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Maschinenelemente 1 - Beispiel zur Berücksichtigung der Kerbwirkung

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Maschinenelemente 1

Beispiel zur Berücksichtigung der Kerbwirkung

Im Maschinenbau treten in vielen Fällen Beanspruchungen mit gemischten Lastfällen unter dem Einfluss der Kerbwirkung auf, die beim Festigkeitsnachweis ausreichend berücksichtigt werden müssen. Für ein besseres Verständnis soll dies beispielhaft für eine Getriebewelle berechnet werden. 

Getriebewelle mit Kerbe
Getriebewelle mit Kerbe

In der obigen Abbildung ist eine Welle mit Kerbe dargestellt. Es liegen dabei 

  • eine Zugbelastung $ F_z = 1000 N $,
  • ein Biegemoment $ M_b = \pm 30 Nm $, 
  • und ein Torsionsmoment $ T = 100 Nm $,

vor. 

Zudem führen wir eine Sicherheit gegen Bruch $ V_B = 1,8 $ ein.

Die geometrischen Daten sind:

  • Restquerschnitt der Kerbe $ d = 20 mm $
  • Radius der Kerbe $ r = 2,0 mm $

Als Werkstoffangaben [hier $ EC 80 $, alt: $ 16MnCr5 $] liegen vor:

Werkstoffnummer: 1.7131

Zugfestigkeit $ R_m = 800 \frac{N}{mm^2} $

Streckgrenze $ R_{eH} = 650 \frac{N}{mm^2} $

Nachdem alle notwendigen Angaben vorliegen, können die Berechnungen starten:

1. Beanspruchungen berechnen

Zu Beginn werden wir die vorliegenden und die maximalen zulässigen Beanspruchungen berechnen.

Zugbeanspruchung:

Die allgemeine Gleichung ist $\sigma = \frac{F}{A} \rightarrow  $ Die Fläche ist $ A = \frac{\pi \cdot d^2}{4} $

$ \rightarrow $ Daraus folgt für die Zugbeanspruchung:

Merke

Zugbeanspruchung: $\sigma_{zn} = \frac{F \cdot 4}{\pi \cdot d^2} =  \frac{1000 N \cdot 4 }{\pi \cdot (20 mm)^2} = 3,18 \frac{N}{mm^2} $

Unter Berücksichtigung der dimensionslosen Kerbformzahl für Zug [aus Tabelle] $ \alpha_{kz} = 3,3 $ erhalten wir für die Maximalspannung:

Merke

Maximale zulässige Zugbeanspruchung: $\sigma_{zmax}= \alpha_{kz} \cdot \sigma_{zn} = 3,3 \cdot 3,18 \frac{N}{mm^2} = 10,5 \frac{N}{mm^2} $ 
Biegebeanspruchung:

Auch hier stellen wir zuerst die allgemeine Gleichung auf. Diese ist $\sigma = \frac{M_b}{W_b} $

$ \rightarrow $ Daraus folgt für die Biegebeanspruchung:

Merke

Biegebeanspruchung: $\sigma_{zb} = \frac{M_b \cdot 32}{\pi \cdot d^3} = \frac{30 Nm \cdot 32}{\pi \cdot (20 mm)^3} = 38,2 \frac{N}{mm^2} $

Unter Berücksichtigung der dimensionslosen Kerbformzahl für Biegung [aus Tabelle] $ \alpha_{kb} = 3,0 $ erhalten wir für die Maximalspannung:

Merke

Maximal zulässige Biegebeanspruchung: $\sigma_{bmax} = \alpha_{kb} \cdot \sigma_{zb} = 3,0 \cdot 38,2 \frac{N}{mm^2} = 114,6 \frac{N}{mm^2}$.
Torsionsbeanspruchung:

Als letzte Größe bestimmen wir die Spannung, die infolge der Torsion auftritt. Die allgemeine Gleichung ist $\tau_{tn} = \frac{T}{W_p}$.

$ \rightarrow $ Daraus folgt für die Torsionsbeanspruchung:

Merke

Torsionsbeanspruchung: $\tau_{tn} = \frac{T \cdot 16}{\pi \cdot d^3} = \frac{100 Nm \cdot 16}{\pi \cdot (20 mm)^3} = 63,7 \frac{N}{mm2} $

Unter Berücksichtigung der dimensionslosen Kerbformzahl für  Torsion [aus Tabelle] $ \alpha_{kt} = 2,0 $ erhalten wir für die Maximalspannung:

Merke

Maximal zulässige Torsionsbeanspruchung: $\tau_{tmax} = \alpha_{kt} \cdot \tau_{tn} = 2,0 \cdot 63,7 \frac{N}{mm^2} = 127,4 \frac{N}{mm^2} $.

Nachdem alle notwendigen Spannungen bekannt sind, ermitteln wir nun die Vergleichsspannung.

Mittelspannung und Ausschlagsspannung:

Für die Ermittlung der Vergleichsspannung müssen die Lastfälle genau unterschieden werden. Es gilt in unserem Beispiel:

Mittelspannungen:

$\sigma_{mz} = \sigma_{zmax}$,

$\sigma_{mb} = 0 $,

$\tau_{mt} = \tau_{tmax} $

Ausschlagsspannungen:

$\sigma_{az} = 0 $

$\sigma_{ab} = \sigma_{bmax} $

$\tau_{at} = 0 $ 

Da es sich hier um einen fließfähigen Werkstoff handelt, wird beim statischen Anteil die Kerbwirkung nicht berücksichtigt und es wird die Gestaltänderungsenergiehypothese angewendet. 

Sowohl $\alpha_{kz} $ als auch $\alpha_{kt} $ laufen gegen $1$ $\rightarrow $ ohne Kerbwirkung  

Merke

Mittelspannung $\sigma_{vm} = \sqrt{(\sigma_{zn} \cdot \alpha_{kz})^2 + 3 (\tau_{tn} \cdot \alpha_{kt})^2} = \sqrt{ (3,18 \cdot 1)^2 + 3 (63,7 \cdot 1)^2} = 110,4 \frac{N}{mm^2} $

Unter Annahme der gleichen Voraussetzungen erhalten wir für die Ausschlagsspannung

Merke

Ausschlagsspannung $\sigma_{va} = \sqrt{\sigma_b^2} \cdot \beta_{kb} = \sigma_b \cdot beta_{kb} = 38,2 \frac{N}{mm^2} \cdot 2,31 = 88,2 \frac{N}{mm^2} $

Den Wert für $\beta_{kb} $ ergibt sich dabei nach Bollenrath-Troost gemäß:

$\frac{\beta_{kb}}{\alpha_{kb}} = 0,77 \Longrightarrow \beta_{kb} = 0,77 \cdot \alpha_{kb} = 2,31 $. 

Vergleichsspannung:

Da nun alle notwendigen Werte vorliegen, können wir jetzt die Gleichung für die Vergleichsspannung aufstellen:

Merke

Vergleichsspannung: $\sigma_v $ = statischer Anteil $\pm $ dynamischer Anteil = $\sigma_{vm} \pm \sigma_{va} = 110,4 \frac{N}{mm^2} \pm 88,2 \frac{N}{mm^2} $

Im letzten Schritt sollen noch der Werkstoffgrenzwert und die Ausnutzung bestimmt werden. 

Werkstoffgrenzwert

Hierzu nutzt man das Smith-Diagramm für $EC 80$, $ 16MnCr5 $. [Werte hieraus entnommen]:

Smith-Diagramm für Einsatzstahl EC 80
Smith-Diagramm für Einsatzstahl EC 80

In dem Diagramm sind 3 Kurven eingezeichnet. Die Kurve mit der Farbe blau beschreibt Biegedauerfestigkeit ( $\sigma_{bD}$ ). Die Zweite Kurve mit der Farbe rot bezieht sich auf Zug- und Druckdauerfestigkeit ( $\sigma_{zdD}$). Die dritte Kurve steht für die Torsionsdauerfestigkeit ( $\tau_{tD} $).

Der Werkstoffgrenzwert für Zug und Druck beträgt $\sigma_{zdD} = 600 \frac{N}{mm^2} $.

Merke

Beachten Sie bitte, dass der Werkstoffgrenzwert je nach Werkstückgröße/-durchmesser veränderlich ist. 

Nun wissen wir ja bereits, dass unsere Mittelspannung $ \sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2}$ beträgt. Daher fahren wir an der entsprechenden Stelle auf Achse senkrecht nach oben bis unsere Linie [grün gestrichelt] die Linie der Zug- und Druckdauerfestigkeit schneidet. Hier liegt dann unser Punkt für eine Mittelspannung von $\sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2} $ mit $\sigma_{0} = 460 \frac{N}{mm^2}$

Mit unserer Vergleichsspannung von $\sigma_v = 110,4 \frac{N}{mm^2} \pm 88,2 \frac{N}{mm^2} $ , der abgelesenen Grenzspannung $ \sigma_{0} = 460 \frac{N}{mm^2}  $ und der erforderlichen Sicherheit von $ v_B = 1,8 $ ergibt sich:

$\sigma_{Azul} =\frac{-110 + 460}{ v_B } = 194 \frac{N}{mm^2} $ 

bei einer Mittelspannung von $\sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2} $

Ausnutzung:

Vergleicht man nun die Werte so ergibt sich für die Ausnutzung:

Merke

Ausnutzung: $ A^* = \frac{Dynamischer Anteil}{\sigma_{Azul}} = \frac{88,2}{194} = 0,45 \Rightarrow 45 $ %  [Angabe in Prozent].