Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 \le t \le t_1$.
  2. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen.Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom ...
  3. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Ebene Kurve
    ... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis).ParameterdarstellungAbhilfe schafft hier die Einführung ...
  4. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ ...
  5. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    ... -\dot{y} \\ \dot{x} \end {array}\right)$Polarkoordinaten$\ r = r(\varphi)$$\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -r\ cos\varphi - \dot{r}\ sin \varphi \\  -r\ sin\varphi + \dot{r}\ cos \varphi \end {array}\right)$$\ |\vec{n}| = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} $Explizite DarstellungGegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$ und der Punkt $(2, \ 4)$. Wie sieht der dazugehörige Normalenvektor aus?Der Normalenvektor bei der expliziten Darstellung ergibt sich:$\vec{n}= (-f'(x), \  1) = (-2x, \ 1)$Im ...
  6. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen. DarstellungsartKurvenlänge $ L$Bogenelement $ ds$kartesisch:$\ y = f(x) $$\ a \le  x \le b $$\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx $$\sqrt{dx^2 + dy^2} $$ = \sqrt{1 + f'^2} dx$Parameter:$\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t)\end{array}\right) $$\ t_0 \le t \le t_1 $$\int\limits_{t_1}^{t_2} ...
  7. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kreisradius und Krmmung
    ... + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$Polarkoordinaten$r = r(\varphi)$$\kappa(\varphi) = \frac{r^2 + 2r^2 - r\ddot{r}}{(r^2 + \dot{r}^2)^{\frac{3}{2}}}$Negative KrümmungGegeben sei die Funktion: $f(x) = x^3 - x$ in expliziter Darstellung. Die Krümmung soll für $x_1 = -0,5$ bestimmt werden.Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor Zum besseren Verständnis wird der Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe entsprechende Kapitel).Der dazugehörige ...
  8. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktion mit mehreren Vernderlichen
    ... Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen. Es sei die Funktion: $z = ...
  9. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) ...
  10. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Einsetzen in die gegebene Funktion:$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) ...
  11. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld
    ... (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, ...
  12. Formelsammlung
    Formelsammlung
    ... + c \cdot y^2 + d \cdot x + e \cdot y + f$Polarkoordinatendarstellung (Umrechnung in kartetische Koordinaten)$x = r(\varphi) \cos (\varphi)$$y =  r(\varphi) \sin (\varphi)$Parameterdarstellung (Fester Wert)$\begin{equation} K := \begin{cases}x = x(t) \\ \; \; \; & t \in [a, b] \\ y = y(t) \end{cases} \end{equation}$Kurveneigenschaften im ebenen RaumTangentenvektor$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$DarstellungsartenKurvePunkt ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Trigonometrische Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen
    Winkelfunktionen
    ... am Einheitskreis (ein Kreis mit dem Zentrum im Koordinatenursprung mit Radius $1$) berechnen. So sind uns nicht nur alle Winkel bis $360°$, sondern auch negative Winkel zugänglich.Sekanten- und Tangentenabschnitte am EinheitskreisBerechnung am Einheitskreis:Sinusfunktion:Ordinate von B: $y = sin \alpha = |\overline{AB}|$Kosinusfunktion:Abszisse von B: $y = cos \alpha = |\overline{0A}|$Tangensfunktion:Haupttangentenabschnitt: $y = tan \alpha = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = |\overline{CD}|$sowieKosecansfunktion:Abstand ...
  2. Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    Die Quadranten des EinheitskreisesDas Koordinatensystem unterteilt den Einheitskreis in vier Quadranten:Quadrant I: $\; 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Quadrant II: $\; \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$Quadrant III: $\; \pi < \alpha < \frac {3}{2} \pi$Quadrant IV: $\; \frac {3}{2} \pi < \alpha < 2 \, \pi$Quadranten des EinheitskreisesWinkel die im Uhrzeigersinn überstrichen werden, sind negativ, Winkel die gegen den Uhrzeigersinn überstrichen werden positiv. Das Bogenmaß ...
  3. Produktmengen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
    ... man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter von geordneten Paaren $(x,y)$ in der Koordinatenebene.Gegeben seien die Mengen $A = \{1,2,3,4 \}$ und $B = \{X,Y,Z \}$.$A$ besitzt vier Elemente, $B$ drei Elemente. Die neue Menge $M = A \times B$ müsste also $4 \cdot 3 = 12$ Elemente besitzen.Wir erhalten somit:$A \times B = \{ (1, X), (2, X), (3, X), (4, X),(1, Y), (2,Y), (3, Y), (4, Y),(1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z) \}$. Zudem ist ...
  4. Einführung in die Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Vektoren in der Ebene
    ... Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ . \\ . \\ . \\ n \end{array} \right)$Vektoren werden in einem 2-dimensionalen ...
  5. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Lnge von Vektoren, Satz des Pythagoras
    ... bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.BasisvektorenDie drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung ...
  6. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht bekannt sein muss:Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$Für die geometrische Berechnung verwendet man die Formel, die den Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält:Skalarprodukt: ...
  7. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    ... stellen Ortsvektoren dar, welche jeweils im Koordinatenurpsrung beginnen und auf die beiden Punkte $A(8,-3,-5)$ und $B(5,5,-6)$ zeigen.Die beiden Endpunkte sind also $A$ und $B$. Es soll nun der Abstand zwischen diesen Punkten bestimmt werden. Der Abstand entspricht also gleich der Länge des Vektors, welcher zwischen diesen beiden Punkten liegt. Hierbei kann man den Vektor $\vec{AB}$ oder den Vektor $\vec{BA}$ betrachten, beide weisen dieselbe Länge auf. Es gilt:$\vec{AB} = \vec{b} ...
  8. Geraden im Raum
    Vektorrechnung > Geraden im Raum
    Geraden im Raum
    ... durch den UrsprungEine Gerade durch den Koordinatenursprung wird allgemein definiert als:$G: \vec{x} = t \cdot \vec{v}$ mit$t \in \mathbb{R}$ = Parameter$\vec{v}$ = RichtungsvektorDie Gerade mit obiger Gleichung verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ zeigt dabei die Richtung der Geraden an, der Parameter $t$ die Länge der Geraden. In der folgenden Grafik ist der Richtungsvektor $\vec{v} = \{1,3,0\}$ zu sehen. Wir haben $x_3 = 0$ gesetzt, damit wir ...
  9. Linearkombination von Vektoren
    Vektorräume > Linearkombination von Vektoren
    ... \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 2$  (x-Koordinaten)$4 = \lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (y-Koordinaten)$6 = \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (z-Koordinaten) Alles auf eine Seite bringen:(1) $\; \lambda_1  + \lambda_2  + 2 \lambda_3 - 1 = 0$(2) $\; 2 \lambda_1  + \lambda_2 + \lambda_3 - 4 = 0$(3) $\; \lambda_1 + \lambda_2  + \lambda_3 - 6 = 0$Hierbei handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem. ...
  10. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    Durch den Abstand $r$ (Radius) vom Koordinatenursprung lässt sich die Lage eines Punktes ermitteln. Dabei ist $\vec{r}$ der Vektor, der auf den Punkt zeigt und $r = |\vec{r}|$ ist die Länge des Vektors. Dieser Zusammhang wurde bereits im Kapitel Vektorrechnung behandelt. Ist der Vektor $\vec{r} \neq (0,0)$ (also vom Nullvektor verschieden), dann ist die Länge des Vektor größer null: $r > 0$. Wie du in der folgenden Grafik siehst, existiert dann ein Winkel $\varphi$, welcher ...
  11. Gebrochenrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
    ... einer Funktion mit zunehmendem Abstand vom Koordinatenursprung annähert, ohne dass sich beide in ihrem Verlauf irgendwo berühren.Nähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade parallel zur $y$-Achse an, so spricht man von einer senkrechten Asymptote.Die waagerechte Asymptote ist eine der $x$-Achse parallelen Gerade für $x \to \pm \infty$.Nähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade an, die zu keiner der Achsen des Koordinatensystems parallel verläuft, ...
  12. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Funktionen mit Steigung, Sattel- und Wendepunkten
    ... Speziell in zwei- oder mehrdimensionalen Koordinatensystemen kann mittels Ableitungen bestimmt werden ob ein Graph steigt oder fällt. Außerdem können Sattelpunkte, Wendepunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden.Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und TiefpunktIn der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. ...
Analysis und Lineare Algebra
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Physik

  1. Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren
    Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren
    Vektoren  in der Ebene
    ... Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt.Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \\ . \\ . \\ . \\ a_n \end{array} \right)$Vektor in einem 3-dimensionalen ...
  2. Vektoraddition
    Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Vektoraddition
    Vektorsubtraktion
    ... obigen Vektoren legen wir zunächst in den Koordinatenursprung. Sie zeigen dann auf die Punkte $A(1,4)$ und $B(4,3)$:Vektoren in der EbeneWir führen als nächstes die Addition der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ durch:$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1+4 \\ 4 +3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array} \right)$Wir können diesen Vektor wieder in den Koordinatenursprung legen. Dieser zeigt dann auf den Punkt $C(5,7)$:VektoradditionGrafische ...
  3. Vektorsubtraktion
    Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Vektorsubtraktion
    Vektorsubtraktion
    ... obigen Vektoren legen wir zunächst in den Koordinatenursprung. Sie zeigen dann auf die Punkte $A(1,4)$ und $B(4,3)$:Vektoren in der EbeneWir führen als nächstes die Subtraktion der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ durch:$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 - 4 \\ 4 - 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)$Wir können diesen Vektor wieder in den Koordinatenursprung legen. Dieser zeigt dann auf den Punkt $C(-3,1)$:Vektorsubtraktion ...
  4. Länge von Vektoren
    Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Länge von Vektoren
    Ortsvektoren, Lnge von Vektoren
    ... bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.Für den Raum existieren drei Einheitsvektoren:$\vec{e}_x = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$$\vec{e}_y = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$$\vec{a}_z = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$Alle drei Einheitsvektoren weisen die Länge 1 auf:$|\vec{e}_x | = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$$|\vec{e}_y | = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = ...
  5. Skalarprodukt
    Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Skalarprodukt
    Unterschiedliche Winkel, Skalarprodukt
    ...  $\vec{a} \cdot \vec{b}$  aus den Koordinaten der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnen und daraus den Winkel $\cos (\varphi)$ ermitteln.Berechnung Skalarprodukt$\vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$Winkelberechnung$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$Anwendungsbeispiel: ...
  6. Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes
    ... Bewegung im Raum. Hierzu werden die $x$,$y$,$z$-Koordinaten betrachtet. Der Körper bzw. der Massenpunkt bewegt sich also in alle drei Richtungen. Für die Bewegung eines Flugzeugs ist die Angabe aller drei Koordinaten wichtig. Dabei ist $z$ die Höhe in welcher sich das Flugzeug befindet, $x$ und $y$ geben die Entfernung vom Ursprungsort an.Für die räumliche Darstellung ist es sinnvoll die Vektordarstellung zu wählen. Im Weiteren wird der Körper auf seinen ...
  7. Geschwindigkeitsvektor
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor
    Geschwindigkeitsvektor Massenpunkt
    ... erfolgt durch die Ableitung der einzelnen Koordinaten.Anwendungsbeispiel: GeschwindigkeitsvektorGegeben sei der Ortsvektor $\vec{r}(t) = (3t, 2t^2, t)$. Bestimme den Geschwindigkeitsvektor!Der Geschwindigkeitsvektor ist die Ableitung des Ortsvektors:$\vec{v} = \dot{\vec{r}(t)} = (3, 4t, 1)$Man erhält zunächst einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für die betrachtete Bahnkurve. Will man nun für einen bestimmten Punkt den Geschwindigkeitsvektor angeben, so setzt man einfach ...
  8. Bahngeschwindigkeit
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit
    Bahngeschwindigkeit Bogenlnge
    ... positiv, weil sich der Punkt in positive Koordinatenrichtung bewegt. Ist die Strecke $\triangle s < 0$, so ist die Bahngeschwindigkeit negativ, weil sich der Punkt in negative Koordinatenrichtung bewegt. Die Strecke $\triangle s$ ist die Länge der Änderung des Ortsvektors zwischen zwei Punkten (siehe Abschnitt Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes):$\triangle s = |\vec{\triangle r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$Ist also die Bogenlänge $s$ gegeben, so kann diese nach $t$ abgeleitet ...
  9. Beispiel: Waagerechter Wurf
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beispiel: Waagerechter Wurf
    ... Wurf können wir uns ein kartesisches Koordinatensystem zur Hilfe nehmen. Wir zerlegen die Bewegung in eine $x$- und in eine $y$-Komponente.Betrachtung der x-RichtungDie $x$-Komponente ist hierbei eine gleichförmige Bewegung, d.h. also der Ball fliegt in $x$-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit. Warum? Weil in $x$-Richtung keine Beschleunigung wirkt. Wir können also den Weg in $x$-Richtung mithilfe der Formeln für die gleichförmige Bewegung darstellen:$x = x_0 + ...
Physik
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Baustatik 1

  1. Kräftezerlegung
    Kurs Baustatik > Grundlagen der Statik > Kräftezerlegung
    Krftezerlegung: Tragwerk mit ueren Krften
    ... wie folgt merken:Die Kraftkomponente, die im Koordinatensystem an dem Winkel liegt, ist die Ankathete und wird mit dem Kosinus berechnet. Die Kraftkomponente auf der anderen Achse wird dann mit dem Sinus berechnet.Beispiel: KräftezerlegungBeispiel: Kräftezerlegung Gegeben sei der obige Träger, welcher durch die zwei äußeren Kräfte $F_1 = 15 N$ und $F_2 = 32 N$ belastet wird. Die Kraft $F_2$ weist einen Winkel von $\alpha = 50°$ zur Horizontalen auf. Bestimme ...
  2. Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte)
    Kurs Baustatik > Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte)
    Schnittgren - Schnittufer
    ... wir das obige $x,y,z$-Koordinatensystem zugrunde, so treten die Normalspannungen auf, wenn Kräfte in Richtung der $x$-Achse angreifen. Die Normalspannung $\sigma_x$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche und kann durch eine Spannungsresultierende zusammengefasst werden. Diese Spannungsresultierende ist die Normalkraft $N$:$N = \sigma_x \cdot A$                            NormalkraftDie ...
  3. Aufgaben und Lösungen
    Kurs Baustatik > Aufgaben und Lösungen
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... Dazu betrachten wir diese in einem Koordinatensystem: Dabei ist $b$ der Beginn der Funktion auf der $y$ bzw. $q(x_1)$ Achse und $m$ die Steigung (negativ) der rot eingezeichneten Funktion. Die Geradengleichung ergibt sich dann wie folgt:$q(x) = mx + b$$q(x_1) = - \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1  + 3 kN/m$ Als Nächstes bestimmen wir die Schnittgrößen. Die Normalkraft wird aus der Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung bestimmt.$\rightarrow: N_1 = 0$: $N_1 ...
  4. Dehnung: Aufgaben und Lösungen
    Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnung: Aufgaben und Lösungen
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... dazu gehörige $x$-Achse) um diese in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können. Es ist deutlich zu erkennen, dass es sich hierbei um eine Gerade handelt, welche im Ursprung beginnt und eine positive konstante Steigung aufweist. Die Geradengleichung ergibt sich zu:$p(x) = mx + b$Wobei $m$ die Steigung darstellt und $b$ der Beginn der Gerade auf der $p(x)$-Achse. Wir beginnen damit, die Steigung $m$ zu bestimmen. Beginnen wir im Ursprung des Koordinatensystems, so müssen wir $l$ ...
  5. Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
    Querkraftbiegung - Bestimmung der Normal- und Schubspannungen
    ... ist, wirken Verschiebungen immer in zwei Koordinatenrichtungen, daher gilt:$\gamma = \gamma_{xz} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u }{\partial z} $ Fasst man diese Gleichung erneut zusammen, erhält man für die Schubverformung:$\gamma = w' + \varphi $                                                     Schubverformung Beachtet ...
  6. Differentialgleichung der Biegelinie
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung der Biegelinie
    Balkenverformung
    ... der Biegelinie Unter Beachtung des Koordinatensystems ($z$-Achse nach unten gerichtet) ergibt sich eine Rechtskrümmung.Dreht ihr das Koordinatensystem so, dass die $z$-Achse nach oben zeigt, so seht ihr direkt, dass es sich um eine Rechtskrümmung handelt. Bei einer Rechtskrümmung ist die Kurve nach oben gewölbt. Da wir nun aber die nach unten gerichtete $z$-Achse gegeben haben, liegt eine Rechtskrümmung für Kurven die nach unten gewölbt sind vor. Bei ...
  7. Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Prinzip der virtuellen Krfte, Verschiebung, Verdrehung
    ... tragen für jeden Schnittbereich die Laufkoordinaten $x_i$ und $z_i$ ab. Dabei orientieren wir uns an der gestrichelten Faser. Die x-Achse verläuft immer parallel zur gestrichelten Faser, die z-Achse senkrecht dazu:Schnitte durchführen Für den 1. Schnitt werden die Gleichgewichtsbedingungen in $x_1$-Richtung und $z_1$-Richtung zur Berechnung der Schnittgrößen betrachtet. Die Auflagerkräfte $A_v$ und $A_h$, welche innerhalb dieses Schnittbereichs liegen, ...
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Operations Research 1

  1. Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
    Grafische Lsung LP - Restriktionen
    ... Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Maschinenrestriktion (in rot eingezeichnet) hat die Form:$x_1 + x_2 \le 15 $  Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 = 0$ gesetzt und dann nach $x_1$ aufgelöst:$ x_1 = 15$Um $x_2$ einzuzeichnen wird $x_1 = 0$ gesetzt und dann nach $x_2$ aufgelöst:$x_2 = 15$Werden keine Einheiten von $x_2$ produziert, so können 15 Einheiten von $x_1$ produziert werden und umgekehrt.Die beiden Punkte $x_1(15; ...
  2. Beispiel: Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Grafische Lösung eines Maximierungsproblems > Beispiel: Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
    Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms
    ... Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt.Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms1. Einzeichnen der RestriktionenDie Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form:$ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $ Um $x_1$ einzuzeichnen, ...
  3. Beispiel: Maximierungsproblem / grafische Lösung
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Simlpex-Algorithmus: Einführung > Primales Simlpexverfahren > Beispiel: Maximierungsproblem / grafische Lösung
    Beispiel Maximierungsproblem grafische Lsung
    ... Schnittpunkte der einzelnen Gleichungen mit den Koordinatenachsen bestimmt werden. Die Koordinatenachsen spiegeln die zwei Produkte wieder. Für die Gleichung $4x_1 + 3x_2                      \le 24$ergibt sich der Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse durch Nullsetzen von $x_2$ und der Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse durch Nullsetzen von $x_1$:$x_1 = \frac{24}{4} = 6$$x_2 = \frac{24}{3} = 8$.Werden keine Einheiten von $x_2$ produziert, ...
Operations Research 1
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Baustatik 2

  1. Statisch unbestimmte Systeme
    Kurs Baustatik 2 > Statisch unbestimmte Systeme
    Holzkonstruktion, statisch bestimmt
    ... man diese Bedingung in kartesischen Koordinaten, so ergeben sich drei Gleichgewichtsbedingungen für die Ebene:$\sum F_{ix} = 0$                     Summe der Kräfte in $x$-Richtung gleich Null$\sum F_{iy} = 0$                     Summe der Kräfte in $y$-Richtung gleich Null$\sum ...
  2. Beispiel: Drehwinkelverfahren - Verschiebegleichgewicht
    Beispiele zum Drehwinkelverfahren > Beispiel: Drehwinkelverfahren - Verschiebegleichgewicht
    Drehwinkelverfahren, Beispiel, Tragwerk
    ... wird die Verbindungslinie in ein x,y-Koordinatensystem, wobei die Stabachse die x-Achse darstellt:Maximum berechnenDie Verbindungslinie ist eine Gerade, weshalb wir die Geradengleichung $y = mx+b$ heranziehen, um die Gerade zu bestimmen. Es ergibt sich:$y = 0,11x + 3,46$Wir benötigen nun den Funktionswert in der Mitte, da das Maximum in der Mitte liegt: $\frac{l}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$.Einsetzen in die Geradengleichung ergibt:$y = 0,11 \cdot 3,5 + 3,46 = 3,85$Dieser Wert reicht ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Verformungen am Zugstab
    ... dem Ausgangsquadrat besitzt Punkt $A$ die Koordinaten $(x | y)$, Punkt $C$ die Koordinaten $(x + dx | y)$ und Punkt $B$ besitzt die Koordinaten $(x | y + dy)$.VerschiebungEs werden als nächstes die Verschiebungen der Punkte betrachtet:$A$ besitzt die Verschiebung:$u_A = u(x,y)$$v_A = v(x,y)$$C$ besitzt die Verschiebung (Taylorreihe):$u_C = u(x,y) + \frac{\partial u}{\partial x}dx = u_A + \frac{\partial u}{\partial x}dx$    $v_C = v(x,y) + \frac{\partial v}{\partial x}dx ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Elektrotechnik

  1. Drehzeigerdiagramm und Zeitdiagramm
    Wechselstrom > Wechselgrößen und Grundgesetze > Drehzeigerdiagramm und Zeitdiagramm
    Drehzeigerdiagramm und Zeitdiagramm
    ... auf der Projektionsachse [Achse links neben der Koordinatenachse] die Augenblickwerte $ u = \hat{u} sin(\omega t ) $ der Zeitfunktion $ u(t) $.In unserem Fall hat der Kreis zwölf Zeigerstellungen und demnach auch zwölf Augenblickwerte.Nimmt man nun das Zeitdiagramm hinzu, so bildet eine gesamte Drehung des Spannungszeigers eine Sinusschwingung ab.Der Betrag des Zeigers (Pfeils), welcher durch dessen Länge dargestellt wird, muss mit dem Scheitelwert $\hat{u} $ übereinstimmen. ...
Elektrotechnik
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Fahrzeugtechnik

  1. Koordinatensysteme in der Fahrzeugtechnik
    Fahrzeugklassen > Koordinatensysteme in der Fahrzeugtechnik
    Koordinatensystem nach DIN 70000
    ... von Fahrzeugebewegungen benötigen wir ein Koordinatensystem. Je nach Anwendung und Zweck kommt anderes Koordinatensystem zum Einsatz. Dennoch bestehen auch hier Gemeinsamkeiten, die nachfolgenden aufgelistet sind:Der Ursprung des Koordinatensystem wird auf die Fahrzeugmittelebenen gelegtDie x-Achse verläuft entlang der Fahrzeuglängsachse, zeigt in FahrrichtungDie y-Achse verläuft entlang der Fahrzeugquerachse, zeigt nach linksDie z-Achse verläuft entlang der Fahrzeughochachse, ...
Fahrzeugtechnik
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Maschinenelemente 1

  1. Smith-Diagramm für den Zugbereich - Anleitung
    Beanspruchungsfälle und Werkstoffkennwerte > Smith-Diagramm für den Zugbereich - Anleitung
    Smith-Diagramm - Aufbau
    ... ist die Mittelspannung $ \sigma_m $ vom Koordinaten-Ursprung ausgehend.Bei einer Mittelspannung $ \sigma_m = 0 $ erhält man die Wechselfestigkeit ($ \sigma_w $) des Materials. Somit liegt der Wert der Oberspannung bei $ +\sigma_w $ und der Wert der Unterspannung bei $ -\sigma_w $. Beide Punkte werden auf der Y-Achse (positiver und negativer Achsenabschnitt) abgetragen.Auf der Y-Achse und der X-Achse trägt man den werkstoffspezifischen Wert für die Zugfestigkeit $ R_m ...
Maschinenelemente 1
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Operations Research 2

  1. Grafische Lösung des Maximierungsproblems
    Grundlagen des Operations Research 1 > Standardform: Maximierungsproblem > Grafische Lösung des Maximierungsproblems
    Grafische Lsung LP - Restriktionen
    ... Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Maschinenrestriktion (in rot eingezeichnet) hat die Form:$x_1 + x_2 \le 15 $  Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 = 0$ gesetzt und dann nach $x_1$ aufgelöst:$ x_1 = 15$Um $x_2$ einzuzeichnen wird $x_1 = 0$ gesetzt und dann nach $x_2$ aufgelöst:$x_2 = 15$Werden keine Einheiten von $x_2$ produziert, so können 15 Einheiten von $x_1$ produziert werden und umgekehrt.Die beiden Punkte $x_1(15; ...
Operations Research 2
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Webinare

  1. Crashkurs Elastostatik Teil 1: Koordinatentransformation, Hauptspannungen, Mohrscher Spannungskreis
    ... diesem Kurs berechnet werden. Wir betrachten die Koordinatentransformation, die Bestimmung der Hauptspannungen (Extremwerte der Normal- und Schubspannungen) sowie den Mohrschen Spannungskreis. Innerhalb dieses Crashkurses könnt ihr jederzeit Fragen stellen. Der Mitschnitt sowie die Mitschrift und Lösungen zu den Aufgaben stehen euch nach dem Webinar als Download zur Verfügung....
  2. Crashkurs Mehrachsige Spannungszustände - Koordinatentransformation, Hauptspannungen, Mohrscher Spannungskreis
    ... diesem Kurs berechnet werden. Wir betrachten die Koordinatentransformation, die Bestimmung der Hauptspannungen (Extremwerte der Normal- und Schubspannungen) sowie den Mohrschen Spannungskreis. Innerhalb dieses Crashkurses könnt ihr jederzeit Fragen stellen. Der Mitschnitt sowie die Mitschrift und Lösungen zu den Aufgaben stehen euch nach dem Webinar als Download zur Verfügung....
  3. Crashkurs Elastostatik: Mehrachsige Spannungszustände - Koordinatentransformation, Hauptspannungen und Mohrscher Spannungskreis
    ... diesem Kurs berechnet werden. Wir betrachten die Koordinatentransformation, die Bestimmung der Hauptspannungen (Extremwerte der Normal- und Schubspannungen) sowie den Mohrschen Spannungskreis. Innerhalb dieses Crashkurses könnt ihr jederzeit Fragen stellen. Der Mitschnitt sowie die Mitschrift und Lösungen zu den Aufgaben stehen euch nach dem Webinar als Download zur Verfügung....
  4. Gratis-Webinar Elastostatik - Mohrscher Spannungskreis
    ...chnittwinkel bzw. für eine bestimmte Drehung des Koordinatensystems....
  5. Gratis-Webinar Elastostatik - Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ...n)....