Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Bestimmung der Normalkraft
    ... indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird:Geradengleichung Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet:$r(x = 0) = r_0$$r(x = l) = 3r_0$Es ist schon mal ersichtlich, dass die Gerade bei $r(0) ...
  2. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen.Normalspannung und DehnungNormalspannung und Dehnung in x-Richtung:$\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung]$\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung] ...
  3. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems ist [Elastische Isotropie].Die Gleichung für einen Baustahl mit einer Querkontraktionszahl von $\nu = 0,3 $ hat die Form:$\ G = \frac{E}{2 \cdot ( 1 + \nu)} \rightarrow  G \approx \frac{3}{8} E \approx 0,4 E $.Daraus lässt sich ableiten, dass ein elastischer, isotroper Körper zwei unabhängige Materialkonstanten hat. Entweder $ E$ und $ G$ oder $ E$ und $\nu $. Erfüllt ein Körper nicht die Eigenschaft ...
  4. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Beispiel: Stabzweischlag
    ... indem man die Stäbe $S_1$ und $S_2$ in ein Koordinatensystem legt und dupliziert (und dabei dreht). Man wird dann erkennen, dass die gestrichelte graue Linie den Stab $S_1$ widerspiegelt und die schräge Linie (dick schwarz) den Stab $S_2$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass diese einen Abstand vom Winkel $\alpha$ besitzen.Verschiebung In der obigen Grafik sind die Stäbe $S_1$ und $S_1$ solange gedreht worden, bis das gedrehte $S_2$ (gestrichelte Linie) im rechten Winkel ...
  5. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Spannungskomponenten in der Ebene
    ... des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Spannungskomponenten in der Ebene Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $ Es wird nun der Einfluss ...
  6. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Schubspannungen und Normalspannungen
    ... zur $x$-Achse!Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und ...
  7. Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Beispiel Koordinatentransformation Elastostatik
    ... diesem Abschnitt wird ein weiteres Beispiel zur Koordinatentransformation aufgezeigt.Beispiel: Koordinatentransformation mit unterschiedlichen SchnittrichtungenGegeben sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen a-a und b-b bekannt sind.Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt c-c!Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich ...
  8. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Zug- und Druckstab
    ... Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):Zug- und Druckstab Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung vonGleichgewichtsbedingungen führt zu:$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$$\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $$\nwarrow ...
  9. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Drehung des Koordinatensystems
    ... die Spannungen Extremwerte annehmen.Drehung des Koordinatensystems In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe Grafik b). Dazu wird folgendermaßen vorgegangen:1. Ableitung von $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$ nach $\alpha$ und Nullsetzen dieser. 2. Den ermittelten Winkel (Hauptrichtungen) einsetzen in die Ausgangsgleichung $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$.3. ...
  10. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... der Winkel also um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptschubspannung auftritt, wird bestimmt zu:$\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})} = - \frac{2\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)}$Um den Winkel zu bestimmen, muss die Gleichung nach $\alpha^{**}$ aufgelöst werden:$2 \alpha^{**} = \tan^{-1} ( - \frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})$Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, so erfolgt die ...
  11. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ... ermittelten Gleichungen für die Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung zusammengefasst.Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung)$ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$      Es existieren zwei Winkel, für welche die obige Gleichung erfüllt ...
  12. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Hauptspannungen Beispiel
    ... Spannungen bestimmenWie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung die auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für ...
  13. Beispiel 2: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen
    Hauptspannungen Beispiel
    ... die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt zur Koordinatentransformation so nicht angewandt werden können, um die Normal- und Schubspannungen für einen anderen Schnitt (hier 3-3) zu bestimmen, denn hier müsste auch $\sigma_x$ gegeben sein.Nicht vergessen: Die Schubspannungen, welche ein vertauschtes Indexpaar besitzen sind identisch, also $\tau_{yx} = \tau_{xy}$.Es ist aber zusätzlich noch der Schnitt 2-2 gegeben:Der Schnitt 2-2 ist im 120°-Winkel zur x-Achse gegeben. ...
  14. Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis Richtungen
    ... Punkt $P´(\sigma_y | -\tau_{xy})$ in das Koordinatensystem ein.2. Man verbindet die Punkte P und P´ miteinander.3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$.4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$.Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen.Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen ...
  15. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis Beispiel
    ... Hauptrichtungen verwendet werden.HauptrichtungenKoordinatentransformationDer Drehwinkel $\beta = 40°$ ist positiv. Es handelt sich also um die Linksdrehung des Ausgangskoordinatensystems um 40° zur x-Achse. Um die Normalspannungen und Schubspannung für den Winkel $\beta = 40°$ zu erhalten, muss der Winkel $2 \beta$ von der Verbindungslinie $P_1(-30/-10)$ zu $\sigma_m$ aus abgetragen werden. Im Mohrschen Spannungskreis erfolgt die Abtragung entgegen der Drehung des Koordinatensystems, ...
  16. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Verformungen am Zugstab
    ... dem Ausgangsquadrat besitzt Punkt $A$ die Koordinaten $(x | y)$, Punkt $C$ die Koordinaten $(x + dx | y)$ und Punkt $B$ besitzt die Koordinaten $(x | y + dy)$.VerschiebungEs werden als nächstes die Verschiebungen der Punkte betrachtet:$A$ besitzt die Verschiebung:$u_A = u(x,y)$$v_A = v(x,y)$$C$ besitzt die Verschiebung (Taylorreihe):$u_C = u(x,y) + \frac{\partial u}{\partial x}dx = u_A + \frac{\partial u}{\partial x}dx$    $v_C = v(x,y) + \frac{\partial v}{\partial x}dx ...
  17. Transformation von Verzerrungskomponenten
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten
    ... (siehe Kapitel Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation). Denn es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, weil die Verzerrungen ebenfalls Tensorkomponenten sind. Man ersetzt $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$ durch $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\gamma_{xy}$.Dehnungen und Gleitungen - FormelnDie Drehung des Bauteils unter einem bestimmten Winkel $\alpha$ ergibt die Dehnungen und Gleitungen:$\epsilon_x^* = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x ...
  18. Hauptdehnungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen
    Hauptdehnungen DMS Beispiel
    ... das bedeutet, dass hier ein neues $x^*y^*$-Koordinatensystem eingeführt werden kann. Man legt die $x^*$-Achse auf den Messstreifen $a$, das bedeutet die $y^*$-Achse liegt dann auf dem Messstreifen $c$ (Achsen liegen im 90° Winkel zueinander). Das $x,y$-Koordinatensystem wird also um $\alpha = 45°$ (positiv, da gegen den Uhrzeigersinn) gedreht:Bestimmung der HauptdehnungenDie Formel zur Berechnung der Hauptdehnungen lautet:$\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
  • 109 Texte mit 428 Bildern
  • 139 Übungsaufgaben
  • und 17 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Technische Mechanik 1: Statik

  1. Resultierende grafisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen
    Parallelogrammkonstruktion
    ... unabhängig von einer bestimmten Wahl des Koordinatensystems.Parallelogrammkonstruktion Diese geometrische Konstruktion entspricht einer grafischen Vektoraddition. Hierbei werden die auf den Körper wirkenden Kräfte in einer beliebigen Reihenfolge aneinandergereiht. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt des Anfangsvektors und dem Endpunkt des Endvektors. Grafische Vektoraddition Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon ...
  2. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Krftegleichgewicht ermitteln
    ... nun alle Kräfte mit ihrem Fuß in den Koordinatenursprung gelegt, so kann man die Kräftezerlegung für die Kräfte $F_1$ und $F_2$ vornehmen, da diese weder in $x$- noch in $y$-Richtung wirken. ($F_G$ ist bereits eine Kraft in $y$-Richtung). Die Kräftezerlegung für $F_1$ erfolgt dabei im 1. Quadranten des Koordinatensystems mit:$F_{1x} = F_1 \cdot \cos(30°)$      zeigt in positive $x$-Richtung$F_{1y} = F_1 \cdot \sin (30°)$     ...
  3. Bestimmung von Momenten
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten
    ... addieren. Dazu stellt man sich $F_1$ in einem Koordinatensystem vor. Die Kraft $F_1$ würde im 4. Quadraten liegen. Die Berechnung erfolgt:$R_x = F_1 \cos (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_x$ zeigt zur positiven x-Achse)$R_y = F_1 \sin (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_y$ zeigt zur negativen y-Achse)Die Momentenberechnung erfolgt nun so, dass man ausgehend von der Lage von $F_1$ die Resultierende $R_x$ solange parallel zu sich selbst nach unten verschiebt bis diese den Bezugspunkt ...
  4. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Beispiel: Resultierende ebener Krftegruppen
    ... den Betrag von 20 N. Für den Ursprung des Koordinatensystems soll der Bezugspunkt $A$ (genau die Mitte des Sechsecks) gewählt werden. Wie groß ist die Resultierende und wo befindet sich ihre Lage? Zuerst sollte man wissen, wie sich in einem gleichseitigen Sechseck die Winkel verhalten:gleichseitiges SechseckMan kann ein gleichseitiges Sechseck in 6 gleichschenklige Dreiecke unterteilen. Die Spitzen der Dreiecke (in der Mitte) müssen zusammen 360° ergeben. Das Dreieck ...
  5. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... nächstes wird das Koordinatensystem zur Bestimmung der Kräfte eingezeichnet. Es wird hier der Bezugspunkt $C$ (siehe Ausgangsgrafik) gewählt und die Kräfte parallel zu sich selbst bis zu diesem Punkt verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze:Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet:$\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$verkürzt: $W_1 + S \cos ...
  6. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum
    ... Dazu benötigt man das Einzeichnen des Koordinatensystems. Der Bezugspunkt $X$ ist dabei der Koordinatenursprung. Die Kräfte werden solange parallel zu sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden. Kräfte im Raum - KoordinatensystemBerechnung der Teilresultierenden$R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg)$= -F_1 - F_3 = -5 - 10 ...
  7. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Haltekraft
    ... gesuchten Abstände $ x_s $ und $ y_s $ vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt $ S $:$\ x_s = \frac{\sum x_i F_i}{\sum F_i} $ und$\ y_s = \frac{\sum y_i F_i}{\sum F_i} $.  Anwendungsbeispiel: Schwerpunkt im RaumSchwerpunkt im RaumIn der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 N$, $F_2 = 20 N$ und $F_3 = 15 N$ abgebildet, die auf den dreidimensionalen Körper wirken. Sei $x_1 = 3m$, $x_2 = 3m$ und $x_3 = 2m$, sowie $y_1 = 1m$, $y_2 = 3m$ und $y_3 = 5m$. Wie groß ist die ...
  8. Flächenschwerpunkte
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schwerpunkte > Flächenschwerpunkte
    Flchenschwerpunkt
    ... der Teilflächen eintragen3. Bezugskoordinatensystem festlegen. Das Bezugskoordinatensystem kann beliebig gewählt werden. Die Abmessungen vom Ursprung des Bezugskoordinatensystems zu den Schwerpunkten müssen gegeben sein.4. Abstände in $x$ und $y$-Richtung bestimmen (sofern $x,y$-Koordinatensystem zugrunde liegt). Dabei auf negative und positive Abstände achten. Ausgehend vom Bezugskoordinatensystem wird der Abstand positiv gewählt, wenn man sich zum Schwerpunkt ...
  9. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt gerade Linie
    ... Die Frage ist nun, in welchem Abstand zum Koordinatenursprung dieser auf der $x$-Achse liegt. Im Folgenden soll dies anhand eines Viertelkreisbogens veranschaulicht werden.Linienschwerpunkt KreisausschnittIn der obigen Grafik (2) ist aus dem Kreisausschnitt ein infinitesimal kleiner Ausschnitt mit der Breite $ds$ gewählt worden. Dieser wird mit $ds = R \cdot d\varphi$ zu einer Linie approximiert (rote Linie). Der Schnittpunkt mit der x-Achse dieser roten Linie (gestrichelte Linie) wird ...
  10. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... erfolgen:In der obigen Grafik ist das $x,y,z$-Koordinatensystem eingeführt worden und die Lagerkräfte sowie die Abmessungen eingezeichnet worden. Das Lager $A$ überträgt nur Kräfte senkrecht zur Kurbel, d.h. keine Kraft in $x$-Richtung (da dies eine parallele Kraft zur Kurbel darstellen würde). Das Lager $B$ hingegen überträgt Kräfte in alle drei Raumrichtungen. Die Richtungen der Lagerkräfte werden zunächst so wie eingezeichnet angenommen. ...
  11. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Faser und Achsen
    ... positive Achsenrichtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Linksdrehung (positiver Drehsinn) um die $y$-Achse vor. Demnach ist in diesem Fall das linke Schnittufer gleichzeitig das positive Schnittufer.Zeigt der Normalenvektor $n$ eines Schnittufers in die negative ...
  12. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... die folgende Vorgehensweise:1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist.2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte.3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, in denen ein Belastungswechsel durch äußere Kräfte und Momente auftritt.4. Einzeichnen aller Schnittgrößen am positiven (linken) ...
  13. Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... bestimmen. Dazu betrachten wir diesen in einem Koordinatensystem: Dabei ist $b$ der Beginn der Funktion auf der $y$ bzw. $q(x_1)$ Achse und $m$ die Steigung (negativ) der rot eingezeichneten Funktion. Die Geradengleichung ergibt sich dann wie folgt:$q(x) = mx + b$$q(x_1) = - \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1  + 3 kN/m$ Als nächstes bestimmen wir die Schnittgrößen. Die Normalkraft wird aus der Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung bestimmt.$\sum F_{ix} = 0$: $N_1 ...
  14. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    SChnittgren am Bogen Koordinatensystem
    ... wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:Schnittgrößen am Bogen: KoordinatensystemDer Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. ...
  15. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... besitzen $ R $ und $ M $ nun drei Koordinatenrichtungen $ [x,y,z] $.$\ R= \left(\begin {array}{c} N \\ Q_y \\ Q_z \end {array}\right) \rightarrow $ N ist die Normalkraft in x-Richtung. Bei den anderen beiden Kräften handelt es sich um die bekannten Querkräfte, welche senkrecht zur x-Achse wirken. $\ M= \left(\begin {array}{c} M_T \\ M_y \\ M_z \end {array}\right) \rightarrow  M_T $ ist die Drehung um die x-Achse und wird als Torsion bezeichnet. Eine Torsion kann ...
  16. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... der rechten Grafik ist das Koordinatensystem eingezeichnet mit dem Winkel $\alpha$. $H$ und $F$ befinden sich beide auf der $x$-Achse nur entgegengesetzt mit dem Winkel $\alpha$ zur Hilfslinie (gestrichelte Linie). $N$ zeigt in Richtung der positiven $y$-Achse. Mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen können jetzt die fehlenden Größen ermittelt werden. Die Berechnung der Winkel erfolgt hier immer zur positiven $x$-Achse hin:Pfeil nach links oben ($y$-Achse): ...
Technische Mechanik 1: Statik
  • 83 Texte mit 630 Bildern
  • 158 Übungsaufgaben
  • und 21 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 \le t \le t_1$.
  2. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen.Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom ...
  3. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Ebene Kurve
    ... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis).ParameterdarstellungAbhilfe schafft hier die Einführung ...
  4. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ ...
  5. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    ... -\dot{y} \\ \dot{x} \end {array}\right)$Polarkoordinaten$\ r = r(\varphi)$$\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -r\ cos\varphi - \dot{r}\ sin \varphi \\  -r\ sin\varphi + \dot{r}\ cos \varphi \end {array}\right)$$\ |\vec{n}| = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} $Explizite DarstellungGegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$ und der Punkt $(2, \ 4)$. Wie sieht der dazugehörige Normalenvektor aus?Der Normalenvektor bei der expliziten Darstellung ergibt sich:$\vec{n}= (-f'(x), \  1) = (-2x, \ 1)$Im ...
  6. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen. DarstellungsartKurvenlänge $ L$Bogenelement $ ds$kartesisch:$\ y = f(x) $$\ a \le  x \le b $$\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx $$\sqrt{dx^2 + dy^2} $$ = \sqrt{1 + f'^2} dx$Parameter:$\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t)\end{array}\right) $$\ t_0 \le t \le t_1 $$\int\limits_{t_1}^{t_2} ...
  7. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krmmung
    ... + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$Polarkoordinaten$r = r(\varphi)$$\kappa(\varphi) = \frac{r^2 + 2r^2 - r\ddot{r}}{(r^2 + \dot{r}^2)^{\frac{3}{2}}}$Negative KrümmungGegeben sei die Funktion: $f(x) = x^3 - x$ in expliziter Darstellung. Die Krümmung soll für $x_1 = -0,5$ bestimmt werden.Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor Zum besseren Verständnis wird der Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe entsprechende Kapitel).Der dazugehörige ...
  8. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktion mit mehreren Vernderlichen
    ... Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen. Es sei die Funktion: $z = ...
  9. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) ...
  10. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Einsetzen in die gegebene Funktion:$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) ...
  11. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
  • 54 Texte mit 48 Bildern
  • 79 Übungsaufgaben
  • und 10 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Analysis und Lineare Algebra

  1. Einführung in die Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Vektoren in der Ebene
    ... Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ . \\ . \\ . \\ n \end{array} \right)$Vektoren werden in einem 2-dimensionalen ...
  2. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Basisvektoren
    ... bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.BasisvektorenDie drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung ...
  3. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht bekannt sein muss:Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$Für die geometrische Berechnung verwendet man die Formel, die den Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält:Skalarprodukt: ...
Analysis und Lineare Algebra
  • 124 Texte mit 132 Bildern
  • 209 Übungsaufgaben
  • und 23 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Baustatik 1

  1. Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Prinzip der virtuellen Krfte, Verschiebung, Verdrehung
    ... tragen für jeden Schnittbereich die Laufkoordinaten $x_i$ und $z_i$ ab. Dabei orientieren wir uns an der gestrichelten Faser. Die x-Achse verläuft immer parallel zur gestrichelten Faser, die z-Achse senkrecht dazu:Schnitte durchführen Für den 1. Schnitt werden die Gleichgewichtsbedingungen in $x_1$-Richtung und $z_1$-Richtung zur Berechnung der Schnittgrößen betrachtet. Die Auflagerkräfte $A_v$ und $A_h$, welche innerhalb dieses Schnittbereichs liegen, ...
Bitte Beschreibung eingeben
  • 76 Texte mit 444 Bildern
  • 126 Übungsaufgaben
  • und 10 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG


Produktion

  1. Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung > Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms
    ... Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt.Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms1. Einzeichnen der RestriktionenDie Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form:$ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $ Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 ...
Produktion
  • 75 Texte mit 172 Bildern
  • 146 Übungsaufgaben
  • und 12 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG