Homogene Differentialgleichung

Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

1. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

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   ... der inhomogenen Differentialgleichung Inhomogene Differentialgleichung $y_S$ stellt dabei eine Lösung der inhomogen Differentialgleichung mit der Form $y' + a(x) \; y = r(x) $ dar. $y_S$ wird berechnet durch: $y_S = e^{-A(x)} \cdot \int r(x) e^{A(x)} dx$    mit $A(x) = \int a(x) \; dx$ Homogene Differentialgleichung Die dazugehörige homogene Differentialgleichung $ y_H $ hat die Eigenschaft  $y' + a(x) \; y = 0 $. $y_H$ wird berechnet durch: $y_H = c \; e^{-A(x)} ...

2. Differentialgleichung höherer Ordnung

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   ... \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung. Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung Die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung ist ein n-dimensionaler linearer Raum, welcher die Eigenschaft besitzt, dass sowohl die Summe zweier Lösungen, als auch das Vielfache einer Lösung, wiederum eine Lösung ergibt. Da jeder linearer Raum eine Basis besitzt, existieren auch n-Basislösungen der Differentialgleichungen $ y_1, y_2,...y_n $, mit Hilfe ...

3. Homogene Differentialgleichungen

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   Es wurde bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt. Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt.  Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $.  Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die Gesamtlösung ...

4. Inhomogene Differentialgleichungen

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   ... + ... + a_1(x)y´+ a_0(x)y = r(x)$ und die homogene Differentialgleichung $y_H$ $y^{n} + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1(x)y´+ a_0(x)y = 0$ Die inhomogene unterschiedet sich von der homogenen Differentialgleichung indem $r(x) \not= 0$. Ist $y_h$ die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und $y_S$ die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung so gilt: $y_A = y_H + y_S$ Man berechnet also zuerst die Lösung der homogenen Differentialgleichung $y_H = c_1y_1 ...

5. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

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   ... relativ einfach gelöst werden.  Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Ist die Differentialgleichungen der Form  $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = s(x) $ , mit Konstanten $ a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung  $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $ mit Hilfe des Ansatzes  $\ y = e^{\lambda x}$. Hieraus erhält man die charakteristische Gleichung $\lambda^n ...