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Die letzte Festigkeitshypothese, die im Rahmen dieses Kurse betrachtet wird, ist die Gestaltänderungsenergiehypothese. Die Gestaltänderungsenergiehypothese wird zur Beurteilung des Versagens durch Fließen bei plastisch-verformbaren Werkstoffen angewendet und wurde hauptsächlich von dem österreichischen Mathematiker Mises entwickelt. Es gilt wieder $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ (siehe Grafik). Die Vergleichspannung lässt sich dann berechnen berechnen mit:
Methode
$\sigma_v = \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]}$
oder
Methode
$\sigma_v = \sqrt{\frac{1}{2} [(\sigma_x - \sigma_y)^2 + (\sigma_y - \sigma_z)^2 + (\sigma_z - \sigma_x)^2 + 6 (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2)]} $
Merke
Für den ebenen Spannungszustand reduziert sich die Gestaltänderungshypothese zu
Methode
$\sigma_v = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2}$
bzw.
Methode
$\sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2}$
Beanspruchung Beispiele
Ausgehend von:
$\sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2}$
1. Szenario: Reine Normalspannung (Zugversuch)
$\sigma_y = 0 $
$\tau_{xy} = 0 $
$\sigma_v = \sigma_x $
2. Szenario: Biege- und Schubspannungen (70% aller Fälle)
$\sigma_y = 0 $
$\sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2 + 3 \tau_{xy}^2}$
3. Szenario: Reine Torsionsbeanspruchung
$\sigma_x = \sigma_y = 0 $
$\sigma_v = \sqrt{3} \tau_{xy} $
Merke
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