Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel hngender Zustab (Spannungen im Stab)
    Anwendungsbeispiel: ZugstabGegeben sei der obige Balken (1m breit, 10m lang), welcher an einem Stab $d = 0,15 m$ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken hat ein Eigengewicht von $F_{Balken} = 50 N$. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $q_0 = 2 N/m^2$. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt Schneedecke ...
  2. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ESZ Sonderflle Zug/Druck
    Zug-DruckstabBeim Zug- bzw. Druckstab liegt nur eine Normalspannung $\sigma_x$ vor (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung vonführt zu:$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$$\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} ...
  3. Stabilitätsfälle und Gleichgewichtslagen
    Stabilität und Knickung > Stabilitätsfälle und Gleichgewichtslagen
    ... durch Spannungen auch das Bauteilversagen durch Stabilitätsverlust. Man ist also interessiert zu erfahren, ob in einer gegebenen Gleichgewichtslage auch die Stabilität gewährleistet bleibt. Dieser Fall ist gegeben, wenn nach einer Auslenkung der Gleichgewichtszustand wieder hergestellt wird.Gleichgewichtslagen - UnterscheidungIm Rahmen der Elastostatik wird eine Gleichgewichtslage in drei Fälle unterschieden:1. Stabiles Gleichgewicht [nach einer Störung der Gleichgewichtslage ...
  4. Statisches Gleichgewicht
    Grundlagen > Statisches Gleichgewicht
    Abgesehen vom letzten Kapitel dieses Kurses "Stabilität und Knickung", kann davon ausgegangen werden, dass die elastischen Verformungen derart klein sind, dass sie eine Unterscheidung zwischen dem verformten und unverformten Körper kaum möglich machen. Diese Annahme ermöglicht eine annähernde Aufstellung der statischen Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lagerreaktionen und Schnittlasten, wie es bereits in der Statik bekannt ist. Bestehen hingegen Unsicherheiten ...
  5. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... Balken mit einer Kraft $G = 10N$, welche am Stabende angreift:Normalkraft und StabverlängerungIn der obigen Grafik ist der eingespannte Stab zu sehen. Diesmal soll die Gewichtskraft des Balkens so klein sein, dass diese vernachlässigt werden kann. Am Stabende greift eine Kraft $G = 10 N$ an. Der Stab besitzt die Länge $l = 20 cm$ und den Querschnitt $A = 50 cm^2$. Der Stab besteht aus Blei mit $E = 19 \frac{kN}{mm^2}$. Bestimmen Sie die Normalspannung und die Stabverlängerung!Bestimmung ...
  6. Balkenbiegung
    Balkenbiegung
    ... als auch Kräfte in Querrichtung zur Stabachse übertragen. Auch die Übertragung von Biegemomenten ist am Balken möglich, weshalb auch oft synonym von einem Biegebalken gesprochen wird. Arten von BalkenBalken finden sich in verschiedensten Variationen in der Technik und Bautechnik wieder. Im Folgenden eine kleine Auswahl von Balken per Definition:- Rohrsysteme,- Dachkonstruktionen,- Brückenkonstruktionen,- Wellen,- Fahrzeugachsen, etc.Balken haben die ...
  7. Eulersche Fälle der Stabknickung
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung
    Stabknickung
    ... eines Bauteils -oder wie in diesem Fall eines Stabes- kommt es, wenn der Stab aufgrund zu hoher Druckkräfte in Stabachsenrichtung seitlich ausweichen muss. Dieser Vorgang kann plötzlich und ruckartig auftreten oder als langsamer Vorgang erfolgen.StabknickungIm Rahmen dieser Untersuchung differenzierte der schweizer Mathematiker Leonhard Euler vier Fälle von Stabknickung.Euler-Fälle StabknickungFür jeden dieser Fälle gelten neben den Annahmen zur Biegung eines Balkens ...
  8. Kursüberblick
    Grundlagen > Kursüberblick
    ... wir Schritt für Schritt auf die Themen Stabbeanspruchung, Balkenbiegung, Torsion, Schub, Festigkeitshypothesen, sowie Stabilität und Knickung eingehen. Sie haben jederzeit die Möglichkeit Ihren Umgang mit Definitionen, Formeln und mathematischen Zusammenhängen anhand von Übungsaufgaben zu jedem Themenpunkt zu verbessern. Am Ende eines jeden Kapitels steht eine Abschlussprüfung an, welche das bereits erlernte Wissen aus dem jeweiligen Kapitel überprüft.Wenn ...
  9. Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion Kreisquerschnitt
    ... der VerdrehungWenn in einem zylindrischen Stab an jeder Stelle ein identisches Torsionsmoment wirkt, so ist die spezifische Verdrehung $\frac{d\varphi}{dx} = \vartheta$ durchweg konstant.$\vartheta = \text{konstant}$$\vartheta = \frac{d\varphi}{dx}$Trennung der Veränderlichen:$\vartheta \; dx = d\varphi$Intergation, wobei $\vartheta = const$:$\vartheta \int_0^x d_x = \int_{\varphi_0}^{\varphi(x)} d\varphi$$\vartheta \cdot x = \varphi(x) - \varphi_0$$\rightarrow \varphi(x) = \varphi_0 ...
  10. Prinzip von St. Venant
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Prinzip von St. Venant
    Spannungsverteilung Lcher, Kerben
    ... bei einem auf Zug belasteten Stab zeigt:Es werden die drei Schnitte $1$, $2$ und $3$ betrachtet. Der 1. Schnitt wird knapp hinter der Lasteinleitungsstelle $F$ gesetzt. Hier ergibt sich ein komplizierter Spannungszustand. Man sieht deutlich, dass dort wo die Kraft $F$ angreift, eine Spannungsspitze resultiert. Der Schnitt $2$ zeigt immer noch keinen gleichmäßigen Spannungsverlauf, jedoch nehmen die Spannungsspitzen weiter ab. Mit hinreichendem Abstand (Schnitt 3) tritt ...
  11. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Spannungen im Stab konischer Stab
    Gegeben sei der obige konische Stab mit kreisförmigem Querschnitt, welcher durch die zwei Druckkräfte $F$ in der Stabachse belastet wird.Bestimme die Normalspannung $\sigma$ bei beliebigem Querschnitt senkrecht zur Stabachse!Da ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als$\sigma_0 = \frac{N}{A}$Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung ...
  12. Torsion von Wellen
    Torsion > Torsion von Wellen
    ... Wirken von Torsionsmomenten auf die Enden eines Stabes, infolgedessen es zu einer Verdrehung, Verdrillung oder Verwindung des Stabes kommt. Da die Berechnung von Torsion unterschiedlicher Querschnittsformen sehr rechenintensiv ist, wird sich im Rahmen dieses Kurses auf kreisförmige Querschnitte beschränkt. Ferner werden zusätzliche Annahmen getroffen:Annahmen bei Torsion von Wellen1. Kreisförmiger Querschnitt [ Kreisquerschnitt, Kreisringquerschnitt],2. ebene Querschnitte bleiben ...
  13. Kritische Knickspannung
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickspannung
    Beispiel kritische Knickspannung
    ... sich auf die Geometrie und die Lagerung des Stabs. Er kann wie folgt bestimmt werden: $\lambda = \frac{l_k}{i}$mit$l_k = \text{Knicklänge}$$i = \text{Trägheitsradius} $Der Trägheitsradius lässt sich bestimmen durch:$i= \sqrt{\frac{I}{A}}$mit$I = \text{axiales Flächenträgheitsmoment}$$A = \text{Querschnittsfläche des Stabes}$Beispiel: Bestimmung der kritischen KnickspannungEs wird das Beispiel aus dem vorherigen Abschnitt betrachtet:Beispiel Gegeben ...
  14. Materialgesetz / Zugversuch
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch
    Zugversuch
    ... einem Zugversuch wird ein Probestab in eine Prüfmaschine längs eingespannt und auf Zug belastet (also gedehnt). Mittels der ausgeübten Kraft $F$ die von der Prüfmaschine auf den Stab ausgeübt wird und der Probenquerschnittsfläche $A_0$, ist es möglich die Normalspannung $\sigma = \frac{F}{A_0}$ zu bestimmen. Außerdem ist es möglich die Dehnung $\epsilon$ des Stabes zu bestimmen, indem die Längenänderung $\triangle l$ des Stabes ...
  15. Hookesches Gesetz
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Hookesches Gesetz
    Hooksche Gerade
    ... = Kraft$l_0$ = Länge des Probestabes$\triangle l$ = Verlängerung des ProbestabesAnwendungsbeispiel: Berechnung ElastizitätsmodulDas Elastizitätsmodul $E$ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $d = 10 mm$ und einer Anfangsmesslänge $l_0 = = 50 mm$ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $F = 10 kN$. Diese Kraft $F$ führt dazu, dass der Stab ...
  16. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabzweischlag
    ... können auch auf statisch bestimmte Stabwerke mit mehreren Stäben übertragen werden. Es wird davon ausgegangen, dass nur sehr kleine Stablängenänderungen $\triangle l$ auftreten, so dass die Verschiebungen der Stäbe ebenfalls sehr klein ausfallen. Das bedeutet, dass die Geometrie des Stabsystems durch die Belastung nur wenig verändert wird und somit die Stabkräfte am unverformten System ermittelt werden können. Die Vorgehensweise erfolgt nach ...
  17. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... diese gilt ebenfalls, dass innerhalb des Stabes, welcher auf Druck oder Zug belastet wird, innere Spannungen vorhanden sind. Die Spannungen, die innerhalb des Stabes auftreten, werden durch die an diesem Stab angreifenden äußeren Zug- bzw. Druckkräfte verursacht. Ziel ist es, diese inneren Spannungen zu berechnen. Es müssen beim Bau eines Hauses die inneren Spannungen, z.B. eines stützenden Balkens, bestimmt werden. Man berechnet dann z.B. die maximale Spannung ...
  18. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... einem Eigengewicht von $G = 10 N$ und einer am Stabende angreifenden Kraft von $F = 10 N$ betrachtet werden:Normalkraft und StabverlängerungIn der obigen Grafik ist ein eingespannter Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2}$). Der Stab besitzt ein Eigengewicht von $G = 10 N$ und wird am Ende durch eine Kraft von $F = 10 N$ belastet. Die Länge des Stabes betrage $l = 20 cm$ und die Querschnittsfläche sei $A = 50 cm^2$. Wie groß ist die Normalspannung und die Stabverlängerung?Bestimmung ...
  19. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... wurde davon ausgegangen, dass Dehnungen am Stab nur in Längsrichtung auftreten. Um jedoch die Belastung eines Stabes vollständig beschreiben zu können, müssen auch Querdehnungen berücksichtigt werden. Um diese formal richtig zu beschreiben, empfiehlt es sich ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen in den Stab zu legen. Ferner sollten sowohl die Stabachse, als auch die $x$-Achse eine Gerade bilden. Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in ...
  20. Dehnung (Stabelement)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung (Stabelement)
    Stabelement dx
    ... $\epsilon$ die örtliche Dehnung eines Stabes betrachtet werden. Dies tritt auf, wenn z.B. ein Stab eine veränderliche Querschnittsfläche $A$ aufweist oder aber beispielsweise Volumenkräfte längs der Stabachse auftreten. Ist dies der Fall, so wird nicht der gesamte Stab, sondern lediglich ein Stabelement betrachtet. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie sich die Dehnung in diesem Fall herleiten lässt.StabelementEs soll im Folgenden ein Stabelement $dx$ eines Stabes ...
  21. Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt > Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Torsion Beispiel
    Gegeben sei der obige einseitig gespannte Stab (homogen), welcher einen kreisförmigen Querschnitt besitzt. Der Stab wird durch die zwei Momente $M_A$ und $M_B$ belastet.1) Wie groß muss $M_B$ sein ($M_A$ gegeben), damit der Verdrehwinkel am Stabende (2) null wird?2) Wie groß ist dann die maximale Schubspannung?Es sind mehrere Bereiche gegeben mit unterschiedlichen Momentenwirkungen. Im Bereich $\overline{01}$ wirken beide Torsionsmomente $M_A$ und $M_B$. Im Bereich $\overline{12}$ ...
  22. Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
    Dreistab-Problem
    ... der statischen Unbestimmtheit anhand eines Dreistab-Problems (auch: Naviersche Problem) gelöst werden. Hierzu werden die folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel $\alpha$. Der Stab $S_1$ hat dieselbe Länge wie der Stab $S_3$, also $l_1 = l_3$. An diese drei Stäbe greift im Knoten $K$ die Kraft $F$ an. Die Dehnsteifigkeit aller Stäbe sei gleich, so dass gilt $E_1A_1 = E_2A_2 = E_3A_3 = EA$. Dreistab-ProblemGleichgewichtsbedingungenZunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen ...
  23. Kritische Knickkraft
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickkraft
    Beispiel Stabknickung
    ... mögliche Druckkraft, bei welcher der Stab knickt.Zur Berechnung der kritischen Knickkraft $F_K$ müssen folgende Daten gegeben sein:- Geometrie des Stabes,- Lagerbedingungen,- Querschnittsform des Stabes und- Kenntnis über den Werkstoff [E-Modul].Mit der Kenntnis über den Werkstoff lässt sich das E-Modul (aus Tabellen) bestimmen. Die Geometrie des Stabquerschnitts kann mittels Flächenträgheitsmoment bestimmt werden. Über die Lagerbedingungen kann der ...
  24. Volumendehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Volumendehnungen
    Volumendehnung
    ... der VolumendehnungFür einen Zugstab ergibt sich bei der Berechnung der Volumendehnung folgendes:$\epsilon = e_x + e_y + e_z = \frac{\sigma}{E} - \nu\frac{\sigma}{E} - \nu\frac{\sigma}{E}$ $\rightarrow  \; \epsilon = \frac{\sigma}{E} (1 - 2\nu)$.            VolumendehnungEs lässt sich direkt erkennen, dass die Volumendehnung von der Querkontraktionszahl abhängt. Nimmt die Querkontraktionszahl zum Beispiel den Wert $\nu = 0,5 $ an, ...
  25. Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Spannungen und Dehnungen im Raum Beispiel
    ... den einachsigen Fall bereits im Kapitel Stabbeanspruchungen behandelt. Das Hookesche Gesetz soll im Folgenden auf den räumlichen Fall ausgeweitet werden.Dehnungen im RaumUm die allgemeine Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln, wird das Hookesche Gesetz für den einachsigen Fall und das Gesetz von Poisson herangezogen und mittels Überlagerungsprinzip (Superposition) entwickelt.Die Normalspannungen $\sigma_x$ bewirken eine Dehnung in x-Richtung$\epsilon_{xx} ...
  26. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... bereits vorgestellten Gleichungen für den Stab aufgeführt.Die Anwendung der hier aufgestellten Gleichungen für den Stab werden in den folgenden Abschnitten mit Hilfe von Übungsbeispielen aufgezeigt.Bestimmung der Normalspannung und DehnungHat man aus den Gleichgewichtsbedingungen die Normalkraft berechnet, so kann daraus die Normalspannung $\sigma$ bestimmt werden:$\sigma = \frac{N(x)}{A}$.       NormalspannungMithilfe der ermittelten Normalspannung $\sigma$ ...
  27. Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Dehnungen im Stab
    ... Veränderung der Geometrie. Dehnung im StabMan stelle sich einen elastischen Stab vor, welcher über seine gesamte Länge einen konstanten Querschnitt aufweist. Die Länge des unbelasteten Stabes sei durch den Buchstaben $l$ gekennzeichnet. Wirkt nun eine ausreichende Zugkraft auf den Stab, so verlängert sich dieser um den Wert $\triangle l $. Mit Hilfe dieser beiden Werte lässt sich eine Aussage über die Größe der Verformung treffen:$\epsilon = \frac{\triangle ...
  28. Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Torsion > Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Spannungen im dnnwandingen geschlossenen Profil
    ... ein infinitesimales Element aus dem Torsionsstab herausgeschnitten und die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Dies ist die Voraussetzung, um überhaupt die Schubspannungen ermitteln zu können. Spannungen im dünnwandingen geschlossenen ProfiGleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung:$\rightarrow:  - \tau \; h(s) \; dx + (\tau + \frac{\partial \tau}{\partial s}) \; h(s + ds) \; dx = 0 $ Da sich die Wanddicke [$h$] ändert, wird in diesem Fall auf eine Taylor-Reihe ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Cremonaplan
    Grafische Verfahren > Cremonaplan
    Beispiel Fachwerk
    ... gibt es noch die Möglichkeit die Stabkräfte eines statisch bestimmten Fachwerks zeichnerisch mittels Cremonaplan zu bestimmen. Der Cremonaplan wurde 19. Jahrhundert von Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona entwickelt und erstmals um das Jahr 1865 veröffentlicht. Jeder Knoten eines Fachwerks befindet sich im Gleichgewicht, d.h. die Summe aller an dem Knoten wirkenden Kräfte ist gleich Null. Für jeden Knoten lässt sich ein ...
  2. Resultierende mittels Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Resultierende mittels Seileckverfahren
    Seileckverfahren Resultierende
    ... die Längen der Kräfte einem Maßstab angepasst werden (hier: $1 kN = 2cm$). Es folgt die grafische Vektoraddition um die Länge und Richtung der Resultierenden bestimmen zu können. Danach werden die Polstrahlen zu einem beliebigen Punkt gezogen (vom Kraftanfang und Kraftende ausgehend).Vektoraddition und Polstrahlen Nachdem die grafische Vektoraddition durchgeführt worden ist und die Polstrahlen zu einem beliebigen Punkt gezogen worden sind, wird als nächstes ...
  3. Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Cremonaplan > Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren Wirkungslinien Kraftplan
    ... Resultierenden wird dem gewählten Maßstab entsprechend eingezeichnet ($1 kN = 2cm$).Fachwerk: Lagerkräfte bestimmenDie Resultierende weist einen Betrag von $R = 3,35 kN$ auf, dies entspricht einer Länge von 6,7 cm. Die Resultierende muss diesem Maßstab entsprechend eingezeichnet werden. Die Lage und Richtung müssen ebenfalls beibehalten werden (siehe vorherigen Abschnitt).Als nächstes werden die Wirkungslinien aller Kräfte verlängert eingezeichnet ...
  4. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren grafische Vektoraddition
    ... nicht der Fall, so muss ein geeigneter Maßstab gefunden werden und die Längen der Vektorpfeile diesem Maßstab angepasst werden. Selbes gilt auch für den Balken. Diese Vorgehensweise folgt in einem späteren Beispiel.Wir beginnen zunächst damit die Richtung und Länge der Resultierenden zu bestimmen, indem wir die grafische Vektoraddition durchführen. Die grafische Vektoraddition ist bereits im 1. Kapitel ausführlich behandelt worden, soll aber der Übersicht ...
  5. Grafische Verfahren
    Grafische Verfahren
    ... Cremona-Plan wird verwendet, um unbekannte Stabkräfte (z.B. eines Fachwerks) zu bestimmen. Voraussetzung für den Cremona-Plan ist die Kenntnis des Culmann-Verfahrens.
  6. 1. Bestimmung von Nullstäben
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 1. Bestimmung von Nullstäben
    Knotenpunktverfahren Beispiel
    ... (siehe "Knotenpunktverfahren") ist kein Nullstab enthalten:Es kann als nächstes mit der Bestimmung der Lagerreaktionen begonnen werden.Sind Nullstäbe enthalten, so werden diese aus dem Fachwerk entfernt und nicht weiter berücksichtigt.
  7. Rittersches Schnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren
    ... (Ritterschnitt) zur Berechnung der Stabkräfte statisch bestimmter Fachwerke veranschaulicht. Die Idee des Ritterschnittverfahrens ist es, das Fachwerk in zwei Teile zu schneiden und mithilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen $\sum F_{ix} = R_x = 0$, $\sum F_{iy} = R_y = 0$ und $\sum M_i = 0$ die Stabkräfte zu berechnen. Folgende Schritte sind dabei einzuhalten:Bestimmung der Auflagerreaktionen;Bestimmung der Stabkräfte nach dem Ritterschen Schnittverfahren.Unterschied ...
  8. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Beispiel Stabkrfte Krftezerlegung
    Beispiel: Stabkräfte bestimmenBeispiel: Stabkräfte bestimmenGegeben sei die obige Kreisscheibe, die von drei Stäben gehalten wird. Die Kreisscheibe wird durch ein äußeres Moment $M$ belastet.Gegeben: $m = 10 kg$, $r = 10 cm$, $M = 20 Nm$Bestimme die Stabkräfte!Wie groß wird das Moment $M$, wenn die Stabkraft $S_3$ Null wird?FreischnittZunächst wird die Kreisscheibe freigeschnitten:FreischnittKräftezerlegungDie $x$-Achse und die $y$-Achsen werden eingeführt ...
  9. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Ritterschnittverfahren Beispiel
    ... = 15 N$ belastet wird. Wie groß ist die Stabkraft $S_3$?Bevor der Schnitt durchgeführt wird, müssen zunächst die Lagerreaktionen berechnet werden. $A$ ist ein Festlager mit zwei Kräften und $B$ ein Loslager mit einer Kraft:$\curvearrowleft{A} : B \cdot 25 m - F_1 \cdot 5 m - F_2 \cdot 12,5 m = 0 \rightarrow \; B = 9,5 N$.$\rightarrow R_x : A_h + F_1 = 0 \; \rightarrow \; A_h = -10 N$.$\uparrow R_y : A_v + B - F_2 = 0 \; \rightarrow \; A_v = -9,5 N + 15 N = 5,5 N$.Die ...
  10. Culmann-Verfahren
    Grafische Verfahren > Culmann-Verfahren
    Culmann-Verfahren Kraftplan
    ... einer Kraft bekannt ist (hier: $F$).1.Maßstab wählenZunächst wird ein geeigneter Maßstab für die Kraft $F$ bestimmt. Als Maßstab wird $1 kN = 2cm$ gewählt, d.h. die Kraft $F$ wird mit der Länge von 4cm eingezeichnet. 2. Wirkungslinien verlängernFür jede Kraft werden die Wirkungslinie verlängert und die Schnittpunkte der Wirkungslinien markiert.SchnittpunkteInsgesamt ergeben sich 5 Schnittpunkte.3. Zwei Schnittpunkte wählenEs müssen ...
  11. Aufbau eines Fachwerks
    Fachwerke > Aufbau eines Fachwerks
    1. Bildungsgesetz
    ... BildungsgesetzEs werden an einem Stab zwei weitere Stäbe angefügt, sodass ein Dreieck entsteht. Dieses Dreieck besitzt drei Knoten und drei Stäbe. Man schließt nun je zwei weitere Stäbe an je zwei beliebige Knoten des Dreiecks an und verbindet diese Stäbe miteinander. Es dürfen jedoch zwei Stäbe eines jeweiligen Dreiecks nicht auf einer Geraden liegen.Diese Vorgehensweise lässt sich beliebig oft wiederholen. Ein Fachwerk, welches nach ...
  12. Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    Pendelstab
    ... $ v = 1 $ und $ v = 3 $ liegen. Der Pendelstab kann z.B. nur eine Kraft in Längsrichtung übertragen.PendelstabAnders verhält es sich bei einem Gelenk als Verbindungselement. Hier können Kräfte sowohl in horizontaler, als auch vertikaler Richtung übertragen werden. GelenkZur Bestimmung der Reaktionen in den Lagern und in den vorliegenden Verbindungselementen bedient man sich dem Schnittprinzip. Hierbei entfernt man neben den Lagern auch alle Verbindungselemente ...
  13. Knotenpunktverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren
    ... das Knotenpunktverfahren zur Berechnung der Stabkräfte statisch bestimmter Fachwerke veranschaulicht. Die Idee des Knotenpunktverfahrens ist es, die einzelnen Knoten des Fachwerks freizuschneiden und mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen $\sum F_{ix} = R_x = 0$ und $\sum F_{iy} = R_y = 0$ die Stabkräfte zu berechnen. Folgende Schritte sind dafür notwendig:Bestimmung von Nullstäben;Bestimmung der Auflagerreaktionen;Bestimmung der Stabkräfte nach dem Knotenpunktverfa...
  14. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... an einem fest in die Wand eingelassenen Stab verdeutlichen. Dieser Stab wird durch mehrere Kräfte und Momente belastet. Alle Kräfte lassen sich bei räumlichen Tragwerken zu einer Resultierenden $ R $ und alle Momente lassen sich zu einem resultierenden Moment $ M $ zusammenfassen.Hierbei besitzen $ R $ und $ M $ nun drei Koordinatenrichtungen $ [x,y,z] $.$\ R= \left(\begin {array}{c} N \\ Q_y \\ Q_z \end {array}\right) \rightarrow $ N ist die Normalkraft in x-Richtung. ...
  15. Definition von Lagern
    Lagerreaktionen > Definition von Lagern
    Loslager
    ... eines Lagers $ A $ auch mit dem Buchstaben $ A $ gekennzeichnet. Im Gegensatz zu Tragwerken in der Ebene, die mit ihrer Umgebung verbunden sind, besitzen bindungslose Tragwerke 3 Freiheitsgrade. Freiheitsgrade stehen für die Bewegungsmöglichkeiten des Tragwerks in horizontaler und vertikaler Richtung, sowie einer Drehung.Sobald ein Tragwerk über ein Lager mit der Umgebung verbunden ist, wird die Bewegungsmöglichkeit eingeschränkt. Die Anzahl der Lagerreaktionen ...
  16. Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke > Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke statische Bestimmtheit
    ... sich alle in ihm auftretenden Stabkräfte berechnen lassen. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn es sich um ein einfaches Fachwerk handelt. Anwendungsbeispiel: Statische Bestimmtheit von FachwerkenFachwerkDas obige Fachwerk besteht aus sieben Stäben (1 bis 7), die in fünf Knoten ($K_1$ bis $K_5$) miteinander verbunden sind. Außerdem besitzt das Fachwerk ein Loslager (rechts), welches nur vertikale Kräfte übertragen kann (= 1 Lagerreaktion) ...
  17. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Beispiel: Krftegleichgewicht im Raum
    ... befindet. Auf das Gelenk wirken die Stabkräfte 1 und 2, die Seilkraft 3 und die Gewichtskraft G. Die Stab- und Seilkräfte wirken als Zugkräfte. All diese Kräfte bewirken, dass das Gelenk im Gleichgewicht bleibt. Die Gewichtskraft sei gegeben mit 10 Newton. Ebenfalls gegeben sind die Abmessungen an der Wand mit $a = 30 cm, \; b = 50 cm$ und $c = 40 cm$.Wie groß sind die Seil- und Stabkräfte?Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes ...
  18. 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren > 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
    Nummerierung der Knoten
    ... das Freischneiden dieser. Zur Ermittlung der Stabkräfte werden die zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen $R_x$ und $R_y$ herangezogen.Knoten 1Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, müssen noch die Winkel berechnet werden. Hierzu wird das erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden:Winkel berechnenGleichgewichtsbedingungen Knoten 1Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln ...
  19. Bestimmung von Nullstäben
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Bestimmung von Nullstäben
    Fachwerk
    ... Kraft greift in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab.Regel 2Regel 3: An einem unbelasteten Knoten sind drei Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab.Regel 3Sobald ein Nullstab ermittelt wurde, wird dieser aus dem Fachwerk entfernt und nicht weiter berücksichtigt (auch nicht bei der Bestimmung weiterer Nullstäbe).Bestimmung von NullstäbenDie Entfernung der Nullstäbe dient ...
  20. Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
    Beispiel: Ritterschnittverfahren
    ... einem Knoten liegen oderdurch einen Stab und ein Gelenk.Begonnen wird damit das Fachwerk mit einem Schnitt zwischen Knoten $1 - 2$ und zwischen Knoten $1 - 4$ zu durchtrennen. Hier wird zunächst das Knotenpunktverfahren angewandt, um die beiden Stabkräfte bestimmen zu können:Schnitt 11. SchnittIn diesem Beispiel sollen alle Stabkräfte bestimmt werden. Grundsätzlich wird das Ritterschnittverfahren angewandt um einzelne Stabkräfte innerhalb eines Fachwerks ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Einführung in die Mengenlehre
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Mengenlehre > Einführung in die Mengenlehre
    Kugeln lassen sich nach Kriterien in Mengen unterteilen
    ... werden in der Regel mit Großbuchstaben mit einem zusätzlichen Strich dargestellt (z.B. $\mathbb{A}, \mathbb{B}, \mathbb{X},..$). Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } eingeschlossen.Man schreibt: $x \in \mathbb{A}$, wenn $x$ ein Element von Menge $\mathbb{A}$ darstellt und $x \not\in \mathbb{A}$, wenn $x$ kein Element von $\mathbb{A}$ darstellt. Betrachtet man z.B. die Menge $\mathbb{M} = \{1,2,3,4 \}$, so ist ...
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