Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    ... indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird: Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet: $r(x = 0) = r_0$ $r(x = l) = 3r_0$ Es ist schon mal ersichtlich, dass die Gerade bei $r(0) = r_0$ beginnt. ...
  2. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen: Normalspannung und Dehnung in x-Richtung: $\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung] $\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung]        [Umstellung ...
  3. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... Beziehung unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems ist [Elastische Isotropie]. Die Gleichung für einen Baustahl mit einer Querkontraktionszahl von $\nu = 0,3 $ hat die Form:$\ G = \frac{E}{2 \cdot ( 1 + \nu)} \rightarrow  G \approx \frac{3}{8} E \approx 0,4 E $. Daraus lässt sich ableiten, dass ein elastischer, isotroper Körper zwei unabhängige Materialkonstanten hat. Entweder $ E$ und $ G$ oder $ E$ und $\nu $. Erfüllt ein Körper nicht die Eigenschaft der Isotropie, kann ...
  4. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... indem man die Stäbe $S_1$ und $S_2$ in ein Koordinatensystem legt und dupliziert (und dabei dreht). Man wird dann erkennen, dass die gestrichelte grüne Linie den Stab $S_1$ widerspiegelt und die schräge Linie (dick schwarz) den Stab $S_2$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass diese einen Abstand vom Winkel $\alpha$ besitzen. In der obigen Grafik sind die Stäbe $S_1$ und $S_1$ solange gedreht worden, bis das gedrehte $S_2$ (gestrichelte Linie) im rechten Winkel zu dem ursprünglichen ...
  5. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    ... des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben.  Drehung des Koordinatensystems Dazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet: Die resultierende Spannungsmatrix ist:  $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $  Es wird nun der Einfluss der Drehung des Koordinatensystems [x,y] um den ...
  6. Beispiel 1: Koordinatentransformation
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    Beispiel 1: Koordinatentransformation
    ... zur $x$-Achse! Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ...
  7. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ... (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung): Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung von führt zu: $\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$ $\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$ Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$ $\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $ $\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) ...
  8. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    ... Hauptrichtung, also die Drehung des Ausgangskoordinatensystems um einen bestimmten Winkel, so dass die Hauptnormalspannungen auftreten, erfolgt durch: $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$     Um den Winkel $\alpha^*$ zu berechnen muss die Gleichung nach $\alpha^*$ aufgelöst werden: $2 \alpha^*) = \tan^{-1}(\frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}})$     Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, ...
  9. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... der Winkel also um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptschubspannung auftritt, wird bestimmt zu: $\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})} = - \frac{2\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)}$ Um den Winkel zu bestimmen, muss die Gleichung nach $\alpha^{**}$ aufgelöst werden: $2 \alpha^{**} = \tan^{-1} ( - \frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})$ Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, so erfolgt ...
  10. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ... Abschnitten ermittelten Gleichungen für die Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung zusammengefasst. Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung) $ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $ Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$       Es existieren zwei Winkel, für welche die obige Gleichung erfüllt ist. Einmal ...
  11. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Beispiel 1: Hauptspannungen
    ... Lösung (1): Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung die auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist ...
  12. Beispiel 2: Hauptspannungen
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    Beispiel 2: Hauptspannungen
    ... die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt zur Koordinatentransformation so nicht angewandt werden können, um die Normal- und Schubspannungen für einen anderen Schnitt (hier 3-3) zu bestimmen, denn hier müsste auch $\sigma_x$ gegeben sein. Nicht vergessen: Die Schubspannungen, welche ein vertauschtes Indexpaar besitzen sind identisch, also $\tau_{yx} = \tau_{xy}$. Es ist aber zusätzlich noch der Schnitt 2-2 gegeben: Der Schnitt 2-2 ist im 120°-Winkel zur x-Achse gegeben. Bei der ...
  13. Mohrscher Spannungskreis
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    Mohrscher Spannungskreis
    ... den Punkt $P´(\sigma_y | -\tau_{xy})$ in das Koordinatensystem ein. 2. Man verbindet die Punkte P und P´ miteinander. 3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$. 4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$. Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen. Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen ...
  14. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    ... sich also um die Linksdrehung des Ausgangskoordinatensystems um 40° zur x-Achse. Um die Normalspannungen und Schubspannung für den Winkel $\beta = 40°$ zu erhalten, muss der Winkel $2 \beta$ von der Verbindungslinie $P_1(-30/-10)$ zu $\sigma_m$ aus abgetragen werden. Im Mohrschen Spannungskreis erfolgt die Abtragung entgegen der Drehung des Koordinatensystems, also in einer Rechtsdrehung MIT dem Uhrzeigersinn: Nachdem der Winkel abgetragen wurde, wird eine Verbindungslinie mit diesem ...
  15. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    ... In dem Ausgangsquadrat besitzt Punkt $A$ die Koordinaten $(x | y)$, Punkt $C$ die Koordinaten $(x + dx | y)$ und Punkt $B$ besitzt die Koordinaten $(x | y + dy)$. Verschiebung Es werden als nächstes die Verschiebungen der Punkte betrachtet: $A$ besitzt die Verschiebung: $u_A = u(x,y)$ $v_A = v(x,y)$ $C$ besitzt die Verschiebung (Taylorreihe): $u_C = u(x,y) + \frac{\partial u}{\partial x}dx = u_A + \frac{\partial u}{\partial x}dx$     $v_C = v(x,y) + \frac{\partial v}{\partial x}dx ...
  16. Transformation von Verzerrungskomponenten
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten
    ... des Bauteils zu bestimmen (siehe Kapitel Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung). Denn es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, da beides Tensoren sind. Man ersetzt $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$ durch $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\gamma_{xy}$. Die Drehung des Bauteils unter einem bestimmten Winkel $\alpha$ ergibt die Dehnungen und Gleitungen: $\epsilon_x^* = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} \cos (2\alpha) ...
  17. Hauptdehnungen
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    Hauptdehnungen
    ... das bedeutet, dass hier ein neues $x^*y^*$-Koordinatensystem eingeführt werden kann. Man legt die $x^*$-Achse auf den Messstreifen $a$, das bedeutet die $y^*$-Achse liegt dann auf dem Messstreifen $c$ (Achsen liegen im 90° Winkel zueinander). Das $x,y$-Koordinatensystem wird also um $\alpha = 45°$ (positiv, da gegen den Uhrzeigersinn) gedreht: Bestimmung der Hauptdehnungen Die Formel zur Berechnung der Hauptdehnungen lautet: $\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\epsilon_x ...
  18. Arten der Biegung
    Balkenbiegung > Arten der Biegung
    Arten der Biegung
    ... Symmetrie wird immer in Abhängigkeit vom $y,z$-Koordinatensystem des Querschnitts bestimmt. Das bedeutet, ein Querschnitt wird als asymmetrisch betrachtet, wenn die $y$- und $z$-Achse keine Symmetrieachsen des Querschnittes darstellen. Besitzt der Balken den obigen rechteckigen Querschnitt, so ist dieser symmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen. Beide Achsen stellen in diesem Fall Symmetrieachsen dar. Die Hauptachsen sind also gleichzeitig die $y,z$-Achsen und verlaufen durch den Schwerpunkt ...
  19. Flächenträgheitsmomente: Definition
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Definition
    Flächenträgheitsmomente: Definition
    ... man Integralausdrücke, um die Schwerpunktkoordinaten zu berechnen.  Die besagten Integralausdrücke, auch Flächenmomente 1. Ordnung genannt, haben die Form: $\ x_s = \frac{1}{A} \int_A xdA  $ sowie $\ y_s = \frac{1}{A} \int_A ydA$.  Für das weitere Vorgehen in diesem Fall werden jedoch die Flächenmomente 2. Ordnung [Flächenträgheitsmomente] benötigt. Diese treten entweder quadratisch oder als Produkt auf und haben die Form: $\int x^2dA, $              $\int y^2dA $ ...
  20. Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
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    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
    Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
    ... ist immer auch von der Lage des zugewiesenen Koordinatensystems abhängig. Meistens fällt die Wahl auf ein Koordinatensystem dessen Ursprung auch gleichzeitig mit dem Flächenschwerpunkt $S$ der betrachteten geometrischen Figur zusammenfällt oder auf ein Koordinatensystem, bei dem zumindest eine Achse den Flächenschwerpunkt berührt. Dies birgt den Vorteil, dass das Deviationsmoment meistens null wird (dann wenn eine oder beide Achsen Symmetrieachsen darstellen). An dieser Stelle sei erwähnt, ...
  21. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    ... Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem gezeigt sind die Flächenträgheitsmomente für ein Rechteck: $I_y = \frac{ba^3}{12}$ $I_z = \frac{ab^3}{12}$ $I_{yz} = 0$ Es wird hier gezeigt, wie man diese Formeln erhält. Die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente erfolgt mit: $I_y = \int z^2 \; dA$ $I_z = \int y^2 \; dA$ $I_{yz} = \int yz \; dA$ Begonnen wird mit $I_y$. Man wählt nun einen infinitesimal kleinen Streifen mit der Breite $dz$ aus dem Rechteck, welcher ...
  22. Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
    ... berechnen lassen, wenn das Ursprungskoordinatensystem um einen mathematisch positiven Winkel $\alpha $ gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel. Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem $y, z$ werden nun in das Koordinatensystem $\xi \eta $ überführt. Die Lage der Koordinaten im ...
  23. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
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    Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    ... eine Hauptachse. Betrachten wir ein $y,z$-Koordinatensystem, welches durch den Schwerpunkt einer Querschnittsfläche verläuft. Doppelt symmetrische Querschnitte in Bezug auf dieses Koordinatensystem sind dann Rechtecke, Quadrate oder Kreise, weil beide Achsen Symmetrieachsen darstellen. Sowohl die $y$- als auch die $z$-Achse sind Hauptachsen des Querschnitts. Einfach symmetrische Querschnitte sind u.a. ein gleichschenkliges Dreieck oder ein gleichschenkliges Trapez, weil die $z$-Achse eine ...
  24. Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    ... der Flächenträgheitsmomente in Bezug auf die Koordinatenachsen erfolgen, so ist die Ausgangssituation oft so beschaffen, dass die Koordinatenachsen auch durch den entsprechenden Flächenschwerpunkt verlaufen. Im Folgenden wird nun der Fall betrachtet in welchem diese Ausgangssituation nicht mehr vorliegt, d.h. also, die Achsen nicht mehr durch den Flächenschwerpunkt verlaufen. Um dieses Problem dennoch mathematisch zu lösen, lassen sich zwei Lösungswege einschlagen: 1. Direkte Lösung ...
  25. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
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    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    ... Für zwei Teilflächen, die sich auf das $y, z$-Koordinatensystem beziehen, gilt: $ A_{ges} = A_1 + A_2 $ Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt.  Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen: $\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $  Das Video wird geladen ... Flächenträgheitsmomente ...
  26. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Querkraftbiegung
    ... ist, wirken Verschiebungen immer in zwei Koordinatenrichtungen, daher gilt: $\gamma = \gamma_{xz} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u }{\partial z} $  Fasst man diese Gleichung erneut zusammen, erhält man für die Schubverformung: $\gamma = w' + \varphi $                                                     Schubverformung Schubverformung Beachtet man die kinematischen Zusammenhänge und das Hookesche Gesetz, so lässt sich die Normal- und ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 \le t \le t_1$.
  2. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen. Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben: $r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$ Polarkoordinatendarstellung Man kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher ...
  3. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Parameterdarstellung
    ... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis). Parameterdarstellung Abhilfe schafft hier die Einführung eines Parameters ...
  4. Tangentenvektor
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    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    ... (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht. Einführung Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]: $\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$ wobei der Punkt $\dot{}$ über dem ...
  5. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Hauptnormalenvektor
    ... \\ \dot{x} \end {array}\right)$ Polarkoordinaten $\ r = r(\varphi)$ $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -r\ cos\varphi - \dot{r}\ sin \varphi \\  -r\ sin\varphi + \dot{r}\ cos \varphi \end {array}\right)$ $\ |\vec{n}| = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} $ Explizite Darstellung Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$ und der Punkt $(2, \ 4)$. Wie sieht der dazugehörige Normalenvektor aus? Der Normalenvektor bei der expliziten Darstellung ergibt sich: $\vec{n}= (-f'(x), \  1) = ...
  6. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlänge berechnen
    ... kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen.  Darstellungsart Kurvenlänge $ L$ Bogenelement $ ds$ kartesisch: $\ y = f(x) $ $\ a \le  x \le b $ $\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx $ $\sqrt{dx^2 + dy^2} $ $ = \sqrt{1 + f'^2} dx$ Parameter: $\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t)\end{array}\right) $ $\ ...
  7. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    ... + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$ Polarkoordinaten$r = r(\varphi)$ $\kappa(\varphi) = \frac{r^2 + 2r^2 - r\ddot{r}}{(r^2 + \dot{r}^2)^{\frac{3}{2}}}$ Negative Krümmung Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^3 - x$ in expliziter Darstellung. Die Krümmung soll für $x_1 = -0,5$ bestimmt werden. Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor  Zum besseren Verständnis wird der Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe entsprechende Kapitel). Der dazugehörige ...
  8. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    ... Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen.  Es sei die Funktion: $z = f(x, y) = x + ...
  9. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür: $x = r \cos (\varphi)$ $y = r \sin (\varphi)$ und lässt $r$ gegen Null laufen. Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist. Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} ...
  10. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, die ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Produktmengen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
    ... man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter von geordneten Paaren $(x,y)$ in der Koordinatenebene. Gegeben seien die Mengen $A = \{1,2,3,4 \}$ und $B = \{X,Y,Z \}$. $A$ besitzt vier Elemente, $B$ drei Elemente. Die neue Menge $M = A \times B$ müsste also $4 \cdot 3 = 12$ Elemente besitzen. Wir erhalten somit: $A \times B = \{ (1, X), (2, X), (3, X), (4, X),(1, Y), (2,Y), (3, Y), (4, Y),(1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z) \}$. Zudem ist es ...
  2. Einführung in die Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Einführung in die Vektorrechnung
    ... Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten.  Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ . \\ . \\ . \\ n \end{array} \right)$ Vektoren werden in einem 2-dimensionalen Raum (auch ...
  3. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    ... bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen. Basisvektoren Die drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt. Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung dar, die ...
  4. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt und Winkel
    ...  $\vec{a} \cdot \vec{b}$  aus den Koordinaten der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnen und daraus den Winkel $\cos (\varphi)$ ermitteln. Berechnung Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$ Winkelberechnung $\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ Anwendungsbeispiel: ...
  5. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    ... stellen Ortsvektoren dar, welche jeweils im Koordinatenurpsrung beginnen und auf die beiden Punkt $A(8,-3,-5)$ und $B(5,5,-6)$ zeigen. Die beiden Endpunkte sind also $A$ und $B$. Es soll nun der Abstand zwischen diesen Punkten bestimmt werden. Der Abstand entspricht also gleich der Länge des Vektors, welcher zwischen diesen beiden Punkten liegt. Hierbei kann man den Vektor $\vec{AB}$ oder den Vektor $\vec{BA}$ heranziehen, beide weisen dieselbe Länge auf. Es gilt: $\vec{AB} = \vec{b} - ...
  6. Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Polarkoordinaten
    Polarkoordinaten
    ... (Polarwinkel) kennzeichen lässt: Polarkoordinaten Umformung von kartesische in polare Koordinaten Kartesische Koordinaten:  $x$  und $y$. Polarkoordinaten: $r$  und $\varphi$. (1)  $z = x + iy = r (cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$ (2)  $x = r \cdot cos \varphi$     (3)  $y = r \cdot sin \varphi$  (4)  $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (5) $ \tan \varphi = \frac{y}{x}$ Berechnung des Winkels  Winkel werden meist in Bogenmaß angegeben. Das bekannte Gradmaß  $\hat{\varphi}$ ...
  7. Trigonometrische Funktion
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion
    Trigonometrische Funktion
    ... ein Punkt $P$ auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten $(x, y)$. Wie lautet der Punkt auf dem Einheitskreis wenn $\alpha =  30°$ ? $\cos(30) \approx 0,87 \rightarrow x = 0,87$ $\sin(30) = 0,5 \rightarrow y = 0,5$ $P(0,87|0,5)$ Berechnung eines Punktes auf dem Einheitskreis Definition im Rechtwinkligen Dreieck mittels Kehrwertfunktionen:Kosekansfunktion: $ csc \alpha = \frac{1}{sin \alpha}$Sekansfunktion: $ sec \alpha = \frac{1}{cos \alpha}$
  8. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
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    Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    ... welcher seiner Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems hat, unterteilt man die 4 Bereiche, in denen sich der jeweilige Winkel befindet, in Quadranten. Die Bereichseinteilung erfolgt mit Hilfe der Kreiszahl $\pi $. Wobei $\pi$ die Maßeinheit Radiant ist. Ausgedrückt in Bogenmaß ist $\pi$ Radiant $= 180$ Grad. Der Vollwinkel hat demnach $2\pi$ Radiant $= 360$ Grad und $\frac{\pi}{2} = 90°$.Bereich I $ = 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Bereich II $ = \frac {\pi}{2} < \alpha < ...
  9. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Ableitungen
    ... Speziell in zwei- oder mehrdimensionalen Koordinatensystemen kann mittels Ableitungen bestimmt werden ob ein Graph steigt oder fällt. Außerdem können Sattelpunkte, Wendepunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden. Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und Tiefpunkt In der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. Der $\color{blue}{\mathbf{blaue}}$ ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kräftepolygon in der Ebene
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftepolygon in der Ebene
    Kräftepolygon in der Ebene
    ... unabhängig von einer bestimmten Wahl des Koordinatensystems. Parallelogrammkonstruktion Diese geometrische Konstruktion entspricht einer Vektoraddition. Bei dieser genügt es ein Kräftedreieck zu zeichnen. Dabei reiht man die Kraftvektoren in beliebiger Reihenfolge aneinander. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt vom Anfangsvektor und dem Endpunkt vom Endvektor.  Grafische Vektoraddition Kräftepolygon Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon ...
  2. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Einzelne parallele Kräfte
    ... die gesuchten Abstände $ x_s $ und $ y_s $ vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt $ S $: $\ x_s = \frac{\sum x_i F_i}{\sum F_i} $ und $\ y_s = \frac{\sum y_i F_i}{\sum F_i} $.   Anwendungsbeispiel: Schwerpunkt im Raum Schwerpunkt im Raum In der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 N$, $F_2 = 20 N$ und $F_3 = 15 N$ abgebildet, die auf den dreidimensionalen Körper wirken. Sei $x_1 = 3m$, $x_2 = 3m$ und $x_3 = 2m$, sowie $y_1 = 1m$, $y_2 = 3m$ und $y_3 = 5m$. Wie groß ist die Haltekraft ...
  3. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... in positive Richtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Drehung um die $y$-Achse entgegen des Uhrzeigersinns vor. Zeigt der Normalenvektor $n$ eines Schnittufers in die negative $x$-Richtung, so spricht man entsprechend von einem negativen Schnittufer. In diesem Fall zeigen alle ...
  4. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... Hierbei besitzen $ R $ und $ M $ nun drei Koordinatenrichtungen $ [x,y,z] $. $\ R= \left(\begin {array}{c} N \\ Q_y \\ Q_z \end {array}\right) \rightarrow $ N ist die Normalkraft in x-Richtung. Bei den anderen beiden Kräften handelt es sich um die bekannten Querkräfte, welche senkrecht zur x-Achse wirken.  $\ M= \left(\begin {array}{c} M_T \\ M_y \\ M_z \end {array}\right) \rightarrow  M_T $ ist die Drehung um die x-Achse und wird als Torsion bezeichnet. Eine Torsion kann im Gegensatz ...
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Produktion

  1. Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung > Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    ... Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt. Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms 1. Einzeichnen der Restriktionen Die Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form: $ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $  Um $x_1$ einzuzeichnen, wird ...
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