Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Verträglichkeitsbedingungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen > Verträglichkeitsbedingungen
    ... so lassen sich die Verschiebungen mittels Integration bestimmen. Hierzu muss jedoch eine Abhängigkeit der Verzerrungen voneinander vorausgesetzt sein.Dazu wird erneut die Gleichung $\tau_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} $ verwendet.Diese Gleichung wird im ersten Schritt zuerst partiell nach $x$ und anschließend partiell nach $y$ abgeleitet:$\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^3 u}{\partial y^2\partial x} + \frac{\partial^3 ...
  2. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... = N $.(3) $EAu = N \cdot x + C_1$Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$:$EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$$C_1 = 0$.(3) $EAu = N \cdot x$Auflösen nach $u$:$u = \frac{N}{EA} \cdot x$Die Stabverlängerung berechnet sich durch die Differenz der Verschiebung an den Stabenden:$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) =  \frac{N}{EA} \cdot l - \frac{N}{EA} ...
  3. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... $y$-Achse$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.Belastung in $y$-Richtung:$\tau(y) = \frac{Q_y}{h{y} \cdot I_z} \int_y^{y_{max}} \eta h(\eta) d\eta$mit$Q(y)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt$h(y)$ Höhe des Balkens, für konstante Höhe ergibt sich: $h = const$.$I_z$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $z$-Achse$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $y$ ...
  4. Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion Kreisquerschnitt
    ... konstant, so kann die Lösung mit Hilfe von Integration erfolgen. Es gilt$\vartheta = \frac{d\varphi}{dx}$Einsetzen in (wobei $\vartheta nicht mehr konstant ist):$\vartheta = \frac{M_T}{G I_P} $    Ergibt:$\frac{d\varphi}{dx} = \frac{M_T}{G I_P}$Trennung der Veränderlichen:$d\varphi =  \frac{M_T}{G I_P} \; dx$Integration:$\int_{\varphi_0}^{\varphi(x)} d\varphi = \int \frac{M_T}{G I_P} \; dx$$\varphi(x) = \varphi_0 \int_0^x \frac{M_T(x)}{G(x)I_P(x)} dx ...
  5. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    Stabelement dx
    ... des Stabelements über eine Integration berechnet werden:$\epsilon(x) = \frac{du}{dx} $     /Umstellen nach $du$$du = \epsilon(x) \; dx$          /Integral bilden$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e(x)$ gegeben, so kann durch Integration diese Längenänderung ...
  6. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Hauptrgheitsmomente Rechteck
    ... zur $y$-Achse wählt, dann kann man die Integration einfach über die Länge $a$ vornehmen und erhält demnach das gesamte Rechteck. $I_y = \int z^2 dA$           mit  $dA = b \cdot dz$Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$. Da sich der Schwerpunkt bei einem Rechteck in der Mitte befindet und die $y$-Achse demnach in der Mitte liegt, erfolgt die Integration von $-\frac{a}{2}$ bis $\frac{a}{2}$:$I_y = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} ...
  7. Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Dreieck
    ... der FlächenträgheitsmomenteDie Integration kann nun erfolgen:$I_y = \int z^2 \; dA$    mit $dA = dz \cdot y$   mit $y = b(1 - \frac{z}{a})$Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$:$I_y = \int_0^a (z^2 \; b(1 - \frac{z}{a}) \; dz)$$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^2 b \frac{z}{a} \; dz)$$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^3 b \frac{1}{a} \; dz)$$I_y = [\frac{1}{3} z^3 b - \frac{1}{4} z^4 b \frac{1}{a}]_0^a $$I_y = [\frac{1}{3} a^3 ...
  8. Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung > Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Querkraftbiegung - Bestimmung der Normal- und Schubspannungen
    ... also $b(z) = b = 0,25m$.Es muss nun noch die Integration stattfinden. Integriert wird von einem ausgewählten $z$, für welchen die Schubspannung bestimmt werden soll bis zum Maximum $z_{max}$ in Richtung der positiven $z$-Achse. Also bis zum unteren Rand des Querschnitts. Das Maximum der Schubspannung findet sich in der Profilmitte, also bei $z = 0$ ($z$-Achse beginnt im Schwerpunkt, also in der Profilmitte). Das bedeutet also, dass die Integration bei $z= 0$ beginnt und bis $z_{max} ...
  9. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.Auflösen der Differentialgleichung der BiegelinieUm die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:$EI \cdot w'' = - M_y(x)$mit$EI$ Biegesteifigkeit$E$ Elastizitätsmodul$I_y$ Flächenträgheitsmoment ...
  10. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Mehrbereichsaufgaben
    ... M_2(x) = F\frac{b}{l}x - F (x-a) $ 3. Integration der beiden Bereiche:Bereich I: $ EIw_1'' = - M_1(x) = - F\frac{b}{l} x $$ EIw_1' = - F \frac{b}{l} \frac{x^2}{2} + C_1 $$ EIw_1 = - F \frac{b}{l} \frac{x^3}{6} + C_1 x + C_2 $ Bereich II: $ EIw_2'' = - M_2(x) = - F\frac{b}{l} x + F(x - a) $$ EIw_2' = - F\frac{bx^2}{2l} + F\frac{(x-a)^2}{2} + D_1 $$ EIw_2 = - F\frac{bx^3}{6l} + F\frac{(x-a)^3}{6} + D_1 x + D_2 $Insgesamt liegen im Moment vier unbekannte Integrationskonstanten ...
  11. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Einbereichsaufgaben
    ... Fl$ und $A = F$ ergibt:$ M(x) = - F(l - x) $3. Integration der Differentialgleichung der Biegelinie$ w'' = - \frac{M}{E\cdot I} \text{E I herausziehen} \rightarrow E\cdot I w'' = - M(x) = F(l - x) $1. Integration:$ E\cdot I w' = F (lx - \frac{1}{2}x^2) + C_1 $2. Integration$ E\cdot I w = F (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3) + C_1 x + C_2 $4. Bestimmung der Integrationskonstanten aus den RandbedingungenAblesen aus der Liste des vorherigen Abschnitts für die feste Einspannung: $ w = 0 (x = ...
  12. Wärmedehnungen
    Stabbeanspruchungen > Wärmedehnungen
    Wrmedehnungen Beispiel
    ... 0,00015 \frac{1}{m} \cdot x) \; dx$Integration:$\triangle l = [9,524 \cdot 10^{-6} x + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} x^2]_0^L$$\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot L + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} L^2$Einsetzen von $L = 2m$:$\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot 2m + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} (2m)^2$$\triangle l = 0,000319 m$Die Verlängerung des Stabes beträgt 0,000319 m.
  13. Biegelinie mit Streckenlast
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
    Biegelinie Streckenlast
    ... konstant, weshalb $q(x) = q_0$:$EIw^{IV} = q_0$IntegrationenEs folgt die 1. Integration:$EIw^{III} = \int q_0 \; dx$$EIw^{III} = q_0 \cdot x + C_1$2. Integration:$EIw^{II} = \int q_0 \cdot x \; dx + \int C_1 \; dx$$EIw^{II} = \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + C_1 \cdot x + C_2$3. Integration:$EIw^{I} = \int \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 \; dx + \int C_1 \cdot x \; dx + \int C_2 \; dx$$EIw^{I} = \frac{1}{6} q_0 \cdot x^3 + \frac{1}{2} C_1 \cdot x^2 +  C_2 \cdot x + C_3$4. Integration:$EIw = \int \frac{1}{6} ...
  14. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Beispiel: Hngender Stab
    ... \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$Die Integrationskonstanten können aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x = 0$. Aus (3) erhält man dann:$EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$$EA \cdot 0 =  -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2$$C_2 = 0$.Für das untere Stabende ($x = l)$ ...
  15. Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Schiefe Biegung symmetrischer Querschnitt
    ... muss zweimal integriert werden. Die anfallenden Integrationskonstanten können dann aus den Rand- und Übergangsbedingungen entnommen werden. 
  16. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner - zusammengesetzte Flchen
    ... = A_1 + A_2 $Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt. Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen:$\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $ Das Video wird geladen...Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezogen auf ...
  17. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Schubverformung
    ... $y$-Achse$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.Die maximale Schubspannung befindet sich in der Profilmitte bei $z = 0$. Das bedeutet also:$\tau_{max} = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_{z = 0}^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie bei einer einachsigen Querkraftbiegung die Normalspannung und die Schubspannung bestimmt werden.
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Beispiel: Beschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit > Beispiel: Beschleunigung
    ... für wir die Integration durch:$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$Das ergibt genau der im vorherigen Text angegebenen Funktion.Man kann also statt der Herleitung der Formel direkt auf diese zugreifen, wenn die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben ist.Nun Einsetzen von $a(v) = -5v$:$t = t_0 +  \int_{v_0}^v ...
  2. Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit > Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Linearer Verlauf der Beschleunigung
    ... = \frac{dx}{dt}$.Auflösen nach $dx$ und Integration:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$Einsetzen von $v$:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t [v_0 +  a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}] \; dt$.$x - x_0 = [v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{t_0}^t$Es gilt: $t_0 = 0$, $x_0 = 0$ und $v_0 = 0$: $x  = [ \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{0}^t$ $x ...
  3. Beispiel: Vertikaler Wurf
    Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Vertikaler Wurf
    Vertikaler Wurf, Freischnitt
    ... Da $a = \frac{dv}{dt}$ kann man mittels Integration die Geschwindigkeit bestimmen und erhält:$v = v_0 + a (t - t_0)$Einsetzen von $a = -9,81 \frac{m}{s^2}$:$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} (t - t_0)$Zu Beginn ist $t_0 = 0$:$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch $v = \frac{dz}{dt}$. Durch Integration kann man nun den Weg bzw. die Höhe $z$ bestimmen:$z = z_0 + \int_{t_0}^t v \; dt$Einsetzen von $v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$:$z = z_0 + \int_{t_0}^t ...
  4. Zusammenfassung der kinematischen Grundaufgaben
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Zusammenfassung der kinematischen Grundaufgaben
    ... \frac{1}{a(v)} \; dv$Nach der Integration kann die Geschwindigkeit durch Umstellen der Gleichung nach $v$ ermittelt werden. Danach kann der Ort $x$ mittels der unten angegebenen Gleichung ermittelt werden, indem $v$ eingesetzt wird.$a = a(x)$   $\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $Nach der Integration kann die Geschwindigkeit durch Umstellen der Gleichung nach $v$ ermittelt werden. Danach kann der Ort $x$ mittels ...
  5. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    ... = \ddot{x} = \dot{v} = \frac{dv}{dt}$Mittels Integration kann man auch bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit und den Ort bestimmen:$a(t) = \frac{dv}{dt}$ -> $dv = a(t) \; dt$$\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$$v - v_0 = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$ Geschwindigkeit: $v = v_0 + \int_{t_0}^t a(t) \; dt$$v(t) = \frac{dx}{dt}$ ->  $dx = v(t) \; dt$$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$$x - x_0 = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$Ort: $x= x_0 + \int_{t_0}^t ...
  6. Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Strecke zwischen den Punkten
    ... bestimmen, müsste diese Gleichung nach der Integration nach $t$ abgeleitet werden.3. Bestimmung der mittleren BahngeschwindigkeitDie mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich durch:$v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$.Die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen Punkt A (t=1) und Punkt C (t=3) beträgt:$v_{m}^{1 \to 3} = \frac{7,81 + 11,18}{2} = 9,50$ Länge/Zeit.
  7. Beispiel: Senkrechter Wurf
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
    ... Geschwindigkeit ergibt sich also durch Integration:$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t a_0 \; dt$$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$.Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf):$v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$.Die Geschwindigkeit ...
  8. Beispiel: Schiefer Wurf
    Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Schiefer Wurf
    Beispiel Schiefer Wurf
    ... \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} t) dt$.Integration (wobei $t_0 = 0$):$z - z_0 = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.Zu Beginn ist $z_0 = 0$:$z  = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.Betrachtung der x-RichtungEs wird nun die $x$-Koordinate betrachtet:$F_x = ma_x$$0 = ma_x$     /Es wirken keine Kräfte auf den Ball in $x$-Richtung$a_x = 0$.Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung. Es werden die Gleichungen ...
  9. Drehimpuls / Drehimpulssatz
    Kinetik des Massenpunktsystems > Drehimpuls / Drehimpulssatz
    Beispiel Drehimpulssatz: Moment bestimmen
    ...  Auflösen nach $dv$ und Integration:$\int_{v_0}^{v_1} dv = \int_{t_0}^{t_1} (\frac{1}{20} \cdot 0,4 \frac{Nm}{s} \cdot t + \frac{1}{20} \cdot 0,6 Nm ) dt$Es gilt $t_0 = 0$ und $v_0 = 0$ (Bewegung aus der Ruhe heraus):$v_1 = \frac{1}{40} \cdot 0,4 \frac{Nm}{s} \cdot t_1^2 + \frac{1}{20} \cdot 0,6 Nm \cdot t_1$Einsetzen von $t_1 = 5s$:$v_1 = \frac{1}{40} \cdot 0,4 \frac{Nm}{s} \cdot (5s)^2 + \frac{1}{20} \cdot 0,6 Nm \cdot 5s$$v_1 = 0,4 \frac{m}{s}$Die Geschwindigkeit ...
  10. Arbeitssatz
    Kinetik des Massenpunktsystems > Arbeitssatz
    Beispiel Arbeitssatz Massenpunktsystem
    ... m_A \cdot g \cdot \sin(30°)) \; dx_A$Integration:$W_A =  -\mu \cdot m_A \cdot g \cdot \cos (30°) \cdot x^A_1 + m_A \cdot g \cdot \sin(30°) \cdot x^A_1$Zusammenfassen:$W_A = m_A \cdot g \cdot x^A_1 (-\mu \cos (30°) + \sin(30°))$Arbeit Kiste BDie Arbeit der Kiste $B$ wird genau so bestimmt:$W_B = \int_0^{x^B_1} (-R_B + G_{Bx}) \; dx_B$Die Reibungskraft $R_B = \mu \; N_B$ ergibt sich ebenfalls aus dem Newtonschen Grundgesetz für die $y$-Richtung:$F_{By} = ...
  11. Gleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Gleichförmige Kreisbewegung
    gleichfrmige Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit
    ... auf:$\omega dt  = d\varphi$    Integration führt dann wieder auf die obige Formel: $\int \omega dt  = \int d\varphi$    $\omega \cdot (t - t_0) = \varphi - \varphi_0$Winkel berechnenDen überstrichenen Winkel $\varphi$ kann man ganz einfach berechnen, indem man die obige Formel nach $\triangle \varphi$ auflöst:$\triangle \varphi = \omega \cdot \triangle t$bzw.$\varphi - \varphi_0 = \omega (t - t_0)$Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung überstreicht ...
  12. Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
    ... v$Umstellen ergibt:$v \; dv = a \; dx$Integration ergibt:$\int_{v_0}^v v \; dv = \int_{x_0}^x a \; dx $$[\frac{1}{2} v^2]_{v_0}^v =  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $$\frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} v_0^2 =  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $Die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Ort kann dann durch Umstellen der Formel nach $v$ bestimmt werden. Es gilt dann folgender Zusammenhang:$v = \frac{dx}{dt}$Da ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Flche unter Funktion
    ...  \int\limits_a^c f(x) dx $Vertauschen der Integrationsgrenzen:$\int\limits_a^b f(x) dx  = - \int\limits_b^a f(x) dx $
  2. Uneigentliche Integrale
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale
    ... I Integrale mit unbeschränkten IntegrationsintervallenTyp II Integrale mit unbeschränkten Integranden
  3. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$  bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es ...
  4. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    ... Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $I. Durchdividieren$\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann ...
  5. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmtes Integral
    ... F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für die Integration nach $x$. Darauf muss bei der Integration immer geachtet werden. $C$ ist die Integrationskonstante (siehe unten).Integriere die Ableitung $f(x) = 2$Da in dieser Funktion kein $x$ vorhanden ist, kann man stattdessen $x^0 = 1$ schreiben. Es ist also $n = 0$:$\int 2 \; dx  = \int 2 x^0 \; dx$Dabei ist ...
  6. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$.Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$.1. Zuerst substituiert man die Klammer:$ t = 2 - 4x$Danach wird $t$ nach $x$ abgeleitet:$\frac{dt}{dx} = -4$Es kann als nächstes ganz einfach nach $dx$ aufgelöst werden:$dx = \frac{dt}{-4} = - \frac{1}{4} dt$2. Anschließend ersetzen von $(2-4x)$ durch $t$ und $dx$ durch $-\frac{1}{4} dt$$\int ...
  7. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    ... ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.Partielle Integration:$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, welcher der Faktoren einfacher zu integrieren und ...
  8. Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    ... zur Lösung eines Integrals vorgestellt:Integration durch Substitution undpartielle Integration.
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    ... ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können. Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt:Differentialgleichungen mit getrennten Variablen,Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,Bernoulli Differentialgleichungen,Ricatti Differentialgleichungen, und exakte Differentialgleichungen. Abschließend wird auf den integrierenden Faktor näher eingegangen. 
  2. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... ist die Kenntnis von Substitutionsregeln und Integrationsregeln erforderlich sowie häufiges Wiederholen von Übungsaufgaben.
  3. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion):$u(t) = {2t-3}$$\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$Einsetzen in die Lösungsformel:Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$ $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $Integrieren:$= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$Rücksubstitution und auflösen:$y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x ...
  4. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y = 0$$N_x = 0$Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$.2.) Integration$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$$\psi ...
  5. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten!]$ |\frac{y-1}{y}| = e^{-x^2 + k} =e^k e^{-x^2} $$ \frac{y-1}{y} = c \cdot e^{-x^2}$ , [ $c$ wird anstelle der Konstanten $e^k$ verwendet mit $ c \not= 0$] 4. Auflösen nach y$\frac{y-1}{y} = \frac{y}{y} - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} $$= 1 - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} \rightarrow -\frac{1}{y} = -1 + c \cdot e^{-x^2} $   [$ \cdot (-) $ und Kehrwert bilden]$y = \frac{1}{1 ...
  6. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... \\ r(x) \end {array}\right)$ ersetzt wurde.Die Integration liefert $\ c_k (x) = \int \frac{W_k(x)}{W(x)} dx $. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit$ y_S(x) = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$. Anwendungsbeispiel: Inhomogene DifferentialgleichungBestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$.Lösungsgesamtheit ...
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Thermodynamik

  1. Exergie und Anergie: Wärme
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Exergie und Anergie > Exergie und Anergie: Wärme
    Exergie der Wrme
    ... = -dW_C = \eta_C dQ = (1 - \frac{T_b}{T}) dQ$Integration:$E_{Q12} = \int_1^2  (1 - \frac{T_b}{T}) dQ$.$E_{Q12} = \int_1^2  dQ - \frac{T_b}{T} dQ$.Da $T_b$ konstant ist und das erste $dQ$ integriert werden kann, ergibt sich:$E_{Q12} = Q_{12} - T_b \int_1^2  \frac{1}{T} dQ$.Das kann man mit $\int_1^2 \frac{dQ}{T} = S_{12}$ auch schreiben als:$E_{Q12} = Q_{12} - T_b S_{12}$.Will man die Entropieänderung $S_2 - S_1$ mitberücksichtigen so ergibt sich unter Verwendung ...
  2. Volumenänderungsarbeit
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    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme > Innere Energie, Wärme und Arbeit > Arbeit am geschlossenen System > Volumenänderungsarbeit
    Stodmpfer verrichten Volumennderungsarbeit
    ... [-\frac{2}{3 \; V^{1,5}}]_{0,05}^{0,0272}$Die Integration erfolgt mit folgender Formel:$\int x^n = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1}$$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-\frac{2}{3 \cdot (0,0272 m^3)^{1,5}} + \frac{2}{3 \cdot (0,05 m^3)^{1,5}}]$$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-148,61 \frac{1}{m^{4,5}} + 59,63 \frac{1}{m^{4,5}}]$$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-88,98 \frac{1}{m^{4,5}}]$$W_V = 4874,50 Pa \; m^3 = 4874,50 \frac{kg}{m ...
  3. Massenstrom
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    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für offene Systeme > Stationärer Fließprozess > Massenstrom
    image
    ... herangezogen. Diese wird mittels Integration bestimmt:$v = \frac{1}{A} \int_A v \cdot dA$               Mittlere StrömungsgeschwindigkeitLeistungDie Leistung bezeichnet die in einer Zeitspanne $\triangle t$ umgesetzte Energie  $\triangle W$ bzw. aufgewendete Arbeit $\triangle E$ bezogen auf diese Zeitspanne:$P = \frac{\triangle W}{\triangle t} = \frac{\triangle E}{\triangle t}$Die Leistung ist also der Quotient ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Streckenlast
    ... gleich groß, d.h. $q(x) = q_0$. Durch die Integration von $q(x)$ (Summe der Kräfte $q(x)dx$) berechnet sich die Größe der Resultierenden aus dem Nenner (1):$\int\limits_0^l q(x) dx = \int\limits_0^l q_0 dx = [x \; q_0]_0^l = [q_0 \cdot l - q_0 \cdot 0] = q_0 \cdot l$.Dies kann man auch ohne die Integration ablesen, denn die Größe der Resultierenden ist gleich dem Flächeninhalt.Nachdem die Größe der Resultierenden bestimmt ist, muss als nächstes ...
  2. Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittgren verteilte Last
    ... der Belastung $ q $ ermitteln. Dies ist durch Integration unter Verwendung von Integrationskonstanten möglich. Die formale Schreibweise ist hierbei:$\ Q = - \int q \; dx + C_1 $,       aus $\frac{dQ}{dx} = -q$   (siehe vorherigen Abschnitt)$\ M = \int Q \; dx + C_2$        aus  $\frac{dM}{dx} = Q$    (siehe vorherigen Abschnitt)Die derzeit noch unbekannten Integrationskonstanten $ C_1 $ und $ C_2 $ können mit Hilfe der ...
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Strömungslehre

  1. Potentialfunktion
    Ebene Strömungen > Potentialfunktion
    Potentialfunktion Potentiallinien
    ... = \int -2y \; dx = -2y \cdot x + C(y)$Bei der Integration nach $x$ (durch $dx$ gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante $C(y)$ nicht von $x$ abhängig.$\Phi = \int w_y \; dy = \int -2x \; dy = -2x \cdot y + C(x)$Bei der Integration nach $y$ (durch $dy$ gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante $C(x)$ nicht von $y$ abhängig.Die Integrationskonstanten spielen hier physikalisch keine Rolle, weshalb diese gleich null gesetzt werden können. Die dazugehörige Potentialfunktion ...
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Werkstofftechnik 2

  1. Kokillenguss
    Formgebung der Werkstoffe > Metallische Werkstoffe > Gießen > Gießverfahren > Kokillenguss
    Kokillenguss von Gold
    ... auf den "wertvollen" Sand verzichten. Denn die Integration eines Kerns in den Gießprozess, lässt sich oft nur mit modellierten Sand nach dem Formmaskenverfahren realisieren. Anforderungen an eine KokilleAusreichend hoher SchmelzpunktTemperaturbeständigkeit Geringe WärmedehnungHohe TemperaturwechselbeständigkeitMaximale VerschleißfestigkeitGute Temperatur- und WärmeleitfähigkeitGute mechanische BearbeitbarkeitAnlassbeständigNicht warmrissanfälligSchlichtungTrotz ...
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