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Maschinenelemente 1

Bestimmung und Berechnung der Biegung

Nach Art der Belastung kann die Biegung in zwei unterschiedliche Biegungsarten unterschieden werden:

  • Die reine Biegung = Querkraftfreie Biegung:
    Hier entsteht die Biegung durch das Aufbringen zweier Biegemomente an den Enden eines Balkens. Vertikal gerichtete Kräfte (Querkräfte) treten hier nicht auf. Es entstehen demnach nur Normalspannungen $\sigma$.
  • Die Querkraft-Biegung: Die Biegung wird hier verursacht durch eine vertikale Kraft (Querkraft), welche auf den Balken drückt. Neben dem Biegemoment, welches Normalspannungen $\sigma$ verursacht, entstehen hier zusätzlich noch Querkräfte, welche zu Schubspannungen $\tau$ im Balken führen.

Außerdem wird noch unterschieden in:

  • Gerade Biegung: Bei der geraden Biegung findet die Biegung des Balkens in Richtung einer der Hauptachsen des Querschnittes statt. Der Balken besitzt ein symmetrisches Profil und die Belastung erfolgt entlang einer Hauptachse des Querschnitts.
  • Schiefe Biegung: Bei der schiefen Biegung erfolgt die Biegung eines Balkens in eine von den Hauptachsen abweichende Richtung. Eine schiefe Biegung ist ebenfalls gegeben, wenn ein Balken mit unsymmetrischem Querschnittsprofil vorliegt. Es gilt dann ein zusätzliches Biegemoment in Richtung einer anderen Achse.
Gerade Biegung

Für die einführenden Betrachtungen werden die Darstellungen der Biegung auf die gerade Biegung beschränkt. Somit fällt der Biegemomentvektor mit der Hauptträgheitsachse des beanspruchten symmetrischen Querschnitts zusammen. Im Maschinenbau tritt jedoch durch den räumlichen Aufbau der Strukturen in vielen Fällen eine schiefe Biegung auf. Diese wird dann durch eine Überlagerung (Superposition) der Komponenten in den Hauptträgheitsachsen berechnet. 

Merke

Die Biegung selbst wird durch den Einfluss einer Querkraft, eines Biegemoments oder eines Kräftepaares in geometrischen Körpern wie Balken, Trägern, Wellen und Achsen erzeugt. 

Um das Biegemoment zu bestimmen, wird durch den Balken ein Schnitt durchgeführt und die Schnittgrößen (Querkraft, Normalkraft und Biegemoment) an diesem angetragen. Schnitte am ebenen Balken sind immer dann notwendig, wenn Belastungswechsel (Unstetigkeiten) auftreten. Es kann dann der Biegemomentverlauf für die einzelnen Bereiche bestimmt werden. Im Folgenden soll das Vorgehen anhand der Querkraft-Biegung bei einem Balken mit symmetrischen Profil (gerade Biegung) dargestellt werden. 

Methode

Ablaufschema Biegung

1. FunktionsBestimmung

2. Träger und Lagerbock unter schiefer Last

3. Mechanisches Ersatzbild erzeugen

4. Anwendung der Schnittmethode: Bestimmung der Auflagerkräfte und Bestimmung der Schnittgrößen

5. Einzeichnung der Schnittgrößenverläufe

Beispiel Abstützung für ein Lager

Beispiel Biegung
Beispiel Biegung

1. Funktionsbestimmung:

Abstützen einer Welle im Lager, Träger mit einem Lagerbock

2. Träger und Lagerbock unter schiefer Last:

Wir zeichnen alle zur Berechnung relevanten Größen ein. 

4a. Bestimmung der Auflagerkräfte [vorgezogen]

Zuerst bestimmen wir die Biegemomente der Lager A und B, indem wir die beiden Momentengleichungen an den beiden Lagern aufstellen:

$\curvearrowleft A : B_z \cdot l - F_z \cdot l_1 + F_x \cdot a = 0$

$B_z = \frac{ F_z \cdot l_1 - F_x \cdot a}{l}$

$\curvearrowleft B : -A_z \cdot l + F_z \cdot (l - l_1) + F_x \cdot a = 0$

$A_z = \frac{ F_z \cdot (l - l_1) + F_x \cdot a}{l}$

Anschließend werden die vertikale und horizontalen Gleichgewichtsbedingung aufgestellt:

$\rightarrow : A_x - F_x = 0 \rightarrow A_x = F_x$

$\uparrow: A_z + B_z - F_z = 0 \rightarrow A_z = - B_z + F_z$ bzw. $B_z = -A_z + F_z$

Merke

Sind $F_z$ und $F_y$ gegeben, so können aus den obigen Gleichungen die Lagerkräfte bestimmt werden.

3. Mechanisches Ersatzbild:

Freischnitt

In der obigen Abbildung ist das mechanische Ersatzbild für den Träger erstellt und die Schnittstellen eingezeichnet worden. Mithilfe dieses Ersatzbildes können nun die Auflagerkräfte und dann die Schnittgrößen bestimmt werden. 

4b. Bestimmung der Schnittgrößen:

Im letzten Schritt gilt es die Schnittgrößen zu bestimmen. Hierzu betrachten wir erneut das Ersatzbild.

Ersatzbild mit Schnittstellen
Ersatzbild mit Schnittstellen

Es liegen insgesamt vier Schnittstellen vor [1,2,3,4]. Bei der dritten Schnittstelle unterscheiden wir zwischen Schnittstelle $ 3_{links}, 3_{rechts} $ und $ 3_{oben} $. Für jede dieser sechs Schnittstellen bestimmen wir nun das Biegemoment $ M $, die Querkraft $ Q $ und die Normalkraft $ N $. Ist ein Schnitt durchgeführt worden, so existieren zwei Schnittufer:

Schnittufer

Beim linken positiven Schnittufer zeigt die Querkraft nach unten, das Biegemoment weist eine Linksdrehung auf und die Normalkraft zeigt in Richtung der positiven $x$-Achse. Für das rechte Schnittufer werden die Schnittgrößen entgegengesetzt eingezeichnet. Zur Bestimmung der Schnittgrößen werden die Gleichgewichtsbedingungen herangezogen.

Schnittstelle $ 1 $ (Betrachtung des Rands, also linkes Schnittufer):

$\curvearrowleft  +M = 0 \rightarrow M = 0 $

$ \uparrow -Q  + A_z = 0 \rightarrow Q = A_z$

$\rightarrow N + A_x = 0 \rightarrow  N = -A_x $


Schnittstelle
$ 2$ (Betrachtung des Rand, also des rechten Schnittufers):

$\curvearrowleft  +M = 0 \rightarrow M = 0 $

$ \uparrow Q + B_z = 0 \rightarrow Q = -B_z $

$\rightarrow -N = 0 \rightarrow N = 0$


Schnittstelle
$ 3_{links} $ (Betrachtung des linken Schnittufers): 

$ \curvearrowleft M - A_z \cdot l_1 = 0 \rightarrow  M = A_z \cdot l_1 $

$ \uparrow -Q + A_z = 0 \rightarrow Q = A_z $

$ \rightarrow N + A_x = 0 \rightarrow N = -A_x $


Schnittstelle
 $ 3_{rechts} $ (Betrachtung des rechten Schnittufers):

$ \curvearrowleft -M + B \cdot (l - l_1) = 0  \rightarrow M = B_z (l - l_1) $

$ \uparrow Q + B_z = 0 \rightarrow Q = -B_z $

$ \rightarrow -N = 0 \rightarrow N = 0$


Schnittstelle
 $ 3_{oben} $ (Betrachtung des rechten Schnittufers):

$ \curvearrowleft -M + F_x \cdot a = 0 \rightarrow  M = F_x \cdot a $

$ \uparrow Q + F_x = 0 \rightarrow Q = -F_x $

$ \rightarrow -N - F_z = 0 \rightarrow N = -F_z $


Schnittstelle
$ 4$ (Betrachtung des Rands, also des rechten Schnittufers):

$ \curvearrowleft -M = 0 \rightarrow M = 0$

$\uparrow Q + F_x = 0 \rightarrow Q = -F_x $

$\rightarrow -N - F_z = 0 \rightarrow N = -F_z $

5. Einzeichnung der Schnittgrößenverläufe

Nachdem die Schnittgrößen bestimmt worden sind, werden zum Schluss die Schnittgrößenverläufe eingezeichnet:

Schnittgrößenverlauf

In der obigen Grafik sind die Verläufe von Biegemoment, Querkraft und Normalkraft eingezeichnet. 

Merke

Zwischenfrage: An welcher Stelle ist die Beanspruchung am Größten?

Antwort: Die kritische Stelle ist die Mitte [linksseitig].

Beispiel: Schnittgrößen

Beispiel Schnittgrößen am Balken

Beispiel

Gegeben sei der obige Stahlbalken. Für diesen Balken sollen die Schnittgrößen berechnet werden.

Bevor mit der Bestimmung der Schnittgrößen begonnen werden kann, muss der Balken zunächst freigeschnitten werden und die Lagerkräfte angebracht werden:

Schnittgrößen Beispiel Freischnitt

Der obige Freischnitt kann nun verwendet werden um zunächst die Lagerkräfte zu bestimmen, um dann mit der Bestimmung der Schnittgrößen zu beginnen.

Bestimmung der Lagerkräfte

Die Lagerkräfte werden am ungeschnittenen Balken bestimmt. Um diese zu ermitteln verwendet man die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene: Die horizontale und vertikale Gleichgewichtsbedingung sowie die Momentengleichgewichtsbedingung. Die Kraft $F$ besitzt einen vertikalen und einen horizontalen Anteil. Man kann die Kraft $F$ durch diese beiden Anteile ersetzen:

Freischnitt Komponentendarstellung

Horizontale Gleichgewichtsbedingung:

$\rightarrow : A_x - F \cdot \cos(30°) = 0$

$A_x =  F \cdot \cos(30°) = 17,32 kN$.

Vertikale Gleichgewichtsbedingung:

$\uparrow : A_z + B_z - F \cdot \sin (30°) = 0$

$A_z + B_z = F \cdot \sin (30°) = 10 kN$.

Die Lagerkräfte $B_z$ und $A_z$ sind noch unbekannt. Es wird die Momentengleichgewichtsbedingung herangezogen:

Momentengleichgewichtsbedingung:

Die Momentengleichgewichtsbedingung setzt man am Besten dort, wo so viele unbekannte Kräfte wir nur möglich wegfallen. In dem obige Beispiel sind dies die Lager A und B. Setzt man den Bezugspunkt am Lager A, so fallen die beiden Lagerkräfte bei der Berechnung weg, da deren Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert. Man kann dann daraus die Lagerkraft $B_z$ berechnen. Der Drehsinn muss berücksichtigt werden. Eine Linksdrehung geht positiv ein, eine Rechtsdrehnung negativ.

$\curvearrowleft A : B_z (l_1 + l_2) + F \cdot \cos(30°) \cdot a - F \cdot \sin(30°) \cdot l_1 = 0$

$B_z = \frac{-F \cdot \cos(30°) \cdot a + F \cdot \sin(30°) \cdot l_1}{(l_1 + l_2)} $

Einsetzen aller bekannten Werte:

$B_z = 5,17 kN$

Es kann nun $A_z$ aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung bestimmt werden:

$A_z + B_z = F \cdot \sin (30°) = 10 kN$.

$A_z = -B_z + 10 kN = 4,83 kN$

Die Momentengleichgewichtsbedingung um B muss hier nicht weiter betrachtet werden, da alle Lagerkräfte gegeben sind.

Merke

Die vertikalen Lagerkräfte $A_z$ und $B_z$ zusammen ergeben genau die vertikale Kraft $F_z$. Genau so verhält es sich auch mit der horizontalen Lagerkraft $A_x$ und der horizontalen Belastung $F_x$. Auch diese befinden sich im Gleichgewicht. Der gesamte Balken befindet sich also im Gleichgewicht.

Bestimmung der Schnittgrößen

Im nächsten Schritt werden nun die Schnitte festgelegt. Schnitte werden immer dort durchgeführt, wo Belastungen sich ändern. Also an Stellen wo sich z.B. Kräfte, Momenten, Gelenke, Sprünge etc. befinden:

Schnittgrößen Schnitte

In der obigen Grafik sind die Schnitte markiert. Es wird nun der Reihenfolge nach jeder Schnitt separat betrachtet und die Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt. Man kann nach Durchführung des Schnittes entweder das rechte oder das linke Schnittufer betrachten. Man wählt das Schnittufer, für welches die wenigsten Kräfte berücksichtigt werden müssen. Das Ergebnis ist dasselbe. Bei Betrachtung des 6. Schnittes z.B. ist das linke Schnittufer rechenaufwendiger, da dort die Kräfte $A_x$, $A_z$ und $B_z$ berücksichtigt werden müssen. Beim rechten Schnittufer lediglich die Kräfte $F_x$ und $F_z$. Das Ergebnis ist dasselbe.

Für den 1. Schnitt wird gezeigt, wie man die Schnittgrößen am linken Schnittufer anträgt:

Schnittgrößen erster Schnitt positives Schnittufer

Schnitt $1$ (Betrachtung linkes Schnittufer):

Querkraft: $\uparrow -Q + A_z = 0 \; \rightarrow Q = A_z = 4,83 kN$

Normalkraft: $\rightarrow N + A_x = 0 \; \rightarrow N = - A_x = -17,32 kN$

Biegemoment: $\curvearrowleft M = 0$

Schnitt $2$ (Betrachtung rechtes Schnittufer, da weniger Kräfte als linkes Schnittufer):

Querkraft: $\uparrow Q + B_z = 0 \; \rightarrow Q = -B_z = -5,17 kN$

Normalkraft: $\rightarrow -N = 0 \; \rightarrow N = 0$

Biegemoment: $\curvearrowleft -M = 0 \; \rightarrow M = 0$

Merke

Beim rechten Schnittufer werden die Schnittgrößen genau entgegengesetzt eingezeichnet.

Der Schnitt $3$ wird aufgesplittet in drei Schnitte. Der erste Schnitt erfolgt direkt links neben dem senkrechten Balken:

Schnittgrößen Schnitt 3 positives Schnittufer
Schnitt 3, links


Schnitt $3$ (Betrachtung linkes Schnittufer -siehe obere Grafik. Bei Betrachtung des rechten Schnittufers müssen die Kräfte $F_x$ und $F_z$ ud $B_z$ berücksichtigt werden):

Querkraft: $\uparrow -Q + A_z = 0 \; \rightarrow Q = A_z = 4,83 kN$

Normalkraft: $\rightarrow N + A_x = 0 \; \rightarrow N = -A_x = -17,32 kN$

Biegemoment: $\curvearrowleft M - A_z \cdot l_1 = 0 \; \rightarrow M = 4,83 kN \cdot 5m = 24,15 kNm$

Schnittgrößen rechtes Schnittufer
Schnitt 3, rechts

Der zweite Schnitt erfolgt direkt rechts neben dem senkrechten Balken:

Schnitt $3$ (Betrachtung des rechten Schnittufers - siehe obere Grafik):

Querkraft: $\uparrow Q + B_z = 0 \; \rightarrow Q = -B_z = -5,17 kN$

Normalkraft: $\rightarrow -N = 0 \; \rightarrow N = 0$

Biegemoment: $\curvearrowleft -M + B_z \cdot l_2 = 0 \; \rightarrow M = 5,17 kN \cdot 3m = 15,51 kNm$

Es sind nun zunächst die Verläufe im Balken bestimmt worden. Desweiteren müssen noch die Kräfte über dem Balken bestimmt werden. Hier werden die Schnitte $3$-Oberhalb und $6$ betrachtet:

Schnittgrößen rechtes Schnittufer
Schnitt 3, oben


Es wird nun der Schnitt $3$ durchgeführt, so dass der untere Balken vom oberen getrennt wird.

Schnitt $3$ (Betrachtung der rechten Schnittufers):

Querkraft: $\uparrow Q + F_x = 0 \; \rightarrow Q = -F_x = -17,32 kN$

Normalkraft: $\rightarrow -N - F_z = 0 \; \rightarrow N = -F_z = -10 kN$

Biegemoment: $\curvearrowleft -M + F_x \cdot a = 0 \; \rightarrow M = 17,32 kN \cdot 0,5m = 8,66 kNm$

Schnitt $6$ (Betrachtung des rechten Schnittufers):

Querkraft: $\uparrow Q + F_x = 0 \; \rightarrow Q = -F_x = -17,32 kN$

Normalkraft: $\rightarrow -N - F_z = 0 \; \rightarrow N = -F_z = -10 kN$

Biegemoment: $\curvearrowleft -M  = 0 \; \rightarrow M = 0$

Exkurs: 

Es soll anhand von Schnitt $6$ gezeigt werden, dass sich bei Betrachtung des linken Schnittufers genau die gleichen Schnittgrößen wie bei Betrachtung des rechten Schnittufers ergeben:

Schnitt $6$ (Betrachtung des linken Schnittufers):

Querkraft: $\uparrow -Q - A_x = 0 \; \rightarrow Q = -A_x = -17,32 kN$

Normalkraft: $\rightarrow N + A_z + B_z  = 0 \; \rightarrow N = -A_z - B_z = -10 kN$

Biegemoment: $\curvearrowleft M + A_x \cdot a - A_z \cdot l_1 + B_z \cdot l_2 = 0$

$M = -A_x \cdot a + A_z \cdot l_1 - B_z \cdot l_2 = 0$ (hier: -0,02 aufgrund von Rundungsfehlern)

Die Biegemomente für die einzelnen Bereiche sind nun ermittelt worden. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie man die auftretenden Normalspannungen $\sigma$ daraus bestimmt.