Technische Mechanik 1: Statik

  1. Resultierende grafisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen
    Beispiel grafische Vektoraddition Resultierende
    ... unabhängig von einer bestimmten Wahl des Koordinatensystems.Parallelogrammkonstruktion Diese geometrische Konstruktion entspricht einer grafischen Vektoraddition. Hierbei werden die auf den Körper wirkenden Kräfte in einer beliebigen Reihenfolge aneinandergereiht. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt des Anfangsvektors und dem Endpunkt des Endvektors. Grafische Vektoraddition Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon ...
  2. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Krftegleichgewicht ermitteln
    ... nun alle Kräfte mit ihrem Fuß in den Koordinatenursprung gelegt, so kann man die Kräftezerlegung für die Kräfte $F_1$ und $F_2$ vornehmen, da diese weder in $x$- noch in $y$-Richtung wirken. ($F_G$ ist bereits eine Kraft in $y$-Richtung). Die Kräftezerlegung für $F_1$ erfolgt dabei im 1. Quadranten des Koordinatensystems mit:$F_{1x} = F_1 \cdot \cos(30°)$      zeigt in positive $x$-Richtung$F_{1y} = F_1 \cdot \sin (30°)$     ...
  3. Bestimmung von Momenten
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Bestimmung von Momenten
    Bestimmung von Momenten 3
    ... addieren. Dazu stellt man sich $F_1$ in einem Koordinatensystem vor. Die Kraft $F_1$ würde im 4. Quadraten liegen. Die Berechnung erfolgt:$R_x = F_1 \cos (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_x$ zeigt zur positiven x-Achse)$R_y = F_1 \sin (45) = F_1 \cdot 0,71$.     ($R_y$ zeigt zur negativen y-Achse)Die Momentenberechnung erfolgt nun so, dass man ausgehend von der Lage von $F_1$ die Resultierende $R_x$ solange parallel zu sich selbst nach unten verschiebt bis diese den Bezugspunkt ...
  4. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Beispiel: Resultierende ebener Krftegruppen
    ... den Betrag von 20 N. Für den Ursprung des Koordinatensystems soll der Bezugspunkt $A$ (genau die Mitte des Sechsecks) gewählt werden. Wie groß ist die Resultierende und wo befindet sich ihre Lage? Zuerst sollte man wissen, wie sich in einem gleichseitigen Sechseck die Winkel verhalten:gleichseitiges SechseckMan kann ein gleichseitiges Sechseck in 6 gleichschenklige Dreiecke unterteilen. Die Spitzen der Dreiecke (in der Mitte) müssen zusammen 360° ergeben. Das Dreieck ...
  5. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel Gleichgewicht
    ... nächstes wird das Koordinatensystem zur Bestimmung der Kräfte eingezeichnet. Es wird hier der Bezugspunkt $C$ (siehe Ausgangsgrafik) gewählt und die Kräfte parallel zu sich selbst bis zu diesem Punkt verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze:Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet:$\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$verkürzt: $W_1 + S \cos ...
  6. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum - Koordinatensystem
    ... Dazu benötigt man das Einzeichnen des Koordinatensystems. Der Bezugspunkt $X$ ist dabei der Koordinatenursprung. Die Kräfte werden solange parallel zu sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden. Kräfte im Raum - KoordinatensystemBerechnung der Teilresultierenden$R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg)$= -F_1 - F_3 = -5 - 10 ...
  7. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkt im Raum
    ... gesuchten Abstände $ x_s $ und $ y_s $ vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt $ S $:$\ x_s = \frac{\sum x_i F_i}{\sum F_i} $ und$\ y_s = \frac{\sum y_i F_i}{\sum F_i} $.  Anwendungsbeispiel: Schwerpunkt im RaumSchwerpunkt im RaumIn der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 N$, $F_2 = 20 N$ und $F_3 = 15 N$ abgebildet, die auf den dreidimensionalen Körper wirken. Sei $x_1 = 3m$, $x_2 = 3m$ und $x_3 = 2m$, sowie $y_1 = 1m$, $y_2 = 3m$ und $y_3 = 5m$. Wie groß ist die ...
  8. Flächenschwerpunkte
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schwerpunkte > Flächenschwerpunkte
    Flchenschwerpunkt
    ... der Teilflächen eintragen3. Bezugskoordinatensystem festlegen. Das Bezugskoordinatensystem kann beliebig gewählt werden. Die Abmessungen vom Ursprung des Bezugskoordinatensystems zu den Schwerpunkten müssen gegeben sein.4. Abstände in $x$ und $y$-Richtung bestimmen (sofern $x,y$-Koordinatensystem zugrunde liegt). Dabei auf negative und positive Abstände achten. Ausgehend vom Bezugskoordinatensystem wird der Abstand positiv gewählt, wenn man sich zum Schwerpunkt ...
  9. Linienschwerpunkte
    Schwerpunkte > Linienschwerpunkte
    Linienschwerpunkt Kreisausschnitt
    ... Die Frage ist nun, in welchem Abstand zum Koordinatenursprung dieser auf der $x$-Achse liegt. Im Folgenden soll dies anhand eines Viertelkreisbogens veranschaulicht werden.Linienschwerpunkt KreisausschnittIn der obigen Grafik (2) ist aus dem Kreisausschnitt ein infinitesimal kleiner Ausschnitt mit der Breite $ds$ gewählt worden. Dieser wird mit $ds = R \cdot d\varphi$ zu einer Linie approximiert (rote Linie). Der Schnittpunkt mit der x-Achse dieser roten Linie (gestrichelte Linie) wird ...
  10. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... erfolgen:In der obigen Grafik ist das $x,y,z$-Koordinatensystem eingeführt worden und die Lagerkräfte sowie die Abmessungen eingezeichnet worden. Das Lager $A$ überträgt nur Kräfte senkrecht zur Kurbel, d.h. keine Kraft in $x$-Richtung (da dies eine parallele Kraft zur Kurbel darstellen würde). Das Lager $B$ hingegen überträgt Kräfte in alle drei Raumrichtungen. Die Richtungen der Lagerkräfte werden zunächst so wie eingezeichnet angenommen. ...
  11. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Faser und Achsen
    ... positive Achsenrichtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Linksdrehung (positiver Drehsinn) um die $y$-Achse vor. Demnach ist in diesem Fall das linke Schnittufer gleichzeitig das positive Schnittufer.Zeigt der Normalenvektor $n$ eines Schnittufers in die negative ...
  12. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken
    ... die folgende Vorgehensweise:1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist.2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte.3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, in denen ein Belastungswechsel durch äußere Kräfte und Momente auftritt.4. Einzeichnen aller Schnittgrößen am positiven (linken) ...
  13. Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... bestimmen. Dazu betrachten wir diesen in einem Koordinatensystem: Dabei ist $b$ der Beginn der Funktion auf der $y$ bzw. $q(x_1)$ Achse und $m$ die Steigung (negativ) der rot eingezeichneten Funktion. Die Geradengleichung ergibt sich dann wie folgt:$q(x) = mx + b$$q(x_1) = - \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1  + 3 kN/m$ Als nächstes bestimmen wir die Schnittgrößen. Die Normalkraft wird aus der Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung bestimmt.$\sum F_{ix} = 0$: $N_1 ...
  14. Schnittgrößen am Bogen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Bogen
    Biegemoment am Bogen
    ... wirkt in Richtung der negativen $y$-Achse. Das Koordinatensystem mit eingezeichneter Querkraft und Normalkraft, sowie den Lagerkräften $A_h$ und $A_v$, sieht wie folgt aus:Schnittgrößen am Bogen: KoordinatensystemDer Winkel von 35° wurde übernommen. Die gestrichelten Linien (Hilfslinien) bilden einen 90° Winkel. Die Querkraft und Normalkraft bilden auch einen 90° Winkel, da die Normalkraft auf der positiven $x$-Achse liegt und die Querkraft auf der negativen $y$-Achse. ...
  15. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... besitzen $ R $ und $ M $ nun drei Koordinatenrichtungen $ [x,y,z] $.$\ R= \left(\begin {array}{c} N \\ Q_y \\ Q_z \end {array}\right) \rightarrow $ N ist die Normalkraft in x-Richtung. Bei den anderen beiden Kräften handelt es sich um die bekannten Querkräfte, welche senkrecht zur x-Achse wirken. $\ M= \left(\begin {array}{c} M_T \\ M_y \\ M_z \end {array}\right) \rightarrow  M_T $ ist die Drehung um die x-Achse und wird als Torsion bezeichnet. Eine Torsion kann ...
  16. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... der rechten Grafik ist das Koordinatensystem eingezeichnet mit dem Winkel $\alpha$. $H$ und $F$ befinden sich beide auf der $x$-Achse nur entgegengesetzt mit dem Winkel $\alpha$ zur Hilfslinie (gestrichelte Linie). $N$ zeigt in Richtung der positiven $y$-Achse. Mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen können jetzt die fehlenden Größen ermittelt werden. Die Berechnung der Winkel erfolgt hier immer zur positiven $x$-Achse hin:Pfeil nach links oben ($y$-Achse): ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Darstellungsarten ebener Kurven
    Darstellungsarten ebener Kurven
    ... Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1 $ und4. Parameterdarstellung $\vec{x} = \vec{x}(t) = \left(\begin{array}{c}\ x(t) \\ y(t) \end{array}\right), t_0 \le t \le t_1$.
  2. Polarkoordinatendarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung
    Polarkoordinatendarstellung
    ... es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen.Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom ...
  3. Parameterdarstellung
    Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung
    Vektordarstellung
    ... beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis).ParameterdarstellungAbhilfe schafft hier die Einführung ...
  4. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Beispiel: Tangentenvektor
    ... (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ ...
  5. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Normalenvektor
    ... -\dot{y} \\ \dot{x} \end {array}\right)$Polarkoordinaten$\ r = r(\varphi)$$\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -r\ cos\varphi - \dot{r}\ sin \varphi \\  -r\ sin\varphi + \dot{r}\ cos \varphi \end {array}\right)$$\ |\vec{n}| = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} $Explizite DarstellungGegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$ und der Punkt $(2, \ 4)$. Wie sieht der dazugehörige Normalenvektor aus?Der Normalenvektor bei der expliziten Darstellung ergibt sich:$\vec{n}= (-f'(x), \  1) = (-2x, \ 1)$Im ...
  6. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen. DarstellungsartKurvenlänge $ L$Bogenelement $ ds$kartesisch:$\ y = f(x) $$\ a \le  x \le b $$\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx $$\sqrt{dx^2 + dy^2} $$ = \sqrt{1 + f'^2} dx$Parameter:$\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t)\end{array}\right) $$\ t_0 \le t \le t_1 $$\int\limits_{t_1}^{t_2} ...
  7. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krmmung
    ... + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$Polarkoordinaten$r = r(\varphi)$$\kappa(\varphi) = \frac{r^2 + 2r^2 - r\ddot{r}}{(r^2 + \dot{r}^2)^{\frac{3}{2}}}$Negative KrümmungGegeben sei die Funktion: $f(x) = x^3 - x$ in expliziter Darstellung. Die Krümmung soll für $x_1 = -0,5$ bestimmt werden.Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor Zum besseren Verständnis wird der Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe entsprechende Kapitel).Der dazugehörige ...
  8. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktion mit mehreren Vernderlichen
    ... Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen. Es sei die Funktion: $z = ...
  9. Stetigkeit und Unstetigkeit
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit
    ... im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) ...
  10. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:$x = r \cos (\varphi)$$y = r \sin (\varphi)$und lässt $r$ gegen Null laufen.Einsetzen in die gegebene Funktion:$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) ...
  11. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, ...
  12. Formelsammlung
    Formelsammlung
    ... + c \cdot y^2 + d \cdot x + e \cdot y + f$Polarkoordinatendarstellung (Umrechnung in kartetische Koordinaten)$x = r(\varphi) \cos (\varphi)$$y =  r(\varphi) \sin (\varphi)$Parameterdarstellung (Fester Wert)$\begin{equation} K := \begin{cases}x = x(t) \\ \; \; \; & t \in [a, b] \\ y = y(t) \end{cases} \end{equation}$Kurveneigenschaften im ebenen RaumTangentenvektor$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$DarstellungsartenKurvePunkt ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Trigonometrische Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen
    Winkelfunktionen
    ... am Einheitskreis (ein Kreis mit dem Zentrum im Koordinatenursprung mit Radius $1$) berechnen. So sind uns nicht nur alle Winkel bis $360°$, sondern auch negative Winkel zugänglich.Sekanten- und Tangentenabschnitte am EinheitskreisBerechnung am Einheitskreis:Sinusfunktion:Ordinate von B: $y = sin \alpha = |\overline{AB}|$Kosinusfunktion:Abszisse von B: $y = cos \alpha = |\overline{0A}|$Tangensfunktion:Haupttangentenabschnitt: $y = tan \alpha = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = |\overline{CD}|$sowieKosecansfunktion:Abstand ...
  2. Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    Die Quadranten des EinheitskreisesDas Koordinatensystem unterteilt den Einheitskreis in vier Quadranten:Quadrant I: $\; 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Quadrant II: $\; \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$Quadrant III: $\; \pi < \alpha < \frac {3}{2} \pi$Quadrant IV: $\; \frac {3}{2} \pi < \alpha < 2 \, \pi$Quadranten des EinheitskreisesWinkel die im Uhrzeigersinn überstrichen werden, sind negativ, Winkel die gegen den Uhrzeigersinn überstrichen werden positiv. Das Bogenmaß ...
  3. Produktmengen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen
    ... man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter von geordneten Paaren $(x,y)$ in der Koordinatenebene.Gegeben seien die Mengen $A = \{1,2,3,4 \}$ und $B = \{X,Y,Z \}$.$A$ besitzt vier Elemente, $B$ drei Elemente. Die neue Menge $M = A \times B$ müsste also $4 \cdot 3 = 12$ Elemente besitzen.Wir erhalten somit:$A \times B = \{ (1, X), (2, X), (3, X), (4, X),(1, Y), (2,Y), (3, Y), (4, Y),(1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z) \}$. Zudem ist ...
  4. Einführung in die Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung
    Vektor aus zwei Punkten
    ... Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ . \\ . \\ . \\ n \end{array} \right)$Vektoren werden in einem 2-dimensionalen ...
  5. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung
    ... bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.BasisvektorenDie drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung ...
  6. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht bekannt sein muss:Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$Für die geometrische Berechnung verwendet man die Formel, die den Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält:Skalarprodukt: ...
  7. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
    ... stellen Ortsvektoren dar, welche jeweils im Koordinatenurpsrung beginnen und auf die beiden Punkte $A(8,-3,-5)$ und $B(5,5,-6)$ zeigen.Die beiden Endpunkte sind also $A$ und $B$. Es soll nun der Abstand zwischen diesen Punkten bestimmt werden. Der Abstand entspricht also gleich der Länge des Vektors, welcher zwischen diesen beiden Punkten liegt. Hierbei kann man den Vektor $\vec{AB}$ oder den Vektor $\vec{BA}$ betrachten, beide weisen dieselbe Länge auf. Es gilt:$\vec{AB} = \vec{b} ...
  8. Geraden im Raum
    Vektorrechnung > Geraden im Raum
    Geraden im Raum
    ... durch den UrsprungEine Gerade durch den Koordinatenursprung wird allgemein definiert als:$G: \vec{x} = t \cdot \vec{v}$ mit$t \in \mathbb{R}$ = Parameter$\vec{v}$ = RichtungsvektorDie Gerade mit obiger Gleichung verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ zeigt dabei die Richtung der Geraden an, der Parameter $t$ die Länge der Geraden. In der folgenden Grafik ist der Richtungsvektor $\vec{v} = \{1,3,0\}$ zu sehen. Wir haben $x_3 = 0$ gesetzt, damit wir ...
  9. Linearkombination von Vektoren
    Vektorräume > Linearkombination von Vektoren
    ... \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 2$  (x-Koordinaten)$4 = \lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (y-Koordinaten)$6 = \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (z-Koordinaten) Alles auf eine Seite bringen:(1) $\; \lambda_1  + \lambda_2  + 2 \lambda_3 - 1 = 0$(2) $\; 2 \lambda_1  + \lambda_2 + \lambda_3 - 4 = 0$(3) $\; \lambda_1 + \lambda_2  + \lambda_3 - 6 = 0$Wir können die Unbekannten $\lambda_1$, ...
  10. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    IV. Quadrant
    Durch den Abstand $r$ (Radius) vom Koordinatenursprung lässt sich die Lage eines Punktes ermitteln. Dabei ist $\vec{r}$ der Vektor, der auf den Punkt zeigt und $r = |\vec{r}|$ ist die Länge des Vektors. Dieser Zusammhang wurde bereits im Kapitel Vektorrechnung behandelt. Ist der Vektor $\vec{r} \neq (0,0)$ (also vom Nullvektor verschieden), dann ist die Länge des Vektor größer null: $r > 0$. Wie du in der folgenden Grafik siehst, existiert dann ein Winkel $\varphi$, welcher ...
  11. Gebrochenrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
    ... einer Funktion mit zunehmendem Abstand vom Koordinatenursprung annähert, ohne dass sich beide in ihrem Verlauf irgendwo berühren.Nähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade parallel zur $y$-Achse an, so spricht man von einer senkrechten Asymptote.Die waagerechte Asymptote ist eine der $x$-Achse parallelen Gerade für $x \to \pm \infty$.Nähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade an, die zu keiner der Achsen des Koordinatensystems parallel verläuft, ...
  12. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Funktionen mit Steigung, Sattel- und Wendepunkten
    ... Speziell in zwei- oder mehrdimensionalen Koordinatensystemen kann mittels Ableitungen bestimmt werden ob ein Graph steigt oder fällt. Außerdem können Sattelpunkte, Wendepunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden.Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und TiefpunktIn der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. ...
Analysis und Lineare Algebra
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Bestimmung der Normalkraft
    ... indem man sich diese rote Gerade in einem Koordinatensystem vorstellt. Hierbei wird nur der obere Teil des konischen Stabes betrachtet, weil der Radius und nicht der Durchmesser betrachtet wird:Geradengleichung Dabei stellt $r_0$ den $y$-Wert dar, bei dem die Gerade beginnt. Die Gerade kann dann mittels der Geradengleichung $f(x) = ax + b$ berechnet werden. Hierzu werden die Randpunkte betrachtet:$r(x = 0) = r_0$$r(x = l) = 3r_0$Es ist schon mal ersichtlich, dass die Gerade bei $r(0) ...
  2. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen.Normalspannung und DehnungNormalspannung und Dehnung in x-Richtung:$\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung]$\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung] ...
  3. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems ist [Elastische Isotropie].Die Gleichung für einen Baustahl mit einer Querkontraktionszahl von $\nu = 0,3 $ hat die Form:$\ G = \frac{E}{2 \cdot ( 1 + \nu)} \rightarrow  G \approx \frac{3}{8} E \approx 0,4 E $.Daraus lässt sich ableiten, dass ein elastischer, isotroper Körper zwei unabhängige Materialkonstanten hat. Entweder $ E$ und $ G$ oder $ E$ und $\nu $. Erfüllt ein Körper nicht die Eigenschaft ...
  4. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Beispiel: Stabzweischlag
    ... indem man die Stäbe $S_1$ und $S_2$ in ein Koordinatensystem legt und dupliziert (und dabei dreht). Man wird dann erkennen, dass die gestrichelte graue Linie den Stab $S_1$ widerspiegelt und die schräge Linie (dick schwarz) den Stab $S_2$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass diese einen Abstand vom Winkel $\alpha$ besitzen.Verschiebung In der obigen Grafik sind die Stäbe $S_1$ und $S_1$ solange gedreht worden, bis das gedrehte $S_2$ (gestrichelte Linie) im rechten Winkel ...
  5. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Spannungskomponenten in der Ebene
    ... des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Spannungskomponenten in der Ebene Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $ Es wird nun der Einfluss ...
  6. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Schubspannungen und Normalspannungen
    ... zur $x$-Achse!Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und ...
  7. Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Beispiel Koordinatentransformation Elastostatik
    ... diesem Abschnitt wird ein weiteres Beispiel zur Koordinatentransformation aufgezeigt.Beispiel: Koordinatentransformation mit unterschiedlichen SchnittrichtungenGegeben sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen a-a und b-b bekannt sind.Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt c-c!Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich ...
  8. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Zug- und Druckstab
    ... Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):Zug- und Druckstab Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung vonGleichgewichtsbedingungen führt zu:$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$$\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $$\nwarrow ...
  9. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Drehung des Koordinatensystems
    ... die Spannungen Extremwerte annehmen.Drehung des Koordinatensystems In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe Grafik b). Dazu wird folgendermaßen vorgegangen:1. Ableitung von $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$ nach $\alpha$ und Nullsetzen dieser. 2. Den ermittelten Winkel (Hauptrichtungen) einsetzen in die Ausgangsgleichung $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$.3. ...
  10. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    ... der Winkel also um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptschubspannung auftritt, wird bestimmt zu:$\frac{1}{\tan (2\alpha^{**})} = - \frac{2\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)}$Um den Winkel zu bestimmen, muss die Gleichung nach $\alpha^{**}$ aufgelöst werden:$2 \alpha^{**} = \tan^{-1} ( - \frac{(\sigma_x - \sigma_y)}{2\tau_{xy}})$Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch $2$ zu teilen. Resultiert ein positiver Winkel, so erfolgt die ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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