ZU DEN KURSEN!

Technische Mechanik 2: Elastostatik - Querdehnungen

Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Querdehnungen

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Querdehnungen

In der bisherigen Annahme wurde davon ausgegangen, dass Dehnungen am Stab nur in Längsrichtung auftreten. Um jedoch die Belastung eines Stabes vollständig beschreiben zu können, müssen auch Querdehnungen berücksichtigt werden. Um diese formal richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen.

Normalspannung und Dehnung

Methode

Normalspannung und Dehnung in x-Richtung:

$\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung]

$\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung]        [Umstellung des Hookeschen Gesetzes]

Querdehnungen

Die nun gesuchten Querdehnungen in $y$- und $z$-Richtung stehen im rechten Winkel zur Stabachse und können mit Hilfe der Querkontraktionszahl $\nu $ beschrieben werden. Die Querkontraktionszahl ist eine dimensionslose Größe, die im elastischen Bereich konstant ist und vom belasteten Material abhängt. Oft wird auch der Name Poissonzahl oder Querdehnzahl verwendet. Sie stellt einen Bezug zur Dehnung in $x$-Richtung her. Hieraus ergeben sich zwei Gleichungen:

Methode

$\epsilon_y = - \nu \epsilon_x = - \frac{\nu}{E} \sigma_x$  

$\epsilon_z = - \nu \epsilon_x = - \frac{\nu}{E} \sigma_x$

Man sieht, dass beide Gleichungen zu einem identischen Ergebnis führen müssen. 

Da sich der Körper unter einer Zugbelastung verlängert, sich aber der Durchmesser verringert, wird das Vorzeichen entsprechend negativ gewählt. 

Querkontraktionszahl - Beispiele

In der nächsten Tabelle sind zur Veranschaulichung Querkontraktionszahlen für einige gängige Materialien aufgeführt.

Material Querkontraktionszahl [$\nu$]
Beton 0,20
Eisen 0,21-0,26
Aluminium 0,34
Gummi 0,50
Glas 0,18-0,30
Faserverbundkunststoffe 0,05-0,55
Sand 0,20-0,45

Vergleicht man nun die Querkontraktionszahlen der Materialien miteinander, so fallen direkt die starken Abweichungen untereinander auf. Auch innerhalb einer Materialgruppe kann der Bereich zwischen den Grenzwerten sehr groß ausfallen. Besonders Faserverbundkunststoffe können hierbei hervorgehoben werden.