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Thermodynamik - Massenstrom

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Thermodynamik

Massenstrom

Inhaltsverzeichnis

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Der Massenstrom gibt an, wieviel Kilogramm einer Masse pro Sekunde durch einen Querschnitt strömt. Berechnet werden kann der Massenstrom

$\dot{m} = \frac{dm}{dt}$

mit folgender Formel:

Methode

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$\dot{m} = \rho \cdot v \cdot A = \rho \cdot \dot{V} = \frac{\gamma}{g} \cdot \dot{V}$

mit

$\dot{m}$ Massenstrom in kg/s

$\rho$ Dichte in kg/m³

$v$ Mittlere Strömungsgeschwindigkeit in m/s

$A$ Querschnittsfläche in m²

$\dot{V}$ Volumenstrom in m³/s

$\gamma$ Spezifisches Gewicht in N/m³

$g$ Fallbeschleunigung in m/s²

Der Volumenstrom $\dot{V}$ ist derjenige Strom, welcher sich innerhalb einer Zeitspanne durch einen Querschnitt $A$ bewegt. Berechnet wird der Volumenstrom mit

$\dot{V} = \frac{dV}{dt}$.

Für Fluide (z.B. Gase und Flüssigkeiten) gilt:

Methode

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$\dot{V} = v \cdot A$                                   Volumenstrom

Da die Strömungsgeschwindigkeit innerhalb eines Querschnitts nicht konstant ist, wird die mittlere Strömungsgeschwindigkeit herangezogen. Diese wird mittels Integration bestimmt:

Methode

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$v = \frac{1}{A} \int_A v \cdot dA$               Mittlere Strömungsgeschwindigkeit

Leistung

Die Leistung bezeichnet die in einer Zeitspanne $\triangle t$ umgesetzte Energie  $\triangle E$ bzw. aufgewendete Arbeit $\triangle W$ bezogen auf diese Zeitspanne:

Methode

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$P = \frac{\triangle W}{\triangle t} = \frac{\triangle E}{\triangle t}$

Die Leistung ist also der Quotient aus verrichteter Arbeit $\triangle W$ oder dafür aufgewendeter Energie $\triangle E$ und der Zeitspanne $\triangle t$ die dafür benötigt wird. 

Beispiel

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Ein Staubsauger verbrauche 1,6 kWh an Energie. Das bedeutet also, dass der Staubsauer eine Leistung von 1,6 kW aufweist:

$P = \frac{\triangle E}{\triangle t} = \frac{1,6 kWh}{1 h} = 1,6 kW$


Ist die Leistung von der Zeit $t$ abhängig, verändert diese sich also mit der Zeit $t$, so muss der Grenzwert gebildet werden:

Methode

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$P(t) = \frac{dW(t)}{dt} = \frac{dE(t)}{dt}$

Die Leistung ist dann die Ableitung der Arbeit bzw. Energie nach der Zeit $t$. Durch Trennung der Veränderlichen kann bei gegebener Leistung $P(t)$ die Energie bzw. Arbeit mittels Integration berechnet werden.

Technische Leistung

Die technische Leistung ergibt sich durch die Ableitung der technische Arbeit $W_t$ nach der Zeit $t$: 

$P_t = \dot{W_t}$


Wenn wir den Massenstrom berücksichtigen möchten, so ergänzen wir die Gleichung mit $\frac{m}{m}$:

$P_t = \dot{W_t} \cdot \frac{m}{m}$

Und schreiben um:

$P_t = \dot{m} \cdot \frac{W_t}{m}$

Und daraus folgt:

Methode

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$P_t = \dot{m} \cdot w_t$                               Technische Leistung

mit

$w_t = \frac{W_t}{m}$


Die reversible technische Leistung ergibt sich durch:

Methode

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$P_t^{rev} = \dot{m} \cdot w_t^{rev}$                     Reversible technische Leistung

mit

$w_t^{rev} = \frac{W_t^{rev}}{m}$


Die dissipierte Leistung ergibt sich durch:

Methode

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$P_{diss} = \dot{m} \cdot w_{diss}$                   Dissipierte Leistung

mit

$w_{diss} = \frac{W_{diss}}{m}$