Analysis und Lineare Algebra

  1. Ungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen
    Eine Ungleichung stellt in der Mathematik einen Größenvergleich zwischen zwei oder mehreren Werten dar. Eine Ungleichung besagt nicht, dass zwei Werte gleich sind, sondern dass ein Wert größer oder kleiner (bzw. größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Wert ist.Hierbei unterscheidet man im Weiteren die strikte Ungleichung von der nicht-strikten Ungleichung. Strikte Ungleichung$x < y  \rightarrow$ ...
  2. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    ... wir dir Beispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Betragsungleichungen und Bruchungleichungen auf.WICHTIG: Bei der Multiplikation/Division einer Ungleichung mit einer negativen Größe, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.Anwendungsbeispiele: Einfache UngleichungenGegeben sei die folgende Ungleichung:$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$Bestimme bitte alle reellen Lösungen dieser Ungleichung!Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens ...
  3. Formelsammlung
    Formelsammlung
    ... 0 und x $\in$ $\mathbb{R}$}Ungleichungenstrikte Ungleichung$x < y$, $x > <$nicht strikte Ungleichung$x \le y$, $x \ge y$WICHTIG: Bei der Multiplikation bzw. Division einer Ungleichung mit einer negativen Größe, kehrt sich das Ungleichzeichen um.Einfache Ungleichungen$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$:  Wie bei Gleichungen nach $x$ auflösen. Bei Multiplikation mit negativer Größe das Ungleichzeichen umdrehen. Ergebnis: $x ...
  4. Regel von de l' Hospital
    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital
    Guillaume François Antoine de l’Hospital führte im 17. Jahrhundert  die Differential– und Integralrechnung in Frankreich ein. Mithilfe der Regel von de l'Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten bestimmen. Die Regel kann angewendet werden, wenn Nenner und Zähler entweder beide gegen Null $[\frac{0}{0}]$  oder beide gegen Unendlich $[\frac{\infty}{\infty}]$ streben. Regel 1: Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an ...
  5. Lineare Abhängigkeit im R²
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R²
    Zwei Vektoren im R²Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$mit$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig.Daraus folgt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.Alternativ ...
  6. Lineare Abhängigkeit im R³
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R³
    Regel von Sarrus
    Zwei Vektoren im R³Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und  $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$mit$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert null annehmen dürfen.Sinnvoll ...
  7. Gebrochenrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen
    Eine Funktion wird als gebrochenrationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:gebrochenrationale Funktion: $f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$ gebrochenrationale Funktion: $y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$AsymptotenEine Asymptote (altgr. asymptotos = nicht übereinstimmend) ist eine "einfache" Funktion, zumeist eine Gerade, an die sich ...
  8. Hebbare Definitionslücke
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Hebbare Definitionslücke
    Hebbare Definitionslcke, Nullstelle, gebrochen rationale Funktion
    Wie schon mehrmals erwähnt ist eine hebbare Definitionslücke gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für $x_0 = 0$wird. Der Begriff hebbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Definitionslücke behoben und damit der Definitionsbereich erweitert werden kann.Vorgehensweise:Nullstellen des Nenners bestimmen.Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke ...
  9. Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
    Definitionslcke
    Nullstellen bei gebrochenrationalen FunktionenWie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen schon erwähnt haben, wird zur Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: ...
  10. Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    Vektorräume > Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    Definition: VektorraumDie Elemente eines Vektorraums $\mathcal V$ heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums $\mathcal V$.Addition von VektorenEine Bedingung ist, dass die Vektoren miteinander addiert werden können. Sind also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n}$ Vektoren aus $\mathcal V$, also $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ... , \vec{a_n} \in \mathcal V$, dann muss es möglich sein, ihre ...
  11. Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit
    Es ist sinnvoll eine gegebene quadratische Matrix in eine Diagonalmatrix zu überführen, weil sich die Matrizenaddition, die Skalarmultiplikation und die Matrizenmultiplikation vereinfachen (wie im vorherigen Abschnitt gezeigt). Es gibt aber noch weitere Vorteile, die eine Diagonalmatrix aufweist:Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen.Der Rang einer Diagonalmatrix entspricht den Einträgen auf der Hauptdiagonalen, sofern ungleich ...
  12. Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren
    Wir wollen uns als nächstes mit der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren beschäftigen. Lineare Abhängigkeit von VektorenDie Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ heißen linear abhängig, wenn gilt: $\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} = \vec{0}$mit$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) \in \mathbb{R}$Dabei dürfen nicht alle $\lambda_i \; (i = 1,2,...,n)$ den Wert Null annehmen, damit ...
  13. Gauß Eliminationsverfahren
    Matrizen > Gauß Eliminationsverfahren
    Gau Eliminationsverfahren
    Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS). Dieses Verfahren beruht darauf, dass elementare Umformungen das Gleichungssystem zwar ändern, aber die Lösung trotzdem erhalten bleibt. Durch die Umformungen wird das Gleichungssystem in ein einfacher zu lösendes LGS überführt.Zu den elementaren Umformungen zählen:Addition/Subtraktion einer Gleichung zu einer anderenMultiplikation einer Gleichung mit einem Skalar ...
  14. Geraden im Raum
    Vektorrechnung > Geraden im Raum
    Geraden im Raum
    Geraden können mittels Parameterdarstellung durch Vektoren abgebildet werden. Gerade durch den UrsprungEine Gerade durch den Koordinatenursprung wird allgemein definiert als:$G: \vec{x} = t \cdot \vec{v}$ mit$t \in \mathbb{R}$ = Parameter$\vec{v}$ = RichtungsvektorDie Gerade mit obiger Gleichung verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ zeigt dabei die Richtung der Geraden an, der Parameter $t$ die Länge der Geraden. In der folgenden Grafik ist der ...
  15. Eigenvektoren
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenvektoren
    Im diesem Kurstext zeigen wir dir die Berechnung der Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.Der zu dem Eigenwert $\lambda$ gehörende Eigenvektor $\vec{x}$ ist die Lösung der Gleichung$(A - \lambda E)\vec{x} = 0$, wobei $\vec{x} \neq \vec{0}$ gilt. AnwendungsbeispielGegeben sei die Matrix aus dem vorherigen Beispiel $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$. Berechne die zugehörigen Eigenvektoren zu $\lambda_1$ ...
Analysis und Lineare Algebra
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Operations Research 2

  1. Umformung in die Standardform
    Grundlagen des Operations Research 1 > Umformung in die Standardform
    ... undGrößer/gleich-Ungleichungen statt Kleiner/gleich-Ungleichungen.Die Umformung kann wie folgt durchgeführt werden:Umformung in Standardform:Ersetzen von $x_j$, welche keiner Nichtnegativitätsbedingung unterliegt, durch $x_j^+ \ge $ und $x_j^- \ge $, wobei gilt $x_j = x_j^+ - x_j^-$.Eine Gleichung $a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n \le b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n ...
  2. Standardform: Maximierungsproblem
    Grundlagen des Operations Research 1 > Standardform: Maximierungsproblem
    ... worden. Hierbei sind alle Nebenbedingungen (mit Ungleichungen $\le$, $\ge$ sowie ohne Ungleichungen $=$) berücksichtigt worden. Bei der Lösung von linearen Optimierungsmodellen, muss dieses allerdings in Standardform gegegeben sein. Von der Standardform ist die Rede, wenn ein Maximierungsproblem vorliegt (Maximierung der Zielfunktion), die Nebenbedingungen die Ungleichungen $\le$ enthalten und die Nichtnegativitätsbedingung gegeben ist.Ein lineares Programm in Standardform ist ...
  3. Umformung in die Normalform
    Grundlagen des Operations Research 1 > Umformung in die Normalform
    ... Schlupfvariablen hinzugefügt werden, wie Ungleichungen in Gleichungen überführt werden müssen.Wie man die Standardform in die Normalform überführt soll im folgenden Beispiel gezeigt werden.Beispiel: Standardform in Normalform umwandelnGegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem in Standardform:$f(x_1, x_2) = 5x_1  - 10 x_2 + 10x_3 $    $\rightarrow$  max!u.d.N$x_1 +  x_2 - x_3 \le 8$$-x_1 -  x_2 + x_3 \le -8$$x_1 - 2 x_2 + 2x_3 ...
  4. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (1. Iteration)
    Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (1. Iteration)
    methode der zulssigen Richtungen Simplex
    ... und die Nebenbedingungen müssen alle $\le$-Ungleichungen enthalten.$f(x_1, x_2) = -(x_1 - 2)^2 - (x_2 - 4)^2$    $\rightarrow$   max!u.d.N.(1) $x_1 + x_2 \le 4$(2) $x_1 - x_2 \le 0$(3) $x_1 \le 1$(4) $-x_1 \le 0$1. Iteration1. Auswahl eines bliebigen Knoten als StartlösungDer Startknoten muss innerhalb des zulässigen Bereiches $K$ liegen:Startwert: $x_1 = x_2 = 0$Ob der Startwert im zulässigen Bereich liegt, kann überprüft werden, indem dieser in ...
  5. Verfahren von Gomory
    Ganzzahlige Optimierung > Verfahren von Gomory
    Schnittebenenverfahren, Gomory
    ... eine Schlupfvariable eingefügt und aus den Ungleichungen werden Gleichungen.Eintragen der Normalform in das Ausgangstableau. Die Variablen der Zielfunktion (Entscheidungsvariablen) gehen in die Nichtbasis, die Schlupfvariablen in die Basis. Die Zielfunktionskoeffizienten werden mit (-1) multipliziert und in die letzte Zeile des Tableaus eingetragen. Die rechte Seite wird als letzte Spalte in das Tableau eingetragen. Mittig stehen die Koeffizienten der Nebenbedingungen.Sind negative Werte auf ...
  6. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)
    Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)
    methode der zulssigen Richtungen Simplex
    ... und geprüft, ob beim Einsetzen die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 1 und 3:(1) $x_1 + x_2 \le 4$(2) $x_1 - x_2 \le 0$(3) $x_1 \le 1$(4) $x_1 \ge 0$$I(1,1) = \{1,3 \}$3. Bestimmung des Gradienten Es wird als nächstes der Gradient für die neue zulässige Lösung bestimmt:$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} = (-2(x_1 - 2), -2(x_2 - 4)) $Einsetzen von $(1,3)$:$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial ...
  7. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)
    Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)
    methode der zulssigen Richtungen Simplex
    ... und geprüft, ob beim Einsetzen die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 1 und 4:(1) $x_1 + x_2 \le 4$(2) $x_1 - x_2 \le 0$(3) $x_1 \le 1$(4) $-x_1 \le 0$$I(0,4) = \{1,4 \}$3. Bestimmung des Gradienten Es wird als nächstes der Gradient für die neue zulässige Lösung bestimmt:$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} = (-2(x_1 - 2), -2(x_2 - 4)) $Einsetzen von $(0,4)$:$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial ...
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Operations Research 1

  1. Umformung in die Standardform (Maximierungsproblem)
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Umformung in die Standardform (Maximierungsproblem)
    ... (Maximierungsproblem, kleiner/gleich Ungleichungen, Nichtnegativitätsbedingung) vorliegen zu haben. Die grafische Lösung kann in diesem Fall dann so vorgenommen werden, wie es in den vorherigen Abschnitten gezeigt wurde. Aber auch für die Aufstellung des in den folgenden Abschnitten aufgeführten Simplex-Algorithmus ist das Vorliegen der Standardform sinnvoll. In diesem Abschnitt wird ausführlich beschrieben, wie man ein Optimierungsproblem in die Standardform ...
  2. Minimierungsproblem- Big-M/dualer Simplex
    Lineare Programmierung > Minimierungsproblem > Minimierungsproblem- Big-M/dualer Simplex
    Minimierungsproblem - dualer Simplex
    ... + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n = b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n = -b_i$.Aus einer $\ge$-Ungleichung wird eine $\le$-Ungleichung durch Multiplikation der gesamten Ungleichung mit $-1$.Beispiel: Minimierungsproblem und dualer SimplexalgorithmusGegeben sei das folgende Minimierungsproblem:$f(x_1, x_2) = x_1 + x_2$   $\rightarrow$  min!u.d.N$x_1 + 2 x_2 \ge 6$$2x_1 + x_2 \ge 6$$x_1 + x_2 = 4$$x_1, x_2 ...
  3. Zusammenfassung: Maximierungsproblem
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Zusammenfassung: Maximierungsproblem
    ... + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n \le b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n \le -b_i$.Aus einer $\ge$-Ungleichung wird eine $\le$-Ungleichung durch Multiplikation der gesamten Ungleichung mit $-1$.2. Das Problem wird dann in die Normalform überführt -> Einfügen von Schlupfvariablen zur Erreichung von Gleichheitsbedingungen. Die Schlupfvariablen gehen mit dem Wert Null in die Zielfunktion ein und können ...
  4. Zusammenfassung: Minimierungsproblem
    Lineare Programmierung > Minimierungsproblem > Zusammenfassung: Minimierungsproblem
    ... + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n = b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n = -b_i$.Aus einer $\ge$-Ungleichung wird eine $\le$-Ungleichung durch Multiplikation der gesamten Ungleichung mit $-1$.2. Das Maximierungsproblem wird dann in die Normalform überführt -> Einfügen von Schlupfvariablen zur Erreichung von Gleichheitsbedingungen. Die Schlupfvariablen gehen mit dem Wert Null in die Zielfunktion ein ...
  5. Standardform: Maximierungsproblem
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem
    ... worden. Hierbei sind alle Nebenbedingungen (mit Ungleichungen $\le$, $\ge$ sowie ohne Ungleichungen $=$) berücksichtigt worden. Bei der Lösung von linearen Optimierungsmodellen, muss dieses allerdings in Standardform gegegeben sein. Von der Standardform ist die Rede, wenn ein Maximierungsproblem vorliegt (Maximierung der Zielfunktion), die Nebenbedingungen die Ungleichungen $\le$ enthalten und die Nichtnegativitätsbedingung gegeben ist.Ein lineares Programm in Standardform ist die ...
  6. Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
    ... Schlupfvariablen hinzugefügt werden, wie Ungleichungen in Gleichungen überführt werden müssen.Wie man die Standardform in die Normalform überführt soll im folgenden Beispiel gezeigt werden.Beispiel: Standardform in Normalform umwandelnGegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem in Standardform:$f(x_1, x_2) = 5x_1  - 10 x_2 + 10x_3 $    $\rightarrow$  max!u.d.N$x_1 +  x_2 - x_3 \le 8$$-x_1 -  x_2 + x_3 \le -8$$x_1 - 2 x_2 + 2x_3 ...
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Physik

  1. Ungleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Kreisbewegung > Ungleichförmige Kreisbewegung
    Achterbahn in einem Looping
    Achterbahn in einem LoopingBei der ungleichförmigen Kreisbewegung ist es nun nicht mehr so, dass die Bahngeschwindigkeit $v$ konstant ist. Beschreibt der Körper eine ungleichförmige Kreisbewegung, so ändert sich sowohl seine Geschwindigkeitsrichtung, als auch der Betrag seiner Geschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit). Das wiederum bedeutet, dass neben der Normalbeschleunigung eine Tangentialbeschleunigung gegeben sein muss, die dazu führt, dass sich die Bahngeschwindigkeit ständig ...
  2. Trägheitsgesetz
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Erläuterungen zu den Newtonschen Axiomen > Trägheitsgesetz
    Ruhender Wrfel
    Als Trägheit wird innerhalb der Physik die Eigenschaft von Körpern bezeichnet ihre Position oder Bewegung beizubehalten, solange keine äußere Kraft auf sie einwirkt.Ruhender WürfelOhne die Einwirkung von Kräften ändert der Körper seinen Bewegungszustand nicht. Eine Bewegungsänderung (Änderung der Geschwindigkeit) findet nur statt, wenn eine Beschleunigung gegeben ist $a \neq 0$. Ein Körper wird nur dann beschleunigt, wenn eine Kraft auf den ...
  3. Rückstoß
    Impuls und Stoß > Rückstoß
    Zugefrorener See
    Das einfachste Beispiel für die Impuslerhaltung ist das sogenannte Rückstoßprinzip.Hierzu stellen wir uns vor, dass du dich auf einem zugefrorenen See befindest. Wir gehen zudem davon aus, dass die Oberfläche so glatt ist, dass keine Haftreibung mehr gegeben ist.Zugefrorener SeeOhne Haftreibung hast du auch keine Möglichkeit dich abzustoßen. Das bedeutet also, du kannst dich auf dem Eis nicht fortbewegen.Plötzlich steht vor dir ein großer schwerer Kleinbus, ...
  4. Energieerhaltung
    Arbeit, Energie und Leistung > Energieerhaltung
    Systemumgebung, offenes und geschlossenes System
    EnergieerhaltungssatzDieser Grundsatz der Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie (Systemenergie) eines abgeschlossenen (isolierten) Systems immer gleich ist, sich also mit der Zeit nicht ändert.Systemumgebung, offenes und geschlossenes SystemEs ist zwar möglich die Energie in verschiedene Energieformen umzuwandeln, es ist allerdings nicht möglich innerhalb eines abgeschlossenen Systems Energie zu erzeugen oder vernichten.Ein abgeschlossenes System steht in keiner ...
Physik
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Fahrzeugtechnik

  1. Stufentandemzylinder
    Fahrwerk > Bremsen > Aufbau einer modernen Pkw-Bremsanlage > Stufentandemzylinder
    ... BremskreisUnter Berücksichtigung der Ungleichung $ D_2 < D_1 $ gilt bei einer konstanten Betätigungskraft $ F = const $:Druckverhältnis: $ p_{2,Ausfall} > p_{2,ok} $Aus dieser Ungleichung kannst du ableiten, dass bei konstanter Betätigungskraft ein Ausfall des Vorderachsbremskreises zu einer Steigerung des Bremsdrucks im Hinterachsbremskreises führt.Jedoch sei an dieser Stelle angemerkt, dass bei einer Vollbremsung die Hinterräder infolge der erhöhten ...
  2. Radabmessungen
    Fahrzeugklassen > Radabmessungen
    image
    ... = 290 \,mm $6. Wir stellen nun folgenden Ungleichungen aus (2., 4. und 5.) auf:$ r_a > r_{dyn} > r_{stat} \rightarrow $ Wenn wir $ r_{dyn} $ als 100 % annehmen, so ist hat der Außenradhalbmesser einen Vergleichswert von 104,7 % und der statische Radhalbmesser einen Wert von 94,2 %. Warum müssen wir das wissen? - Wird ein falscher Radhalbmesser eingesetzt, so führt dies innerhalb der Fahrleistungsrechnung zu einem Fehler von ca. 5 %. In einem späteren ...
  3. Vorspurwiderstand
    Fahrwiderstände > Radwiderstand > Vorspurwiderstand
    Seitenkraftsteifigkeit
    Vorspur und NachspurDie Räder einer Achse eines Fahrzeugs sind durch die Auslegung des Fahrwerks auf gute Geradeauslauf- und Kurvenfahrteigenschaften so eingestellt, dass sie von oben betrachtet nicht parallel zueinander stehen. Betrachten wir die Abstände der Felgeninnenkanten der Räder einer Achse in Höhe der Radmitte vorn und hinten und messen beide Werte. Wenn der Abstand der Radvorderseiten kleiner ist als der Abstand der Radhinterseiten, so liegt eine Vorspur vor. Im umgekehrten ...
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Maschinenelemente 1

  1. Einflussfaktoren einer Schweißnahtverbindung
    Verbindungen und Verbindungselemente > Stoffschlüssige Verbindungen > Schweißverbindungen > Einflussfaktoren einer Schweißnahtverbindung
    Bitte Beschreibung eingeben
    ... liegt eine Verbindung (Indize V) vor, die die Ungleichung:$\sigma_{G Schweißnaht} > \sigma_{V Schweißnaht} $ erfüllt. Dies bedeutet, dass die zulässige Spannung über der auftretenden Spannung liegt. Oft ist es jedoch so, dass in Folge des Schweißens eine martensitische Versprödung in der wärmebeeinflussten Zone auftritt. Dann ändert sich die Ungleichung zu:$\sigma_{G Schweißnaht} \le \sigma_{V Schweißnaht} $Gleichzeitig treten ...
  2. Schweißnahtdicke und Schweißnahtlänge
    Verbindungen und Verbindungselemente > Stoffschlüssige Verbindungen > Schweißverbindungen > Schweißnahtdicke und Schweißnahtlänge
    Bitte Beschreibung eingeben
    ... werden kann, hat man eine allgemeingültige Ungleichung aufgestellt, die als Orientierung für die Gestaltung der Schweißnahtdicke dient:allg. Schweißnahtdicke: $ 3 \, mm \le a \le s_{min} $ Hinweise zu KehlnähtenDiese Ungleichung ist auch unabhängig davon ob beispielsweise eine Hohlkehlnaht, eine Kehlnaht, oder eine Wölbkehlnaht vorliegt. Entscheidend ist immer die Dicke $ a $.Bei Kehlnähten ist die Nahtdicke gleich der bis zum theoretischen Wurzelpunkt ...
  3. Vergleichsspannung einer Schweißverbindung
    Verbindungen und Verbindungselemente > Stoffschlüssige Verbindungen > Schweißverbindungen > Vergleichsspannung einer Schweißverbindung
    ... nachfolgende Ungleichung:Vergleichsspannung: $\sigma_v = \sqrt{\sigma^2 + 3 \, \tau^2} \le \sigma_{zul} $Liegen in einer Schweißnaht unterschiedliche Spannungen vor, so sind zunächst die Normal- und die Tangentialspannungen einzeln zu bestimmen und anschließend über diese Gleichung miteinander zu verknüpfen.Die Vorschriften zur Festlegung des Werts der zulässigen Spannungen ergibt sich dabei auch nachfolgenden Kriterien:Ausführungsklasse ...
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Anorganische Chemie für Ingenieure

  1. Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    image
    ... Es gilt für diesen Bereich folgenden Ungleichung: $ [H_3O^+] > [OH^-] $.Nach ca. $ 10 ml $ $ NaOH $ können wir einen pH-Sprung feststellen, welcher den Übergang vom sauren in den basischen Bereich einläutet. Daraufhin ändert sich die vorherige Ungleichung zu: $ [H_3O^+] < [OH^-] $.Der Neutralpunkt dieser und anderer Kurven liegt immer bei einem pH-Wert = 7. Hier gilt die Gleichung: $ [H_3O^+] = [OH^-] $.   In unserem Fall fallen Äquivalenzpunkt ...
  2. Chemische Reaktionen, Reaktionsgleichung, stöchiometrische Zahl
    Chemisches Rechnen, Grundrechenarten > Chemische Reaktionen, Reaktionsgleichung, stöchiometrische Zahl
    Sauerstoffmolekl
    Nun werden wir uns den chemischen Reaktionen der anorganischen Chemie zuwenden. Dabei beginnen wir mit der Definition der Bestandteilen der chemischen Reaktionsgleichung.Wie Sie bereits wissen entstehen Ionen, wenn Atome Elektronen aufnehmen oder abgeben. Dabei können Atome, Ionen oder Atome und Ionen untereinander Bindungen eingehen, woraus dann wiederum neue Verbindungen entstehen. Dargestellt werden diese Verbindungen durch ihre Moleküle.Was sind Moleküle?Unter Molekülen versteht ...
Anorganische Chemie
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Regelungstechnik

  1. Steuerung
    Einführung in die Regelungstechnik > Steuerung
    Anwendungsbeispiel - Schieber
    ... [Ausgangsgröße]. Dabei gilt folgende Ungleichung $ p_1 > p_2 $. Wird der Schieber nun langsam geöffnet, beginnt $ p_2 $, beeinflusst durch $ p_1 $, sich an $ p_1 $ anzupassen.Ist der Schieber dann gänzlich geöffnet, wird die Ungleichung zur Gleichung:$ p_1 > p_2 \Longrightarrow p_1 = p_2 $  Während des Vorgangs ändert sich lediglich die Größe $ p_2 $, die Größe $ p_1 $ bleibt konstant. Daher nennt man diesen Ausgleich rückwirkungsfrei.Besonders ...
  2. Physikalische Systeme
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Physikalische Systeme
    ... \cdot \frac{dx_e}{dt} + b_0 \cdot x_e $mit der Ungleichung: $ n\le m $Der Buchstabe $ n $ stellt hier die Ordnung des Systems und gleichzeitig die Ordnung der Differenzialgleichungen dar. Welche Ordnung das System besitzt, ist von der Anzahl der Energiespeicher innerhalb des Systems abhängig.In den nächsten Kurstexten werden wir diese Gleichungsart auf unterschiedliche Art und Weise lösen.
Regelungstechnik
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Produktion

  1. Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung
    ... eine weitere wichtige Ungleichung. Sie besagt, dass die Ausbringungsmenge niemals negativ sein kann.Nichtnegativitätsbedingung: $\ x_j \ge 0 $.Wir haben nun eine Zielfunktion [Deckungsbeitrag] und zwei Nebenbedingungen [Kapazitätsrestriktion, Nichtnegativitätsbedingung]. Zusammen stellen diese ein lineares Programm dar, welches die Eigenschaft hat, dass alle Beziehungen untereinander linear sind. Der entscheidende Faktor für dieses Programm sind ...
  2. Kostenausgleichsverfahren
    Materialbedarfsplanung > Losgrößenmodelle ohne Kapazitätsbeschränkungen > Kostenausgleichsverfahren
    ... bereits in Periode 1.Zudem gelten zwei Ungleichungen als Entscheidungskriterium$ h \sum_{t-1}^{t*} (t-1)\ r_t \le K $ sowie $ h \sum_{t-1}^{t* + 1} (t-1) r_t > K $.  Zum besseren Verständnis folgt nun ein Beispiel:  Ein Münchner Autozulieferer möchte mit Hilfe des Kostenausgleichsverfahren über die Höhe und Termine der Fertigungslose entscheiden. Hierzu werden einige Annahmen getroffen. So ist der Anfangslagerbestand $ z_0 = 0 $ und der auflagenfixe ...
Produktion
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Werkstofftechnik 1

  1. Kornwachstum
    Wärmebehandlung > Rückbildung der Festkörperstruktur > Kornwachstum
    Kornwachstum
    Das Kornwachstum stellt die letzte Stufe im Rahmen der Rückbildung der Festkörperstruktur dar. Es findet immer nach Abschluss der Kristallerholung und der Rekristallisation statt. Der Impulsgeber für das Kornwachstum ist die in den Versetzungen verbliebene innere Energie, die zu einer Korngrenzenbewegung ohne Keimbildung führt. Bei benachbarten Kristalliten mit unterschiedlichen Versetzungsdichten wird somit auf die Korngrenzen eine Kraft ausgeübt, welche diese hin zu einer ...
  2. Orowan-Mechanismus
    Mechanische Eigenschaften > Festigkeitssteigerung > Teilcheneinlagerung > Orowan-Mechanismus
    Orowan Mechanismus
    ... vorliegt, lässt sich durch nachfolgende Ungleichungen entscheiden:Der Orowan-Mechanismus liegt vor, wenn $\triangle \tau_s > \triangle \tau_0 $ ist. Der Schneidvorgang liegt vor, wenn $\triangle \tau_s $Ein Sonderfall liegt vor, wenn $\triangle \tau_s = \triangle \tau_0 $. Hier besteht ein fließender Übergang zwischen beiden Mechanismen. Die Gleichung für die dabei begrenzte kritische Teilchengröße ist$\ d_k = \frac{G \cdot b^2}{\pi \cdot \gamma}$.Ob ...
Werkstofftechnik 1
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Extremwerte
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte
    Sollen in der Mathematik Extremwerte von Funktionen mit mehreren Veränderlichen bestimmt werden, unterscheidet man zwischen Extremwerten mit und ohne Nebenbedingungen. Die zur Bestimmung von Extremwerten notwendige Bedingung ist, dass alle 1. partiellen Ableitungen der Veränderlichen Null sein müssen. Denn selbst wenn bei n= 100 Veränderlichen nur eine 1. partielle Ableitung ungleich Null ist, existiert eine, vielleicht auch nur minimale, positive oder negative Steigung, womit ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Methodische Produktentwicklung

  1. Funktions-Kosten-Analyse
    Funktionsanalyse > Funktions-Kosten-Analyse
    Kostentreibende und Potenzialbehaftete Funktionen
    ... Funktionstypen kann mit Hilfe der nachfolgenden Ungleichungen erfolgen:Kostentreibende Funktionen: $ \frac{Kostentreibende  Funktion}{Gewichtung der Funktion} > 1 $Potenzialbehaftete Funktionen: $ \frac{Kostentreibende  Funktion}{Gewichtung der Funktion} < 1 $Das Ziel der Identifikation von kostentreibenden und potenzialbehafteten Funktionen besteht darin, aufzuzeigen welche Funktionen eine erhöhte Priorität bei der Optimierung besitzen. In der nachfolgenden ...
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Baustatik 2

  1. Gelenkige Lager am Stabende
    Voraussetzungen für das Drehwinkelverfahren > Gelenkige Lager am Stabende
    Verschieblichkeit aufheben, Abzhlformel, Festhaltung
    Wir haben in den vorherigen Kurstexten immer die Lager als feste Einspannungen gewählt. Bei einer festen Einspannung ist die Verdrehung bekannt $\varphi = 0$ und es treten keine unbekannten Knotendrehwinkel an diesen auf.Nun ist es bei gelenkigen Lager (Festlager, Loslager) aber so, dass die Verdrehungen ungleich Null und damit unbekannt sind.Hier treten also unbekannte Knotendrehwinkel $\varphi$ auf. Zunächst werden für gelenkige Lager also die unbekannten Knotendrehwinkel ...
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Elektrotechnik

  1. Kennwerte
    Wechselstrom > Wechselgrößen und Grundgesetze > Sinusgrößen > Kennwerte
    ... zu verdeutlichen, siehe die nachfolgenden Ungleichungen:Sinusstrom: $ i_{max} = | i_{min} | = \hat{i} > 0 $Sinusspannung: $ u_{max} = | u_{min} | = \hat{u} > 0 $Periodendauer, Kreisfrequenz, FrequenzIm Gegensatz zu anderen allgemeinen Wechselgrößen enthält eine Sinusgröße nur eine Frequenz $ f $, die dem Kehrwert ihrer Periodendauer $ T$ entspricht. Dabei ist $ T $ die Zeit für eine volle Periode:Frequenz: $ f = \frac{1}{T} $Aus der Bedingung $\omega ...
Elektrotechnik
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