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Maschinenelemente 1

Festigkeitsberechnung einer Bolzen- und Stiftverbindung

Stiftverbindung
Stiftverbindung

Möchte man die Festigkeit einer Bolzen- bzw. Stiftverbindung durch eine Beanspruchungsberechnung ermitteln, ist dieser Vorgang komplex. Dies hat folgende Ursachen:

  1. die Vorspannung infolge des Einschlagens und der überlagerten Verformung von Stift und Bauteil unter der Belastung
  2. das Auftreten plastischer Verformungen ohne Einfluss auf das Übertragungsverhalten
  3. die verformungsabhängig einstellenden Kontakt- und Kerbspannungen bei spielbehafteten Bolzen-Laschen-Verbindungen
  4. ungleichmäßige Aufteilung der Belastung auf die einzelnen Stifte bei mehreren Stiftreihen, entsprechend des Verformungsverhaltens der Bauteile
Belastungsverlauf einer Bolzenverbindung
Belastungsverlauf einer Bolzenverbindung

 

Um dennoch zu einem belastbaren Ergebnis zu gelangen, werden Annahmen und Vereinfachungen getroffen.

Annahmen:

  • Vernachlässigung der Verformung
  • lineare Beanspruchungsverteilung vorliegend

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Abscheren

In der nächsten Abbildung siehst du eine Welle-Nabe-Verbindung, die durch einen Bolzen gewährleistet wird.

Welle-Nabe-Verbindung mit Bolzen
Welle-Nabe-Verbindung mit Bolzen

 

Die mittlere Scherspannung ist definiert durch:

Merke

Hier klicken zum Ausklappenmittlere Scherspannung: $\tau = \frac{F}{A} = \frac{4 \, \cdot \, F}{\pi \, \cdot \, d^2} $

Bei Querstiften in Welle-Nabe-Verbindungen wird die zugehörige Umfangskraft $ F_u $ an der Schnittstelle berechnet. Die Umfangskraft ist definiert durch:

Merke

Hier klicken zum AusklappenUmfangskraft: $ F_u = \frac{2 \, \cdot \, T}{D} $   mit   $ T $ = Drehmoment

Die Umfangskraft $ F_u $ teilt sich entsprechend in $ 2 \cdot \frac{F_u}{2} $ auf. 

Aus diesem Grund erhält man für die Gleichung der Scherspannung:

Merke

Hier klicken zum AusklappenScherspannung: $ \tau = \frac{F_u}{2 \, \cdot \, A} = \frac{T}{A \, \cdot \, D } = \frac{4 \, T}{\pi \, \cdot \, d^2 \, \cdot \, D} $

Für die zulässige Scherspannung $\tau_{zul} $ gilt dabei:

Merke

Hier klicken zum Ausklappenzulässige Scherspannung: $\tau_{zul} =\frac{\tau_F}{\nu} \, \, \, $  mit   $ \, \, \, \nu = 2 $ bis $ 4 $

$ \nu $ ist die erforderliche Sicherheit.

Methode

Hier klicken zum AusklappenLiegt eine Doppelpassung vor, so müssen beide Teile identisch belastbar sein, da es ansonsten zu einer Unsymmetrie kommt. 

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Abscheren und Biegung 

In der nächsten Abbildung siehst du einen eingeschlagenen Bolzen, der durch eine Kraft $ F $ belastet wird. 

Bolzen mit zusätzlichen Biegespannungen
Bolzen mit zusätzlichen Biegespannungen

Es treten sowohl eine Scherspannung als auch Biegespannungen auf.

Die Scherspannung ergibt sich wie oben durch $\tau_a = \frac{F}{A} $.

Neu sind nun die zusätzlich auftretenden Biegespannungen infolge der Kraft $ F $. Formal beschrieben wird die Biegespannung durch:

Merke

Hier klicken zum AusklappenBiegespannung: $\sigma_b = \frac{M_b}{W_b} = \frac{F \, \cdot \, l_F \, \cdot \, 32}{\pi \, \cdot \, d^3} $
  • $ l_F $ = Länge des Hebelarms
  • $ M_b $ = Biegemoment
  • $ W_b $ = Biegewiderstandsmoment

Für die Vergleichsspannung gilt nach der Gestaltenergieänderungshypothese (GEH):

Merke

Hier klicken zum AusklappenVergleichsspannung: $\sigma_v = \sqrt{\sigma_b^2 + 3 \cdot \tau^2} \, \, \, $ mit $ \, \, \, \nu = 2 $ bis $ 4 $

Liegt wie in der nächsten Abbildung nur eine sehr kurze Einspannung vor, so wird in Stiftverbindungen die Biegung vernachlässigt.

Gabelkopf unter Belastung
Gabelkopf unter Belastung

Für die vereinfachte Berechnung des Biegemoments schätzt man die wirksame Abstützung. In unserer Abbildung beträgt die maximale Biegespannung $\sigma_{max} $ an der Stelle A des abgebildeten Gabelkopfs: 

Merke

Hier klicken zum Ausklappenmaximale Biegespannung: $\sigma_{max} =  \frac{M_b}{W_b} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot (\frac{a}{2} + \frac{b}{4} \cdot \frac{1}{W_b}) $

An der Schnittstelle B hingegen ist die Biegespannung $\sigma_{bB} $ definiert durch:

Merke

Hier klicken zum AusklappenBiegespannung: $\sigma_{bB} = \frac{M_b}{W_b} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{W_b} $

Vereinfachungen bezüglich der Versagensursache Flächenpressung

In dieser Belastungsvariante ergibt sich eine Flächenpressung aus der Überlagerung von Querkraft und Biegung.

Flächenpressung am Stift
Flächenpressung am Stift

In der Abbildung entdeckst du erneut einen Stift, an dessen Kopf eine Feder befestigt ist, an deren Ende eine Kraft $ F $ wirkt. 

Die Querkraft errechnet sich aus:

Merke

Hier klicken zum AusklappenQuerkraft: $ P_d = \frac{F}{s \, \cdot \, d} $

Die Biegung $ P_b $ erhalten wir durch Umstellung der Momentengleichung. Die Momentengleichung um den Punkt (gelb) hat die Form:

Merke

Hier klicken zum AusklappenMomentengleichung: $ P_b \cdot \frac{s}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot d \cdot \frac{s}{2} = F \cdot (l_F + \frac{s}{2}) $

Löst man die Momentengleichung nach $ P_b $ auf, so erhält man:

Merke

Hier klicken zum AusklappenBiegung: $ P_b = 6 \cdot F \cdot \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s^2 \, \cdot \, d} $

Mit den Gleichungen für die Querkraft und die Biegung können wir schließlich auch die Gleichung für die maximale Flächenpressung aufstellen, die sich aus beiden ergibt:

Merke

Hier klicken zum Ausklappenmaximale Flächenpressung: $ P_{max} = P_d + P_b =  \frac{F}{s \, \cdot \, d} (1 + 6 \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s}) $