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Maschinenelemente 1

Festigkeitsberechnung einer Bolzen- und Stiftverbindung

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Möchte man die Festigkeit einer Bolzen- bzw. Stiftverbindung durch eine Beanspruchungsberechnung ermitteln, ist dieser Vorgang komplex. Dies hat folgende Ursachen:

  1. die Vorspannung infolge des Einschlagens und der überlagerten Verformung von Stift und Bauteil unter der Belastung
  2. das Auftreten plastischer Verformungen ohne Einfluss auf das Übertragungsverhalten
  3. die verformungsabhängig einstellenden Kontakt- und Kerbspannungen bei spielbehafteten Bolzen-Laschen-Verbindungen
  4. ungleichmäßige Aufteilung der Belastung auf die einzelnen Stifte bei mehreren Stiftreihen, entsprechend des Verformungsverhaltens der Bauteile
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Um dennoch zu einem belastbaren Ergebnis zu gelangen, werden Annahmen und Vereinfachungen getroffen.

Annahmen:

  • Vernachlässigung der Verformung
  • lineare Beanspruchungsverteilung vorliegend

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Abscheren

In der nächsten Abbildung siehst du eine Welle-Nabe-Verbindung, die durch einen Bolzen gewährleistet wird.

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Die mittlere Scherspannung ist definiert durch:

Methode

mittlere Scherspannung: $\tau = \frac{F}{A} = \frac{4 \, \cdot \, F}{\pi \, \cdot \, d^2} $

Bei Querstiften in Welle-Nabe-Verbindungen wird die zugehörige Umfangskraft $ F_u $ an der Schnittstelle berechnet. Die Umfangskraft ist definiert durch:

Methode

Umfangskraft: $ F_u = \frac{2 \, \cdot \, T}{D} $   mit   $ T $ = Drehmoment

Die Umfangskraft $ F_u $ teilt sich entsprechend in $ 2 \cdot \frac{F_u}{2} $ auf. 

Aus diesem Grund erhält man für die Gleichung der Scherspannung:

Methode

Scherspannung: $ \tau = \frac{F_u}{2 \, \cdot \, A} = \frac{T}{A \, \cdot \, D } = \frac{4 \, T}{\pi \, \cdot \, d^2 \, \cdot \, D} $

Für die zulässige Scherspannung $\tau_{zul} $ gilt dabei:

Methode

zulässige Scherspannung: $\tau_{zul} =\frac{\tau_F}{\nu} \, \, \, $  mit   $ \, \, \, \nu = 2 $ bis $ 4 $

$ \nu $ ist die erforderliche Sicherheit.

Merke

Liegt eine Doppelpassung vor, so müssen beide Teile identisch belastbar sein, da es ansonsten zu einer Unsymmetrie kommt. 

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Abscheren und Biegung 

In der nächsten Abbildung siehst du einen eingeschlagenen Bolzen, der durch eine Kraft $ F $ belastet wird. 

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Es treten sowohl eine Scherspannung als auch Biegespannungen auf.

Die Scherspannung ergibt sich wie oben durch $\tau_a = \frac{F}{A} $.

Neu sind nun die zusätzlich auftretenden Biegespannungen infolge der Kraft $ F $.

Formal beschrieben wird die Biegespannung durch:

Methode

Biegespannung: $\sigma_b = \frac{M_b}{W_b} = \frac{F \, \cdot \, l_F \, \cdot \, 32}{\pi \, \cdot \, d^3} $
  • $ l_F $ = Länge des Hebelarms
  • $ M_b $ = Biegemoment
  • $ W_b $ = Biegewiderstandsmoment

Für die Vergleichsspannung gilt nach der Gestaltenergieänderungshypothese (GEH):

Methode

Vergleichsspannung: $\sigma_v = \sqrt{\sigma_b^2 + 3 \cdot \tau^2} \, \, \, $ mit $ \, \, \, \nu = 2 $ bis $ 4 $

Liegt wie in der nächsten Abbildung nur eine sehr kurze Einspannung vor, so wird in Stiftverbindungen die Biegung vernachlässigt.

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Für die vereinfachte Berechnung des Biegemoments schätzt man die wirksame Abstützung. In unserer Abbildung beträgt die maximale Biegespannung $\sigma_{max} $ an der Stelle A des abgebildeten Gabelkopfs: 

Methode

maximale Biegespannung: $\sigma_{max} =  \frac{M_b}{W_b} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot (\frac{a}{2} + \frac{b}{4}) \cdot \frac{1}{W_b} $

An der Schnittstelle B hingegen ist die Biegespannung $\sigma_{bB} $ definiert durch:

Methode

Biegespannung: $\sigma_{bB} = \frac{M_b}{W_b} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{W_b} $

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Flächenpressung

In dieser Belastungsvariante ergibt sich eine Flächenpressung aus der Überlagerung von Querkraft und Biegung.

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In der Abbildung entdeckst du erneut einen Stift, an dessen Kopf eine Feder befestigt ist, an deren Ende eine Kraft $ F $ wirkt. 

Die Querkraft errechnet sich aus:

Methode

Querkraft: $ P_d = \frac{F}{s \, \cdot \, d} $

Die Biegung $ P_b $ erhalten wir durch Umstellung der Momentengleichung. Die Momentengleichung um den Punkt (gelb) hat die Form:

Methode

Momentengleichung: $ P_b \cdot \frac{s}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot d \cdot \frac{s}{2} = F \cdot (l_F + \frac{s}{2}) $

Löst man die Momentengleichung nach $ P_b $ auf, so erhält man:

Methode

Biegung: $ P_b = 6 \cdot F \cdot \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s^2 \, \cdot \, d} $

Mit den Gleichungen für die Querkraft und die Biegung können wir schließlich auch die Gleichung für die maximale Flächenpressung aufstellen, die sich aus beiden ergibt:

Methode

maximale Flächenpressung: $ P_{max} = P_d + P_b =  \frac{F}{s \, \cdot \, d} (1 + 6 \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s}) $