Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion $f(x)$ diejenige Zahl $x_0$, für die $f(x_0) = 0$ gilt. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus.

Nullstellen einer Polynomfunktion 3. Grades

Dort, wo der Graph der Funktion $f(x)$ die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von $f(x)$.  

Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit $n \ge 3$ hingegen, stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.

Berechnung der Nullstellen bei linearen Funktionen

Gegeben sei die Funktion $f(x) = 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst:

$3x - 12 = 0$

$3x = 12$

$x = 4$

Der Graph der Funktion $f(x) = 3x - 12$ schneidet die $x$-Achse bei $x = 4$.

Berechnung der Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2 + 3x - 12$. Zur Berechnung der Nullstelle wenden wir die pq-Formel an:

Mit $p = 3$ und $q = -12$ folgt:

$x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 12}$

$x_1 = 2,28$

$x_2 = -5,27$

Der Graph der Funktion $f(x) = x^2 + 3x - 12$ schneidet die $x$-Achse bei $x_1 = 2,28$ und $x_2 = -5,27$.

Sonderfälle für Funktionen mit Exponenten > 2

Ausklammern von Potenzen

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^3 + 2x^2  - 8x$. Durch Ausklammern von $x$ erhalten wir:

$f(x) = x(x^2 + 2x - 8)$

Nullsetzen ergibt:

$x(x^2 + 2x - 8) = 0 \;\;\;\;$ bzw. $\;\;\;\; x = 0 \;\;\;\;$ und $\;\;\;\; (x^2 + 2x - 8) = 0$

Die erste Nullstelle ist also: $x_1 = 0$

Für $(x^2 + 2x - 8) = 0$ ergeben sich mit der pq-Formel die weiteren Lösungen:

$x_2 = 2$

$x_3 = -4$

Substitution von Potenzen

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^4 - 19x^2 + 48$. Durch Ersetzen von $x^2$ durch $z$ erhalten wir:

$z^2 - 19z + 48 = 0$

Wir wenden die pq-Formel an und erhalten für $z$:

$z_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$z_{1,2} = -\frac{-19}{2} \pm \sqrt{(\frac{-19}{2})^2 - 48}$

$z_1 = 16$

$z_2 = 3$ 

Wir machen die Substitution rückgangig und erhalten mit $z = x^2$:

$x^2 = 16 \;\;\;\;$ und $\;\;\;\; x^2 = 3$

$\longrightarrow x_1 = 4 \;\;\;\; x_2 = -4 \;\;\;\; x_3 = \sqrt{3} \;\;\;\; x_4 = -\sqrt{3}$

Funktionen mit ganzzahligen Koeffizienten (Polynomdivision)

Ist $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ eine Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten (alle $a_i \in \mathbb{Z}$), dann gilt:

(1) Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler von $a_0$.

Ist der Hauptkoeffizient $a_n = 1$, so gilt:

(2) Jede rationale Nullstelle ist eine ganze Zahl und zwar ein Teiler von $a_0$.

Zum Auffinden der Nullstellen gehen wir wie folgt vor:

Dieses Vorgehen zeigen wir dir anhand des nachfolgenden Beispiels:

(1) Funktion durch $a_n$ teilen, falls $a_n \neq 1$. Hier ist $a_n = 1$.

(2) Die Teiler von $a_0$ (hier: $-2$) sind $\pm 1$ und $\pm 2$. Probieren, d. h. Einsetzen von z. B. $x = 2$ zeigt, dass $f(2) = 0$. Das heißt $x_1 = 2$ ist eine Nullstelle der Funktion.

(3) Polynomdivision durchführen:

Da $x = 2 \, \Longrightarrow \, 0 = x - 2$, dividieren wir $f(x)$ durch $(x - 2)$.

$\;\;\;\;\;\; (x^3 - 2x^2 + x - 2) : (x - 2) = x^2 + 1 $

$(-) (x^3 - 2x^2)$

_________________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x  - 2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, (-)(x - 2)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ ______________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0$

Das Ergebnis  $x^2 + 1$  hat keine reelle Nullstelle, da $x = \sqrt{-1}$ (Wurzel aus negativer Zahl in $\mathbb{R}$ nicht möglich). Das beudeutet, $x = 2$ ist die einzige reelle Nullstelle. 

Würde sich nach der Division eine Funktion ergeben, welche noch Nullstellen besitzt, dann müsste für diese mithilfe des oben genannten Vorgehens (pq-Formel, Substitution, Ausklammern etc.) weitere Nullstellen bestimmt werden.