Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
Obwohl die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung $\ y' = f(x,y) $ problematisch ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können. Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt:Differentialgleichungen mit getrennten Variablen,Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,Bernoulli Differentialgleichungen,Ricatti Differentialgleichungen, und exakte Differentialgleichungen. Abschließend wird ...Differentialgleichung höherer Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung
... \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung.Gesamtlösung der homogenen DifferentialgleichungDie Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung ist ein n-dimensionaler linearer Raum, welcher die Eigenschaft besitzt, dass sowohl die Summe zweier Lösungen, als auch das Vielfache einer Lösung, wiederum eine Lösung ergibt.Da jeder linearer Raum eine Basis besitzt, existieren auch n-Basislösungen der Differentialgleichungen $ y_1, y_2,...y_n ...Gewöhnliche Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen
In der Mathematik spricht man bei einer Gleichung, deren Ableitungen lediglich von einer Variablen abhängig sind, von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im anderen Fall spricht man von der bisher bekannten partiellen Differentialgleichung.Zudem lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung auch nach Merkmalen kategorisieren, die in der folgenden Übersicht aufgelistet sind:FormHierbei stellt $\ F(x,y,y',... y^{(n)} ) = 0 $ die implizite Form einer ...Inhomogene Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
... + ... + a_1(x)y´+ a_0(x)y = r(x)$und die homogene Differentialgleichung $y_H$$y^{n} + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1(x)y´+ a_0(x)y = 0$Die inhomogene unterschiedet sich von der homogenen Differentialgleichung indem $r(x) \not= 0$.Ist $y_h$ die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und $y_S$ die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung so gilt:$y_A = y_H + y_S$Man berechnet also zuerst die Lösung der homogenen Differentialgleichung $y_H = c_1y_1 ...Homogene Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
Es wurde bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt.Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $. Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die ...Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
... der inhomogenen DifferentialgleichungInhomogene Differentialgleichung$y_S$ stellt dabei eine Lösung der inhomogen Differentialgleichung mit der Form$y' + a(x) \; y = r(x) $dar.$y_S$ wird berechnet durch:$y_S = e^{-A(x)} \cdot \int r(x) e^{A(x)} dx$ mit $A(x) = \int a(x) \; dx$Homogene DifferentialgleichungDie dazugehörige homogene Differentialgleichung $ y_H $ hat die Eigenschaft $y' + a(x) \; y = 0 $.$y_H$ wird berechnet durch:$y_H = c \; e^{-A(x)} $ mit ...Bernoulli Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
... erhält man eine lineare parametrisierte inhomogene Differentialgleichung. $\frac{1}{1 - \alpha} u' + a(x) \cdot u = r(x)$Anschließend Löst man die Gleichung und substituiert $ u = y^{1-\alpha} $ zurück.Anwendungsbeispiel: Bernoulli DifferentialgleichungLöse die folgende Differentialgleichung $y' + \frac{y}{x} - x^2 \sqrt[3]{y} = 0 $. 1. Man formt zuerst um und erhält mit$y' + \frac{1}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{3}} $ mit $ \alpha = \frac{1}{3} $ eine ...Ricatti Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
Die Riccati Differentialgleichung besitzt die Form$\ y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) $. Hierbei ist ein generelles Lösungsverfahren nicht bekannt. Hat man es jedoch geschafft eine spezielle Lösung für $ y_1 $ zu ermitteln. Lässt sich auch diese Differentialgleichung durch Substitution in eine lineare Differentialgleichung in $ u $ überführen. SubstitutionMan substituiert zuerst $ u = \frac{1}{y-y_1} $. Aus dieser Substitution erhält man für ...Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
... relativ einfach gelöst werden. Homogene Differentialgleichung mit konstanten KoeffizientenIst die Differentialgleichungen der Form $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = s(x) $ ,mit Konstanten $ a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $mit Hilfe des Ansatzes $\ y = e^{\lambda x}$.Hieraus erhält man die charakteristische ...Integrierender Faktor
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Integrierender Faktor
Der Integrierende Faktor, auch Eulerscher Multiplikator genannt, kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Differentialgleichung nicht exakt ist. Er macht die Differentialgleichung exakt und erlaubt dadurch diese direkt zu integrieren. Der integrierende Faktor ist eine Funktion der Form $\mu(x,y) $.Vorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden FaktorsAusgangssituation: $\ p_y (x,y) \not= q_x (x,y) $1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:$ \mu(x,y) p(x,y)\ dx + \mu(x,y)q(x,y)\ ...Formelsammlung
Formelsammlung
... 1. Ordnung$y' + a(x) \; y = r(x)$Inhomogene Differentialgleichung$y' + a(x) \; y = r(x) $$y_S = e^{-A(x)} \cdot \int r(x) e^{A(x)} dx$ mit $A(x) = \int a(x) \; dx$Homogene Differentialgleichung$y' + a(x) \; y = 0 $.$y_H = c \; e^{-A(x)} $ mit $A(x) = \int a(x) \; dx$.Bernoulli-Differentialgleichung$ y' + a(x)y = r(x) y^{\alpha}$ mit$\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \not= 0, 1 $$y^{-\alpha} \cdot y' + a(x) y^{ 1 - \alpha} = r(x)$Substitution ...Exakte Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
Eine exakte Differentialgleichung hat die Form$p(x, y) + q(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$ bzw. $p(x, y) + q(x,y) y´ = 0$mit $p(x,y) = M$ und $q(x,y) = N$Ist eine solche exakte Differentialgleichung gegeben, dann muss es zu jeder Lösung eine Konstante $c$ geben, so dass die implizite Gleichung$F(x,y) = c$ erfüllt ist.Ihre Stammfunktion $F(x,y)$ ist eine stetig differenzierbare Funktion für die gilt$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = p(x,y)$und$\frac{\partial ...Spezielle Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen
In der Mathematik existieren eine Reihe von speziellen Differentialgleichungen, die mit den bisher kennengelernten Lösungsverfahren kein analytisches Resultat liefern. Da für diese Typen keine analytische Lösungsmöglichkeit besteht, wurden Variablentransformationen entwickelt, mit deren Hilfe ein solches System in den gewohnten Typ einer Differentialgleichung überführt werden kann. Dieser Transformationsprozess sei anhand der Bernoulli und der Riccati Differentialgleichung ...Richtungsfeld und Isoklinen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
Thema dieses Kurstextes sind das Richtungsfeld und die Isoklinen. RichtungsfeldIst eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, also $\ y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern ...Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Eine Differentialgleichung, welche die Form$ y' = f(x) \cdot g(y) $ Trennung der Veränderlichen T.d.Vbesitzt, nennt man Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Um hieraus Lösungen zu erhalten, bedient man sich der Methode der "Trennung der Veränderlichen":$\ y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $.Aus ...Anfangswertprobleme formulieren und lösen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
Ein Anfangswertproblem liegt vor, wenn gefordert wird, dass die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden. Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.Die Lösung dieses Anfangswertproblems ...Approximierte Potenzreihe
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren > Approximierte Potenzreihe
Nach Abbruch des Iterationsverfahrens von Picard-Lindelöf wird in diesem Abschnitt gezeigt, wie man eine approximierte Potenzreihe aus der ermittelten Polynomfunktion bildet. Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, wird im nächsten Abschnitt gezeigt, wie man diesen Fehler abschätzt.Approximierte PotenzreiheDie entstandene Polynomfunktion nach dem 3. Iterationsschritt kann man auch als approximierte Potenzreihe schreiben. Die Polynomfunktion ...Fehlerabschätzung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren > Fehlerabschätzung
Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, soll im folgenden gezeigt werden wie man diesen Fehler abschätzt.Die Folge $y_n$ konvergiert auf dem Intervall $I$ gleichmäßig gegen die Lösung $y$:$|y(x) - y_n(x)| \le \frac{(\alpha L)^n}{n!} e^{\alpha L} \max\limits_{x \in I} |y_1(x) - y_0(x)|$Die Fehlerabschätzung erfolgt, indem wir die Lipschitzkonstante innerhalb eines Intervalls festlegen. Das Intervall muss noch bestimmt werden. Das Intervall ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Differentialgleichung eines Stabes
Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
In den vorherigen Kapiteln sind die Spannungen und Verformungen aufgezeigt worden, welche durch äußere Belastungen an einem Stab auftreten können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann.Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden:1. Die Gleichgewichtsbedingung2. Die kinematische Beziehung3. Das Elastizitätsgesetz.GleichgewichtsbedingungDie ...Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
In diesem Abschnitt werden nochmals alle bereits vorgestellten Gleichungen für den Stab aufgeführt.Die Anwendung der hier aufgestellten Gleichungen für den Stab werden in den folgenden Abschnitten mit Hilfe von Übungsbeispielen aufgezeigt.Bestimmung der Normalspannung und DehnungHat man aus den Gleichgewichtsbedingungen die Normalkraft berechnet, so kann daraus die Normalspannung $\sigma$ bestimmt werden:$\sigma = \frac{N(x)}{A}$. NormalspannungMithilfe ...Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
In diesem Abschnitt wird die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie für eine einachsige Biegung hergeleitet. Das Video wird geladen...(dgl-biegelinie)Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt:$ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $ Ferner ist auch diese Gleichung interessant:$\tau_{xz} = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft:$ Q = \int_A \tau_{xz} dA $Setzt man ...Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
Bei statisch bestimmten Stabwerken ist es immer möglich die äußere Belastung und die Normalkraft $N(x)$ aus den Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen. Eine Temperaturänderung verursacht bei statisch bestimmten Problemen lediglich Wärmedehnungen und keine zusätzlichen Spannungen. Zur Lösung statisch bestimmter Probleme werden die Formeln aus dem voherigen Abschnitt herangezogen. Anwendungsbeispiel: Statisch bestimmte StabwerkeBeispiel: hängender ...Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.Auflösen der Differentialgleichung der BiegelinieUm die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:$EI \cdot w'' = - M_y(x)$mit$EI$ ...Balkenverformung infolge von Schub
Schub > Balkenverformung infolge von Schub
In diesem Abschnitt wird auf die Balkenverformung infolge von Schub eingegangen. Im Kapitel Biegung ist bereits die Durchbiegung des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$ ...Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
In diesem Abschnitt wird die Vorgehensweise zur Berechnung des Balkens für Einbereichsaufgaben erläutert. Hierzu wird das Vorgehen, welches im Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie beschrieben wird, angewandt. Eine Einbereichsaufgabe ist gegeben, wenn der Momentenverlauf $M(x)$ durch eine einzige Funktion für den gesamten Balken beschrieben werden kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn auf dem gesamten Balken eine konstante Streckenlast wirkt oder eine Kraft ...Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
In diesem Abschnitt soll das Beispiel aus dem vorangegangenem Abschnitt nochmals aufgeführt werden. Diesmal handelt es sich allerdings um einen gewichtslosen Balken mit einer Kraft $G = 10N$, welche am Stabende angreift:Beispiel: Normalkraft und Stabverlängerung In der obigen Grafik ist der eingespannte Stab zu sehen. Diesmal soll die Gewichtskraft des Balkens so klein sein, dass diese vernachlässigt werden kann. Am Stabende greift eine Kraft $G = 10 N$ ...Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
In diesem Abschnitt soll nun ein Balken mit einem Eigengewicht von $G = 10 N$ und einer am Stabende angreifenden Kraft von $F = 10 N$ betrachtet werden:Beispiel Normalkraft und Stabverlängerung 2 In der obigen Grafik ist ein eingespannter Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2}$). Der Stab besitzt ein Eigengewicht von $G = 10 N$ und wird am Ende durch eine Kraft von $F = 10 N$ belastet. Die Länge des Stabes betrage $l = 20 cm$ und die Querschnittsfläche sei ...Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
In den vorherigen Abschnitten wurde gezeigt, wie die Normalspannungen und die Biegelinie für die einachsige Biegung bestimmt werden können. Bei der einachsigen Biegung wirkt die resultierende äußere Kraft in Richtung einer der Hauptachsen des Querschnittes, d.h. es lag ein Moment um eine der Hauptachse vor (=einachsige Biegung). In den folgenden Abschnitten wird nun die zweiachsige bzw. schiefe Biegung betrachtet (ohne Zug-/Druckkraft). Hierbei wirkt das Moment nicht mehr ...Balkenverformung bei einachsiger Biegung
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
In den bisherigen Betrachtungen wurden immer nur Biegespannungen untersucht. Nun geht es jedoch zusätzlich darum, auch Aussagen bezüglich Verformungen des Balkens zu treffen. Die Verformung eines durch Biegung belasteten Balkens nennt man Durchbiegung. Die zugehörige Funktion hat den Ausdruck $ w(x) $ und beschreibt die Form der gebogenen Balkenachse. Die Definition für die Durchbiegung ist wie folgt:Unter der Durchbiegung eines Balkens versteht man die Biegelinie der neutralen ...
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Wärmeübertragung: Wärmeleitung
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Poisson´sche und Laplace´sche Differentialgleichung
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Poisson´sche und Laplace´sche Differentialgleichung
Eine Wärmeleitung in einem Festkörper ist immer dann stationär, wenn die Temperaturen an jeder Stelle des wärmeleitenden Körpers sich zeitlich nicht mehr ändern. Im Unterschied zum Temperaturgleichgewicht verbleibt zeitlich unveränderlich über alle Orte im Körper eine bestimmte Temperaturverteilung. Die daraus folgenden Temperaturgradienten sorgen für einen kontinuierlichen, zeitlich konstanten Wärmestrom. Stationäre Temperaturfelder ...Lösungen für eine halbunendliche Wand
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Lösungen für eine halbunendliche Wand
Bei einer eindimensionalen quellenfreien instationären Wärmeleitung in einer ebenen Wand mit unendlich ausgedehnter Wandstärke (x → ∞) und einheitlicher Anfangstemperatur t0 kann bei sprunghafter Änderung der Temperatur an der Wandfläche tW = t(x = 0) anstelle der partiellen Differentialgleichung mit den unabhängigen Variablen x für den Ort und τ für die Zeit eine gewöhnliche Differentialgleichung mit einer einzigen dimen-sionslosen ...Die Fourier´sche Differentialgleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes im Festkörper
Wärmeleitung in Festkörpern > Die Fourier´sche Differentialgleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes im Festkörper
Neben der Berechnung von Wärmeströmen aus einer bekannten Temperaturverteilung mit dem Fourier´schen Gesetz der Wärmeleitung kann auch die Ermittlung einer Temperaturverteilung in einem festen Körper aus den ein- und austretenden Wärmeströmen sowie (wenn vorhanden) den inneren Wärmequellen sein. Kommt es so zur Entstehung von Temperaturunterschieden in einem Körper oder in mechanisch verbundenen Körpern zu Wärmedehnungen, treten mechanische ...Zeitlicher Temperaturverlauf bei einer Blockkapazität
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Zeitlicher Temperaturverlauf bei einer Blockkapazität
Beim Modell Blockkapazität betrachten wir nicht die partielle Differentialgleichung für die eindimensionale instationäre Wärmeleitung und suchen eine Temperaturverteilung t = t(x,τ), sondern greifen uns die Fälle heraus, bei denen eine durchgängig einheitliche Temperatur an jeder Stelle x des Körpers eine Funktion der Zeit τ ist. Die Temperatur in einem solchen Körper, den wir Blockkapazität nennen, ändert sich nur mit der Zeit, ...Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien
Die Fourier´sche Differentialgleichung, die das Temperaturfeld für die instationäre Wärmeleitung beschreibt, haben wir schon kennengelernt.$\frac{\partial t}{\partial \tau} = a \cdot \nabla^2t + \frac{\tilde{\dot q}}{\rho \cdot c_p}$ oder für eine räumliche Betrachtung in kartesischen Koordinaten $\frac{\partial t(x, y, z, \tau)}{\partial \tau} = a \cdot \Big( \frac{\partial^2 t}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 t}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 ...Exakte Lösungen durch Laplace-Transformation bei symmetrischen Randbedingungen
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Exakte Lösungen durch Laplace-Transformation bei symmetrischen Randbedingungen
Jetzt betrachten wir die Fourier´sche Differentialgleichung bei eindimensionaler instationärer Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien mit einer weiteren Einschränkung, nämlich dem Vorliegen symmetrischer Randbedingungen. Dadurch können wir uns bei der Lösung jeweils auf eine Symmetriehälfte beschränken. Wir gehen immer davon aus, dass ein homogener Festkörper über eine einheitliche Anfangstemperatur t0 verfüge und zum Zeitpunkt ...Im homogenen Festkörper mit isotropen Materialverhalten
Wärmeleitung in Festkörpern > Fourier´sches Gesetz der Wärmeleitung > Im homogenen Festkörper mit isotropen Materialverhalten
Man spricht von isotropen Materialverhalten, wenn der homogene Festkörper in allen Koordinatenrichtungen gleiche Materialeigenschaften besitzt.Das Video wird geladen...(2-1-fouriersches-gesetz-waermeleit)Jeder Punkt in einem Festkörper kann nur eine bestimmte Temperatur besitzen. Isothermen können sich deshalb nicht schneiden. Erfahrungsgemäß findet ein Wärmetransport in einem Festkörper immer dort statt, wo örtliche Temperaturdifferenzen auftreten, wo wir ...Beispiele
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Poisson´sche und Laplace´sche Differentialgleichung > Beispiele
Auf eine 80 cm starke Sandsteinwand einer Kirche treffe senkrecht von außen im Tagesmittel eine solare Strahlung in Höhe von 48 $\frac{W}{m^2}$. Für die Innenwand liege ein Wärmeübergangskoeffizient von 8 $\frac{W}{m^2 \; K}$ bei einer konstanten Umgebungstemperatur von 16 °C vor. Die Wärmeleitfähigkeit für den Sandstein betrage 2,00 $\frac{W}{m \; K}$.Wie hoch sind die Temperaturen an der Wand innen und außen sowie in der Wandmitte?Auf ...
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Baustatik 1
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Differentialgleichung
Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Differentialgleichung
In den vorherigen Kapiteln sind die Spannungen und Dehnungen aufgezeigt worden, welche durch äußere Belastungen an einem Stab auftreten können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden, mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann.Um Spannungen und Dehnungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden:Die GleichgewichtsbedingungDie kinematische BeziehungDas Elastizitätsgesetz Die ...Dehnung: Aufgaben und Lösungen
Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnung: Aufgaben und Lösungen
Beispiel 1: Hängender StabGegeben sei ein hängender Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2})$ mit der Länge $l = 20 cm$, welcher eine konstante Querschnittsfläche $A = 50cm^2$ besitzt. Der Stab hat ein Eigengewicht $G = 10N $.Wie groß ist die Normalspannung $\sigma$ (abhängig vom gewählten Schnitt $x$) und die Längenänderung $\triangle l$? Berechnen Sie außerdem die Stabverlängerung mittels der Differentialgleichung des Stabes! Bestimmung ...Differentialgleichung der Biegelinie
Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung der Biegelinie
Wirken äußere Momente und/oder Querkräfte auf den Balken, so führt dies zu einer Verformung der Balkenachse aufgrund des auftretenden Moments um die $y$-Achse. Diese Verformung wird als Biegelinie $w(x)$ bezeichnet. Balkenverformung In der obigen Grafik erfolgt die Durchbiegung des Balkens aufgrund einer äußeren Streckenlast in $z$-Richtung. Es handelt sich hier also um eine Querkraftbiegung, welche ein Moment um die $y$-Achse zur Folge hat. Wir wollen ...Differentialgleichung mit Schubanteil
Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung mit Schubanteil
Wir haben im vorangegangenen Abschnitt die Differentialgleichung der Biegelinie 2. und 4. Ordnung hergeleitet. Die dort aufgestellte Differentialgleichung gibt die Durchbiegung des Balkens in Abhängigkeit von $x$ an. Hierbei ist allerdings nur der reine Biegeanteil berücksichtigt worden. Wirken Querkräfte auf den Balken, so treten Schubspannungen auf, welche ebenfalls dazu führen, dass sich der Balken verformt. Wir betrachten in diesem Abschnitt also den Beitrag des ...Formelsammlung
Formelsammlung
Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung aus dem Kurs Baustatik 1 für deine Prüfung.Betrag der Kraft$F = |\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$Vektor des Drehmoments$\vec{M} = \vec{F} \times \vec{r}$Moment in der Ebene$M = F \cdot h$Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene$\sum F_{ix} = 0$$\sum F_{iy} = 0$$\sum M_i = 0$Gleichgewichtsbedingungen im Raum$\sum F_{ix} = 0$ Bewegung in $x$-Richtung$\sum F_{iy} = 0$ Bewegung in $y$-Richtung$\sum F_{iy} = 0$ ...Verformung infolge Dehnung
Verformungen > Verformung infolge Dehnung
Wir betrachten im Folgenden zunächst die Verformung eines Stabes infolge Dehnung. Zur Herleitung der Verformung (Differentialgleichung 1. Ordnung) werden die folgenden Themen näher betrachtet:- Spannungen und Dehnungen im Stab- Zugversuch- Spannungs-Dehnungs-Diagramm- Hooksches Gesetz- Wärmedehnungen- Differentialgleichung 1. Ordnung
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Regelungstechnik
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Fall 3 von 6: Differentialgleichung als Signalflussplan
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan > Fall 3 von 6: Differentialgleichung als Signalflussplan
Aufgabe: Stelle Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Aufgabenstellung:In unserem Beispiel liegt die folgende Differentialgleichung vor:$ x_a(t) = T_D \cdot \frac{dx_e(t)}{dt} $ Damit du auch genau weißt wofür welche Variable steht, hier ein paar Informationen:$ x_a (t) $ stellt die Ausgangsgröße dar.$ x_e (t) $ ist die Eingangsgröße.Auslesen der Differentialgleichung:Die Eingangsgröße $ x_e (t) $ wird differenziertDarstellung ...Übertragungsblock & Wirkungslinie
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Elemente > Übertragungsblock & Wirkungslinie
ÜbertragungsblockDer Übertragungsblock ist der bereits bekannte rechteckige Block in einem Schema, welcher die kausale Abhängigkeit der Ausgangsgröße $ x_{a} $ von der Eingangsgröße $ x_{e} $ verdeutlicht. Übertragungsblock WirkungslinieJede Wirkungslinie steht für jeweils ein Signal, welches entweder in den Übertragungsblock einfließt oder den Übertragungsblock verlässt. Dabei werden Eingangsgrößen ...Darstellung der Funktionen im Übertragungsblock
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Elemente > Darstellung der Funktionen im Übertragungsblock
Im vorherigen Kurstext haben wir die allgemeine Differentialgleichung aufgestellt. Nun wollen wir diese auch in unserem Übertragungssystem/Übertragungsblock sichtbar machen. Dies sieht dann wie folgt aus:Visuelle Darstellung der DifferentialgleichungDifferentialgleichung im Übertragungsblock Auch die anderen im vorangegangenen Kurstext erwähnten Funktionen lassen sich mit dem Übertragungsblock abbilden.Visuelle Darstellung der SprungantwortfunktionDie ...Beispiele zum Signalflussplan
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan
In den kommenden Kurstexten werden wir das bisher Erlernte noch ein wenig mit dir üben. Hierzu haben wir sechs verschiedene Anwendungsbeispiele verfasst, die Dir helfen werden ein Verständnis für Signalflusspläne zu bekommen.Stelle Regelstreckengleichung als Signalflussplan dar.Stelle eine Integrationgleichung als Signalflussplan dar.Stelle eine Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Stelle die Gleichung für eine elektische Leistung P als Signalflussplan dar.Stelle ...
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Physik
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Schwingungsgleichung: Federpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Federpendel
Ein Federpendel ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer Schraubenfeder und einer daran befestigten Masse besteht, welche sich geradlinig längs der Richtung bewegen kann, in der die Feder sich verlängert oder verkürzt. In der nachfolgenden Skizze ist ein solches Federpendel aufgezeigt:FederpendelZieht man einen Körper, in $y$-Richtung aus der Ruhelage, nach unten und lässt ihn los, so führt er eine periodische Bewegung um die Ruhelage aus.Wird der obige ...Schwingungsgleichung: Fadenpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Fadenpendel
In diesem Abschnitt betrachten wir das Fadenpendel. Ist die Auslenkung des Pendelkörpers nicht zu groß, so besitzen seine Schwingungen ebenfalls einen sinusförmigen Verlauf. Man spricht auch von einem mathematischen Pendel, wenn die Gewichtskraft des Fadens vernachlässigbar klein und die Größe des Pendelkörpers klein im Vergleich zur Fadenlänge ist. FadenpendelDie rücktreibend wirkende Kraft eines Fadenpendels lässt sich bestimmen, indem man ...Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel
Ein physikalisches Pendel ist ein theoretisches Modell zur Beschreibung der Schwingung eines realen Pendels. Im Gegensatz zum mathematischen Pendel (Fadenpendel aus dem vorherigen Abschnitt) wird bei einem physikalischen Pendel die Größe und Form des Körpers mitberücksichtigt. Ein beliebig drehbar gelagerter Körper führt dann harmonische Schwingungsbewegungen aus, wenn nur minimale Auslenkungen vorliegen und der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann.Physikalisches ...
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Themen unserer Kurse
- Ungleichung, Uneigentliche Integrale, Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
- Vektor, variable Kosten, Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
- Wendepunkt, Winkel, Werkstoffe für Wellen und Achsen
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