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Thermodynamik

Dissipationsarbeit

In den vorherigen Abschnitten wurde angenommen, dass bei der Volumenänderungsarbeit keine Reibung auftritt und die Arbeit somit reversibel ist. Es ist aber tatsächlich so, dass bei der Volumenänderungsarbeit auch ein Teil anfallen kann, welcher irreversibel ist. Dies geschieht beispielsweise durch Reibungsspannungen, welche auftreten, wenn z.B. bei einem Zylinder der Kolben gegen die Zylinderwand reibt. Reibungsarbeit ist nur ein Teil der irreversiblen Arbeit, welche auch als dissipationsarbeit $W_{diss}$ bezeichnet wird.  Da die Dissipationsarbeit dem geschlossenen System nur zugeführt werden kann, ist diese positiv

$W_{diss} \ge 0$.

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Dissipationsarbeit ist diejenige Arbeit, welche einem System zugeführt, aber nicht abgeführt werden kann. 

Die gesamte an einem geschlossenen thermodynamischen System verrichtete Arbeit $W_g$ setzt sich also aus der Volumenänderungsarbeit $W_V$ und der Dissipationsarbeit $W_{diss}$ zusammen:

Methode

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$W_g = W_V + W_{diss}$      Arbeit eines geschlossenen Systems

In diesem Abschnitt soll die Dissipationsarbeit anhand einer Welle näher beschrieben werden.

Wellenarbeit

Hierzu stelle man sich ein geschlossenes thermodynamisches System vor, in das eine Welle hineinragt. Die Welle kann u.a. die Form eines Ventilatorrads, eines Rührers oder eines Rotors aufweisen. Durch das Drehen der Welle kann dem geschlossenen System Energie als Arbeit zugeführt werden, aber nicht abgeführt werden. Das geschlossene System nimmt die Wellenarbeit als innere Energie über die Arbeit der Reibungsspannungen auf. Man bezeichnet diesen im inneren des Systems ablaufenden irreversiblen Prozess als Dissipation von Wellenarbeit. 

Merke

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Ein offenes System hingegen, welches von einem Fluid durchströmt wird, kann Wellenarbeit aufnehmen aber auch abgeben und ist demnach reversibel (Verdichter, Turbinen).

Beispiel: Volumenänderungsarbeit und Wellenarbeit

Dissipationsarbeit Beispiel Zylinder
Beispiel: Zylinder

Beispiel

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In einem adiabaten Zylinder dessen Volumen $V = 300 l$ beträgt, ist ein Gas enthalten dessen Druck durch den konstant belasteten Kolben auf $p = 120 kPa$ gehalten wird. Mittels Wellenarbeit wird dem Gas $W_{diss} = 0,1 kWh$ zugeführt. Die Temperatur erhöht sich aufgrund der zugeführten Wellenarbeit von $t_1 = 20 °C$ auf $t_2 = 250 °C$. Das Gas soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden.

Wie groß ist die Volumenänderungsarbeit?

Wie groß ist die Änderung der inneren Energie?

Berechnung der Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit hat die Formel:

$W_V = -\int_1^2 p(s) dV$

Da der Druck konstant gehalten wird, fällt das Integral weg und es gilt:

$W_V = -p \triangle V = -p (V_2 - V_1)$

Berechnung von $V_2$:

Da es sich um ein ideales Gas handelt, kann die thermische Zustandsgleichung verwendet werden und hier vor allem das Gesetz von Gay-Lussac (Kapitel: Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes):

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$

$V_2 = \frac{T_2}{T_1} \cdot V_1$


Einsetzen der Werte (Umrechnung °C in Kelvin):

$V_2 =  \frac{523,15 K}{293,15} \cdot 300 l = 535,37 l$.

Nun kann die Volumenänderungsarbeit berechnet werden. Wichtig ist immer sinnvolle Einheiten zu wählen. Für Liter wird hier Kubikmeter angegeben ($1 l = 0,001 m^3$), damit am Ende die Einheit Joule $J$ resultiert:

$W_V = -p (V_2 - V_1) = - 120.000 Pa \cdot (0,53537 - 0,3) m^3$

$W_V = - 120.000 \frac{kg}{m \cdot s^2} \cdot (0,53537 - 0,3) m^3$

$W_V = -28.244,4 \frac{kg \cdot m^2}{s^2} = -28.244,4 J$ 

Die Volumenänderungsarbeit ist negativ, weil diese abgeführt wird. Aufgrund der Erwärmung des Gases dehnt sich dieses aus, der Kolben wird zurückgedrängt und das Volumen vergrößert sich, wobei der Druck konstant gehalten wird.

Berechnung der Änderung der inneren Energie

Die Änderung der inneren Energie lässt sich folgendermaßen berechnen:

$\triangle U = Q + W$

Da es sich hier nur um Arbeit $W$ handelt, die dem System zugeführt oder abgeführt wird (adiabates System, d.h. $Q = 0$)) wird die Gleichung angepasst mit:

$\triangle U = W$.

Hierbei muss nun die gesamte Arbeit, die dem System abgeführt bzw. zugeführt wurde berücksichtigt werden. 

$W_g = W_V + W_{diss}$

Die gesamte Arbeit $W_g$ setzt sich aus der zugeführten Arbeit in Form der Wellenarbeit und der abgeführten Arbeit in Form der Volumenänderungsarbeit zusammen (Umrechnung kWh in Joule mit $1 kwh = 3,6 \cdot 10^6 J$)

$\triangle U = W_V + W_{diss} = -28.244,4 + 3,6 \cdot 10^6 \cdot 0,1 J = 331.755,6 J$


Die dem adiabaten Zylinder zugeführte (da positiv) innere Energie beträgt 331,76 kJ.