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Maschinenelemente 1 - Festigkeitsberechnung einer Bolzen- und Stiftverbindung

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Maschinenelemente 1

Festigkeitsberechnung einer Bolzen- und Stiftverbindung

Stiftverbindung
Stiftverbindung

Möchte man die Festigkeit einer Bolzen- bzw. Stiftverbindung durch eine Beanspruchungsberechnung ermitteln, ist dieser Vorgang komplex. Dies hat folgende Ursachen:

  1. Die Vorspannung infolge des Einschlagens und der überlagerten Verformung von Stift und Bauteil unter der Belastung.
  2. Das Auftreten plastischer Verformungen ohne Einfluss auf das Übertragungsverhalten.
  3. Die verformungsabhängig einstellenden Kontakt- und Kerbspannungen bei spielbehafteten Bolzen-Laschen-Verbindungen.
  4. Ungleichmäßige Aufteilung der Belastung auf die einzelnen Stifte bei mehreren Stiftreihen, entsprechend des Verformungsverhaltens der Bauteile. 
Belastungsverlauf einer Bolzenverbindung
Belastungsverlauf einer Bolzenverbindung

Um dennoch zu einem tragfähigen Ergebnis zu gelangen, werden Annahmen und Vereinfachungen getroffen.

Annahmen:

  • Vernachlässigung der Verformung
  • Lineare Beanspruchungsverteilung vorliegend

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Abscheren

In der nächsten Abbildung sehen Sie eine Welle-Nabe-Verbindung, die durch einen Bolzen gewährleistet wird: 

Welle-Nabe-Verbindung mit Bolzen
Welle-Nabe-Verbindung mit Bolzen

Die mittlere Scherspannung ist definiert durch:

Merke

Mittlere Scherspannung: $\tau = \frac{F}{A} = \frac{4 \cdot F}{\pi \cdot d^2} $

Bei Querstiften in Welle-Nabe-Verbindungen wird die zugehörige Umfangskraft $ F_u $ an der Schnittstelle berechnet. Die Umfangskraft ist definiert durch:

Merke

Umfangskraft: $ F_u = \frac{2 \cdot T}{D} $ wobei das $ T $ für das Drehmoment steht. 

Die Umfangskraft $ F_u $ teilt sich entsprechend in $ 2 \cdot \frac{F_u}{2} $ auf. 

Aus diesem Grund erhält man für die Scherspannung die Gleichung:

Merke

Scherspannung: $ \tau = \frac{F_u}{2 \cdot A} \rightarrow = \frac{T}{A \cdot D } \rightarrow = \frac{4 T}{\pi \cdot d^2 \cdot D} $.

Für die zulässige Scherspannung $\tau_{zul} $ gilt dabei:

Merke

Zulässige Scherspannung: $\tau_{zul} =\frac{ \tau_F}{\nu} $ mit $\nu = 2-4 $. 

Methode

Liegt eine Doppelpassung vor, so müssen beide Teile identisch belastbar sein, da es ansonsten zu einer Unsymmetrie kommt. 

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Abscheren und Biegung 

In der nächsten Abbildung sehen Sie einen eingeschlagenen Bolzen, der durch eine Kraft $ F $ belastet wird. 

Bolzen mit zusätzlichen Biegespannungen
Bolzen mit zusätzlichen Biegespannungen

Es treten sowohl Scherspannung als auch Biegespannungen auf.

Die Scherspannung ergibt sich wie oben durch $\tau_a = \frac{F}{A} $.

Neu sind nun die zusätzlich auftretenden Biegespannungen infolge der Kraft $ F $. Formal beschrieben wird die Biegespannung durch:

Merke

Biegespannung: $\sigma_b = \frac{Mb}{Wb} \rightarrow = \frac{F \cdot l_F \cdot 32}{\pi \cdot d^3} $ .

$ l_F $ steht hierbei für den Hebelarm.

Für die Vergleichspannung gilt nach der Gestaltenergieänderungshypothese [GEH]:

Merke

Vergleichsspannung: $\sigma_v = \sqrt{\sigma_b^3 + 3 \cdot \tau^2} $.

Die erforderliche Sicherheit $\nu = 2-4 $ .

Liegt wie in der nächsten Abbildung nur eine sehr kurze Einspannung vor, so wird in Stiftverbindungen die Biegung vernachlässigt.

Gabelkopf unter Belastung
Gabelkopf unter Belastung

Für die vereinfachte Berechnung des Biegemoments schätzt man die wirksame Abstützung. In unserer Abbildung ist an der Stelle A des abgebildeten Gabelkopfs die max. Biegespannung $\sigma_{max} $: 

Merke

Maximale Biegespannung: $\sigma_{max} =  \frac{M_b}{W_b} \rightarrow = \frac{1}{2} \cdot F \cdot ( \frac{a}{2} + \frac{b}{4} \cdot \frac{1}{W_b}) $.

An der Schnittstelle B hingegen ist die Biegespannung $\sigma_{bB} $ definiert durch:

Merke

Biegespannung: $\sigma_{bB} = \frac{M_b}{W_b} \rightarrow = \frac{1}{2} \cdot F \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{W_b} $.

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Flächenpressung

In dieser Belastungsvariante ergibt sich eine Flächenpressung aus der Überlagerung von Querkraft und Biegung.

Flächenpressung am Stift
Flächenpressung am Stift

In der Abbildung sehen Sie erneut einen Stift, an dessen Kopf eine Feder befestigt ist und an deren Ende eine Kraft $ F $ wirkt. 

Die Querkraft errechnet sich aus:

Merke

Querkraft: $ P_d = \frac{F}{s \cdot d} $.

Die Biegung $ P_b $ erhalten wir durch Umstellung der Momentengleichung. Die Momentengleichung um den Punkt (gelb) hat die Form:

Merke

Momentengleichung: $ P_b \cdot \frac{s}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot d \cdot \frac{s}{2} = F \cdot (l_F + \frac{s}{2}) $ .

Löst man die Momentengleichung nach $ P_b $ auf so erhält man:

Merke

Biegung: $ P_b = 6 \cdot F \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s^2 \cdot d} $ .

Mit den Gleichung für die Querkraft und die Biegung können wir schließlich auch die Gleichung für die maximaler Flächenpressung aufstellen, die sich aus beiden ergibt:

Merke

Maximale Flächenpressung: $ P_{max} = P_d + P_b =  \frac{F}{s \cdot d} ( 1 + 6 \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s}) $ .