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Thermodynamik - Anwendungsbeispiele offenes System mit stationärem Fließprozess

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Thermodynamik

Anwendungsbeispiele offenes System mit stationärem Fließprozess

Anwendungsbeispiel 1: 1. Hauptsatz der Thermodynamik und Enthalpie

Beispiel

Gegeben sei Behälter welcher unter Druck steht. Der Behälter enthält 1,5 kmol Wasserstoff. Die Temperatur beträgt 20°C. Das Manometer zeigt einen Druck von 350 kPa. Der Umgebungsdruck beträgt 101,3 kPa. Wasserstoff soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden. Die spezifische Gaskonstante für Wasserstoff ist $R_i = 4,1243 kJ/kg K$. 

a) Wie groß ist das Volumen des Behälters?

b) Wie groß ist das spezifische Volumen des Wasserstoffs?

Dem Behälter wird 500 kJ Wärme hinzugefügt. Das führt dazu, dass der Druck laut Manometer auf 430 kPa ansteigt.

c) Wie groß ist die Änderung der inneren Energie des Wasserstoffs?

d) Wie groß ist die Enthalpieänderung?

Das Volumen des Behälters kann aus der thermischen Zustandsgleichung bestimmt werden, da es sich hier um ein ideales Gas handelt:

$p V = m \; R_i \; T$.

Da das Volumen bestimmt werden soll, muss die Gleichung nach $V$ aufgelöst werden:

$V = \frac{m \; R_i \; T}{p}$.

Direkt gegeben ist $R_i = 4,1243 kj/kg K$ und $T = 20 + 273,15 K$.

Die Masse $m$ und der Absolutdruck $p$ müssen noch bestimmt werden.

Masse

Es ist die Stoffmenge $n = 1,5 kmol$ gegeben. Man kann die Masse mit folgender Formel bestimmen:

$n = \frac{m}{M}$.

Ohne Kenntnis der molaren Masse

Man kann nun noch eine Gleichung hinzunehmen, um $m$ zu bestimmen ohne die molare Masse $M$ zu kennen:

$R_i = \frac{R}{M}$.

Die beiden Gleichungen aufgelöst nach $M$ und gleichgesetzt ergeben:

$\frac{m}{n} = \frac{R}{R_i}$.

Aus dieser Gleichung kann nun $m$ bestimmt werden:

$m = \frac{R}{R_i} \cdot n$.

Die allgemeine Gaskonstante hat den Wert $R = 8.314,47 J/kmol K$:

$m = \frac{8.314,47 J/(kmol \; K)}{4.124,3 J/(kg \; K)} \cdot 1,5 kmol= 3,024 kg$.

Mit Kenntnis der molaren Masse

Die molare Masse für Wasserstoff ($H_2$) kann dem Periodensystem entnommen werden und beträgt:

$M_{H_2} = 2 \cdot H = 2 \cdot 1,00794 g/mol = 2,01588 g/mol$.

Es kann jetzt die folgende Formel angewandt werden:

$n = \frac{m}{M}$.

Aufgelöst nach $m$:

$m = n \cdot M = 1.500 mol \cdot 2,01588 g/mol = 3023,82 g = 3,024 kg$.

Absolutdruck

Es ist zum einen der Umgebungsdruck $p_b$ gegeben und zum anderen der Druck, welchen das Manometer anzeigt. Da das Manometer nicht den Absolutdruck sondern den Differenzdruck $p_d$ angibt, muss der Absolutdruck noch berechnet werden:

$p = p_b + p_d$.

$p = 101,3 kPa + 350 kPa = 451,3 kPa$.

a) Berechnung Volumen im Behälter

Das Volumen im Behälter kann nun ermittelt werden:

$V = \frac{m \; R_i \; T}{p}$.

$V = \frac{3,024 kg \cdot 4.124,3 J/(kg K) \cdot (20 + 2,73,15) K}{451.300 Pa} = 8,1  J \; Pa = 8,1 m^3$.

b) Spezifisches Volumen des Gases

Das spezifische Volumen wird bestimmt durch:

$v = \frac{V}{m} = \frac{8,1m^3}{3,024 kg} = 2,68 m^3/kg$.

c) Änderung der inneren Energie

$\triangle U = Q + W$

Da hier keine Arbeit verrichtet wird $W = 0$, gilt die Formel:

$\triangle U = Q$.

Es wird Wärme $Q = 500 kJ$ in das System geführt, daraus folgt:

$\triangle U = Q = 500 kJ$.

d) Enthalpieänderung

Die Änderung der Enthalpie kann bei Kenntnis der Änderung der inneren Energie wie folgt bestimmt werden:

$\triangle H = \triangle U + \triangle p \; V_1 + p_1 \triangle V$.

Der letzte Term fällt weg, da keine Volumenänderung stattfindet:

$\triangle H = \triangle U + \triangle p \; V_1 $.

Die Änderung der inneren Energie $\triangle U = 500 kJ$ ist bereits vorher bestimmt worden. Es muss nun noch die Druckdifferenz bestimmt werden.

Zunächst muss aber wieder der Absolutdruck berechnet werden, da das Manometer nur den Differenzdruck $p_d$ angibt:

$p = p_d + p_b = 430 kPa + 101,3 kPa = 531,3 kPa$.

Die Druckdifferenz beträgt demnach

$\triangle p = 531,3 kPa - 451,3 kPa = 80 kPa$.

Es kann nun die Änderung der Enthalpie berechnet werden:

$\triangle H = \triangle U + \triangle p \; V_1  = 500.000 J + 80.000 Pa \cdot 8,1 m^3 = 1.148.000 J = 1.148 kJ$.

Anwendungsbeispiel 2: 1. Hauptsatz der Thermodynamik am offenen System

Beispiel

In diesem Beispiel soll ein offenes System betrachtet werden. Es handelt sich um eine adiabate Maschine mit kontinuierlichem Fließprozess. In die Maschine strömen $V_1 = 15 m^3$ Luft mit einem Druck von $p_1 = 400 kPa$. Innerhalb der Maschine gibt die Luft die Arbeit $W_t = 5,6 MJ$ ab und tritt mit $p_2 = 150 kPa$ aus der Maschine wieder raus. Das Luftvolumen hat sich hierbei auf $V_2 = 35 m^3$ vergrößert. Die Änderung der kinetischen und potentiellen Energien kann vernachlässigt werden.

a) Wie ändert sich die innere Energie und

b) wie ändert sich die Enthalpie beim Durchströmen der Luft?

Es handelt sich hierbei um eine adiabate Maschine, also es ist nicht möglich, dass Wärme $Q$ mit der Umgebung ausgetauscht werden kann. Das wiederum bedeutet, dass die innere Energie sich aus der gesamten Arbeit zusammensetzt:

$\triangle U = U_2 - U_1 = W = W_t^{rev} + W_{diss} + p_1V_1 - p_2V_2$.

Man kann also schon die Enthalpie bestimmen (siehe Überschrift Adiabate Systeme und Enthalpie):

$H_2 - H_1 = \triangle H = W_t = -5,6 MJ$.

Das Minuszeichen deswegen, weil nach der inneren Energie der Luft gefragt wird und die Luft gibt diese Arbeit in der Maschine ab. Abgeführte Arbeit ist immer negativ.

Die innere Energie bestimmt sich nach der obigen Formel:

$U_2 - U_1 = W = W_t^{rev} + W_{diss} + p_1V_1 - p_2V_2$.

wobei $W_t = W_t^{rev} + W_{diss} = -5,6 MJ$.

Die Einheit $MJ$ wird noch in $kJ$ umgerechnet:

$U_2 - U_1 = -5.600 kJ + 400 kPa \cdot 15m^3 - 150 kPa \cdot 35m^3 = -4.850 kJ$.

Anwendungsbeispiel 3: 1. Hauptsatz der Thermodynamik am offenen System

Beispiel

Es sei ein gekühlter Verdichter gegeben. In diesem werden pro Senkunde 5 kg Luft komprimiert. Die Luft tritt mit 150 kPa und 18°C in den Verdichter ein und mit einem Druck von 650 kPa und 180°C wieder aus. Der Luft wird eine technische Leistung in Höhe von 425 kW zugeführt. Es werden 30 kW dissipiert. Der Luft wird durch die Kühlung ein Wärmestrom von 28 KW entzogen. Die Luft soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden und kinetische sowie potentielle Energien sollen vernachlässigt werden.

a) Wie groß ist der reversible Anteil der technischen Leistung?

b) Wie groß ist die Änderung des Enthalpiestroms der Luft?

c) Wie groß ist die Änderung des inneren Energiestroms?

Bestimmung des reversiblen Anteils

Der reversible Anteil der technischen Leistung $P_t^{rev}$ wird berechnet durch:

$P_t^{rev} = P_t - P_{diss}$.

Da in der Aufgabenstellung bereits die technische Leistung und die dissipierte Leistung gegeben sind, ergibt sich die reversible technische Leistung durch:

$P_t^{rev} = 425 kW - 30 kW = 395 kW$.

Änderung des Enthalpiestroms

Die Änderung der Enthalpie berechnet sich durch:

$H_2 - H_1 = W_t + Q$

Die Änderung des Enthalpiestroms durch:

$\dot{H_2} - \dot{H_1} = P_t + \dot{Q}$

In der Aufgabenstellung sind die technische Leistung $P_t$ und der Wärmestrom $\dot{Q}$ gegeben:

$\dot{H_2} - \dot{H_1} = 425 kW - 28 kW = 397 kW$.

Der Wärmestrom wird abgezogen, weil er der Luft entzogen wird. Der Enthalpiestrom ändert sich um 397 kW.

Änderung des inneren Energiestroms

Die Änderung der inneren Energie bestimmt sich durch:

$U_2 - U_1 = Q + W$

Wobei $W = W_t + p_1V_1 - p_2V_2 = W_t^{rev} + W_{diss} + p_1V_1 - p_2V_2$.

Die Änderung des inneren Energiestroms wird berechnet durch:

$\dot{U_2} - \dot{U_1} = \dot{Q} + P$

Wobei $P = P_t + p_1 \dot{V_1} - p_2 \dot{V_2} = P_t^{rev} + P_{diss} + p_1 \dot{V_1} - p_2 \dot{V_2}$.

Gegeben sind $P_T$, $p_1$ und $p_2$. Gesucht wird $\dot{V_1}$ und $\dot{V_2}$. Da die Luft näherungsweise als ideales Gas angenommen wird, kann $\dot{V_1}$ und $\dot{V_2}$ mittels der thermischen Zustandsgleichung bestimmt werden:

$pV = m \; R_i \; T$

und für Massenströme gilt:

$p \dot{V} = \dot{m} \; R_i \; T$.

Es wird zunächst der Volumenstrom $\dot{V_1}$ bestimmt:

$\dot{V_1} = \frac{\dot{m} \; R_i \; T_1}{p_1}$.

$\dot{V_1} = \frac{5 kg/s \cdot 287,2 J/(kg K) \cdot (18 + 273,15) K}{150.000 Pa}$

$\dot{V_1}  = 2,79 \frac{J}{Pa \cdot s} = 2,79 m^3/s$.

Zur Berechnung von $\dot{V_2}$ wird wieder die thermische Zustandsgleichung herangezogen:

$\dot{V_2} = \frac{\dot{m} \; R_i \; T_2}{p_2}$.

$\dot{V_2} = \frac{5 kg/s \cdot 287,2 J/(kg K) \cdot (180 + 273,15) K}{650.000 Pa}$

$\dot{V_2}  = 1,00 \frac{J}{s}Pa = 1,00 m^3/s$.

Es kann nun die Änderung des inneren Energiestroms bestimmt werden:

$\dot{U_2} - \dot{U_1} = \dot{Q} + P_t + p_1 \dot{V_1} - p_2 \dot{V_2}$

$\small{= -28 kW + 425 kW + 150.000 Pa \cdot 2,79 m^3/s - 650.000 Pa \cdot 1,00 m^3/s}$.

Es müssen noch die Einheiten angepasst werden. $1 W = Pa \cdot m^3/s$ 

Merke

$1 W = \frac{kg \; m^2}{s^3}$


Anstelle von $kW$ wird also $W$ für de Wärmestrom und die technische Leistung verwendet:

$\scriptsize{\dot{U_2} - \dot{U_1} = -28.000 W + 425.000 W + 150.000 Pa \cdot 2,79 m^3/s - 650.000 Pa \cdot 1,00 m^3/s}$.

$\dot{U_2} - \dot{U_1} = 165500 W = 165,5 kW$.