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Physik

Gewichtskraft, Federkraft

Gewichtskraft

Gewichte
Gewichte

Bei der Gewichtskraft handelt es sich im diejenige Kraft, mit der ein Körper in Erdbodennähe von der Erde angezogen wird. Berechnet wird die Gewichtskraft, indem die träge Masse $m$ herangezogen wird:

$G = m \cdot g$

Dabei ist $g$ die Erdbeschleunigung und $m$ die träge Masse des betrachteten Körpers. Je schwerer der Köper, desto größer die Gewichtskraft. 

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Für die Erdbeschleunigung kann auf der Erdoberfläche der Näherungswert $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ verwendet werden.

Für eine exaktere Bestimmung der Gewichtskraft $G$ kann die Ortsabhängigkeit der Erdbeschleunigung (am Äquator $g = 9,78 \frac{m}{s^2}$, an den Polen $g = 9,83 \frac{m}{s^2}$) mithilfe der Normalschwereformeln bestimmt werden.

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Normalschwereformeln stellen mathematische Ausdrücke dar, die es erlauben die Erdbeschleunigung an einem Punkt in der Nähe der Erdoberfläche annähernd genau abzuschätzen.

Betrachtet man die vektorielle Schreibweise, so ist die Erdbeschleunigung $\vec{g}$ eine senkrecht nach unten gerichtete Kraft:

$\vec{F} = m \cdot \vec{g}$ mit $\vec{g} =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -g \end{array}\right)$

Das Minuszeichen bedeutet, dass diese entgegen der $z$-Richtung des dreidimensionalen Koordinatensystems wirkt, wenn die positive $z$-Achse nach oben gerichtet ist.

Federkraft

Feder
Feder

Um einen elastischen Körper, z.B. eine Schraubenfeder, zusammenzudrücken bzw. auseinanderzuziehen muss eine Kraft aufgewendet werden. Wirkt die aufgewendete Kraft nicht mehr auf die Feder ein, so kehrt die Feder in ihre Ruhelage zurück. Handelt es sich im eine ideale Feder, so nimmt die Auslenkung $s$ linear mit zunehmender Kraft $F_s$ zu. 

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Es gilt: Je länger die Strecke $s$ ist, um die eine Feder zusammengedrückt oder auseinandergezogen wird, desto stärker ist die entgegenwirkende Spannkraft $F_s$ der Feder.

Zur Berechnung der Federkraft, kann die folgende Formel verwendet werden (auch als hooksches Gesetz bezeichnet):

Methode

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$F_s = -k \cdot s$              Federkraft

mit

$F_s$  Federkraft

$k$  Federkonstante

$s$ Auslenkung bzw. Federweg

Das Minuszeichen innerhalb der Gleichung bedeutet, dass Richtung der Auslenkung einer Feder der Federkraft $F_s$ entgegengesetzt ist, bezogen auf ihre Ruhelage. 

Federkraft
Federkraft

Federkonstante

Die Federkonstante $k$ ist abhängig vom Material und der Form der Feder. Die Federkonstante $k$ (Federhärte) einer Schraubenfeder nimmt mit zunehmender Dicke des Drahtes zu und ebenso durch eine engere Wicklung des Drahtes. Angegeben wird die Federkonstante in $\frac{N}{m}$.

Anwendungsbeispiel: Federkraft

Beispiel

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Gegeben sei eine Feder die von einer Kraft $F_1 = 5,4 N$ auf eine Länge von $l_1 = 65 mm$ bzw. von einer Kraft $F_2 = 12,5 N$ auf $l_2 = 85,4 mm$ gedehnt wird.

Wie groß ist die Federkonstante $k$?

Wie lang $l$ ist die Feder im unbelasteten Zustand?

Welche Kraft muss aufgewendet werden um die Feder auf eine Länge von 95 mm zu dehnen?

Wie groß ist die Federkonstante?

Die beiden Federkräfte werden bestimmt zu:

$F_1 = k \cdot s_1$

$F_2 = k \cdot s_2$


Dabei ist $s$ der Weg, welchen die Feder gedehnt wird, also die Verlängerung der Feder $s = l_1-l$ bzw. $s = l_2-l$:

$F_1 = k \cdot (l_1-l)$

$F_2 = k \cdot (l_2-l)$

Auflösen der Klammern:

(1) $F_1 = k \cdot l_1 - k \cdot l$

(2) $F_2 = k \cdot l_2 - k \cdot l$

Auflösen von (1) nach $l$:

$l = \frac{-F_1 + k \cdot l_1}{k}$

Einsetzen in (2):

$F_2 = k \cdot l_2 - k \cdot \frac{-F_1 + k \cdot l_1}{k}$

$F_2 = k \cdot l_2 - k \cdot \frac{-F_1 + k \cdot l_1}{k}$

$F_2 = k \cdot l_2 + F_1 - k \cdot l_1$


Auflösen nach $k$:

$F_2 - F_1 = k \cdot l_2  - k \cdot l_1$

$F_2 - F_1 = k \cdot ( l_2  - l_1)$

$k = \frac{F_2 - F_1}{l_2 - l_1}$

Einsetzen der Werte:

$k =  \frac{12,5 N - 5,4 N}{85,4 mm - 65 mm}$

$k = 0,35 $

Wie lang ist die Feder im unbelasteten Zustand?

Dazu ziehen wir die oben nach $l$ aufgelöste Gleichung heran:

$l = \frac{-F_1 + k \cdot l_1}{k}$

Einsetzen der Werte:

$l = \frac{-5,4 N + 0,35 \cdot 65mm}{0,35}$

$l = 49,57 mm$

Welche Kraft muss aufgewendet werden?

Die Feder soll auf eine Länge von 95mm gedehnt werden. Die Verlängerung der Feder $s$ beträgt damit:

$s = 95mm - l = 95mm - 49,57mm = 45,43mm$.

Die Kraft kann nun aus der Federkraft bestimmt werden:

$F = k \cdot s$

$F = 0,35 \cdot 45,43mm = 15,9 N$.