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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion $f(x)$ diejenige Zahl $x_0$, für die $f(x_0) = 0$ gilt. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus.

Nullstellen
Nullstellen einer Polynomfunktion 3. Grades


Dort, wo der Graph der Funktion $f(x)$ die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von $f(x)$.  

Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit $n \ge 3$ hingegen, stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.

Berechnung der Nullstellen bei linearen Funktionen

Gegeben sei die Funktion $f(x) = 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst:

$3x - 12 = 0$

$3x = 12$

$x = 4$

Der Graph der Funktion $f(x) = 3x - 12$ schneidet die $x$-Achse bei $x = 4$.

Berechnung der Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2 + 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wenden wir die pq-Formel an:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

pq-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Mit $p = 3$ und $q = -12$ folgt:

$x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 12}$

$x_1 = 2,28$

$x_2 = -5,27$

Der Graph der Funktion $f(x) = x^2 + 3x - 12$ schneidet die $x$-Achse bei $x_1 = 2,28$ und $x_2 = -5,27$.

Sonderfälle für Funktionen mit Exponenten > 2

Ausklammern von Potenzen

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^3 + 2x^2  - 8x$. Durch Ausklammern von $x$ erhalten wir:

$f(x) = x(x^2 + 2x - 8)$

Nullsetzen ergibt:

$x(x^2 + 2x - 8) = 0 \;\;\;\;$ bzw. $\;\;\;\; x = 0 \;\;\;\;$ und $\;\;\;\; (x^2 + 2x - 8) = 0$

Die erste Nullstelle ist also: $x_1 = 0$

Für $(x^2 + 2x - 8) = 0$ ergeben sich mit der pq-Formel die weiteren Lösungen:

$x_2 = 2$

$x_3 = -4$

Substitution von Potenzen

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^4 - 19x^2 + 48$. Durch Ersetzen von $x^2$ durch $z$ erhalten wir:

$z^2 - 19z + 48 = 0$

Wir wenden die pq-Formel an und erhalten für $z$:

$z_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$z_{1,2} = -\frac{-19}{2} \pm \sqrt{(\frac{-19}{2})^2 - 48}$

$z_1 = 16$

$z_2 = 3$ 

Wir machen die Substitution rückgangig und erhalten mit $z = x^2$:

$x^2 = 16 \;\;\;\;$ und $\;\;\;\; x^2 = 3$

$\longrightarrow x_1 = 4 \;\;\;\; x_2 = -4 \;\;\;\; x_3 = \sqrt{3} \;\;\;\; x_4 = -\sqrt{3}$

Funktionen mit ganzzahligen Koeffizienten (Polynomdivision)

Ist $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ eine Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten (alle $a_i \in \mathbb{Z}$), dann gilt:

(1) Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler von $a_0$.

Ist der Hauptkoeffizient $a_n = 1$, so gilt:

(2) Jede rationale Nullstelle ist eine ganze Zahl und zwar ein Teiler von $a_0$.

Zum Auffinden der Nullstellen gehen wir wie folgt vor:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Ist $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ eine Funktion mit ganzen Koeffizienten (alle $a_i \in \mathbb{Z}, a_n = 1$), so sucht man alle Teiler von $a_0$. Danach setzt man die gefundenen Teiler in die Funktion ein. Für den Teiler, für welchen die Funktion den Wert null annimmt gilt, dass dieser eine Nullstelle der Funktion darstellt. Die erste Nullstelle ist demnach ermittelt. Der Wert der Nullstelle wird dann für die Polynomdivision verwendet. Nach deren Durchführung können dann die Nullstellen für die verbleibende Funktion (z. B. mittels pq-Formel für eine quadratische Funktion) bestimmt werden.


Dieses Vorgehen zeigen wir dir anhand des nachfolgenden Beispiels:

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben sei die Funktion $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$. Bestimme alle reellen Nullstellen der Funktion und spalte die Linearfaktoren ab!

(1) Funktion durch $a_n$ teilen, falls $a_n \neq 1$. Hier ist $a_n = 1$.

(2) Die Teiler von $a_0$ (hier: $-2$) sind $\pm 1$ und $\pm 2$. Probieren, d. h. Einsetzen von z. B. $x = 2$ zeigt, dass $f(2) = 0$. Das heißt $x_1 = 2$ ist eine Nullstelle der Funktion.

(3) Polynomdivision durchführen:

Da $x = 2 \, \Longrightarrow \, 0 = x - 2$, dividieren wir $f(x)$ durch $(x - 2)$.

$\;\;\;\;\;\; (x^3 - 2x^2 + x - 2) : (x - 2) = x^2 + 1 $

$(-) (x^3 - 2x^2)$

_________________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x  - 2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, (-)(x - 2)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ ______________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0$

Das Ergebnis  $x^2 + 1$  hat keine reelle Nullstelle, da $x = \sqrt{-1}$ (Wurzel aus negativer Zahl in $\mathbb{R}$ nicht möglich). Das beudeutet, $x = 2$ ist die einzige reelle Nullstelle. 

Würde sich nach der Division eine Funktion ergeben, welche noch Nullstellen besitzt, dann müsste für diese mithilfe des oben genannten Vorgehens (pq-Formel, Substitution, Ausklammern etc.) weitere Nullstellen bestimmt werden.

Video: Nullstellen ganzrationaler Funktionen