Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
Obwohl die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung $\ y' = f(x,y) $ problematisch ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können. Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt:Differentialgleichungen mit getrennten Variablen,Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,Bernoulli Differentialgleichungen,Ricatti Differentialgleichungen, und exakte Differentialgleichungen. Abschließend wird ... -
Differentialgleichung höherer Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung
Eine Differentialgleichung höherer Ordnung hat die Form$\ y^{n} + a_{n-1} (x)y^{(n-a)} + ..... + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$.Die Koeffizientenfunktionen $ a_k (x) $ sowie die Störfunktion $ g(x) $ sind beide auf dem Intervall $\mathbb{I} $ stetig.Ist die Störfunktion $ g(x) \equiv 0 $ so bezeichnet man diese Differentialgleichung als homogen, ist die Störfunktion hingegen $ g(x) \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung.Gesamtlösung ... -
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen
... sind, von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im anderen Fall spricht man von der bisher bekannten partiellen Differentialgleichung.Zudem lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung auch nach Merkmalen kategorisieren, die in der folgenden Übersicht aufgelistet sind:FormHierbei stellt $\ F(x,y,y',... y^{(n)} ) = 0 $ die implizite Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung dar und $\ y^{(n)} = f(x,y,..., y^{(n-1)} ... -
Inhomogene Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
... bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung $ y_H $ und der Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ besteht. Sind die Lösungen $ y_H = c_1y_1 + ... c_ny_n $ der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen. Grundlagen inhomogener Differentialgleichungen n-ter OrdnungGegeben ... -
Homogene Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
... bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt.Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $. Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die Gesamtlösung ... -
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
In diesem Abschnitt wird die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung behandelt. Diese besitzt die Form:$y' + a(x) \; y = r(x)$ lineare DGL 1. OrdnungDie Gesamtlösung einer linearen Differentialgleichung ist:$y = y_S + y_H$ Gesamtlösungmit$y_H $ Gesamtlösung ... -
Bernoulli Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
Den Anfang macht die Bernoulli Differentialgleichung, welche die Form$ y' + a(x)y = r(x) y^{\alpha}$ Bernoulli Differentialgleichungmit$\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \not= 0, 1 $besitzt.Diese Differentialgleichung wird in einem nächsten Schritt durch $y^{\alpha}$ geteilt bzw. mit $y^{-\alpha}$ multipliziert. Dies führt zu der Form:$y^{-\alpha} \cdot y' + a(x) y^{ 1 - \alpha} = r(x)$SubstitutionDurch Substitution lässt sich diese Differentialgleichung ... -
Ricatti Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
Die Riccati Differentialgleichung besitzt die Form$\ y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) $. Hierbei ist ein generelles Lösungsverfahren nicht bekannt. Hat man es jedoch geschafft eine spezielle Lösung für $ y_1 $ zu ermitteln. Lässt sich auch diese Differentialgleichung durch Substitution in eine lineare Differentialgleichung in $ u $ überführen. SubstitutionMan substituiert zuerst $ u = \frac{1}{y-y_1} $. Aus dieser Substitution erhält man für ... -
Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können relativ einfach gelöst werden. Homogene Differentialgleichung mit konstanten KoeffizientenIst die Differentialgleichungen der Form $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = s(x) $ ,mit Konstanten $ a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung $\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $mit Hilfe ... -
Integrierender Faktor
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Integrierender Faktor
... kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Differentialgleichung nicht exakt ist. Er macht die Differentialgleichung exakt und erlaubt dadurch diese direkt zu integrieren. Der integrierende Faktor ist eine Funktion der Form $\mu(x,y) $.Vorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden FaktorsAusgangssituation: $\ p_y (x,y) \not= q_x (x,y) $1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:$ \mu(x,y) p(x,y)\ dx + \mu(x,y)q(x,y)\ dy = 0$2. Die daraus resultierende Exaktheitsbedingung ... -
Formelsammlung
Formelsammlung
... die Extrempunkte. Gewöhnliche DifferentialgleichungenGewöhnliche Differentialgleichung (implizite Form):$\ F(x,y,y',... y^{(n)} ) = 0 $Gewöhnliche Differentialgleichung (explizite Form):$\ y^{(n)} = f(x,y,..., y^{(n-1)} ) $IsoklinenDie Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch$\ f(x,y) = const $ .Anfangswertproblem (Gerade)$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $Die Gerade soll also ... -
Exakte Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
Eine exakte Differentialgleichung hat die Form$p(x, y) + q(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$ bzw. $p(x, y) + q(x,y) y´ = 0$mit $p(x,y) = M$ und $q(x,y) = N$Ist eine solche exakte Differentialgleichung gegeben, dann muss es zu jeder Lösung eine Konstante $c$ geben, so dass die implizite Gleichung$F(x,y) = c$ erfüllt ist.Ihre Stammfunktion $F(x,y)$ ist eine stetig differenzierbare Funktion für die gilt$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = p(x,y)$und$\frac{\partial ... -
Spezielle Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen
... Mathematik existieren eine Reihe von speziellen Differentialgleichungen, die mit den bisher kennengelernten Lösungsverfahren kein analytisches Resultat liefern. Da für diese Typen keine analytische Lösungsmöglichkeit besteht, wurden Variablentransformationen entwickelt, mit deren Hilfe ein solches System in den gewohnten Typ einer Differentialgleichung überführt werden kann. Dieser Transformationsprozess sei anhand der Bernoulli und der Riccati Differentialgleichung ... -
Richtungsfeld und Isoklinen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Richtungsfeld und Isoklinen
... eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, also $\ y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.Zusammenfassend lässt ... -
Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Eine Differentialgleichung, welche die Form$ y' = f(x) \cdot g(y) $ Trennung der Veränderlichen T.d.Vbesitzt, nennt man Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Um hieraus Lösungen zu erhalten, bedient man sich der Methode der "Trennung der Veränderlichen":$\ y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $.Aus ... -
Anfangswertprobleme formulieren und lösen
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Anfangswertprobleme formulieren und lösen
... dass die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden. Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form$y(x) = y_0 + \int ... -
Approximierte Potenzreihe
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren > Approximierte Potenzreihe
Nach Abbruch des Iterationsverfahrens von Picard-Lindelöf wird in diesem Abschnitt gezeigt, wie man eine approximierte Potenzreihe aus der ermittelten Polynomfunktion bildet. Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, wird im nächsten Abschnitt gezeigt, wie man diesen Fehler abschätzt.Approximierte PotenzreiheDie entstandene Polynomfunktion nach dem 3. Iterationsschritt kann man auch als approximierte Potenzreihe schreiben. Die Polynomfunktion ...Fehlerabschätzung
Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren > Fehlerabschätzung
Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, soll im folgenden gezeigt werden wie man diesen Fehler abschätzt.Die Folge $y_n$ konvergiert auf dem Intervall $I$ gleichmäßig gegen die Lösung $y$:$|y(x) - y_n(x)| \le \frac{(\alpha L)^n}{n!} e^{\alpha L} \max\limits_{x \in I} |y_1(x) - y_0(x)|$Die Fehlerabschätzung erfolgt, indem wir die Lipschitzkonstante innerhalb eines Intervalls festlegen. Das Intervall muss noch bestimmt werden. Das Intervall ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Differentialgleichung eines Stabes
Stabbeanspruchungen > Differentialgleichung eines Stabes
... können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann.Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden:1. Die Gleichgewichtsbedingung2. Die kinematische Beziehung3. Das Elastizitätsgesetz.GleichgewichtsbedingungDie Gleichgewichtsbedingung wird entweder für einen kleinen Ausschnitt des Stabes oder für den gesamten ... -
Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
Stabbeanspruchungen > Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
... der im vorherigen Abschnitt berechneten Differentialgleichung des Stabes ist es möglich die Verschiebung $u(x)$ zu bestimmen:$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $ Hat man die Verschiebung aus dieser Differentialgleichung bestimmt, so kann man auch die Stabverlängerung daraus ermitteln, indem man die Verschiebung an den Stabenden betrachtet:$u(x = l) - u(x = 0) = \triangle l$Die Normalkraft bestimmt sich bei dieser Vorgehensweise zu:$N(x) = EA \cdot (u'(x) - \alpha_{th} ... -
Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
In diesem Abschnitt wird die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie für eine einachsige Biegung hergeleitet. Das Video wird geladen...(dgl-biegelinie)Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt:$ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $ Ferner ist auch diese Gleichung interessant:$\tau_{xz} = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft:$ Q = \int_A \tau_{xz} dA $Setzt man ... -
Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
... die Stabverlängerung mittels der Differentialgleichung des Stabes!Bestimmung der NormalspannungHierzu wird ein Schnitt durchgeführt. Der Abstand von oben zum Schnitt hin wird mit $x$ bezeichnet. Die Normalkraft wirkt in Richtung der Stabachse:Beispiel: Normalkraft am Stabelement $G*$ ist dabei das Gewicht des unteren Stabelements. Berechnet wird dies, indem der Dreisatz angewandt wird:$G = l$$G* = l - x$$\rightarrow G * = G / l \cdot (l - x) $.Die Gleichgewichtsbedingung ... -
Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
... Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.Auflösen der Differentialgleichung der BiegelinieUm die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:$EI \cdot w'' = - M_y(x)$mit$EI$ ... -
Balkenverformung infolge von Schub
Schub > Balkenverformung infolge von Schub
... des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$ Es wurde hier nun der Index $B$ eingeführt, um zu zeigen, dass es sich ... -
Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
... wird das Vorgehen, welches im Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie beschrieben wird, angewandt. Eine Einbereichsaufgabe ist gegeben, wenn der Momentenverlauf $M(x)$ durch eine einzige Funktion für den gesamten Balken beschrieben werden kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn auf dem gesamten Balken eine konstante Streckenlast wirkt oder eine Kraft oder ein Moment am Ende des Balkens angreift.Beispiel: Feste EinspannungIn der obigen Abbildung liegt ein Balken mit ... -
Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
... die Stabverlängerung doppelt so groß.Differentialgleichung des StabesDifferentialgleichung des Stabes ist:$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $ $EA$ ist konstant und $\triangle T = 0$.$EAu'' = -n$.Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft):(1) $EAu'' = 0$(2)$EAu' = N(x)$Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant:$EAu' = N $.(3) $EAu = N \cdot x + C_1$Die ... -
Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
... + 0,000001053 \; cm = 0,000003158 \; cm$.Differentialgleichung des StabesDie Differentialgleichung des Stabes mit Linienkraft und mit angreifender Kraft sollte separat wie in den vorherigen Abschnitten betrachtet werden. Da dieses Vorgehen hier allerdings zu aufwendig ist, sollte die Bestimmung der Längenänderung wie oben bestimmt werden. -
Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
... Biegung:$\sigma_x = \frac{ - M_z}{I_z} y $ Differentialgleichung der BiegelinieFür asymmetrische Querschnitte ergibt sich:$Ew'' = \frac{M_z \cdot I_{yz} - M_y \cdot I_z}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$ Verbiegung in $z$-Richtung$Ev'' = \frac{M_z \cdot I_y - M_y \cdot I_{yz}}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$ Verbiegung in $y$-RichtungFür symmetrische Querschnitte gilt ($I_{yz} = 0$):$Ew'' = -\frac{M_y}{I_y}$ Verbiegung in $z$-Richtung$Ev'' = \frac{M_z}{I_z}$ Verbiegung ... -
Balkenverformung bei einachsiger Biegung
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
... den nachfolgenden Abschnitten werden u.a. die Differentialgleichung der Biegelinie bestimmt und die Rand- und Übergangsbedingungen für den Einbereichs- und Mehrbereichsfall bestimmt. Auch die Überlagerungsmethode ist Gegenstand dieses Kapitels.
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Wärmeübertragung: Wärmeleitung
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Poisson´sche und Laplace´sche Differentialgleichung
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Poisson´sche und Laplace´sche Differentialgleichung
... Beharrungszustandes ein.Die Fourier´sche Differentialgleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes vereinfacht sich dann zurPoisson´sche Differentialgleichung$$\nabla^2 t + \frac{\tilde{\dot q}}{\lambda} = 0$$oderbei Abwesenheit volumenspezifischer Ergiebigkeiten (Laplace´sche Differentialgleichung, Potentialgleichung)$$ \nabla^2 t = 0 $$Nachfolgend stellen wir die allgemeinen Lösungen dieser beiden Differentialgleichungen bei eindimensionaler Wärmeleitung für ... -
Lösungen für eine halbunendliche Wand
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Lösungen für eine halbunendliche Wand
... anstelle der partiellen Differentialgleichung mit den unabhängigen Variablen x für den Ort und τ für die Zeit eine gewöhnliche Differentialgleichung mit einer einzigen dimen-sionslosen unabhängigen Variablen gelöst werden. Die dabei verwendete dimensionslose Variable stellt eine geeignete Kombination der Variablen x und τ dar und wird Ähnlichkeitsvariable ζ (griechischer Buchstabe Zeta) genannt. Für die entstehende gewöhnliche ... -
Die Fourier´sche Differentialgleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes im Festkörper
Wärmeleitung in Festkörpern > Die Fourier´sche Differentialgleichung zur Beschreibung des Temperaturfeldes im Festkörper
... beschreibt eine als Fourier´sche Differentialgleichung bekannte partielle Differentialgleichung ersten Grades und zweiter Ordnung.Präge Dir die Voraussetzungen für die Herleitung der Fourier´schen Differentialgleichung fest ein. Prüfe immer, wenn Du die nachfolgend beschriebenen mathematischen Verfahren anwendest, ob diese Bedingungen gelten:Du analysierst die Temperaturverteilung in einem einzigen Körper in der festen Phase, Änderungen des ... -
Zeitlicher Temperaturverlauf bei einer Blockkapazität
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Zeitlicher Temperaturverlauf bei einer Blockkapazität
... betrachten wir nicht die partielle Differentialgleichung für die eindimensionale instationäre Wärmeleitung und suchen eine Temperaturverteilung t = t(x,τ), sondern greifen uns die Fälle heraus, bei denen eine durchgängig einheitliche Temperatur an jeder Stelle x des Körpers eine Funktion der Zeit τ ist. Die Temperatur in einem solchen Körper, den wir Blockkapazität nennen, ändert sich nur mit der Zeit, ist aber an ... -
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien
Die Fourier´sche Differentialgleichung, die das Temperaturfeld für die instationäre Wärmeleitung beschreibt, haben wir schon kennengelernt.$\frac{\partial t}{\partial \tau} = a \cdot \nabla^2t + \frac{\tilde{\dot q}}{\rho \cdot c_p}$ oder für eine räumliche Betrachtung in kartesischen Koordinaten $\frac{\partial t(x, y, z, \tau)}{\partial \tau} = a \cdot \Big( \frac{\partial^2 t}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 t}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 ... -
Exakte Lösungen durch Laplace-Transformation bei symmetrischen Randbedingungen
Eindimensionale instationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Exakte Lösungen durch Laplace-Transformation bei symmetrischen Randbedingungen
Jetzt betrachten wir die Fourier´sche Differentialgleichung bei eindimensionaler instationärer Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien mit einer weiteren Einschränkung, nämlich dem Vorliegen symmetrischer Randbedingungen. Dadurch können wir uns bei der Lösung jeweils auf eine Symmetriehälfte beschränken. Wir gehen immer davon aus, dass ein homogener Festkörper über eine einheitliche Anfangstemperatur t0 verfüge und zum Zeitpunkt ... -
Im homogenen Festkörper mit isotropen Materialverhalten
Wärmeleitung in Festkörpern > Fourier´sches Gesetz der Wärmeleitung > Im homogenen Festkörper mit isotropen Materialverhalten
... \frac{dt}{dx}$Für die Lösung dieser Differentialgleichung starten wir mit Trennung der Veränderlichen.$\int \limits_{0}^{\delta} \dot q \cdot dx = -a_0 \int \limits_{t_{W,l}}^{t_{W,r}} dt - a_1 \int \limits_{t_{W,l}}^{t_{W,r}} t \cdot dt$Nach bestimmter Integration und Auflösung nach dem gesuchten Wärmestrom folgt$\begin{align} \dot q & = \frac{ - a_0 \cdot (t_{W,r} - t_{W,l}) - \frac{a_1}{2} \cdot (t_{W,r}^{2} - t_{W,l}^{2})}{\delta}\\ \dot q & = \frac{ ... -
Beispiele
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien > Poisson´sche und Laplace´sche Differentialgleichung > Beispiele
... allgemeine Lösung der Laplace´schen Differentialgleichung lautet für diesen Fall: t(x) = C1 · x + C2. Die beiden allgemeinen Integrationskonstanten sind nun noch durch die Randbedingung zweiter Art links und Randbedingung dritter Art rechts anzupassen.Ermittlung der Wandtemperaturen über Gleichung für die Temperaturverteilung Ausgangspunkt: allgemeine Lösung: $t(x) = C_1 \cdot x + C_2 $ und wegen gradt Differentiation nach $x = \frac{dt}{dx} ...
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Baustatik 1
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Differentialgleichung
Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Differentialgleichung
... können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden, mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann.Um Spannungen und Dehnungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden:Die GleichgewichtsbedingungDie kinematische BeziehungDas Elastizitätsgesetz Die Gleichgewichtsbedingung wird entweder für einen kleinen Ausschnitt des Stabes oder für den gesamten Stab aufgestellt. ... -
Dehnung: Aufgaben und Lösungen
Verformungen > Verformung infolge Dehnung > Dehnung: Aufgaben und Lösungen
... die Stabverlängerung mittels der Differentialgleichung des Stabes! Bestimmung der NormalspannungHierzu wird ein Schnitt durchgeführt. Der Abstand von oben zum Schnitt hin wird mit $x$ bezeichnet. Die Normalkraft steht senkrecht auf der Querschnittsfläche.Die Normalkraft $N$ ist in diesem Stab nicht konstant, weil die Gewichtskraft in Richtung der Stabachse wirkt und aufgrund der Schwerkraft damit eine Linienlast gegeben ist. Mit zunehmender Länge steigt demnach ... -
Differentialgleichung der Biegelinie
Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung der Biegelinie
... die $y$-Achse zur Folge hat. Wir wollen nun die Differentialgleichung der Biegelinie $w(x)$ herleiten.Wir gehen im Folgenden von der Gültigkeit der Normalenhypothese von Bernoulli, sowohl bei reiner als auch bei Querkraftbiegung, aus. Liegt also Querkraftbiegung vor, können wir den Anteil der Durchbiegung infolge der Schubverformung vernachlässigen (folgt im nachfolgenden Kurstext).Wir bestimmen also im Weiteren die Durchbiegung des Balkens aufgrund der auftretenden Biegespannungen ... -
Differentialgleichung mit Schubanteil
Verformungen > Verformung infolge Biegung > Differentialgleichung mit Schubanteil
Wir haben im vorangegangenen Abschnitt die Differentialgleichung der Biegelinie 2. und 4. Ordnung hergeleitet. Die dort aufgestellte Differentialgleichung gibt die Durchbiegung des Balkens in Abhängigkeit von $x$ an. Hierbei ist allerdings nur der reine Biegeanteil berücksichtigt worden. Wirken Querkräfte auf den Balken, so treten Schubspannungen auf, welche ebenfalls dazu führen, dass sich der Balken verformt. Wir betrachten in diesem Abschnitt also den Beitrag des ... -
Formelsammlung
Formelsammlung
... Breite des Balkens von $z$ bis $z_{max}$.DifferentialgleichungenDifferentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung $ w'' = -\frac{M_y}{EI_y}$ mit$\kappa = -w''$Differentialgleichung der Biegelinie 3. Ordnung $EIw''' = -Q(x)$ Differentialgleichung der Biegelinie 4. Ordnung $EI w'''' = q(x)$Differentialgleichung der Biegelinie (reiner Biegeanteil) $w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$ Hookesche Gesetz der Schubbeanspruchung $\tau ... -
Verformung infolge Dehnung
Verformungen > Verformung infolge Dehnung
... infolge Dehnung. Zur Herleitung der Verformung (Differentialgleichung 1. Ordnung) werden die folgenden Themen näher betrachtet:- Spannungen und Dehnungen im Stab- Zugversuch- Spannungs-Dehnungs-Diagramm- Hooksches Gesetz- Wärmedehnungen- Differentialgleichung 1. Ordnung
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Regelungstechnik
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Fall 3 von 6: Differentialgleichung als Signalflussplan
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan > Fall 3 von 6: Differentialgleichung als Signalflussplan
Aufgabe: Stelle Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Aufgabenstellung:In unserem Beispiel liegt die folgende Differentialgleichung vor:$ x_a(t) = T_D \cdot \frac{dx_e(t)}{dt} $ Damit du auch genau weißt wofür welche Variable steht, hier ein paar Informationen:$ x_a (t) $ stellt die Ausgangsgröße dar.$ x_e (t) $ ist die Eingangsgröße.Auslesen der Differentialgleichung:Die Eingangsgröße $ x_e (t) $ wird differenziertDarstellung ... -
Übertragungsblock & Wirkungslinie
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Elemente > Übertragungsblock & Wirkungslinie
... funktional dargestellt. Dabei unterscheiden wirDifferentialgleichungen für das allgemeine Zeitverhalten des ÜbertragungssystemsSprungantworten als Reaktion des Systems auf plötzliche Änderungen der EingangsgrößenFrequenzgangfunktionen als Übertragungsfunktion des Systems, wenn harmonische Eingangsfunktionen vorliegensowie Übertragungsfunktionen für LAPLACE-transformierte Eingangsgrößen und für z-transformierte Eingangsgrößen.Wie ... -
Darstellung der Funktionen im Übertragungsblock
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Elemente > Darstellung der Funktionen im Übertragungsblock
Im vorherigen Kurstext haben wir die allgemeine Differentialgleichung aufgestellt. Nun wollen wir diese auch in unserem Übertragungssystem/Übertragungsblock sichtbar machen. Dies sieht dann wie folgt aus:Visuelle Darstellung der DifferentialgleichungDifferentialgleichung im Übertragungsblock Auch die anderen im vorangegangenen Kurstext erwähnten Funktionen lassen sich mit dem Übertragungsblock abbilden.Visuelle Darstellung der SprungantwortfunktionDie ... -
Beispiele zum Signalflussplan
Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan
... als Signalflussplan dar.Stelle eine Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Stelle die Gleichung für eine elektische Leistung P als Signalflussplan dar.Stelle den Zusammenhang von Kraft, Beschleunigung und Weg bei einer Masse als Signalflussplan dar.Stelle die gegebenen Regelkreisgleichungen mit Proportionalelementen in einem Signalflussplan dar.
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Physik
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Schwingungsgleichung: Federpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Federpendel
... Teilen durch $m$ zeigt uns die Differentialgleichung 2. Ordnung:$\frac{d^2 s}{dt^2} + \frac{k}{m} s = 0$ DifferentialgleichungWas besagt diese Gleichung?Wir stellen die Gleichung um:$\frac{d^2 s}{dt^2} = -\frac{k}{m} s $Das bedeutet also, dass die zweimalige Ableitung einer Funktion $s$ nach der Zeit $t$ auf die ursprüngliche Funktion $s$ und einen konstanten Faktor $-\frac{k}{m}$ zurückführt.Wir müssen also eine Funktion in Abhängigkeit ... -
Schwingungsgleichung: Fadenpendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Fadenpendel
... s}{dt^2}$Teilen durch $m$ zeigt uns die Differentialgleichung 2. Ordnung:$\frac{d^2 s}{dt^2} + \frac{g}{l} s = 0$ DifferentialgleichungWas besagt diese Gleichung?Wir stellen die Gleichung um:$\frac{d^2 s}{dt^2} = -\frac{g}{l} s $Das bedeutet also, dass die zweimalige Ableitung einer Funktion $s$ nach der Zeit $t$ auf die ursprüngliche Funktion $s$ und einen konstanten Faktor $-\frac{g}{l}$ zurückführt.Wir müssen also eine Funktion in Abhängigkeit ... -
Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel
Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel
... das Trägheitsmoment führt auf die Differentialgleichung 2. Ordnung:$\frac{d^2 \varphi}{dt^2} = - \frac{l \cdot m \cdot g}{J} \cdot \varphi$ Wir haben hier nun wieder eine Differentialgleichung 2. Ordnung gegeben, für die gilt, dass das Ergebnis der zweiten Ableitung des Winkels nach der Zeit $t$ einen konstanten Faktor $- \frac{l \cdot m \cdot g}{J}$ und den Winkel $\varphi$ selbst ergibt.Wir können hier die Sinus- oder Cosinusfunktion verwenden:$\varphi ...
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Webinare
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Klausurbesprechung Elastostatik
...ffener und geschlossener Profile Festigkeitshypothesen Eulersche Stabknickung und Stabilitätsprobleme Zu allen Themen werden die besonders wichtigen Inhalte besprochen und du kannst Rückfragen an unseren Dozenten stellen. Wir empfehlen aufbauend hierzu die Buchung unserer Online-Kurse: Für Ingenieurstudierende ... -
Crashkurs: Elastostatik
...ner und geschlossener Profile Festigkeitshypothesen Eulersche Stabknickung und Stabilitätsprobleme Zu allen Themen werden die besonders wichtigen Inhalte besprochen und du kannst Rückfragen an unseren Dozenten stellen. Anhand von Beispielaufgaben wiederholst du hier die Grundlagen für deine Klausuren! Wir empfehlen aufbauend hierzu die Buchung unserer Online-Kurse: Für Ingenieurstudierende ... -
Klausurbesprechung Regelungstechnik
..., Differentialgleichungen, PID-Regler, Frequenzgangortskurve, Nyquist, Wurzelortskurve MRT2: Multiple Choice, Vorsteuerung, Vorfilter, Zustandsraum, Zustandsebene, Nichtlineare Kennlinien Du erhältst im Vorfeld vor dem Webinar die Klausuraufgaben zugesandt. Im Webinar gehen wir dann Schritt für Schritt durch die Klausur und erarbeiten uns gemeinsam die Lösung.... -
Crashkurs Elastostatik Teil 2: Flächenträgheitsmomente, Differentialgleichung der Biegelinie
...er Momente oder Querkräfte werden wir mittels Differentialgleichung der Biegelinie berechnen.... -
Crashkurs Biegung - Flächenträgheitsmomente, Normalspannungen, Durchbiegung eines Balkens
...erer Momente oder Querkräfte werden wir mittels Differentialgleichung der Biegelinie berechnen.... -
Crashkurs Elastostatik: Biegung - Flächenträgheitsmomente, Normalspannungen, Durchbiegung eines Balkens
...erer Momente oder Querkräfte werden wir mittels Differentialgleichung der Biegelinie berechnen.... -
Einachsige Biegung - Normalspannungen und Durchbiegung eines Balkens
...nungen sowie die Durchbiegung des Balkens mittels Differentialgleichung der Biegelinie berechnen....
Themen unserer Kurse
- Ungleichung, Uneigentliche Integrale, Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
- Vektor, variable Kosten, Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
- Wendepunkt, Winkel, Werkstoffe für Wellen und Achsen
- X-Y-Theorie nach Mc Gregor
- Zugversuch, zwei Kräften, Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
Aktuelle Themen
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