ZU DEN KURSEN!

Thermodynamik - Nutzarbeit / Verschiebearbeit

Kursangebot | Thermodynamik | Nutzarbeit / Verschiebearbeit

Thermodynamik

Nutzarbeit / Verschiebearbeit

Inhaltsverzeichnis

Die Nutzarbeit $W_N$ ist der Volumenänderungsarbeit $W_V$ sehr ähnlich, denn auch hier geht es um Arbeit, die zur Änderung des Volumens eines Systems aufgewendet werden muss bzw. die man vom System erhält. Bei der Nutzarbeit wird aber zusätzlich der Umgebungsdruck berücksichtigt.

Wir betrachten hierzu wieder unsere Luftpumpe:

Nutzarbeit
Luftpumpe

Die Luftpumpe wird mit der Kraft $F$ über den Weg $s$ zusammengedrückt. Der Luft im Inneren wird Arbeit zugeführt: Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ und die Verschiebearbeit $W_U$. Die Verschiebearbeit ist diejenige Arbeit die aufgrund des Umgebungsdrucks resultiert und wird bestimmt zu:

Methode

$W_U = \int_1^2 p_b  \; \triangle V$


Die Nutzarbeit ist dann die Differenz aus Volumenänderungsarbeit $W_V$ und Verschiebearbeit $W_U$:

Methode

$W_N = W_V - W_U$

mit

$W_V = -\int_{V_1}^{V_2} p \; dV$   Volumenänderungsarbeit

$W_U = -\int_{V_1}^{V_2} p_b \; dV$  Verschiebearbeit

Nutzarbeit
Berücksichtigung des Umgebungsdrucks

Die Nutzarbeit wird berechnet indem die Verschiebearbeit $W_U$ von der Volumenänderungsarbeit $W_V$ abgezogen wird. Wenn der Umgebungsdruck $p_b$ nicht vorhanden ist (bzw. nicht berücksichtigt werden soll), dann ist die Volumenänderungsarbeit $W_V$ gleich der Nutzarbeit $W_N$, weil $W_U = 0$ wird. Das ist dann die Arbeit, die von den Druckkräften $p$ des eingeschlossenen Gases an die Kolbenstange abgegeben wird und dazu führt, dass sich der Kolben nach links verschiebt. Existiert nun aber ein Umgebungsdruck $p_b$, so muss zusätzlich die Verschiebarbeit $W_U$ aufgewendet werden, um den Kolben gegen den vorhandenen Umgebungsdruck $p_b$ zu verschieben (Expansion).

Bei der Expansion reduziert sich die abgegebene Volumenänderungsarbeit (-) aufgrund der vom Gas zusätzlich aufzubringenden Verschiebearbeit (-). Das bedeutet, dass die abgegebene Nutzarbeit (-) geringer ausfällt oder sogar noch Arbeit zugeführt werden muss (+), damit der Kolben überhaupt verschoben werden kann. Dies soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden:

Beispiel

Das Gas innerhalb eines Zylinders wird erhitzt. Dies führt zur Ausdehnung und zur Verschiebung des Kolbens. Die abgegebene Volumenänderungsarbeit betrage -10.000 kJ. Es exsitiert zusätzlich ein Umgebungsdruck $p_b$ der dem Gas entgegenwirkt. Um den Kolben gegen den Umgebungsdruck zu verschieben werden zusätzlich von dem Gas noch

(a) -5.000 kJ

(b) -15.000 kJ

benötigt. Wie groß fällt die Nutzarbeit aus?

(a) $W_N = -10.000 kJ - (-5.000 kJ) = -5.000 kJ$. Es verbleiben statt -10.000 kJ am Ende nur noch -5.000 kJ, weil noch zusätzlich gegen den Umgebungsdruck verschoben werden muss. Es bleiben also am Ende als Nutzarbeit $-5.000 kJ$ übrig, welche vom Gas abgegeben werden. Diese vom Gas abgegebenen -5.000 kJ können dann verwendet werden um z.B. andere Maschinen zu betreiben. Ohne Umgebungsdruck wäre die Nutzarbeit allerdings höher ausgefallen.

(b) $W_N = -10.000 kJ - (-15.000 kJ) = +5.000 kJ$. Es müssen dem Gas noch zusätzlich $5.000 kJ$ zugeführt werden, damit der Kolben gegen den Umgebungsdruck verschoben werden kann. In diesem Fall bleibt also keine Nutzarbeit übrig, die für andere Maschinen genutzt werden kann, sondern es muss dem Gas sogar noch zusätzlich Arbeit in Höhe von 5.000 kJ zugeführt werden, damit sich der Kolben überhaupt verschiebt. Die Volumenänderungsarbeit alleine reicht also nicht aus.

Bei der Kompression reduziert sich die dem Gas zuzuführende Volumenänderungsarbeit (+) aufgrund der vom Umgebungsdruck zugeführten Verschiebearbeit (+). Der Umbgebungsdruck "hilft" also den Kolben nach rechts zu verschieben. Es muss also weniger Arbeit aufgewendet werden um den Kolben zu verschieben. Das bedeutet, dass die zuzuführende Nutzarbeit (+) geringer ausfällt oder sogar noch Arbeit abgeführt werden kann (-), wenn die Verschiebearbeit hinreichend groß ist. Dies soll anhand eines einfachen Beispiels gezeigt werden:

Beispiel

Das Gas innerhalb eines Zylinders soll komprimiert werden. Um das zu erreichen wird der Kolben zusammengedrückt. Die zuzuführende Volumenänderungsarbeit betrage +20.000 kJ. Es exsitiert zusätzlich ein Umgebungsdruck $p_b$ der hilft den Kolben zusammenzudrücken. Die Verschiebearbeit betrage

(a) +10.000 kJ

(b) +25.000 kJ

Wie groß fällt die Nutzarbeit aus?

(a) $W_N = 20.000 kJ - 10.000 kJ = +10.000 kJ$. Es müssen dem Gas also statt 20.000 kJ nur 10.000 kJ an Arbeit zugeführt werden, weil der Umgebungsdruck den restlichen Teil beisteuert. Ohne den Umgebungsdruck würde die Nutzarbeit also höher ausfallen.

(b) $W_N = 20.000 kJ - 25.000 kJ = -5.000 kJ$. Der Umgebunsdruck steuert einen so großen Teil bei, dass am Ende sogar noch -5.000 kJ übrig bleiben. Das bedeutet also, dass die Verschiebearbeit die gesamte Volumenänderungsarbeit übernehmen kann und am Ende noch -5.000 kJ verbleiben, welche dann für andere Prozesse genutzt werden können. 

Merke

Die Verschiebearbeit kann nicht für den technischen Prozess genutzt werden, da diese dazu benötigt wird um den Umgebungsdruck zu verdrängen. Die Nutzarbeit rechnet diese Verschiebearbeit heraus. Deswegen wird die Nutzarbeit auch als nützliche Arbeit bezeichnet, da sie für technische Prozesse verwendet werden kann.

Berechnung der Nutzarbeit

Die Nutzarbeit ergibt sich nach einsetzen der Formeln zu:

Methode

$W_N = -\int_1^2 p \; dV - (-\int_1^2 p_b \; dV) = \int_1^2 (p_b - p) dV$


Aus vorherigen Abschnitten wissen wir, dass die Luft innerhalb des Systems sich zusammensetzt aus dem Umgebungsdruck $p_b$ und dem Überdruck $p_d$ bzw. Unterdruck $-p_d$:

Methode

(1) $p = p_b + p_d$           (Überdruck) Druck im Inneren ist größer als der Umgebungsdruck

(2) $p = p_b - p_d$            (Unterdruck) Druck im Inneren ist kleiner als der Umgebungsdruck

Wir stellen die Gleichung (1) um:

$p_b - p = -p_d$

Und setzen ein:

Methode

$W_N =  -\int_1^2 p_d \;  dV$

Wir können die Nutzarbeit also über die Druckdifferenz $p_d = p_b -p$ bestimmen.

Beispiel

Beispiel:

In einem Zylinder ist ein ideales Gas gegeben, den konstanten Druck $p = 125.000 Pa$ aufweist. Der Umgebungsdruck beträgt $p_b = 100.000 Pa$. Der Kolben expandiert, das Volumen vergrößert sich um $\triangle V = 0,5 m^3$ und der Druck im Inneren soll als konstant angesehen werden. Wie groß ist die Nutzarbeit?

$W_N = -\int p_d dV = -(p_b - p) \triangle V = -(100.000 - 125.000) \cdot 0,5m^3 = 12.500 J$.

Die Nutzarbeit $W_N$ ist positiv, wird dem System aufgrund der Expansion also abgeführt.


Wir können den Differenzdruck $p_d$ auch über die äußere Arbeit bestimmen. Die Kraft $F$ verschiebt die Luftpumpe entlang des Weges $s$:

Methode

$W_N = \int F \cdot s$

mit

$F = p_d \cdot A$

Merke

Die Volumenänderungsarbeit führt zu einer Änderung der inneren Energie!

Anwendungsbeispiel: Nutzarbeit / Verschiebearbeit

Beispiel

Ein Zylinder mit dem Volumen $V_1 = 300l $ enthält Luft, deren Druck $p_1 = 100 kPa$ mit dem Umgebungsdruck $p_b$ übereinstimmt. Die Luft wird erhitzt. Durch die Erhitzung der Luft vergrößert sich das Volumen auf $V_2 = 500l$. Der reibungsfreie bewegliche Kolben (keine Dissipationsarbeit) wird durch die Volumenvergrößerung verschoben. Die Zustandsänderung der Luft sei quasistatisch und näherungsweise als ideales Gas angenommen. Es handelt sich hierbei um eine isotherme Zustandsänderung.

Wie hoch ist der Druck $p_2$?

Wie groß ist die abgeführte Volumenänderungsarbeit?

Wie groß ist die an die Umgebung abgegebene Verschiebearbeit?

Wie groß ist die Nutzarbeit?

Grafische Darstellung der Ergebnisse!

Berechnung des Drucks

Die Luft wird als ideales Gas angenommen, was bedeutet, dass die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases verwendet werden kann:

$pV = R_i \; m \; T$

Da es sich hier um eine isotherme Zustandsänderung handelt, gilt das Gesetz von Boyle und Mariotte mit $T = const$:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$

Es kann also mittels des Gesetzes von Boyle und Mariotte der Enddruck $p_2$ berechnet werden:

$p_2 = \frac{V_1}{V_2} \cdot p_1$

$p_2 =  \frac{300 l}{500 l} \cdot 100 kPa = 60 kPa$.

Berechnung der Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit wird berechnet mit:

$W_V = -\int_1^2 p \; dV$

Man kann nun hier nicht den Enddruck einsetzen, sonder muss den Druck über die gesamte Zustandsänderung integrieren. Hierzu muss ein formelmäßiger Zusammenhang zwischen Druck $p$ und Volumen $V$ gegeben sein. Da es sich um ein ideales Gas handelt ist der formelmäßige Zusammenhang das Gesetz von Boyle und Mariotte aufgelöst nach $p_2 = p$:

$p = \frac{V_1}{V} \cdot p_1$.


Die Werte für $V_1$ und $p_1$ können eingesetzt werden:

$p = \frac{300 l}{V} \cdot 100 kPa$.

Das Ganze kann nun in die Formel für die Volumenänderungsarbeit eingesetzt werden:

$W_V = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{300 l}{V} \cdot 100 kPa \; dV$

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, müssen die Einheiten noch sinnvoll umgerechnet werden. Zu berechnen ist die Volumenänderungsarbeit, welche in Joule $J$ angegeben wird. 

$1 J = 1 \frac{kg \; m^2}{s^2}$.

Mit diesem Wissen kann man Liter in Meter Kubik und Kilo Pascal in Pascal umrechnen, um am Ende Joule zu erhalten:

$1 l = 0,001 m^3$

$1 kPa = 1.000 Pa$.

$W_V = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{0,3 m^3}{V} \cdot 100.000 Pa \; dV$

$W_V = -[0,3 m^3 \cdot ln(V) \cdot 100.000 Pa]_{V_1}^{V_2}$

$W_V = -[0,3 m^3 \cdot ln(V_2) \cdot 100.000 Pa - 0,3 m^3 \cdot ln(V_1) \cdot 100.000 Pa ]$

$W_V = -0,3 m^3 \cdot ln(V_2) \cdot 100.000 Pa + 0,3 m^3 \cdot ln(V_1) \cdot 100.000 Pa $

$W_V = 0,3 m^3 \cdot 100.000 Pa \cdot (-ln(V_2) + ln(V_1)) $

$W_V = 0,3 m^3 \cdot 100.000 Pa \cdot (ln(V_1) - ln(V_2)) $

$W_V = 0,3 m^3 \cdot 100.000 Pa \cdot (ln (\frac{V_1}{V_2})) $

$W_V = 0,3 m^3 \cdot 100.000 Pa \cdot (ln (\frac{0,3 m^3}{0,5 m^3})) $ = -15.324,77 J$ 

Die Volumenänderungsarbeit stellt die gesamte vom Gas abgegebene Arbeit dar um den Kolben zu verschieben. Die Arbeit ist negativ und wird dem Gas demnach abgeführt. Aufgrund der Erhitzung des Gases denht sich dieses aus und verschiebt so den Kolben. Die Volumenänderungsarbeit ist Teil der inneren Energie.

Berechnung der Verschiebearbeit

Die Formel für die Verschiebearbeit (bei konstantem Umgebungsdruck $p_b$) ist:

$W_u = -p_b (V_2 - V_1)$ 

Einsetzen der Werte ergibt:

$W_u = -100.000 Pa (0,5 m^3 - 0,3 m^3) = -20.000 J$.

Das bedeutet 20.000 Joule müssen aufgewendet werden um den Kolben gegen den Umgebungsdruck zu verschieben. Ein positives Vorzeichen würde bedeuten, dass die Umgebung diesen Teil zur Verschiebung des Kolbens beisteuert. Diese Verschiebearbeit muss von der Volumenänderungsarbeit abgezogen werden, damit die Nutzarbeit berechnet werden kann.

Berechnung der Nutzarbeit

Die Nutzarbeit setzt sich aus den beiden oben berechneten Arbeiten zusammen:

$W_n = W_V - W_u = -15.324,77 + 20.000 J = 4.675,23 J$.

Die Nutzarbeit ist positiv. Das bedeutet, diese Arbeit muss dem Gas zugeführt werden. Die Verschiebearbeit, welche benötigt wird um den Kolben gegen den Umgebungsdruck zu verschieben, fällt größer aus als die vom Gas abgegebene Volumenänderungsarbeit. Das führt dazu, dass dem Gas sogar noch Arbeit zugeführt werden muss, damit sich der Kolben überhaupt verschiebt. Ohne Umgebungsdruck hätte das Gas -15.324,77 kJ abgegeben, welche dann für andere Prozesse hätten genutzt werden können. Die Verschiebearbeit ist nun aber so groß, dass die Volumenänderungsarbeit, welche vom Gas abgegeben wird, nicht ausreichend ist, um den Kolben zu verschieben. Das bedeutet, dass dem Gas noch zusätzlich Arbeit zugeführt werden muss (aufzubringende Nutzarbeit), damit sich der Kolben überhaupt verschiebt.

Grafische Darstellung der Ergebnisse

Zunächst die Volumenänderungsarbeit $W_V$:

Volumenänderungsarbeit
Volumenänderungsarbeit

Das Volumen ist im Zustand 2 größer und der Druck geringer als im Zustand 1. Die Volumenänderungsarbeit ist in diesem Beispiel negativ. Das bedeutet es wurde Arbeit vom Gas (Luft) abgeführt. 

Als nächstes wird die Verschiebearbeit $W_u$ betrachtet:

Verschiebearbeit
Verschiebearbeit

Die Verschiebarbeit hat die Formel $-p_b(V_2 - V_1)$. Da der Ungebungsdurck $p_b$ gleich dem Druck der Luft im Zylinder im Zustand 1 entspricht, treffen sich Verschiebearbeit und Volumenänderungsarbeit im Punkt 1 (siehe folgende Grafik). Die Verschiebearbeit ist ebenfalls negativ was bedeutet, dass diese dem System ebenfalls abgeführt wird. Diese Arbeit kann aber nicht genutzt werden, weshalb sie von der Volumenänderungsarbeit abgezogen werden muss.

Um nun die Nutzarbeit zu bestimmen muss die Verschiebearbeit von der Volumenänderungsarbeit abgezogen werden (Formel: $W_n = W_V - W_u$). 

Nutzarbeit
Nutzarbeit

Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ ist die Fläche unter der Kurve, die Verschiebearbeit $W_u$ ist das gesamte Rechteck ($p_b \cdot (V_2 - V_1)$). Die Differenz ist demnach die Nutzarbeit $W_n$. Wie auch in der Aufgabe zu sehen war, ist der Betrag der Volumenänderungsarbeit kleiner ($W_V =  |15.324,77 J|$) als der Betrag der Verschiebearbeit $W_u = |20.000 J|$). Das bedeutet es bleibt eine positive Differenz in Form der Nutzarbeit $W_n = 4.675,23 J$, welche aufzubringen ist, damit sich der Kolben überhaupt verschiebt. 

Grafisch wurde in diesem Beispiel eine Expansion gezeigt. Würde man in diesem Beispiel die Volumina tauschen, handelt es sich um eine Kompression (Volumen wird weniger, Druck erhöht sich). Die Zustände 1 und 2 müssten dann genau anders herum eingezeichnet werden. Die Nutzarbeit würde sich dann unter der Kurve befinden und wäre negativ. In diesem Fall wäre dann die Verschiebearbeit betragsmäßig wieder größer als die Volumenänderungsarbeit und es würde eine negative Nutzarbeit resultieren. Das bedeutet also, dass die Verschiebearbeit den Teil der Volumenänderungsarbeit übernimmt und sogar noch ein Teil verbleibt, welcher dann für andere Prozesse genutzt werden kann.