Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... nur um den reinen Biegeanteil handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:$w'_B = -\varphi$In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet. Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des ...
  2. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    rtliche Dehnung
    ... des Stabelements über eine Integration berechnet werden:$\epsilon(x) = \frac{du}{dx} $     /Umstellen nach $du$$du = \epsilon(x) \; dx$          /Integral bilden$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e(x)$ gegeben, so kann durch Integration diese Längenänderung ...
  3. Wärmedehnungen
    Stabbeanspruchungen > Wärmedehnungen
    Wrmedehnungen Beispiel
    ... 0,00015 \frac{1}{m} \cdot x) \; dx$Integration:$\triangle l = [9,524 \cdot 10^{-6} x + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} x^2]_0^L$$\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot L + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} L^2$Einsetzen von $L = 2m$:$\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot 2m + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} (2m)^2$$\triangle l = 0,000319 m$Die Verlängerung des Stabes beträgt 0,000319 m.
  4. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Beispiel: hngender Stab
    ... \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$Die Integrationskonstanten können aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x = 0$. Aus (3) erhält man dann:$EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$$EA \cdot 0 =  -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2$$C_2 = 0$.Für das untere Stabende ($x = l)$ ...
  5. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... = N $.(3) $EAu = N \cdot x + C_1$Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$:$EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$$C_1 = 0$.(3) $EAu = N \cdot x$Auflösen nach $u$:$u = \frac{N}{EA} \cdot x$Die Stabverlängerung berechnet sich durch die Differenz der Verschiebung an den Stabenden:$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) =  \frac{N}{EA} \cdot l - \frac{N}{EA} ...
  6. Verträglichkeitsbedingungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen > Verträglichkeitsbedingungen
    ... so lassen sich die Verschiebungen mittels Integration bestimmen. Hierzu muss jedoch eine Abhängigkeit der Verzerrungen voneinander vorausgesetzt sein.Dazu wird erneut die Gleichung $\tau_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} $ verwendet.Diese Gleichung wird im ersten Schritt zuerst partiell nach $x$ und anschließend partiell nach $y$ abgeleitet:$\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^3 u}{\partial y^2\partial x} + \frac{\partial^3 ...
  7. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Hauptrgheitsmomente Rechteck
    ... zur $y$-Achse wählt, dann kann man die Integration einfach über die Länge $a$ vornehmen und erhält demnach das gesamte Rechteck. $I_y = \int z^2 dA$           mit  $dA = b \cdot dz$Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$. Da sich der Schwerpunkt bei einem Rechteck in der Mitte befindet und die $y$-Achse demnach in der Mitte liegt, erfolgt die Integration von $-\frac{a}{2}$ bis $\frac{a}{2}$:$I_y = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} ...
  8. Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Dreieck
    ... der FlächenträgheitsmomenteDie Integration kann nun erfolgen:$I_y = \int z^2 \; dA$    mit $dA = dz \cdot y$   mit $y = b(1 - \frac{z}{a})$Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$:$I_y = \int_0^a (z^2 \; b(1 - \frac{z}{a}) \; dz)$$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^2 b \frac{z}{a} \; dz)$$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^3 b \frac{1}{a} \; dz)$$I_y = [\frac{1}{3} z^3 b - \frac{1}{4} z^4 b \frac{1}{a}]_0^a $$I_y = [\frac{1}{3} a^3 ...
  9. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner - zusammengesetzte Flchen
    ... = A_1 + A_2 $Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt. Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen:$\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $ Das Video wird geladen...Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezogen auf ...
  10. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Schubverformung
    ... $y$-Achse$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.Die maximale Schubspannung befindet sich in der Profilmitte bei $z = 0$. Das bedeutet also:$\tau_{max} = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_{z = 0}^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie bei einer einachsigen Querkraftbiegung die Normalspannung und die Schubspannung bestimmt werden.
  11. Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung > Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Querkraftbiegung - Bestimmung der Normal- und Schubspannungen
    ... also $b(z) = b = 0,25m$.Es muss nun noch die Integration stattfinden. Integriert wird von einem ausgewählten $z$, für welchen die Schubspannung bestimmt werden soll bis zum Maximum $z_{max}$ in Richtung der positiven $z$-Achse. Also bis zum unteren Rand des Querschnitts. Das Maximum der Schubspannung findet sich in der Profilmitte, also bei $z = 0$ ($z$-Achse beginnt im Schwerpunkt, also in der Profilmitte). Das bedeutet also, dass die Integration bei $z= 0$ beginnt und bis $z_{max} ...
  12. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenneigung Winkel
    ... I_{y}$ als Biegesteifigkeit.Durch zweifache Integration von $w''$ kann die Biegelinie bestimmt werden. Das $M_y(x)$ ist der Momentenverlauf, welcher von $x$ abhängig ist. Bei reiner Biegung ist dieser konstant $M_y(x) = M_y$, d.h. an jeder Stelle gleich. Bei Querkraftbiegung hingegen ist der Momentenverlauf abhängig davon, wo der Schnitt bei $x$ durchgeführt wird. Liegt eine Streckenlast vor, so kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden:$EIw(x)^{IV} = q(x)$mit$EI$ ...
  13. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.Auflösen der Differentialgleichung der BiegelinieUm die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:$EI \cdot w'' = - M_y(x)$mit$EI$ Biegesteifigkeit$E$ Elastizitätsmodul$I_y$ Flächenträgheitsmoment ...
  14. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Einbereichsaufgaben
    ... Fl$ und $A = F$ ergibt:$ M(x) = - F(l - x) $3. Integration der Differentialgleichung der Biegelinie$ w'' = - \frac{M}{E\cdot I} \text{E I herausziehen} \rightarrow E\cdot I w'' = - M(x) = F(l - x) $1. Integration:$ E\cdot I w' = F (lx - \frac{1}{2}x^2) + C_1 $2. Integration$ E\cdot I w = F (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3) + C_1 x + C_2 $4. Bestimmung der Integrationskonstanten aus den RandbedingungenAblesen aus der Liste des vorherigen Abschnitts für die feste Einspannung: $ w = 0 (x = ...
  15. Biegelinie mit Streckenlast
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
    Biegelinie Streckenlast
    ... konstant, weshalb $q(x) = q_0$:$EIw^{IV} = q_0$IntegrationenEs folgt die 1. Integration:$EIw^{III} = \int q_0 \; dx$$EIw^{III} = q_0 \cdot x + C_1$2. Integration:$EIw^{II} = \int q_0 \cdot x \; dx + \int C_1 \; dx$$EIw^{II} = \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + C_1 \cdot x + C_2$3. Integration:$EIw^{I} = \int \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 \; dx + \int C_1 \cdot x \; dx + \int C_2 \; dx$$EIw^{I} = \frac{1}{6} q_0 \cdot x^3 + \frac{1}{2} C_1 \cdot x^2 +  C_2 \cdot x + C_3$4. Integration:$EIw = \int \frac{1}{6} ...
  16. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Mehrbereichsaufgaben
    ... M_2(x) = F\frac{b}{l}x - F (x-a) $ 3. Integration der beiden Bereiche:Bereich I: $ EIw_1'' = - M_1(x) = - F\frac{b}{l} x $$ EIw_1' = - F \frac{b}{l} \frac{x^2}{2} + C_1 $$ EIw_1 = - F \frac{b}{l} \frac{x^3}{6} + C_1 x + C_2 $ Bereich II: $ EIw_2'' = - M_2(x) = - F\frac{b}{l} x + F(x - a) $$ EIw_2' = - F\frac{bx^2}{2l} + F\frac{(x-a)^2}{2} + D_1 $$ EIw_2 = - F\frac{bx^3}{6l} + F\frac{(x-a)^3}{6} + D_1 x + D_2 $Insgesamt liegen im Moment vier unbekannte Integrationskonstanten ...
  17. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... $y$-Achse$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.Belastung in $y$-Richtung:$\tau(y) = \frac{Q_y}{h{y} \cdot I_z} \int_y^{y_{max}} \eta h(\eta) d\eta$mit$Q(y)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt$h(y)$ Höhe des Balkens, für konstante Höhe ergibt sich: $h = const$.$I_z$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $z$-Achse$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $y$ ...
  18. Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Schiefe Biegung symmetrischer Querschnitt
    ... muss zweimal integriert werden. Die anfallenden Integrationskonstanten können dann aus den Rand- und Übergangsbedingungen entnommen werden. 
  19. Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion Kreisquerschnitt
    ... konstant, so kann die Lösung mit Hilfe von Integration erfolgen. Es gilt$\vartheta = \frac{d\varphi}{dx}$Einsetzen in (wobei $\vartheta nicht mehr konstant ist):$\vartheta = \frac{M_T}{G I_P} $    Ergibt:$\frac{d\varphi}{dx} = \frac{M_T}{G I_P}$Trennung der Veränderlichen:$d\varphi =  \frac{M_T}{G I_P} \; dx$Integration:$\int_{\varphi_0}^{\varphi(x)} d\varphi = \int \frac{M_T}{G I_P} \; dx$$\varphi(x) = \varphi_0 \int_0^x \frac{M_T(x)}{G(x)I_P(x)} dx ...
  20. Satz von Castigliano
    Satz von Castigliano
    Beispiel: Satz von Castigliano
    ... \frac{F}{9} \cdot x_3^2 dx_3 ]$ Integration:$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}} [\frac{F}{27} \cdot a^3  +\frac{F}{3} \cdot a^3 + \frac{F}{27} \cdot (2a)^3 ]$$\delta_F = \frac{F a^3}{EI_{yy}} [\frac{1}{27} +\frac{1}{3} + \frac{8}{27} ]$$\delta_F = \frac{F a^3}{EI_{yy}} [\frac{2}{3}]$$\delta_F = \frac{2 F a^3}{3 EI_{yy}}$     Verschiebung im LastangriffspunktDie vertikale Verschiebung im Lastangriffspunkt (dort wo die Last $F$ angreift) ist demnach bestimmt. Abhängig ...
  21. Beispiel: Satz von Castigliano
    Satz von Castigliano > Beispiel: Satz von Castigliano
    Beispiel zum Satz von Castigliano
    ... \frac{ F \cdot x_2^2}{EI_{yy}} dx_2 $ Integration durchführen und Grenzen einsetzen:$\delta_C = \frac{F}{EA} \cdot 2a - \frac{Ma}{EI_{yy}} \cdot 2a + \frac{F \cdot a^2}{EI_{yy}} \cdot 2a + \frac{ F \cdot a^3}{3 EI_{yy}}  $ Zusammenfassen:$\delta_C = \frac{2 F a}{EA} - \frac{2 M a^2}{EI_{yy}} + \frac{2 F \cdot a^3}{EI_{yy}} + \frac{ F \cdot a^3}{3 EI_{yy}} $$\delta_C = \frac{2 F a}{EA} - \frac{2 M a^2}{EI_{yy}} + \frac{7 F \cdot a^3}{3 EI_{yy}} $Wir können ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Strecke zwischen den Punkten
    ... bestimmen, müsste diese Gleichung nach der Integration nach $t$ abgeleitet werden.3. Bestimmung der mittleren BahngeschwindigkeitDie mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich durch:$v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$.Die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen Punkt A (t=1) und Punkt C (t=3) beträgt:$v_{m}^{1 \to 3} = \frac{7,81 + 11,18}{2} = 9,50$ Länge/Zeit.
  2. Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Geradlinige Bewegung
    ... die Beschleunigung gegeben ist und dann mittels Integration die Geschwindigkeit und der Ort bestimmt werden sollen. Es werden also aus gegebenen kinematischen Größen (Beschleunigung) andere kinematische Größen (Geschwindigkeit, Ort) bestimmt. Diese Bestimmung nennt man auch kinematische Grundaufgaben, welche in den folgenden Abschnitten aufgezeigt werden sollen.Nun folgen zwei Kursvideos zu der behandelten ThematikDas Video wird geladen...Das Video wird geladen...
  3. Gleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int dv = \int a \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$$v - v_0 = a(t - t_0)$Da die Beschleunigung null ist $a = 0$ erkennt man sofort, dass die Geschwindigkeit konstant ist:$v = v_0 $Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, welche als $v_0$ bezeichnet wird. Diese Bewegung, bei welcher die Beschleunigung Null ist und ...
  4. Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a_0 \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$v - v_0 = a_0 \cdot (t - t_0)$Für die Geschwindigkeit ergibt sich also:$v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$Bestimmung des OrtesUm nun aus den oben ermittelten Ergebnissen den Ort $x$ zu bestimmen, muss man nochmals integrieren. Die Geschwindigkeit wurde durch die Ableitung von $x$ nach der Zeit ...
  5. Beispiel: Senkrechter Wurf
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
    ... Geschwindigkeit ergibt sich also durch Integration:$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t a_0 \; dt$$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$.Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf):$v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$.Die Geschwindigkeit ...
  6. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    ... = \ddot{x} = \dot{v} = \frac{dv}{dt}$Mittels Integration kann man auch bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit und den Ort bestimmen:$a(t) = \frac{dv}{dt}$ -> $dv = a(t) \; dt$$\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$$v - v_0 = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$ Geschwindigkeit: $v = v_0 + \int_{t_0}^t a(t) \; dt$$v(t) = \frac{dx}{dt}$ ->  $dx = v(t) \; dt$$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$$x - x_0 = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$Ort: $x= x_0 + \int_{t_0}^t ...
  7. Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit > Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Linearer Verlauf der Beschleunigung
    ... = \frac{dx}{dt}$.Auflösen nach $dx$ und Integration:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$Einsetzen von $v$:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t [v_0 +  a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}] \; dt$.$x - x_0 = [v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{t_0}^t$Es gilt: $t_0 = 0$, $x_0 = 0$ und $v_0 = 0$: $x  = [ \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{0}^t$ $x ...
  8. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
    ... von der Geschwindigkeit bekannt.Nach der Integration kann dann daraus die Geschwindigkeit $v$ durch Umstellen der Gleichung nach $v$ bestimmt werden.Danach wird dann der folgende Zusammenhang angewandt:$v = \frac{dx}{dt}$$dx = v \; dt$Anschließend führen wir die Integration durch:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$$x - x_0 =  \int_{t_0}^t v \; dt$$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v \; dt$Die oben berechnete Geschwindigkeit $v$ wird dann in die Gleichung eingesetz ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... ist die Kenntnis von Substitutionsregeln und Integrationsregeln erforderlich sowie häufiges Wiederholen von Übungsaufgaben.
  2. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion):$u(t) = {2t-3}$$\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$Einsetzen in die Lösungsformel:Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$ $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $Integrieren:$= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$Rücksubstitution und auflösen:$y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x ...
  3. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    ... ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können. Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt:Differentialgleichungen mit getrennten Variablen,Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,Bernoulli Differentialgleichungen,Ricatti Differentialgleichungen, und exakte Differentialgleichungen. Abschließend wird auf den integrierenden Faktor näher eingegangen. 
  4. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten!]$ |\frac{y-1}{y}| = e^{-x^2 + k} =e^k e^{-x^2} $$ \frac{y-1}{y} = c \cdot e^{-x^2}$ , [ $c$ wird anstelle der Konstanten $e^k$ verwendet mit $ c \not= 0$] 4. Auflösen nach y$\frac{y-1}{y} = \frac{y}{y} - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} $$= 1 - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} \rightarrow -\frac{1}{y} = -1 + c \cdot e^{-x^2} $   [$ \cdot (-) $ und Kehrwert bilden]$y = \frac{1}{1 ...
  5. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y = 0$$N_x = 0$Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$.2.) Integration$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$$\psi ...
  6. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... \\ r(x) \end {array}\right)$ ersetzt wurde.Die Integration liefert $\ c_k (x) = \int \frac{W_k(x)}{W(x)} dx $. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit$ y_S(x) = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$. Anwendungsbeispiel: Inhomogene DifferentialgleichungBestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$.Lösungsgesamtheit ...
  • 54 Texte mit 48 Bildern
  • 79 Übungsaufgaben
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Streckenlast
    ... (konstant), d.h. $q(x) = q_0$. Durch die Integration von $q(x)$ (Summe der Kräfte $q(x)dx$) berechnet sich die Größe der Resultierenden aus Gleichung (2):$R_q = \int_0^l q(x) dx = \int_0^l q_0 dx = [q_0 \cdot x]_0^l = [q_0 \cdot l - q_0 \cdot 0] = q_0 \cdot l$.Dies kann man auch ohne die Integration ablesen, denn die Größe der Resultierenden ist gleich dem Flächeninhalt. Die Resultierende der Streckenlast entspricht dem Nenner in Gleichung (1). Um ...
  2. Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittgren verteilte Last
    ... der Belastung $ q $ ermitteln. Dies ist durch Integration unter Verwendung von Integrationskonstanten möglich. Die formale Schreibweise ist hierbei:$\ Q = - \int q \; dx + C_1 $,       aus $\frac{dQ}{dx} = -q$   (siehe vorherigen Abschnitt)$\ M = \int Q \; dx + C_2$        aus  $\frac{dM}{dx} = Q$    (siehe vorherigen Abschnitt)Die derzeit noch unbekannten Integrationskonstanten $ C_1 $ und $ C_2 $ können mit Hilfe der ...
  3. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Verteilte Last Gleichgewichtsbedinungen
    ... bei einer gegebenen Streckenlast nicht durch Integration (vorheriger Abschnitt), sondern durch die Gleichgewichtsbedingungen dargestellt werden. Hierzu wird die folgende Grafik betrachtet:Verteilte LastIn der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 \cdot l$ (also die Einzelkraft multipliziert mit der Länge des Balkens) in den Schwerpunkt ...
  4. Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... Resultierenden der Streckenlasten über die Integration erfolgen:$F_q = \int q(x) dx$Dafür ist der Verlauf $q(x)$ der jeweiligen Streckenlasten  zu bestimmen! Nachdem die Resultierenden der Streckenlasten bestimmt sind, benötigen wir als nächstes die Angriffspunkte dieser.Der Angriffspunkt der Resultierenden einer Streckenlast liegt im Schwerpunkt der Fläche der Streckenlast. Wir müssen also die Lage des Schwerpunktes entweder kennen oder berechnen. Für ...
  5. Definition der Arbeit
    Arbeit > Definition der Arbeit
    Arbeit eines Kraftvektors, infinitesimal, Arbeit, Verschiebung
    ... eine endliche Drehung ergibt sich dann durch Integration:$W = \int dW = \int  M_1 \cdot d\varphi$ Die Einheit der Arbeit ist Joule (J). Es gilt: 1 J = 1 Nm$ 
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Thermodynamik

  1. Volumenänderungsarbeit
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    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme > Innere Energie, Wärme und Arbeit > Arbeit am geschlossenen System > Volumenänderungsarbeit
    Nutzarbeit
    ... [-\frac{2}{3 \; V^{1,5}}]_{0,05}^{0,0272}$Die Integration erfolgt mit folgender Formel:$\int x^n = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1}$$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-\frac{2}{3 \cdot (0,0272 m^3)^{1,5}} + \frac{2}{3 \cdot (0,05 m^3)^{1,5}}]$$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-148,61 \frac{1}{m^{4,5}} + 59,63 \frac{1}{m^{4,5}}]$$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-88,98 \frac{1}{m^{4,5}}]$$W_V = 4874,50 Pa \; m^3 = 4874,50 \frac{kg}{m ...
  2. Massenstrom
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    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für offene Systeme > Stationärer Fließprozess > Massenstrom
    image
    ... herangezogen. Diese wird mittels Integration bestimmt:$v = \frac{1}{A} \int_A v \cdot dA$               Mittlere StrömungsgeschwindigkeitLeistungDie Leistung bezeichnet die in einer Zeitspanne $\triangle t$ umgesetzte Energie  $\triangle W$ bzw. aufgewendete Arbeit $\triangle E$ bezogen auf diese Zeitspanne:$P = \frac{\triangle W}{\triangle t} = \frac{\triangle E}{\triangle t}$Die Leistung ist also der Quotient ...
  3. Beschreibung des Carnot-Prozesses
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Kreisprozesse > Carnot-Prozess > Beschreibung des Carnot-Prozesses
    Carnot-Prozess p,V-Diagramm
    ... = T_I \; \int_{S_2}^{S_1} dS$Die Integration findet von Zustand 1 (hier ist $S_2$ gegeben) zum Zustand 2 (hier ist $S_1$ gegeben) statt.$Q = T_I \; (S_1 - S_2)$Zustandsänderung ($2 \to 3$): Isentrope Kompression (adiabat und reibungsfrei)Das System wird nun von dem Kältereservoir getrennt. Mittels mechanischer Arbeit wird nun der Kolben weiter zusammengedrückt, d.h. Arbeit wird dem System zugeführt. Daraus folgt, dass das Volumen des Systems kleiner wird und damit ...
  4. Exergie und Anergie: Wärme
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Exergie und Anergie > Exergie und Anergie: Wärme
    Exergie der Wrme
    ... = -dW_C = \eta_C dQ = (1 - \frac{T_b}{T}) dQ$Integration:$E_{Q12} = \int_1^2  (1 - \frac{T_b}{T}) dQ$.$E_{Q12} = \int_1^2  dQ - \frac{T_b}{T} dQ$.Da $T_b$ konstant ist und das erste $dQ$ integriert werden kann, ergibt sich:$E_{Q12} = Q_{12} - T_b \int_1^2  \frac{1}{T} dQ$.Das kann man mit $\int_1^2 \frac{dQ}{T} = S_{12}$ auch schreiben als:$E_{Q12} = Q_{12} - T_b S_{12}$.Will man die Entropieänderung $S_2 - S_1$ mitberücksichtigen so ergibt sich unter Verwendung ...
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Elektrotechnik

  1. Fluss, Durchflutung, Spule
    Magnetisches Feld > Grundlagen des Magnetischen Feldes > Fluss, Durchflutung, Spule
    Durchflutung einer Flche
    ... Feldlinien, so erhält man aus der Integration den Gesamtfluss.Sind nicht alle Feldlinien in der Fläche A enthalten, so umfasst das Ergebnis nur einen Teilfluss. Bei der Bestimmung ist es nicht zwingend erforderlich, dass die Flächennormale $ d \vec{A} $ parallel zu den Feldlinien steht. Sonderfall homogenes magnetisches FeldExistieren in einem magnetischen Feld Bereiche in denen eine Homogenität vorliegt, so lässt sich für diesen Bereich der magnetische ...
  2. Feldstärke und Durchflutungsgesetz
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    Magnetisches Feld > Grundlagen des Magnetischen Feldes > Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    nderung der Feldstrke mit zunehmenden Radius
    ... Leiters wird nur der Strom erfasst, der vom Integrationsweg umschlossen ist.$ H = \frac{I}{2 \cdot \pi \cdot R^2} \cdot r $ In der nächsten Abbildung ist eine mögliche magnetische Feldstärke für einen Leiter dargestellt.Änderung der Feldstärke mit zunehmendem RadiusMan sieht, dass die Feldstärke am Rand des Leiters einen maximalen Wert $ \vec{H_0} $ aufweist. Im Mittelpunkt des Leiters nimmt die Feldstärke den Wert null an. Vergrößert ...
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Unternehmensführung

  1. Koordinationsrangfolge
    Planung > Koordinationsrangfolge
    ... diesen aufbauend ein Gesamtplan entwickelt. Die Integration der einzelnen Pläne gestaltet sich in der Regel sehr schwierig, da die meisten Abteilungen unterschiedliche Interessen haben und die divergierenden Interessen in vielen Fällen einen Gesamtplan verhindern, da zu starke Inkonsistenzen bestehen würden.Vergleicht man die bisherigen Arten der Koordination, fällt auf, dass beide Arten der Koordination erheblich Schwächen haben, die den Planungsprozess und die spätere ...
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Strömungslehre

  1. Potentialfunktion
    Ebene Strömungen > Potentialfunktion
    Potentialfunktion Potentiallinien
    ... = \int -2y \; dx = -2y \cdot x + C(y)$Bei der Integration nach $x$ (durch $dx$ gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante $C(y)$ nicht von $x$ abhängig.$\Phi = \int w_y \; dy = \int -2x \; dy = -2x \cdot y + C(x)$Bei der Integration nach $y$ (durch $dy$ gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante $C(x)$ nicht von $y$ abhängig.Die Integrationskonstanten spielen hier physikalisch keine Rolle, weshalb diese gleich null gesetzt werden können. Die dazugehörige Potentialfunktion ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integrale mit unbeschrnkten Integranden
    ... Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt]. Befindet sich die Polstelle $p$ am Rand $b$, so ist die Funktion wie folgt :$\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$. Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt definiert:$\lim_{r \to p, r < p} \int\limits_a^r f(x) dx $$r$  nähert sich in ...
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Werkstofftechnik 2

  1. Kokillenguss
    Formgebung der Werkstoffe > Metallische Werkstoffe > Gießen > Gießverfahren > Kokillenguss
    Kokillenguss von Gold
    ... auf den "wertvollen" Sand verzichten. Denn die Integration eines Kerns in den Gießprozess, lässt sich oft nur mit modellierten Sand nach dem Formmaskenverfahren realisieren. Anforderungen an eine KokilleAusreichend hoher SchmelzpunktTemperaturbeständigkeit Geringe WärmedehnungHohe TemperaturwechselbeständigkeitMaximale VerschleißfestigkeitGute Temperatur- und WärmeleitfähigkeitGute mechanische BearbeitbarkeitAnlassbeständigNicht warmrissanfälligSchlichtungTrotz ...
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