ZU DEN KURSEN!

Technische Mechanik 1: Statik - Culmann-Verfahren

Kursangebot | Technische Mechanik 1: Statik | Culmann-Verfahren

Technische Mechanik 1: Statik

Culmann-Verfahren

Das Culmann-Verfahren oder Vierkräfteverfahren ist ein Verfahren zur zeichnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte. Entwickelt wurde es von dem deutschen Bauingenieur Karl Culmann (1821–1881). 

Für die Anwendung des Culmann-Verfahrens müssen vier Kräfte gegeben sein. Die Wirkungslinien dieser Kräfte müssen vorgegeben sein sowie die Größe einer dieser Kräfte.  

Merke

Das Culmann-Verfahren kann nicht angewendet werden, wenn sich alle vier Wirkungslinien in einen Punkt schneiden, da in diesem Fall die Culmann-Gerade zum Punkt wird.

Im Folgenden soll die Anwendung des Culmann-Verfahrens zur Bestimmung der Größe und Richtung für drei unbekannte Kräfte aufgezeigt werden:

Culmann-Verfahren
Beispiel: Culmann-Verfahren

In der obigen Grafik ist eine gewichtslose Kiste gegeben, die durch die bekannte Kraft $F = 2 kN$ belastet wird. Es sollen die drei Lagerkräfte $A_h$, $A_v$ und $B$ mittels Culmann-Verfahren ermittelt werden.

Merke

Das Culmann-Verfahren kann hier angewandt werden, weil vier Kräfte und deren Wirkungslinien gegeben sind sowie die Größe einer Kraft bekannt ist (hier: $F$).

1.Maßstab wählen

Zunächst wird ein geeigneter Maßstab für die Kraft $F$ bestimmt. Als Maßstab wird $1 kN = 2cm$ gewählt, d.h. die Kraft $F$ wird mit der Länge von 4cm eingezeichnet. 

2. Wirkungslinien verlängern

Für jede Kraft werden die Wirkungslinie verlängert und die Schnittpunkte der Wirkungslinien markiert.

Culmann-Verfahren-Schnittpunkte
Schnittpunkte

Insgesamt ergeben sich 5 Schnittpunkte.

3. Zwei Schnittpunkte wählen

Es müssen zwei Schnittpunkte gewählt werden. Dabei werden die zwei Schnittpunkte so gewählt, das die Kräfte in die zwei Schnittpunkte verschoben werden. Jeder Schnittpunkt muss zwei unterschiedliche Kräfte aufweisen (jede Kraft darf nur in einem Schnittpunkt vorkommen).

Merke

Die Schnittpunkte 1 und 2 dürfen nicht gewählt werden, weil im Schnittpunkt 1 dann die Kräfte $A_h$ und $A_v$ liegen, im Schnittpunkt 1 aber nur die Kraft $F$ ($A_v$ darf nur in einem Schnittpunkt liegen). Die Kraft $B$ würde also gar nicht berücksichtigt, weil die Wirkungslinie von $B$ nicht den Schnittpunkt 2 nicht schneidet.

Gewählt werden können z.B. die Schnittpunkte

  • 1 und 4: $A_v$ und $F$ in 1, $A_h$ und $B$ in 4.
  • 2 und 5: $A_v$ und $A_h$ in 2, $F$ und $B$ in 5.

Wir wählen die Schnittpunkte 1 und 4 aus und verschieben die Kräfte mit ihren Anfangspunkten in die Schnittpunkte:

Culmann-Verfahren Kräfte verschieben
Kräfte verschieben


4. Culmann-Linie einzeichnen

Die Verbindung der zwei gewählten Schnittpunkte ergibt dann die Culmann-Gerade (CM).

Culmann-Gerade
Culmann-Gerade (CM)


5. Kraftplan zeichnen

Im nächsten Schritt wird der Kraftplan eingezeichnet. Hierzu beginnt man mit der bekannten Kraft $F$. Diese wird mit ihrer Richtung und ihrem Maßstab (=4cm) übernommen. Die Kraft $B$ und die Kraft $F$ liegen beide zusammen in einem Punkt, weshalb als nächstes die Kraft $B$ betrachtet wird und die Wirkungslinie dieser an die Spitze der Kraft $F$ gelegt wird. Danach wird die Culmann-Gerade an den Anfangspunkt der Kraft $F$ gelegt $\Rightarrow$ Es entsteht ein neuer Schnittpunkt zwischen CM und der Wirkungslinie der Kraft B:

Culmann-Verfahren Kraftplan
Kraftplan (1)

Der Betrag der Kraft $B$ ist in diesem Schritt bereits ermittelt. Die Kraft $B$ reicht von der Spitze der Kraft $F$ zum ermittelten Schnittpunkt hin. Wenn wir nun die Länge dieser Kraft messen, so können wir aus dem festgelegten Maßstab die Größe bestimmen. Die Länge beträgt 2,2 cm. Demnach weist die Kraft $B$ einen Betrag von $B = 1,1 kN$ auf.

Die verbleibenden beiden Kräfte werden nun wie folgt eingezeichnet

(I) Eine der beiden Kräfte wird als nächstes mit ihrer Wirkungslinie in den obigen Schnittpunkt zwischen der Wirkungslinie und der Culmann-Geraden gelegt,

(II) die andere Kraft wird dann mit ihrer Wirkungslinie an den Anfang der Kraft $F$ gelegt.

Welche Kraft wir für (I) und welche für (II) nehmen ist beliebig. Wir wählen für (1) $A_h$ und für (2) $A_v$:

Culmann-Verfahren Kraftplan
Schritt (I)

Aufgrund der Schnittpunkte kennen wir die Abmessungen und damit auch die Größen der Kräfte sowie deren Richtung:

Culmann-Verfahren Kraftplan
Schritt (II)

Die Abmessungen für $A_v$ sind 1,1cm und damit $A_v = 0,55 kN$. Für $A_h$ erhält man 2,5 cm und damit $A_h = 1,25 kN$. Die Richtung der Kräfte ist ebenfalls aus dem Plan zu entnehmen. Da es sich um ein Krafteck handelt, dürfen sich nur Spitze und Anfangspunkt zweier Kräfte treffen. Da dir Richtung von $F$ vorgegeben ist, muss $B$ nach oben wirken, die Kraft $A_H$ demnach nach links und die Kraft $A_v$ dann nach oben. 

In der nächsten Grafik wird nochmals aufgezeigt, dass die Reihenfolge der Kräfte für die Schritte (I) und (II) beliebig ist. Für die nachfolge Grafik würde für (I) $A_v$ und für (2) $A_h$ gewählt:

Culmann-Verfahren Kraftplan
Schritte (I) und (II)

Wichtige Voraussetzungen zur Anwendung dieses Verfahrens

Die Abmessungen des Körpers müssen mit berücksichtigt werden. Hier darf nicht einfach eine Skizze des betrachteten Körpers angefertigt werden, sondern die Abmessungen des Körpers müssen entweder maßstabgetreu (falls möglich) eingezeichnet werden oder einem Maßstab angepasst werden. Die Abstände zwischen den Kräften müssen bestehen bleiben. Weist das Lager $A$ z.B. einen Abstand vom Lager $B$ in Höhe von z.B. 4 m auf und wird der Maßstab $1m = 1cm$ gewählt, so muss der Abstand zwischen den beiden Lagern in der Zeichnung $4 cm$ entsprechen. Das gilt für alle Kräfte die auf den betrachteten Körper einwirken.

Sind mehrere äußere Kräfte und ihre Größen gegeben, so müssen diese zunächst zu einer Resultierenden zusammengefasst werden und die Lage der Resultierenden bestimmt werden. Danach kann das Verfahren wir oben angewendet werden.

Die Schnittpunkt sollten so gewählt werden, dass diese weit genug außeinander liegen, weil sonst die Culmann-Gerade sehr klein und der Kraftplan ungenau wird. Alternativ kann natürlich der Maßstab vergrößert werden.