Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Hauptnormalspannungshypothese
    Festigkeitshypothesen > Hauptnormalspannungshypothese
    Mohrscher Spannungskreis Hauptspannungen
    Die Hauptnormalspannungshypothese wurde von Physiker Rankine entwickelt und ist besonders geeignet für die Untersuchung von Materialien, die gefährdet sind durch einen Sprödbruch zu versagen. Diese Hypothese geht davon aus, dass das Material dann versagt, wenn die betragsmäßig größte Hauptnormalspannung den Materialgrenzwert übersteigt. Bei geordneten Hauptnormalspannungen in Form von (siehe Grafik)$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$wird der ...
  2. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel hngender Zustab (Spannungen im Stab)
    ... trägt? Wie groß sind die inneren Spannungen im Stab?Zunächst erfolgt der Freischnitt:Bestimmung der HaltekraftGesucht wird die Kraft $F_H$, welche der Haken aufbringen muss, um den Balken samt Schneelast zu tragen. Bevor mit der Bestimmung der Kraft $F_H$ begonnen werden kann, muss zunächst die gleichmäßig verteilte Flächenlast (Schneedecke) zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden. Um die gesamte Flächenlast zu einer Einzellast zusammenzufassen, ...
  3. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ESZ Sonderflle Zug/Druck
    ... Zug- bzw. Druckstab liegt nur eine Normalspannung $\sigma_x$ vor (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung vonführt zu:$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$$\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x ...
  4. Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Flchentrgheitsmoment dnnwandiges Quadrat
    ... mm$In diesem Beispiel wurde eine zulässige Spannung angegeben, welche nicht überschritten werden darf. Es wurde demnach der Balken dort geschnitten, wo die Spannung am größten ist, und dies ist der Fall bei der maximalen Biegung des Balkens. Die Kraft $F$ drückt den Balken nach unten, die maximale Biegung tritt demnach genau dort auf, wo $F$ wirkt. Der Schnitt wurde aufgrunddessen bei $F$ durchgeführt. Hinweis: Die Verformung des Balkens, also die Absenkung $w$ ...
  5. Stabilitätsfälle und Gleichgewichtslagen
    Stabilität und Knickung > Stabilitätsfälle und Gleichgewichtslagen
    ... einem Gleichgewicht kommt, welches hinsichtlich Spannung und Deformation eindeutig ist. Nun geht man einen Schritt weiter und berücksichtigt neben dem Bauteilversagen durch Spannungen auch das Bauteilversagen durch Stabilitätsverlust. Man ist also interessiert zu erfahren, ob in einer gegebenen Gleichgewichtslage auch die Stabilität gewährleistet bleibt. Dieser Fall ist gegeben, wenn nach einer Auslenkung der Gleichgewichtszustand wieder hergestellt wird.Gleichgewichtslagen ...
  6. Gerade und schiefe Biegung mit Zug
    Balkenbiegung > Gerade und schiefe Biegung mit Zug
    ... diesem Abschnitt soll die Bestimmung der Normalspannung für Balken betrachtet werden, welche zusätzlich auf Zug oder Druck belastet werden. Aus dem zweiten Kapitel ist bekannt, dass die Normalspannung für einen auf Zug belasteten Balken bestimmt wird durch:$\sigma = \frac{N}{A}$Für die in den vorherigen Abschnitten aufgeführten Formeln, muss diese Normalkraft einfach hinzuaddiert werden.Normalspannung bei schiefer Biegung und Zug/DruckAsymmetrischer Querschnitt:$\sigma_x ...
  7. Statisches Gleichgewicht
    Grundlagen > Statisches Gleichgewicht
    ... zurückgehen, die Verformungen und Spannungen linear voneinander abhängig sind oder spezielle Annahmen für bestimmte Körperformen getroffen werden können.Theorie 2. OrdnungIm Gegensatz zur Theorie 1. Ordnung findet die Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen bei dieser Theorie am verformten Körper statt. Da die Verformung aber meistens als so klein angenommen wird, dürfen auch hier geometrische Vereinfachungen bei der Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen ...
  8. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... = 19 \frac{kN}{mm^2}$. Bestimmen Sie die Normalspannung und die Stabverlängerung!Bestimmung der NormalspannungDie Normalspannung wird bestimmt, indem ein Schnitt durch den Stab durchgeführt wird und die Gleichgewichtsbedingung angewandt wird:$\uparrow : N - G = 0$$N = G$.Es handelt sich in diesem Fall um eine konstante Normalkraft.Die Normalspannung bestimmt sich zu:$\sigma = \frac{N}{A} = \frac{G}{A} = \frac{10 N}{50 cm^2} = 0,2 \frac{N}{cm^2}$Die Normalspannung ist ebenfalls konstant.Bestimmung ...
  9. Ebener Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand
    Ebene Spannungszustnde
    Ebene Spannungszustände liegen vor, wenn Spannungen entweder an Oberflächen oder in Scheiben auftreten. Scheiben werden als ebene Flächentragwerke beschrieben, wenn die Dicke klein gegenüber den Abmessungen in der Ebene ist und die äußeren Kräfte und Momente in der Scheibenebene ($x$-$y$-Ebene) angreifen. Da keine Kräfte senkrecht zur Achse auftreten (die Ober- und Unterseite der Scheibe ist also unbelastet), ist die flächenbezogene Normalspannung ...
  10. Transformation von Verzerrungskomponenten
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten
    ... des Bauteils zu bestimmen (siehe Kapitel Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation). Denn es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, weil die Verzerrungen ebenfalls Tensorkomponenten sind. Man ersetzt $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$ durch $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\gamma_{xy}$.Dehnungen und Gleitungen - FormelnDie Drehung des Bauteils unter einem bestimmten Winkel $\alpha$ ergibt die Dehnungen und Gleitungen:$\epsilon_x^* = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} ...
  11. Balkenbiegung
    Balkenbiegung
    ... den folgenden Untersuchungen werden wieder Spannungen und Verformungen des Balkens betrachtet. 
  12. Reine Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung
    Reine Biegung
    ... die Gleichungen für die Ermittlung der Spannungen und Deformationen bestimmt werden, die bei einer Biegung von Balken auftreten. Bei der reinen Biegung ist die Querkraft null, da das Biegemoment konstant ist. Es treten demnach keine Schubspannungen auf. In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, wie die Normalspannungen, die maximalen Normalspannungen und das Widerstandsmoment bei einachsiger reiner Biegung bestimmt wird.
  13. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... schiefe Biegung vor (folgende Abschnitte).Normalspannung (reine Biegung und Querkraftbiegung)Belastung in $z$-Richtung:$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} z $   Belastung in $y$-Richtung:$\sigma_x = \frac{M_z}{I_z} y $   Neutrale Faser:Verläuft durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Es wird $\sigma_x = 0$.Maximale und minimale Normalspannung (Belastung in z-Richtung)Maximale Normalspannung: Größter Abstand $z_1$ vom Rand zur neutralen Faser bzw. zum Schwerpunkt ...
  14. Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenverformung
    ... bisherigen Betrachtungen wurden immer nur Biegespannungen untersucht. Nun geht es jedoch zusätzlich darum, auch Aussagen bezüglich Verformungen des Balkens zu treffen. Die Verformung eines durch Biegung belasteten Balkens nennt man Durchbiegung. Die zugehörige Funktion hat den Ausdruck $ w(x) $ und beschreibt die Form der gebogenen Balkenachse. Die Definition für die Durchbiegung ist wie folgt:Unter der Durchbiegung eines Balkens versteht man die Biegelinie der neutralen Faser, ...
  15. Hauptschubspannungshypothese
    Festigkeitshypothesen > Hauptschubspannungshypothese
    Mohrscher Spannungskreis mit 3 Ebenen
    Die Hauptschubspannungshypothese wird immer dann angewandt, wenn bei einem plastisch-verformbaren Werkstoff das Versagen durch Fließen beurteilt werden soll. Entwickelt wurde diese Hypothese vom französischen Ingenieur Tresca. Nach dieser Hypothese wird die maximale Schubspannung für das Materialversagen verantwortlich gemacht.Mohrscher Spannungskreis mit drei EbenenIst wieder die Reihenfolge (siehe Grafik)$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ gegeben, so wird die maximale Schubspannung ...
  16. Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt
    Torsion Kreisquerschnitt
    ... $M_T$ vor. Dieses führt zu Schubspannungen in der Schnittebene. Gegenstand dieser Untersuchung ist die Ermittlung der Spannungsverteilung im Inneren, die Verformung und die Verdrehung der Wellenenden gegeneinander. Die Berechnung wird in drei Teile zerlegt:Statik (Gleichgewichtsbedingungen), kinematische Gleichungen (Verformungen) und das Stoffgesetz (Hookesches Gesetz).Vor dem Beginn der Berechnungen werden wieder Annahmen getroffen:1. Die Querschnitte bleiben unverformt.2. ...
  17. Prinzip von St. Venant
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Prinzip von St. Venant
    Spannungsverteilung Lcher, Kerben
    ... nahe der Lasteinleitungsstelle komplizierte Spannungsverteilungen. Das Prinzip von St. Venant besagt, dass in hinreichender Entfernung zur Lasteinleitungsstelle diese Störungen der gleichmäßigen Spannungsverteilung als abgeklungen angesehen werden können. Hierzu soll ein Beispiel folgen, welches die Spannungsverteilung bei einem auf Zug belasteten Stab zeigt:Es werden die drei Schnitte $1$, $2$ und $3$ betrachtet. Der 1. Schnitt wird knapp hinter der Lasteinleitungsstelle ...
  18. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Spannungen im Stab konischer Stab
    ... der Stabachse belastet wird.Bestimme die Normalspannung $\sigma$ bei beliebigem Querschnitt senkrecht zur Stabachse!Da ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als$\sigma_0 = \frac{N}{A}$Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung $\sigma_0$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu ...
  19. Torsion von Wellen
    Torsion > Torsion von Wellen
    ... im Geltungsbereich des Hookeschen Gesetzes,5. Spannungen liegen weiterhin im elastischen Bereich [keine nachhaltige plastische Verformung],6. Spannungsüberhöhungen infolge von Löchern oder Kerben können unter Verwendung von Kerbfaktoren in der Rechnung berücksichtigt werden. In den nachfolgenden Berechnungen ist die Welle als kreisrunder Stab Gegenstand der Untersuchung. Im ersten Fall wird die Wirkung von Torsion auf eine Welle mit (Voll-)Kreisquerschnitt betrachtet ...
  20. Festigkeitshypothesen
    Festigkeitshypothesen
    ... einen Vergleich von Spannungszuständen infolge mehrachsiger und einachsiger Beanspruchung. Dies ist möglich, da mit Hilfe der Festigkeitshypothesen aus der mehrachsigen Beanspruchung eine Vergleichsspannung errechnet wird, die einen Vergleich mit Kennwerten der einachsigen Beanspruchungen zulässt. Dies gilt sowohl für den ebenen, als auch den räumlichen Spannungzustand. Bezüglich der Werkstoffe unterscheidet man im Zusammenhang mit Festigkeitshypothesen ...
  21. Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand > Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen
    ... Abschnitt werden die Hauptdehnungen und Hauptspannungen für den ebenen Spannungszustand aufgezeigt.HauptdehnungenDie Hauptdehnung für den ebenen Spannungszustand [xy-Ebene] erhält man, indem man $\sigma_1$, $\sigma_2$ in die Dehnungsgleichungen (aus dem vorherigen Abschnitt) einsetzt:$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}$  $\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}$.Die Hauptdehnungen sind$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu\sigma_2] ...
  22. Kritische Knickspannung
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickspannung
    Beispiel kritische Knickspannung
    ... soll gezeigt werden, wie man die kritische Knickspannung $\sigma_K$ bestimmt.Die kritische Knickspannung $\sigma_K$ ist die Spannung, die unter der kritischen Knickkraft $F_K$ entsteht. Die kritische Knickspannung $\sigma_K$ lässt sich durch die folgende Formel berechnen:$\sigma_K = \frac{\pi^2 \cdot E}{\lambda^2}$mit$E = \text{E-Modul}$$\lambda = \text{Schlankheitsgrad}$Der Schlankheitsgrad $\lambda$ bezieht sich auf die Geometrie und die Lagerung des Stabs. Er kann wie folgt bestimmt ...
  23. Materialgesetz / Zugversuch
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch
    Zugversuch
    ... ist ein physikalisches Gesetz, das Spannungen in einen direkten Zusammenhang mit den kinematischen Größen der Verzerrung bringt. Das Materialgesetz ist immer abhängig vom Material des betrachteten Körpers, aber nicht von dessen Form. Die notwendigen Festigkeitskennwerte müssen durch genormte Versuche experimentell bestimmt werden.Die folgenden Festigkeitskennwerte sind Gegenstand beinahe jeder Materialuntersuchung:Zugfestigkeit [Kürzel: $ R_m \rightarrow ...
  24. Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand
    ... ebenen Dehnungen haben einen räumlichen Spannungszustand zur Folge. Ein ebener Verzerrungszustand tritt beispielsweise auf, wenn die Querdehnung von Bauteilen behindert wird. Dies geschieht z.B. durch Einspannungen und Materialzwängungen. Diese Dehnungsbehinderungen führen dann im Allgemeinen zu einer Erhöhung der Spannungen.Beim ebenen Verzerrungszustand [x-y-Ebene] treten Verzerrungen nur in der Ebene auf. Somit sind$\epsilon_z = 0, \gamma_{xz} = \gamma_{zx}= 0 $ und ...
  25. Flächenträgheitsmomente
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente
    ... diesem Maß lassen sich Verformungen und Spannungen berechnen, die infolge von Biege- und Torsionsbeanspruchungen auftreten. Es ist also ein Maß für den Widerstand eines Bauteils gegen Biegung.  Das Flächenträgheitsmoment ist nicht zu verwechseln mit dem Trägheitsmoment, welches die Trägheit eines Körpers in Rotation beschreibt. $\\$Allgemein lässt sich vorab festhalten, dass ein Bauteil, je höher sein Flächenträgheitsmoment ...
  26. Hookesches Gesetz
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Hookesches Gesetz
    Hooksche Gerade
    ... Zusammenhang zwischen Dehnung $\epsilon$ und Spannung $\sigma$ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt (vorheriger Abschnitt). Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, das heisst, dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung ($\triangle l$) zunimmt. Im vorherigen Abschnitt ...
  27. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabzweischlag
    ... Abschnitt gezeigten Methoden zur Ermittlung von Spannungen und Verformungen können auch auf statisch bestimmte Stabwerke mit mehreren Stäben übertragen werden. Es wird davon ausgegangen, dass nur sehr kleine Stablängenänderungen $\triangle l$ auftreten, so dass die Verschiebungen der Stäbe ebenfalls sehr klein ausfallen. Das bedeutet, dass die Geometrie des Stabsystems durch die Belastung nur wenig verändert wird und somit die Stabkräfte am unverformten System ...
  28. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... auf Druck oder Zug belastet wird, innere Spannungen vorhanden sind. Die Spannungen, die innerhalb des Stabes auftreten, werden durch die an diesem Stab angreifenden äußeren Zug- bzw. Druckkräfte verursacht. Ziel ist es, diese inneren Spannungen zu berechnen. Es müssen beim Bau eines Hauses die inneren Spannungen, z.B. eines stützenden Balkens, bestimmt werden. Man berechnet dann z.B. die maximale Spannung und kann abschätzen, wieviel der Balken trägt, ...
  29. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... sei $A = 50 cm^2$. Wie groß ist die Normalspannung und die Stabverlängerung?Bestimmung der NormalspannungBevor die Normalspannung bestimmt werden kann, wird zunächst die Normalkraft $N(x)$ bestimmt. Hierzu wird der Balken freigeschnitten und das untere Stabelement betrachtet. Die Gewichtskraft $G*$ für dieses Stabelement muss zunächst bestimmt werden. Dies kann mittels Dreisatz durchgeführt werden:$ G \leftrightarrow l$$G* \leftrightarrow (l - x)$$G* = \frac{G}{l} ...
  30. Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen
    Bevor mit der Bestimmung der Hauptspannungen begonnen werden kann, folgen fünf erklärende Anmerkungen:1. Als Hauptrichtung bezeichnet man eine Normalenrichtung, für die die Schubspannung verschwindet.2. Die zu dieser Hauptrichtung gehörende Normalspannung wird dann als Hauptnormalspannung (oft auch als Hauptspannung) bezeichnet. 3. Die Hauptnormalspannungen sind Extremwerte der Normalspannungen. 4. Für die Extremwerte der Schubspannungen wird im Weiteren der ...
  31. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    EBZ Transformation Scheibe
    ... [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $ Es wird nun der Einfluss der Drehung des Koordinatensystems [x,y] um den Winkel $\alpha$ auf die Spannungskomponenten untersucht. ...
  32. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen.Normalspannung und DehnungNormalspannung und Dehnung in x-Richtung:$\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung]$\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung]        [Umstellung des Hookeschen Gesetzes]QuerdehnungenDie nun gesuchten Querdehnungen in $y$- und $z$-Richtung stehen im rechten Winkel zur Stabachse und ...
  33. Hauptdehnungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen
    Hauptdehnungen DMS Beispiel
    ... analog zur Bestimmung der Hauptspannungen (siehe Kapitel Hauptspannungen).Tranformationsregeln Es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, da beides Tensoren sind. Jeder beliebige Dehnungszustand in einem bestimmten Punkt eines festen Körpers lässt sich durch die Hauptdehnungen bestimmen, die jeweils an einem durch diesen Punkt gelegten Flächenelement angreifen.Die Hauptdehnungen liegen in den Hauptdehnungsrichtungen und ...
  34. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... oben genannte Zusammenhang von Schubspannung $\tau $ und der Schubverformung $\gamma $ lässt sich durch das Hookesche Gesetz für Schubverformung beschreiben:Hookesche Gesetz für Schubverformung $\tau = G \cdot \gamma \rightarrow $ Schubspannung = Schubmodul $\cdot $ Gleitwinkel.Der Schubmodul $ G $ hat entweder die Einheit $\frac{N}{mm^2} $ oder die Einheit $\ MPa $. Er besitzt demnach dieselbe Dimension wie der Elastizitätsmodul. Der Zusammenhang zwischen Schubmodul ...
  35. Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Welle mit Kreisquerschnitt > Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
    Torsion Beispiel
    ... Wie groß ist dann die maximale Schubspannung?Es sind mehrere Bereiche gegeben mit unterschiedlichen Momentenwirkungen. Im Bereich $\overline{01}$ wirken beide Torsionsmomente $M_A$ und $M_B$. Im Bereich $\overline{12}$ hingegen wirkt nur das Torsionsmoment $M_B$. In der Aufgabenstellung ist der Verdrehwinkel am Stabende beschrieben. Dies wird mit der folgenden Formel (bei konstanter Verdrillung $\vartheta) beschrieben:$\triangle \varphi = \frac{M_T l}{GI_P} $  Da nun zwei ...
  36. Kritische Knickkraft
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickkraft
    Beispiel Stabknickung
    ... Beispiel handelt es sich um eine feste Einspannung am Boden. Die Knicklänge ist demnach:$l_k = 2l = 2 \cdot 750mm = 1.500mm$.Axiales FlächenträgheitsmomentDie Bestimmung des axialen Flächenträgheitsmoments für den Querschnitt kann man bei einfachen Querschnittsgeometrien aus einer Tabelle ablesen (siehe Abschnitt Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem). Ist das Flächenträgheitsmoment nicht tabellarisch gegeben, ...
  37. Torsion bei Stab mit Kreisringquerschnitt
    Torsion > Torsion von Wellen > Torsion bei Stab mit Kreisringquerschnitt
    Kreisringquerschnitt
    ... sind für die Berechnung von Spannung und Verformung einer Hohlwelle identische Annahmen und Formeln wie bei der Vollwelle zu verwenden.Die besagte Änderung des polaren Flächenträgheitsmoments äußert sich dann durch:$\ I_P = \frac{\pi(r_a^4 - r_i^4)}{2}$               Polares FlächenträgheitsmomentWobei $r_a$ den Außenradius und $r_i$ den Innenradius des Rohrs darstellt.[Zum Vergleich: Das polare Flächenträgheitsmoment ...
  38. Volumendehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Volumendehnungen
    Volumendehnung
    ... Dilatation eines Körpers, der mit Normalspannungen in alle drei Raumrichtungen beansprucht wird, ist die Summe der Dehnungen in die besagten Raumrichtungen und hat daher die Form:$\epsilon = \epsilon_{x} + \epsilon_{y} + \epsilon_{z}$.Berechnung der VolumendehnungFür einen Zugstab ergibt sich bei der Berechnung der Volumendehnung folgendes:$\epsilon = e_x + e_y + e_z = \frac{\sigma}{E} - \nu\frac{\sigma}{E} - \nu\frac{\sigma}{E}$ $\rightarrow  \; \epsilon = \frac{\sigma}{E} ...
  39. Grundlegende Annahmen der Elastostatik
    Grundlagen > Grundlegende Annahmen der Elastostatik
    Vergleich Statik Elastostatik
    ... führen.Ziel der Elastostatik ist es Spannungen und Verformungen in Bauteilen zu ermitteln. Zudem gilt es den Beweis zu erbringen, dass beide unter Beachtung einer Sicherheit nicht zum Versagen eines Bauteils führen. WerkstoffkennwerteDie Ursachen für ein Bauteilversagen sind vielfältig und stehen immer im Zusammenhang mit den Werkstoffkennwerten des im Bauteil eingesetzten Materials. Die Werkstoffkennwerte wiederum richten sich direkt nach folgenden Kriterien:Spannungszustand ...
  40. Schub bei dünnwandigen Profilen
    Schub > Schub bei dünnwandigen Profilen
    Schub bei dnnwandigen Profilen
    ... belastet, können infolgedessen Schubspannungen auftreten. Die Besonderheit bei dünnwandigen Profilen besteht jedoch darin, dass aufgrund der geringen Wanddicke besonders hohe Belastungen durch die Schubspannung anfallen. Dünnwandiges Profil unter QuerkraftbelastungIn den folgenden Abschnitten werden einfache symmetrische Profile betrachtet, welche nur in einer Ebene belastet werden. In diesem Fall in der z-Ebene. Das bedeutet, dass die z-y-Achsen Hauptachsen darstellen ...
  41. Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
    Spannungen und Dehnungen im Raum Beispiel
    Der Zusammenhang zwischen Spannung und elastischer Verformung wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben und wurde für den einachsigen Fall bereits im Kapitel Stabbeanspruchungen behandelt. Das Hookesche Gesetz soll im Folgenden auf den räumlichen Fall ausgeweitet werden.Dehnungen im RaumUm die allgemeine Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln, wird das Hookesche Gesetz für den einachsigen Fall und das Gesetz von Poisson herangezogen und mittels Überlagerungsprinzip ...
  42. Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    Reine Biegung - Querschnitt
    ... durch die einachsige reine Biegung verursachte Spannungsmaximum und Spannungsminimum aufgeführt. NormalspannungenIn Bezug auf Beanspruchungen gilt, dass einem äußeren Moment (reine Biegung) innere Spannungen entgegen wirken. Bevor wir nun mit deren Bestimmung beginnen, treffen wir zuvor zwei AnnahmenAnnahme nach Bernoulli: Die Querschnitte bleiben bei einer Verformung eben.Annahme nach St. Vernant: Die Krafteinleitungsstelle darf nicht direkt neben einer Einspannung liegen, ...
  43. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... aufgezeigt.Bestimmung der Normalspannung und DehnungHat man aus den Gleichgewichtsbedingungen die Normalkraft berechnet, so kann daraus die Normalspannung $\sigma$ bestimmt werden:$\sigma = \frac{N(x)}{A}$.       NormalspannungMithilfe der ermittelten Normalspannung $\sigma$ und des Elastizitätsmoduls $E$ ist es dann möglich die Dehnung zu bestimmen:$\epsilon(x) = \frac{\sigma}{E}$      DehnungBestimmung der StabverlängerungDie ...
  44. Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Dehnungen im Stab
    Im Gegensatz zu Spannungen im Inneren eines Körpers, sind Dehnungen $\epsilon $ und damit verbundene Verschiebungen $ u $ kinematische Größen. Sie sind unabhängig von einwirkenden Kräften und ermöglichen lediglich Aussagen bezüglich der Veränderung der Geometrie. Dehnung im StabMan stelle sich einen elastischen Stab vor, welcher über seine gesamte Länge einen konstanten Querschnitt aufweist. Die Länge des unbelasteten ...
  45. Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Torsion > Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    Spannungen im dnnwandingen geschlossenen Profil
    In diesem Abschnitt sollen die Spannungen und Verformungen infolge von Torsion für dünnwandige, geschlossene, nicht-kreisförmige (!) Profile ermittelt werden. Hierzu werden zwei Annahmen getroffen:1. Die Wanddicke des Profils ist im Längsverlauf veränderlich, daher $ h = h(s) $.2. Die Form des Querschnitts ist hingegen im Längsverlauf (längs der $x$-Achse) unveränderlich. SchubspannungenIm ersten Schritt sollen die Schubspannungen im Querschnitt berechnet ...
  46. Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    Lngsdehnung und Querdehnung
    In diesem Abschnitt wird der ebene Spannungszustand aufgeführt. Ein ebener Spannungszustand in der (x,y)-Ebene bewirkt einen räumlichen Verzerrungszustand (auch: Dehnungszustand). Das bedeutet, dass die Spannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ die Dehnungen $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\epsilon_z$ zur Folge habe. Dies soll im Weiteren gezeigt werden.Eines der Ziele des Hookeschen Gesetzes ist es einen Zusammenhang zwischen statischen Größen [Spannungen] und kinematischen Größen ...
  47. Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung > Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Querkraftbiegung
    ... $F = 150 N$. Bestimmen Sie die maximale Normalspannung und die maximale Schubspannung für den Schnitt bei $x = 3m$.Bestimmung der AuflagerreaktionenZunächst werden die Auflagerreaktionen bestimmt, indem der Balken von außen freigeschnitten wird:Es werden die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene angewandt:$\uparrow : A_v - F = 0$$A_v = F = 150 N$$\rightarrow: A_h = 0$$\curvearrowleft:  M_A - F \cdot 10m = 0$$M_A = 150 N \cdot 10 m = 1.500 Nm$.Zusammenfassend:$A_v = 150 ...
  • 108 Texte mit 216 Bildern
  • 139 Übungsaufgaben
  • und 22 Videos



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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... 0 $$ M_{iz}^{(P)} = 0 $$\text{[P = Punkt der Einspannung/ des Lagers]} $Liegt ein räumliches Tragwerk mit mehreren Lagern vor, sollte im Vorfeld genau überlegt werden, welches dieser Lager für die Bestimmung aller Lagerreaktionen besonders geeignet ist. Hat man sich für eines der Lager entschieden, so verschiebt man den Nullpunkt der Achsen [x,y,z] zur Bestimmung der Momentengleichungen in dieses Lager. Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen bei räumlichen ...
  2. Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    Pendelstab
    ... auf einem dreiwertigen Lager $ A_1$ (Einspannung) und einem einwertigen Lager $ A_2 $ (Pendel), die zusammen vier Lagerreaktionen [$ r = 3 + 1 $] besitzen. Das Gelenk $ G $ zwischen den Teilsystemen kann zwei Kräfte [$ v = 2 $] übertragen.Durch Einsetzen in die obige Formel erhält man:$ r + v = 3 \cdot n \rightarrow 4 + 2 = 3 \cdot 2  \rightarrow 6 = 6 $Das Gesamtsystem ist somit statisch bestimmt, da für sechs gesuchte Lager- und Verbindungsreaktionen auch sechs ...
  3. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... (Kräfte die von der Wand bzw. Einspannung auf den Balken ausgeübt werden) nicht berücksichtigt werden. Analytisches VorgehenDie Bestimmung der Resultierenden und ihrer Lage kann mittels der oben angegebenen Formeln durchgeführt werden. Die Resultierende der beiden parallen Kräfte wird bestimmt durch:$R = F_1 + F_2 = 10 N + 5 N = 15N$.Die Lage der Resultierenden von $F_1$ ausgesehen wird bestimmt durch:$ a_1 = \frac{F_2}{R} \cdot h  = \frac{5N}{15 N} ...
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