Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Grundlegende Annahmen der Elastostatik
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    Grundlegende Annahmen der Elastostatik
    ... führen. Ziel der Elastostatik ist es Spannungen und Verformungen in Bauteilen zu ermitteln. Zudem gilt es den Beweis zu erbringen, dass beide unter Beachtung einer Sicherheit nicht zum Versagen eines Bauteils führen.  Werkstoffkennwerte Die Ursachen für ein Bauteilversagen sind vielfältig und stehen immer im Zusammenhang mit den Werkstoffkennwerten des im Bauteil eingesetzten Materials. Die Werkstoffkennwerte wiederum richten sich direkt nach folgenden Kriterien: Spannungszustand ...
  2. Statisches Gleichgewicht
    Grundlagen > Statisches Gleichgewicht
    ... vollständig zurückgehen, die Verformungen und Spannungen linear voneinander abhängig sind oder spezielle Annahmen für bestimmte Körperformen getroffen werden können. Theorie 2. Ordnung Im Gegensatz zur Theorie 1. Ordnung findet die Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen bei dieser Theorie am verformten Körper statt. Da die Verformung aber meistens als so klein angenommen wird, dürfen auch hier geometrische Vereinfachungen bei der Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen und Betrachtungen ...
  3. Beanspruchungsarten
    Grundlagen > Beanspruchungsarten
    Beanspruchungsarten
    ... bei dieser Beanspruchung Zug- und Druckspannungen am und im Bauteil.  1. Fall Die Kraft greift rechts unter dem "freien" Ende des Balken an. Zudem gehe man davon aus, dass die linke Seite des Balkens fest eingespannt sei. Dadurch entsteht ein Biegemoment. Einseitige Biegung 2. Fall Gleich verhält sich dies in der nächsten Abbildung, in der ein Balken beidseitig gelagert ist: Biegung Die Kraft, die mittig am Balken angreift, führt dazu, dass das linke Lager ein rechtsdrehendes ...
  4. Allgemeine Definition der Spannung
    Stabbeanspruchungen > Allgemeine Definition der Spannung
    Allgemeine Definition der Spannung
    Unter Spannung versteht man ein Maß zur Beschreibung der Materialbeanspruchung eines Körpers. Dabei ist nicht von Interesse wie Kräfte oder Resultierende auf den Körper einwirken, sondern die lokale Wirkung innerer Kräfte. Hierzu betrachtet man die Kräfte in Bezug auf eine sehr kleine Fläche oder ein sehr kleines Volumen. Die gesamte Querschnittsfläche ist nicht Gegenstand der Untersuchung. Die äußere Belastung, die ein Bauteil erfährt, sagt noch nichts über die innere Beanspruchung ...
  5. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... auf Druck oder Zug belastet wird, innere Spannungen vorhanden sind. Die Spannungen, die innerhalb des Stabes auftreten, werden durch die an diesem Stab angreifenden äußeren Zug- bzw. Druckkräfte verursacht. Ziel ist es, diese inneren Spannungen zu berechnen.  Es müssen beim Bau eines Hauses die inneren Spannungen, z.B. eines stützenden Balkens, bestimmt werden. Man berechnet dann z.B. die maximale Spannung und kann abschätzen, wieviel der Balken trägt, bevor er sich verformt oder ...
  6. Prinzip von St. Venant
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Prinzip von St. Venant
    Prinzip von St. Venant
    ... nahe der Lasteinleitungsstelle komplizierte Spannungsverteilungen. Das Prinzip von St. Venant besagt, dass in hinreichender Entfernung zur Lasteinleitungsstelle diese Störungen der gleichmäßigen Spannungsverteilung als abgeklungen angesehen werden können. Hierzu soll ein Beispiel folgen, welches die Spannungsverteilung bei einem auf Zug belasteten Stab zeigt: Es werden die drei Schnitte $1$, $2$ und $3$ betrachtet. Der 1. Schnitt wird knapp hinter der Lasteinleitungsstelle $F$ gesetzt. ...
  7. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    In diesem Abschnitt werden die Spannungen zunächst für einen geraden Stab mit konstanter Querschnittsfläche betrachtet, welcher auf Zug belastet wird. Es soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei der Betrachtung von unterschiedlichen Schnittwinkeln ändern.  Spannung im Stab / Senkrechter Schnitt Man stelle sich einen Stab vor, der durch die Zugkraft $F$ belastet wird. Der Stab besitzt eine konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse ...
  8. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Im vorherigen Abschnitt wurden die Spannungen im Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel $\alpha \not= 0° $ wird. Hierzu ein Vergleich von einem Schnitt im Winkel $\alpha = 0° $ mit einem Winkel mit $\alpha \not= 0° $. Senkrechter Schnitt $\alpha = 0° $ (senkrechter Schnitt): Senkrecht geschnittener Balken $\rightarrow: -F + N = 0 \rightarrow N = F$ Normalspannung   $\sigma_0 = \frac{N}{A} ...
  9. Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
    ... Stabachse belastet wird. Bestimme die Normalspannung $\sigma$ bei beliebigem Querschnitt senkrecht zur Stabachse! Da ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird (Winkel 0°), wird nur die Normalspannung $\sigma_0$ auftreten. Diese ist definiert als $\sigma_0 = \frac{N}{A}$ Hierbei handelt es sich allerdings um einen beliebigen Querschnitt, es soll also die allgemeine Normalspannung $\sigma_0$ berechnet werden in Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu wird ein ...
  10. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    ... Schneedecke trägt? Wie groß sind die inneren Spannungen im Stab? Zunächst erfolgt der Freischnitt: Bestimmung der Haltekraft Gesucht wird die Kraft $F_H$, welche der Haken aufbringen muss, um den Balken samt Schneelast zu tragen. Bevor mit der Bestimmung der Kraft $F_H$ begonnen werden kann, muss zunächst die gleichmäßig verteilte Flächenlast (Schneedecke) zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden. Um die gesamte Flächenlast zu einer Einzellast zusammenzufassen, muss $q_0$ ...
  11. Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Stabbeanspruchungen > Dehnung im Stab > Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
    Im Gegensatz zu Spannungen im Inneren eines Körpers, sind Dehnungen $\epsilon $ und damit verbundene Verschiebungen $ u $ kinematische Größen. Sie sind unabhängig von einwirkenden Kräften und ermöglichen lediglich Aussagen bezüglich der Veränderung der Geometrie.  Man stelle sich einen elastischen Stab vor, welcher über seine gesamte Länge einen konstanten Querschnitt aufweist. Die Länge des unbelasteten Stabes sei durch den Buchstaben $l$ gekennzeichnet. Wirkt nun eine ausreichende ...
  12. Materialgesetz / Zugversuch
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch
    Materialgesetz / Zugversuch
    ... ist ein physikalisches Gesetz, das Spannungen in einen direkten Zusammenhang mit den kinematischen Größen der Verzerrung bringt. Das Materialgesetz ist immer abhängig vom Material des betrachteten Körpers, aber nicht von dessen Form. Die notwendigen Festigkeitskennwerte müssen durch genormte Versuche experimentell bestimmt werden. Die folgenden Festigkeitskennwerte sind Gegenstand beinahe jeder Materialuntersuchung: Zugfestigkeit [Kürzel: $ R_m \rightarrow $ Erfassung der ...
  13. Spannungs-Dehnungs-Diagramm
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Spannungs-Dehnungs-Diagramm
    Spannungs-Dehnungs-Diagramm
    ... (vorheriger Abschnitt) kann innerhalb eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms veranschaulicht werden. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm dient hauptsächlich der Charakterisierung eines Materials hinsichtlich Festigkeit, Plastizität und Elastizität. Es hat sich dabei durchgesetzt, dass die Spannung [in $\frac{N}{mm^2} $] über die Dehnung [dimensionslos] aufgetragen wird. Das bedeutet, dass die Spannung $\sigma$ auf der Ordinate aufgetragen wird und die Dehnung $\epsilon$ auf der Abszisse. Ferner ...
  14. Hookesches Gesetz
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Hookesches Gesetz
    Hookesches Gesetz
    ... Zusammenhang zwischen Dehnung $\epsilon$ und Spannung $\sigma$ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt (vorheriger Abschnitt). Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, das heisst, dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst.  Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung ($\triangle l$) zunimmt.  Im vorherigen Abschnitt ...
  15. Wärmedehnungen
    Stabbeanspruchungen > Wärmedehnungen
    Wärmedehnungen
    ... ausbreiten. Dies führt dazu, dass thermische Spannungen hervorgerufen werden. Diese Wärmespannungen bewirken mechanische Verformungen, d.h. elastische oder plastische Dehnungen. Im Weiteren wird davon ausgegangen, dass es sich um rein-elastische (keine plastischen) Verformungen $\epsilon$ handelt für die das Hookesche Gesetz gilt. Das bedeutet also, dass zusätzlich zu den Wärmedehnungen $\epsilon_{th}$ noch die bereits bekannten elastischen Dehnungen $\epsilon = \frac{\sigma}{E}$ auftreten, ...
  16. Querdehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Querdehnungen
    ... Hieraus lassen sich dann vorab die Normalspannung $\sigma_x $ in Richtung der Zugkraft (x-Richtung) und die daraus folgende Dehnung $\epsilon_x $ bestimmen: Normalspannung und Dehnung in x-Richtung: $\sigma_x = \frac{F}{A} $ [Normalspannung] $\epsilon_x = \frac{1}{E}\cdot \sigma_x $ [Dehnung]        [Umstellung des Hookeschen Gesetzes] Die nun gesuchten Querdehnungen in $y$- und $z$-Richtung stehen im rechten Winkel zur Stabachse und können mit Hilfe der Querkontraktionszahl ...
  17. Volumendehnungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Volumendehnungen
    Volumendehnungen
    ... Dilatation eines Körpers, der mit Normalspannungen in alle drei Raumrichtungen beansprucht wird, ist die Summe der Dehnungen in die besagten Raumrichtungen und hat daher die Form: $\epsilon = \epsilon_{x} + \epsilon_{y} + \epsilon_{z}$. Für einen Zugstab ergibt sich bei der Berechnung der Volumendehnung folgendes: $\epsilon = e_x + e_y + e_z = \frac{\sigma}{E} - \nu\frac{\sigma}{E} - \nu\frac{\sigma}{E}$  $\rightarrow  \; \epsilon = \frac{\sigma}{E} (1 - 2\nu)$.           ...
  18. Schubverformungen
    Stabbeanspruchungen > Verformungen quer zur Stabachse > Schubverformungen
    ... Der oben genannte Zusammenhang von Schubspannung $\tau $ und der Schubverformung $\gamma $ lässt sich durch das Hookesche Gesetz für Schubverformung beschreiben: Hookesche Gesetz für Schubverformung  $\tau = G \cdot \gamma \rightarrow $ Schubspannung = Schubmodul $\cdot $ Gleitwinkel. Der Schubmodul $ G $ hat entweder die Einheit $\frac{N}{mm^2} $ oder die Einheit $\ MPa $. Er besitzt demnach dieselbe Dimension wie der Elastizitätsmodul. Der Zusammenhang zwischen Schubmodul ...
  19. Differentialgleichung eines Stabes
    Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
    Differentialgleichung eines Stabes
    In den vorherigen Kapiteln sind die Spannungen und Verformungen aufgezeigt worden, welche durch äußere Belastungen an einem Stab auftreten können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann. Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden: 1. Die Gleichgewichtsbedingung 2. Die kinematische Beziehung 3. Das Elastizitätsgesetz. Gleichgewichtsbedingung Die ...
  20. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... aufgezeigt. Bestimmung der Normalspannung und Dehnung Hat man aus den Gleichgewichtsbedingungen die Normalkraft berechnet, so kann daraus die Normalspannung $\sigma$ bestimmt werden: $\sigma = \frac{N(x)}{A}$.       Normalspannung Mithilfe der ermittelten Normalspannung $\sigma$ und des Elastizitätsmoduls $E$ ist es dann möglich die Dehnung zu bestimmen: $\epsilon(x) = \frac{\sigma}{E}$      Dehnung Bestimmung der Stabverlängerung Die Stabverlängerung wird ...
  21. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    ... Wärmedehnungen und keine zusätzlichen Spannungen. Zur Lösung statisch bestimmter Probleme werden die Formeln aus dem voherigen Abschnitt herangezogen.  Anwendungsbeispiel: Statisch bestimmte Stabwerke Beispiel: Hängender Stab Gegeben sei ein hängender Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2}$ mit der Länge $l = 20 cm$, welcher eine konstante Querschnittsfläche $A = 50cm^2$ besitzt. Der Stab hat ein Eigengewicht $G = 10N $. Wie groß ist die Normalspannung $\sigma$ (abhängig ...
  22. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
    ... = 19 \frac{kN}{mm^2}$. Bestimmen Sie die Normalspannung und die Stabverlängerung! Bestimmung der Normalspannung Die Normalspannung wird bestimmt, indem ein Schnitt durch den Stab durchgeführt wird und die Gleichgewichtsbedingung angewandt wird: $\uparrow : N - G = 0$ $N = G$. Es handelt sich in diesem Fall um eine konstante Normalkraft. Die Normalspannung bestimmt sich zu: $\sigma = \frac{N}{A} = \frac{G}{A} = \frac{10 N}{50 cm^2} = 0,2 \frac{N}{cm^2}$ Die Normalspannung ist ebenfalls ...
  23. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
    ... sei $A = 50 cm^2$. Wie groß ist die Normalspannung und die Stabverlängerung? Bestimmung der Normalspannung Bevor die Normalspannung bestimmt werden kann, wird zunächst die Normalkraft $N(x)$ bestimmt. Hierzu wird der Balken freigeschnitten und das untere Stabelement betrachtet. Die Gewichtskraft $G*$ für dieses Stabelement muss zunächst bestimmt werden. Dies kann mittels Dreisatz durchgeführt werden: $ G \leftrightarrow l$ $G* \leftrightarrow (l - x)$ $G* = \frac{G}{l} \cdot (l ...
  24. Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    ... Abschnitt gezeigten Methoden zur Ermittlung von Spannungen und Verformungen können auch auf statisch bestimmte Stabwerke mit mehreren Stäben übertragen werden. Es wird davon ausgegangen, dass nur sehr kleine Stablängenänderungen $\triangle l$ auftreten, so dass die Verschiebungen der Stäbe ebenfalls sehr klein ausfallen. Das bedeutet, dass die Geometrie des Stabsystems durch die Belastung nur wenig verändert wird und somit die Stabkräfte am unverformten System ermittelt werden können. ...
  25. Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    ... aller Gleichungen gleichzeitig. Auch Wärmespannungen können durch Temperaturänderungen auftreten und müssen berücksichtigt werden.  Zum besseren Verständnis folgt nun ein Anwendungsbeispiel: Anwendungsbeispiel Gegeben sei ein statisch unbestimmter Stab mit den Querschnittsflächen $ A_1 $ und $ A_2 $. Dieser Stab ist zwischen zwei starren Wänden gelagert. In horizontaler Richtung treten zwei Lagerkräfte A und B auf. Gesucht sind die Lagerreaktionen des rechten Bereichs, welcher ...
  26. Allgemeine Annahmen
    Mehrachsige Spannungszustände > Allgemeine Annahmen
    Allgemeine Annahmen
    In den bisherigen Betrachtungen wurden Spannungszustände stets an Zugstäben untersucht. Dabei handelte es sich um einachsige Spannungszustände, bei denen die Spannungen nur in Richtung der Belastung $F$ aufgetreten sind. Das bedeutet also, dass nur Normalspannungen $\sigma$ und keine Schubspannungen $\tau$ aufgetreten sind.  Da in der Realität jedoch viel kompliziertere Spannungszustände auftreten, gilt es einige allgemeine Annahmen zu treffen. Es wird zunächst wieder die bereits bekannte ...
  27. Ebener Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand
    Ebener Spannungszustand
    Ebene Spannungszustände liegen vor, wenn Spannungen entweder an Oberflächen oder in Scheiben auftreten. Scheiben werden als ebene Flächentragwerke beschrieben, wenn die Dicke klein gegenüber den Abmessungen in der Ebene ist und die äußeren Kräfte und Momente in der Scheibenebene ($x$-$y$-Ebene) angreifen. Da keine Kräfte senkrecht zur Achse auftreten (die Ober- und Unterseite der Scheibe ist also unbelastet), ist die flächenbezogene Normalspannung $\sigma_z = 0 $. Die anderen zwei Normalspannungen ...
  28. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
    ... [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben.  Drehung des Koordinatensystems Dazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet: Die resultierende Spannungsmatrix ist:  $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $  Es wird nun der Einfluss der Drehung des Koordinatensystems [x,y] um den Winkel $\alpha$ auf die Spannungskomponenten untersucht. Hierzu ...
  29. Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation
    Beispiel 1: Koordinatentransformation
    ... dazugehörigen Richtungen der Schub- und Normalspannungen. Die Spannungen seien $\sigma_x = -70 MPa$, $\sigma_y = 35 MPa$ und$ \tau_{xy} = \tau_{yx} = -28 MPa$. Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $65°$ zur $x$-Achse! Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt ...
  30. Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
    ... soll ausführlich gezeigt werden, dass die Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen gleich sind. In Bezug auf das Gleichgewicht im ebenen Spannungszustand gilt für Scheiben, dass die Spannungen ortsveränderlich sind. Formal werden die Spannungen zu: Ortsveränderliche Spannungen $\sigma_x = \sigma_x (x,y) $ $\sigma_y = \sigma_y (x,y) $ $\tau_{xy} = \tau_{xy} (x,y) $.  Man geht nun davon aus, dass die Spannungskomponenten an gegenüberliegenden Kanten nicht mehr ...
  31. Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation
    Beispiel 2: Koordinatentransformation
    ... sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen a-a und b-b bekannt sind. Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt c-c! Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich wird. Es wird zunächst der Schnitt a-a betrachtet: Aus der Aufgabenstellung wird deutlich, dass für die Schnittrichtung a-a die Normalspannung (welche immer senkrecht auf dem ...
  32. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    ... Beim Zug- bzw. Druckstab liegt nur eine Normalspannung $\sigma_x$ vor (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung): Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung von führt zu: $\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$ $\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$ Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$ $\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos ...
  33. Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen
    Bevor mit der Bestimmung der Hauptspannungen begonnen werden kann, folgen drei erklärende Anmerkungen: 1. Als Hauptrichtung bezeichnet man eine Normalenrichtung, für die die Schubspannung verschwindet. 2. Die zu dieser Hauptrichtung gehörende Normalspannung wird dann als Hauptnormalspannung (oft auch als Hauptspannung) bezeichnet.  3. Die Hauptnormalspannungen sind Extremwerte der Normalspannungen.  4. Für die Extremwerte der Schubspannungen wird im Weiteren der Begriff Hauptschubspannung ...
  34. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
    ... in den vorherigen Abschnitten gezeigt, sind die Spannungen $\sigma_{x^*}, \; \sigma_{y^*}$ und $\tau_{x^*, y^*}$ abhängig von der Schnittrichtung, also vom Winkel. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Winkel, für welchen die Spannungen Extremwerte annehmen. In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe Grafik b). Dazu wird folgendermaßen vorgegangen: 1. ...
  35. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
    In diesem Abschnitt wird die Hauptschubspannung aufgezeigt. Diese liegt vor, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen. Zunächst folgt die Herleitung der Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptschubspannung, danach werden die Hauptschubspannungen hergeleitet. Zum Abschluss werden die benötigten Formeln nochmals zusammengefasst. Herleitung der Hauptrichtung für die Hauptschubspannung Wie im vorherigen Abschnitt zur Bestimmung der Normalspannungen, erfolgt auch die Berechnung der Hauptschubspannungen ...
  36. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
    ... zusammengefasst. Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung) $ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $ Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$       Es existieren zwei Winkel, für welche die obige Gleichung erfüllt ist. Einmal der ermittelte Winkel $\alpha^*$ und der Winkel $\alpha^* + 90°$. Ein Winkel gilt ...
  37. Beispiel 1: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen
    Beispiel 1: Hauptspannungen
    ... dazugehörigen Richtungen der Schub- und Normalspannungen. Die Spannungen seien $\sigma_x = -50 MPa$, $\sigma_y = 28 MPa$ und$ \tau_{xy} = \tau_{yx} = -23 MPa$. (1) Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $55°$ zur $x$-Achse! (2) Bestimme die Hauptspannungen (Hauptnormalspannungen) und die Hauptrichtungen! (3) Bestimme die Hauptschubspannungen und die Schnittrichtungen! Lösung (1): Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, ...
  38. Beispiel 2: Hauptspannungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen
    Beispiel 2: Hauptspannungen
    ... sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen 1-1 und 2-2 bekannt sind. (a) Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt 3-3! (b) Bestimmen Sie den Winkel $\beta$ unter welchem bei einem Schnitt 4-4 die Normalspannung betragsmäßig am größten wird. Wie groß ist die Normalspannung dann? Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich wird. Es ...
  39. Mohrscher Spannungskreis
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis
    Mohrscher Spannungskreis
    Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises lassen sich Normal- und Schubspannungen innerhalb eines belasteten Querschnitts visuell darstellen. Ferner lässt sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt. Zunächst wird gezeigt, wie der Mohrsche Spannungskreis gezeichnet wird und die Hauptspannungen und Hauptschubspannungen abgelesen werden. Außerdem wird ausführlich beschrieben, wie die Hauptrichtungen eingezeichnet werden. Zum Schluss ...
  40. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    Gegeben seien die folgenden Spannungen: $\sigma_x = -30 MPa$, $\sigma_y = 20 MPa$ und $\tau_{xy} = -10 MPa$. Zeichne den Mohrschen Spannungskreis und bestimme (1) die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ sowie die Hauptrichtung $\alpha^*$. (2) Die Hauptschubspannungen, (3) die Hauptrichtungen zeichnerisch, (4) die Normalspannung und Schubspannung in einem Drehwinkel $\beta = 40°$ zur x-Achse. Zeichnung des Mohrschen Spannungskreises Zeichnen des Mohrschen Spannungskreises aus den ...
  41. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
    ... Der folgende Zugstab wird durch eine Normalspannung $\sigma$ beansprucht. Zur Veranschaulichung der Verschiebungen und Verformungen die dabei entstehen können, wird das Rechteck (R), das Trapez (T) und der Punkt $P$ betrachtet. Verformungen am Zugstab In der obigen Grafik ist der eingespannte Zugstab (hellgrau) zu sehen, welcher durch die Normalspannung $\sigma$ belastet wird und sich dann verformt (dunkelgrau). Der Punkt $P$ auf dem unbelasteten Zugstab erfährt durch die Belastung ...
  42. Hauptdehnungen
    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen
    Hauptdehnungen
    ... analog zur Bestimmung der Hauptspannungen (siehe Kapitel Hauptspannungen). Es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, da beides Tensoren sind. Jeder beliebige Dehnungszustand in einem bestimmten Punkt eines festen Körpers lässt sich durch die Hauptdehnungen bestimmen, die jeweils an einem durch diesen Punkt gelegten Flächenelement angreifen. Die Hauptdehnungen liegen in den Hauptdehnungsrichtungen und sind durch einen Winkel $\tan (2\alpha^*) $ gegeben. ...
  43. Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
    In diesem Abschnitt wird der ebene Spannungszustand aufgeführt. Ein ebener Spannungszustand in der (x,y)-Ebene bewirkt einen räumlichen Verzerrungszustand (auch: Dehnungszustand). Das bedeutet, dass die Spannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ die Dehnungen $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\epsilon_z$ zur Folge habe. Dies soll im Weiteren gezeigt werden. Eines der Ziele des Hookeschen Gesetzes ist es einen Zusammenhang zwischen statischen Größen [Spannungen] und kinematischen Größen [Verzerrungen] ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
  • 108 Texte mit 214 Bildern
  • 132 Übungsaufgaben
  • und 17 Videos

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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Der Kraftbegriff
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Der Kraftbegriff
    ... stellt die Muskelkraft dar. Durch Muskelspannung ist es möglich direkt Kraft auf andere Körper zu übertragen. Man stelle sich einen Bleistift vor, der von zwei Fingern einen Meter über dem Boden festgehalten wird. Im vereinfachten Fall haben wir nun zwei Kräfte, die zueinander im Gleichgewicht stehen. Zum einen die Muskelkraft, die den Bleistift fest zwischen den Fingern hält und zum anderen die Schwerkraft, welche aufgrund der Gravitation der Erde kontinuierlich versucht den Stift ...
  2. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    ... Lagekräfte (Kräfte die von der Wand bzw. Einspannung auf den Balken ausgeübt werden) nicht berücksichtigt werden.  Analytisches Vorgehen Die Bestimmung der Resultierenden und ihrer Lage kann mittels der oben angegebenen Formeln durchgeführt werden. Die Resultierende der beiden parallen Kräfte wird bestimmt durch: $R = F_1 + F_2 = 10 N + 5 N = 15N$. Die Lage der Resultierenden von $F_1$ ausgesehen wird bestimmt durch: $ a_1 = \frac{F_2}{R} \cdot h  = \frac{5N}{15 N} \cdot 8 m = ...
  3. Definition von Lagern
    Lagerreaktionen > Definition von Lagern
    Definition von Lagern
    Lager kennzeichnen sich primär dadurch, dass sie ein Tragwerk, wie beispielsweise einen Balken, Bogen oder Rahmen, mit ihrer Umgebung verbinden. Über diese Verbindung [Lager] können zwei weitere Eigenschaften erfüllt werden: 1. Das Tragwerk wird durch Lager in der gewünschten Position in der Ebene bzw. im Raum gehalten und 2. mithilfe der Lager können Kräfte übertragen werden.  Schon jetzt zeigt sich die besondere Stellung von Lagern für die Gestaltung von Tragwerken.  Auch hier gilt ...
  4. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    ... $ M_{iz}^{(P)} = 0 $ $\text{[P = Punkt der Einspannung/ des Lagers]} $ Liegt ein räumliches Tragwerk mit mehreren Lagern vor, sollte im Vorfeld genau überlegt werden, welches dieser Lager für die Bestimmung aller Lagerreaktionen besonders geeignet ist. Hat man sich für eines der Lager entschieden, so verschiebt man den Nullpunkt der Achsen [x,y,z] zur Bestimmung der Momentengleichungen in dieses Lager.  Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen bei räumlichen Tragwerken In ...
  5. Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
    ... liegt auf einem dreiwertigen Lager $ A_1$ (Einspannung) und einem einwertigen Lager $ A_2 $ (Pendel), die zusammen vier Lagerreaktionen [$ r = 3 + 1 $] besitzen. Das Gelenk $ G $ zwischen den Teilsystemen kann zwei Kräfte [$ v = 2 $] übertragen. Durch Einsetzen in die obige Formel erhält man: $ r + v = 3 \cdot n \rightarrow 4 + 2 = 3 \cdot 2  \rightarrow 6 = 6 $ Das Gesamtsystem ist somit statisch bestimmt, da für sechs gesuchte Lager- und Verbindungsreaktionen auch sechs Gleichungen ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Thermodynamik

  1. Dissipationsarbeit
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme > Innere Energie, Wärme und Arbeit > Arbeit am geschlossenen System > Dissipationsarbeit
    Dissipationsarbeit
    ... Dies geschieht beispielsweise durch Reibungsspannungen, welche auftreten, wenn z.B. bei einem Zylinder der Kolben gegen die Zylinderwand reibt. Reibungsarbeit ist nur ein Teil der irreversiblen Arbeit, welche auch als Dissipationsarbeit $W_{diss}$ bezeichnet wird.  Da die Dissipationsarbeit dem geschlossenen System nur zugeführt werden kann, ist diese positiv $W_{diss} \ge 0$. Dissipationsarbeit ist diejenige Arbeit, welche einem System zugeführt, aber nicht abgeführt werden kann.  Die ...
Thermodynamik
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Fertigungslehre

  1. Abrasion
    Umformen > Tribologie > Verschleiß > Abrasion
    ... eines Körpers, bei denen durch einen Zerspannungsprozess Werkstoffeteile in submikroskopischer und mikroskopischer Teilchengröße getrennt werden. Tritt ein abrasiver Verschleißvorgang in reiner Form auf, so ist davon auszugehen, dass es sich um eine Paarung aus Metall und Mineral handelt. In allen anderen Fällen entstehen bei metallischen Reibpaarungen abrasive und auch adhäsive Verschleißvorgänge gemeinsam und verstärken sich dabei gegenseitig. Mithilfe der Oberflächenhärte ...
Fertigungslehre
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