Operations Research 2

  1. Standardform: Maximierungsproblem
    Grundlagen des Operations Research 1 > Standardform: Maximierungsproblem
    ... worden. Hierbei sind alle Nebenbedingungen (mit Ungleichungen $\le$, $\ge$ sowie ohne Ungleichungen $=$) berücksichtigt worden. Bei der Lösung von linearen Optimierungsmodellen, muss dieses allerdings in Standardform gegegeben sein. Von der Standardform ist die Rede, wenn ein Maximierungsproblem vorliegt (Maximierung der Zielfunktion), die Nebenbedingungen die Ungleichungen $\le$ enthalten und die Nichtnegativitätsbedingung gegeben ist. Ein lineares Programm in Standardform ist die Maximierung ...
  2. Umformung in die Standardform
    Grundlagen des Operations Research 1 > Umformung in die Standardform
    Umformung in die Standardform
    ... Ungleichheitsbedingungen und Größer/gleich-Ungleichungen statt Kleiner/gleich-Ungleichungen. Die Umformung kann wie folgt durchgeführt werden: Umformung in Standardform: Ersetzen von $x_j$, welche keiner Nichtnegativitätsbedingung unterliegt, durch $x_j^+ \ge $ und $x_j^- \ge $, wobei gilt $x_j = x_j^+ - x_j^-$. Eine Gleichung $a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n \le b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n ...
  3. Umformung in die Normalform
    Grundlagen des Operations Research 1 > Umformung in die Normalform
    ... Schlupfvariablen hinzugefügt werden, wie Ungleichungen in Gleichungen überführt werden müssen. Wie man die Standardform in die Normalform überführt soll im folgenden Beispiel gezeigt werden. Beispiel: Standardform in Normalform umwandeln Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem in Standardform: $f(x_1, x_2) = 5x_1  - 10 x_2 + 10x_3 $    $\rightarrow$  max! u.d.N $x_1 +  x_2 - x_3 \le 8$ $-x_1 -  x_2 + x_3 \le -8$ $x_1 - 2 x_2 + 2x_3 \le 4$ $x_1, x_2, x_3 ...
  4. Verfahren von Gomory
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Ganzzahlige Optimierung > Verfahren von Gomory
    Verfahren von Gomory
    ... die Schlupfvariablen eingeführt um statt der Ungleichungen $\le$ Gleichungen $=$ zu erhalten: $f(x_1, x_2) = x_1 +  2x_2$    $\rightarrow$   max! u.d.N. (1) $6x_1 + 5x_2  + y_1          = 30 $    (2) $4x_1 + 9 x_2          + y_2 = 36$     $x_1, x_2 \ge 0$    und ganzzahlig Als nächstes wird das Simplex-Tableau aufgestellt: Da die rechte Seite nur positive Werte aufweist, kann hier die Auswahl der Pivotspalte und -zeile nach dem primalen Simplexalgorithmus erfolgen. ...
  5. Methode der zulässigen Richtung
    Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung
    ... für nichtlineare Minimierungsprobleme unter Ungleichungsrestriktionen aufgezeigt. Voraussetzung für die Anwendung der Methode der zulässigen Richtungen $f(x) \rightarrow$  max! $Ax \le b$  $b \in \mathbb{R}^n$ Es werden nun im Folgenden die notwendigen Definitionen für die Anwendung des Verfahrens aufgeführt und erläuertet. Definitionen Zulässiger Bereich: $K = \{x | Ax \le b \}$ Menge aktiver Indizes: $I(x) = \{i | a_ix = b_i \}$ Menge zulässiger Richtungen: $S(x) ...
  6. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (1. Iteration)
    Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (1. Iteration)
    Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (1. Iteration)
    ... und die Nebenbedingungen müssen alle $\le$-Ungleichungen enthalten. $f(x_1, x_2) = -(x_1 - 2)^2 - (x_2 - 4)^2$    $\rightarrow$   max! u.d.N. (1) $x_1 + x_2 \le 4$ (2) $x_1 - x_2 \le 0$ (3) $x_1 \le 1$ (4) $-x_1 \le 0$ 1. Iteration 1. Auswahl eines bliebigen Knoten als Startlösung Der Startknoten muss innerhalb des zulässigen Bereiches $K$ liegen: Startwert: $x_1 = x_2 = 0$ Ob der Startwert im zulässigen Bereich liegt, kann überprüft werden, indem dieser in die Nebenbedingung ...
  7. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)
    Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)
    Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)
    ... eingesetzt und geprüft, ob beim Einsetzen die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 1 und 4: (1) $x_1 + x_2 \le 4$ (2) $x_1 - x_2 \le 0$ (3) $x_1 \le 1$ (4) $-x_1 \le 0$ $I(0,4) = \{1,4 \}$ 3. Bestimmung des Gradienten  Es wird als nächstes der Gradient für die neue zulässige Lösung bestimmt: $\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} = (-2(x_1 - 2), -2(x_2 - 4)) $ Einsetzen von $(0,4)$: $\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} ...
  8. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)
    Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)
    Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)
    ... eingesetzt und geprüft, ob beim Einsetzen die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 1 und 3: (1) $x_1 + x_2 \le 4$ (2) $x_1 - x_2 \le 0$ (3) $x_1 \le 1$ (4) $x_1 \ge 0$ $I(1,1) = \{1,3 \}$ 3. Bestimmung des Gradienten  Es wird als nächstes der Gradient für die neue zulässige Lösung bestimmt: $\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} = (-2(x_1 - 2), -2(x_2 - 4)) $ Einsetzen von $(1,3)$: $\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} ...
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Operations Research 1

  1. Standardform: Maximierungsproblem
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem
    ... worden. Hierbei sind alle Nebenbedingungen (mit Ungleichungen $\le$, $\ge$ sowie ohne Ungleichungen $=$) berücksichtigt worden. Bei der Lösung von linearen Optimierungsmodellen, muss dieses allerdings in Standardform gegegeben sein. Von der Standardform ist die Rede, wenn ein Maximierungsproblem vorliegt (Maximierung der Zielfunktion), die Nebenbedingungen die Ungleichungen $\le$ enthalten und die Nichtnegativitätsbedingung gegeben ist. Ein lineares Programm in Standardform ist die Maximierung ...
  2. Umformung in die Standardform (Maximierungsproblem)
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Umformung in die Standardform (Maximierungsproblem)
    Umformung in die Standardform (Maximierungsproblem)
    ... (Maximierungsproblem, kleiner/gleich Ungleichungen, Nichtnegativitätsbedingung) vorliegen zu haben. Die grafische Lösung kann in diesem Fall dann so vorgenommen werden, wie es in den vorherigen Abschnitten gezeigt wurde. Aber auch für die Aufstellung des in den folgenden Abschnitten aufgeführten Simplex-Algorithmus ist das Vorliegen der Standardform sinnvoll. In diesem Abschnitt wird ausführlich beschrieben, wie man ein Optimierungsproblem in die Standardform umformt.  Es existieren ...
  3. Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
    ... Schlupfvariablen hinzugefügt werden, wie Ungleichungen in Gleichungen überführt werden müssen. Wie man die Standardform in die Normalform überführt soll im folgenden Beispiel gezeigt werden. Beispiel: Standardform in Normalform umwandeln Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem in Standardform: $f(x_1, x_2) = 5x_1  - 10 x_2 + 10x_3 $    $\rightarrow$  max! u.d.N $x_1 +  x_2 - x_3 \le 8$ $-x_1 -  x_2 + x_3 \le -8$ $x_1 - 2 x_2 + 2x_3 \le 4$ $x_1, x_2, x_3 ...
  4. Zusammenfassung: Maximierungsproblem
    Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Zusammenfassung: Maximierungsproblem
    ... + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n \le b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n \le -b_i$. Aus einer $\ge$-Ungleichung wird eine $\le$-Ungleichung durch Multiplikation der gesamten Ungleichung mit $-1$. 2. Das Problem wird dann in die Normalform überführt -> Einfügen von Schlupfvariablen zur Erreichung von Gleichheitsbedingungen. Die Schlupfvariablen gehen mit dem Wert Null in die Zielfunktion ein und können demnach ...
  5. Minimierungsproblem- Big-M/dualer Simplex
    Lineare Programmierung > Minimierungsproblem > Minimierungsproblem- Big-M/dualer Simplex
    Minimierungsproblem- Big-M/dualer Simplex
    ... + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n = b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n = -b_i$. Aus einer $\ge$-Ungleichung wird eine $\le$-Ungleichung durch Multiplikation der gesamten Ungleichung mit $-1$. Beispiel: Minimierungsproblem und dualer Simplexalgorithmus Gegeben sei das folgende Minimierungsproblem: $f(x_1, x_2) = x_1 + x_2$   $\rightarrow$  min! u.d.N $x_1 + 2 x_2 \ge 6$ $2x_1 + x_2 \ge 6$ $x_1 + x_2 = 4$ $x_1, ...
  6. Zusammenfassung: Minimierungsproblem
    Lineare Programmierung > Minimierungsproblem > Zusammenfassung: Minimierungsproblem
    ... + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n = b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n = -b_i$. Aus einer $\ge$-Ungleichung wird eine $\le$-Ungleichung durch Multiplikation der gesamten Ungleichung mit $-1$. 2. Das Maximierungsproblem wird dann in die Normalform überführt -> Einfügen von Schlupfvariablen zur Erreichung von Gleichheitsbedingungen. Die Schlupfvariablen gehen mit dem Wert Null in die Zielfunktion ein und können ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Ungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen
    Eine Ungleichung stellt in der Mathematik einen Größenvergleich zwischen zwei oder mehreren Werten dar. Eine Ungleichung besagt nicht, dass zwei Werte gleich sind, sondern dass ein Wert größer oder kleiner (bzw. größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Wert ist. Hierbei unterscheidet man im Weiteren die strikte Ungleichung von der nicht-strikten Ungleichung.  Strikte Ungleichung $x < y  \rightarrow$ der Wert $x$ ist kleiner als der Wert $y$.   oder $x > y \rightarrow$ ...
  2. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    ... werden Beispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Betragsungleichungen und Bruchungleichungen aufgezeigt. WICHTIG: Bei der Multiplikation/Division einer Ungleichung mit einer negativen Größe, kehrt sich das Ungleichzeichen um. Anwendungsbeispiele: Einfach Ungleichungen Gegeben sei die folgende Ungleichung: $- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$ Bestimmen Sie alle reellen Lösungen dieser Ungleichung! Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens ...
  3. Beträge
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Beträge
    Beträge
    ...                          Dreiecksungleichung Dreiecksungleichung Die Dreiecksungleichung besagt, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten $P_1$  und  $P_2$  stets der $\color{blue}{direkte   Weg}$ (geradlinige Verbindung) ist. Dreiecksungleichung Das bedeutet also, dass die Strecke $\vec{a}$  und die Strecke  $\vec{b}$ zusammen länger ist, als die Strecke  $\vec{a} + \vec{b}$. Beweis der Dreiecksgleichung Es gilt    $a \le |a|$    und    $b \le ...
  4. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    ... \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$   (Dreiecksungleichung) $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{b} - \vec{a}|$   Abstand der Endpunkte von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Das Video wird geladen ... Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / Einheitsvektor Berechnen Sie die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$. Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte ...
  5. Dreiecksungleichung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Dreiecksungleichung
    Dreiecksungleichung
    Die Dreiecksungleichung besagt, dass zwei Seiten eines Dreiecks mindestens so groß sind, wie die andere Dreiecksseite. Analog dazu: Eine Dreiecksseite ist höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Es muss hier der Betrag der Längen betrachtet werden: $|a| + |b| \ge |a + b|$mit$a$ Länge der Seite a$b$ Länge der Seite b Für Vektoren gilt analog: $|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$             Dreiecksungleichung mit $|\vec{a}| $ Länge der Seite ...
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Maschinenelemente 1

  1. Einflussfaktoren einer Schweißnahtverbindung
    Verbindungen und Verbindungselemente > Stoffschlüssige Verbindungen > Schweißverbindungen > Einflussfaktoren einer Schweißnahtverbindung
    ... Fall liegt eine Verbindung vor, die die Ungleichung $\sigma_{G Schweißnaht} > \sigma_{V Schweißnaht} $  erfüllt. Dies bedeutet, dass die zulässige Spannung über der auftretenden Spannung liegt. Oft ist es jedoch so, dass in Folge des Schweißens eine martensitische Versprödung in der wärmebeeinflussten Zone auftritt. Dann ändert sich die Ungleichung zu $\sigma_{G Schweißnaht} \le \sigma_{V Schweißnaht} $. Gleichzeitig treten auch Anrisse auf, wo zwischen Schweißnaht und ...
  2. Schweißnahtdicke und Schweißnahtlänge
    Verbindungen und Verbindungselemente > Stoffschlüssige Verbindungen > Schweißverbindungen > Schweißnahtdicke und Schweißnahtlänge
    Schweißnahtdicke und Schweißnahtlänge
    ... werden kann, hat man eine allgemeingültige Ungleichung aufgestellt, die als Orientierung für die Gestaltung der Schweißnahtdicke dient: Allg. Schweißnahtdicke: $ 3mm \le a \le s_{min} $  Die ist auch unabhängig davon ob beispielsweise eine Hohlkehlnaht, eine Kehlnaht, oder eine Wölbkehlnaht vorliegt. Entscheidend ist immer die Dicke $ a $ Ausprägungen von Kehlnähten Schweißnahtlänge und -lage Als zweiten Einflussfaktor behandeln wir nun die Schweißnahtlänge und -lage. ...
  3. Vergleichsspannung einer Schweißverbindung
    Verbindungen und Verbindungselemente > Stoffschlüssige Verbindungen > Schweißverbindungen > Vergleichsspannung einer Schweißverbindung
    ... Gestaltänderungsenergiehypothese nachfolgende Ungleichung: $\sigma_v = \sqrt{\sigma^2 + 3 \tau^2} \le \sigma_{zul} $ Die Vorschriften zur Festlegung des Werts der zulässigen Spannungen ergibt sich dabei auch nachfolgenden Kriterien: Ausführungsklasse der Schweißverbindung [I, II, III], Form der Naht, Kerbwirkung, und Art der Belastung.  Besonders im Stahlbau und Kranbau orientiert man sich an den obigen Einflussfaktoren.  Im nächsten Kurstext setzen wir unseren Festigkeitsnachweis ...
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Regelungstechnik

  1. Physikalische Systeme
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Physikalische Systeme
    ... \frac{dx_e}{dt} + b_0 \cdot x_e $ mit der Ungleichung: $ n\le m $ Der Buchstabe $ n $ stellt hier die Ordnung des Systems und gleichzeitig die Ordnung der Differenzialgleichungen dar. Welche Ordnung das System besitzt, ist von der Anzahl der Energiespeicher innerhalb des Systems abhängig. In den nächsten Kurstexten werden wir diese Gleichungsart auf unterschiedliche Art und Weise lösen.
  2. Steuerung
    Einführung in die Regelungstechnik > Steuerung
    Steuerung
    ... $ p_2$ [Ausgangsgröße]. Dabei gilt folgende Ungleichung $ p_1 > p_2 $. Wird der Schieber nun langsam geöffnet, beginnt $ p_2 $, beeinflusst durch $ p_1 $, sich an $ p_1 $ anzupassen.Ist der Schieber dann gänzlich geöffnet, wird die Ungleichung zur Gleichung:$ p_1 > p_2 \Longrightarrow p_1 = p_2 $  Während des Vorgangs ändert sich lediglich die Größe $ p_2 $, die Größe $ p_1 $ bleibt konstant. Daher nennt man diesen Ausgleich rückwirkungsfrei. Besonders kennzeichnend für eine ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    ... der Hauptnormalspannungen sollte immer nach der Ungleichung $\sigma_1 > \sigma_2 $ erfolgen.  Um herauszufinden, welcher der beiden Winkel beispielsweise zu $\sigma_1 $ zugehörig ist, kann man die Winkel in die Ausgangsgleichungen $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$ einsetzen.  Setzt man den Winkel $\alpha^*$ bzw. $\alpha^* + \frac{\pi}{2}$ in $\tau_{x^*y^*}$ ein, so sieht man, dass die Schubspannungen für diejenigen Schnittrichtungen verschwinden, für die Normalspannungen Extremwerte anne...
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Anorganische Chemie

  1. Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    Säure-Base-Titration, Alkalimetrie, Acidimetrie
    ... hätte. Es gilt für diesen Bereich folgenden Ungleichung: $ [H_3O^+] > [OH^-] $. Nach ca. $ 10 ml $ $ NaOH $ können wir einen pH-Sprung feststellen, welcher den Übergang vom sauren in den basischen Bereich einläutet. Daraufhin ändert sich die vorherige Ungleichung zu: $ [H_3O^+] < [OH^-] $. Der Neutralpunkt dieser und anderer Kurven liegt immer bei einem pH-Wert = 7. Hier gilt die Gleichung: $ [H_3O^+] = [OH^-] $.    In unserem Fall fallen Äquivalenzpunkt und Neutralpunkt zusammen. ...
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Methodische Produktentwicklung

  1. Funktions-Kosten-Analyse
    Funktionsanalyse > Funktions-Kosten-Analyse
    Funktions-Kosten-Analyse
    ... Funktionstypen kann mit Hilfe der nachfolgenden Ungleichungen erfolgen: Kostentreibende Funktionen: $ \frac{Kostentreibende  Funktion}{Gewichtung der Funktion} > 1 $ Potenzialbehaftete Funktionen: $ \frac{Kostentreibende  Funktion}{Gewichtung der Funktion} < 1 $ Das Ziel der Identifikation von kostentreibenden und potenzialbehafteten Funktionen besteht darin, aufzuzeigen welche Funktionen eine erhöhte Priorität bei der Optimierung besitzen.  In der nachfolgenden Abbildung sehen ...
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Werkstofftechnik 1

  1. Orowan-Mechanismus
    Mechanische Eigenschaften > Festigkeitssteigerung > Teilcheneinlagerung > Orowan-Mechanismus
    Orowan-Mechanismus
    ... vorliegt, lässt sich durch nachfolgende Ungleichungen entscheiden: Der Orowan-Mechanismus liegt vor, wenn $\triangle \tau_s > \triangle \tau_0 $ ist.  Der Schneidvorgang liegt vor, wenn $\triangle \tau_s < \triangle \tau_0 $ ist. Ein Sonderfall liegt vor, wenn $\triangle \tau_s = \triangle \tau_0 $. Hier besteht ein fließender Übergang zwischen beiden Mechanismen. Die Gleichung für die dabei begrenzte kritische Teilchengröße ist$\ d_k = \frac{G \cdot b^2}{\pi \cdot \gamma}$. Ob ...
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Elektrotechnik

  1. Kennwerte
    Wechselstrom > Wechselgrößen und Grundgesetze > Sinusgrößen > Kennwerte
    ... zu verdeutlichen, siehe die nachfolgenden Ungleichungen: Sinusstrom: $ i_{max} = | i_{min} | = \hat{i} > 0 $ Sinusspannung: $ u_{max} = | u_{min} | = \hat{u} > 0 $ Periodendauer, Kreisfrequenz, Frequenz Im Gegensatz zu anderen allgemeinen Wechselgrößen enthält eine Sinusgröße nur eine Frequenz $ f $, die dem Kehrwert ihrer Periodendauer $ T$ entspricht. Dabei ist $ T $ die Zeit für eine volle Periode: Frequenz: $ f = \frac{1}{T} $ Aus der Bedingung $\omega t = 2 \pi ...
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