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Volumenänderungsarbeit

WebinarTerminankündigung:
 Am 14.02.2017 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Verschiebearbeit, Nutzarbeit, Volumenänderungsarbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der Fokus auf die Verschiebearbeit, Nutzarbeit und Volumenänderungsarbeit gelegt.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Als Volumenänderungsarbeit $W_V$ bezeichnet man diejenige Arbeit die verrichtet werden muss, um das Volumen $V$ eines Körpers entgegen dessen Druck $p$ zu verändern. Man kann sich hierzu eine Luftpumpe vorstellen. Damit das System geschlossen ist, sei das Ventil der Luftpumpe abgedichtet.

Volumenarbeit Luftpumpe

Wird nun die Luftpumpe mit der Kraft $F$ zugedrückt, so drückt sich die Querschnittsfläche entlang des Weges $s$ gegen den vorhandenen Druck $p$. Das führt dazu, dass das Volumen in welchem sich die Luft befindet, geringer wird. Das wiederum führt zu einer Erhöhung des Drucks (je weniger Volumen die Luft zur Verfügung hat, desto größer ist der Druck). Im Weiteren wird davon ausgegangen, dass die Volumenänderungsarbeit reversibel ist (also reibungsfrei und quasistatisch).

Die Arbeit die (von außen gesehen) verrichtet wird ist Kraft mal Strecke also:

Methode

$W = F \cdot s$                                     äußere Arbeit

Die Arbeit die (von innen gesehen) verrichtet wird ist Querschnittsfläche mal Druck über die Strecke $s$:

$W = p(s) \cdot A \; s$

Den Ausdruck $A \cdot s$ kann man auch als Volumenänderung $\triangle V$ betrachten, daraus folgt dann:

Methode

$W_V = -p(s) \cdot \triangle V$                      innere Arbeit

Das Minuszeichen gilt der Volumenänderung $\triangle V$. Es ist nämlich so, dass wenn Arbeit verrichtet wird und dadurch der Druck erhöht wird, sich das Volumen verringert.

Da sich der Druck entlang des Weges ändert (je weiter die Luftpumpe zugedrückt wird, desto größer der Druck) muss das ganze integriert werden:

Methode

Volumenänderungsarbeit

$W_V = -\int_1^2 p(s) \cdot A ds = -\int_1^2 p \; dV$

Die Volumenänderungsarbeit ist vom Verlauf der Zustandsänderung abhängig, d.h. sie ist eine Prozessgröße. Sie kann dem System zu- oder abgeführt werden. Die Volumenänderungsarbeit entspricht der Fläche (unter der Kurve) im $p,V$-Diagramm.

Volumenänderungsarbeit p,V-Diagramm
p,V - Diagramm

Das obige p,V-Diagramm zeigt die Änderung des Zustandes 1 zum Zustand 2. Es ist deutlich zu erkennen, dass sich das Volumen mit zunehmendem Druck verringert. Unter der Kurve befindet sich die Fläche (gestrichelte Linien), welche gleichzeitig die Volumenänderungsarbeit darstellt. Um diese Fläche zu berechnen denkt man sich ein infinitesimal kleines Element der Länge $p(s)$ (der Druck in Abhängigkeit der Länge $s$) und der Breite $dV$. Dieses wird dann über die gesamte Volumenänderung (also von Zustand 1 bis Zustand 2) integriert. Um die Volumenänderungsarbeit zu bestimmen muss immer der Verlauf der Zustandsänderung bekannt sein (also ein formelmäßiger Zusammenhang zwischen $p$ und $V$).

Anwendungsbeispiel: Volumenänderungsarbeit

Volumenänderungsarbeit Beispiel Kolben

Beispiel

Es sei ein Zylinder gegeben, in dem sich ein Gas mit dem Volumen von $V = 0,05 m^3$ und einem Druck von $p_1 = 98.000 Pa $ befindet. Der Kolben verdichtet das Gas auf $p_2 = 450.000 Pa$. Das Gas soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden. Die Temperatur sei konstant. Die Zustandsänderung kann durch

$p \cdot V^{2,5} = const.$

bestimmt werden.

Wie groß ist die Volumenänderungsarbeit?

Resultierendes Volumen

Zunächst muss das resultierende Volumen $V_2$ bestimmt werden, also nachdem der Kolben den Druck erhöht hat. Da es sich bei dem Gas im Kolben näherungsweise um ein ideales Gas handelt und die Temperatur konstant ist, kann die thermische Zustandsgleichung und hier vor allem das Gesetz von Boyle und Mariotte angewandt werden:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$

Das Gesetz besagt ganz einfach, dass das Produkt aus Volumen und Druck bei idealen Gasen immer konstant ist. Das bedeutet also, wenn sich der Druck erhöht dann muss sich das Volumen reduzieren und das Produkt bleibt dasselbe. Erhöht sich hingegen das Volumen so reduziert sich der Druck.


Da die Zustandsänderung nun aber mit $V^{2,5}$ bestimmt werden kann, wird das Ganze zu:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2^{2,5}}{V_1^{2,5}}$

Es kann also zunächst das Volumen $V_2$ bestimmt werden:

$V_2^{2,5} = \frac{p_1}{p_2} \cdot V_1^{2,5}$

$V_2^{2,5} = \frac{98.000 Pa}{450.000 Pa} \cdot (0,05 m^3)^{2,5} = 0,000122 m^{7,5}$.

$V_2 = \sqrt[2,5]{0,000122 m^{7,5}} = 0,0272 m^3$.

Wichtig

Der in der Aufgabenstellung angegebene Zusammenhang ($p \cdot V^{2,5} = const.$) ist genau der formelmäßige Zusammenhang zwischen $p$ und $V$ der gegeben sein muss, damit die Volumenänderungsarbeit überhaupt berechnet werden kann. Ist kein formelmäßiger Zusammenhang gegeben, das Gas aber näherungsweise ein ideales Gas und ein Wert wird als konstant angenommen, dann gelten die Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes.

Volumenänderungsarbeit

Es wurde nun das neue Volumen bestimmt. Als nächstes kann nun die Volumenänderungsarbeit bestimmt werden:

$W_V = -\int_1^2 p \; dV$

Da der Druck wegabhängig bzw. volumenabhängig ist (Druck ändert sich), kann für $p$ nicht einfach der Enddruck eingesetzt werden, sondern es muss über die Volumensänderung integriert werden. Das funktioniert wieder mit dem Gesetz von Boyle und Mariotte. Für $p_2$ wird nun aber die Variable $p$ verwendet und für $V_2$ die Variable $V$: 

$\frac{p_1}{p} = \frac{V^{2,5}}{V_1^{2,5}}$

Auflösen nach $p$:

$p = \frac{V_1^{2,5}}{V(s)^{2,5}} \cdot p_1$


Die Werte $V_1$ und $p_1$ sind Konstanten, da diese als Ausgangswerte dienen. $V$ und $p$ hingegen ändern sich nach und nach bis diese die oben angegebenen Endwerte erreichen. Die Volumenänderungsarbeit betrachtet den Weg bis zu diesem Endzustand.

Einsetzen von $p$ in die Formel für die Volumenänderungsarbeit $W_V$:

$W_V = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{V_1^{2,5}}{V^{2,5}} \cdot p_1 \; dV$

Einsetzen von $V_1$ und $p_1$ und rausziehen aus dem Integral ergibt:

$W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V^{2,5}} \; dV$

$W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \cdot V^{-2,5} \; dV$

$W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \cdot V^{-2,5} \; dV$

$W_V = -(0,05 m^3)^{2,5} \cdot 98.000 Pa \; \int_{V_1}^{V_2} \cdot -\frac{1}{1,5} V^{-1,5} \; dV$

$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-\frac{2}{3 \; V^{1,5}}]_{0,05}^{0,0272}$

Merke

Die Integration erfolgt mit folgender Formel:

$x^n = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1}$

$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-\frac{2}{3 \cdot (0,0272 m^3)^{1,5}} + \frac{2}{3 \cdot (0,05 m^3)^{1,5}}]$

$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-148,61 \frac{1}{m^{4,5}} + 59,63 \frac{1}{m^{4,5}}]$

$W_V = - 0,000559 m^{7,5} \cdot 98.000 Pa \cdot [-88,98 \frac{1}{m^{4,5}}]$

$W_V = 4874,50 Pa \; m^3 = 4874,50 \frac{kg}{m \; s^2} \; m^3 = 4874,50 \frac{kg \; m^2}{ s^2}$

$= 4.874,50 \; J$.

Die Volumenarbeit die verrichtet wurde beträgt 4.874,50 Joule. Die Volumenänderungsarbeit ist positiv, d.h. sie wird dem Gas zugeführt. Grund dafür liegt in der Verdichtung des Gases für welches Arbeit aufgewendet werden muss. Durch die Verdichtung reduziert sich das Volumen und der Druck steigt. 

Modellhafte Darstellung einer Kolbenbewegung:

Video: Volumenänderungsarbeit

Als Volumenänderungsarbeit bezeichnet man diejenige Arbeit die verrichtet werden muss, um das Volumen eines Körpers entgegen dessen Druck zu verändern. Man kann sich hierzu eine Luftpumpe vorstellen. Damit das System geschlossen ist, sei das Ventil der Luftpumpe abgedichtet.

Reale Kolbenbewegung in einer Dampfmaschine:

Video: Volumenänderungsarbeit

Als Volumenänderungsarbeit bezeichnet man diejenige Arbeit die verrichtet werden muss, um das Volumen eines Körpers entgegen dessen Druck zu verändern. Man kann sich hierzu eine Luftpumpe vorstellen. Damit das System geschlossen ist, sei das Ventil der Luftpumpe abgedichtet.
Lückentext
Beziehe dich auf den unten abgebildeten Gaszylinder und achte auf die Abmessungen:

Schema eines Kolbens einer LuftpumpeZu Anfang beträgt der Druck im Zylinder 120.000 Pa. Wenn du den Kolben in die Position drückst, die auf der rechten Seite gezeigt ist, wie hoch ist dann der Luftdruck im Inneren und wie viel Volumenänderungsarbeit wird dabei verrichtet?  Nimm an, dass das Gas ideal ist und dass Wärme sofort mit der Umgebung ausgetauscht wird, so dass die Temperatur im Gaszylinder nicht ansteigt.
Gib den Wert für den neuen Innenluftdruck $p_2$ hier ein (als ganze Zahl): Pa

Gib den Wert der Volumenänderungsarbeit hier ein (aufgerundet auf eine ganze Zahl):
 Joule.
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Hinweis:

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Autor: Jessica Scholz

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