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Maschinenelemente 1

Bestimmung der Zugkraft

Zu Beginn gehen wir auf die Belastungsarten Zug, Druck sowie die Flächenpressung ein. Den Anfang macht die Zugkraft.

Zugkraft

Zugkraft an einem aufgehängten Rohr (Sprinkler)
Rohr einer Sprinkleranlage

In der obigenen Abbildung siehst du ein an einer Decke aufgehängtes Rohr. Wir nehmen an, dass es sich um ein Rohr handelt, durch das ein Medium mit einer Gewichtskraft $ G_{Medium} $ fließt. Das Rohr selbst hat ein Eigengewicht mit der Kraft $ G_{Rohr} $. Sowohl $ G_{Medium} $ als auch $ G_{Rohr} $ wirken aufgrund der Erdanziehungskraft in Richtung Erdmittelpunkt (also Richtung Boden). Wir möchten nun wissen, welche Kräfte auf dieses Rohr wirken.

Dafür orientieren wir uns an vier Schritten, welche in der folgenden Grafik ersichtlich sind:

 

Zugkraft an einem draußen aufgehängten Rohr
Zugkraft an einem draußen aufgehängten Rohr

 

  1. FunktionsBestimmung $ \Longrightarrow $ Ein Rohr wird aufgehängt.
  2. freischneiden des relevanten Bauteils $ \Longrightarrow $ Alle wirkenden Kräfte/Lasten lassen sich anhand des Hakens bestimmen; sowohl das Rohr als auch das Medium.
  3. mechanisches Ersatzbild zeichnen $ \Longrightarrow $ Da es sich um einen Zugstab handelt werden nur Zugkräfte berücksichtigt.
  4. Anwendung der Schnittmethode $ \Longrightarrow $ Die Schnittgröße ist hier die Längskraft $ F $, also die Normalkraft.

 

Die Haltestange des Rohrs wurde nun freigeschnitten. Es müssen nun die auf diese Stange wirkenden Kräfte mittels Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden. Die Kraft $ F $ (nach oben gerichtet), die der Haken trägt, ist unbekannt. Bekannt sind aber die nach unten gerichteten Kräfte. Diese setzen sich zusammen aus den Kräfte des Rohrs, des Mediums sowie eventueller Zusatzkräfte $ F_{Zusatz} $ (z. B. Schmutz auf dem Rohr). Diese nach unten gerichteten Kräfte müssen gleich der Hakenkraft $ F $ sein, damit sich das Rohr im Gleichgewicht befindet:

Merke

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Die in den folgenden Absätzen zur Bezeichnung von Gleichungen verwendeten Pfeile bedeuten:
$ \uparrow $ = vertikale Gleichgewichtsbedingung
$ \rightarrow $ = horizontale Gleichgewichtsbedingung

$ \uparrow : F - G_{Rohr} - G_{Medium} - G_{Zusatz} = 0 $

Auflösen nach der Hakenkraft $ F $ ergibt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ F = G_{Rohr} + G_{Medium} + F_{Zusatz} $

Man sieht also deutlich, dass die Hakenkraft $ F $ gleich der entgegengesetzten Kräfte ist. Sowohl $ G_{Rohr} $ als auch $ G_{Medium} $ sind für gewöhnlich konstant. Anders verhält sich dies mit Zeitverlauf bei $ F_{Zusatz} $. Hier werden verschiedene zusätzliche Kräfte/Lasten berücksichtigt, wie beispielsweise Schmutz oder Eis und Schnee, wenn sie sich am Rohr festsetzen. Aber auch Wind, der auf das Rohr einwirkt, muss bei der Berechnungen für die Auslegung eines aufgehängten Rohrs berücksichtigt werden. 

Merke

Hier klicken zum AusklappenWie du siehst, ist die Beanspruchung die maßgebliche Größe für die Tragfähigkeit eines Maschinenbauteils. 

Spannungen und Dehnungen

Innerhalb des Bauteils treten Spannungen aufgrund der äußeren Zugbelastung auf. Bei reinen Zug- und Druckbelastungen treten nur Normalspannungen $ \sigma $ auf. Diese sollten kleiner als die zulässigen Spannungen $ \sigma_{zul} $ können berechnet werden durch:

Methode

Hier klicken zum AusklappenSpannung: $ \sigma = \frac{F}{A} = \frac{Kraft}{Fläche} \le \sigma_{zul} $ in $ [\frac{N}{mm^2}] $

Merke

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Wenn du dich an den Kurs Technische Mechanik 1 erinnerst, so erkennst du, dass es sich bei dieser Beanspruchungsart um den Zugversuch handelt. Daher können auch die werkstoffspezifischen Kennwerte für die zulässigen Spannungen $ \sigma_{zul} $, den aus diesem Versuch ermittelten Werkstoffkennwerttabellen entnommen werden. Dabei dürfen die tatsächlich auftretenden Spannungen $ \sigma $ innerhalb eines Bauteils, die zulässigen Spannungen $ \sigma_{zul} $ nicht überschreiten, weil das Bauteil bei Zugbelastung reißen kann.


Die äußeren Kräfte führen zusätzlich noch dazu, dass sich das Bauteil verformt. Es kommt aufgrund der Zugkraft am Bauteil zu einer Dehnung. Die Dehnung $ \epsilon $ ist eine Angabe für die relative Längenänderung (Verlängerung bzw. Verkürzung) eines Bauteils unter Belastung. Aufgrund der Zugbelastung erfährt das Bauteil eine Verlängerung (bei einer Druckbelastung eine Verkürzung):

Methode

Hier klicken zum AusklappenDehnung: $ \epsilon = \frac{\Delta l}{L_0} $

Dabei ist $ \Delta l $ die Längenänderung und $ L_0 $ die ursprüngliche Länge des betrachteten Bauteils.

Beispiel: Zugstab

Zugstab
Zugstab

 

Beispiel

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Gegeben sei der obige Balken (1 m breit, 10 m lang), welcher an einem Stab $ d = 0,15 \, m $ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken erzeugt mit seinem Eigengewicht eine Gewichtskraft von $ F_{Balken} = 50 \, N $. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $ q_0 = 2 \, N/m^2 $. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt Schneedecke trägt? Wie groß sind die inneren Spannungen im Stab? Wie groß ist die Dehnung im Stab, wenn sich der Stab von 20 cm auf 22 cm verlängert?

Zunächst erfolgt der Freischnitt:

Beispiel Zugkraft Freischnitt

Bestimmung der Haltekraft

Gesucht wird die Haltekraft $ F_H $, welche der Haken aufbringen muss, um den Balken samt Schneelast zu tragen. Bevor mit der Bestimmung der Kraft $ F_H $ begonnen werden kann, muss zunächst die gleichmäßig verteilte Flächenlast (Schneedecke) zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden. Um die gesamte Flächenlast zu einer Einzellast zusammenzufassen, muss $ q_0 $ mit der Fläche $ A $ des Balkens, auf welchen diese wirkt, multipliziert werden:

$ q_0 = \frac{F_{Schnee}}{A} $

$ \Longrightarrow F_{Schnee} = q_0 \cdot A = 2 \frac{N}{m^2} \cdot 1 \, m \cdot 10 \, m = 20 \, N $


Es kann nun die Kraft $ F_H $ mittels vertikaler Gleichgewichtsbedingung bestimmt werden:

$ \uparrow : F_H - F_{Balken} - F_{Schnee} = 0 $


Aufgelöst nach der Kraft $ F_H $ ergibt sich dann:

$ F_H = F_{Balken} + F_{Schnee} $

Einsetzen der Werte:

$ F_H = 50 \, N + 20 \, N = 70 \, N $

Der Haken muss mindestens 70 N an Kraft aufbringen, damit der Balken samt Schneedecke getragen wird.

Bestimmung der Spannungen

Als nächstes soll bestimmt werden, wie die Spannungen innerhalb des Stabes aussehen. Das ist wichtig zu erfahren, damit man die tatsächlichen Spannungen mit der zulässigen Spannung abgleichen kann. Ist die tatsächliche Spannung am Ende größer als die Zulässige, so wird der Stab nicht halten und gegebenfalls reißen. Um dies zu vermeiden, werden die Spannungen bestimmt. Hierzu wird ein gedachter Schnitt durch den Stab durchgeführt.

Schnitt durch Stab
Schnitt durch Stab

 

In der obigen Grafik erfolgt die Betrachtung des Stabs (der Übersicht halber) aus horizontaler Sicht. Es wird im ersten Schritt ein gedachter Schnitt durchgeführt. Danach wurde der Stab um ein Vielfaches vergrößert dargestellt, um die inneren Spannungen besser veranschaulichen zu können. Die Normalspannung $ \sigma $ steht dabei immer senkrecht auf der Schnittfläche. Außerdem treten noch Schubspannungen $ \tau $ auf, welche immer parallel zur Schnittfläche liegen. 

Es wird nun zunächst die Normalspannung $ \sigma $ bestimmt. Die Normalspannung wirkt auf die gesamte Schnittfläche. Da es sich hierbei um einen kreisrunden Stab handelt, welcher den Durchmesser $ d = 0,15 \, m $ besitzt, kann man die Normalspannung $ \sigma $ bestimmen durch:

$ \sigma = \frac{F_H}{A} \Longrightarrow F_H = \sigma \cdot A $

Diese Gleichung ergibt sich aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung:

$ \rightarrow : \ F_{H} - F_{Balken} - F_{Schnee} = 0 $

$ \rightarrow : \sigma \cdot A - F_{Balken} - F_{Schnee} = 0 $


Aufgelöst nach $ \sigma $ ergibt sich:

$ \sigma = \frac{F_{Balken} + F_{Schnee}}{A} $


Es muss nun noch die Schnittfläche $ A $ bestimmt werden (keisrunder Stab):

$ A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,075 \, m)^2 = 0,018 \, m^2 $

Die Normalspannung ist demnach:

$ \sigma = \frac{50 \, N + 20 N}{0,018 \, m^2} = 3.888,89 \frac{N}{m^2} $

Da nun die Normalspannung $ \sigma $ bekannt ist, ist auch klar, was genau der Stab aushalten muss. Es muss nun ein Stab verwendet werden, dessen maximal zulässige Spannung größer ist als die berechnete Spannung. Angenommen die zulässige Spannung betrage $ \sigma_{zul} = 370 \frac{N}{mm^2} $. 

Die tatsächliche Spannung beträgt: $ 0,003 888 89 \frac{N}{mm^2} $   (umgerechnet)

Der Stab wird den Balken und die Schneelast ohne Probleme tragen, da die zulässige Spannung weit über der tatsächlichen Spannung liegt.

Merke

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Schubspannungen $ \tau $ treten bei Zug-und Druckstäben nicht auf.

Das wird auch deutlich aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung:

$ \uparrow : -\tau \cdot A = 0 $

Da keine weiteren vertikalen Kräfte wirken, treten auch keine Schubspannungen auf. (Nicht vergessen, das Seil wird aus horizontaler Sicht betrachtet!)

Man hätte auch die Spannungen innerhalb des Balkens berechnen können. Der Balken wird einmal nach unten gezogen (Gewichtskraft und Schneedecke). Nach oben wirkt eine weitere Kraft, nämlich die des Stabes, welcher den Balken hält. Man könnte dann den Balken gedanklich horizontal freischneiden und die inneren Spannungen bestimmen. Denn auch der Balken kann reißen, wenn die Kräfte an diesem zu groß sind.

Bestimmung der Dehnung

Der Stab besitzt die Ausgangslänge $ L_0 = 20 \, cm $. Er verlängert sich auf 22 cm. Es existiert also eine Verlängerung um $ \Delta l = 2 \, cm $.

$ \epsilon = \frac{\Delta l}{L_0} = \frac{2 \, cm}{20 \, cm} = 0,1 $

Aufgrund der Belastungen am Stab hat eine Dehnung von 10 % stattgefunden.