Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Evolute berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolute berechnen
    Evolute
    ... \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$. Die Tangenten der Evolute sind gleichzeitig die Normalen der gegebenen Kurve.Berechnung der EvoluteGegeben sei die Parabel: $f(x) = 0,5x^2$.Für verschiedene Punkte auf der Kurve kann die Evolute berechnet werden.Nachfolgend werden einige Punkte auf der Kurve ausgewählt und anhand dieser wird die Evolute berechnet:$A(-2, \ 2), \ B(-1, \ 0,5), \ C( 0, \ 0), \ D(1, \ 0,5), \ E(2, \ 2)$Zur Berechnung werden benötigt: $\kappa$ und $\vec{n}$$\kappa ...
  2. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$,$\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$.mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve.Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ auf $\vec{t}_e ...
  3. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... \;   0 \le s \le 2\pi\sqrt{2}$.Tangentenvektor in BogenlängeDie Formel ist:  $\vec{t} (s) = \dot{\vec{r}} (t)$$\vec{t}(s) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$Normalenvektor in BogenlängeDie Formel ist:  $\vec{n}(s) = \frac{\ddot{\vec{r}}(s)}{|\ddot{\vec{r}}(s)|}$$\ddot{\alpha}(s) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ ...
  4. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch:$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet:$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$Hauptnormalenvektor ...
  5. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen$\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$,die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$. Die drei Ebenen des begleitenden DreibeinsDurch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 ...
  6. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... wird zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder ...
  7. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    ... einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve. EinführungIst der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ aus dem Tangentenvektor, indem ...
  8. Tangentenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
    ... $ K $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$$\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$.Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, ...
  9. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krmmung
    ... $x_1 = -0,5$ bestimmt werden.Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor Zum besseren Verständnis wird der Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe entsprechende Kapitel).Der dazugehörige Tangentenvektor ist: $\vec{t} = (1, f´(x)) = (1, 3x^2 - 1)$Für $x_1: \ \vec{t} = (1, -0,25)$Der dazugehörige Normalenvektor ist: $\vec{n} = (-f´(x), 1) = (-(3x^2 - 1), 1)$Für $x_1: \ \vec{n} = (0,25, 1)$Grafisch bedeutet dies:Tangenten- und NormalenvektorBestimmung ...
  10. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... entsteht bei der Abwicklung der Evolutentangente von der Evolute. Das bedeutet also, dass die Endpunkte der Evolutentangenten in einem bestimmten Punkt die Evolvente ergeben.  Tangenten der EvolutenWie bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt, stehen Normale und Tangenten der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Wendepunkte
    Differentialrechnung > Wendepunkte
    Wendepunkt
    ... ist bei  $f(2) = -12$.WendepunktWendetangenteEine Wendetangente ist eine Tangente, welche durch den Wendepunkt geht. Das bedeutet, dass eine Wendetangente die gleiche Steigung aufweist, wie der Funktionsgraph im Wendepunkt. Die Wendetangente $g(x)$ wird folgendermaßen berechnet:$g(x) = f´(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$mit:$x_0 = x$-Wert des Wendepunktes$f´(x_0) =$ erste Ableitung der Funktion $f$ im Punkt $x_0 \ \rightarrow \ $ Steigung$f(x_0) =$ Funktionswert im Punkt $x_0$Gegeben ...
  2. Trigonometrische Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion
    Winkelfunktionen
    ... \alpha = |\overline{0A}|$TangensfunktionHaupttangentenabschnitt:  $y=tan \alpha = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = |\overline{CD}|$KotangensfunktionNebentangentenabschnitt:  $y=cot \alpha = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = |\overline{EF}|$WinkelfunktionenBerechnung eines Punktes auf dem EinheitskreisZu jedem Winkel $\alpha$ zwischen $0°$ und $360°$ gehört ein Punkt $P$ auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten $(x, y)$.Wie lautet der Punkt auf dem Einheitskreis ...
  3. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Steigung1
    ... ist. Zur Verdeutlichung wurde eine Tangente eingefügt, welche die gleiche Steigung wie der Punkt  $x = 1$  besitzt. Es ist deutlich zu erkennen, dass die anderen Punkte eine andere Steigung aufweisen.Die in der obigen Grafik eingezeichnete Tangente liegt im Punkt $x =1$ und weist dieselbe Steigung auf wie die Funktion in diesem Punkt. Für jeden Punkt auf der Funktion kann eine solche Tangente approximiert werden.Beim Ableiten wird die Funktion linearisiert, d.h. ...
  4. Mittelwertsätze
    Differentialrechnung > Mittelwertsätze
    Mittelwertsatz, Sekante, Tangente
    ... : [a, b] \in \mathbb{R}$  besitzt eine Tangente durch einen Punkt des Funktionsgraphen mit derselben Steigung wie die Sekante welche durch die beiden Punkte  $(a, f(a))$ und  $(b, f(b))$  des Funktionsgraphen geht.Genauer gilt:Ist die Funktion $f$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig und auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt $x_0 \in (a, b)$ mit$f´(x_0) = \frac{f(b) – f(a)}{b – ...
  5. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Newton
    ... Idee des Newtonverfahrens besteht darin, eine Tangente zu bestimmen, welche in der Nähe der Nullstelle liegt. Die Nullstelle der Tangente dient dann als neue Approximation der Nullstelle der Funktion. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt.AllgemeinSei  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$  eine stetig differenzierbare Funktion, von der eine Stelle  $x_n \in D$ mit "kleinem" Funktionswert  $f(x_n)$ ...
  6. Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Ganz rationale Funktionen > Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    image
    ... ist durch  $a_1$ gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse hat also immer die Gleichung  $f(x) = a_1x + a_0$.Zeige, dass der Graph der Funktion  $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$  für  $x \to 0$  verläuft wie der Graph der Funktion  $f(x) = -4x + 8$.$ x \to 0$:$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8 = 0 + 0 -0 + 8 = 8$$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0 + 8 = -4x + 8 = 8$Der Graph beider Funktionen schneidet die y-Achse ...
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Strömungslehre

  1. Bahnkurven und Stromlinien
    Kinematik einer Strömung > Bahnkurven und Stromlinien
    Bahnlinie
    ... einer Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin.Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren ...
  2. Stromfunktion
    Ebene Strömungen > Stromfunktion
    Stromlinien Geschwindigkeitsvektor
    ... $\vec{w} = (w_x; \; w_y)$ parallele Tangente besitzt. Die Stromlinien lassen sich als Höhenlinien der Stromfunktion $\Psi (x,y) = const.$ darstellen.In dem hier betrachteten speziellen Fall von ebenen Strömungen, kann man das Geschwindigkeitsfeld $\vec{w}$ in Form einer Stromfunktion $\Psi$ angeben. Zunächst lässt sich das Geschwindigkeitsfeld bzw. der Geschwindigkeitsvektor schreiben als:$\vec{w} = [w_x(x, y, t); \; w_y(x, y, t); \; 0]$.Die Stromfunktion ...
  3. Wiederholung: Stromlinienkonzept
    Ebene Strömungen > Wiederholung: Stromlinienkonzept
    Bahnlinie
    ... einer Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt, d.h. deren örtliche Tangente jeweils in Richtung des Geschwindigkeitsvektors an dieser Stelle zeigt. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes (sind also Momentaufnahmen) und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. Strömungsablösungen) hin.Stromlinien mit Geschwindigkeitsvektoren ...
  4. Beispiel: Stromfunktion
    Ebene Strömungen > Stromfunktion > Beispiel: Stromfunktion
    Beispiel Stromlinien
    ... Sie die Stromlinien.(c) Berechnen Sie die Tangenten bzw. Geschwindigkeitsvektoren und die zeichnen Sie diese für die obigen Punkte ein!(d) Wie groß ist der Winkel $\alpha$ (also die Richtung des Geschwindigkeitvektors) zur Komponente $w_x$ im Punkt (1,1)?(e) Berechnen Sie den Volumenstrom je Breiteneinheit zwischen den Stromlinien der oben genannten Punkte.(a) Nachweis der StromfunktionUm den Nachweis für die Stromfunktion zu erbringen, müssen zunächst die Geschwindigkeitskomponenten ...
  5. Stromfaden und Stromröhre
    Kinematik einer Strömung > Stromfaden und Stromröhre
    Netz von Strmungsrohren
    ... handelt es sich um eine Kurve, deren Tangente in jedem Kurvenpunkt mit der Richtung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit übereinstimmt. Eine Stromlinienfläche ist die Summe aller Stromlinien, welche durch eine ortsfeste Linie gehen.Ist diese Linie geschlossen, so ergibt sich die Stromröhre. Die äußeren Stromlinien, welche durch die ortsfeste geschlossene Linie verlaufen, bilden dabei die Mantelfläche der Stromröhre. Ein Massendurchfluss durch ...
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Physik

  1. Kinematische Diagramme
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme
    Ort-Zeit-Diagramm
    ... an der Steigung in einem Punkt, welche mittels Tangentenvektor (rot) gekennzeichnet ist. Die Geschwindigkeit kann anhand der Steigung in diesem Punkt bestimmt werden durch:$v = \frac{dx}{dt}$.Je größer die Steigung, desto höher die Geschwindigkeit. Im ersten Punkt bei $t = 1$ ist die Steigung kleiner als im Punkt bei $t = 9$. Das bedeutet also, dass die Geschwindigkeit im Punkt $P(t = 9)$ größer ist. Bei einer negativen Steigung existiert eine negative Geschwindigkeit. ...
  2. Zentripetalkraft
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Beispiele für Kräfte > Zentripetalkraft
    Zentripentalkraft
    ... der Ball nach dem Trägheitsgesetz in Tangentenrichtung weiterfliegen. Würde die Person das Seil also loslassen, so würde sich der Ball an dem Punkt an dem er sich gerade befindet, tangential zur Kreisbahn weiterbewegen:ZentripetalkraftOben ist der Fall eingezeichnet, wenn sich der Ball genau in diesem Punkt vom Seil löst. Dieser fliegt dann tangentiell zu diesem Punkt weiter. Grund dafür ist, dass der Geschwindigkeitsvektor tangential zur Bahn liegt. Eine Tangente ...
  3. Isotherme Zustandsänderung
    Thermodynamik > Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik > Zustandsänderungen idealer Gase > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsnderung p,V Diagramm
    ... Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der positiven $V$-Achse eine Strecke der Länge $V_1$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke mit der Länge $p_1$ durch den Zustand 1 gezeichnet (gestrichelte Linie). Die Tangente ist dann diejenige Strecke, welche durch den Zustand 1 und durch den Endpunkt der schwarzen Strecke verläuft. ...
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Thermodynamik

  1. Isotherme Zustandsänderung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isotherme Zustandsänderung
    Isotherme Zustandsnderung p,V-Diagramm
    ... Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der $V$-Achse eine Strecke der Länge $V_1$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke mit der Länge $p_1$ durch den Zustand 1 gezeichnet (gestrichelte Linie). Die Tangente ist dann diejenige Strecke, welche durch den Zustand 1 und durch den Endpunkt der schwarzen Strecke verläuft. Es handelt ...
  2. Isentrope Zustandsänderung
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isentrope Zustandsänderung
    Isentrope Zustandsnderung p,V-Diagramm
    ... Isotherme. Auch bei der Isentrope kann man die Tangente mit folgendem Zusammenhang bestimmen:$\frac{dp}{dV} = -\kappa \frac{p}{V} = \frac{p}{\frac{V_1}{\kappa}}$.Isentrope ZustandsänderungIn der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der $V$-Achse eine Strecke der Länge $\frac{V_1}{\kappa}$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Sonderfall: Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten > Sonderfall: Kreisbewegung
    Ebene Bewegung Polarkoordinaten Kreisbewegung
    ... besitzt immer die Richtung der Bahntangente im Punkt $P$. In der obigen Grafik sind im ersten Kreis die Basisvektoren $e_r$ (immer in Richtung $r$ ) und $e_{\varphi}$ zu sehen. Beide Basisvektoren stehen orthogonal (im 90°-Winkel) zueinander. Der Winkel $\varphi$ ist derjenige Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und dem Basisvektor $e_r$. Vergleicht man nun den zweiten Kreis, in welchem der Geschwindigkeitsvektor (tangential zur Bahnkurve) abgetragen ist, so sieht man ...
  2. Ort-Zeit-Diagramm
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme > Ort-Zeit-Diagramm
    Ort-Zeit-Diagramm
    ... an der Steigung in einem Punkt, welche mittels Tangentenvektor (rot) gekennzeichnet ist. Die Geschwindigkeit kann anhand der Steigung in diesem Punkt bestimmt werden durch:$v = \frac{dx}{dt}$.Je größer die Steigung, desto höher die Geschwindigkeit. Im ersten Punkt bei $t = 1$ ist die Steigung kleiner als im Punkt bei $t = 9$. Das bedeutet also, dass die Geschwindigkeit im Punkt $P(t = 9)$ größer ist. Bei einer negativen Steigung existiert eine negative Geschwindigkeit. ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenneigung Winkel
    ... genau, so lässt sich vermuten, dass der Tangentensteigungswinkel $\alpha$ dem Neigungswinkel $\varphi $ entspricht. Dies gilt es nun zu überprüfen: So ist $ \tan ( - \alpha) = w' $ für mittlere bis große Verformungen zulässig und$ \tan (-\alpha) = - \alpha $ für kleine Verformungen. Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Gleichsetzen $w' = - \alpha = -\varphi$.Differentialgleichung der BiegelinieNachdem nun alle relevanten Gleichungen erfasst ...
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Anorganische Chemie

  1. Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    image
    ... bezeichnet man den Mittelpunkt zwischen beiden Tangenten. Hier liegen nur die Gegenionen der betrachteten Säure und Base vor. Unserem Fall $ Cl^- $ und $ Na^+ $, wobei diese lediglich einer Natriumchlorid-Lösung entspricht. Denn alle Oxoniumionen haben mit dem zugegebenen Hydoxidionen zu Wasser reagiert. 
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Regelungstechnik

  1. Grafische Verfahren
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung > Grafische Verfahren
    Linearisierung im Arbeitspunkt
    ... Letzteres erfolgt durch das Anlegen einer Tangente im Arbeitspunkt A.Dieses Vorgehen ist in der folgenden Abbildung dargestellt.Linearisierung im ArbeitspunktDer zugehörige Proportionalbeiwert $ K_P $ stellt die stationäre Verstärkung des Regelkreiselements im besagten Arbeitspunkt für kleine Änderungen der Eingangsgröße $ x_e $ dar.Die Dimension des Proportionalbeiwerts beinhaltet die Dimension der Ausgangsgröße dividiert durch die Dimension ...
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