Analysis und Lineare Algebra

  1. Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    ... k\pi$Extrema $\ x_E$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$--Wendepunkte $\ x_W$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$$\ k\pi$$ \pi/2 + k\pi$Asymptoten--$ y= \pi/2 + k\pi$$\ y= k\pi$ 
  2. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Funktionen mit Steigung, Sattel- und Wendepunkten
    ... Außerdem können Sattelpunkte, Wendepunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden.Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und TiefpunktIn der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. Der $\color{blue}{\mathbf{blaue}}$ Graphen ist durch ein negatives Vorzeichen gespiegelt und steigt somit zuerst, um dann nach Durchschreiten ...
  3. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Steigung
    ... auf, so erhält man die Extrempunkte bzw. Wendepunkte der Funktion. Um diese jedoch genau bestimmen zu können, benötigt man die nächst höhere Ableitung.
  4. Ableitungen höherer Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen höherer Ordnung
    Krmmungsverhalten
    ... über. Diesem Punkt nennt man Wendepunkt.
  5. Wendepunkte
    Differentialrechnung > Wendepunkte
    Wendepunkt
    Ein Wendepunkt ist der Punkt $(x, y)$ an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt.Einen Wendepunkt bestimmt man, indem man die 2. Ableitung $f´´(x)$ gleich Null setzt und nach $x$ auflöst. Den sich ergebenden $x$-Wert setzt man in die 3. Ableitung $f´´´(x)$  ein:Für einen Wendepunkt an der Stelle ...
  6. Extremwerte
    Differentialrechnung > Extremwerte
    Extremwerte
    ...  $n$  ungerade so liegt ein Horizontalwendepunkt vor.Extremstellen berechnenExtremwerte sind nur vorhanden, wenn(1)  $f´(x) = 0$  ist  (kritische Punkte) oder(2)  $f(x)$  nicht differenzierbar ist (z.B. Randpunkte).Vorgehensweise(1) kritische Punkte:(a) Untersuchung der kritischen Punkte ohne höhere Ableitung:(a1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:  $f´(x) = 0$  setzen (kritische Punkte)(a2) Werte > und <  $x_0$ ...
  7. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Newton
    ... durchzuführen (Extrempunkte, Wendepunkt etc. bestimmen), um die Lage der Nullstellen in etwa abschätzen zu können. Beispiel: In diesem Beispiel hat die Funktion bei  $x = -1$  ein Maximum (siehe Kapitel: Extremwerte). In den vorherigen Kapiteln wurde gezeigt, dass vor einem Maximum die Funktion monoton steigt. Da das Maximum einen Funktionswert von $f(-1) = 4$  besitzt und damit oberhalb der $x$-Achse liegt und die Funktion vor diesem Punkt für $(\infty, ...
Analysis und Lineare Algebra
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    ...te geht es um die Differentialrechnung. Es werden Wendepunkte und Extremwerte von Funktionen bestimmt, gezeigt, wie der Mittelwertsatz angewandt und eine Funktion hinsichtlich Konvexität und Konkavität sowie Monotonie untersucht wird....