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Maschinenelemente 1 - Schubspannungshypothese

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Maschinenelemente 1

Schubspannungshypothese

Die HauptSchubspannungshypothese, bzw. Schubspannungshypothese, wird immer dann angewandt, wenn bei einem plastisch-verformbaren Werkstoff das Versagen durch Fließen beurteilt werden soll. Entwickelt wurde diese Hypothese vom französischen Ingenieur Tresca. Nach dieser Hypothese wird die maximale Schubspannung für das Materialversagen verantwortlich gemacht.

Mohrscher Spannungskreis mit 3 Ebenen
Mohrscher Spannungskreis mit 3 Ebenen

Ist wieder die Reihenfolge (siehe Grafik)

$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ 

gegeben, so wird die maximale Schubspannung wie folgt bestimmt 

$\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$.

Beim einachsigem Zug war die Schubspannung maximal wenn:

$\tau_{max} = \frac{\sigma_0}{2}$             mit $\sigma_0 = \sigma_v$

$\tau_{max} = \frac{\sigma_v}{2}$     

Gleichsetzen der obigen maximalen Schubspannung ergibt:

Methode

$\sigma_v = \sigma_1 - \sigma_3$

Die Hauptnormalspannungen lassen sich auch berechnen mit (Abschnitt Normalspannungen):

$ \sigma_{1,3} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $

Mit $\sigma_v = \sigma_1 - \sigma_3$ ergibt sich:

Methode

$\sigma_v = \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4 \tau_{xy}^2} $

Übereinstimmung mit der Praxis

  • Bei zähen Werkstoffen unter ruhender und dynamischer Belastung $\Longrightarrow $ Verformungsfähige Werkstoffe, Einschnürungen
  • Für Spannungszustände mit ungleichsinnigen Hauptspannungen.