Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Kurseinführung
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    Kurseinführung
    Herzlich Willkommen in Ihrem Kurs Höhere Mathematik 2 zu den Themen Analysis und gewöhnliche Differentialrechnung. Wir freuen uns, dass Sie sich dazu entschlossen haben sich mit Hilfe dieses Kurses in die sehr interessante, jedoch nicht ganz einfache Thematik der Kurveneigenschaften im ebenen Raum und mehrdimensionalen Raum, Funktionen mehrerer Veränderlicher sowie der gewöhnlichen Differentialrechnung einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen der Darstellungsarten ...
  2. Implizite und explizite Darstellung
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    Implizite und explizite Darstellung
    Explizite Darstellung Im Kurs Höhere Mathematik I wurde eine Funktion in Form $y = f(x)$ dargestellt. Das bedeutet, dass diese Funktion nach der Variablen $y$ aufgelöst ist. Man spricht in diesem Fall von einer expliziten Darstellung. Da bei dieser Darstellungsform jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert zugeordnet wird, können einfache und häufig notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. es wird zur ...
  3. Polarkoordinatendarstellung
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    Polarkoordinatendarstellung
    Oft ist es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen. Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben: $r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$ Polarkoordinatendarstellung Man kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher ...
  4. Parameterdarstellung
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    Parameterdarstellung
    Es ist häufig nicht möglich beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis). Parameterdarstellung Abhilfe schafft hier die ...
  5. Tangentenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor
    Tangentenvektor
    In diesem Abschnitt wird zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht. Einführung Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder ...
  6. Hauptnormalenvektor
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor
    Hauptnormalenvektor
    Der Hauptnormalenvektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve.  Einführung Ist der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ aus dem Tangentenvektor, ...
  7. Bogenlänge berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen
    Bogenlänge berechnen
    Die Länge $L$ einer Kurve $K$ innerhalb eines Intervalls $I \in [a, b]$ lässt sich durch ein Kurvenintegral errechnen.  Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b  ds $  Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist. Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen.  Darstellungsart Kurvenlänge ...
  8. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krümmungsradius
    Bevor die Krümmung einer Kurve bestimmt wird, wird definiert was der Krümmungskreis einer Kurve ist. Der Krümmungskreis zu einem bestimmten Punkt $P$ einer ebenen Kurve ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt $M_0$.  Der Krümmungsradius des Krümmungskreises wird wie folgt bestimmt: $r = |\frac{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}{f´´(x)}|$               Explizite Darstellung $r ...
  9. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
    Die Krümmung  $\kappa$  einer Kurve $\ K $ ist ein Maß für die Abweichung vom geradlinigen Verlauf der Kurve. Da ein Kreis in jedem Punkt dieselbe Krümmung besitzt, wird dieser verwendet um die Krümmung eines bestimmten Punktes einer Kurve zu bestimmen. Für die Krümmung in der Ebene gilt (Parameterdarstellung): $\kappa (x) =  \frac{f´´(x)}{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}$ bzw. der Betrag von $\kappa$ hat folgenden Zusammenhang mit dem Radius: $|\kappa (x) | = \frac{1}{r}$ Besitzt ...
  10. Evolute berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolute berechnen
    Evolute berechnen
    Im vorherigen Abschnitt wurde der Krümmungskreis und sein Krümmungsmittelpunkt vorgestellt. Die Evolute einer ebenen Kurve ist die Bahn auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn ein Punkt auf der Kurve entlang wandert.  Die Kurve aller Mittelpunkte der Krümmungskreise einer gegebenen Kurve nennt man Evolute. Formal: $\vec{x}_M = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$.  Die Tangenten der Evolute sind gleichzeitig die Normalen der gegebenen ...
  11. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Evolvente berechnen
    Eine Evolvente entsteht bei der Abwicklung der Evolutentangente von der Evolute. Das bedeutet also, dass die Endpunkte der Evolutentangenten in einem bestimmten Punkt die Evolvente ergeben.   Tangenten der Evoluten Wie bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt, stehen Normale und Tangenten der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen der Kurve ...
  12. Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Eine Raumkurve ist eine stetige differenzierbare Abbildung $\ a: I \rightarrow \mathbb{R} $ eines Intervalls.$ I = (a, b) \in \mathbb{R}$  im Raum $\mathbb{R}^3 $. Zur Untersuchung von Raumkurven bietet von den bisher vorgestellten Darstellungsformen die Parameterdarstellung die größten Vorteile. Dabei wird ein Parameter $\ t \in I = (a,b) $ auf einen Punkt im Raum mit drei stetig differenzierbaren Funktionen $\ x\ ,y\ ,z $ abgebildet. $\alpha (t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$, ...
  13. Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Funktionen mehrerer Veränderlicher
    Reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sich beinahe sämtliche Problemstellungen aus Wirtschaft und Wissenschaft nicht anhand von Funktionen mit nur einer Variablen lösen lassen.  Eine reellwertige Funktion mit $n$ Veränderlichen ist eine Abbildung der Form $\ f : P = (x_1,x_2,.....,x_n) \in D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow y = f (P) \in \mathbb{R}$. Die $\ x_i ( i = 1,2,....n) $ sind unabhängige Veränderliche. Bei zwei oder ...
  14. Höhen- und Schnittlinien
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien
    Höhen- und Schnittlinien
    Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde, kann man die dreidimensionale Sicht wählen um eine Funktion mit zwei Variablen darzustellen. Dies stellt allerdings in der Praxis ohne eine geeignete Software ein Problem dar. Deshalb muss versucht werden eine Funktion mit zwei Variablen anders darzustellen.  Als Ausweg kann man die sogenannte Parameterdarstellung wählen. Bei dieser wird nur eine Variable wirklich als Variable genutzt, indem allen anderen Variablen ein fester Wert zugeordnet wird. Wird ...
  15. Partielle Ableitung erster Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung
    Partielle Ableitung erster Ordnung
    Möchte man eine stetige Funktion $ z = f(x,y)$ mit zwei unabhängigen Variablen $ x, y $ partiell differenzieren, so muss man eine der Variablen konstant halten und die andere differenzieren. Dies gilt für $ x $ und auch für $ y $. Mit $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt. Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial ...
  16. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Lassen sich die Ableitungen $\ f_x(x,y)$ und $\ f_y(x,y)$ einer differenzierbaren Funktion ebenfalls differenzieren, so kann man auch die Ableitung 2. Ordnung bilden. Lässt sich dieser Vorgang mehrfach wiederholen so spricht man von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung. Ableitungen 2. Ordnung:  $\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}  f (x,y)= f_{xx} (x,y), $ $\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f (x,y) = f_{xy} ...
  17. Gewöhnliche Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen
    ... abhängig sind, von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im anderen Fall spricht man von der bisher bekannten partiellen Differentialgleichung. Zudem lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung auch nach  Merkmalen kategorisieren, die in der folgenden Übersicht aufgelistet sind: Form Hierbei stellt $\ F(x,y,y',... y^{(n)} ) = 0 $ die implizite Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung dar und $\ y^{(n)} = f(x,y,..., y^{(n-1)} ) $ die explizite Form.  Ordnung Die Ordnung einer ...
  18. Richtungsfeld und Isoklinen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
    Richtungsfeld und Isoklinen
    ... Richtungsfeld Ist eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, also $\ y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe. Zusammenfassend lässt sich ...
  19. Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
    ... wird, dass die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden.  Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form $\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $ Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen. Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x ...
  20. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung der Form $\ y'(x) = f(x,y), y(a) = y_a $ unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von $ a $ eindeutig gelöst werden kann. Welche Größe diese Umgebung hat, ist von der rechten Seite von $ f(x,y)$ abhängig.  Globaler Eindeutigkeitssatz Der globale Eindeutigkeitssatz besagt, dass ein Anfangswertproblem, welches auf einem senkrechten Streifen $ (x,y) \in [a, e] x \mathbb{R}^n $ eine globale ...
  21. Approximierte Potenzreihe
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren > Approximierte Potenzreihe
    Approximierte Potenzreihe
    Nach Abbruch des Iterationsverfahrens von Picard-Lindelöf wird in diesem Abschnitt gezeigt, wie man eine approximierte Potenzreihe aus der ermittelten Polynomfunktion bildet. Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, wird im nächsten Abschnitt gezeigt, wie man diesen Fehler abschätzt. Approximierte Potenzreihe Die entstandene Polynomfunktion nach dem 3. Iterationsschritt kann man auch als approximierte Potenzreihe schreiben. Die Polynomfunktion sah wie folgt aus: $y_3(x) ...
  22. Fehlerabschätzung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren > Fehlerabschätzung
    Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, soll im folgenden gezeigt werden wie man diesen Fehler abschätzt. Die Folge $y_n$ konvergiert auf dem Intervall $I$ gleichmäßig gegen die Lösung $y$: $|y(x) - y_n(x)| \le \frac{(\alpha L)^n}{n!} e^{\alpha L} \max\limits_{x \in I} |y_1(x) - y_0(x)|$ Die Fehlerabschätzung erfolgt, indem wir die Lipschitzkonstante innerhalb eines Intervalls festlegen. Das Intervall muss noch bestimmt werden.  Das Intervall ist: $[x_0 ...
  23. Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
    Obwohl die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung $\ y' = f(x,y) $ problematisch ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können.  Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen, Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung, Bernoulli Differentialgleichungen, Ricatti Differentialgleichungen,  und exakte Differentialgleichungen.  Abschließend wird auf den integrierenden ...
  24. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Eine Differentialgleichung, welche die Form $ y' = f(x) \cdot g(y) $                            Trennung der Veränderlichen T.d.V besitzt, nennt man Differentialgleichung mit getrennten Variablen.  Um hieraus Lösungen zu erhalten, bedient man sich der Methode der "Trennung der Veränderlichen": $\ y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $. Aus dieser Beziehung ergeben sich 2 Aussagen bezüglich ...
  25. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
    In diesem Abschnitt wird die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung behandelt. Diese besitzt die Form: $y' + a(x) \; y = r(x)$                              lineare DGL 1. Ordnung Die Gesamtlösung einer linearen Differentialgleichung ist: $y = y_S + y_H$                                         Gesamtlösung mit $y_S $ Gesamtlösung der homogen Differentialgleichung $y_H$  Lösung der inhomogenen Differentialgleichung Inhomogene Differentialgleichung $y_S$ ...
  26. Spezielle Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen
    ... Mathematik existieren eine Reihe von speziellen Differentialgleichungen, die mit den bisher kennengelernten Lösungsverfahren kein analytisches Resultat liefern. Da für diese Typen keine analytische Lösungsmöglichkeit besteht, wurden Variablentransformationen entwickelt, mit deren Hilfe ein solches System in den gewohnten Typ einer Differentialgleichung überführt werden kann. Dieser Transformationsprozess sei anhand der Bernoulli und der Riccati Differentialgleichung veranschaulicht.
  27. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    Den Anfang macht die Bernoulli Differentialgleichung, welche die Form $ y' + a(x)y = r(x) y^{\alpha}$               Bernoulli Differentialgleichung mit $\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \not= 0, 1 $ besitzt. Diese Differentialgleichung wird in einem nächsten Schritt durch $y^{\alpha}$ geteilt bzw. mit $y^{-\alpha}$ multipliziert. Dies führt zu der Form: $y^{-\alpha} \cdot y' + a(x) y^{ 1 - \alpha} = r(x)$ Substitution Durch Substitution lässt sich diese Differentialgleichung ...
  28. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    Die Riccati Differentialgleichung besitzt die Form $\ y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) $.  Hierbei ist ein generelles Lösungsverfahren nicht bekannt. Hat man es jedoch geschafft eine spezielle Lösung für $ y_1 $ zu ermitteln. Lässt sich auch diese Differentialgleichung durch Substitution in eine lineare Differentialgleichung in $ u $ überführen.  Substitution Man substituiert zuerst $ u = \frac{1}{y-y_1} $. Aus dieser Substitution erhält man für $ y $  $\rightarrow y  = \frac{1}{u} ...
  29. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    Eine exakte Differentialgleichung hat die Form $p(x, y) + q(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$  bzw.  $p(x, y) + q(x,y) y´ = 0$ mit $p(x,y) = M$  und  $q(x,y) = N$ Ist eine solche exakte Differentialgleichung gegeben, dann muss es zu jeder Lösung eine Konstante $c$ geben, so dass die implizite Gleichung $F(x,y) = c$ erfüllt ist. Ihre Stammfunktion $F(x,y)$ ist eine stetig differenzierbare Funktion für die gilt $\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = p(x,y)$ und $\frac{\partial F(x,y)}{\partial ...
  30. Integrierender Faktor
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Integrierender Faktor
    ... kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Differentialgleichung nicht exakt ist. Er macht die Differentialgleichung exakt und erlaubt dadurch diese direkt zu integrieren. Der integrierende Faktor ist eine Funktion der Form $\mu(x,y) $. Vorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden Faktors Ausgangssituation: $\ p_y (x,y) \not= q_x (x,y) $1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:$ \mu(x,y) p(x,y)\ dx + \mu(x,y)q(x,y)\ dy = 0$2. Die daraus resultierende Exaktheitsbedingung ...
  31. Differentialgleichung höherer Ordnung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung
    Eine Differentialgleichung höherer Ordnung hat die Form $\ y^{n} + a_{n-1} (x)y^{(n-a)} + ..... + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$. Die Koeffizientenfunktionen $ a_k (x) $ sowie die Störfunktion $ g(x) $ sind beide auf dem Intervall $\mathbb{I} $ stetig. Ist die Störfunktion $ g(x) \equiv 0 $ so bezeichnet man diese Differentialgleichung als homogen, ist die Störfunktion hingegen $ g(x) \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung. Gesamtlösung ...
  32. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... wurde bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt. Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt.  Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $.  Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die Gesamtlösung ...
  33. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung $ y_H $ und der  Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ besteht.  Sind die Lösungen $ y_H = c_1y_1 + ... c_ny_n $ der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen.  Grundlagen inhomogener Differentialgleichungen n-ter Ordnung Gegeben sei die inhomogene lineare ...
  34. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können relativ einfach gelöst werden.  Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Ist die Differentialgleichungen der Form  $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = s(x) $ , mit Konstanten $ a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung  $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $ mit Hilfe des Ansatzes  $\ y ...
  35. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Eine Funktion, welche den Eindeutigkeitssatz erfüllt, und somit auch die Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstante L erfüllt, kann iterativ gelöst werden. Hierzu formt man das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um.   $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt $  mit  $y(x_0) = y_0$ Nach dieser Umformung ist es möglich die Integralgleichung iterativ zu lösen, womit man zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren gelangt. Man definiert:$ y_1 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Differentialgleichung eines Stabes
    Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
    Differentialgleichung eines Stabes
    ... auftreten können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann. Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden: 1. Die Gleichgewichtsbedingung 2. Die kinematische Beziehung 3. Das Elastizitätsgesetz. Gleichgewichtsbedingung Die Gleichgewichtsbedingung wird entweder für einen kleinen Ausschnitt des Stabes oder für den gesamten ...
  2. Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    ... Sie außerdem die Stabverlängerung mittels der Differentialgleichung des Stabes! Bestimmung der Normalspannung Hierzu wird ein Schnitt durchgeführt. Der Abstand von oben zum Schnitt hin wird mit $x$ bezeichnet. Die Normalkraft wirkt in Richtung der Stabachse: Normalkraft am Stabelement $G*$ ist dabei das Gewicht des unteren Stabelements. Berechnet wird dies, indem der Dreisatz angewandt wird: $G = l$ $G* = l - x$ $\rightarrow  G * = G / l \cdot (l - x) $. Die Gleichgewichtsbedingung ...
  3. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    ... cm + 0,000001053 \; cm = 0,000003158 \; cm$. Differentialgleichung des Stabes Die Differentialgleichung des Stabes mit Linienkraft und mit angreifender Kraft sollte separat wie in den vorherigen Abschnitten betrachtet werden. Da dieses Vorgehen hier allerdings zu aufwendig ist, sollte die Bestimmung der Längenänderung wie oben bestimmt werden.
  4. Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    ... der im vorherigen Abschnitt berechneten Differentialgleichung des Stabes ist es möglich die Verschiebung $u(x)$ zu bestimmen: $(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $  Hat man die Verschiebung aus dieser Differentialgleichung bestimmt, so kann man auch die Stabverlängerung daraus ermitteln, indem man die Verschiebung an den Stabenden betrachtet: $u(x = l) - u(x = 0) = \triangle l$ Die Normalkraft bestimmt sich bei dieser Vorgehensweise zu: $N(x) = EA \cdot (u'(x) ...
  5. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    ... ist die Stabverlängerung doppelt so groß. Differentialgleichung des Stabes Differentialgleichung des Stabes ist: $(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $  $EA$ ist konstant und $\triangle T = 0$. $EAu'' = -n$. Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft): (1) $EAu'' = 0$ (2)$EAu' = N(x)$ Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant: $EAu' = N $. (3) $EAu = N \cdot x ...
  6. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... Rand des Querschnittsprofils $y_{max}$. Differentialgleichung der Biegelinie Belastung in $z$-Richtung: $ w(x)'' = - \frac{M_y (x)}{E \cdot I_{y}} $             mit $w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und $ E\cdot I_{y}$ als Biegesteifigkeit. Belastung in $y$-Richtung: $ w(x)'' = - \frac{M_z (x)}{E \cdot I_{z}} $             mit $w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und $ E\cdot I_{z}$ als Biegesteifigkeit. Streckenlast in $z$-Richtung ...
  7. Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    ... nur in $y$-Richtung, so wird $M_z = 0$. Differentialgleichung der Biegelinie Für asymmetrische Querschnitte ergibt sich: $Ew'' = -\frac{M_y \cdot I_z - M_z \cdot I_{yz}}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$   Verbiegung in $z$-Richtung $Ev'' = -\frac{M_z \cdot I_y - M_y \cdot I_{yz}}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$   Verbiegung in $y$-Richtung Für symmetrische Querschnitte gilt ($I_{yz} = 0$): $Ew'' = -\frac{M_y}{I_y}$   Verbiegung in $z$-Richtung $Ev'' = -\frac{M_z}{I_z}$   ...
  8. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Balkenverformung infolge von Schub
    ... des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei: $w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$ Es wurde hier nun der Index $B$ eingeführt, um zu zeigen, dass es sich bei dieser Gleichung nur um den reinen Biegeanteil handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang ...
  9. Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    ... wird auf die Berechnung der Verformung mittels Differentialgleichung eingegangen.
  10. Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    ... den nachfolgenden Abschnitten werden u.a. die Differentialgleichung der Biegelinie bestimmt und die Rand- und Übergangsbedingungen für den Einbereichs- und Mehrbereichsfall bestimmt. Auch die Überlagerungsmethode ist Gegenstand dieses Kapitels. 
  11. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    In diesem Abschnitt wird die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie für eine einachsige Biegung hergeleitet.  Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt: $ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $  Ferner ist auch diese Gleichung interessant: $\tau_{xz} = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $ Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft: $ Q = \int_A \tau_{xz} dA $ Setzt man nun die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ...
  12. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet. Auflösen der Differentialgleichung der Biegelinie Um die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal: $EI \cdot w'' = - M_y(x)$ mit $EI$ Biegesteifigkeit $E$ ...
  13. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... Hierzu wird das Vorgehen, welches im Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie beschrieben wird, angewandt. Eine Einbereichsaufgabe ist gegeben, wenn der Momentenverlauf $M(x)$ durch eine einzige Funktion für den gesamten Balken beschrieben werden kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn auf dem gesamten Balken eine konstante Streckenlast wirkt oder eine Kraft oder ein Moment am Ende des Balkens angreift. Beispiel: Feste Einspannung In der obigen Abbildung liegt ein Balken ...
  14. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... gegenüber dem vorherigen Schema: 1. Die Differentialgleichung der Biegelinie muss abschnittsweise integriert werden. 2. Neben den Randbedingungen sind nun Übergangsbedingungen für die Übergänge zweier Bereiche zu formulieren.  Unter der Berücksichtigung dieser beiden Punkte lässt sich nun die folgende Aufgabe lösen. Beispiel: Asymmetrisch belasteter Balken Man sieht einen Balken der auf einem Fest- und Loslager gelagert ist. Im rechten Bereich des Balkens wirkt eine Kraft ...
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Strömungslehre

  1. Potentialfunktion
    Ebene Strömungen > Potentialfunktion
    Potentialfunktion
    ... handelt es sich um die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen. Aus diesem Zusammenhang lässt sich schließen, dass die Stromlinien und Potentiallinien (Linien konstanter Potentialfunktion) senkrecht (also im 90°-Winkel) aufeinander stehen. Es handelt sich hierbei um ein orthogonales Gitternetz. Potentiallinien / Orthogonales Gitternetz Die Potentiallinien stehen senkrecht auf den Stromlinien. Linien mit konstanter Stromfunktion $\Psi (x,y) = const$ werden Stromlinien genannt (siehe ...
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