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Technische Mechanik 1: Statik - Linienschwerpunkte

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Technische Mechanik 1: Statik

Linienschwerpunkte

LinienSchwerpunkte konzentrieren sich, anders als Flächenschwerpunkte, auf die Berechnung des Schwerpunktes der LINIE. Das bedeutet zum Beispiel bei einem Kreisausschnitt, dass nicht die gesamte Fläche dieses Kreisausschnittes betrachtet wird, sondern nur der Kreisbogen. Die Berechnung eines Linienschwerpunktes gleicht der Berechnung des Schwerpunktes einer Fläche.

Hierzu substituiert man einfach:

$ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA $ [Fläche]   $\rightarrow$

Methode

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(1) $x_s = \frac{1}{l} \int x \; ds $  bzw. (2) $x_s = \frac{\int x \; ds}{\int ds}$   [Linie]

$ y_s = \frac{1}{A} \int y \; dA $ [Fläche]    $\rightarrow$

Methode

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(1) $y_s = \frac{1}{l} \int y \; ds $ bzw. (2) $y_s = \frac{\int y \; ds}{\int ds}$   [Linie

Es wurde also anstelle des Flächenelements $ dA $ und der Fläche $ A $ nun das Linienelement $ ds$ und die Linienlänge $ l $ eingesetzt. Ist die Linienlänge $l$ bekannt, so kann die erste Formel angewandt werden. Ist diese nicht bekannt, so wird die zweite Formel verwendet.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Handelt es sich um eine gerade Linie, so muss der Schwerpunkt in der Mitte der Linie liegen. Weist die Linie jedoch eine oder mehrere Krümmungen auf, so liegt der Schwerpunkt fast immer außerhalb dieser.
Linienschwerpunkt gerade Linie
Linienschwerpunkt: Gerade Linie

Beispiel

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Gegeben sei die obige gerade Linie mit $l = 10 m$. Wo liegt der Schwerpunkt?

$y_s$ ist in diesem Fall null, da es sich um eine gerade Linie handelt.

$ x_s = \frac{1}{l} \int_0^l x \; ds = \frac{1}{10} [\frac{1}{2} x^2]_0^{10} = \frac{1}{20} [10^2 - 0^2] = 5 m$

bzw.

$x_s = \frac{\int x \; ds}{\int ds} = \frac{[\frac{1}{2} x^2]}{[x]} = [\frac{1}{2} x]_0^{10} = 5m$

Das bedeutet also, dass sich der Schwerpunkt $x_s = 5m$ in der Mitte der Linie befindet.

Linienschwerpunkt Kreisausschnitt

Bei der Berechnung des Linienschwerpunktes eines Kreisausschnittes legt man die Mitte des Kreisbogens auf die $x$-Achse (siehe untere Grafik 1). Das bedeutet, dass der Schwerpunkt auf der $x$-Achse liegt. Die Frage ist nun, in welchem Abstand zum Koordinatenursprung dieser auf der $x$-Achse liegt. Im Folgenden soll dies anhand eines Viertelkreisbogens veranschaulicht werden.

Linienschwerpunkt Kreisausschnitt
Linienschwerpunkt Kreisausschnitt

In der obigen Grafik (2) ist aus dem Kreisausschnitt ein infinitesimal kleiner Ausschnitt mit der Breite $ds$ gewählt worden. Dieser wird mit $ds = R \cdot d\varphi$ zu einer Linie approximiert (rote Linie). Der Schnittpunkt mit der x-Achse dieser roten Linie (gestrichelte Linie) wird mit dem Abstand zum Koordinatenursprung bestimmt durch $x = R \cdot \cos (\varphi)$. Es wird davon ausgegangen, dass es sich hierbei um einen Viertelkreis handelt. 

Berechnung ohne Länge

$x_s = \frac{\int x \; ds}{\int ds}$

$x_s = \frac{\int R \cdot \cos (\varphi) \cdot R \cdot d\varphi}{\int R \cdot d\varphi}$

$R$ aus dem Integral ziehen:

$x_s = \frac{R^2}{R} \frac{\int_{-\alpha}^{\alpha} \cos (\varphi) \cdot d\varphi}{\int_{-\alpha}^{\alpha}  d\varphi}$

Integral auflösen:

$x_s = R \frac{[ \sin (\varphi)]_{-\alpha}^{\alpha} }{[ \varphi]_{-\alpha}^{\alpha} }$

Da es sich um einen Viertelkreisbogen handelt, ist $\alpha = \pi /4$ (beide $\alpha$ zusammen ergeben also den Viertelkreis mit $2\alpha = \pi/2$). Für die Berechnung mit Sinus geben wir statt des Bogenmaßes $\alpha =\pi/4$ den Radius an mit $\alpha = 45°$, da manche Taschenrechner das Bogenmaß nicht umrechnen (ist der Taschenrechner auf DEG eingestellt berechnet er das Winkelmaß, bei RAD das Bogenmaß).

Merke

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Umrechnung von Bogenmaß in Winkelmaß:

Bogenmaß $\cdot \frac{360°}{2\pi}$

$x_s = R \frac{[ \sin (\frac{\pi}{4}) - \sin (-\frac{\pi}{4}) ]}{[ \frac{\pi}{4} - -\frac{\pi}{4}]} $

Ersetzen von Bogenmaß durch Winkelmaß bei der Sinusberechnung, wenn der Taschenrechner das Bogenmaß nicht berechnet:

$x_s = R \frac{[ \sin (45°) - \sin (-45°) ]}{[ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}]} $

$x_s = R \frac{\sqrt{2}}{\frac{2\pi}{4}} = \frac{R \cdot \sqrt{2} \cdot 2}{\pi}$

Genau so erfolgt auch die Berechnung für den Halbkreisbogen, nur dass dann $\alpha = \frac{\pi}{2}$ und das dazugehörige Winkelmaß $\alpha = 90°$ sein muss. Beide $\alpha$ zusammen ergeben dann wieder den Halbkreisbogen mit $2\alpha = \pi = 180°$.

Berechnung mit Länge

Der Umfang (Länge) eines Kreises ist $ 2 \pi \cdot R$. Da es sich hierbei um einen Viertelkreis handelt, muss das ganze durch 4 dividiert werden, um die Länge zu erhalten:

$l = \frac{ \pi \cdot R}{2}$

Berechnung des Schwerpunktes:

$x_s = \frac{1}{l} \int x \; ds$

$x_s = \frac{2}{\pi \cdot R} \int R \cdot \cos (\varphi) \cdot R \cdot d\varphi$ 

$R$ aus dem Integral ziehen:

$x_s = \frac{2R^2}{\pi \cdot R} \int  \cos (\varphi) \; d\varphi = \frac{2R}{\pi}  [\sin (\varphi)]_{-\alpha}^{\alpha}]$

Es wird wieder das Bogenmaß $\alpha = \pi/4$ verwendet und als Winkelmaß $\alpha = 45°$, falls der Taschenrechner das Bogenmaß nicht berechnet:

$x_s = \frac{2R}{\pi}  [\sin (\varphi)]_{-45°}^{45°}] =  \frac{2R}{\pi}  \cdot \sqrt{2}$

$x_s = \frac{R \cdot \sqrt{2} \cdot 2}{\pi}$

Das Ergebnis ist dasselbe wie oben. Ist die Länge bekannt bzw. einfach zu ermitteln empfiehlt sich die zweite Berechnung, da hier nur ein Integral berechnet werden muss.

Zusammengesetzte Linien

Die gleiche Substitution gilt für die Bestimmung von zusammengesetzten Linien $ l_i $ mit bekannten $ x_i, y_i $.

$ x_s = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i}$ [Fläche] $ \rightarrow x_s = \frac{\sum x_i l_i}{\sum l_i}$ [Linie]

$ y_s = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i}$ [Fläche] $ \rightarrow y_s = \frac{\sum y_i l_i}{\sum l_i}$ [Linie]

Erneut ist ersichtlich, dass die Gleichungen zur Bestimmung der Linienschwerpunkte den gleichen Aufbau besitzen, wie die Gleichungen zur Bestimmung von Flächenschwerpunkten.