Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    Dehnung (Stabelement)
    ... die Verlängerung des Stabelements über eine Integration berechnet werden: $\epsilon(x) = \frac{du}{dx} $     /Umstellen nach $du$ $du = \epsilon(x) \; dx$          /Integral bilden $\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$ $\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$ Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e(x)$ gegeben, so kann durch Integration diese Längenänderung bestimmt werden. Spezialfall: ...
  2. Wärmedehnungen
    Stabbeanspruchungen > Wärmedehnungen
    Wärmedehnungen
    ... 0,00015 \frac{1}{m} \cdot x) \; dx$ Integration: $\triangle l = [9,524 \cdot 10^{-6} x + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} x^2]_0^L$ $\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot L + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} L^2$ Einsetzen von $L = 2m$: $\triangle l = 9,524 \cdot 10^{-6} \cdot 2m + 0,00015 \frac{1}{m} \frac{1}{2} (2m)^2$ $\triangle l = 0,000319 m$ Die Verlängerung des Stabes beträgt 0,000319 m.
  3. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    ... \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$ Die Integrationskonstanten können aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x = 0$. Aus (3) erhält man dann: $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$ $EA \cdot 0 =  -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2$ $C_2 = 0$. Für das untere Stabende ($x = l)$ ist die Normalspannung ...
  4. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    ... $EAu' = N $. (3) $EAu = N \cdot x + C_1$ Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$: $EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$ $C_1 = 0$. (3) $EAu = N \cdot x$ Auflösen nach $u$: $u = \frac{N}{EA} \cdot x$ Die Stabverlängerung berechnet sich durch die Differenz der Verschiebung an den Stabenden: $\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) =  \frac{N}{EA} \cdot l - \frac{N}{EA} \cdot ...
  5. Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
    ... Bestimmung der Flächenträgheitsmomente Die Integration kann nun erfolgen: $I_y = \int z^2 \; dA$    mit $dA = dz \cdot y$   mit $y = b(1 - \frac{z}{a})$ Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$: $I_y = \int_0^a (z^2 \; b(1 - \frac{z}{a}) \; dz)$ $I_y = \int_0^a (z^2 b - z^2 b \frac{z}{a} \; dz)$ $I_y = \int_0^a (z^2 b - z^3 b \frac{1}{a} \; dz)$ $I_y = [\frac{1}{3} z^3 b - \frac{1}{4} z^4 b \frac{1}{a}]_0^a $ $I_y = [\frac{1}{3} a^3 b - \frac{1}{4} a^4 b \frac{1}{a}]$ $I_y ...
  6. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... der $y$-Achse $\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$. Belastung in $y$-Richtung: $\tau(y) = \frac{Q_y}{h{y} \cdot I_z} \int_y^{y_{max}} \eta h(\eta) d\eta$ mit $Q(y)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt $h(y)$ Höhe des Balkens, für konstante Höhe ergibt sich: $h = const$. $I_z$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $z$-Achse $\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $y$ zum linken ...
  7. Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    ... muss zweimal integriert werden. Die anfallenden Integrationskonstanten können dann aus den Rand- und Übergangsbedingungen entnommen werden. 
  8. Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    ... konstant, so kann die Lösung mit Hilfe von Integration erfolgen. Es gilt $\vartheta = \frac{d\varphi}{dx}$ Einsetzen in (wobei $\vartheta nicht mehr konstant ist): $\vartheta = \frac{M_T}{G I_P} $     Ergibt: $\frac{d\varphi}{dx} = \frac{M_T}{G I_P}$ Trennung der Veränderlichen: $d\varphi =  \frac{M_T}{G I_P} \; dx$ Integration: $\int_{\varphi_0}^{\varphi(x)} d\varphi = \int \frac{M_T}{G I_P} \; dx$ $\varphi(x) = \varphi_0 \int_0^x \frac{M_T(x)}{G(x)I_P(x)} dx $       ...
  9. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Balkenverformung infolge von Schub
    ... nur um den reinen Biegeanteil handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an: $w'_B = -\varphi$ In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet.  Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des Balkens. Die ...
  10. Verträglichkeitsbedingungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen > Verträglichkeitsbedingungen
    ... so lassen sich die Verschiebungen mittels Integration bestimmen. Hierzu muss jedoch eine Abhängigkeit der Verzerrungen voneinander vorausgesetzt sein. Dazu wird erneut die Gleichung $\tau_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} $ verwendet. Diese Gleichung wird im ersten Schritt zuerst partiell nach $x$ und anschließend partiell nach $y$ abgeleitet: $\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^3 u}{\partial y^2\partial x} + \frac{\partial^3 ...
  11. Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    ... = A_1 + A_2 $ Somit gilt auch, dass sich die Integration über die Gesamtfläche $ A_{ges}$ in zwei Integrale über die Teilflächen $ A_1 , A_2 $ aufspalten lässt.  Für das obige $y^*,z^*$-Koordinatensystem gilt dann entsprechend für zwei Flächen: $\ I_{y^*} = \int_{A_{ges}} z^{*2} \; dA_{ges} = \int_{A_1} z^{*2} \; dA_{ges} + \int_{A_2} z^{*2} \; dA_{ges} $  Das Video wird geladen ... Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezogen auf den eigenen Flächenschwerpunkt Häufig ...
  12. Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
    ... Abstand zur $y$-Achse wählt, dann kann man die Integration einfach über die Länge $a$ vornehmen und erhält demnach das gesamte Rechteck.  $I_y = \int z^2 dA$           mit  $dA = b \cdot dz$ Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$. Da sich der Schwerpunkt bei einem Rechteck in der Mitte befindet und die $y$-Achse demnach in der Mitte liegt, erfolgt die Integration von $-\frac{a}{2}$ bis $\frac{a}{2}$: $I_y = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} z^2 \cdot b \cdot dz$ $I_y ...
  13. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Querkraftbiegung
    ... der $y$-Achse $\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$. Die maximale Schubspannung befindet sich in der Profilmitte bei $z = 0$. Das bedeutet also: $\tau_{max} = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_{z = 0}^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$ Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie bei einer einachsigen Querkraftbiegung die Normalspannung und die Schubspannung bestimmt werden.
  14. Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung > Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    ... also $b(z) = b = 0,25m$. Es muss nun noch die Integration stattfinden. Integriert wird von einem ausgewählten $z$, für welchen die Schubspannung bestimmt werden soll bis zum Maximum $z_{max}$ in Richtung der positiven $z$-Achse. Also bis zum unteren Rand des Querschnitts. Das Maximum der Schubspannung findet sich in der Profilmitte, also bei $z = 0$ ($z$-Achse beginnt im Schwerpunkt, also in der Profilmitte). Das bedeutet also, dass die Integration bei $z= 0$ beginnt und bis $z_{max} = \frac{0,75m}{2} ...
  15. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    ... I_{y}$ als Biegesteifigkeit. Durch zweifache Integration von $w''$ kann die Biegelinie bestimmt werden. Das $M_y(x)$ ist der Momentenverlauf, welcher von $x$ abhängig ist. Bei reiner Biegung ist dieser konstant $M_y(x) = M_y$, d.h. an jeder Stelle gleich. Bei Querkraftbiegung hingegen ist der Momentenverlauf abhängig davon, wo der Schnitt bei $x$ durchgeführt wird.  Liegt eine Streckenlast vor, so kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden: $EIw(x)^{IV} = q(x)$ mit $EI$ konstant In ...
  16. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet. Auflösen der Differentialgleichung der Biegelinie Um die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal: $EI \cdot w'' = - M_y(x)$ mit $EI$ Biegesteifigkeit $E$ Elastizitätsmodul $I_y$ Flächenträgheitsmoment ...
  17. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... und $A = F$ ergibt: $ M(x) = - F(l - x) $ 3. Integration der Differentialgleichung der Biegelinie $ w'' = - \frac{M}{E\cdot I} \text{E I herausziehen} \rightarrow E\cdot I w'' = - M(x) = F(l - x) $ 1. Integration: $ E\cdot I w' = F (lx - \frac{1}{2}x^2) + C_1 $ 2. Integration $ E\cdot I w = F (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3) + C_1 x + C_2 $ 4. Bestimmung der Integrationskonstanten aus den Randbedingungen Ablesen aus der Liste des vorherigen Abschnitts für die feste Einspannung: ...
  18. Biegelinie mit Streckenlast
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
    Biegelinie mit Streckenlast
    ... weshalb $q(x) = q_0$: $EIw^{IV} = q_0$ Integrationen Es folgt die 1. Integration: $EIw^{III} = \int q_0 \; dx$ $EIw^{III} = q_0 \cdot x + C_1$ 2. Integration: $EIw^{II} = \int q_0 \cdot x \; dx + \int C_1 \; dx$ $EIw^{II} = \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + C_1 \cdot x + C_2$ 3. Integration: $EIw^{I} = \int \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 \; dx + \int C_1 \cdot x \; dx + \int C_2 \; dx$ $EIw^{I} = \frac{1}{6} q_0 \cdot x^3 + \frac{1}{2} C_1 \cdot x^2 +  C_2 \cdot x + C_3$ 4. Integration: $EIw ...
  19. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... M_2(x) = F\frac{b}{l}x - F (x-a) $  3. Integration der beiden Bereiche: Bereich I:  $ EIw_1'' = - M_1(x) = - F\frac{b}{l} x $ $ EIw_1' = - F \frac{b}{l} \frac{x^2}{2} + C_1 $ $ EIw_1 = - F \frac{b}{l} \frac{x^3}{6} + C_1 x + C_2 $  Bereich II:  $ EIw_2'' = - M_2(x) = - F\frac{b}{l} x + F(x - a) $ $ EIw_2' = - F\frac{bx^2}{2l} + F\frac{(x-a)^2}{2} + D_1 $ $ EIw_2 = - F\frac{bx^3}{6l} + F\frac{(x-a)^3}{6} + D_1 x + D_2 $ Insgesamt liegen im Moment vier unbekannte Integrationskonstanten ...
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    ... zu bestimmen, müsste diese Gleichung nach der Integration nach $t$ abgeleitet werden. 3. Bestimmung der mittleren Bahngeschwindigkeit Die mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich durch: $v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$. Die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen Punkt A (t=1) und Punkt C (t=3) beträgt: $v_{m}^{1 \to 3} = \frac{7,81 + 11,18}{2} = 9,50$ Länge/Zeit.
  2. Arbeitssatz
    Kinetik des Massenpunktsystems > Arbeitssatz
    Arbeitssatz
    ... m_A \cdot g \cdot \sin(30°)) \; dx_A$ Integration: $W_A =  -\mu \cdot m_A \cdot g \cdot \cos (30°) \cdot x^A_1 + m_A \cdot g \cdot \sin(30°) \cdot x^A_1$ Zusammenfassen: $W_A = m_A \cdot g \cdot x^A_1 (-\mu \cos (30°) + \sin(30°))$ Arbeit Kiste B Die Arbeit der Kiste $B$ wird genau so bestimmt: $W_B = \int_0^{x^B_1} (-R_B + G_{Bx}) \; dx_B$ Die Reibungskraft $R_B = \mu \; N_B$ ergibt sich ebenfalls aus dem Newtonschen Grundgesetz für die $y$-Richtung: $F_{By} = m_B ...
  3. Beispiel: Vertikaler Wurf
    Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Vertikaler Wurf
    Beispiel: Vertikaler Wurf
    ... Da $a = \frac{dv}{dt}$ kann man mittels Integration die Geschwindigkeit bestimmen und erhält: $v = v_0 + a (t - t_0)$ Einsetzen von $a = -9,81 \frac{m}{s^2}$: $v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} (t - t_0)$ Zu Beginn ist $t_0 = 0$: $v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$ Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch $v = \frac{dz}{dt}$. Durch Integration kann man nun den Weg bzw. die Höhe $z$ bestimmen: $z = z_0 + \int_{t_0}^t v \; dt$ Einsetzen von $v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$: $z = z_0 ...
  4. Beispiel: Schiefer Wurf
    Kinetik des Massenpunktes > Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip > Beispiel: Schiefer Wurf
    Beispiel: Schiefer Wurf
    ... \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} t) dt$. Integration (wobei $t_0 = 0$): $z - z_0 = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$. Zu Beginn ist $z_0 = 0$: $z  = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$. Betrachtung der x-Richtung Es wird nun die $x$-Koordinate betrachtet: $F_x = ma_x$ $0 = ma_x$     /Es wirken keine Kräfte auf den Ball in $x$-Richtung $a_x = 0$. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung. Es werden die Gleichungen ...
  5. Impulssatz
    Kinetik des Massenpunktes > Impulssatz und Impulsmomentensatz > Impulssatz
    Impulssatz
    ... umstellen nach $dv$ und anschließende Integration zur Bestimmung der Geschwindigkeit $v$. Das bedeutet also, dass der Impulssatz als Alternative zum Newtonschen Gesetz verwendet werden kann, vor allem wenn die Zeit als Faktor in der Berechnung mitberücksichtigt werden muss. Es gibt aber auch Fälle, da kann das Newtonsche Gesetz nicht angewandt werden. Dort muss die Aufgabenstellung dann mit dem Impulssatz gelöst werden. Beispiel: Impulssatz vs. Newtonsche Grundgesetz Gegeben ...
  6. Drehimpuls / Drehimpulssatz
    Kinetik des Massenpunktsystems > Drehimpuls / Drehimpulssatz
    Drehimpuls / Drehimpulssatz
    ... \frac{dv}{dt}$   Auflösen nach $dv$ und Integration: $\int_{v_0}^{v_1} dv = \int_{t_0}^{t_1} (\frac{1}{20} \cdot 0,4 \frac{Nm}{s} \cdot t + \frac{1}{20} \cdot 0,6 Nm ) dt$ Es gilt $t_0 = 0$ und $v_0 = 0$ (Bewegung aus der Ruhe heraus): $v_1 = \frac{1}{40} \cdot 0,4 \frac{Nm}{s} \cdot t_1^2 + \frac{1}{20} \cdot 0,6 Nm \cdot t_1$ Einsetzen von $t_1 = 5s$: $v_1 = \frac{1}{40} \cdot 0,4 \frac{Nm}{s} \cdot (5s)^2 + \frac{1}{20} \cdot 0,6 Nm \cdot 5s$ $v_1 = 0,4 \frac{m}{s}$ Die ...
  7. Rotation um eine feste Achse
    Kinematik des starren Körpers > Translation/Rotation > Rotation um eine feste Achse
    Rotation um eine feste Achse
    ... $\alpha_S$ konstant ist gilt nach Integration: $\int_{\varphi_0}^{\varphi} \alpha_S \; d\varphi = \int_{\omega_0}^{\omega} \omega_S \; d\omega$ $\alpha_S (\varphi_S - \varphi_{S0}) =\frac{1}{2} \omega_S^2 - \frac{1}{2} \omega_{S0}$ Drehung aus der Ruhelage bedeutet $\omega_0 = 0$ und $\varphi_0 = 0$: $\alpha_S \cdot \varphi_S =\frac{1}{2} \omega_S^2$ Auflösen nach $\omega_S$: $\omega_S = \sqrt{2 \cdot \alpha_S \cdot \varphi_S}$ Einsetzen der Werte: $\omega_S = \sqrt{2 \cdot ...
  8. Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    ... die Beschleunigung gegeben ist und dann mittels Integration die Geschwindigkeit und der Ort bestimmt werden sollen. Es werden also aus gegebenen kinematischen Größen (Beschleunigung) andere kinematische Größen (Geschwindigkeit, Ort) bestimmt. Diese Bestimmung nennt man auch kinematische Grundaufgaben, welche in den folgenden Abschnitten aufgezeigt werden sollen. Nun folgen zwei Kursvideos zu der behandelten Thematik Das Video wird geladen ... Das Video wird geladen ...
  9. Gleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden: $\int dv = \int a \; dt$ Die bestimmte Integration liefert: $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$$v - v_0 = a(t - t_0)$ Da die Beschleunigung null ist $a = 0$ erkennt man sofort, dass die Geschwindigkeit konstant ist: $v = v_0 $ Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, welche als $v_0$ bezeichnet wird. Diese Bewegung, bei welcher die Beschleunigung Null ...
  10. Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    ... Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden: $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a_0 \; dt$ Die bestimmte Integration liefert: $v - v_0 = a_0 \cdot (t - t_0)$ Für die Geschwindigkeit ergibt sich also: $v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$ Bestimmung des Ortes Um nun aus den oben ermittelten Ergebnissen den Ort $x$ zu bestimmen, muss man nochmals integrieren. Die Geschwindigkeit wurde durch die Ableitung von $x$ nach der ...
  11. Beispiel: Senkrechter Wurf
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
    ... Die Geschwindigkeit ergibt sich also durch Integration: $\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t a_0 \; dt$$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$. Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf): $v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$. Die Geschwindigkeit ...
  12. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    ... = \ddot{x} = \dot{v} = \frac{dv}{dt}$ Mittels Integration kann man auch bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit und den Ort bestimmen: $a(t) = \frac{dv}{dt}$ -> $dv = a(t) \; dt$ $\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$ $v - v_0 = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$  Geschwindigkeit: $v = v_0 + \int_{t_0}^t a(t) \; dt$ $v(t) = \frac{dx}{dt}$ ->  $dx = v(t) \; dt$ $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$ $x - x_0 = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$ Ort: $x= x_0 + \int_{t_0}^t v(t) ...
  13. Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit > Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    ... $v = \frac{dx}{dt}$. Auflösen nach $dx$ und Integration: $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$ Einsetzen von $v$: $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t [v_0 +  a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}] \; dt$.$x - x_0 = [v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{t_0}^t$ Es gilt: $t_0 = 0$, $x_0 = 0$ und $v_0 = 0$:  $x  = [ \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{0}^t$  $x ...
  14. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
    ... von der Geschwindigkeit bekannt. Nach der Integration kann dann daraus die Geschwindigkeit $v$ durch Umstellen der Gleichung nach $v$ bestimmt werden. Danach wird dann der folgende Zusammenhang angewandt: $v = \frac{dx}{dt}$$dx = v \; dt$ Anschließend führen wir die Integration durch: $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$$x - x_0 =  \int_{t_0}^t v \; dt$$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v \; dt$ Die oben berechnete Geschwindigkeit $v$ wird dann in die Gleichung eingesetz und so erhelten ...
  15. Beispiel: Beschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit > Beispiel: Beschleunigung
    ... = \frac{dv}{a(v)}$ Anschließend für wir die Integration durch: $\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$ Das ergibt genau der im vorherigen Text angegebenen Funktion. Man kann also statt der Herleitung der Formel direkt auf diese zugreifen, wenn die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben ist. Nun Einsetzen von $a(v) = -5v$: $t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{-5v} ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlänge berechnen
    ... ist die Kenntnis von Substitutionsregeln und Integrationsregeln erforderlich sowie häufiges Wiederholen von Übungsaufgaben.
  2. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... e^{2t-3}$ Substitution (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion): $u(t) = {2t-3}$ $\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$ Einsetzen in die Lösungsformel: Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$  $y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $ Integrieren: $= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$ Rücksubstitution und auflösen: $y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x - 3} - \frac{1}{2} ...
  3. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    ... ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können.  Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen, Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung, Bernoulli Differentialgleichungen, Ricatti Differentialgleichungen,  und exakte Differentialgleichungen.  Abschließend wird auf den integrierenden Faktor näher eingegangen. 
  4. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten!] $ |\frac{y-1}{y}| = e^{-x^2 + k} =e^k e^{-x^2} $ $ \frac{y-1}{y} = c \cdot e^{-x^2}$ , [ $c$ wird anstelle der Konstanten $e^k$ verwendet mit $ c \not= 0$]  4. Auflösen nach y $\frac{y-1}{y} = \frac{y}{y} - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} $ $= 1 - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} \rightarrow -\frac{1}{y} = -1 + c \cdot e^{-x^2} $   [$ \cdot (-) $ und Kehrwert bilden] $y = \frac{1}{1 ...
  5. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... = \int \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist. Anwendungsbeispiel: Exakte Differentialgleichung Löse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$ $p(x,y) = M = 2x + 5$ $q(x,y) = N = 2y + 5$ 1.) Auf Exaktheit überprüfen: $M_y = 0$ $N_x = 0$ Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$. 2.) Integration $\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$ $\psi ...
  6. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... r(x) \end {array}\right)$ ersetzt wurde. Die Integration liefert  $\ c_k (x) = \int \frac{W_k(x)}{W(x)} dx $.  Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit $ y_S(x) = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$.  Anwendungsbeispiel: Inhomogene Differentialgleichung Bestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$. Lösungsgesamtheit ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Schwerpunkte > Kontinuierlich verteilte Kräfte
    Kontinuierlich verteilte Kräfte
    ... gleich groß, d.h. $q(x) = q_0$. Durch die Integration von $q(x)$ (Summe der Kräfte $q(x)dx$) berechnet sich die Größe der Resultierenden aus dem Nenner (1): $\int\limits_0^l q(x) dx = \int\limits_0^l q_0 dx = [x \; q_0]_0^l = [q_0 \cdot l - q_0 \cdot 0] = q_0 \cdot l$. Dies kann man auch ohne die Integration ablesen, denn die Größe der Resultierenden ist gleich dem Flächeninhalt. Nachdem die Größe der Resultierenden bestimmt ist, muss als nächstes der Zähler (1) integriert werden ...
  2. Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    ... der Belastung $ q $ ermitteln. Dies ist durch Integration unter Verwendung von Integrationskonstanten möglich.  Die formale Schreibweise ist hierbei: $\ Q = - \int q \; dx + C_1 $,       aus $\frac{dQ}{dx} = -q$   (siehe vorherigen Abschnitt) $\ M = \int Q \; dx + C_2$        aus  $\frac{dM}{dx} = Q$    (siehe vorherigen Abschnitt) Die derzeit noch unbekannten Integrationskonstanten $ C_1 $ und $ C_2 $ können mit Hilfe der Randbedingungen ermittelt werden. Diese treffen ...
  3. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    ... bei einer gegebenen Streckenlast nicht durch Integration (vorheriger Abschnitt), sondern durch die Gleichgewichtsbedingungen dargestellt werden. Hierzu wird die folgende Grafik betrachtet: Verteilte Last In der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 \cdot l$ (also die Einzelkraft multipliziert mit der Länge des Balkens) in den Schwerpunkt ...
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Thermodynamik

  1. Beschreibung des Carnot-Prozesses
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Kreisprozesse > Carnot-Prozess > Beschreibung des Carnot-Prozesses
    Beschreibung des Carnot-Prozesses
    ... = T_I \; \int_{S_2}^{S_1} dS$Die Integration findet von Zustand 1 (hier ist $S_2$ gegeben) zum Zustand 2 (hier ist $S_1$ gegeben) statt.$Q = T_I \; (S_1 - S_2)$ Zustandsänderung ($2 \to 3$): Isentrope Kompression (adiabat und reibungsfrei) Das System wird nun von dem Kältereservoir getrennt. Mittels mechanischer Arbeit wird nun der Kolben weiter zusammengedrückt, d.h. Arbeit wird dem System zugeführt. Daraus folgt, dass das Volumen des Systems kleiner wird und damit das Gas ...
  2. Exergie und Anergie: Wärme
    2. Hauptsatz der Thermodynamik > Exergie und Anergie > Exergie und Anergie: Wärme
    Exergie und Anergie: Wärme
    ... = -dW_C = \eta_C dQ = (1 - \frac{T_b}{T}) dQ$ Integration: $E_{Q12} = \int_1^2  (1 - \frac{T_b}{T}) dQ$. $E_{Q12} = \int_1^2  dQ - \frac{T_b}{T} dQ$. Da $T_b$ konstant ist und das erste $dQ$ integriert werden kann, ergibt sich: $E_{Q12} = Q_{12} - T_b \int_1^2  \frac{1}{T} dQ$. Das kann man mit $\int_1^2 \frac{dQ}{T} = S_{12}$ auch schreiben als: $E_{Q12} = Q_{12} - T_b S_{12}$. Will man die Entropieänderung $S_2 - S_1$ mitberücksichtigen so ergibt sich unter Verwendung von ...
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Elektrotechnik

  1. Fluss, Durchflutung, Spule
    Magnetisches Feld > Einführung Magnetisches Feld > Fluss, Durchflutung, Spule
    Fluss, Durchflutung, Spule
    ... auftretenden Feldlinien, so erhält man aus der Integration den Gesamtfluss. Sind nicht alle Feldlinien in der Fläche A enthalten, so umfasst das Ergebnis nur einen Teilfluss.  Bei der Bestimmung ist es nicht zwingend erforderlich, dass die Flächennormale $ d \vec{A} $ parallel zu den Feldlinien steht.  Sonderfall homogenes magnetisches Feld Existieren in einem magnetischen Feld Bereiche in denen eine Homogenität vorliegt, so lässt sich für diesen Bereich der magnetische Fluss vereinfacht ...
  2. Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    Magnetisches Feld > Einführung Magnetisches Feld > Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    Feldstärke und Durchflutungsgesetz
    ... Leiters wird nur der Strom erfasst, der vom Integrationsweg umschlossen ist. $ H = \frac{I}{2 \cdot \pi \cdot R^2} \cdot r $  In der nächsten Abbildung ist eine mögliche magnetische Feldstärke für einen Leiter dargestellt. Änderung der Feldstärke mit zunehmendem Radius Man sieht, dass die Feldstärke am Rand des Leiters einen maximalen Wert $ \vec{H_0} $ aufweist. Im Mittelpunkt des Leiters nimmt die Feldstärke den Wert null an. Vergrößert man den Radius über den Wert $ R ...
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Werkstofftechnik 2

  1. Kokillenguss
    Formgebung der Werkstoffe > Metallische Werkstoffe > Gießen > Gießverfahren > Kokillenguss
    Kokillenguss
    ... auf den "wertvollen" Sand verzichten. Denn die Integration eines Kerns in den Gießprozess, lässt sich oft nur mit modellierten Sand nach dem Formmaskenverfahren realisieren.  Anforderungen an eine Kokille Ausreichend hoher Schmelzpunkt Temperaturbeständigkeit  Geringe Wärmedehnung Hohe Temperaturwechselbeständigkeit Maximale Verschleißfestigkeit Gute Temperatur- und Wärmeleitfähigkeit Gute mechanische Bearbeitbarkeit Anlassbeständig Nicht warmrissanfällig Schlichtung Trotz ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Uneigentliche Integrale Typ 1
    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 1
    Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen $\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck: $\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$.  Vorgehensweise Zuerst ist  das Integral  $ \int_a^r f(x) dx$  in Abhängigkeit ...
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Strömungslehre

  1. Potentialfunktion
    Ebene Strömungen > Potentialfunktion
    Potentialfunktion
    ... = \int -2y \; dx = -2y \cdot x + C(y)$ Bei der Integration nach $x$ (durch $dx$ gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante $C(y)$ nicht von $x$ abhängig. $\Phi = \int w_y \; dy = \int -2x \; dy = -2x \cdot y + C(x)$ Bei der Integration nach $y$ (durch $dy$ gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante $C(x)$ nicht von $y$ abhängig. Die Integrationskonstanten spielen hier physikalisch keine Rolle, weshalb diese gleich null gesetzt werden können.  Die dazugehörige Potentialfunktion lautet ...
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