Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Integrierender Faktor
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Integrierender Faktor
    ... kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Differentialgleichung nicht exakt ist. Er macht die Differentialgleichung exakt und erlaubt dadurch diese direkt zu integrieren. Der integrierende Faktor ist eine Funktion der Form $\mu(x,y) $.Vorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden FaktorsAusgangssituation: $\ p_y (x,y) \not= q_x (x,y) $1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:$ \mu(x,y) p(x,y)\ dx + \mu(x,y)q(x,y)\ dy = 0$2. Die daraus resultierende Exaktheitsbedingung ...
  2. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Obwohl die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung $\ y' = f(x,y) $ problematisch ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können. Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt:Differentialgleichungen mit getrennten Variablen,Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,Bernoulli Differentialgleichungen,Ricatti Differentialgleichungen, und exakte Differentialgleichungen. Abschließend wird ...
  3. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung der Form $\ y'(x) = f(x,y), y(a) = y_a $ unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von $ a $ eindeutig gelöst werden kann. Welche Größe diese Umgebung hat, ist von der rechten Seite von $ f(x,y)$ abhängig. Globaler EindeutigkeitssatzDer globale Eindeutigkeitssatz besagt, dass ein Anfangswertproblem, welches auf einem senkrechten Streifen $ (x,y) \in [a, e] x \mathbb{R}^n ...
  4. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Isoklinen (blau)
    ... eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, also $\ y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt ...
  5. Spezielle Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen
    ... Mathematik existieren eine Reihe von speziellen Differentialgleichungen, die mit den bisher kennengelernten Lösungsverfahren kein analytisches Resultat liefern. Da für diese Typen keine analytische Lösungsmöglichkeit besteht, wurden Variablentransformationen entwickelt, mit deren Hilfe ein solches System in den gewohnten Typ einer Differentialgleichung überführt werden kann. Dieser Transformationsprozess sei anhand der Bernoulli und der Riccati Differentialgleichung ...
  6. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... dass die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden. Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form$y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x ...
  7. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    Die Riccati Differentialgleichung besitzt die Form$\ y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) $. Hierbei ist ein generelles Lösungsverfahren nicht bekannt. Hat man es jedoch geschafft eine spezielle Lösung für $ y_1 $ zu ermitteln. Lässt sich auch diese Differentialgleichung durch Substitution in eine lineare Differentialgleichung in $ u $ überführen. SubstitutionMan substituiert zuerst $ u = \frac{1}{y-y_1} $. Aus dieser Substitution erhält man für ...
  8. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    Eine exakte Differentialgleichung hat die Form$p(x, y) + q(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$  bzw.  $p(x, y) + q(x,y) y´ = 0$mit $p(x,y) = M$  und  $q(x,y) = N$Ist eine solche exakte Differentialgleichung gegeben, dann muss es zu jeder Lösung eine Konstante $c$ geben, so dass die implizite Gleichung$F(x,y) = c$ erfüllt ist.Ihre Stammfunktion $F(x,y)$ ist eine stetig differenzierbare Funktion für die gilt$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = p(x,y)$und$\frac{\partial ...
  9. Fehlerabschätzung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren > Fehlerabschätzung
    Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, soll im folgenden gezeigt werden wie man diesen Fehler abschätzt.Die Folge $y_n$ konvergiert auf dem Intervall $I$ gleichmäßig gegen die Lösung $y$:$|y(x) - y_n(x)| \le \frac{(\alpha L)^n}{n!} e^{\alpha L} \max\limits_{x \in I} |y_1(x) - y_0(x)|$Die Fehlerabschätzung erfolgt, indem wir die Lipschitzkonstante innerhalb eines Intervalls festlegen. Das Intervall muss noch bestimmt werden. Das Intervall ...
  10. Approximierte Potenzreihe
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren > Approximierte Potenzreihe
    Nach Abbruch des Iterationsverfahrens von Picard-Lindelöf wird in diesem Abschnitt gezeigt, wie man eine approximierte Potenzreihe aus der ermittelten Polynomfunktion bildet. Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, wird im nächsten Abschnitt gezeigt, wie man diesen Fehler abschätzt.Approximierte PotenzreiheDie entstandene Polynomfunktion nach dem 3. Iterationsschritt kann man auch als approximierte Potenzreihe schreiben. Die Polynomfunktion ...
  11. Differentialgleichung höherer Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung
    Eine Differentialgleichung höherer Ordnung hat die Form$\ y^{n} + a_{n-1} (x)y^{(n-a)} + ..... + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$.Die Koeffizientenfunktionen $ a_k (x) $ sowie die Störfunktion $ g(x) $ sind beide auf dem Intervall $\mathbb{I} $ stetig.Ist die Störfunktion $ g(x) \equiv 0 $ so bezeichnet man diese Differentialgleichung als homogen, ist die Störfunktion hingegen $ g(x) \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung.Gesamtlösung ...
  12. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Eine Differentialgleichung, welche die Form$ y' = f(x) \cdot g(y) $                            Trennung der Veränderlichen T.d.Vbesitzt, nennt man Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Um hieraus Lösungen zu erhalten, bedient man sich der Methode der "Trennung der Veränderlichen":$\ y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $.Aus ...
  13. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung $ y_H $ und der  Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ besteht.  Sind die Lösungen $ y_H = c_1y_1 + ... c_ny_n $ der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen. Grundlagen inhomogener Differentialgleichungen n-ter OrdnungGegeben ...
  14. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    Den Anfang macht die Bernoulli Differentialgleichung, welche die Form$ y' + a(x)y = r(x) y^{\alpha}$               Bernoulli Differentialgleichungmit$\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \not= 0, 1 $besitzt.Diese Differentialgleichung wird in einem nächsten Schritt durch $y^{\alpha}$ geteilt bzw. mit $y^{-\alpha}$ multipliziert. Dies führt zu der Form:$y^{-\alpha} \cdot y' + a(x) y^{ 1 - \alpha} = r(x)$SubstitutionDurch Substitution lässt sich diese Differentialgleichung ...
  15. Gewöhnliche Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen
    ... sind, von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im anderen Fall spricht man von der bisher bekannten partiellen Differentialgleichung.Zudem lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung auch nach  Merkmalen kategorisieren, die in der folgenden Übersicht aufgelistet sind:FormHierbei stellt $\ F(x,y,y',... y^{(n)} ) = 0 $ die implizite Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung dar und $\ y^{(n)} = f(x,y,..., y^{(n-1)} ...
  16. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt.Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $. Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die Gesamtlösung ...
  17. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
    In diesem Abschnitt wird die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung behandelt. Diese besitzt die Form:$y' + a(x) \; y = r(x)$                              lineare DGL 1. OrdnungDie Gesamtlösung einer linearen Differentialgleichung ist:$y = y_S + y_H$                                         Gesamtlösungmit$y_S $ Gesamtlösung ...
  18. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können relativ einfach gelöst werden. Homogene Differentialgleichung mit konstanten KoeffizientenIst die Differentialgleichungen der Form $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = s(x) $ ,mit Konstanten $ a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $mit Hilfe ...
  19. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    Eine Evolvente entsteht bei der Abwicklung der Evolutentangente von der Evolute. Das bedeutet also, dass die Endpunkte der Evolutentangenten in einem bestimmten Punkt die Evolvente ergeben.  Tangenten der EvolutenWie bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt, stehen Normale und Tangenten der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen ...
  20. Gradient einfach berechnen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen
    Gradienten
    Bestimmung von Höhen mit Gradienten Der Gradient $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also$\ \text{grad} ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Flchentrgheitsmoment dnnwandiges Quadrat
    ... wird auf die Berechnung der Verformung mittels Differentialgleichung eingegangen.
  2. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... die Stabverlängerung doppelt so groß.Differentialgleichung des StabesDifferentialgleichung des Stabes ist:$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $ $EA$ ist konstant und $\triangle T = 0$.$EAu'' = -n$.Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft):(1) $EAu'' = 0$(2)$EAu' = N(x)$Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant:$EAu' = N $.(3) $EAu = N \cdot x + C_1$Die ...
  3. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... linken Rand des Querschnittsprofils $y_{max}$.Differentialgleichung der BiegelinieBelastung in $z$-Richtung:$ w(x)'' = - \frac{M_y (x)}{E \cdot I_{y}} $            mit$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und$ E\cdot I_{y}$ als Biegesteifigkeit.Belastung in $y$-Richtung:$ w(x)'' = - \frac{M_z (x)}{E \cdot I_{z}} $            mit$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und$ E\cdot I_{z}$ als Biegesteifigkeit.Streckenlast ...
  4. Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenverformung
    ... den nachfolgenden Abschnitten werden u.a. die Differentialgleichung der Biegelinie bestimmt und die Rand- und Übergangsbedingungen für den Einbereichs- und Mehrbereichsfall bestimmt. Auch die Überlagerungsmethode ist Gegenstand dieses Kapitels. 
  5. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... + 0,000001053 \; cm = 0,000003158 \; cm$.Differentialgleichung des StabesDie Differentialgleichung des Stabes mit Linienkraft und mit angreifender Kraft sollte separat wie in den vorherigen Abschnitten betrachtet werden. Da dieses Vorgehen hier allerdings zu aufwendig ist, sollte die Bestimmung der Längenänderung wie oben bestimmt werden.
  6. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... der im vorherigen Abschnitt berechneten Differentialgleichung des Stabes ist es möglich die Verschiebung $u(x)$ zu bestimmen:$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $ Hat man die Verschiebung aus dieser Differentialgleichung bestimmt, so kann man auch die Stabverlängerung daraus ermitteln, indem man die Verschiebung an den Stabenden betrachtet:$u(x = l) - u(x = 0) = \triangle l$Die Normalkraft bestimmt sich bei dieser Vorgehensweise zu:$N(x) = EA \cdot (u'(x) - \alpha_{th} ...
  7. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.Auflösen der Differentialgleichung der BiegelinieUm die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:$EI \cdot w'' = - M_y(x)$mit$EI$ ...
  8. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Mehrbereichsaufgaben
    ... gegenüber dem vorherigen Schema:1. Die Differentialgleichung der Biegelinie muss abschnittsweise integriert werden.2. Neben den Randbedingungen sind nun Übergangsbedingungen für die Übergänge zweier Bereiche zu formulieren. Unter der Berücksichtigung dieser beiden Punkte lässt sich nun die folgende Aufgabe lösen.Beispiel: Asymmetrisch belasteter BalkenMan sieht einen Balken der auf einem Fest- und Loslager gelagert ist. Im rechten Bereich des Balkens ...
  9. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Einbereichsaufgaben
    ... wird das Vorgehen, welches im Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie beschrieben wird, angewandt. Eine Einbereichsaufgabe ist gegeben, wenn der Momentenverlauf $M(x)$ durch eine einzige Funktion für den gesamten Balken beschrieben werden kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn auf dem gesamten Balken eine konstante Streckenlast wirkt oder eine Kraft oder ein Moment am Ende des Balkens angreift.Beispiel: Feste EinspannungIn der obigen Abbildung liegt ein Balken mit ...
  10. Differentialgleichung eines Stabes
    Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
    Normalkrfte am Stabelement
    ... können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann.Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden:1. Die Gleichgewichtsbedingung2. Die kinematische Beziehung3. Das Elastizitätsgesetz.GleichgewichtsbedingungDie Gleichgewichtsbedingung wird entweder für einen kleinen Ausschnitt des Stabes oder für den gesamten ...
  11. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Beispiel: Hngender Stab
    ... die Stabverlängerung mittels der Differentialgleichung des Stabes!Bestimmung der NormalspannungHierzu wird ein Schnitt durchgeführt. Der Abstand von oben zum Schnitt hin wird mit $x$ bezeichnet. Die Normalkraft wirkt in Richtung der Stabachse:Normalkraft am Stabelement$G*$ ist dabei das Gewicht des unteren Stabelements. Berechnet wird dies, indem der Dreisatz angewandt wird:$G = l$$G* = l - x$$\rightarrow  G * = G / l \cdot (l - x) $.Die Gleichgewichtsbedingung ergibt:$\uparrow ...
  12. Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Schiefe Biegung symmetrischer Querschnitt
    ... nur in $y$-Richtung, so wird $M_z = 0$.Differentialgleichung der BiegelinieFür asymmetrische Querschnitte ergibt sich:$Ew'' = -\frac{M_y \cdot I_z - M_z \cdot I_{yz}}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$   Verbiegung in $z$-Richtung$Ev'' = -\frac{M_z \cdot I_y - M_y \cdot I_{yz}}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$   Verbiegung in $y$-RichtungFür symmetrische Querschnitte gilt ($I_{yz} = 0$):$Ew'' = -\frac{M_y}{I_y}$   Verbiegung in $z$-Richtung$Ev'' = -\frac{M_z}{I_z}$   Verbiegung ...
  13. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    ... des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$                      Es wurde hier nun der Index $B$ eingeführt, um zu zeigen, dass es sich ...
  14. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenneigung Winkel
    In diesem Abschnitt wird die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie für eine einachsige Biegung hergeleitet. Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt:$ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $ Ferner ist auch diese Gleichung interessant:$\tau_{xz} = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft:$ Q = \int_A \tau_{xz} dA $Setzt man nun die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ...
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Regelungstechnik

  1. Beispiele zum Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan
    ... als Signalflussplan dar.Stelle eine Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Stelle die Gleichung für eine elektische Leistung P als Signalflussplan dar.Stelle den Zusammenhang von Kraft, Beschleunigung und Weg bei einer Masse als Signalflussplan dar.Stelle die gegebenen Regelkreisgleichungen mit Proportionalelementen in einem Signalflussplan dar. 
  2. Darstellung der Funktionen im Übertragungsblock
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Elemente > Darstellung der Funktionen im Übertragungsblock
    Abbildung der Differentialgleichung im bertragungsblock
    Im vorherigen Kurstext haben wir die allgemeine Differentialgleichung aufgestellt. Nun wollen wir diese auch in unserem Übertragungssystem/Übertragungsblock sichtbar machen. Dies sieht dann wie folgt aus:Visuelle Darstellung der DifferentialgleichungAbbildung der Differentialgleichung im ÜbertragungsblockAuch die anderen im vorangegangenen Kurstext erwähnten Funktionen lassen sich mit dem Übertragungsblock abbilden.Visuelle Darstellung der SprungantwortfunktionDie Sprungantwortfunktion ...
  3. Fall 3 von 6: Differentialgleichung als Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan > Fall 3 von 6: Differentialgleichung als Signalflussplan
    Differentialgleichung im Signalflussplan
    Aufgabe: Stelle Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Aufgabenstellung:In unserem Beispiel liegt die folgende Differentialgleichung vor:$ x_a(t) = T_D \cdot \frac{dx_e(t)}{dt} $ Damit Sie auch genau wissen wofür welche Variable steht, hier ein paar Informationen:$ x_a (t) $ stellt die Ausgangsgröße dar.$ x_e (t) $ ist die Eingangsgröße.Auslesen der Differentialgleichung:Die Eingangsgröße $ x_e (t) $ wird differenziertDarstellung ...
  4. Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung
    Frequenzgang > Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung
    Der Frequenzgang einer Differentialgleichung bei Anregung mit harmonischen Schwingungen wird wie folgt berechnet.In diesem Fall nehmen wir zwei Voraussetzungen an:1. $ \frac{d}{dt} x(t) = j \omega \cdot x(j\omega) $2. $ \int x(t) dt = \frac{1}{j \omega} \cdot x(j \omega) $In Worte gefasst: Der Differenzialoperator in der Differenzialgleichung wird durch $ j \omega $  und der Integraloperator wird durch $ \frac{1}{j \omega} $ ersetzt. Eine dritte Annahme ist: 3. ...
  5. Übertragungsblock & Wirkungslinie
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Elemente > Übertragungsblock & Wirkungslinie
    bertragungsblock
    ... funktional dargestellt. Dabei unterscheiden wirDifferentialgleichungen für das allgemeine Zeitverhalten des ÜbertragungssystemsSprungantworten als Reaktion des Systems auf plötzliche Änderungen der EingangsgrößenFrequenzgangfunktionen als Übertragungsfunktion des Systems, wenn harmonische Eingangsfunktionen vorliegensowie Übertragungsfunktionen für LAPLACE-transformierte Eingangsgrößen und für z-transformierte Eingangsgrößen.Wie ...
  6. Frequenzgang aus Differenzialgleichung
    Frequenzgang > Frequenzgang aus Differenzialgleichung
    ... linearen RegelkreiselelementsFrequenzgang einer Differentialgleichung bei Anregung mit harmonischen Schwingungen.Frequenzgang einer Differenzialgleichung eines linearen RegelkreiselelementsWir erinnern uns, die Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselements lautet:Differenzialgleichung 1. Ordnung: $ T_1 \cdot \frac{d x_a}{dt} + x_a = x_e $Zudem kennen wir bereits die Gleichungen für das Eingangs- und Ausgangssignal:Eingangssignal: $ x_e(j\omega) = \hat{x}_e \cdot e^{j\omega t} $Ausgangssignal: ...
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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

  1. Wärmeübergang am Stabende
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Wärmeübergang an der Oberfläche > Wärmeübergang am Stabende
    ... berücksichtigt werden und dann die Differentialgleichung gelöst werden.Für die Temperatur am Stabende (mit $x = h$) ergibt sich dann:$T(h) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{1}{cosh(mh) + \frac{\alpha_h}{m \cdot \lambda} \cdot sinh (m \cdot h)})$
  2. Wärmestrom am Stabanfang
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Wärmeübergang an der Oberfläche > Wärmestrom am Stabanfang
    ... am Stabende.Es wird das Ergebnis der Differentialgleichung herangezogen und einmal abgeleitet:$\frac{dT^2}{dx^2} = C_1 \cdot e^{-mx} + C_2 \cdot e^{mx}$und damit$\frac{dT}{dx} = -m \cdot C_1 \cdot e^{-mx} + m \cdot C_2 \cdot e^{mx}$Für den Stabanfang gilt $x = 0$:$\frac{dT}{dx} = -m \cdot C_1 \cdot e^{-m \cdot 0} + m \cdot C_2 \cdot e^{m \cdot 0}$und damit:$\frac{dT}{dx} = -m \cdot C_1 + m \cdot C_2$$\frac{dT}{dx} = m \cdot (C_2 - C_1)$Die Integrationstanten sind bereits im vorherigen ...
  3. Wärmeübergang an der Oberfläche
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Stationäre Wärmeleitung > Wärmeübergang an der Oberfläche
    Wrmebergang Oberflche
    ... - \alpha \cdot U \cdot (T(x) – T_u) $Die Differentialgleichung für die Stabtemperatur ergibt sich dann durch Auflösen nach $\frac{d^2T}{dx^2}$:$ \frac{d^2T}{dx^2} = - \frac{\alpha \cdot U}{\lambda \cdot A} \cdot (T(x) – T_u) $mit$m = \sqrt{\frac{\alpha \cdot U}{\lambda \cdot A} }$ergibt sich dann:$ \frac{d^2T}{dx^2} = - m^2 \cdot (T(x) – T_u) $Auflösen der Differentialgleichung ergibt dann den Temperaturverlauf eines Stabes:$T(x) = T_u + C_1 \cdot e^{-mx} + C_2 ...
  4. Instationäre Wärmeleitung
    Wärmeleitung in einem Feststoff > Instationäre Wärmeleitung
    Instationre Wrmeleitung ebene Platte
    ... man als instationäre Wärmeleitung.Die Differentialgleichung für das Temperaturfeld der instationären Wärmeleitung ist gegeben mit (auf die Herleitung sei verzichtet):$\frac{dT}{dt} = a \cdot \frac{dT^2}{dx^2}$     Differentialgleichung Temperaturfeldmit$a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$Dabei ist $a$ die Temperaturleitfähigkeit mit $\lambda$ als Wärmeleitfähigkeit, $\rho$ als Dichte und $c_p$ als spezifische Wärmekapazität. Die drei Werte ...
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Physik

  1. Schwingungsgleichung: Federpendel
    Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Federpendel
    Federpendel
    ...    Teilen durch $m$ zeigt uns die Differentialgleichung 2. Ordnung:$\frac{d^2 s}{dt^2} + \frac{k}{m} s = 0$      DifferentialgleichungWas besagt diese Gleichung?Wir stellen die Gleichung um:$\frac{d^2 s}{dt^2} = -\frac{k}{m} s $Das bedeutet also, dass die zweimalige Ableitung einer Funktion $s$ nach der Zeit $t$ auf die ursprüngliche Funktion $s$ und einen konstanten Faktor $-\frac{k}{m}$ zurückführt.Wir müssen also eine Funktion in Abhängigkeit ...
  2. Schwingungsgleichung: Fadenpendel
    Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Fadenpendel
    Fadenpendel, mathematisches Pendel
    ... s}{dt^2}$Teilen durch $m$ zeigt uns die Differentialgleichung 2. Ordnung:$\frac{d^2 s}{dt^2} + \frac{g}{l} s = 0$      DifferentialgleichungWas besagt diese Gleichung?Wir stellen die Gleichung um:$\frac{d^2 s}{dt^2} = -\frac{g}{l} s $Das bedeutet also, dass die zweimalige Ableitung einer Funktion $s$ nach der Zeit $t$ auf die ursprüngliche Funktion $s$ und einen konstanten Faktor $-\frac{g}{l}$ zurückführt.Wir müssen also eine Funktion in Abhängigkeit ...
  3. Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel
    Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel
    Physikalisches Pendel
    ... das Trägheitsmoment führt auf die Differentialgleichung 2. Ordnung:$\frac{d^2 \varphi}{dt^2} =  - \frac{l \cdot m \cdot g}{J} \cdot \varphi$   Wir haben hier nun wieder eine Differentialgleichung 2. Ordnung gegeben, für die gilt, dass das Ergebnis der zweiten Ableitung des Winkels nach der Zeit $t$ einen konstanten Faktor $- \frac{l \cdot m \cdot g}{J}$ und den Winkel $\varphi$ selbst ergibt.Wir können hier die Sinus- oder Cosinusfunktion verwenden:$\varphi ...
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Strömungslehre

  1. Potentialfunktion
    Ebene Strömungen > Potentialfunktion
    Potentialfunktion Potentiallinien
    ... handelt es sich um die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen.Aus diesem Zusammenhang lässt sich schließen, dass die Stromlinien und Potentiallinien (Linien konstanter Potentialfunktion) senkrecht (also im 90°-Winkel) aufeinander stehen. Es handelt sich hierbei um ein orthogonales Gitternetz.Potentiallinien / Orthogonales GitternetzDie Potentiallinien stehen senkrecht auf den Stromlinien. Linien mit konstanter Stromfunktion $\Psi (x,y) = const$ werden Stromlinien genannt ...
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