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Maschinenelemente 1 - Schubspannungshypothese

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Maschinenelemente 1

Schubspannungshypothese

Die HauptSchubspannungshypothese bzw. Schubspannungshypothese wird immer dann angewendet, wenn bei einem plastisch-verformbaren Werkstoff das Versagen durch Fließen beurteilt werden soll. Entwickelt wurde diese Hypothese vom französischen Ingenieur Tresca. Nach dieser Hypothese wird die maximale Schubspannung für das Materialversagen verantwortlich gemacht.

Mohrscher Spannungskreis mit drei Ebenen
Mohrscher Spannungskreis mit drei Ebenen

 

Ist wieder die Reihenfolge der Größen (siehe Grafik)

$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ 

gegeben, so wird die maximale Schubspannung wie folgt bestimmt:

$\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$

Beim einachsigen Zug ist die Schubspannung maximal wenn:

$\tau_{max} = \frac{\sigma_0}{2}$             mit $\sigma_0 = \sigma_v$

$\tau_{max} = \frac{\sigma_v}{2}$     

Gleichsetzen der obigen maximalen Schubspannung ergibt:

Methode

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$\sigma_v = \sigma_1 - \sigma_3$

Die Hauptnormalspannungen lassen sich auch berechnen mit (siehe Abschnitt Normalspannungshypothese):

$ \sigma_{1,3} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $

Mit $\sigma_v = \sigma_1 - \sigma_3$ ergibt sich:

Methode

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$\sigma_v = \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4 \tau_{xy}^2} $

Übereinstimmung mit der Praxis

  • Bei zähen Werkstoffen unter ruhender und dynamischer Belastung $\Longrightarrow $ verformungsfähige Werkstoffe; Einschnürungen
  • für Spannungszustände mit ungleichsinnigen Hauptspannungen