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Maschinenelemente 1 - Wöhler-Kurve und Smith-Diagramm

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Maschinenelemente 1

Wöhler-Kurve und Smith-Diagramm

Um dynamische Beanspruchungen grafisch darstellen zu können, bedient man sich der Wöhler-Kurve und dem Smith-Diagramm.

Werkstoffkennwerte und Wöhler-Kurve

Die Ermittlung der Werkstoffkennwerte bei einer dynamischen Beanspruchung erfolgt durch die Aufbringen periodischer Lasten in einem Dauerversuch. Die Grenzkurve die sich hieraus ergibt bezeichnet man als Wöhler-Kurve, bzw. Wöhler-Diagramm. Das Wöhler-Diagramm beinhaltet drei Bereiche:

  1. Statische Festigkeit
  2. Zeitfestigkeit. 
  3. Dauerfestigkeit

Der Übergang zwischen beiden Bereich ist gekennzeichnet durch den Grenzwert $ N_g $. Man bezeichnet diesen Wert als Grenzlastspielzahl und für Stahl liegt dieser bei $ N_g = 2 \cdot 10^6 $ bis $ 10^7 $.  

Nachfolgeng sehen Sie ein typisches Wöhlerdiagramm:

Wöhler-Kurve bei Stahl
Wöhler-Kurve bei Stahl

Im linken Bereich liegt eine Zeitfestigkeit vor. Senkt man nun die Amplitude gelangt man nach dem Überschreiten der Grenzlastspielzahl zur Dauerfestigkeit im rechten Bereich. 

Damit aussagekräftige Ergebnisse mit einem Wöhler-Diagramm gewonnen werden können, muss gewährleistet sein, dass eine feste Mittelspannung vorliegt. 

Smith-Diagramm

Aus der Kombination der in verschiedenen Wöhler-Diagrammen gefundenen Dauerfestigkeiten für unterschiedliche Mittelspannungen erhält man durch Auftragen über der Mittelspannung das Smith-Diagramm. Dieses Dauerfestigkeitsdiagramm gibt die Dauerschwingfestigkeit des Materials an. Formal schreibt man:

Merke

Dauerschwingfestigkeit: $\sigma_D = \sigma_m \pm \sigma_A $.

In der nächsten Abbildung sehen Sie ein typisches Smith-Diagramm mit drei Bereichen:

  • Bereich 1. :Obere Dauerfestigkeitsgrenze
  • Bereich 2. : Schwellbereich
  • Bereich 3. : Wechselbereich
Schema eines Smith-Diagramms
Schema eines Smith-Diagramms

Beim Eintritt in den schraffierten Bereich tritt der Bruch ein. 

Merke

Die Wöhlerlinien und die Dauerfestigkeitsbilder werden für jede Belastung, wie Zug/Druck, Torsion und Biegung, separat ermittelt. 

Anfertigung eines Smith-Diagramm

Die Aufstellung der Wöhlerlinien und der Dauerfestigkeitsdiagramme (Smith-Diagramm) beruht auf der statistischen Auswertung vieler Versuche. Speziell für die Anfertigung eines Smith-Diagramms liegen viele Maschinenbauwerkstoffkennwerte vor. Sollte der Fall eintreten, dass für einen interessierenden Werkstoff und Belastungsfall keine Versuchsergebnisse vorliegen, so kann ein vereinfachtes Diagramm erzeugt werden mit:

  • Zugfestigkeit $ R_m $,
  • Streckgrenze $ R_{p 0,2} $
  • Wechselfestigkeit $ \sigma_w $  

Man geht dabei wie folgt vor:

Anfertigung eines Smith-Diagramms
Anfertigung eines Smith-Diagramms

Methode

  1. Nach Eintragen der 45° Linie und der Zugfestigkeit $ R_m $ sowie der Streckgrenze $ R_{p 0,2} $ wird am Schnittpunkt der 45°-Linie mit $ R_m $ der halbe Betrag der Wechselfestigkeit $ 0,5 \cdot \sigma_w $ nach links abgetragen.
  2. Von diesem Punkt aus wird eine Gerade zu $\sigma_w $ gezogen, die dann die Begrenzung für die Oberflächenspannung $\sigma_o $ darstellt. Die horizontale Hilfslinie von $ R_{p0,2}$ stellt eine weitere Gerade dar.
  3. Die begrenzende Gerade der Unterspannung geht aus von $ - \sigma_w $.
  4. Der zweite Punkt ergibt sich, wenn man den Betrag der Ausschlagspannung zwischen der 45°-Hilfslinie und dem Schnittpunkt der $ R_{p0,2}$-Geraden mit der Begrenzungslinie der Oberspannung $\sigma_o $ nochmals unterhalb der 45°-Hilfslinie abträgt.
  5. Ab hier wird dann der Geradenzug geschlossen, indem man die Verbindung zum Schnittpunkt der 45° Hilfslinie mit der $ R_{p0,2} $-Geraden zieht.

Merke

Der Einfluss der Mittelspannung auf die ertragbare Amplitude der Dauerfestigkeit wird gerade im Smith-Diagramm dadurch deutlich, dass die begrenzenden Geraden für $\sigma_u $ und $\sigma_o $ nicht parallel zur 45°-Hilfslinie verlaufen. Stattdessen nähern sich diese mit steigender Mittelspannung der 45°-Hilfslinie an.  

Beeinflusst wird die Schwingfestigkeit durch die Bauteilgröße und die Oberflächenrauhigkeit. Speziell große Bauteile weisen hier eine geringer Festigkeit auf als kleine Bauteile.