Physik

  1. Beispiel: Bahngeschwindigkeit
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Beispiel: Bahngeschwindigkeit
    Lage eines Massenpunktes
    ... bestimmen, müsste diese Gleichung nach der Integration nach $t$ abgeleitet werden. Die Integration ist aber sehr kompliziert und wird deswegen nicht weiter behandelt.3. Bestimmung der mittleren BahngeschwindigkeitDie mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich durch:$v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$.Die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen Punkt A (t=1) und Punkt C (t=3) beträgt:$\triangle t = 3 - 1 = 2$$\triangle s = 12,37 + 20,22 = 32,59$Für die Strecke zwischen ...
  2. Integration der Bahnbeschleunigung/-geschwindigkeit
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Integration der Bahnbeschleunigung/-geschwindigkeit
    ... $dv$:$dv = a(t) \cdot dt$Anschließend Integration beider Seiten:$\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$Letztlich resultiert dann:$v - v_0 =  \int_{t_0}^t a(t) \; dt$Bestimmung der Bahnkurve aus der BahngeschwindigkeitMit einer weiteren Integration ist es dann möglich die Bahnkurve zu bestimmen. Hierfür wird die folgende Gleichung herangezogen:$v(t) = \frac{ds}{dt}$Auflösen nach $dr$:$ds = v(t) \; dt$Anschließend wieder Integration beider Seiten:$\int_{s_0}^s ...
  3. Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Geradlinige Bewegung
    ... die Beschleunigung gegeben ist und dann mittels Integration die Geschwindigkeit und der Ort bestimmt werden sollen. Es werden also aus gegebenen kinematischen Größen (Beschleunigung) andere kinematische Größen (Geschwindigkeit, Ort) bestimmt. Diese Bestimmung nennt man auch kinematische Grundaufgaben, welche in den folgenden Abschnitten aufgezeigt werden sollen.
  4. Gleichförmige Bewegung
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
    Gleichfrmige Bewegung3
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$v - v_0 = a(t - t_0)$Da die Beschleunigung null ist $a = 0$ erkennt man sofort, dass die Geschwindigkeit konstant ist:$v = v_0 $Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, welche als $v_0$ bezeichnet wird. Diese Bewegung, bei welcher die Beschleunigung Null ist und die Geschwindigkeit ...
  5. Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    ... dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$Die bestimmte Integration liefert:$v - v_0 = a \cdot (t - t_0)$Für die Geschwindigkeit ergibt sich also:$v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$Bestimmung des Ortes$v = \frac{dx}{dt}$.Demnach kann man nun den Ort $x$ durch die bestimmte Integration der Geschwindigkeit bestimmen:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} v \; dt $Einsetzen von $v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$ liefert:$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} (v_0 + a \cdot (t - t_0)) dt $Auflösen der Integration ...
  6. Beispiel: Senkrechter Wurf
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
    Senkrechter Wurf eines Tennisballs
    ... sich also durch Integration:$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t a_0 \; dt$$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$.Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf):$v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$.Die Geschwindigkeit ...
  7. Ungleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Kreisbewegung > Ungleichförmige Kreisbewegung
    Achterbahn in einem Looping
    ... von der Zeit $t$, so nutzt man die Integration, indem man anstelle der gesamten Differenzen nur infinitesimal kleine Abschnitte betrachtet:$d \varphi = \omega(t) \cdot dt$Und das ganze dann integriert:$\int d \varphi = \int \omega(t) \cdot dt$                 Normal- und TangentialbeschleunigungBei der ungleichförmigen Kreisbewegung existiert nun neben der Normalbeschleunigung auch die Tangentialbeschleunigung, da sich sowohl die Richtung ...
  8. Aufgaben-Lösungen-Kinematik
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Aufgaben und Lösungen zur Kinematik > Aufgaben-Lösungen-Kinematik
    unverhltnismige Darstellung der Umlaufbahn
    ... der Formel:$dx = v \cdot dt$Integration:$\int_0^x dx = \int_0^t v dt$$x = v \cdot t$                   Umstellen nach $t$:$t = \frac{x}{v} = \frac{150.000.000 km}{300.000 \frac{km}{s}}$$t = 500 s$Das Licht benötigt ca. 500 Sekunden von der Sonne bis zur Erde.2. Die Erdbahn um die Sonne ist nahezu ein Kreis. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Erdmittelpunktes auf seiner Bahn um die Sonne?unverhältnismäßige ...
  9. Newtonsche Bewegungsgleichung
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Newtonsche Bewegungsgleichung
    Zug bei Anfahrt
    ... wird die Geschwindigkeit mittels Integration bestimmt:$a = \frac{dv}{dt}$$dv = a \cdot dt$$\int_0^v dv = \int_0^{t} a \cdot dt$Die Integrationsgrenzen beginnen bei $v =0$ und $t =0$, weil beim Elfmeter aus dem Stand geschossen wird (Ball befindet sich in Ruhe $v = 0$) und die Zeitzählung beginnt erst ab dem Schuss.Einsetzen von $a =1.000 \frac{m}{s^2}$:$\int_0^v dv = \int_0^{t} 1.000 \frac{m}{s^2} \cdot dt$Integrieren:$v =  1.000 \frac{m}{s^2} \cdot ...
  10. Beschleunigungsarbeit
    Arbeit, Energie und Leistung > Arbeit: Beispiele > Beschleunigungsarbeit
    Beschleunigungsarbeit Saturn V Rakete
    ... = a$Wir erhalten nach zweimaliger Integration:$x - x_0 = \frac{1}{2} a \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$Wir beginnen mit der Zeitmessung bei $t_0 = 0$. Die Wegdifferenz $x - x_0 = s$ ist die Strecke, die während der Beschleunigung zurückgelegt wird. Die Anfangsgeschwindigkeit ist dabei unerheblich, weil nur die Beschleunigung bei Bestimmung der Beschleunigungsarbeit gesucht wird, also $v_0 = 0$.$s = \frac{1}{2} a \cdot t^2 $Einsetzen in die Gleichung für die ...
  11. Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
    Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik > Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
    ... Volumen sondern der Druck konstant sind. Die Integration der Volumenänderungsarbeit bei einem konstanten Druck von einem Zustand 1 zu einem Zustand 2 ergibt dann:$W_V = - p_1 (V_2 - V_1)$Die innere Energie lässt sich also bestimmen zu:$U_2 - U_1 = Q - p_1 (V_2 - V_1) + W_{diss}$Wir können nun $Q + W_{diss} =   m \cdot \int_1^2 c_p \; dT$ in die Gleichung für die innere Energie einsetzen:$U_2 - U_1 =  m \cdot \int_1^2 c_p \; dT - p_1 (V_2 - V_1)$     ...
  12. Carnot-Prozess
    Thermodynamik > Carnot-Prozess
    Carnot-Prozess pV-Diagramm
    ... = T_I \; \int_{S_2}^{S_1} dS$Die Integration findet von Zustand 1 (hier ist $S_2$ gegeben) zum Zustand 2 (hier ist $S_1$ gegeben) statt.$Q = T_I \; (S_1 - S_2)$Zustandsänderung ($2 \to 3$): Isentrope Kompression (adiabat und reibungsfrei)Das Gas wird nun von dem Kältereservoir getrennt. Mittels mechanischer Arbeit wird nun das abgedichtete Gas weiter verdichtet (Kolben wird weiter zusammengedrückt), d.h. es muss Arbeit aufgewendet werden. Da das Kältereservoir ...
Physik
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Baustatik 1

  1. Aufgaben und Lösungen
    Kurs Baustatik > Aufgaben und Lösungen
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... Resultierenden der Streckenlasten über die Integration erfolgen:$F_q = \int q(x) dx$Dafür ist der Verlauf $q(x)$ der jeweiligen Streckenlasten zu bestimmen! Nachdem die Resultierenden der Streckenlasten bestimmt sind, benötigen wir als nächstes die Angriffspunkte dieser.Der Angriffspunkt der Resultierenden einer Streckenlast liegt im Schwerpunkt der Fläche der Streckenlast. Wir müssen also die Lage des Schwerpunktes entweder kennen oder berechnen. Für ...
  2. Dehnungen im Stab
    Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnungen im Stab
    rtliche Dehnung
    ... des Stabelements über eine Integration berechnet werden:$\epsilon (x) = \frac{du}{dx} $     | Umstellen nach $du$ $du = \epsilon(x) \; dx$          | Integral bilden$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$   | Integral auflösen$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon (x) \; dx$    Längenänderung (örtliche Dehnung)Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung ...
  3. Thermische Dehnung / Gesamtdehnung
    Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Thermische Dehnung / Gesamtdehnung
    Wrmedehnungen am Zugstab Beispiel
    ... 0,00015 \frac{1}{m} \cdot x) \; dx$ Integration:$\triangle l = [9,524 \cdot 10^{-6} x + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} x^2]_0^L$ $\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot L + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} L^2$ Einsetzen von $L = 2m$:$\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot 2m + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} (2m)^2$$\triangle l = 0,000319 m$ Die Verlängerung des Stabes beträgt 0,000319 m.
  4. Dehnung: Aufgaben und Lösungen
    Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnung: Aufgaben und Lösungen
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... = \int \frac{G (l-x)}{l \cdot EA} dx$ Integration:$u = \int \frac{G (l-x)}{l \cdot EA} \; dx$    |konstante Faktoren nach vorne ziehen$u = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot \int (l-x) dx$$u = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot (lx-\frac{1}{2} x^2) +  C$Die Integrationskonstante $C$ kann aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x ...
  5. Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Verformung infolge Querkraftkraftbiegung
    Querkraftbiegung - Bestimmung der Normal- und Schubspannungen
    ... $y$-Achse$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.$b(\eta)$ Breite des Balkens von $z$ bis $z_{max}$.Die maximale Schubspannung befindet sich in der Profilmitte bei $z = 0$. Das bedeutet also:$\tau_{max} = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_{z = 0}^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$ Die Schubspannung wird im Allgemeinen gegenüber der Normalspannung $\sigma$ vernachlässigt. Erst bei extrem kurzen Balken, ...
  6. Differentialgleichung der Biegelinie
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung der Biegelinie
    Balkenverformung
    ... somit die Biegelinie $w(x)$ durch viermalige Integration bestimmt werden.Es gilt außerdem der folgende Zusammenhang:$w' = - \varphi$Diese Gleichung wird herangezogen, wenn nach dem Drehwinkel der Balkenachse in einem bestimmten Punkt gefragt wird.Wichtig ist, dass bei jeder Integration Integrationskonstanten auftreten. Diese können aus den Randbedingungen bestimmt werden.RandbedingungenDie Randbedingungen für verschiedene Lagerungen können Tabellenwerken entnommen werden. ...
  7. Differentialgleichung mit Schubanteil
    Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung mit Schubanteil
    ... handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang zwischen dem Neigungswinkel $\varphi$ des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:$w'_B = -\varphi$ Wie groß ist der Fehler, wenn der Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt wird? Neben der Durchbiegung des Balkens infolge Biegespannungen haben auch die auftretenden Schubspannungen (ausgehend von einer Querkraftbiegung) Auswirkungen auf die Durchbiegung ...
  8. Verformung infolge Torsion
    Verformungen > Verformung infolge Torsion
    Torsion bei Wellen - herausgeschnittenes Element
    ... kann die Lösung mit Hilfe von Integration erfolgen. Es gilt:$\vartheta = \frac{d\varphi}{dx}$Einsetzen in (wobei $\vartheta$ nicht mehr konstant ist):$\vartheta = \frac{M_T}{G I_P} $     Ergibt:$\frac{d\varphi}{dx} = \frac{M_T}{G I_P}$$\varphi' = \frac{M_T}{G I_P}$                                                Verdrehung Mittels ...
  9. Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) > Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte
    Prinzip der virtuellen Krfte, Verschiebung, Verdrehung
    ... und wir aus der Koppeltafel die Ergebnisse der Integration ablesen können.Die Koppeltafel findet ihr links im Ordner Materialien.Zunächst betrachten wir die Normalkraftverläufe von Ausgangssystem und virtuellen System.1. Schnittbereich $0 \le x_1 \le 3,61$Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -22,65Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,293Wir müssen nun den rechteckigen Verlauf in Zeile und Spalte suchen. Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte ...
  10. Satz von Castigliano
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Satz von Castigliano
    Beispiel: Satz von Castigliano
    ... \frac{F}{9} \cdot x_3^2 dx_3 ]$ Integration:$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}} [\frac{F}{27} \cdot a^3  +\frac{F}{3} \cdot a^3 + \frac{F}{27} \cdot (2a)^3 ]$$\delta_F = \frac{F a^3}{EI_{yy}} [\frac{1}{27} +\frac{1}{3} + \frac{8}{27} ]$$\delta_F = \frac{F a^3}{EI_{yy}} [\frac{2}{3}]$$\delta_F = \frac{2 F a^3}{3 EI_{yy}}$     Verschiebung im LastangriffspunktDie vertikale Verschiebung im Lastangriffspunkt (dort wo die Last $F$ angreift) ist demnach bestimmt. Abhängig ...
  11. Beispiel: Satz von Castigliano
    Verfahren zur Berechnung einzelner Verformungen > Satz von Castigliano > Beispiel: Satz von Castigliano
    Beispiel zum Satz von Castigliano
    ... + \int_0^a \frac{ F \cdot x_2^2}{EI_{yy}} dx_2 $Integration durchführen und Grenzen einsetzen:$\delta_C = \frac{F}{EA} \cdot 2a - \frac{Ma}{EI_{yy}} \cdot 2a + \frac{F \cdot a^2}{EI_{yy}} \cdot 2a + \frac{ F \cdot a^3}{3 EI_{yy}}  $Zusammenfassen:$\delta_C = \frac{2 F a}{EA} - \frac{2 M a^2}{EI_{yy}} + \frac{2 F \cdot a^3}{EI_{yy}} + \frac{ F \cdot a^3}{3 EI_{yy}} $$\delta_C = \frac{2 F a}{EA} - \frac{2 M a^2}{EI_{yy}} + \frac{7 F \cdot a^3}{3 EI_{yy}} $Wir können nun die ...
  12. Formelsammlung
    Formelsammlung
    ... $y$-Achse$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.$b(\eta)$ Breite des Balkens von $z$ bis $z_{max}$.DifferentialgleichungenDifferentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung $ w'' = -\frac{M_y}{EI_y}$             mit$\kappa = -w''$Differentialgleichung der Biegelinie 3. Ordnung $EIw''' = -Q(x)$ Differentialgleichung der Biegelinie 4. Ordnung $EI w'''' = q(x)$Differentialgleichung ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale
    Unbestimmtes Integral
    ... F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für die Integration nach $x$. Darauf muss bei der Integration immer geachtet werden. $C$ ist die Integrationskonstante (siehe unten).Integriere die Ableitung $f(x) = 2$Da in dieser Funktion kein $x$ vorhanden ist, kann man stattdessen $x^0 = 1$ schreiben. Es ist also $n = 0$:$\int 2 \; dx  = \int 2 x^0 \; dx$Dabei ist ...
  2. Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Rechenregeln für unbestimmte Integrale
    ... zur Lösung eines Integrals vorgestellt:Integration durch Substitution undpartielle Integration.
  3. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
    ... Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$.Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$.1. Zuerst substituiert man die Klammer:$ t = 2 - 4x$Danach wird $t$ nach $x$ abgeleitet:$\frac{dt}{dx} = -4$Es kann als nächstes ganz einfach nach $dx$ aufgelöst werden:$dx = \frac{dt}{-4} = - \frac{1}{4} dt$2. Anschließend ersetzen von $(2-4x)$ durch $t$ und $dx$ durch $-\frac{1}{4} dt$$\int ...
  4. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
    ... ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.Partielle Integration:$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, welcher der Faktoren einfacher zu integrieren und ...
  5. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
    ... Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $I. Durchdividieren$\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann ...
  6. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
    Flche unter Funktion
    ...  \int\limits_a^c f(x) dx $Vertauschen der Integrationsgrenzen:$\int\limits_a^b f(x) dx  = - \int\limits_b^a f(x) dx $
  7. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$  bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es ...
  8. Uneigentliche Integrale
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale
    Uneigentliche Integrale
    ... I Integrale mit unbeschränkten IntegrationsintervallenTyp II Integrale mit unbeschränkten Integranden
  9. Uneigentliche Integrale Typ 1
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 1
    Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen$\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck:$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$. VorgehensweiseZuerst ist  das Integral  $ \int_a^r f(x) dx$  in ...
  10. Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2
    Integrale mit unbeschrnkten Integranden
    ... Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt]. Befindet sich die Polstelle $p$ am Rand $b$, so ist die Funktion wie folgt :$\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$. Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt definiert:$\lim_{r \to p, r < p} \int\limits_a^r f(x) dx $$r$  nähert sich in ...
Analysis und Lineare Algebra
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlnge
    ... ist die Kenntnis von Substitutionsregeln und Integrationsregeln erforderlich sowie häufiges Wiederholen von Übungsaufgaben.
  2. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion):$u(t) = {2t-3}$$\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$Einsetzen in die Lösungsformel:Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$ $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $Integrieren:$= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$Rücksubstitution und auflösen:$y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x ...
  3. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    ... ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können. Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt:Differentialgleichungen mit getrennten Variablen,Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,Bernoulli Differentialgleichungen,Ricatti Differentialgleichungen, und exakte Differentialgleichungen. Abschließend wird auf den integrierenden Faktor näher eingegangen. 
  4. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten!]$ |\frac{y-1}{y}| = e^{-x^2 + k} =e^k e^{-x^2} $$ \frac{y-1}{y} = c \cdot e^{-x^2}$ , [ $c$ wird anstelle der Konstanten $e^k$ verwendet mit $ c \not= 0$] 4. Auflösen nach y$\frac{y-1}{y} = \frac{y}{y} - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} $$= 1 - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} \rightarrow -\frac{1}{y} = -1 + c \cdot e^{-x^2} $   [$ \cdot (-) $ und Kehrwert bilden]$y = \frac{1}{1 ...
  5. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y = 0$$N_x = 0$Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$.2.) Integration$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$$\psi ...
  6. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... \\ r(x) \end {array}\right)$ ersetzt wurde.Die Integration liefert $\ c_k (x) = \int \frac{W_k(x)}{W(x)} dx $. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit$ y_S(x) = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$. Anwendungsbeispiel: Inhomogene DifferentialgleichungBestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$.Lösungsgesamtheit ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Regelungstechnik

  1. Integralregler, I-Regler
    Einführung in die Regelungstechnik > Regelung > Reglertypen > Stetige Regler > Integralregler, I-Regler
    Verlauf des I-Reglers
    ... bestimmt. Der Zeitraum der Integration beträgt $ t - \Delta t $ bis $ t $.Die vorliegende Logik besagt, dass der Regler die Abweichung im entsprechenden Zeitraum erfasst und sich die Reaktion daraus ableitet. Vorteil des I-ReglersVorteil dieser Variante besteht im Ausschluss einer dauerhaften Regelabweichung. Denn selbst bleibende Abweichungen werden im Zeitverlauf im Integral sichtbar und somit eine Anpassung der Regelgröße möglich. Zudem sind ...
  2. Beispiele zum Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan
    ... als Signalflussplan dar.Stelle eine Integrationgleichung als Signalflussplan dar.Stelle eine Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Stelle die Gleichung für eine elektische Leistung P als Signalflussplan dar.Stelle den Zusammenhang von Kraft, Beschleunigung und Weg bei einer Masse als Signalflussplan dar.Stelle die gegebenen Regelkreisgleichungen mit Proportionalelementen in einem Signalflussplan dar. 
  3. Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan > Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
    Integrationsgleichung im Signalflussplan
    Aufgabe: Stelle Integrationsgleichung als Signalflussplan dar.Aufgabenstellung:In unserem Beispiel liegt die folgende Integrationsgleichung vor:$ x_a(t) = \frac{1}{T_1} \cdot \int x_e(t) dt $Damit du auch genau weißt wofür welche Variable steht, hier ein paar Informationen:$ x_a $ stellt die Ausgangsgröße dar.$ x_e $ ist die Eingangsgröße.Auslesen der Integrationsgleichung:Die Eingangsgröße $ x_e(t) $ liegt als ...
Regelungstechnik
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Mechanische Verfahrenstechnik

  1. Sinkgeschwindigkeit - Physikalisches Partikelmerkmal
    Partikel und disperse Systeme > Sinkgeschwindigkeit - Physikalisches Partikelmerkmal
    Sinkendes Partikel
    ... Partikels errechnet sich über die Integration der Druckkräfte über die Oberflächen. Dabei wirkt der statische Auftrieb entgegen dem Beschleunigungsfeld, welches den Druckgradienten erzeugt. Wir unterscheiden desweiteren ob ein Schwerefeld oder ein Zentrifugalfeld vorliegt:Statischer Auftrieb bei einem Schwerefeld: $ (\vec{F}_A)_g = - V_p \cdot \rho_f \cdot \vec{g} $Statischer Auftrieb bei einem Zentrifugalfeld:  $ ( \vec{F}_A)_Z = - V_p \cdot \rho_f \cdot \vec{r} ...
  2. Median, Modus, Arithmetisches Mittel, Statistische Lagemaße
    Partikel und disperse Systeme > Partikelgrößenverteilung > Median, Modus, Arithmetisches Mittel, Statistische Lagemaße
    Unimodale Verteilung
    ... der $ q_r-$Verteilung von x liegt vor, wenn die Integrationsgrenzen den vollständigen Partikelgrößenbereich abdecken. Formal beschrieben wird es durch:$ M_{k,r} = \int_{x_{min}}^{x_{max}} x^k \cdot q_r(x) \cdot dx = \overline{x}_r^k $Das unvollständige k-te Moment der $q_r-$ Verteilung von x liegt vor, wenn obiges nicht der Fall ist. Hier schreibt man:$ M_{k,r} = \int_{x_1}^{x_2} x^k \cdot q_r(x) dx \rightarrow $ mit $ x_{min} < x_1 \le x \le x_2 < x_max $ wobei $ (x_1 ...
  3. Spezifische Oberfläche, Sauter-Durchmesser
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    Partikel und disperse Systeme > Partikelgrößenverteilung > Spezifische Oberfläche, Sauter-Durchmesser
    Prinzip - Sauter-Durchmesser
    ... Verteilung vor, so geht die Summe in die Integration über:$ S_V = 6 f \cdot \int_{x_{min}}^{x_{max}} \frac{1}{x} q_3(x) dx $In Momentenschreibweise:$ S_V = 6 f \cdot M_{-1, 3} $Kennwerte: $ M_{-1, 3} $ = vollständiges Moment der Ordnung -1 der $ q_3 $-Verteilung.Unter Verwendung der Anzahlverteilung lässt sich die spezifische Oberfläche mit$ \overline{S} = \overline{k}_S \cdot \overline{x}^2 $$ \overline{V} = \overline {k}_V \cdot \overline{x}^3 $Kennwerte: $ \overline{k}_s ...
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Elektrotechnik

  1. Fluss, Durchflutung, Spule
    Magnetisches Feld > Grundlagen des Magnetischen Feldes > Fluss, Durchflutung, Spule
    Durchflutung einer Flche
    ... Feldlinien, so erhält man aus der Integration den Gesamtfluss.Sind nicht alle Feldlinien in der Fläche A enthalten, so umfasst das Ergebnis nur einen Teilfluss. Bei der Bestimmung ist es nicht zwingend erforderlich, dass die Flächennormale $ d \vec{A} $ parallel zu den Feldlinien steht. Sonderfall homogenes magnetisches FeldExistieren in einem magnetischen Feld Bereiche in denen eine Homogenität vorliegt, so lässt sich für diesen Bereich der magnetische ...
  2. Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    Magnetisches Feld > Grundlagen des Magnetischen Feldes > Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    nderung der Feldstrke mit zunehmenden Radius
    ... Leiters wird nur der Strom erfasst, der vom Integrationsweg umschlossen ist.$ H = \frac{I}{2 \cdot \pi \cdot R^2} \cdot r $ In der nächsten Abbildung ist eine mögliche magnetische Feldstärke für einen Leiter dargestellt.Änderung der Feldstärke mit zunehmendem RadiusMan sieht, dass die Feldstärke am Rand des Leiters einen maximalen Wert $ \vec{H_0} $ aufweist. Im Mittelpunkt des Leiters nimmt die Feldstärke den Wert null an. Vergrößert ...
Elektrotechnik
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Methodische Produktentwicklung

  1. SIL Methode
    Lösungsverfahren für technische Probleme > Methoden > SIL Methode
    SIL-Methode
    ... SIL Methode steht für die schrittweise Integration von Lösungselementen. Die Teammitglieder entwickeln zunächst für sich allein erste Ideen. Aus diesen Ideen werden die Vorteile im weiteren Verlauf miteinander kombiniert und somit eine herausragende Gesamtlösung erzeugt.Synergieeffekte spielen bei der SIL Methode eine entscheidende Rolle um innovative und gleichzeitig ausgereifte Lösungen für eine Problemstellung zu ermitteln.
Methodische Produktentwicklung
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... nur um den reinen Biegeanteil handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:$w'_B = -\varphi$In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet. Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des ...
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Webinare

  1. Integration durch Substitution, partielle Integration
    ...stimmte Integrale betrachtet und gezeigt, wie die Integration durch Substitution und die partielle Integration durchgeführt wird....
  2. Höhere Mathematik: Integration durch Substitution und partielle Integration
    ...stimmte Integrale betrachtet und gezeigt, wie die Integration durch Substitution und die partielle Integration durchgeführt wird....
  3. Gratis-Webinar (Höhere Mathematik 1): Integralrechnung
    ...stimmte Integrale betrachtet und gezeigt, wie die Integration durch Substitution und die partielle Integration durchgeführt wird....