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Maschinenelemente 1

Bestimmung und Berechnung der Torsion

Eine Torsion tritt in Bauteilen immer dann auf, wenn Kräfte, Momente oder Kräftepaare wirken, deren Wirkungslinie nicht in der Balkenachse oder Trägheitsebene liegen. Eine reine Torsion ist selten und meistens liegt eine Überlagerung mit Biegemomenten und Querkräften vor. 

In der nächsten Abbildung sehen Sie hierzu unterschiedliche Fälle für das Auftreten einer Torsion:

Entstehung von Torsion
Entstehung von Torsion

Auch hier geht man nach einem Schema zur Bestimmung der Torsion vor

Methode

Ablaufschema Torsion:

1. Bestimmung der Funktion

2. Angeflanschter Hebel mit außermittiger Last

3. Mechanisches Ersatzbild

4. Schnittmethode anwenden

1. Bestimmung der Funktion

Hebel zur Erzeugung eines Drehmoments

Torsion durch eine Einzelkraft F
Torsion durch eine Einzelkraft F

2. Angeflanschter Hebel mit außermittiger Last

Wir zeichnen alle zur Berechnung relevanten Größen ein. 

Relevante Größen
Relevante Größen

3. Mechanisches Ersatzbild:

Torsionsbalken mit Last im Abstand $ a $

Mechanisches Ersatzbild
Mechanisches Ersatzbild

4. Schnittmethode anwenden. 

Schnittstellen
Schnittstellen

Schnittgrößen

Schnittstelle 1:

$ N = 0 $

$ Q = F $

$ M = 0 $

$ T = 0 $

Schnittstelle 2:

Links:

$ N = 0 $

$ Q = F $

$ M = 0 $

$ T = F \cdot a $

Rechts:

$ N = 0 $

$ Q = F $

$ M = 0 $

$ T = F \cdot a $

Schnittstelle 3:

$ N = 0 $

$ Q = F $

$ M = F \cdot b $

$ T = F \cdot a $

Beanspruchungen und Verformungen

Als Anwendungsbeispiel behandeln wir einen geraden Torsionsstab mit einem Kreisquerschnitt. 

Belastungsverlauf eines Torsionsstabs
Belastungsverlauf eines Torsionsstabs

An einer allgemeinen Stelle des Stabes x gilt formal:

Merke

Torsion: $\tau_T = \frac{T}{J_p} \cdot r = \frac{M_T}{J_P} \cdot r $

$ J_p $ steht für das polare Flächenträgheitsmoment des Kreisquerschnitts und ergibt sich aus $\ J_p = J_y + J_z $

Aus dieser Gleichung lässt sich wie im Fall der Biegung die Gebrauchsformel ableiten:

$\tau_{T max} = \frac{T}{W_p} \le \tau_{zul} $

Das Widerstandsmoment $ W_p $ ergibt sich durch $\ W_p = W_y  + W_z $ oder $ W_p = \frac{J_p}{r} $

Hier verwendet man zur Berechnung der Torsion den Gleichungsaufbau wie bei Kreisquerschnitten und bildet Rechenwerte für das Trägheitsmoment $ J* $ und das Widerstandsmoment $ W* $, die das entsprechende Verhalten annähernd wiedergeben. In beinahe jedem Fall können $ J* $ und $ W* $ einem Tabellenwerk entnommen werden. 

Gestaltungsarten des Bauteils bei Torsion

  • Ein wichtiges Kriterium bei Bauteilen, die einer Torsion ausgesetzt sind, ist deren Gestaltung und Geometrie. So empfiehlt es sich den Querschnitt möglichst an einem Kreisquerschnitt zu orientieren, bzw. gut zu verrunden. Dadurch können einspringende und ausspringende Ecken vermieden werden. 
Verbesserung des Querschnitts
Verbesserung des Querschnitts
  • Zudem sollten die Querschnitte geschlossen sein, da sie gegenüber offenen Querschnitten bei gleichem Materialaufwand viel steifer sind. So ist ein Vierkantprofil um das 77-fache steifer als ein T-Profil. $\rightarrow \frac{I_{vier.-prof}}{I_{t-prof.}} = 77 $
Verbesserung des Querschnitts
Verbesserung des Querschnitts

Merke

Durch unzählige Versuche fand man heraus, dass hohle geschlossene Querschnitte bei identischem Gewicht in Bezug auf ihre Torsionssteifigkeit am steifsten sind. 

Wichtig

Nachdem nun die Grundbeanspruchungsarten, wie sie aus der Mechanik bekannt sind, vorgestellt wurden, wenden wir uns nun den Festigkeitshypothesen zu. Beides wird für spätere Berechnungen benötigt.