Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    ... indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird: Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet: $r(x = 0) = r_0$ $r(x = l) = 3r_0$ Es ist schon mal ersichtlich, dass die Gerade bei $r(0) = r_0$ beginnt. ...
  2. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen: Normalspannung und Dehnung in x-Richtung: $\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung] $\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung]        [Umstellung ...
  3. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... Beziehung unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems ist [Elastische Isotropie]. Die Gleichung für einen Baustahl mit einer Querkontraktionszahl von $\nu = 0,3 $ hat die Form:$\ G = \frac{E}{2 \cdot ( 1 + \nu)} \rightarrow  G \approx \frac{3}{8} E \approx 0,4 E $. Daraus lässt sich ableiten, dass ein elastischer, isotroper Körper zwei unabhängige Materialkonstanten hat. Entweder $ E$ und $ G$ oder $ E$ und $\nu $. Erfüllt ein Körper nicht die Eigenschaft der Isotropie, kann ...
  4. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... indem man die Stäbe $S_1$ und $S_2$ in ein Koordinatensystem legt und dupliziert (und dabei dreht). Man wird dann erkennen, dass die gestrichelte grüne Linie den Stab $S_1$ widerspiegelt und die schräge Linie (dick schwarz) den Stab $S_2$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass diese einen Abstand vom Winkel $\alpha$ besitzen. In der obigen Grafik sind die Stäbe $S_1$ und $S_1$ solange gedreht worden, bis das gedrehte $S_2$ (gestrichelte Linie) im rechten Winkel zu dem ursprünglichen ...
  5. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    ... des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben.  Drehung des Koordinatensystems Dazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet: Die resultierende Spannungsmatrix ist:  $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $  Es wird nun der Einfluss der Drehung des Koordinatensystems [x,y] um den ...
  6. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Beispiel 1: Koordinatentransformation
    ... zur $x$-Achse! Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ...
  7. Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Beispiel 2: Koordinatentransformation
    ... diesem Abschnitt wird ein weiteres Beispiel zur Koordinatentransformation aufgezeigt. Anwendungsbeispiel: Koordinatentransformation mit unterschiedlichen Schnittrichtungen Gegeben sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen a-a und b-b bekannt sind. Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt c-c! Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich ...
  8. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ... (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung): Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung von führt zu: $\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$ $\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$ Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$ $\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $ $\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) ...
  9. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    ... Hauptrichtung, also die Drehung des Ausgangskoordinatensystems um einen bestimmten Winkel, so dass die Hauptnormalspannungen auftreten, erfolgt durch: $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$     Um den Winkel $\alpha^*$ zu berechnen muss die Gleichung nach $\alpha^*$ aufgelöst werden: $2 \alpha^*) = \tan^{-1}(\frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}})$     Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, ...
  10. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... der Winkel also um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptschubspannung auftritt, wird bestimmt zu: $\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})} = - \frac{2\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)}$ Um den Winkel zu bestimmen, muss die Gleichung nach $\alpha^{**}$ aufgelöst werden: $2 \alpha^{**} = \tan^{-1} ( - \frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})$ Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, so erfolgt ...
  11. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ... Abschnitten ermittelten Gleichungen für die Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung zusammengefasst. Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung) $ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $ Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$       Es existieren zwei Winkel, für welche die obige Gleichung erfüllt ist. Einmal ...
  12. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Beispiel 1: Hauptspannungen
    ... Lösung (1): Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung die auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist ...
  13. Beispiel 2: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen
    Beispiel 2: Hauptspannungen
    ... die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt zur Koordinatentransformation so nicht angewandt werden können, um die Normal- und Schubspannungen für einen anderen Schnitt (hier 3-3) zu bestimmen, denn hier müsste auch $\sigma_x$ gegeben sein. Nicht vergessen: Die Schubspannungen, welche ein vertauschtes Indexpaar besitzen sind identisch, also $\tau_{yx} = \tau_{xy}$. Es ist aber zusätzlich noch der Schnitt 2-2 gegeben: Der Schnitt 2-2 ist im 120°-Winkel zur x-Achse gegeben. Bei der ...
  14. Mohrscher Spannungskreis
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    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis
    ... den Punkt $P´(\sigma_y | -\tau_{xy})$ in das Koordinatensystem ein. 2. Man verbindet die Punkte P und P´ miteinander. 3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$. 4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$. Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen. Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen ...
  15. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    ... sich also um die Linksdrehung des Ausgangskoordinatensystems um 40° zur x-Achse. Um die Normalspannungen und Schubspannung für den Winkel $\beta = 40°$ zu erhalten, muss der Winkel $2 \beta$ von der Verbindungslinie $P_1(-30/-10)$ zu $\sigma_m$ aus abgetragen werden. Im Mohrschen Spannungskreis erfolgt die Abtragung entgegen der Drehung des Koordinatensystems, also in einer Rechtsdrehung MIT dem Uhrzeigersinn: Nachdem der Winkel abgetragen wurde, wird eine Verbindungslinie mit diesem ...
  16. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    ... In dem Ausgangsquadrat besitzt Punkt $A$ die Koordinaten $(x | y)$, Punkt $C$ die Koordinaten $(x + dx | y)$ und Punkt $B$ besitzt die Koordinaten $(x | y + dy)$. Verschiebung Es werden als nächstes die Verschiebungen der Punkte betrachtet: $A$ besitzt die Verschiebung: $u_A = u(x,y)$ $v_A = v(x,y)$ $C$ besitzt die Verschiebung (Taylorreihe): $u_C = u(x,y) + \frac{\partial u}{\partial x}dx = u_A + \frac{\partial u}{\partial x}dx$     $v_C = v(x,y) + \frac{\partial v}{\partial x}dx ...
  17. Transformation von Verzerrungskomponenten
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten
    ... des Bauteils zu bestimmen (siehe Kapitel Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung). Denn es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, da beides Tensoren sind. Man ersetzt $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$ durch $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\gamma_{xy}$. Die Drehung des Bauteils unter einem bestimmten Winkel $\alpha$ ergibt die Dehnungen und Gleitungen: $\epsilon_x^* = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} \cos (2\alpha) ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kräftepolygon in der Ebene
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftepolygon in der Ebene
    Kräftepolygon in der Ebene
    ... unabhängig von einer bestimmten Wahl des Koordinatensystems. Parallelogrammkonstruktion Diese geometrische Konstruktion entspricht einer Vektoraddition. Bei dieser genügt es ein Kräftedreieck zu zeichnen. Dabei reiht man die Kraftvektoren in beliebiger Reihenfolge aneinander. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt vom Anfangsvektor und dem Endpunkt vom Endvektor.  Grafische Vektoraddition Kräftepolygon Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon ...
  2. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    ... Werden nun alle Kräfte mit ihrem Fuß in den Koordinatenursprung gelegt, so kann man die Kräftezerlegung für die Kräfte $F_1$ und $F_2$ vornehmen, da diese weder in $x$- noch in $y$-Richtung wirken. ($F_G$ ist bereits eine Kraft in $y$-Richtung).  Die Kräftezerlegung für $F_1$ erfolgt dabei im 1. Quadranten des Koordinatensystems mit: $F_{1x} = F_1 \cdot \cos(30°)$      zeigt in positive $x$-Richtung $F_{1y} = F_1 \cdot \sin (30°)$      zeigt in positive $y$-Richtung Die ...
  3. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... addieren. Dazu stellt man sich $F_1$ in einem Koordinatensystem vor. Die Kraft $F_1$ würde im 4. Quadraten liegen. Die Berechnung erfolgt: $R_x = F_1 \cos (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_x$ zeigt zur positiven x-Achse) $R_y = F_1 \sin (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_y$ zeigt zur negativen y-Achse) Die Momentenberechnung erfolgt nun so, dass man ausgehend von der Lage von $F_1$ die Resultierende $R_x$ solange parallel zu sich selbst nach unten verschiebt bis diese den Bezugspunkt schneidet. ...
  4. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Resultierende ebener Kräftegruppen
    ... den Betrag von 20 N. Für den Ursprung des Koordinatensystems soll der Bezugspunkt $A$ (genau die Mitte des Sechsecks) gewählt werden. Wie groß ist die Resultierende und wo befindet sich ihre Lage?  Zuerst sollte man wissen, wie sich in einem gleichseitigen Sechseck die Winkel verhalten: gleichseitiges Sechseck Man kann ein gleichseitiges Sechseck in 6 gleichschenklige Dreiecke unterteilen. Die Spitzen der Dreiecke (in der Mitte) müssen zusammen 360° ergeben. Das Dreieck selber ...
  5. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    ... Freikörperbild Als nächstes wird das Koordinatensystem zur Bestimmung der Kräfte eingezeichnet. Es wird hier der Bezugspunkt $C$ (siehe Ausgangsgrafik) gewählt und die Kräfte parallel zu sich selbst bis zu diesem Punkt verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze: Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet: $\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$ verkürzt: $W_1 + S \cos (120°) - W_2 = 0$Die ...
  6. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    ... Dazu benötigt man das Einzeichnen des Koordinatensystems. Der Bezugspunkt $X$ ist dabei der Koordinatenursprung. Die Kräfte werden solange parallel zu sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden.  Kräfte im Raum - Koordinatensystem Berechnung der Teilresultierenden $R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg) $= -F_1 - F_3 = -5 - 10 = -15 N$    $R_y = F_5 + F_6 ...
  7. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Einzelne parallele Kräfte
    ... die gesuchten Abstände $ x_s $ und $ y_s $ vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt $ S $: $\ x_s = \frac{\sum x_i F_i}{\sum F_i} $ und $\ y_s = \frac{\sum y_i F_i}{\sum F_i} $.   Anwendungsbeispiel: Schwerpunkt im Raum Schwerpunkt im Raum In der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 N$, $F_2 = 20 N$ und $F_3 = 15 N$ abgebildet, die auf den dreidimensionalen Körper wirken. Sei $x_1 = 3m$, $x_2 = 3m$ und $x_3 = 2m$, sowie $y_1 = 1m$, $y_2 = 3m$ und $y_3 = 5m$. Wie groß ist die Haltekraft ...
  8. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkte
    ... Die Frage ist nun, in welchem Abstand zum Koordinatenursprung dieser auf der $x$-Achse liegt. Im Folgenden soll dies anhand eines Viertelkreisbogens veranschaulicht werden. Linienschwerpunkt Kreisausschnitt In der obigen Grafik (2) ist aus dem Kreisausschnitt ein infinitesimal kleiner Ausschnitt mit der Breite $ds$ gewählt worden. Dieser wird mit $ds = R \cdot d\varphi$ zu einer Linie approximiert (rote Linie). Der Schnittpunkt mit der x-Achse dieser roten Linie (gestrichelte Linie) ...
  9. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    ... In der obigen Grafik ist das $x,y,z$-Koordinatensystem eingeführt worden und die Lagerkräfte sowie die Abmessungen eingezeichnet worden. Das Lager $A$ überträgt nur Kräfte senkrecht zur Kurbel, d.h. keine Kraft in $x$-Richtung (da dies eine parallele Kraft zur Kurbel darstellen würde). Das Lager $B$ hingegen überträgt Kräfte in alle drei Raumrichtungen. Die Richtungen der Lagerkräfte werden zunächst so wie eingezeichnet angenommen. Resultieren am Ende positive Werte, so sind ...
  10. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... in positive Richtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Drehung um die $y$-Achse entgegen des Uhrzeigersinns vor. Zeigt der Normalenvektor $n$ eines Schnittufers in die negative $x$-Richtung, so spricht man entsprechend von einem negativen Schnittufer. In diesem Fall zeigen alle ...
  11. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    ... folgende Vorgehensweise: 1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist. 2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte. 3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, in denen ein Belastungswechsel durch äußere Kräfte und Momente auftritt. 4. Einzeichnen aller Schnittgrößen am positiven (linken) und/oder negativen (rechten) ...
  12. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    Schnittgrößen am Bogen
    ... wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus: Schnittgrößen am Bogen: Koordinatensystem Der Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. Die Gleichgewichtsbedingungen ...
  13. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... Hierbei besitzen $ R $ und $ M $ nun drei Koordinatenrichtungen $ [x,y,z] $. $\ R= \left(\begin {array}{c} N \\ Q_y \\ Q_z \end {array}\right) \rightarrow $ N ist die Normalkraft in x-Richtung. Bei den anderen beiden Kräften handelt es sich um die bekannten Querkräfte, welche senkrecht zur x-Achse wirken.  $\ M= \left(\begin {array}{c} M_T \\ M_y \\ M_z \end {array}\right) \rightarrow  M_T $ ist die Drehung um die x-Achse und wird als Torsion bezeichnet. Eine Torsion kann im Gegensatz ...
  14. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung
    ... In der rechten Grafik ist das Koordinatensystem eingezeichnet mit dem Winkel $\alpha$. $H$ und $F$ befinden sich beide auf der $x$-Achse nur entgegengesetzt mit dem Winkel $\alpha$ zur Hilfslinie (gestrichelte Linie). $N$ zeigt in Richtung der positiven $y$-Achse. Mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen können jetzt die fehlenden Größen ermittelt werden. Die Berechnung der Winkel erfolgt hier immer zur positiven $x$-Achse hin: Pfeil nach links oben ($y$-Achse): $N + G \cdot ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 \le t \le t_1$
  2. Polarkoordinatendarstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen. Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben: $r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$ Polarkoordinatendarstellung Man kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher ...
  3. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Parameterdarstellung
    ... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion ist es so, dass zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert existiert, weshalb z.B. die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass (wie beim Kreis) durch z.B. eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind. Parameterdarstellung Abhilfe schafft hier die Einführung eines ...
  4. Tangentenvektor
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und zum Schluss wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht. Allgemein Zu jeder Parameterdarstellung   $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $  in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]: $\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$ wobei der Punkt $\dot{}$ über dem ...
  5. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Hauptnormalenvektor
    ... \\ \dot{x} \end {array}\right)$ Polarkoordinaten $\ r = r(\varphi)$ $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -r\ cos\varphi - \dot{r}\ sin \varphi \\  -r\ sin\varphi + \dot{r}\ cos \varphi \end {array}\right)$ $\ |\vec{n}| = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} $ Explizite Darstellung Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$ und der Punkt $(2, \ 4)$. Wie sieht der dazugehörige Normalenvektor aus? Der Normalenvektor bei der expliziten Darstellung ergibt sich: $\vec{n}= (-f'(x), \  1) = ...
  6. Bogenlänge
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge
    Bogenlänge
    ... kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen.  Darstellungsart Kurvenlänge $ L$ Bogenelement $ ds$ kartesisch: $\ y = f(x) $ $\ a \le  x \le b $ $\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx $ $\sqrt{dx^2 + dy^2} $ $ = \sqrt{1 + f'^2} dx$ Parameter: $\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t)\end{array}\right) $ $\ ...
  7. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    ... + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$ Polarkoordinaten$r = r(\varphi)$ $\kappa(\varphi) = \frac{r^2 + 2r^2 - r\ddot{r}}{(r^2 + \dot{r}^2)^{\frac{3}{2}}}$ Negative Krümmung Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^3 - x$ in expliziter Darstellung. Die Krümmung soll für $x_1 = -0,5$ bestimmt werden. Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor  Zum besseren Verständnis werden Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe dazugehörige Kapitel). Der dazugehörige Tangentenvektor ...
  8. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    ... Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen.  Es sei die Funktion: $z = f(x, y) = x + ...
  9. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür: $x = r \cos (\varphi)$ $y = r \sin (\varphi)$ und lässt $r$ gegen Null laufen. Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist. Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} ...
  10. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, die ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Produktmengen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
    ... man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter von geordneten Paaren $(x,y)$ in der Koordinatenebene. Gegeben seien die Mengen $A = \{1,2,3,4 \}$ und $B = \{X,Y,Z \}$. $A$ besitzt vier Elemente, $B$ drei Elemente. Die neue Menge $M = A \times B$ müsste also $4 \cdot 3 = 12$ Elemente besitzen. Wir erhalten also: $A \times B = \{ (1, X), (2, X), (3, X), (4, X),(1, Y), (2,Y), (3, Y), (4, Y),(1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z) \}$. Zudem ist  es ...
  2. Einführung in die Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Einführung in die Vektorrechnung
    ... Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten.  Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ . \\ . \\ . \\ n \end{array} \right)$ Vektoren werden in einem 2-dimensionalen Raum (auch ...
  3. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
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    Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    ... bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen. Basisvektoren Die drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt. Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung dar, die ...
  4. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    ... stellen Ortsvektoren dar, welche jeweils im Koordinatenurpsrung beginnen und auf die beiden Punkt $A(8,-3,-5)$ und $B(5,5,-6)$ zeigen. Die beiden Endpunkte sind also $A$ und $B$. Es soll nun der Abstand zwischen diesen Punkten bestimmt werden. Der Abstand entspricht also gleich der Länge des Vektors, welcher zwischen diesen beiden Punkten liegt. Hierbei kann man den Vektor $\vec{AB}$ oder den Vektor $\vec{BA}$ heranziehen, beide weisen dieselbe Länge auf. Es gilt: $\vec{AB} = \vec{b} - ...
  5. Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ... (Polarwinkel) kennzeichen lässt: Polarkoordinaten Umformung von kartesische in polare Koordinaten Kartesische Koordinaten:  $x$  und $y$. Polarkoordinaten: $r$  und $\varphi$. (1)  $z = x + iy = r (cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$ (2)  $x = r \cdot cos \varphi$     (3)  $y = r \cdot sin \varphi$  (4)  $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (5) $ \tan \varphi = \frac{y}{x}$ Berechnung des Winkels  Winkel werden meist in Bogenmaß angegeben. Das bekannte Gradmaß  $\hat{\varphi}$ ...
  6. Trigonometrische Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion
    Trigonometrische Funktion
    ... ein Punkt $P$ auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten $(x, y)$. Wie lautet der Punkt auf dem Einheitskreis wenn $\alpha =  30°$ ? $\cos(30) \approx 0,87 \rightarrow x = 0,87$ $\sin(30) = 0,5 \rightarrow y = 0,5$ $P(0,87|0,5)$ Berechnung eines Punktes auf dem Einheitskreis Definition im Rechtwinkligen Dreieck mittels Kehrwertfunktionen:Kosekansfunktion: $ csc \alpha = \frac{1}{sin \alpha}$Sekansfunktion: $ sec \alpha = \frac{1}{cos \alpha}$
  7. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    ... welcher seiner Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems hat, unterteilt man die 4 Bereiche, in denen sich der jeweilige Winkel befindet, in Quadranten. Die Bereichseinteilung erfolgt mit Hilfe der Kreiszahl $\pi $. Wobei $\pi$ die Maßeinheit Radiant ist. Ausgedrückt in Bogenmaß ist $\pi$ Radiant $= 180$ Grad. Der Vollwinkel hat demnach $2\pi$ Radiant $= 360$ Grad und $\frac{\pi}{2} = 90°$.Bereich I $ = 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Bereich II $ = \frac {\pi}{2} < \alpha < ...
  8. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Ableitungen
    ... Speziell in zwei- oder mehrdimensionalen Koordinatensystemen kann mittels Ableitungen bestimmt werden ob ein Graph steigt oder fällt. Außerdem können Sattelpunkte, Wendepunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden. Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und Tiefpunkt In der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. Der $\color{blue}{\mathbf{blaue}}$ ...
Analysis und Lineare Algebra
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Produktion

  1. Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung > Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    ... Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt. Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms 1. Einzeichnen der Restriktionen Die Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form: $ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $  Um $x_1$ einzuzeichnen, wird ...
Produktion
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