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Maschinenelemente 1 - Beispiel zur Berücksichtigung der Kerbwirkung

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Maschinenelemente 1

Beispiel zur Berücksichtigung der Kerbwirkung

Im Maschinenbau treten in vielen Fällen Beanspruchungen mit gemischten Lastfällen unter dem Einfluss der Kerbwirkung auf, die beim Festigkeitsnachweis ausreichend berücksichtigt werden müssen. Für ein besseres Verständnis soll dies beispielhaft für eine Getriebewelle berechnet werden. 

Getriebewelle (real)
Getriebewelle
Getriebewelle mit Kerbe
Getriebewelle mit Kerbe

 

In der obigen Abbildung ist eine Welle mit Kerbe dargestellt. Es liegen dabei 

  • eine Zugbelastung $ F_z = 1000 \, N $,
  • ein Biegemoment $ M_b = \pm 30 \, Nm $ und
  • ein Torsionsmoment $ T = 100 \, Nm $

vor. 

Zudem führen wir einen Sicherheitsfaktor gegen Bruch von $ v_B = 1,8 $ ein.

Die geometrischen Daten sind:

  • Restquerschnitt der Kerbe $ d = 20 \, mm $
  • Radius der Kerbe $ r = 2,0 \, mm $

Als Werkstoffangaben (hier: $ EC \, 80 $, alt: $ 16MnCr5 $) liegen vor:

Werkstoffnummer: 1.7131

Zugfestigkeit $ R_m = 800 \frac{N}{mm^2} $

Streckgrenze $ R_{eH} = 650 \frac{N}{mm^2} $


Nachdem alle notwendigen Angaben vorliegen, können wir mit den Berechnungen beginnen.

1. Beanspruchungen berechnen

Zu Beginn werden wir die vorliegenden und die maximalen zulässigen Beanspruchungen berechnen.

Zugbeanspruchung

Die allgemeine Gleichung lautet: $\sigma = \frac{F}{A} \rightarrow  $ Die Fläche beträgt: $ A = \frac{\pi \, \cdot \, d^2}{4} $

Daraus folgt für die Zugbeanspruchung:

Methode

Hier klicken zum AusklappenZugbeanspruchung: $\sigma_{nz} = \frac{F \, \cdot \, 4}{\pi \, \cdot \, d^2} =  \frac{1000 \, N \, \cdot \, 4 }{\pi \, \cdot \, (20 \, mm)^2} = 3,18 \frac{N}{mm^2} $

Unter Berücksichtigung der dimensionslosen Kerbformzahl für Zug (aus Tabellen) $ \alpha_{kz} = 3,3 $ erhalten wir für die Maximalspannung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappenmaximal zulässige Zugbeanspruchung: $\sigma_{zmax}= \alpha_{kz} \cdot \sigma_{nz} = 3,3 \cdot 3,18 \frac{N}{mm^2} = 10,5 \frac{N}{mm^2} $ 

Biegebeanspruchung

Auch hier stellen wir zuerst die allgemeine Gleichung auf. Diese lautet: $\sigma = \frac{M_b}{W_b} $

Daraus folgt für die Biegebeanspruchung:

Methode

Hier klicken zum AusklappenBiegebeanspruchung: $\sigma_{bz} = \frac{M_b \, \cdot \, 32}{\pi \, \cdot \, d^3} = \frac{30 \, Nm \, \cdot \, 32}{\pi \, \cdot \, (20 \, mm)^3} = 38,2 \frac{N}{mm^2} $

Unter Berücksichtigung der dimensionslosen Kerbformzahl für Biegung (aus Tabellen) $ \alpha_{kb} = 3,0 $ erhalten wir für die Maximalspannung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappenmaximal zulässige Biegebeanspruchung: $\sigma_{bmax} = \alpha_{kb} \cdot \sigma_{bz} = 3,0 \cdot 38,2 \frac{N}{mm^2} = 114,6 \frac{N}{mm^2}$

Torsionsbeanspruchung

Als letzte Größe bestimmen wir die Spannung, die infolge der Torsion auftritt. Die allgemeine Gleichung lautet: $\tau_{tn} = \frac{T}{W_p}$

Daraus folgt für die Torsionsbeanspruchung:

Methode

Hier klicken zum AusklappenTorsionsbeanspruchung: $\tau_{nt} = \frac{T \, \cdot \, 16}{\pi \, \cdot \, d^3} = \frac{100 \, Nm \, \cdot \, 16}{\pi \, \cdot \, (20 \, mm)^3} = 63,7 \frac{N}{mm2} $

Unter Berücksichtigung der dimensionslosen Kerbformzahl für Torsion (aus Tabellen) $ \alpha_{kt} = 2,0 $ erhalten wir für die Maximalspannung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappenmaximal zulässige Torsionsbeanspruchung: $\tau_{tmax} = \alpha_{kt} \cdot \tau_{nt} = 2,0 \cdot 63,7 \frac{N}{mm^2} = 127,4 \frac{N}{mm^2} $


Nachdem alle notwendigen Spannungen bekannt sind, ermitteln wir nun die Vergleichsspannung.

2. Vergleichsspannung berechnen

Nachdem alle notwendigen Spannungen bekannt sind, ermitteln wir nun die Vergleichsspannung.

Mittelspannung und Ausschlagsspannung

Für die Ermittlung der Vergleichsspannung müssen die Lastfälle genau unterschieden werden. Es gilt in unserem Beispiel:

Mittelspannungen:

$\sigma_{mz} = \sigma_{zmax}$

$\sigma_{mb} = 0 $

$\tau_{mt} = \tau_{tmax} $

Ausschlagsspannungen:

$\sigma_{az} = 0 $

$\sigma_{ab} = \sigma_{bmax} $

$\tau_{at} = 0 $ 

Da es sich hier um einen fließfähigen Werkstoff handelt, wird beim statischen Anteil die Kerbwirkung nicht berücksichtigt. Es wird die Gestaltänderungsenergiehypothese angewendet. 

Ohne Kerbwirkung gehen sowohl $\alpha_{kz} $ als auch $\alpha_{kt} $ gegen den Wert 1. Daraus folgt für die Mittelspannung:

Methode

Hier klicken zum AusklappenAnteil der Mittelspannung: $\sigma_{vm} = \sqrt{(\sigma_{nz} \cdot \alpha_{kz})^2 + 3 \, (\tau_{nt} \cdot \alpha_{kt})^2} = \sqrt{ (3,18 \frac{N}{mm^2} \cdot 1)^2 + 3 \, (63,7 \frac{N}{mm^2} \cdot 1)^2} = 110,4 \frac{N}{mm^2} $

Unter Annahme der gleichen Voraussetzungen erhalten wir für die Ausschlagsspannung:

Methode

Hier klicken zum AusklappenAnteil der Ausschlagsspannung: $\sigma_{va} = \sqrt{\sigma_b^2} \cdot \beta_{kb} = \sigma_b \cdot \beta_{kb} = 38,2 \frac{N}{mm^2} \cdot 2,31 = 88,2 \frac{N}{mm^2} $

Der Wert für $\beta_{kb} $ ergibt sich dabei nach Bollenrath-Troost gemäß:

$\frac{\beta_{kb}}{\alpha_{kb}} = 0,77 \, \, \, \, \, \Longrightarrow \, \, \, \, \, \beta_{kb} = 0,77 \cdot \alpha_{kb} = 2,31 $

Vergleichsspannung

Da nun alle notwendigen Werte vorliegen, können wir jetzt die Vergleichsspannung berechnen:

Methode

Hier klicken zum AusklappenVergleichsspannung: $\sigma_v = statischer \, Anteil \, \pm \, dynamischer \, Anteil = \sigma_{vm} \pm \sigma_{va} = 110,4 \frac{N}{mm^2} \pm 88,2 \frac{N}{mm^2} $


Im letzten Schritt sollen noch der Werkstoffgrenzwert und die Ausnutzung bestimmt werden. 

3a. Werkstoffgrenzwert

Hierzu nutzt man das Smith-Diagramm für $EC \, 80$, $ 16MnCr5 $. Die Werte für die Berechnung wurden dem Diagramm entnommen.

Smith-Diagramm für Einsatzstahl EC 80
Smith-Diagramm für Einsatzstahl EC 80

In dem Diagramm sind 3 Kurven eingezeichnet. Die Kurve mit der Farbe Blau beschreibt die Biegedauerfestigkeit $\sigma_{bD}$. Die zweite Kurve mit der Farbe Rot bezieht sich auf Zug- und Druckdauerfestigkeit $\sigma_{zdD}$. Die dritte Kurve steht für die Torsionsdauerfestigkeit $\tau_{tD} $.

Der Werkstoffgrenzwert für Zug und Druck beträgt $\sigma_{zdD} = 600 \frac{N}{mm^2} $.

Merke

Hier klicken zum AusklappenBeachte bitte, dass der Werkstoffgrenzwert je nach Werkstückgröße/-durchmesser veränderlich ist. 

Wir wissen wir bereits, dass unsere Mittelspannung $ \sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2}$ beträgt. Daher fahren wir an der entsprechenden Stelle auf der X-Achse senkrecht nach oben bis unsere Linie (grün gestrichelt) die Linie der Zug- und Druckdauerfestigkeit schneidet. Hier liegt dann unser Punkt für die Mittelspannung von $\sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2} $ mit $\sigma_{0} = 460 \frac{N}{mm^2}$.

Mit unserer Vergleichsspannung von $\sigma_v = 110,4 \frac{N}{mm^2} \pm 88,2 \frac{N}{mm^2} $, der abgelesenen Grenzspannung $ \sigma_{0} = 460 \frac{N}{mm^2} $ und der erforderlichen Sicherheit von $ v_B = 1,8 $ ergibt sich:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\sigma_{Azul} =\frac{-110 + 460}{v_B} = 194 \frac{N}{mm^2} $

bei einer Mittelspannung von $\sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2} $

3b. Ausnutzung

Vergleicht man nun die Werte, so ergibt sich für die Ausnutzung:

Methode

Hier klicken zum AusklappenAusnutzung: $ A^* = \frac{dynamischer Anteil}{\sigma_{Azul}} = \frac{88,2 \frac{N}{mm^2}}{194 \frac{N}{mm^2}} = 0,45 \Rightarrow 45 \% $ (Angabe in Prozent)