Analysis und Lineare Algebra

  1. Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen > Trigonometrische Funktion > Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    ... $\ x_E$ $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ - - Wendepunkte $\ x_W$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$ Asymptoten - - $ y= \pi/2 + k\pi$ $\ y= k\pi$ Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen Das Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen verhält sich in den einzelnen Quadranten wie in der unten angegeben Grafik.  Quadrant sin cos tan  cot I + + + + II + - - - III - - + + IV - + - - Begründung: $cos(\alpha) ...
  2. Ableitungen
    Differentialrechnung > Ableitungen
    Ableitungen
    ... oder fällt. Außerdem können Sattelpunkte, Wendepunkte sowie Hoch- und Tiefpunkte bestimmt werden. Funktionen mit Steigung, Sattelpunkt, Hochpunkt und Tiefpunkt In der obigen Abbildung sind drei Graphen eingezeichnet. Der $\color{orange}{\mathbf{orangene}}$ Graph fällt zuerst, erreicht bei (0;3) seinen Tiefpunkt und steigt anschließend wieder. Der $\color{blue}{\mathbf{blaue}}$ Graphen ist durch ein negatives Vorzeichen gespiegelt und steigt somit zuerst, um dann nach Durchschreiten ...
  3. Ableitungen erster Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung
    Ableitungen erster Ordnung
    ... $x$ auf, so erhält man die Extrempunkte bzw. Wendepunkte der Funktion. Um diese jedoch genau bestimmen zu können, benötigt man die nächst höhere Ableitung.
  4. Ableitungen höherer Ordnung
    Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen höherer Ordnung
    Ableitungen höherer Ordnung
    ... Linkskrümmung über. Diesem Punkt nennt man Wendepunkt.
  5. Wendepunkte
    Differentialrechnung > Wendepunkte
    Wendepunkte
    Ein Wendepunkt ist der Punkt $(x, y)$ an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Einen Wendepunkt bestimmt man, indem man die 2. Ableitung $f´´(x)$ gleich Null setzt und nach $x$ auflöst. Den sich ergebenden $x$-Wert setzt man in die 3. Ableitung $f´´´(x)$  ein: Für einen Wendepunkt an der Stelle $x$ gilt stets:   $f´´´(x) \neq 0$ Ist ...
  6. Extremwerte
    Differentialrechnung > Extremwerte
    Extremwerte
    ... ist  $n$  ungerade so liegt ein Horizontalwendepunkt vor. Extremstellen berechnen Extremwerte sind nur vorhanden, wenn (1)  $f´(x) = 0$  ist  (kritische Punkte) oder (2)  $f(x)$  nicht differenzierbar ist (z.B. Randpunkte). Vorgehensweise (1) kritische Punkte: (a) Untersuchung der kritischen Punkte ohne höhere Ableitung: (a1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:  $f´(x) = 0$  setzen (kritische Punkte) (a2) Werte > und <  $x_0$  in  $f´(x)$  einsetzen: - ...
  7. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
    ... Kurvendiskussion durchzuführen (Extrempunkte, Wendepunkt etc.) um herauszufinden wie die Funktion aussieht und dann die Nullstellen in etwa abschätzen zu können. Erst dann empfiehlt sich das Vorgehen mit dem Näherungsverfahren von Newton. Beispiel: In diesem Beispiel hat die Funktion bei  $x = -1$  ein Maximum (siehe Kapitel: Extremwerte). In den vorherigen Kapiteln wurde gezeigt, dass vor einem Maximum die Funktion monoton steigt. Da das Maximum einen Funktionswert von $f(-1) = 4$  besitzt ...
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