Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Kurs: Elastostatik
    Kurs: Elastostatik
    Kurs: Elastostatik
    ... werden wir Schritt für Schritt auf die Themen Stabbeanspruchung, Balkenbiegung, Torsion, Schub, Festigkeitshypothesen, sowie Stabilität und Knickung eingehen. Sie haben jederzeit die Möglichkeit Ihren Umgang mit Definitionen, Formeln und mathematischen Zusammenhängen anhand von Übungsaufgaben zu jedem Themenpunkt zu verbessern. Am Ende eines jeden Kapitels steht eine Abschlussprüfung an, welche das bereits erlernte Wissen aus dem jeweiligen Kapitel überprüft. Wenn Sie sich mit unserem ...
  2. Statisches Gleichgewicht
    Grundlagen > Statisches Gleichgewicht
    Abgesehen vom letzten Kapitel dieses Kurses "Stabilität und Knickung", kann davon ausgegangen werden, dass die elastischen Verformungen derart klein sind, dass sie eine Unterscheidung zwischen dem verformten und unverformten Körper kaum möglich machen. Diese Annahme ermöglicht eine annähernde Aufstellung der statischen Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lagerreaktionen und Schnittlasten, wie es bereits in der Statik bekannt ist. Bestehen hingegen Unsicherheiten bezüglich der aufzustellenden ...
  3. Beanspruchungsarten
    Grundlagen > Beanspruchungsarten
    Beanspruchungsarten
    ... Eine Belastung findet nur in Richtung der Stabachse statt. Die Wirkungslinie ist richtungsgleich mit der Stabachse. Überschreitet die Belastung jedoch einen Grenzwert, kommt es zur Knickung des Stabes und die stabile Gleichgewichtslage wandelt sich in eine instabile Lage. Ein Material, das besondere Druckeigenschaften besitzt, ist Beton. Druckbeanspruchung Knickung und Bruch infolge der Druckbeanspruchung 2. Beanspruchung durch Zug: Auch hier findet eine Belastung ausschließlich ...
  4. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... Für diese gilt ebenfalls, dass innerhalb des Stabes, welcher auf Druck oder Zug belastet wird, innere Spannungen vorhanden sind. Die Spannungen, die innerhalb des Stabes auftreten, werden durch die an diesem Stab angreifenden äußeren Zug- bzw. Druckkräfte verursacht. Ziel ist es, diese inneren Spannungen zu berechnen.  Es müssen beim Bau eines Hauses die inneren Spannungen, z.B. eines stützenden Balkens, bestimmt werden. Man berechnet dann z.B. die maximale Spannung und kann abschätzen, ...
  5. Prinzip von St. Venant
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Prinzip von St. Venant
    Prinzip von St. Venant
    ... bei einem auf Zug belasteten Stab zeigt: Es werden die drei Schnitte $1$, $2$ und $3$ betrachtet. Der 1. Schnitt wird knapp hinter der Lasteinleitungsstelle $F$ gesetzt. Hier ergibt sich ein komplizierter Spannungszustand. Man sieht deutlich, dass dort wo die Kraft $F$ angreift, eine Spannungsspitze resultiert. Der Schnitt $2$ zeigt immer noch keinen gleichmäßigen Spannungsverlauf, jedoch nehmen die Spannungsspitzen weiter ab. Mit hinreichendem Abstand (Schnitt 3) tritt ...
  6. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    ... die Spannungen zunächst für einen geraden Stab mit konstanter Querschnittsfläche betrachtet, welcher auf Zug belastet wird. Es soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei der Betrachtung von unterschiedlichen Schnittwinkeln ändern.  Spannung im Stab / Senkrechter Schnitt Man stelle sich einen Stab vor, der durch die Zugkraft $F$ belastet wird. Der Stab besitzt eine konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt ...
  7. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Im vorherigen Abschnitt wurden die Spannungen im Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel $\alpha \not= 0° $ wird. Hierzu ein Vergleich von einem Schnitt im Winkel $\alpha = 0° $ mit einem Winkel mit $\alpha \not= 0° $. Senkrechter Schnitt $\alpha = 0° $ (senkrechter Schnitt): Senkrecht geschnittener Balken $\rightarrow: -F + N = 0 \rightarrow N = F$ Normalspannung   $\sigma_0 = \frac{N}{A} ...
  8. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Gegeben sei der obige konische Stab mit kreisförmigem Querschnitt, welcher durch die zwei Druckkräfte $F$ in der Stabachse belastet wird. Bestimme die Normalspannung $\sigma$ bei beliebigem Querschnitt senkrecht zur Stabachse! Da ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als $\sigma_0 = \frac{N}{A}$ Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung ...
  9. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Anwendungsbeispiel: Zugstab Gegeben sei der obige Balken (1m breit, 10m lang), welcher an einem Stab $d = 0,15 m$ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken hat ein Eigengewicht von $F_{Balken} = 50 N$. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $q_0 = 2 N/m^2$. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt Schneedecke trägt? Wie groß ...
  10. Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    ... Geometrie.  Man stelle sich einen elastischen Stab vor, welcher über seine gesamte Länge einen konstanten Querschnitt aufweist. Die Länge des unbelasteten Stabes sei durch den Buchstaben $l$ gekennzeichnet. Wirkt nun eine ausreichende Zugkraft auf den Stab, so verlängert sich dieser um den Wert $\triangle l $. Mit Hilfe dieser beiden Werte lässt sich eine Aussage über die Größe der Verformung treffen: $\epsilon = \frac{\triangle l}{l} $                   Dehnung im Stab Dehnungen ...
  11. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    Dehnung (Stabelement)
    ... Dehnung $\epsilon$ die örtliche Dehnung eines Stabes betrachtet werden. Dies tritt auf, wenn z.B. ein Stab eine veränderliche Querschnittsfläche $A$ aufweist oder aber beispielsweise Volumenkräfte längs der Stabachse auftreten. Ist dies der Fall, so wird nicht der gesamte Stab, sondern lediglich ein Stabelement betrachtet. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie sich die Dehnung in diesem Fall herleiten lässt. Stabelement Es soll im Folgenden ein Stabelement $dx$ eines Stabes betrachtet ...
  12. Materialgesetz / Zugversuch
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch
    Materialgesetz / Zugversuch
    ... Zugversuch Bei einem Zugversuch wird ein Probestab in eine Prüfmaschine längs eingespannt und auf Zug belastet (also gedehnt). Mittels der ausgeübten Kraft $F$ die von der Prüfmaschine auf den Stab ausgeübt wird und der Probenquerschnittsfläche $A_0$, ist es möglich die Normalspannung $\sigma = \frac{F}{A_0}$ zu bestimmen. Außerdem ist es möglich die Dehnung $\epsilon$ des Stabes zu bestimmen, indem die Längenänderung $\triangle l$ des Stabes ins Verhältnis zur ursprünglichen Länge ...
  13. Hookesches Gesetz
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Hookesches Gesetz
    Hookesches Gesetz
    ... $F$ = Kraft $l_0$ = Länge des Probestabes $\triangle l$ = Verlängerung des Probestabes Anwendungsbeispiel: Berechnung Elastizitätsmodul Das Elastizitätsmodul $E$ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $d = 10 mm$ und einer Anfangsmesslänge $l_0 = = 50 mm$ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $F = 10 kN$. Diese Kraft $F$ führt dazu, dass der Stab sich um $\triangle ...
  14. Wärmedehnungen
    Stabbeanspruchungen > Wärmedehnungen
    Wärmedehnungen
    ... Gegeben sei der oben abgebildete Stab aus ferritischem Stahl, welcher durch die Kraft $F$ und die Temperaturänderung $\triangle T(x)$ belastet wird. Gegeben: $L = 2m$, $A = 10 cm^2$, $E = 210.000 \frac{N}{mm^2}$, $\alpha_{th} = 12 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K}$, $F = 2.000 N$, $\triangle T_0 = 25 K$. Wie groß ist die Längenänderung $\triangle l$ des Stabes? Die Längenänderung $\triangle l$ des Stabes bestimmt sich aus der Gleichung: $\epsilon = \frac{\triangle l}{l_0}$   Umstellen ...
  15. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... wurde davon ausgegangen, dass Dehnungen am Stab nur in Längsrichtung auftreten. Um jedoch die Belastung eines Stabes vollständig beschreiben zu können, müssen auch Querdehnungen berücksichtigt werden. Um diese formal richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft ...
  16. Volumendehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Volumendehnungen
    Volumendehnungen
    ... + \epsilon_{y} + \epsilon_{z}$. Für einen Zugstab ergibt sich bei der Berechnung der Volumendehnung folgendes: $\epsilon = e_x + e_y + e_z = \frac{\sigma}{E} - \nu\frac{\sigma}{E} - \nu\frac{\sigma}{E}$  $\rightarrow  \; \epsilon = \frac{\sigma}{E} (1 - 2\nu)$.            Volumendehnung Es lässt sich direkt erkennen, dass die Volumendehnung von der Querkontraktionszahl abhängt. Nimmt die Querkontraktionszahl zum Beispiel den Wert $\nu = 0,5 $ an, so tritt keine Volumendehnung ...
  17. Differentialgleichung eines Stabes
    Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
    Differentialgleichung eines Stabes
    ... welche durch äußere Belastungen an einem Stab auftreten können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann. Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden: 1. Die Gleichgewichtsbedingung 2. Die kinematische Beziehung 3. Das Elastizitätsgesetz. Gleichgewichtsbedingung Die Gleichgewichtsbedingung wird entweder für ...
  18. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... alle bereits vorgestellten Gleichungen für den Stab aufgeführt. Die Anwendung der hier aufgestellten Gleichungen für den Stab werden in den folgenden Abschnitten mit Hilfe von Übungsbeispielen aufgezeigt. Bestimmung der Normalspannung und Dehnung Hat man aus den Gleichgewichtsbedingungen die Normalkraft berechnet, so kann daraus die Normalspannung $\sigma$ bestimmt werden: $\sigma = \frac{N(x)}{A}$.       Normalspannung Mithilfe der ermittelten Normalspannung $\sigma$ und des ...
  19. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Bei statisch bestimmten Stabwerken ist es immer möglich die äußere Belastung und die Normalkraft $N(x)$ aus den Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen. Eine Temperaturänderung verursacht bei statisch bestimmten Problemen lediglich Wärmedehnungen und keine zusätzlichen Spannungen. Zur Lösung statisch bestimmter Probleme werden die Formeln aus dem voherigen Abschnitt herangezogen.  Anwendungsbeispiel: Statisch bestimmte Stabwerke Beispiel: Hängender Stab Gegeben sei ein hängender ...
  20. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    ... Balken mit einer Kraft $G = 10N$, welche am Stabende angreift: Normalkraft und Stabverlängerung In der obigen Grafik ist der eingespannte Stab zu sehen. Diesmal soll die Gewichtskraft des Balkens so klein sein, dass diese vernachlässigt werden kann. Am Stabende greift eine Kraft $G = 10 N$ an. Der Stab besitzt die Länge $l = 20 cm$ und den Querschnitt $A = 50 cm^2$. Der Stab besteht aus Blei mit $E = 19 \frac{kN}{mm^2}$. Bestimmen Sie die Normalspannung und die Stabverlängerung! Bestimmung ...
  21. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    ... einem Eigengewicht von $G = 10 N$ und einer am Stabende angreifenden Kraft von $F = 10 N$ betrachtet werden: Normalkraft und Stabverlängerung In der obigen Grafik ist ein eingespannter Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2}$). Der Stab besitzt ein Eigengewicht von $G = 10 N$ und wird am Ende durch eine Kraft von $F = 10 N$ belastet. Die Länge des Stabes betrage $l = 20 cm$ und die Querschnittsfläche sei $A = 50 cm^2$. Wie groß ist die Normalspannung und die Stabverlängerung? Bestimmung ...
  22. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... können auch auf statisch bestimmte Stabwerke mit mehreren Stäben übertragen werden. Es wird davon ausgegangen, dass nur sehr kleine Stablängenänderungen $\triangle l$ auftreten, so dass die Verschiebungen der Stäbe ebenfalls sehr klein ausfallen. Das bedeutet, dass die Geometrie des Stabsystems durch die Belastung nur wenig verändert wird und somit die Stabkräfte am unverformten System ermittelt werden können. Die Vorgehensweise erfolgt nach folgendem Schema: 1. Aus den Gleichgewichtsbedingungen ...
  23. Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    ... mehr zu, dass die Normalkraft $ N(x) $ eines Stabes allein aus der Gleichgewichtsbedingung heraus bestimmt werden kann. Die neue Gegebenheit erfordert eine Betrachtung aller Gleichungen gleichzeitig. Auch Wärmespannungen können durch Temperaturänderungen auftreten und müssen berücksichtigt werden.  Zum besseren Verständnis folgt nun ein Anwendungsbeispiel: Anwendungsbeispiel Gegeben sei ein statisch unbestimmter Stab mit den Querschnittsflächen $ A_1 $ und $ A_2 $. Dieser Stab ist ...
  24. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    ... der statischen Unbestimmtheit anhand eines Dreistab-Problems (auch: Naviersche Problem) gelöst werden. Hierzu werden die folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel $\alpha$. Der Stab $S_1$ hat dieselbe Länge wie der Stab $S_3$, also $l_1 = l_3$. An diese drei Stäbe greift im Knoten $K$ die Kraft $F$ an. Die Dehnsteifigkeit aller Stäbe sei gleich, so dass gilt $E_1A_1 = E_2A_2 = E_3A_3 = EA$.  Dreistab-Problem Gleichgewichtsbedingungen Zunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen ...
  25. Allgemeine Annahmen
    Mehrachsige Spannungszustände > Allgemeine Annahmen
    Allgemeine Annahmen
    ... an. Bei einem Zug-/Druckstab war es so, dass nur Kräfte in einer Achsenrichtung aufgetreten sind: Bei einem Schnitt und dem Abtragen der Schnittkräfte $N$ (senkrecht) auf der Schnittfläche, also in $x$-Richtung und $T$ tangential zur Schnittfläche, wird bei Anwendung der vertikalen Gleichgewichtsbedingung $T = 0$ und damit $\tau = \frac{T}{A} = 0$.  Im allgemeinen Spannungszustand treten aber nicht nur Kräfte in eine Richtung auf, sondern die Kräfte greifen beliebig ...
  26. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Zug-Druckstab Beim Zug- bzw. Druckstab liegt nur eine Normalspannung $\sigma_x$ vor (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung): Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung von führt zu: $\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$ $\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$ Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$ $\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x ...
  27. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    ... Werten durch Festlegung eines sinnvollen Maßstabes. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis Der Mohrsche Spannungskreis wird wie im vorherigen Abschnitt gelernt, so eingezeichnet, dass die Punkte $P_1 (\sigma_x | \tau_{xy}) = (-30 | -10)$ und $P_2 (\sigma_y | - \tau_{xy}) = (20 | 10)$ miteinander verbunden werden. Dort wo diese Verbindungslinie die $\sigma$-Achse schneidet, liegt der Mittelpunkt und somit die mittlere Normalspannung $\sigma_m$. Der Kreis kann nun vom Mittelpunkt aus durch ...
  28. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    ... Dehnung $\epsilon = \frac{du}{dx}$ bei einem Zugstab eingeführt. In diesem Abschnitt soll dargestellt werden, wie man die Verformung von räumlichen oder flächenförmigen Körpern beschreiben kann. Es erfolgt zunächst eine allgemeine Darstellung der Verschiebungen und Verzerrungen. Hierbei wird vor allem auf die Verzerrungen eingegangen, welche Dehnungen und Gleitungen zur Folge haben. Die Formel und die Berechnung dieser Dehnungen $\epsilon$ und Gleitungen $\gamma$ (auch: Schubverformung) folgt ...
  29. Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    ... für den einachsigen Fall bereits im Kapitel Stabbeanspruchungen behandelt. Das Hookesche Gesetz soll im Folgenden auf den räumlichen Fall ausgeweitet werden. Dehnungen im Raum Um die allgemeine Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln, wird das Hookesche Gesetz für den einachsigen Fall und das Gesetz von Poisson herangezogen und mittels Überlagerungsprinzip (Superposition) entwickelt. Die Normalspannungen $\sigma_x$ bewirken eine Dehnung in x-Richtung $\epsilon_{xx} ...
  30. Balkenbiegung
    Balkenbiegung
    ... als auch Kräfte in Querrichtung zur Stabachse übertragen. Auch die Übertragung von Biegemomenten ist am Balken möglich, weshalb auch oft synonym von einem Biegebalken gesprochen wird.  Balken finden sich in verschiedensten Variationen in der Technik und Bautechnik wieder. Im Folgenden eine kleine Auswahl von Balken per Definition: - Rohrsysteme, - Dachkonstruktionen, - Brückenkonstruktionen, - Wellen, - Fahrzeugachsen, etc. Balken haben die geometrische Eigenschaft, dass ...
  31. Torsion von Wellen
    Torsion > Torsion von Wellen
    ... Wirken von Torsionsmomenten auf die Enden eines Stabes, infolgedessen es zu einer Verdrehung, Verdrillung oder Verwindung des Stabes kommt. Da die Berechnung von Torsion unterschiedlicher Querschnittsformen sehr rechenintensiv ist, wird sich im Rahmen dieses Kurses auf kreisförmige Querschnitte beschränkt. Ferner werden zusätzliche Annahmen getroffen: 1. Kreisförmiger Querschnitt [ Kreisquerschnitt, Kreisringquerschnitt], 2. ebene Querschnitte bleiben trotz Torsion eben [keine Querschnittsverwölbung], 3. ...
  32. mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > mit Kreisquerschnitt
    mit Kreisquerschnitt
    ... der Verdrehung Wenn in einem zylindrischen Stab an jeder Stelle ein identisches Torsionsmoment wirkt, so ist die spezifische Verdrehung $\frac{d\varphi}{dx} = \vartheta$ durchweg konstant. $\vartheta = \text{konstant}$ $\vartheta = \frac{d\varphi}{dx}$ Trennung der Veränderlichen: $\vartheta \; dx = d\varphi$ Intergation, wobei $\vartheta = const$: $\vartheta \int_0^x d_x = \int_{\varphi_0}^{\varphi(x)} d\varphi$ $\vartheta \cdot x = \varphi(x) - \varphi_0$ $\rightarrow \varphi(x) ...
  33. Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > mit Kreisquerschnitt > Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Gegeben sei der obige einseitig gespannte Stab (homogen), welcher einen kreisförmigen Querschnitt besitzt. Der Stab wird durch die zwei Momente $M_A$ und $M_B$ belastet. 1) Wie groß muss $M_B$ sein ($M_A$ gegeben), damit der Verdrehwinkel am Stabende (2) null wird? 2) Wie groß ist dann die maximale Schubspannung? Es sind mehrere Bereiche gegeben mit unterschiedlichen Momentenwirkungen. Im Bereich $\overline{01}$ wirken beide Torsionsmomente $M_A$ und $M_B$. Im Bereich $\overline{12}$ hingegen ...
  34. Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Torsion > Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    ... ein infinitesimales Element aus dem Torsionsstab herausgeschnitten und die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Dies ist die Voraussetzung, um überhaupt die Schubspannungen ermitteln zu können.  Spannungen im dünnwandingen geschlossenen Profi Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung: $\rightarrow:  - \tau \; h(s) \; dx + (\tau + \frac{\partial \tau}{\partial s}) \; h(s + ds) \; dx = 0 $  Da sich die Wanddicke [$h$] ändert, wird in diesem Fall auf eine Taylor-Reihe zurückgegriffen: $ ...
  35. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Balkenverformung infolge von Schub
    ... durch den Schlankheitsgrad $\lambda $ des Stabes, welcher sich aus dem Verhältnis von Stablänge und Trägheitsradius ergibt: $\lambda = \frac{l}{i} $                                                   Schlankheitsgrad Durchbiegung Übernimmt man diese drei Gleichungen und überträgt sie in Gleichung der Durchbiegung, so ändert sich letztere zu: $\ w_{max} = \frac{Fl^3}{48EI}(1 + \frac{24(1 + \vartheta)}{\kappa_s} \frac{ i^2}{l^2}) $ $\rightarrow w_{max} ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Kräftegleichgewicht im Raum
    ... befindet. Auf das Gelenk wirken die Stabkräfte 1 und 2, die Seilkraft 3 und die Gewichtskraft G. Die Stab- und Seilkräfte wirken als Zugkräfte. All diese Kräfte bewirken, dass das Gelenk im Gleichgewicht bleibt. Die Gewichtskraft sei gegeben mit 10 Newton. Ebenfalls gegeben sind die Abmessungen an der Wand mit $a = 30 cm, \; b = 50 cm$ und $c = 40 cm$. Wie groß sind die Seil- und Stabkräfte? Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes ein Kräfteplan aufgestellt ...
  2. Definition von Lagern
    Lagerreaktionen > Definition von Lagern
    Definition von Lagern
    ... eines Lagers $ A $ auch mit dem Buchstaben $ A $ gekennzeichnet.  Im Gegensatz zu Tragwerken in der Ebene, die mit ihrer Umgebung verbunden sind, besitzen bindungslose Tragwerke 3 Freiheitsgrade. Freiheitsgrade stehen für die Bewegungsmöglichkeiten des Tragwerks in horizontaler und vertikaler Richtung, sowie einer Drehung. Sobald ein Tragwerk über ein Lager mit der Umgebung verbunden ist, wird die Bewegungsmöglichkeit eingeschränkt. Die Anzahl der Lagerreaktionen $ r $ kann ...
  3. Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    ... $ v = 1 $ und $ v = 3 $ liegen. Der Pendelstab kann z.B. nur eine Kraft in Längsrichtung übertragen. Pendelstab Anders verhält es sich bei einem Gelenk als Verbindungselement. Hier können Kräfte sowohl in horizontaler, als auch vertikaler Richtung übertragen werden.  Gelenk Zur Bestimmung der Reaktionen in den Lagern und in den vorliegenden Verbindungselementen bedient man sich dem Schnittprinzip. Hierbei entfernt man neben den Lagern auch alle Verbindungselemente und betrachtet ...
  4. Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke > Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    ... bestimmt, wenn sich alle in ihm auftretenden Stabkräfte berechnen lassen. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn es sich um ein einfaches Fachwerk handelt.  Anwendungsbeispiel: Statische Bestimmtheit von Fachwerken Fachwerk Das obige Fachwerk besteht aus sieben Stäben (1 bis 7), die in fünf Knoten ($K_1$ bis $K_5$) miteinander verbunden sind. Außerdem besitzt das Fachwerk ein Loslager (rechts), welches nur vertikale Kräfte übertragen kann (= 1 Lagerreaktion) und ein Festlager (links), ...
  5. Aufbau eines Fachwerks
    Fachwerke > Aufbau eines Fachwerks
    Aufbau eines Fachwerks
    ... 1. Bildungsgesetz Es werden an einem Stab zwei weitere Stäbe angefügt, sodass ein Dreieck entsteht. Dieses Dreieck besitzt drei Knoten und drei Stäbe. Man schließt nun je zwei weitere Stäbe an je zwei beliebige Knoten des Dreiecks an und verbindet diese Stäbe miteinander. Es dürfen jedoch zwei Stäbe eines jeweiligen Dreiecks nicht auf einer Geraden liegen. Diese Vorgehensweise lässt sich beliebig oft wiederholen. Ein Fachwerk, welches nach diesem Muster aufgebaut ist, heißt ...
  6. Rittersches Schnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren
    ... (Ritterschnitt) zur Berechnung der Stabkräfte statisch bestimmter Fachwerke veranschaulicht. Die Idee des Ritterschnittverfahrens ist es, das Fachwerk in zwei Teile zu schneiden und mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen die Stabkräfte zu berechnen. Folgende Schritte sind dabei einzuhalten: Bestimmung der Auflagerreaktionen; Bestimmung der Stabkräfte nach dem Ritterschen Schnittverfahren. Anhand der nachfolgenden Beispiele werden diese Schritte ausführlich erläutert.
  7. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    ... einem Knoten liegen oder durch einen Stab und ein Gelenk. Die ersten beiden Schnitte werden im Weiteren betrachtet. Begonnen wird damit das Fachwerk mit einem Schnitt zwischen Knoten $1 - 2$ und zwischen Knoten $1 - 4$ zu durchtrennen: Schnitt 1 1. Schnitt Für den linken Fachwerksteil wird zur Berechnung der zwei Stäbe $S_{12}$ und $S_{14}$ die Momentengleichgewichtsbedingung für die Knoten $K_2$ und $K_4$ angewendet. Zur Kontrolle der ermittelten Stabkräfte wird die ...
  8. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    ... $F_2 = 15 N$ belastet wird. Wie groß ist die Stabkraft $S_3$? Bevor der Schnitt durchgeführt wird, müssen zunächst die Lagerreaktionen berechnet werden. $A$ ist ein Festlager mit zwei Kräften und $B$ ein Loslager mit einer Kraft: $\curvearrowleft{A} : B \cdot 25 m - F_1 \cdot 5 m - F_2 \cdot 12,5 m = 0 \rightarrow \; B = 9,5 N$. $\rightarrow R_x : A_h + F_1 = 0 \; \rightarrow \; A_h = -10 N$. $\uparrow R_y : A_v + B - F_2 = 0 \; \rightarrow \; A_v = -9,5 N + 15 N = 5,5 N$. Die Lagerkräfte ...
  9. Knotenpunktverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren
    ... das Knotenpunktverfahren zur Berechnung der Stabkräfte statisch bestimmter Fachwerke veranschaulicht. Die Idee des Knotenpunktverfahrens ist es, die einzelnen Knoten des Fachwerks freizuschneiden und mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$ und $R_y = 0$ die Stabkräfte zu berechnen. Folgende Schritte sind dafür notwendig: Bestimmung von Nullstäben; Bestimmung der Auflagerreaktionen; Bestimmung der Stabkräfte nach dem Knotenpunktverfahren.
  10. Bestimmung von Nullstäben
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Bestimmung von Nullstäben
    Bestimmung von Nullstäben
    ... die äußere Kraft greift in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab. Regel 2 Regel 3: An einem unbelasteten Knoten sind drei Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab. Regel 3 Sobald ein Nullstab ermittelt wurde, wird dieser aus dem Fachwerk entfernt und nicht weiter berücksichtigt (auch nicht bei der Bestimmung weiterer Nullstäbe). Bestimmung von Nullstäben Video: Bestimmung von Nullstäben Das ...
  11. 1. Bestimmung von Nullstäben
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 1. Bestimmung von Nullstäben
    1. Bestimmung von Nullstäben
    ... (siehe "Knotenpunktverfahren") ist kein Nullstab enthalten: Es kann als nächstes mit der Bestimmung der Lagerreaktionen begonnen werden. Sind Nullstäbe enthalten, so werden diese aus dem Fachwerk entfernt und nicht weiter berücksichtigt.
  12. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    ... das Freischneiden dieser. Zur Ermittlung der Stabkräfte werden die zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen $R_x$ und $R_y$ herangezogen. Knoten 1 Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, müssen noch die Winkel berechnet werden. Hierzu wird das erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden: Winkel berechnen Gleichgewichtsbedingungen Knoten 1 Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln ...
  13. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... an einem fest in die Wand eingelassenen Stab verdeutlichen. Dieser Stab wird durch mehrere Kräfte und Momente belastet.  Alle Kräfte lassen sich bei räumlichen Tragwerken zu einer Resultierenden $ R $ und alle Momente lassen sich zu einem resultierenden Moment $ M $ zusammenfassen. Hierbei besitzen $ R $ und $ M $ nun drei Koordinatenrichtungen $ [x,y,z] $. $\ R= \left(\begin {array}{c} N \\ Q_y \\ Q_z \end {array}\right) \rightarrow $ N ist die Normalkraft in x-Richtung. Bei den ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Produktion

  1. Verbrauchsverlaufanalyse (RSU-Analyse)
    Materialbedarfsplanung > Verbrauchsanalysen > Verbrauchsverlaufanalyse (RSU-Analyse)
    ... Unternehmen die Kohle zum Heizen. In der Ausgangstabelle ist deutlich zu erkennen, dass es sich hierbei um einen saisonalen Bedarf handelt, da die Kohle in den Sommermonaten nicht benötigt wird, dafür in den Wintermonaten ein hoher Bedarf an Kohle besteht. Dadurch, dass es sich hierbei um eine saisonale Schwankung handelt, kann man auch die Kohle einigermaßen vorausplanen. Man könnte hier die Kohle erst kurze Zeit vor den Monaten bestellen, in denen der Bedarf langsam steigt. Die Maschinenersatzteile ...
Produktion
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Einführung in die Mengenlehre
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Mengenlehre > Einführung in die Mengenlehre
    ... Mengen werden in der Regel mit Großbuchstaben mit einem zusätzlichen Strich dargestellt (z.B. $\mathbb{A}, \mathbb{B}, \mathbb{X},..$). Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } eingeschlossen. Man schreibt: $x \in \mathbb{A}$ wenn $x$ ein Element von Menge $\mathbb{A}$ darstellt und $x \not\in \mathbb{A}$, wenn $x$ kein Element von $\mathbb{A}$ darstellt.  Betrachtet man z.B. die Menge $\mathbb{M} = \{1,2,3,4 \}$, so ist $2 \in \mathbb{M}$, wohingegen ...
Analysis und Lineare Algebra
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