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Thermodynamik

Nutzarbeit / Verschiebearbeit

Die Nutzarbeit $W_N$ ist der Volumenänderungsarbeit $W_V$ sehr ähnlich, denn auch hier geht es um Arbeit, die zur Änderung des Volumens eines Systems aufgewendet werden muss bzw. die man vom System erhält. Bei der Nutzarbeit wird aber zusätzlich der Umgebungsdruck berücksichtigt.

Wir betrachten hierzu wieder unsere Luftpumpe:

Nutzarbeit
Luftpumpe

Die Luftpumpe wird mit der Kraft $F$ über den Weg $s$ zusammengedrückt. Der Luft im Inneren wird Arbeit zugeführt: Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ und die Verschiebearbeit $W_U$. Die Verschiebearbeit ist diejenige Arbeit die aufgrund des Umgebungsdrucks $p_b$ resultiert und wird bestimmt zu:

Methode

$W_U = \int_1^2 p_b  \; dV$     


Die Nutzarbeit ist dann die Differenz aus Volumenänderungsarbeit $W_V$ und Verschiebearbeit $W_U$:

Methode

$W_N = W_V - W_U$

mit

$W_V = -\int_{V_1}^{V_2} p \; dV$   Volumenänderungsarbeit

$W_U = -\int_{V_1}^{V_2} p_b \; dV$  Verschiebearbeit

Nutzarbeit
Berücksichtigung des Umgebungsdrucks

Die Nutzarbeit wird berechnet indem die Verschiebearbeit $W_U$ von der Volumenänderungsarbeit $W_V$ abgezogen wird. 

Wenn der Umgebungsdruck $p_b$ nicht vorhanden ist (bzw. nicht berücksichtigt werden soll), dann ist die Volumenänderungsarbeit $W_V$ gleich der Nutzarbeit $W_N$, weil $W_U = 0$ wird. Das ist dann die Arbeit, die von den Druckkräften $p$ des eingeschlossenen Gases an die Kolbenstange abgegeben wird und dazu führt, dass sich der Kolben nach links verschiebt.

Existiert nun aber ein Umgebungsdruck $p_b$, so muss zusätzlich die Verschiebarbeit $W_U$ aufgewendet werden, um den Kolben gegen den vorhandenen Umgebungsdruck $p_b$ zu verschieben (Expansion).

Bei der Expansion reduziert sich die abgegebene Volumenänderungsarbeit (-) aufgrund der vom Gas zusätzlich aufzubringenden Verschiebearbeit (-). Das bedeutet, dass die abgegebene Nutzarbeit (-) geringer ausfällt oder sogar noch Arbeit zugeführt werden muss (+), damit der Kolben überhaupt verschoben werden kann. Dies soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden:

Beispiel

Das Gas innerhalb eines Zylinders wird erhitzt. Dies führt zur Ausdehnung des Gases und damit zur Verschiebung des Kolbens (Expansion). Die abgegebene Volumenänderungsarbeit betrage -10.000 kJ. Es exsitiert zusätzlich ein Umgebungsdruck $p_b$ der dem Gas entgegenwirkt. Es muss also noch gegen den Umgebungsdruck verschoben werden. Die Verschiebearbeit sei gegeben zu:

(a) -5.000 kJ

(b) -15.000 kJ

Wie groß fällt die Nutzarbeit aus?

(a) $W_N = -10.000 kJ - (-5.000 kJ) = -5.000 kJ$. Es verbleiben statt -10.000 kJ am Ende nur noch -5.000 kJ, weil noch zusätzlich gegen den Umgebungsdruck verschoben werden muss. Es bleiben also am Ende als Nutzarbeit $-5.000 kJ$ übrig, welche vom Gas abgegeben werden. Diese vom Gas abgegebenen -5.000 kJ können dann verwendet werden um z.B. andere Maschinen zu betreiben. Ohne Umgebungsdruck läge die Nutzarbeit in Höhe der Volumenänderungsarbeit vor.

(b) $W_N = -10.000 kJ - (-15.000 kJ) = +5.000 kJ$. Es müssen dem Gas noch zusätzlich $5.000 kJ$ zugeführt werden, damit der Kolben gegen den Umgebungsdruck verschoben werden kann. In diesem Fall bleibt also keine Nutzarbeit übrig, die für andere Maschinen genutzt werden kann, sondern es muss dem Gas sogar noch zusätzlich Arbeit in Höhe von 5.000 kJ zugeführt werden, damit sich der Kolben überhaupt verschiebt. Die Volumenänderungsarbeit alleine reicht also nicht aus.

Bei der Kompression reduziert sich die dem Gas zuzuführende Volumenänderungsarbeit (+) aufgrund der vom Umgebungsdruck zugeführten Verschiebearbeit (+). Der Umbgebungsdruck "hilft" also den Kolben nach zusammenzuschieben. Es muss also weniger Arbeit aufgewendet werden um den Kolben zu verschieben. Das bedeutet, dass die zuzuführende Nutzarbeit (+) geringer ausfällt oder sogar noch Arbeit abgeführt werden kann (-), wenn die Verschiebearbeit hinreichend groß ist. Dies soll anhand eines einfachen Beispiels gezeigt werden:

Beispiel

Das Gas innerhalb eines Zylinders soll komprimiert werden. Um das zu erreichen wird der Kolben zusammengedrückt. Die zuzuführende Volumenänderungsarbeit betrage +20.000 kJ. Es exsitiert zusätzlich ein Umgebungsdruck $p_b$ der hilft den Kolben zusammenzudrücken. Die Verschiebearbeit betrage

(a) +10.000 kJ

(b) +25.000 kJ

Wie groß fällt die Nutzarbeit aus?

(a) $W_N = 20.000 kJ - 10.000 kJ = +10.000 kJ$. Es müssen dem Gas also statt 20.000 kJ nur 10.000 kJ an Arbeit zugeführt werden, weil der Umgebungsdruck den restlichen Teil beisteuert. Ohne den Umgebungsdruck würde die Nutzarbeit also höher ausfallen.

(b) $W_N = 20.000 kJ - 25.000 kJ = -5.000 kJ$. Der Umgebunsdruck steuert einen so großen Teil bei, dass am Ende sogar noch -5.000 kJ übrig bleiben. Das bedeutet also, dass die Verschiebearbeit die gesamte Volumenänderungsarbeit übernehmen kann und am Ende noch -5.000 kJ verbleiben, welche dann für andere Prozesse genutzt werden könnten. 

Merke

Die Verschiebearbeit kann nicht für den technischen Prozess genutzt werden, da diese dazu benötigt wird um den Umgebungsdruck zu verdrängen. Die Nutzarbeit rechnet diese Verschiebearbeit heraus. Deswegen wird die Nutzarbeit auch als nützliche Arbeit bezeichnet, da sie für technische Prozesse verwendet werden kann.

Berechnung der Nutzarbeit

Die Nutzarbeit ergibt sich nach Einsetzen der Formeln zu:

Methode

$W_N = -\int_1^2 p \; dV - (-\int_1^2 p_b \; dV) = -\int_1^2 (p - p_d) dV$


Aus vorherigen Abschnitten wissen wir, dass die Luft innerhalb des Systems sich zusammensetzt aus dem Umgebungsdruck $p_b$ und dem Überdruck $p_d$ bzw. Unterdruck $-p_d$:

Methode

(1) $p = p_b + p_d$           (Überdruck) Druck im Inneren ist größer als der Umgebungsdruck

(2) $p = p_b - p_d$            (Unterdruck) Druck im Inneren ist kleiner als der Umgebungsdruck

Wir stellen die Gleichung (1) um:

$p_d = p - p_b$

Und setzen ein:

Methode

$W_N =  -\int_1^2 p_d \;  dV$

Wir können die Nutzarbeit also über die Druckdifferenz $p_d = p - p_d$ bestimmen.

Beispiel

Beispiel:

In einem Zylinder ist ein ideales Gas gegeben, den konstanten Druck $p = 125.000 Pa$ aufweist. Der Umgebungsdruck beträgt $p_b = 100.000 Pa$. Der Kolben expandiert, das Volumen vergrößert sich um $\triangle V = 0,5 m^3$ und der Druck im Inneren soll als konstant angesehen werden. Wie groß ist die Nutzarbeit?

$W_N = -\int p_d dV = -(p - p_b) \triangle V = -(125.000 - 100.000) \cdot 0,5m^3 = -12.500 J$.

Die Nutzarbeit $W_N$ ist negativ, wird dem System aufgrund der Expansion also abgeführt.


Wir können den Differenzdruck $p_d$ auch über die äußere Arbeit bestimmen. Die Kraft $F$ verschiebt die Luftpumpe entlang des Weges $s$:

Methode

$W_N = \int F \cdot s$

mit

$F = p_d \cdot A$

Merke

Die Volumenänderungsarbeit führt zu einer Änderung der inneren Energie!

Beispiel: Nutzarbeit / Verschiebearbeit

Beispiel

Ein Zylinder mit dem Volumen $V_1 = 500l $ enthält Luft, deren Druck $p_1 = 100 kPa$ mit dem Umgebungsdruck $p_b$ übereinstimmt. Der Kolben wird zusammengedrückt und damit das Volumen des Kolbens auf $V_2 = 300 l$ verringert. Die Temperatur wird als konstant angenommen. Die Zustandsänderung der Luft sei quasistatisch und näherungsweise als ideales Gas angenommen. 

Wie hoch ist der Druck $p_2$?

Wie groß ist die abgeführte Volumenänderungsarbeit?

Wie groß ist die an die Umgebung abgegebene Verschiebearbeit?

Wie groß ist die Nutzarbeit?

Grafische Darstellung der Ergebnisse!

Berechnung des Drucks

Die Luft wird als ideales Gas angenommen, was bedeutet, dass die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases verwendet werden kann:

$pV = R_i \; m \; T$

 

Wir haben eine isotherme Zustandsänderung gegeben und die Stoffmenge ändert sich nicht. Das bedeutet, dass das Gesetz von Boyle und Mariotte angewendet werden kann:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$


Die Gleichung wird als nächstes nach $p_2$ aufgelöst:

$p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2}$

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, müssen die Einheiten noch sinnvoll umgerechnet werden:

$1 l = 0,001 m^3$

$1 kPa = 1.000 Pa$.


Einsetzen der gegebenen Werte:

$p_2 = \frac{100.000 Pa \cdot 0,5 m^3}{0,3 m^3} = 166.667 Pa$.

Der Druck im Kolben beträgt nach der Komprimierung 166.667 Pa. Der Druck im Kolben ist also gestiegen, weil das Gas weniger Platz zur Verfügung hat.

Berechnung der Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit wird berechnet mit:

$W_V = -\int_1^2 p \; dV$

Man kann nun hier nicht den Enddruck einsetzen, sondern muss den Druck über die gesamte Zustandsänderung integrieren, um die gesamte zugeführte Volumenänderungsarbeit bestimmen zu können. Hierzu muss ein formelmäßiger Zusammenhang zwischen Druck $p$ und Volumen $V$ gegeben sein. Da es sich um ein ideales Gas handelt ist der formelmäßige Zusammenhang das Gesetz von Boyle und Mariotte aufgelöst nach $p_2 = p$:

$p = \frac{V_1}{V} \cdot p_1$.

Enddruck und Endvolumen sind hier als zu integrierende Variablen zu betrachten.


Die Werte für $V_1$ und $p_1$ können eingesetzt werden:

$p = \frac{0,5 m^3}{V} \cdot 100.000 Pa$.

Das Ganze kann nun in die Formel für die Volumenänderungsarbeit eingesetzt werden:

$W_V = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{0,5 m^3}{V} \cdot 100.000 Pa\; dV$

$W_V = -[0,5 m^3 \cdot ln(V) \cdot 100.000 Pa]_{V_1}^{V_2}$

$W_V = -[0,5 m^3 \cdot ln(V_2) \cdot 100.000 Pa - 0,5 m^3 \cdot ln(V_1) \cdot 100.000 Pa ]$

$W_V = -0,5 m^3 \cdot ln(V_2) \cdot 100.000 Pa + 0,5 m^3 \cdot ln(V_1) \cdot 100.000 Pa $

$W_V = 0,5 m^3 \cdot 100.000 Pa \cdot (-ln(V_2) + ln(V_1)) $

$W_V = 0,5 m^3 \cdot 100.000 Pa \cdot (ln(V_1) - ln(V_2)) $

$W_V = 0,5 m^3 \cdot 100.000 Pa \cdot (ln (\frac{V_1}{V_2})) $

$W_V = 0,5 m^3 \cdot 100.000 Pa \cdot (ln (\frac{0,5 m^3}{0,3 m^3}))  = 25.541,28 J$ 

Die Volumenänderungsarbeit ist die gesamte Arbeit die aufgebracht werden muss, um den Kolben entgegen den Luftdruck $p$ im Zylinder zu verschieben. Die Arbeit ist positiv und wird dem Gas demnach zugeführt. Die Volumenänderungsarbeit ist Teil der inneren Energie, welche dadurch erhöht wird.

Berechnung der Verschiebearbeit

Die Formel für die Verschiebearbeit (bei konstantem Umgebungsdruck $p_b$) ist:

$W_u = -p_b (V_2 - V_1)$ 

Einsetzen der Werte ergibt:

$W_u = -100.000 Pa (0,3 m^3 - 0,5 m^3) = 20.000 J$.

Bei der Kompression hilft der Umgebungsdruck dabei denn Kolben zusammenzudrücken. Die Arbeit wird dem Gas zugeführt.

Berechnung der Nutzarbeit

Die Nutzarbeit ist die Differenz aus Volumenänderungsarbeit und Verschiebearbeit: 

$W_n = W_V - W_u = 25.541,28 J - 20.000 J = 5.541,28 J$.

Die Nutzarbeit ist positiv und wird somit dem Gas zugeführt. Die Nutzarbeit ist die effektiv an der Kolbestange geleistete Arbeit. Zum Verschieben des Kolbens muss also 5.541,28 J an Arbeit aufgebracht werden. Die Verschiebearbeit hilft also beim Zusammenschieben des Kolbens. Ist kein Umgebungsdruck gegeben (Vakuum), so müssten insgesamt 25.541,28 J an Arbeit aufgebracht werden um den Kolben entgegen des Luftdrucks im Zylinder zu verschieben. Der Umgebungsdruck aber leistet bereits 20.000 J an Verschiebearbeit, der Rest muss dann effektiv an der Kolbenstange geleistet werden.