Beim Ableiten wird die Funktion linearisiert, d.h. durch eine ...
  3. Wendepunkte
    Differentialrechnung > Wendepunkte
    Wendepunkte
    ... ist bei  $f(2) = -12$. Wendepunkt Wendetangente Eine Wendetangente ist eine Tangente, welche durch den Wendepunkt geht. Das bedeutet, dass eine Wendetangente die gleiche Steigung aufweist, wie der Funktionsgraph im Wendepunkt. Die Wendetangente $g(x)$ wird folgendermaßen berechnet: $g(x) = f´(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ mit: $x_0 = x$-Wert des Wendepunktes $f´(x_0) =$ erste Ableitung der Funktion $f$ im Punkt $x_0 \ \rightarrow \ $ Steigung $f(x_0) =$ Funktionswert im Punkt $x_0$ Gegeben ...
  4. Mittelwertsätze
    Differentialrechnung > Mittelwertsätze
    Mittelwertsätze
    ...  $f : [a, b] \in \mathbb{R}$  besitzt eine Tangente durch einen Punkt des Funktionsgraphen mit derselben Steigung wie die Sekante welche durch die beiden Punkte  $(a, f(a))$ und  $(b, f(b))$  des Funktionsgraphen geht. Genauer gilt: Ist die Funktion $f$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig und auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt $x_0 \in (a, b)$ mit $f´(x_0) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$. Gegeben sei die ...
  5. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    ... Idee des Newtonverfahrens besteht darin, eine Tangente zu bestimmen, welche in der Nähe der Nullstelle liegt. Die Nullstelle der Tangente dient dann als neue Approximation der Nullstelle der Funktion. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt. Allgemein Sei  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$  eine stetig differenzierbare Funktion, von der eine Stelle  $x_n \in D$ mit "kleinem" Funktionswert  $f(x_n)$  bekannt ist.  Es soll ein Punkt ...
  6. Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
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    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen > Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    ... dieser Stelle ist durch  $a_1$ gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse hat also immer die Gleichung  $f(x) = a_1x + a_0$. Zeige, dass der Graph der Funktion  $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$  für  $x \to 0$  verläuft wie der Graph der Funktion  $f(x) = -4x + 8$. $ x \to 0$: $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8 = 0 + 0 -0 + 8 = 8$ $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0 + 8 = -4x + 8 = 8$ Der Graph beider Funktionen schneidet die y-Achse bei 8 und hat dort ...
Analysis und Lineare Algebra
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Strömungslehre

  1. Bahnkurven und Stromlinien
    Kinematik einer Strömung > Bahnkurven und Stromlinien
    Bahnkurven und Stromlinien
    ... Geschwindigkeitsfeld einer Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin. Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren in einer Profilströmung (Momentaufnahme) In ...
  2. Stromfaden und Stromröhre
    Kinematik einer Strömung > Stromfaden und Stromröhre
    Stromfaden und Stromröhre
    ... Hierbei handelt es sich um eine Kurve, deren Tangente in jedem Kurvenpunkt mit der Richtung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit übereinstimmt.  Eine Stromlinienfläche ist die Summe aller Stromlinien, welche durch eine ortsfeste Linie gehen. Ist diese Linie geschlossen, so ergibt sich die Stromröhre. Die äußeren Stromlinien, welche durch die ortsfeste geschlossene Linie verlaufen, bilden dabei die Mantelfläche der Stromröhre. Ein Massendurchfluss durch diese Mantelfläche der Stromröhre ...
  3. Wiederholung: Stromlinienkonzept
    Ebene Strömungen > Wiederholung: Stromlinienkonzept
    Wiederholung: Stromlinienkonzept
    ... Geschwindigkeitsfeld einer Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin. Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren in einer Profilströmung In ...
  4. Stromfunktion
    Ebene Strömungen > Stromfunktion
    Stromfunktion
    ... $\vec{w} = (w_x; \; w_y)$ parallele Tangente besitzt. Die Stromlinien lassen sich als Höhenlinien der Stromfunktion $\Psi (x,y) = const.$ darstellen. In dem hier betrachteten speziellen Fall von ebenen Strömung, kann man das Geschwindigkeitsfeld $\vec{w}$ in Form einer Stromfunktion $\Psi$ angeben. Zunächst lässt sich das Geschwindigkeitsfeld bzw. der Geschwindigkeitsvektor schreiben als: $\vec{w} = [w_x(x, y, t); \; w_y(x, y, t); \; 0]$. Die Stromfunktion ist nur für ...
  5. Beispiel: Stromfunktion
    Ebene Strömungen > Stromfunktion > Beispiel: Stromfunktion
    Beispiel: Stromfunktion
    ... Sie die Stromlinien. (c) Berechnen Sie die Tangenten bzw. Geschwindigkeitsvektoren und die zeichnen Sie diese für die obigen Punkte ein! (d) Wie groß ist der Winkel $\alpha$ (also die Richtung des Geschwindigkeistvektors) zur Komponente $w_x$ im Punkt (1,1)? (e) Berechnen Sie den Volumenstrom je Breiteneinheit zwischen den Stromlinien der oben genannten Punkte. (a) Nachweis der Stromfunktion Um den Nachweis für die Stromfunktion zu erbringen, müssen zunächst die Geschwindigkeitskomponenten ...
Strömungslehre
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Thermodynamik

  1. Isotherme Zustandsänderung
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsänderung
    ... Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der $V$-Achse eine Strecke der Länge $V_1$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke mit der Länge $p_1$ durch den Zustand 1 gezeichnet (gestrichelte Linie). Die Tangente ist dann diejenige Strecke, welche durch den Zustand 1 und durch den Endpunkt der schwarzen Strecke verläuft. Es handelt sich hierbei um ...
  2. Isentrope Zustandsänderung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isentrope Zustandsänderung
    Isentrope Zustandsänderung
    ... Isotherme. Auch bei der Isentrope kann man die Tangente mit folgendem Zusammenhang bestimmen: $\frac{dp}{dV} = -\kappa \frac{p}{V} = \frac{p}{\frac{V_1}{\kappa}}$. Isentrope Zustandsänderung In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der $V$-Achse eine Strecke der Länge $\frac{V_1}{\kappa}$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Ort-Zeit-Diagramm
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme > Ort-Zeit-Diagramm
    Ort-Zeit-Diagramm
    ... an der Steigung in einem Punkt, welche mittels Tangentenvektor (rot) gekennzeichnet ist. Die Geschwindigkeit kann anhand der Steigung in diesem Punkt bestimmt werden durch: $v = \frac{dx}{dt}$. Je größer die Steigung, desto höher die Geschwindigkeit. Im ersten Punkt bei $t = 1$ ist die Steigung kleiner als im Punkt bei $t = 9$. Das bedeutet also, dass die Geschwindigkeit im Punkt $P(t = 9)$ größer ist. Bei einer negativen Steigung existiert eine negative Geschwindigkeit. Diese bedeutet ...
  2. Sonderfall: Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten > Sonderfall: Kreisbewegung
    Sonderfall: Kreisbewegung
    ... besitzt immer die Richtung der Bahntangente im Punkt $P$.  In der obigen Grafik sind im ersten Kreis die Basisvektoren $e_r$ (immer in Richtung $r$ ) und $e_{\varphi}$ zu sehen. Beide Basisvektoren stehen orthogonal (im 90°-Winkel) zueinander. Der Winkel $\varphi$ ist derjenige Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und dem Basisvektor $e_r$. Vergleicht man nun den zweiten Kreis, in welchem der Geschwindigkeitsvektor (tangential zur Bahnkurve) abgetragen ist, so sieht man deutlich, ...
Technische Mechanik 3: Dynamik
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Anorganische Chemie

  1. Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    ... bezeichnet man den Mittelpunkt zwischen beiden Tangenten. Hier liegen nur die Gegenionen der betrachteten Säure und Base vor. Unserem Fall $ Cl^- $ und $ Na^+ $, wobei diese lediglich einer Natriumchlorid-Lösung entspricht. Denn alle Oxoniumionen haben mit dem zugegebenen Hydoxidionen zu Wasser reagiert. 
Anorganische Chemie
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Regelungstechnik

  1. Grafische Verfahren
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung > Grafische Verfahren
    Grafische Verfahren
    ... Letzteres erfolgt durch das Anlegen einer Tangente im Arbeitspunkt A.. Linearisierung im Arbeitspunkt In der Abbildung ist das oben beschriebene Vorgehen dargestellt. Der zugehörige Proportionalbeiwert $ K_P $ stellt die stationäre Verstärkung des Regelkreiselements im besagten Arbeitspunkt für kleine Änderungen der Eingangsgröße $ x_e $ dar. Die Dimension des Proportionalbeiwerts beinhaltet die Dimension der Ausgangsgröße dividiert durch die Dimension der Eingangsgröße. ...
Regelungstechnik
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    ... genau, so lässt sich vermuten, dass der Tangentensteigungswinkel $\alpha$ dem Neigungswinkel $\varphi $ entspricht. Dies gilt es nun zu überprüfen:  So ist $ \tan ( - \alpha) = w' $ für mittlere bis große Verformungen zulässig und $ \tan (-\alpha) = - \alpha $ für kleine Verformungen.  Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Gleichsetzen $w' = - \alpha = -\varphi$. Differentialgleichung der Biegelinie Nachdem nun alle relevanten Gleichungen erfasst sind, kann mit Hilfe dieser ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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