Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion  $f(x)$ diejenige Zahl  $x_0$, für die  $f(x_0) = 0$  gilt. Das bedeutet also, alle Lösungen einer Funktion $f(x)$ zu ermitteln. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus: 

Dort, wo der Graph der Funktion  $f(x)$  die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von  $f(x)$.  

Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Ganzrationale Funktionen mit  $n \ge 3$ hingegen stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln mehr zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.

Berechnung der Nullstellen bei linearen Funktionen

Gegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x - 12$.  Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion $= 0$ gesetzt und nach $x$ aufgelöst:

$3x - 12 = 0$

$x = 4$

Der Graph der Funktion $f(x) = 3x - 12$  schneidet die $x$-Achse bei  $x = 4$.

Berechnung der Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Gegeben sei die Funktion  $f(x) = x^2 + 3x - 12$.  Zur Berechnung der Nullstelle wird die $p/q$-Formel angewandt:

Methode

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$          p/q-Formel

Es gilt:

$p = 3$ und $q = -12$:

$x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 12}$

$x_1 = 2,28$

$x_2 = -5,27$

Der Graph der Funktion $f(x) = x^2 + 3x - 12$  schneidet die $x$-Achse bei  $x_1 = 2,28$  und  $x_2 = -5,27$.

Sonderfälle für Funktionen mit größeren Exponenten

Ausklammern von Potenzen

Gegeben sei die Funktion  $f(x) = x^3 + 2x^2  - 8x$.  Durch Ausklammern von  $x$  erhält man:

$f(x) = x(x^2 + 2x - 8)$

Nullsetzen ergibt:

$ x(x^2 + 2x - 8) = 0$  bzw.    $x = 0$   und  $(x^2 + 2x - 8) = 0$

Die erste Nullstelle ist also:  $x_1 = 0$

Für  $(x^2 + 2x - 8) = 0$  ergibt mit der p/q-Formel:

$x_2 = 2$

$x_3 = -4$

Substitution von Potenzen

Gegeben sei die Funktion  $f(x) = x^4 - 19x^2 + 48$. Durch Ersetzen von  $x^2$  durch  $z$  erhält man:

$z^2 - 19z + 48 = 0$

Mit der p/q-Formel ergibt sich für  $z$:

$z_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$z_{1,2} = -\frac{-19}{2} \pm \sqrt{(\frac{-19}{2})^2 - 48}$

$z_1 = 16$

$z_2 = 3$ 

Substitution rückgangig machen ergibt mit $z = x^2$:

$x^2 = 16$  und  $x^2 = 3$

$x_1 = 4, x_2 = -4, x_3 = \sqrt{3}, x_4 = -\sqrt{3}$.

Funktionen mit ganzzahligen Koeffizienten (Polynomdivision)

Ist  $f(x)$  eine Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten (allle  $a_i \in \mathbb{Z}$), dann gilt:

(1) Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler von  $a_0$.

Ist der Hauptkoeffizient  $a_n = 1$, so gilt:

(2) Jede rationale Nullstelle ist eine ganze Zahl und zwar ein Teiler von  $a_0$.

Methode

Vorgehen: Ist  $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$  eine Funktion mit ganzen Koeffizienten (alle  $a_i \in \mathbb{Z}, a_n = 1$), so sucht man alle Teiler von $a_0$. Danach setzt man die gefunden Teiler in die Funktion ein. Für den Teiler, für welchen die Funktion den Wert null annimmt gilt, dass dieser eine Nullstelle der Funktion darstellt. Die erste Nullstelle ist demnach ermittelt. Der Wert der Nullstelle wird dann für die Polynomdivision verwendet. Nach Durchführung dieser, können dann die Nullstellen für die verbleibende Funktion (z.B. p/q-Formel für eine quadratische Funktion) bestimmt werden.


Das Vorgehen wird anhand des nachfolgenden Beispiels aufgezeigt:

Beispiel

Gegeben sei die Funktion:  $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$.  Bestimme alle reellen Nullstellen der Funktion und spalte die Linearfaktoren ab.

(1) Funktion durch $a_n$ teilen, falls $a_n \neq 1$. Hier ist $a_n = 1$.

(2)  Die Teiler von  $a_0$  (hier: $-2$) sind: $\pm 1, \pm 2$. Probieren d.h. Einsetzen von z.B.  $x = 2$  zeigt: $f(2) = 0$. Das heißt  $x_1 = 2$  ist eine Nullstelle der Funktion.

(3)  Polynomdivision durchführen: Dividieren von $f(x)$  durch  $x = 2 \rightarrow x - 2$

          $(x^3 - 2x^2 + x - 2) : (x - 2) = x^2 + 1 $

 $(-) (x^3 - 2x^2)$

       ____________________

                                      $x  - 2$

                            $(-)   (x - 2)$
                             ____________

                                            $0$

Das Ergebnis  $x^2 + 1$  hat keine reelle Nullstelle, da  $x = \sqrt{-1}$  (Wurzel aus negativer Zahl in  $\mathbb{R}$  nicht möglich). Das beudeutet,  $x = 2$  ist die einzige reelle Nullstelle. 

Würde sich nach der Division eine Funktion ergeben, welche noch Nullstellen besitzt, dann müsste für diese mithilfe des oben genannten Vorgehens (p/q-Formel, Substitution, Ausklammern etc.) weitere Nullstellen bestimmt werden.

Video: Nullstellen ganzrationaler Funktionen