ZU DEN KURSEN!

Thermodynamik - Energieerhaltungssatz, Systemenergie

Kursangebot | Thermodynamik | Energieerhaltungssatz, Systemenergie

Thermodynamik

Energieerhaltungssatz, Systemenergie

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik spiegelt den Energieerhaltungssatz wider und wird ergänzt durch die Entdeckung von Robert Mayers, dass es sich bei Wärme um eine Energieform handelt.

Energieerhaltungssatz 

Dieser Grundsatz der Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie (Systemenergie) eines abgeschlossenen (isolierten) Systems immer gleich ist, sich also mit der Zeit nicht ändert. Es ist zwar möglich die Energie in verschiedene Energieformen umzuwandeln (z.B. Bewegungsenergie in Wärmeenergie), es ist allerdings nicht möglich innerhalb eines abgeschlossenen Systems Energie zu erzeugen oder vernichten. Ein abgeschlossenes System steht in keiner Wechselwirkung mit der Umgebung oder anderen Systemen, d.h. es weist keinen Energie-, Informations- oder Stoffaustausch auf.

Systemenergie

Es soll im weiteren die Systemenergie $E$ innerhalb eines thermodynamischen Systems betrachtet werden. Ist das System abgeschlossen und wird nicht von außen beeinflusst, so bleibt die Systemenergie immer gleich (siehe Energieerhaltungssatz). Die Systemenergie ist eine extensive Zustandsgröße, welche sich aus den bekannten Energieformen kinetische Energie $E_{kin}$ und potentielle Energie $E_{pot}$ sowie der inneren Energie $U$ zusammensetzt und im System gespeichert ist:

Methode

$E = E_{kin} + E_{pot} + U $                               Systemenergie

Diese Systemenergie ist in einem abgeschlossenen System konstant, $E = const$.


Betrachten wir nun den Übergang von einem Zustand 1 zu einem Zustand 2 so ergibt sich:

Methode

$\triangle E = \triangle E_{kin} + \triangle E_{pot} + \triangle U = 0$            Energieerhaltungssatz

Die obige Formel beschreibt die Änderung der einzelnen Energien eines abgeschlossenen Systems von Zustand 1 zu Zustand 2. Dabei bleibt die Systemenergie konstant, d.h. die Änderung der Systemenergie $\triangle E = E_2 - E_1$ vom Zustand 1 zum Zustand 2 ist gleich Null. Nehmen wir an die innere Energie bleibt konsant. So muss z.B. die Abnahme der kinetischen Energie gleich der Erhöhung der potentiellen Energie entsprechen, damit der Energieerhaltungssatz erfüllt wird. 

Im Folgenden werden die kinetische und die potentielle Energie näher erläutert. Die innere Energie wird im nächsten Abschnitt näher beschrieben.

Energie wird in der Einheit Joule angegeben:

Merke

$[J] = [N \cdot m] = [\frac{kg \cdot m^2}{s^2}]$               Einheit Energie

Potentielle Energie

Die potentielle Energie ist die Energie, welche aufgebracht werden muss um ein Objekt in eine gewisse Höhe zu bringen bzw. die ein Objekt durch seine Höhenlange besitzt. Die Formel für die potentielle Energie ergibt sich durch:

Methode

$E_{pot} = m \cdot g \cdot h$

mit

$m = \text{Masse des betrachteten Objekts} \; [kg]$

$g = \text{Erdbeschleunigung mit} \; [9,81 m/s^2]$

$h = \text{Höhe, um die das Objekt angehoben wird} \; [m]$.

Man sagt: Ist der Körper um die Höhe $h$ hochgehoben worden, so wurde die Arbeit $W = mgh$ verrichtet und der Körper besitzt demzufolge die Energie $E_{pot} = mgh$.

Beispiel

Man hebt eine Vase einen Meter nach oben um diese auf die Fensterbank zu stellen. Wieviel Arbeit muss dafür aufgewendet werden?

Beispiel

Fällt ein Stein aus 10 Meter Höhe auf den Boden, dann hat er die doppelte Arbeitsfähigkeit, wie bei einem Stein welcher aus 5 Metern Höhe auf den Boden fällt. 

Die potentielle Energie kann in einem abgeschlossenen System bei Zustandsänderungen zu- oder auch abnehmen (z.B. bei Höhenänderungen), jedoch geht diese potentielle Energie wegen des Energieerhaltungssatzes in eine andere Energieform über (z.B. kinetische Energie).

Kinetische Energie

Die kinetische Energie (auch: Bewegungsenergie) ist die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung enthält. Die kinetische Energie eines sich bewegenden Körpers hängt von seiner Masse $m$ bzw. seiner Geschwindigkeit $v$ ab. Sie wird berechnet durch:

Methode

$E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot v^2$

mit

$m = \text{Masse des betrachteten Objekts} [kg]$

$v = \text{Geschwindigkeit des betrachteten Objekts} [m/s]$

Die Beschleunigungsarbeit die notwendig ist um einen Körper eine gewisse Geschwindigkeit $v$ zu verleihen, entspricht genau der kinetischen Energie. Es ist hierbei zu beachten, dass man sich immer auf ein bestimmtes Bezugsobjekt bezieht. 

Beispiel

Nimmt man sich als Bezugsobjekt den fahrenden Bus. So besitzen die Fahrgäste gegenüber dem Bus keine kinetische Energie, weil ihre Geschwindigkeit gegenüber dem Bus gleich null ist. Gegenüber der Straße auf welcher der Bus fährt, ist die kinetische Energie größer null, denn der Bus und die Fahrgäste bewegen sich bezüglich der Straße mit einer bestimmten Geschwindigkeit.

Zusammenhang zwischen potentieller und kinetischer Energie

Die potentielle Energie wird auch Lageenergie genannt. Sie ist umso höher, je weiter der Gegenstand vom Erdmittelpunkt entfernt ist (bzw. von einem bestimmten Ausgangspunkt aus gesehen). Die kinetische Energie hingegen ist die Bewegungsenergie. Um den Zusammenhang zwischen den beiden Energieformen deutlich zu machen, wird ein Beispiel betrachtet:

Angenommen man hält einen Tennisball in seiner Hand. Die Hand stellt das Bezugssystem dar mit der Höhe null. Wirft man diesen Ball los, so besitzt dieser zunächst kinetische Energie aufgrund des Wurfes und der damit verbundenen Geschwindigkeit. Je höher der Ball fliegt, desto mehr potentielle Energie besitzt der Ball und desto mehr kinetische Energie verliert er (der Ball wird langsamer). Das bedeutet also eine Umwandlung von kinetische in potentielle Energie. Ist der Ball an seinem höchsten Punkt angekommen besitzt er nur noch potentielle Energie und keine kinetische Energie mehr (der Ball steht kurz in der Luft bevor er wieder fällt). An diesem höchsten Punkt ist die potentielle Energie gleich der kinetischen Energie die der Ball direkt nach dem Wurf hatte. Fällt der Ball nun wieder nach unten, so nimmt die potentielle Energie ab und die kinetische Energie nimmt wieder zu, bis der Ball wieder in der Hand landet. Hier sind potentielle und kinetische Energie wieder gleich Null.

Anwendungsbeispiel: Potentielle und kinetische Energie

Beispiel

Ein 12 kg schwerer Koffer fällt aus einem Flugzeug. Das Flugzeug befindet sich zu dieser Zeit 12km über dem Boden. Wie hoch ist die Geschwindigkeit mit welcher der Koffer auf dem Boden aufschlägt (bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes)?

Zunächst ist die potentielle Energie des Koffers zu bestimmen. Dieser wiegt 12 kg und befindet sich 12 km über dem Boden. Die potentielle Energie ergibt sich durch:

$K_{pot} = mgh = 12 kg \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 12.000 m = 1.412.640 \frac{kg m^2}{s^2} = 1.412.640 J$.

Man kann nun aus der Formel für die kinetische Energie die Geschwindigkeit bestimmen. Die potentielle Energie ist am höchsten betrachteten Punkt gleich der kinetischen Energie kurz vor dem Aufprall des Koffers. Die Formel für die kinetische Energie wird also nach $v$ umgestellt um die Geschwindigkeit zu bestimmen:

$E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot v^2$                               |nach $v$ umstellen

$v = \sqrt{\frac{E_{kin} \cdot 2}{m}}$

$v = \sqrt{\frac{1.412.640 Nm \cdot 2}{12 kg}} = 485 m/s$.

Die Fallgeschwindigkeit beträgt (bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes) $485 m/s$.