Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    Dehnung (Stabelement)
    ... die Verlängerung des Stabelements über eine Integration berechnet werden: $\epsilon(x) = \frac{du}{dx} $     /Umstellen nach $du$ $du = \epsilon(x) \; dx$          /Integral bilden $\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$ $\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$ Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e(x)$ gegeben, so kann durch Integration diese Längenänderung bestimmt werden. Spezialfall: ...
  2. Wärmedehnungen
    Stabbeanspruchungen > Wärmedehnungen
    Wärmedehnungen
    ... 0,00015 \frac{1}{m} \cdot x) \; dx$ Integration: $\triangle l = [9,524 \cdot 10^{-6} x + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} x^2]_0^L$ $\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot L + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} L^2$ Einsetzen von $L = 2m$: $\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot 2m + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} (2m)^2$ $\triangle l = 0,000319 m$ Die Verlängerung des Stabes beträgt 0,000319 m.
  3. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    ... \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$ Die Integrationskonstanten können aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x = 0$. Aus (3) erhält man dann: $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$ $EA \cdot 0 =  -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2$ $C_2 = 0$. Für das untere Stabende ($x = l)$ ist die Normalspannung ...
  4. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    ... $EAu' = N $. (3) $EAu = N \cdot x + C_1$ Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$: $EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$ $C_1 = 0$. (3) $EAu = N \cdot x$ Auflösen nach $u$: $u = \frac{N}{EA} \cdot x$ Die Stabverlängerung berechnet sich durch die Differenz der Verschiebung an den Stabenden: $\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) =  \frac{N}{EA} \cdot l - \frac{N}{EA} \cdot ...
  5. Verträglichkeitsbedingungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen > Verträglichkeitsbedingungen
    ... so lassen sich die Verschiebungen mittels Integration bestimmen. Hierzu muss jedoch eine Abhängigkeit der Verzerrungen voneinander vorausgesetzt sein. Dazu wird erneut die Gleichung $\tau_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} $ verwendet. Diese Gleichung wird im ersten Schritt zuerst partiell nach $x$ und anschließend partiell nach $y$ abgeleitet: $\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^3 u}{\partial y^2\partial x} + \frac{\partial^3 ...
  6. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    ... Abstand zur $y$-Achse wählt, dann kann man die Integration einfach über die Länge $a$ vornehmen und erhält demnach das gesamte Rechteck.  $I_y = \int z^2 dA$           mit  $dA = b \cdot dz$ Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$. Da sich der Schwerpunkt bei einem Rechteck in der Mitte befindet und die $y$-Achse demnach in der Mitte liegt, erfolgt die Integration von $-\frac{a}{2}$ bis $\frac{a}{2}$: $I_y = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} z^2 \cdot b \cdot dz$ $I_y ...
  7. Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    ... Bestimmung der Flächenträgheitsmomente Die Integration kann nun erfolgen: $I_y = \int z^2 \; dA$    mit $dA = dz \cdot y$   mit $y = b(1 - \frac{z}{a})$ Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$: $I_y = \int_0^a (z^2 \; b(1 - \frac{z}{a}) \; dz)$ $I_y = \int_0^a (z^2 b - z^2 b \frac{z}{a} \; dz)$ $I_y = \int_0^a (z^2 b - z^3 b \frac{1}{a} \; dz)$ $I_y = [\frac{1}{3} z^3 b - \frac{1}{4} z^4 b \frac{1}{a}]_0^a $ $I_y = [\frac{1}{3} a^3 b - \frac{1}{4} a^4 b \frac{1}{a}]$ $I_y ...
  8. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
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    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    ... = A_1 + A_2 $ Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt.  Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen: $\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $  Das Video wird geladen ... Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezogen auf den eigenen Flächenschwerpunkt Häufig ...
  9. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Querkraftbiegung
    ... der $y$-Achse $\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$. Die maximale Schubspannung befindet sich in der Profilmitte bei $z = 0$. Das bedeutet also: $\tau_{max} = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_{z = 0}^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$ Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie bei einer einachsigen Querkraftbiegung die Normalspannung und die Schubspannung bestimmt werden.
  10. Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung > Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    ... also $b(z) = b = 0,25m$. Es muss nun noch die Integration stattfinden. Integriert wird von einem ausgewählten $z$, für welchen die Schubspannung bestimmt werden soll bis zum Maximum $z_{max}$ in Richtung der positiven $z$-Achse. Also bis zum unteren Rand des Querschnitts. Das Maximum der Schubspannung findet sich in der Profilmitte, also bei $z = 0$ ($z$-Achse beginnt im Schwerpunkt, also in der Profilmitte). Das bedeutet also, dass die Integration bei $z= 0$ beginnt und bis $z_{max} = \frac{0,75m}{2} ...
  11. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    ... I_{y}$ als Biegesteifigkeit. Durch zweifache Integration von $w''$ kann die Biegelinie bestimmt werden. Das $M_y(x)$ ist der Momentenverlauf, welcher von $x$ abhängig ist. Bei reiner Biegung ist dieser konstant $M_y(x) = M_y$, d.h. an jeder Stelle gleich. Bei Querkraftbiegung hingegen ist der Momentenverlauf abhängig davon, wo der Schnitt bei $x$ durchgeführt wird.  Liegt eine Streckenlast vor, so kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden: $EIw(x)^{IV} = q(x)$ mit $EI$ konstant In ...
  12. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet. Auflösen der Differentialgleichung der Biegelinie Um die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal: $EI \cdot w'' = - M_y(x)$ mit $EI$ Biegesteifigkeit $E$ Elastizitätsmodul $I_y$ Flächenträgheitsmoment ...
  13. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... und $A = F$ ergibt: $ M(x) = - F(l - x) $ 3. Integration der Differentialgleichung der Biegelinie $ w'' = - \frac{M}{E\cdot I} \text{E I herausziehen} \rightarrow E\cdot I w'' = - M(x) = F(l - x) $ 1. Integration: $ E\cdot I w' = F (lx - \frac{1}{2}x^2) + C_1 $ 2. Integration $ E\cdot I w = F (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3) + C_1 x + C_2 $ 4. Bestimmung der Integrationskonstanten aus den Randbedingungen Ablesen aus der Liste des vorherigen Abschnitts für die feste Einspannung: ...
  14. Biegelinie mit Streckenlast
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
    Biegelinie mit Streckenlast
    ... = q_0$: $EIw^{IV} = q_0$ Es folgt die 1. Integration: $EIw^{III} = \int q_0 \; dx$ $EIw^{III} = q_0 \cdot x + C_1$ 2. Integration: $EIw^{II} = \int q_0 \cdot x \; dx + \int C_1 \; dx$ $EIw^{II} = \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + C_1 \cdot x + C_2$ 3. Integration: $EIw^{I} = \int \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 \; dx + \int C_1 \cdot x \; dx + \int C_2 \; dx$ $EIw^{I} = \frac{1}{6} q_0 \cdot x^3 + \frac{1}{2} C_1 \cdot x^2 +  C_2 \cdot x + C_3$ 4. Integration: $EIw = \int \frac{1}{6} q_0 ...
  15. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... M_2(x) = F\frac{b}{l}x - F (x-a) $  3. Integration der beiden Bereiche: Bereich I:  $ EIw_1'' = - M_1(x) = - F\frac{b}{l} x $ $ EIw_1' = - F \frac{b}{l} \frac{x^2}{2} + C_1 $ $ EIw_1 = - F \frac{b}{l} \frac{x^3}{6} + C_1 x + C_2 $  Bereich II:  $ EIw_2'' = - M_2(x) = - F\frac{b}{l} x + F(x - a) $ $ EIw_2' = - F\frac{bx^2}{2l} + F\frac{(x-a)^2}{2} + D_1 $ $ EIw_2 = - F\frac{bx^3}{6l} + F\frac{(x-a)^3}{6} + D_1 x + D_2 $ Insgesamt liegen im Moment vier unbekannte Integrationskonstanten ...
  16. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... der $y$-Achse $\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$. Belastung in $y$-Richtung: $\tau(y) = \frac{Q_y}{h{y} \cdot I_z} \int_y^{y_{max}} \eta h(\eta) d\eta$ mit $Q(y)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt $h(y)$ Höhe des Balkens, für konstante Höhe ergibt sich: $h = const$. $I_z$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $z$-Achse $\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $y$ zum linken ...
  17. Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    ... muss zweimal integriert werden. Die anfallenden Integrationskonstanten können dann aus den Rand- und Übergangsbedingungen entnommen werden. 
  18. mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > mit Kreisquerschnitt
    mit Kreisquerschnitt
    ... konstant, so kann die Lösung mit Hilfe von Integration erfolgen. Es gilt $\vartheta = \frac{d\varphi}{dx}$ Einsetzen in (wobei $\vartheta nicht mehr konstant ist): $\vartheta = \frac{M_T}{G I_P} $     Ergibt: $\frac{d\varphi}{dx} = \frac{M_T}{G I_P}$ Trennung der Veränderlichen: $d\varphi =  \frac{M_T}{G I_P} \; dx$ Integration: $\int_{\varphi_0}^{\varphi(x)} d\varphi = \int \frac{M_T}{G I_P} \; dx$ $\varphi(x) = \varphi_0 \int_0^x \frac{M_T(x)}{G(x)I_P(x)} dx $       ...
  19. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Balkenverformung infolge von Schub
    ... nur um den reinen Biegeanteil handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an: $w'_B = -\varphi$ In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet.  Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des Balkens. Die ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Gleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Gleichförmige Kreisbewegung
    Gleichförmige Kreisbewegung
    ... dann auf: $\omega dt  = d\varphi$     Integration führt dann wieder auf die obige Formel:  $\int \omega dt  = \int d\varphi$     $\omega \cdot (t - t_0) = \varphi - \varphi_0$ Winkel berechnen Den überstrichenen Winkel $\varphi$ kann man ganz einfach berechnen, indem man die obige Formel nach $\triangle \varphi$ auflöst: $\triangle \varphi = \omega \cdot \triangle t$ bzw. $\varphi - \varphi_0 = \omega (t - t_0) Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung überstreicht ...
  2. Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    ... zu bestimmen, müsste diese Gleichung nach der Integration nach $t$ abgeleitet werden. 3. Bestimmung der mittleren Bahngeschwindigkeit Die mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich durch: $v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$. Die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen Punkt A (t=1) und Punkt C (t=3) beträgt: $v_{m}^{1 \to 3} = \frac{7,81 + 11,18}{2} = 9,50$ Länge/Zeit.
  3. Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    ... die Beschleunigung gegeben ist und dann mittels Integration die Geschwindigkeit und der Ort bestimmt werden sollen. Es werden also aus gegebenen kinematischen Größen (Beschleunigung) andere kinematische Größen (Geschwindigkeit, Ort) bestimmt. Diese Bestimmung nennt man auch kinematische Grundaufgaben, welche in den folgenden Abschnitten aufgezeigt werden sollen. Nun folgen zwei Kursvideos zu der behandelten Thematik Das Video wird geladen ... Das Video wird geladen ...
  4. Gleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden: $\int dv = \int a \; dt$ Die bestimmte Integration liefert: $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$$v - v_0 = a(t - t_0)$ Da die Beschleunigung null ist $a = 0$ erkennt man sofort, dass die Geschwindigkeit konstant ist: $v = v_0 $ Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, welche als $v_0$ bezeichnet wird. Diese Bewegung, bei welcher die Beschleunigung Null ...
  5. Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden: $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a_0 \; dt$ Die bestimmte Integration liefert: $v - v_0 = a_0 \cdot (t - t_0)$ Für die Geschwindigkeit ergibt sich also: $v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$ Bestimmung des Ortes Um nun aus den oben ermittelten Ergebnissen den Ort $x$ zu bestimmen, muss man nochmals integrieren. Die Geschwindigkeit wurde durch die Ableitung von $x$ nach der ...
  6. Beispiel: Senkrechter Wurf
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
    ... Die Geschwindigkeit ergibt sich also durch Integration: $\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t a_0 \; dt$$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$. Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf): $v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$. Die Geschwindigkeit ...
  7. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    ... = \ddot{x} = \dot{v} = \frac{dv}{dt}$ Mittels Integration kann man auch bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit und den Ort bestimmen: $a(t) = \frac{dv}{dt}$ -> $dv = a(t) \; dt$ $\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$ $v - v_0 = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$  Geschwindigkeit: $v = v_0 + \int_{t_0}^t a(t) \; dt$ $v(t) = \frac{dx}{dt}$ ->  $dx = v(t) \; dt$ $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$ $x - x_0 = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$ Ort: $x= x_0 + \int_{t_0}^t v(t) ...
  8. Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit > Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    ... $v = \frac{dx}{dt}$. Auflösen nach $dx$ und Integration: $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$ Einsetzen von $v$: $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t [v_0 +  a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}] \; dt$.$x - x_0 = [v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{t_0}^t$ Es gilt: $t_0 = 0$, $x_0 = 0$ und $v_0 = 0$:  $x  = [ \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{0}^t$  $x ...
  9. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
    ... von der Geschwindigkeit bekannt. Nach der Integration kann dann daraus die Geschwindigkeit $v$ durch Umstellen der Gleichung nach $v$ bestimmt werden. Danach wird dann der folgende Zusammenhang angewandt: $v = \frac{dx}{dt}$$dx = v \; dt$ Anschließend führen wir die Integration durch: $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$$x - x_0 =  \int_{t_0}^t v \; dt$$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v \; dt$ Die oben berechnete Geschwindigkeit $v$ wird dann in die Gleichung eingesetz und so erhelten ...
  10. Beispiel: Beschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit > Beispiel: Beschleunigung
    ... = \frac{dv}{a(v)}$ Anschließend für wir die Integration durch: $\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$ Das ergibt genau der im vorherigen Text angegebenen Funktion. Man kann also statt der Herleitung der Formel direkt auf diese zugreifen, wenn die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben ist. Nun Einsetzen von $a(v) = -5v$: $t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{-5v} ...
  11. Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
    ... v$ Umstellen ergibt: $v \; dv = a \; dx$ Integration ergibt: $\int_{v_0}^v v \; dv = \int_{x_0}^x a \; dx $$[\frac{1}{2} v^2]_{v_0}^v =  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $$\frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} v_0^2 =  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $ Die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Ort kann dann durch Umstellen der Formel nach $v$ bestimmt werden. Es gilt dann folgender Zusammenhang: $v = \frac{dx}{dt}$ Da die Geschwindigkeit ...
  12. Beispiel: Funktion des Ortes
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort > Beispiel: Funktion des Ortes
    ... v_0^2 +  \int_{x_0}^x -16x\; dx $ Integration: $\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  [ -\frac{16}{2} x^2]_{x_0}^x $$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2  - \frac{16}{2} x^2 + \frac{16}{2} x_0^2$ Es gilt $v_0 = 0$: $\frac{1}{2} v^2 = 8 (x_0^2 - x^2)$ Auflösen nach $v$: $v = \sqrt{16 (x_0^2 - x^2)}$. Um nun daraus die Zeit $t$ in Abhängigkeit des Ortes zu bestimmen, wird die folgende Gleichung herangezogen: $\int_{t_0}^t dt =\int_{x_0}^x \frac{1}{v} \; dx$ Einsetzen ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Uneigentliche Integrale Typ 1
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 1
    Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen $\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck: $\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$.  Vorgehensweise Zuerst ist  das Integral  $ \int_a^r f(x) dx$  in Abhängigkeit ...
  2. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmte Integrale
    ... F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist.  Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt: $F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ Das $dx$ steht für die Integration nach $x$. Darauf muss bei der Integration immer geachtet werden. $C$ ist die Integrationskonstante (siehe unten). Integriere die Ableitung $f(x) = 2$ Da in dieser Funktion kein $x$ vorhanden ist, kann man stattdessen $x^0 = 1$ schreiben. Es ist also $n = 0$: $\int 2 \; dx  = \int 2 x^0 \; dx$ Dabei ...
  3. Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    ... zur Lösung eines Integrals vorgestellt: Integration durch Substitution und partielle Integration.
  4. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$. Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden. Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$. 1. Zuerst substituiert man die Klammer: $ t = 2 - 4x$ Danach wird $t$ nach $x$ abgeleitet: $\frac{dt}{dx} = -4$ Es kann als nächstes ganz einfach nach $dx$ aufgelöst werden: $dx = \frac{dt}{-4} = - \frac{1}{4} dt$ 2. Anschließend ersetzen von $(2-4x)$ durch $t$ und $dx$ durch ...
  5. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    ... ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten.  Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens. Partielle Integration: $\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$. Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, welcher der Faktoren einfacher zu integrieren ...
  6. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    ... eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist. Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. Integration Integriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $ I. Durchdividieren $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$ Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann der Bruch ...
  7. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    ...  \int\limits_a^c f(x) dx $ Vertauschen der Integrationsgrenzen: $\int\limits_a^b f(x) dx  = - \int\limits_b^a f(x) dx $
  8. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$  bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist. Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt: $\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$ Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$. Es gilt: $u´ = e^x \to ...
  9. Uneigentliche Integrale
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale
    ... Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen Typ II Integrale mit unbeschränkten Integranden
  10. Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2
    Uneigentliche Integrale Typ 2
    ... Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt].  Befindet sich die Polstelle am Rand, so ist die Funktion wie folgt : $\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$.  Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt definiert: $\lim_{r \to p, r < p} \int\limits_a^r f(x) dx. $ $r$  nähert sich in diesem Fall ausschließlich ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlänge berechnen
    ... ist die Kenntnis von Substitutionsregeln und Integrationsregeln erforderlich sowie häufiges Wiederholen von Übungsaufgaben.
  2. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... e^{2t-3}$ Substitution (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion): $u(t) = {2t-3}$ $\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$ Einsetzen in die Lösungsformel: Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$  $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $ Integrieren: $= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$ Rücksubstitution und auflösen: $y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x - 3} - \frac{1}{2} ...
  3. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    ... ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können.  Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen, Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung, Bernoulli Differentialgleichungen, Ricatti Differentialgleichungen,  und exakte Differentialgleichungen.  Abschließend wird auf den integrierenden Faktor näher eingegangen. 
  4. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten!] $ |\frac{y-1}{y}| = e^{-x^2 + k} =e^k e^{-x^2} $ $ \frac{y-1}{y} = c \cdot e^{-x^2}$ , [ $c$ wird anstelle der Konstanten $e^k$ verwendet mit $ c \not= 0$]  4. Auflösen nach y $\frac{y-1}{y} = \frac{y}{y} - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} $ $= 1 - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} \rightarrow -\frac{1}{y} = -1 + c \cdot e^{-x^2} $   [$ \cdot (-) $ und Kehrwert bilden] $y = \frac{1}{1 ...
  5. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... = \int \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist. Anwendungsbeispiel: Exakte Differentialgleichung Löse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$ $p(x,y) = M = 2x + 5$ $q(x,y) = N = 2y + 5$ 1.) Auf Exaktheit überprüfen: $M_y = 0$ $N_x = 0$ Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$. 2.) Integration $\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$ $\psi ...
  6. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... r(x) \end {array}\right)$ ersetzt wurde. Die Integration liefert  $\ c_k (x) = \int \frac{W_k(x)}{W(x)} dx $.  Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit $ y_S(x) = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$.  Anwendungsbeispiel: Inhomogene Differentialgleichung Bestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$. Lösungsgesamtheit ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Kontinuierlich verteilte Kräfte
    ... gleich groß, d.h. $q(x) = q_0$. Durch die Integration von $q(x)$ (Summe der Kräfte $q(x)dx$) berechnet sich die Größe der Resultierenden aus dem Nenner (1): $\int\limits_0^l q(x) dx = \int\limits_0^l q_0 dx = [x \; q_0]_0^l = [q_0 \cdot l - q_0 \cdot 0] = q_0 \cdot l$. Dies kann man auch ohne die Integration ablesen, denn die Größe der Resultierenden ist gleich dem Flächeninhalt. Nachdem die Größe der Resultierenden bestimmt ist, muss als nächstes der Zähler (1) integriert werden ...
  2. Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    ... der Belastung $ q $ ermitteln. Dies ist durch Integration unter Verwendung von Integrationskonstanten möglich.  Die formale Schreibweise ist hierbei: $\ Q = - \int q \; dx + C_1 $,       aus $\frac{dQ}{dx} = -q$   (siehe vorherigen Abschnitt) $\ M = \int Q \; dx + C_2$        aus  $\frac{dM}{dx} = Q$    (siehe vorherigen Abschnitt) Die derzeit noch unbekannten Integrationskonstanten $ C_1 $ und $ C_2 $ können mit Hilfe der Randbedingungen ermittelt werden. Diese treffen ...
  3. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    ... bei einer gegebenen Streckenlast nicht durch Integration (vorheriger Abschnitt), sondern durch die Gleichgewichtsbedingungen dargestellt werden. Hierzu wird die folgende Grafik betrachtet: Verteilte Last In der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 \cdot l$ (also die Einzelkraft multipliziert mit der Länge des Balkens) in den Schwerpunkt ...
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