Physik
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Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren
Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren
... Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt.Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \\ . \\ . \\ . \\ a_n \end{array} \right)$Vektor in einem 3-dimensionalen ... -
Superpositionsprinzip
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Superpositionsprinzip
... auf der Ortskurve zeigt, betrachten wir seine Koordinaten $x(t)$ und $y(t)$ und ordnet diesen Koordinaten eigene Bewegungen zu. Wir führen also eine Zerlegung in die $x$- und $y$-Koordinaten durch:Superpositionsprinzip: EbeneWir betrachten nun also die zwei $x$- und $y$- Koordinaten in Abhängigkeit von der Zeit $t$ und ihre eigenen gradlinigen Bewegungen. Wir können nun also neben dem Ort auch die Geschwindigkeit $\vec{v}(t)$ und die Beschleunigung $\vec{a}(t)$ in $x$- und $y$-Koordinaten ... -
Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
... Bewegung im Raum. Hierzu werden die $x$,$y$,$z$-Koordinaten betrachtet. Der Körper bzw. der Massenpunkt bewegt sich also in alle drei Richtungen. Für die Bewegung eines Flugzeugs ist die Angabe aller drei Koordinaten wichtig. Dabei ist $z$ die Höhe in welcher sich das Flugzeug befindet, $x$ und $y$ geben die Entfernung vom Ursprungsort an.Für die räumliche Darstellung ist es sinnvoll die Vektordarstellung zu wählen. Im Weiteren wird der Körper auf seinen ... -
Inertialsystem
Kinetik: Ursache von Bewegungen > Inertialsystem
... Ein Inertialsystem ist zunächst ein Koordinatensystem. Allerdings gilt innerhalb eines Inertialsystem das 1. Newtonschen Gesetz:Ein Körper verbleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen gradlinigen Bewegung (kein Auftreten von Beschleunigung, konstante Geschwindigkeit), solange dieser nicht durch die Einwirkung von Kräften zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird.Das bedeutet also, dass sich innerhalb eines Inertialsystems nur Körper befinden, die ... -
Länge von Vektoren
Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Länge von Vektoren
... bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.Für den Raum existieren drei Einheitsvektoren:$\vec{e}_x = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$$\vec{e}_y = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$$\vec{a}_z = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$Alle drei Einheitsvektoren weisen die Länge 1 auf:$|\vec{e}_x | = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$$|\vec{e}_y | = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = ... -
Beispiel: Geschwindigkeitsvektor
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Beispiel: Geschwindigkeitsvektor
Gegeben sei die folgende Bahnkurve, wobei wieder eine Koordinate null gesetzt wird, um das Problem grafisch zu veranschaulichen: $r(t) = (2t^2, 5t, 0t)$. Wie sieht der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t = 2$ aus?Der Punkt um den es sich hier handelt ist: $P(8,10,0)$ (Einsetzen von $t = 2$).Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:$\vec{v} = \dot{r} = (4t,5,0)$. Es ist deutlich zu sehen, dass der berechnete Geschwindigkeitsvektor nicht in jedem ...Geschwindigkeitsvektor
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor
... erfolgt durch die Ableitung der einzelnen Koordinaten.Anwendungsbeispiel: GeschwindigkeitsvektorGegeben sei der Ortsvektor $\vec{r}(t) = (3t, 2t^2, t)$. Bestimme den Geschwindigkeitsvektor!Der Geschwindigkeitsvektor ist die Ableitung des Ortsvektors:$\vec{v} = \dot{\vec{r}(t)} = (3, 4t, 1)$Man erhält zunächst einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für die betrachtete Bahnkurve. Will man nun für einen bestimmten Punkt den Geschwindigkeitsvektor angeben, so setzt man einfach ...Vektoraddition
Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Vektoraddition
... obigen Vektoren legen wir zunächst in den Koordinatenursprung. Sie zeigen dann auf die Punkte $A(1,4)$ und $B(4,3)$:Vektoren in der EbeneWir führen als nächstes die Addition der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ durch:$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1+4 \\ 4 +3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array} \right)$Wir können diesen Vektor wieder in den Koordinatenursprung legen. Dieser zeigt dann auf den Punkt $C(5,7)$:VektoradditionGrafische ...Skalarprodukt
Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Skalarprodukt
... $\vec{a} \cdot \vec{b}$ aus den Koordinaten der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnen und daraus den Winkel $\cos (\varphi)$ ermitteln.Berechnung Skalarprodukt$\vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$Winkelberechnung$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$Anwendungsbeispiel: ...Schräger Wurf
Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Superpositionsprinzip > Schräger Wurf
... betrachten der waagerecht oder schräg vom Koordinatenursprung abgeworfen wird. Schräger WurfBewegungsgleichungenAus Experimenten ist bekannt, dass bei einem Wurf die Vektorbeschleunigung $\vec{a}$ immer in die Richtung der Erdanziehung (also senkrecht nach unten) zeigt. Das bedeutet also, dass der Beschleunigungsvektor senkrecht nach unten gerichtet ist. Betrachten wir also die $x$- und $y$-Koordinaten so erhalten wir für die Beschleunigung:$a_x = 0$ ...
Technische Mechanik 3: Dynamik
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Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
Kinematik des starren Körpers > Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
... die $x,y$-Ebene betrachtet. Es müssen drei Koordinaten festgelegt werden: Die Bewegung des körperfesten Punktes innerhalb der betrachteten Ebene erfordert die Einführung von zwei Koordinaten $x,y$ und zusätzlich die Drehbegewung um die $z$-Achse. Es handelt sich hierbei also um drei Freiheitsgrade. Die Drehbewegung um die $x$- oder $y$-Achse ist nicht möglich, da der Körper an die Ebene gebunden ist. Bei einer Drehbewegung um die $x$- oder $y$-Achse müsste der ... -
Kinetik des Massenpunktsystems
Kinetik des Massenpunktsystems
... miteinander verbunden sind. Zwischen den Koordinaten der einzelnen Massenpunkte bestehen dann feste geometrische Beziehungen, die durch kinematische Bindungsgleichungen beschrieben werden können. Das bedeutet, dass sich die einzelnen Massenpunkte eines Massenpunktsystems nicht unabhängig voneinander bewegen können, sondern eine voneinander abhängige Bewegung ausführen. Solche kinematischen Bindungen führen zur Reduktion der Freiheitsgrade der einzelnen Massenpunkte ... -
Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
... die Lage dieses Punktes durch die $x$ und $y$ Koordinaten angegeben. Es ist häufig sinnvoll für diese ebenen Betrachtungen Polarkoordinaten einzuführen. Hierzu führt man ein ebenes $r, \varphi$-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung mit dem des $x,y$-Koordinatensystems zusammenfällt. Der Winkel $\varphi$ wird dabei von der positiven $x$-Achse ausgehend positiv gezählt. Es werden die Basisvektoren $e_r$ und $e_{\varphi}$ eingeführt, welche beide orthogonal ... -
Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor > Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
In diesem Kurstext stellen wir Ihnen drei Anwendungsbeispiele zum Thema Geschwindigkeitsvektor vor.Beispiel zum GeschwindigkeitsvektorGegeben sei die folgende Bahnkurve: $r(t) = (2t, 4t, 0t)$. Wie sieht der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t = 1$ aus? Der Punkt um den es sich hier handelt ist: $P(2,4,0)$ (Einsetzen von $t = 1$).$ \rightarrow $ Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:$\vec{v} = \dot{r} = (2,4,0)$. Man weiß ...Inertialsystem
Kinetik des Massenpunktes > Inertialsystem
... Ein Inertialsystem ist zunächst ein Koordinatensystem. Allerdings gilt innerhalb eines Inertialsystem das 1. Newtonschen Gesetz:Ein Körper verbleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen gradlinigen Bewegung (kein Auftreten von Beschleunigung, konstante Geschwindigkeit), solange dieser nicht durch die Einwirkung von Kräften zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird.Das bedeutet also, dass sich innerhalb eines Inertialsystems nur Körper befinden, die ...Beispiel: Schiefer Wurf
Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Schiefer Wurf
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Wurfweite eines Balls bestimmt, welcher aus der Ruhelage im Winkel $\alpha$ zur positiven $x$-Achse geworfen wird. Es gezeigt wie man anhand des 2. Newtonschen Gesetzes die Wurfweite bestimmt.Beispiel: Schiefer WurfNachdem im vorangegangenen Abschnitt der vertikale Wurf behandelt wurde, geht es nun um den schiefen Wurf. Hierzu wird ein Ball in $t=0$ mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20 m/s$ unter dem Winkel $\alpha = 35°$ zur positiven $x$-Achse ...Beispiel: Vertikaler Wurf
Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Vertikaler Wurf
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Höhe eines Balls bestimmt, welcher aus der Ruhelage vertikal nach oben beschleunigt wird. Es wird zunächst anhand des 2. Newtonschen Gesetzes gezeigt, wie sich die Höhe bestimmt und danach anhand des d'Alembertschen Prinzips.Beispiel: Vertikaler WurfEin Ball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20 m/s$ vertikal nach oben geworfen. Welche Höhe erreicht der Ball, wenn(a) der Luftwiderstand vernachlässigt wird.(b) der Luftwiderstand ...Analysis und Lineare Algebra
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Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
Durch den Abstand $r$ (Radius) vom Koordinatenursprung lässt sich die Lage eines Punktes ermitteln. Dabei ist $\vec{r}$ der Vektor, der auf den Punkt zeigt und $r = |\vec{r}|$ ist die Länge des Vektors. Dieser Zusammhang wurde bereits im Kapitel Vektorrechnung behandelt. Ist der Vektor $\vec{r} \neq (0,0)$ (also vom Nullvektor verschieden), dann ist die Länge des Vektor größer null: $r > 0$. Wie du in der folgenden Grafik siehst, existiert dann ein Winkel $\varphi$, welcher ... -
Einführung in die Vektorrechnung
Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
... Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ . \\ . \\ . \\ n \end{array} \right)$Vektoren werden in einem 2-dimensionalen ... -
Trigonometrische Funktionen
Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen
... am Einheitskreis (ein Kreis mit dem Zentrum im Koordinatenursprung mit Radius $1$) berechnen. So sind uns nicht nur alle Winkel bis $360°$, sondern auch negative Winkel zugänglich.Sekanten- und Tangentenabschnitte am EinheitskreisBerechnung am Einheitskreis:Sinusfunktion:Ordinate von B: $y = sin \alpha = |\overline{AB}|$Kosinusfunktion:Abszisse von B: $y = cos \alpha = |\overline{0A}|$Tangensfunktion:Haupttangentenabschnitt: $y = tan \alpha = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = |\overline{CD}|$sowieKosecansfunktion:Abstand ... -
Linearkombination von Vektoren
Vektorräume > Linearkombination von Vektoren
... \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 2$ (x-Koordinaten)$4 = \lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (y-Koordinaten)$6 = \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (z-Koordinaten) Alles auf eine Seite bringen:(1) $\; \lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1 = 0$(2) $\; 2 \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 - 4 = 0$(3) $\; \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 - 6 = 0$Hierbei handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem. ... -
Skalarprodukt und Winkel
Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
... Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht bekannt sein muss:Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$Für die geometrische Berechnung verwendet man die Formel, die den Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält:Skalarprodukt: ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
... berechnen lassen, wenn das Ursprungskoordinatensystem um einen mathematisch positiven Winkel $\alpha $ gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel.Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem $y, z$ werden nun in das Koordinatensystem $\xi \eta $ überführt. ... -
Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
... dem Ausgangsquadrat besitzt Punkt $A$ die Koordinaten $(x | y)$, Punkt $C$ die Koordinaten $(x + dx | y)$ und Punkt $B$ besitzt die Koordinaten $(x | y + dy)$.VerschiebungEs werden als nächstes die Verschiebungen der Punkte betrachtet:$A$ besitzt die Verschiebung:$u_A = u(x,y)$$v_A = v(x,y)$$C$ besitzt die Verschiebung (Taylorreihe):$u_C = u(x,y) + \frac{\partial u}{\partial x}dx = u_A + \frac{\partial u}{\partial x}dx$ $v_C = v(x,y) + \frac{\partial v}{\partial x}dx ... -
Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
... in Bezug auf die Koordinatenachsen erfolgen, so ist die Ausgangssituation oft so beschaffen, dass die Koordinatenachsen auch durch den entsprechenden Flächenschwerpunkt verlaufen. Im Folgenden wird nun der Fall betrachtet in welchem diese Ausgangssituation nicht mehr vorliegt, d.h. also, die Achsen nicht mehr durch den Flächenschwerpunkt verlaufen. Um dieses Problem dennoch mathematisch zu lösen, lassen sich zwei Lösungswege einschlagen:1. Direkte ... -
Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
Schub > Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
... für die Parallelverschiebung des Koordinatensystems hin zum Schwerpunkt eines anderen Bereichs:$ I_{y^*} = I_{y} + z_s^{*2} \cdot A $Für den Bereich 1 ist der Abstand $z_s$ (Abstand vom Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt des betrachteten Körpers):$z_s = b - \frac{h}{2}$Der Schwerpunkt für das obige Profil liegt mittig, da es sich um ein Rechteck handelt. Der Abstand $b$ geht bis an den äußeren oberen Rand, da der Schwerpunkt aber mittig liegt muss noch ... -
Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
... zwei Teilflächen, die sich auf das $y, z$-Koordinatensystem beziehen, gilt:$ A_{ges} = A_1 + A_2 $Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt. Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen:$\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $ Das ...
Wärmeübertragung: Wärmeleitung
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Poisson´sche und Laplace´sche Differentialgleichung
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Poisson´sche und Laplace´sche Differentialgleichung
... für die Kugel) kann man die oben in Koordinatenschreibweise angegebenen Differentialgleichungen in einer Differentialgleichung zusammenführen. In der obigen Übersicht haben wir noch die für partielle Differentialgleichungen übliche Schreibweise mit „$\partial$“ verwendet. Da aber die gesuchte Funktion t = t((r) allein von einer unabhängigen Variable (nämlich r) abhängt, liegen praktisch gewöhnliche Differentialgleichungen ... -
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien
... eine räumliche Betrachtung in kartesischen Koordinaten $\frac{\partial t(x, y, z, \tau)}{\partial \tau} = a \cdot \Big( \frac{\partial^2 t}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 t}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 t}{\partial z^2)} + \frac{\tilde{\dot q (x, y, z, \tau)}}{\rho \cdot c_p} \Big)$ mit $ a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$Es bedeuten hierin:$t$Temperatur$x, y, z$Ortskoordinaten im kartesischen Koordinatensystem$\tau$Zeit$\rho$Dichte$a$Temperaturleitfähigkeit$c_p$spezifische ... -
Die Fourier´sche Differentialgleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes im Festkörper
Wärmeleitung in Festkörpern > Die Fourier´sche Differentialgleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes im Festkörper
... von $\vec{e_x} \cdot \vec{e_x} = 1$Kartesische Koordinaten $(- \infty \lt x \lt + \infty , -\infty \lt y \lt + \infty, -\infty \lt z \lt + \infty)$ divgrad $ ≡ \nabla^2 ≡ \Delta = (\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2}{\partial z^2})$Zylinderkoordinaten $ (0 \leq r \lt \infty , 0 \leq \phi \leq 2 \pi, -\infty \lt z \lt + \infty) $divgrad $≡ \nabla^2 ≡ \Delta = \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial ... -
Im homogenen Festkörper mit isotropen Materialverhalten
Wärmeleitung in Festkörpern > Fourier´sches Gesetz der Wärmeleitung > Im homogenen Festkörper mit isotropen Materialverhalten
... wenn der homogene Festkörper in allen Koordinatenrichtungen gleiche Materialeigenschaften besitzt.Das Video wird geladen...(2-1-fouriersches-gesetz-waermeleit)Jeder Punkt in einem Festkörper kann nur eine bestimmte Temperatur besitzen. Isothermen können sich deshalb nicht schneiden. Erfahrungsgemäß findet ein Wärmetransport in einem Festkörper immer dort statt, wo örtliche Temperaturdifferenzen auftreten, wo wir also Temperaturgradienten vorfinden. ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Polarkoordinatendarstellung
Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
... es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen.Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom ... -
Parameterdarstellung
Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis).ParameterdarstellungAbhilfe schafft hier die Einführung ... -
Formelsammlung
Formelsammlung
... + c \cdot y^2 + d \cdot x + e \cdot y + f$Polarkoordinatendarstellung (Umrechnung in kartetische Koordinaten)$x = r(\varphi) \cos (\varphi)$$y = r(\varphi) \sin (\varphi)$Parameterdarstellung (Fester Wert)$\begin{equation} K := \begin{cases}x = x(t) \\ \; \; \; & t \in [a, b] \\ y = y(t) \end{cases} \end{equation}$Kurveneigenschaften im ebenen RaumTangentenvektor$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$DarstellungsartenKurvePunkt ...
- 55 Texte mit 37 Bildern
- 79 Übungsaufgaben
- und 10 Videos
Strömungslehre
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Druckkräfte auf gekrümmte Flächen
Hydrostatik > Druckkräfte auf gekrümmte Flächen
... - alle durch den Druckmittelpunkt. Die Koordinaten des Druckmittelpunktes können aus den Wirkungslinien der Horizontalkraft (im Schwerpunkt der Dreieckslast) und der Vertikalkraft (im Schwerpunkt der Wasserlast oberhalb bzw. unterhalb der gekrümmten Fläche) bestimmt werden. Es wird im Weiteren gezeigt, wie man die resultierende Druckkraft, die Vertikalkraft und die Horizontalkraft sowie ihre Wirkungslinien für gekrümmte Flächen bestimmt. Es wird auch ... -
Ebene Strömungen
Ebene Strömungen
Nach dem dt. Physiker Ludwig Prandtl (1875-1953) kann man eine Strömung um einen Körper aufteilen in eine reibungsbehaftete (rotationsbehaftete) Grenzschichtströmung und in eine reibungsfreie (rotationsfreie) Außenströmung. Die Grenzschichtströmung tritt in einer sehr dünnen Schicht in wandnähe des betrachteten Körpers auf und führt aufgrund der Reibung am Körper zur Rotation der Fluidelemente.Die Außenströmung verläuft ...Stationäre und instationäre Strömungen
Kinematik einer Strömung > Stationäre und instationäre Strömungen
... nur von den Koordinaten des zur Beschreibung des Strömungsfeldes verwendeten Koordinatensystems, sondern auch von der Zeit abhängig sind.Es wird zwischen drei Arten von instationären Strömungsvorgängen unterschieden. Arten von instationären Strömungen:Stochastisch unregelmäßige Vorgänge wie bei turbulenten Schwankungen.Anlauf- oder Auslaufvorgänge wie beim Anfahren oder Abschalten einer Kreiselpumpe. Periodische ...
Baustatik 1
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Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
... ist, wirken Verschiebungen immer in zwei Koordinatenrichtungen, daher gilt:$\gamma = \gamma_{xz} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u }{\partial z} $ Fasst man diese Gleichung erneut zusammen, erhält man für die Schubverformung:$\gamma = w' + \varphi $ Schubverformung Beachtet ... -
Spannung und Dehnung bei reiner Biegung
Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge reiner Biegung > Spannung und Dehnung bei reiner Biegung
Gebogene Brückenelemente mit konstanten Querschnitten (Köln) Wir wollen in diesem Abschnitt die Spannung und Dehnung bei reiner Biegung bestimmen. Es gilt weiterhin die Normalenhypothese von Bernoulli:Die Querschnitte bleiben also auch nach der Verformung im 90°-Winkel auf der Balkenachse (=neutrale Faser) stehen.Die neutrale Faser ändert auch nach der Verformung ihre Länge nicht.Anhand der Kreisbogenlänge $ds$ zwischen ...
Werkstofftechnik 1
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Bestimmung von Gitterrichtungen
Aufbau fester Phasen > Kristallsysteme > Gittereigenschaften > Bestimmung von Gitterrichtungen
... Gittergeraden verwendet man Vektoren, welche im Koordinatensystem vom Ursprung bis hin zum Schwerpunkt des betrachteten Atoms zeigen. Für die Gittergeraden verwendet man als Koordinaten ganze Zahlen, dh. man bezeichnet sie als teilerfremde Koordinaten. Um die Berechnung der Gitterrichtungen besser zu verstehen, folgt eine Veranschaulichung am orthorhombischen Gitter. Gitterrichtungen im orthorhombischen GitterZur Erinnerung die Geometrie des Orthorhombischen Gitters ist beschrieben durch:$\ ...
Technische Darstellungen - Maschinenbau
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Wie muss man nun in einer technischen Zeichnung die Bemaßungen anordnen
Normgerechtes Bemaßen in einer technischen Zeichnung > Wie muss man nun in einer technischen Zeichnung die Bemaßungen anordnen
... steigende Bemaßung und dieKoordinatenbemaßung.ParallelbemaßungBei der Parallelbemaßung werden die Maßlinien jeweils als separate Maßlinien, aber parallel zueinander angeordnet. Bei Winkeln erfolgt die Zuordnung konisch zueinander.Die Parallelbemaßung wird oft auch als Stapelbemaßung bezeichnet und findet bei der fertigungsbezogenen Maßeintragung bevorzugt Anwendung. Zur Vermeidung von Doppeltolerierungen sowie zur Vermeidung ...
Grundlagen der technischen Kommunikation
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Die schräge Parallelprojektion, die auch als Axonometrie bekannt ist
Wie kann man Bauteile, Baugruppen oder auch Bauwerke in technischen Zeichnungen darstellen? > Die schräge Parallelprojektion, die auch als Axonometrie bekannt ist
... von Axonometrien wird ein sogenanntes „Koordinaten-Dreibein“ mit den Koordinaten-Achsen x, y und z verwendet. Damit können die einzelnen Seiten des Körpers eindeutig im Raum auf den Achsen festgelegt werden.Die xz-Ebene dient dabei zur Darstellung einer Vorderansicht des darzustellenden Körpers und die yz-Ebene zur Darstellung der dazu gehörenden Seitenansicht. Die xy-Ebene, die jedoch in z-Richtung verschoben ist, entspricht dann der Draufsicht (Grundriss) bzw. ...
Fahrzeugtechnik
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Koordinatensysteme in der Fahrzeugtechnik
Fahrzeugklassen > Koordinatensysteme in der Fahrzeugtechnik
... von Fahrzeugebewegungen benötigen wir ein Koordinatensystem. Je nach Anwendung und Zweck kommt anderes Koordinatensystem zum Einsatz. Dennoch bestehen auch hier Gemeinsamkeiten, die nachfolgenden aufgelistet sind:Der Ursprung des Koordinatensystem wird auf die Fahrzeugmittelebenen gelegtDie x-Achse verläuft entlang der Fahrzeuglängsachse, zeigt in FahrrichtungDie y-Achse verläuft entlang der Fahrzeugquerachse, zeigt nach linksDie z-Achse verläuft entlang der Fahrzeughochachse, ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Flächenschwerpunkte
Schwerpunkte > Flächenschwerpunkte
... der Teilflächen eintragen3. Bezugskoordinatensystem festlegen. Das Bezugskoordinatensystem kann beliebig gewählt werden. Die Abmessungen vom Ursprung des Bezugskoordinatensystems zu den Schwerpunkten müssen gegeben sein.4. Abstände in $x$ und $y$-Richtung bestimmen (sofern $x,y$-Koordinatensystem zugrunde liegt). Dabei auf negative und positive Abstände achten. Ausgehend vom Bezugskoordinatensystem wird der Abstand positiv gewählt, wenn man sich zum Schwerpunkt ...
Baustatik 2
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Statisch unbestimmte Systeme
Kurs Baustatik 2 > Statisch unbestimmte Systeme
... man diese Bedingung in kartesischen Koordinaten, so ergeben sich drei Gleichgewichtsbedingungen für die Ebene:$\sum F_{ix} = 0$ Summe der Kräfte in $x$-Richtung gleich Null$\sum F_{iy} = 0$ Summe der Kräfte in $y$-Richtung gleich Null$\sum ...
Webinare
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Crashkurs Elastostatik Teil 1: Koordinatentransformation, Hauptspannungen, Mohrscher Spannungskreis
...esem Kurs berechnet werden. Wir betrachten die Koordinatentransformation, die Bestimmung der Hauptspannungen (Extremwerte der Normal- und Schubspannungen) sowie den Mohrschen Spannungskreis. Innerhalb dieses Crashkurses könnt ihr jederzeit Fragen stellen. Der Mitschnitt sowie die Mitschrift und Lösungen zu den Aufgaben stehen euch nach dem Webinar als Download zur Verfügung.... -
Crashkurs Mehrachsige Spannungszustände - Koordinatentransformation, Hauptspannungen, Mohrscher Spannungskreis
... diesem Kurs berechnet werden. Wir betrachten die Koordinatentransformation, die Bestimmung der Hauptspannungen (Extremwerte der Normal- und Schubspannungen) sowie den Mohrschen Spannungskreis. Innerhalb dieses Crashkurses könnt ihr jederzeit Fragen stellen. Der Mitschnitt sowie die Mitschrift und Lösungen zu den Aufgaben stehen euch nach dem Webinar als Download zur Verfügung.... -
Crashkurs Elastostatik: Mehrachsige Spannungszustände - Koordinatentransformation, Hauptspannungen und Mohrscher Spannungskreis
... diesem Kurs berechnet werden. Wir betrachten die Koordinatentransformation, die Bestimmung der Hauptspannungen (Extremwerte der Normal- und Schubspannungen) sowie den Mohrschen Spannungskreis. Innerhalb dieses Crashkurses könnt ihr jederzeit Fragen stellen. Der Mitschnitt sowie die Mitschrift und Lösungen zu den Aufgaben stehen euch nach dem Webinar als Download zur Verfügung.... -
Gratis-Webinar Elastostatik - Mohrscher Spannungskreis
...chnittwinkel bzw. für eine bestimmte Drehung des Koordinatensystems.... -
Gratis-Webinar Elastostatik - Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
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