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Physik

Energiebetrachtung: Fadenpendel

Wir wollen uns in diesem Abschnitt der potentiellen Energie und der kinetischen Energie bei harmonischen Oszillatoren zuwenden. Dazu betrachen wir das Fadenpendel.

Energie beim Fadenpendel

Wir betrachten ein Fadenpendel, das aus seiner Ruhelage $A$ in die Position $B$ ausgelenkt wird:

Energie Fadenpendel
Fadenpendel

Dabei ist $s$ der horizontale Abstand von der Ruhelage $A$ und der Auslenkung $B$, $s^*$ die Bogenlänge (tatsächlich zurückgelegter Weg der Kugel), $h$ der senkrechte Abstand von der Ruhelage $A$ und der Position $B$ (Höhenunterschied) und $l$ die Länge des Fadens.

Potentielle Energie

Das Fadenpendel wird also zunächst ausgelenkt, um es in die Position $B$ zu bringen. Hier wird Hubarbeit geleistet:

Methode

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$W = mgh$                 Hubarbeit um Fadenpendel aus der Ruhelage in die Position $B$ zu bringen

Aufgrund der jetzigen Position $B$ weist das Fadenpendel die potentielle Energie (in Bezug auf den Punkt $A$) in Höhe der Hubarbeit auf:

Methode

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$E_{pot} = mgh$

mit

$h = l - l \cdot \cos(\varphi)$

Bei der potentiellen Energie wird nur der Höhenunterschied $h$, also der senkrechte Abstand von $A$ zu $B$ betrachtet. 

Kinetische Energie

Wird das Fadenpendel nun losgelassen, so beginnt es sich in Richtung der Ruhelage $A$ zu bewegen. Die potentielle Energie wird also in kinetische Energie umgewandelt:

Methode

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$E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot v^2 $

Ist das Fadenpendel wieder im Ausgangspunkt $A$ angekommen hat sich die gesamte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Am Punkt $A$ ist die potentielle Energie gleich Null und die kinetische Energie nimmt ihren maximalen Wert an.

Es gilt: $v = \dot{\varphi} \cdot l$. Wobei $\dot{\varphi} = \omega$ die Winkelgeschwindigkeit darstellt. Einsetzen in die kinetische Energie ergibt:

Methode

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$E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot l^2$

Aufgrund seiner Trägheit bewegt sich das Fadenpendel über die Ruhelage $A$ hinaus zur anderen Seite $C$:

Fadenpendel, Energiebetrachtung
Fadenpendel Energiebetrachtung

Wird hierbei die Reibung vernachlässigt, so erreicht er die gleiche Höhe wie bei der Auslenkung im Punkt $B$. Hier gilt auch wieder, dass die potentielle Energie gleich der Hubarbeit ist und im Punkt $C$ am höchsten ist. Die Punkte $B$ und $C$ stellen Umkehrpunkte dar, bei denen die kinetische Energie gleich Null ist, weil die Geschwindigkeit in diesen Punkten gleich Null ist. Bewegt sich das Pendel wieder in Richtung de Ruhelage wird die potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, welche dann im Punkt $A$ am Größten ist.

Energie Fadenpendel
kinetische und potentielle Energie beim Fadenpendel

Eine harmonische Schwingung ist gegeben, wenn Reibung vernachlässigt wird und das Pendel unendlich lange weiterschwingt. Dabei ist die Amplitude (maximaler Abstand von der Ruhelage, also Punkte $B$ und $C$) konstant, d.h. in beide Richtungen besteht derselbe Abstand. 

Sobald hingegen Reibung auftritt (z.B. Luftwiderstand) kommt das Pendel irgendwann zur Ruhe und es handelt sich nicht um eine harmonische Schwingung. Betrachtet man hingegen nur eine Schwingungsperiode (eine Pendelbewegung), so kann man auch mit Reibung von einer harmonischen Schwingung ausgehen.

Gesamtenergie

Die Gesamtenergie ergibt sich durch die Summe der potentiellen und kinetischen Energie:

$E_{ges} = E_{pot} + E_{kin} $

Methode

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$E_{ges} = mgl(1-\cos(\varphi)) + \frac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot l^2$

mit

$h = l(1-\cos(\varphi)$

Ist die Winkelgeschwindigkeit unbekannt, so gilt:

$\omega^2 = \frac{g}{l}$:

$E_{ges} = mgl(1-\cos(\varphi)) + \frac{1}{2} m \cdot \frac{g}{l} \cdot l^2$

$E_{ges} = mgl(1-\cos(\varphi)) + \frac{1}{2} m \cdot g \cdot l$

Methode

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$E_{ges} = mgl(\frac{3}{2} -\cos(\varphi)) $

Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeit berechnen

Beispiel

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Gegeben sei ein mathematisches Pendel (z.B. Fadenpendel) mit der Fadenlänge $l = 2m$. Die Anfangsauslenkung sei $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$. Berechne die maximale Geschwindigkeit $v_{max}$ mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes. 

Das Fadenpendel wird also zunächst mit $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$ ausgelenkt. Hierbei handelt es sich um die maximale Auslenkung. Wir befinden uns also an einem Umkehrpunkt mit $v_0 = 0$. An dieser STelle ist die kinetische Energie $E_{kin} = 0$ und die potentielle Energie nimmt ihren maximalen Wert an. Die Gesamtenergie setzt sich also nur aus der potentiellen Energie zusammen:

$E_{ges} = E_{pot} = mgl(1-\cos(\varphi_0))$

Wird das Pendel nun losgelassen, so wandelt sich die potentielle Energie in kinetische Energie um. Die kinetische Energie erreicht dann in der Ruhelage bei $\varphi = 0°$ ihren maximalen Wert, d.h. die Geschwindigkeit ist in der Ruhelage maximal. Die potentielle Energie ist in der Ruhelage gleich Null. Die potentielle Energie hat sich also vollständig in kinetische Energie umgewandelt. Die kinetische Energie ist:

$E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot v_{max}^2 $


Die kinetische Energie in der Ruhelage ist gleich der potentiellen Energie am Umkehrpunkt:

$\frac{1}{2} m \cdot v_{max}^2  = mgl(1-\cos(\varphi_0))$

Wir können diese Gleichung nun nach $v_{max}$ auflösen:

$v_{max} = \sqrt{2 gl(1-\cos(\varphi_0))}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$v_{max} = \sqrt{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m (1-\cos(\frac{\pi}{2}))}$

$v_{max} = 6,264 \frac{m}{s}$