Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.Auflösen der Differentialgleichung der BiegelinieUm die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:$EI \cdot w'' = - M_y(x)$mit$EI$ Biegesteifigkeit$E$ Elastizitätsmodul$I_y$ Flächenträgheitsmoment ...
  2. Biegelinie mit Streckenlast
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
    Biegelinie Streckenlast
    ... konstant, weshalb $q(x) = q_0$:$EIw^{IV} = q_0$IntegrationenEs folgt die 1. Integration:$EIw^{III} = \int q_0 \; dx$$EIw^{III} = q_0 \cdot x + C_1$2. Integration:$EIw^{II} = \int q_0 \cdot x \; dx + \int C_1 \; dx$$EIw^{II} = \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + C_1 \cdot x + C_2$3. Integration:$EIw^{I} = \int \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 \; dx + \int C_1 \cdot x \; dx + \int C_2 \; dx$$EIw^{I} = \frac{1}{6} q_0 \cdot x^3 + \frac{1}{2} C_1 \cdot x^2 +  C_2 \cdot x + C_3$4. Integration:$EIw = \int \frac{1}{6} ...
  3. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Rechteck
    ... zur $y$-Achse wählt, dann kann man die Integration einfach über die Länge $a$ vornehmen und erhält demnach das gesamte Rechteck. $I_y = \int z^2 dA$           mit  $dA = b \cdot dz$Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$. Da sich der Schwerpunkt bei einem Rechteck in der Mitte befindet und die $y$-Achse demnach in der Mitte liegt, erfolgt die Integration von $-\frac{a}{2}$ bis $\frac{a}{2}$:$I_y = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} ...
  4. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Einbereichsaufgaben
    ... Fl$ und $A = F$ ergibt:$ M(x) = - F(l - x) $3. Integration der Differentialgleichung der Biegelinie$ w'' = - \frac{M}{E\cdot I} \text{E I herausziehen} \rightarrow E\cdot I w'' = - M(x) = F(l - x) $1. Integration:$ E\cdot I w' = F (lx - \frac{1}{2}x^2) + C_1 $2. Integration$ E\cdot I w = F (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3) + C_1 x + C_2 $4. Bestimmung der Integrationskonstanten aus den RandbedingungenAblesen aus der Liste des vorherigen Abschnitts für die feste Einspannung: $ w = 0 (x = ...
  5. Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Dreieck
    ... der FlächenträgheitsmomenteDie Integration kann nun erfolgen:$I_y = \int z^2 \; dA$mit$dA = dz \cdot y$  $y = b(1 - \frac{z}{a})$Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$:$I_y = \int_0^a (z^2 \; b(1 - \frac{z}{a}) \; dz)$$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^2 b \frac{z}{a} \; dz)$$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^3 b \frac{1}{a} \; dz)$$I_y = [\frac{1}{3} z^3 b - \frac{1}{4} z^4 b \frac{1}{a}]_0^a $$I_y = [\frac{1}{3} a^3 b - \frac{1}{4} a^4 ...
  6. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... nur um den reinen Biegeanteil handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:$w'_B = -\varphi$In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet. Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Gleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int dv = \int a \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$$v - v_0 = a(t - t_0)$Da die Beschleunigung null ist $a = 0$ erkennt man sofort, dass die Geschwindigkeit konstant ist:$v = v_0 $Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, welche als $v_0$ bezeichnet wird. Diese Bewegung, bei welcher die Beschleunigung Null ist und ...
  2. Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a_0 \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$v - v_0 = a_0 \cdot (t - t_0)$Für die Geschwindigkeit ergibt sich also:$v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$Bestimmung des OrtesUm nun aus den oben ermittelten Ergebnissen den Ort $x$ zu bestimmen, muss man nochmals integrieren. Die Geschwindigkeit wurde durch die Ableitung von $x$ nach der Zeit ...
  3. Beispiel: Senkrechter Wurf
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
    ... Geschwindigkeit ergibt sich also durch Integration:$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t a_0 \; dt$$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$.Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf):$v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$.Die Geschwindigkeit ...
  4. Impulssatz
    Kinetik des Massenpunktes > Impulssatz und Impulsmomentensatz > Impulssatz
    Beispiel: Impulssatz vs. Newtonsches Grundgesetz
    ... umstellen nach $dv$ und anschließende Integration zur Bestimmung der Geschwindigkeit $v$.Das bedeutet also, dass der Impulssatz als Alternative zum Newtonschen Gesetz verwendet werden kann, vor allem wenn die Zeit als Faktor in der Berechnung mitberücksichtigt werden muss. Es gibt aber auch Fälle, da kann das Newtonsche Gesetz nicht angewandt werden. Dort muss die Aufgabenstellung dann mit dem Impulssatz gelöst werden.Beispiel: Impulssatz vs. Newtonsche GrundgesetzGegeben ...
  5. Beispiel: Beschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit > Beispiel: Beschleunigung
    ... für wir die Integration durch:$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$Das ergibt genau der im vorherigen Text angegebenen Funktion.Man kann also statt der Herleitung der Formel direkt auf diese zugreifen, wenn die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben ist.Nun Einsetzen von $a(v) = -5v$:$t = t_0 +  \int_{v_0}^v ...
  6. Beispiel: Vertikaler Wurf
    Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Vertikaler Wurf
    Beispiel Vertikaler Wurf
    ... Da $a = \frac{dv}{dt}$ kann man mittels Integration die Geschwindigkeit bestimmen und erhält:$v = v_0 + a (t - t_0)$Einsetzen von $a = -9,81 \frac{m}{s^2}$:$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} (t - t_0)$Zu Beginn ist $t_0 = 0$:$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch $v = \frac{dz}{dt}$. Durch Integration kann man nun den Weg bzw. die Höhe $z$ bestimmen:$z - z_0 = \int_{t_0}^t v \; dt$Einsetzen von $v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$:$z - z_0 = \int_{t_0}^t ...
Technische Mechanik 3: Dynamik
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Physik

  1. Integration der Bahnbeschleunigung/-geschwindigkeit
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Integration der Bahnbeschleunigung/-geschwindigkeit
    ... $dv$:$dv = a(t) \cdot dt$Anschließend Integration beider Seiten:$\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$Letztlich resultiert dann:$v - v_0 =  \int_{t_0}^t a(t) \; dt$Bestimmung der Bahnkurve aus der BahngeschwindigkeitMit einer weiteren Integration ist es dann möglich die Bahnkurve zu bestimmen. Hierfür wird die folgende Gleichung herangezogen:$v(t) = \frac{ds}{dt}$Auflösen nach $dr$:$ds = v(t) \; dt$Anschließend wieder Integration beider Seiten:$\int_{s_0}^s ...
  2. Beispiel: Senkrechter Wurf
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
    Senkrechter Wurf eines Tennisballs
    ... sich also durch Integration:$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t a_0 \; dt$$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$.Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf):$v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$.Die Geschwindigkeit ...
  3. Gleichförmige Bewegung
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
    Gleichfrmige Bewegung3
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$v - v_0 = a(t - t_0)$Da die Beschleunigung null ist $a = 0$ erkennt man sofort, dass die Geschwindigkeit konstant ist:$v = v_0 $Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, welche als $v_0$ bezeichnet wird. Diese Bewegung, bei welcher die Beschleunigung Null ist und die Geschwindigkeit ...
  4. Aufgaben-Lösungen-Kinematik
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Aufgaben und Lösungen zur Kinematik > Aufgaben-Lösungen-Kinematik
    Sonnenaufgang
    ... der Formel:$dx = v \cdot dt$Integration:$\int_0^x dx = \int_0^t v dt$$x = v \cdot t$                   Umstellen nach $t$:$t = \frac{x}{v} = \frac{150.000.000 km}{300.000 \frac{km}{s}}$$t = 500 s$Das Licht benötigt ca. 500 Sekunden von der Sonne bis zur Erde.2. Die Erdbahn um die Sonne ist nahezu ein Kreis. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Erdmittelpunktes auf seiner Bahn um die Sonne?unverhältnismäßige ...
  5. Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    ... dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$v - v_0 = a \cdot (t - t_0)$Für die Geschwindigkeit ergibt sich also:$v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$Bestimmung des Ortes$v = \frac{dx}{dt}$.Demnach kann man nun den Ort $x$ durch die bestimmte Integration der Geschwindigkeit bestimmen:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} v \; dt $Einsetzen von $v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$ liefert:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} (v_0 + a \cdot (t - t_0)) dt $Auflösen der Integration ...
Physik
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    ... ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.Partielle Integration:$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, welcher der Faktoren einfacher zu integrieren und ...
  2. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$.Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$.1. Zuerst substituiert man die Klammer:$ t = 2 - 4x$Danach wird $t$ nach $x$ abgeleitet:$\frac{dt}{dx} = -4$Es kann als nächstes ganz einfach nach $dx$ aufgelöst werden:$dx = \frac{dt}{-4} = - \frac{1}{4} dt$2. Anschließend ersetzen von $(2-4x)$ durch $t$ und $dx$ durch $-\frac{1}{4} dt$$\int ...
  3. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmtes Integral
    ... F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für die Integration nach $x$. Darauf muss bei der Integration immer geachtet werden. $C$ ist die Integrationskonstante (siehe unten).Integriere die Ableitung $f(x) = 2$Da in dieser Funktion kein $x$ vorhanden ist, kann man stattdessen $x^0 = 1$ schreiben. Es ist also $n = 0$:$\int 2 \; dx  = \int 2 x^0 \; dx$Dabei ist ...
  4. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    ... Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $I. Durchdividieren$\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann ...
Analysis und Lineare Algebra
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Verteilte Last Gleichgewichtsbedinungen
    ... bei einer gegebenen Streckenlast nicht durch Integration (vorheriger Abschnitt), sondern durch die Gleichgewichtsbedingungen dargestellt werden. Hierzu wird die folgende Grafik betrachtet:Verteilte LastIn der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 \cdot l$ (also die Einzelkraft multipliziert mit der Länge des Balkens) in den Schwerpunkt ...
  2. Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... Resultierenden der Streckenlasten über die Integration erfolgen:$F_q = \int q(x) dx$Dafür ist der Verlauf $q(x)$ der jeweiligen Streckenlasten  zu bestimmen! Nachdem die Resultierenden der Streckenlasten bestimmt sind, benötigen wir als nächstes die Angriffspunkte dieser.Der Angriffspunkt der Resultierenden einer Streckenlast liegt im Schwerpunkt der Fläche der Streckenlast. Wir müssen also die Lage des Schwerpunktes entweder kennen oder berechnen. Für ...
  3. Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Streckenlast
    ... (konstant), d.h. $q(x) = q_0$. Durch die Integration von $q(x)$ (Summe der Kräfte $q(x)dx$) berechnet sich die Größe der Resultierenden aus Gleichung (2):$R_q = \int_0^l q(x) dx = \int_0^l q_0 dx = [q_0 \cdot x]_0^l = [q_0 \cdot l - q_0 \cdot 0] = q_0 \cdot l$.Dies kann man auch ohne die Integration ablesen, denn die Größe der Resultierenden ist gleich dem Flächeninhalt. Die Resultierende der Streckenlast entspricht dem Nenner in Gleichung (1). Um ...
  4. Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittgren verteilte Last
    ... der Belastung $ q $ ermitteln. Dies ist durch Integration unter Verwendung von Integrationskonstanten möglich. Die formale Schreibweise ist hierbei:$\ Q = - \int q \; dx + C_1 $,       aus $\frac{dQ}{dx} = -q$   (siehe vorherigen Abschnitt)$\ M = \int Q \; dx + C_2$        aus  $\frac{dM}{dx} = Q$    (siehe vorherigen Abschnitt)Die derzeit noch unbekannten Integrationskonstanten $ C_1 $ und $ C_2 $ können mit Hilfe der ...
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Baustatik 1

  1. Aufgaben und Lösungen
    Kurs Baustatik > Aufgaben und Lösungen
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... Resultierenden der Streckenlasten über die Integration erfolgen:$F_q = \int q(x) dx$Dafür ist der Verlauf $q(x)$ der jeweiligen Streckenlasten zu bestimmen! Nachdem die Resultierenden der Streckenlasten bestimmt sind, benötigen wir als nächstes die Angriffspunkte dieser.Der Angriffspunkt der Resultierenden einer Streckenlast liegt im Schwerpunkt der Fläche der Streckenlast. Wir müssen also die Lage des Schwerpunktes entweder kennen oder berechnen. Für ...
  2. Dehnung: Aufgaben und Lösungen
    Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnung: Aufgaben und Lösungen
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... = \int \frac{G (l-x)}{l \cdot EA} dx$ Integration:$u = \int \frac{G (l-x)}{l \cdot EA} \; dx$    |konstante Faktoren nach vorne ziehen$u = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot \int (l-x) dx$$u = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot (lx-\frac{1}{2} x^2) +  C$Die Integrationskonstante $C$ kann aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x ...
  3. Differentialgleichung der Biegelinie
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung der Biegelinie
    Balkenverformung
    ... somit die Biegelinie $w(x)$ durch viermalige Integration bestimmt werden.Es gilt außerdem der folgende Zusammenhang:$w' = - \varphi$Diese Gleichung wird herangezogen, wenn nach dem Drehwinkel der Balkenachse in einem bestimmten Punkt gefragt wird.Wichtig ist, dass bei jeder Integration Integrationskonstanten auftreten. Diese können aus den Randbedingungen bestimmt werden.RandbedingungenDie Randbedingungen für verschiedene Lagerungen können Tabellenwerken entnommen werden. ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y = 0$$N_x = 0$Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$.2.) Integration$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$$\psi ...
  2. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... \\ r(x) \end {array}\right)$ ersetzt wurde.Die Integration liefert $\ c_k (x) = \int \frac{W_k(x)}{W(x)} dx $. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit$ y_S(x) = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$. Anwendungsbeispiel: Inhomogene DifferentialgleichungBestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$.Lösungsgesamtheit ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Regelungstechnik

  1. Original- und Bildbereich
    LAPLACE Transformation > Mathematische Transformation > Original- und Bildbereich
    Laplace-Transformation
    ... für Differenziation und IntegrationUm Dir zu zeigen wie die LAPLACE-Transformation abläuft, werden wir eine Differenziation und eine Integration mit den beispielhaften Funktionen $ \frac{d}{dt} (t \cdot e^{at}) $ und $ \int t dt $ durchführen.HinweisDie Differenziation im Zeitbereich wird im Frequenzbereich durch eine Multiplikation mit der komplexen Bildvariablen $ s $ dargestellt.Bei einer Integration im Zeitbereich, erfolgt im Frequenzbereich eine Division mit ...
Regelungstechnik
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Webinare

  1. Integration durch Substitution, partielle Integration
    ...stimmte Integrale betrachtet und gezeigt, wie die Integration durch Substitution und die partielle Integration durchgeführt wird....
  2. Höhere Mathematik: Integration durch Substitution und partielle Integration
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  3. Gratis-Webinar (Höhere Mathematik 1): Integralrechnung
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