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Thermodynamik - Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (homogenes System)

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Thermodynamik

Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (homogenes System)

Die kalorische Zustandsgleichung (nicht zu verwechseln mit der thermischen Zustandsgleichung) beschreibt den inneren energetischen Zustand eines homogenen thermodynamischen Systems. Die kalorische Zustandsgleichung setzt sich aus den zwei Zustandsgrößen spezifische Enthalpie $h$ und spezifische innere Energie $u$ zusammen:

$u = u(v, T)$     und    $h = h(p,T)$.

Merke

Spezifische Größen sind Zustandsgrößen, welche durch die Masse $m$ geteilt werden. Z.B. für die spezifische Enthalpie:

$h = \frac{H}{m}$.


Es wird das vollständige Differential der kalorischen Zustandsgleichung gebildet:

Methode

$du = (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv + (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT$

Methode

$dh = (\frac{\partial h}{\partial p})_T dp + (\frac{\partial h}{\partial T})_p dT$

Spezifische Wärmekapazität

Der zweite Term beider Gleichungen wird als spezifische Wärmekapazität bezeichnet. Das bedeutet, dass bei gleicher Temperaturänderung ein Körper um so mehr Wärme aufnehmen kann, desto größer seine Wärmekapazität ist.

Dabei ist 

Methode

$c_v = (\frac{\partial u}{\partial T})_v$

die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen und

Methode

$c_p = (\frac{\partial h}{\partial T})_p$

die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck.

Messung der spezifischen Wärmekapazität

Die spezifische Wärmekapazität eines homogenen thermodynamischen Systems kann gemessen werden, indem man einem System mit konstantem Volumen bzw. konstantem Druck - welches keine Änderung des Aggregatzustandes aufweist - Wärme $Q$ oder Dissipationsarbeit $W_{diss}$ zuführt:

Methode

$Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_v \; dT$               bei konstantem Volumen

Methode

$Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_p \; dT$               bei konstantem Druck

Anwendungsbeispiel 1: Spezifische Wärmekapazität (homogenes System)

Beispiel

Gegeben sei ein geschlossener nicht-adiabater Behälter mit 20 kg Luft gefüllt. Die Temperatur beträgt $t = 18°C$. Durch Dissipationsarbeit (z.B. Wellenarbeit) wird der Luft 450 kJ zugeführt. Die Luft gibt Wärme in Höhe von 585 kJ ab. Die spezifische Wärmekapazität sei $c_v = 0,8 kJ/(kg \; K)$

Wie ändert sich die innere Energie der Luft?

Welche Temperatur nimmt die Luft nach zufügen der Dissipationsarbeit und Abgabe der Wärme an?

Änderung der inneren Energie

Die Änderung der inneren Energie im geschlossen System erfolgt durch:

$U_2 - U_1 = Q + W$

mit $W = W_V + W_{diss}$


Da hier das Volumen konstant bleibt (erkannbar an der spezifischen Wärmekapazität $c_v$) fällt die Volumenänderungsarbeit $W_V$ weg und es verbleibt:

$W = W_{diss}$.

$U_2 - U_1 = Q + W_{diss} = -585 kJ + 450 kJ = -135 kJ$.   

Die innere Energie der Luft fällt um 135 kJ.

Bestimmung der Temperatur

Mit der Formel für die spezifische Wärmekapazität für konstantes Volumen kann man die Temperatur berechnen:

$Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_v \; dT$


Werte einsetzen und Integral auflösen:

$-585 kJ + 450 kJ = 20 kg \int_{18 + 273,15 K}^{T_2} 0,8 kJ/(kg \; K) \; dT $

$-135 kJ = 20 kg \;  [0,8 \; T]_{291,15 K}^{T_2}$

$-135 kJ  = 20 kg \; [0,8 \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 0,8 \;  kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K]$

$--135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K$

$-135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 4.658,40 \; kg \; kJ/(kg \; K) \; K$

Auflösen nach $T_2$:

$T_2 = \frac{-135 kJ +  4.658,40 \; kg \; kJ/(kg \; K) \; K }{16 \; kg \; kJ/(kg \; K) } $

Einheiten kürzen:

$T_2 = \frac{-135 kJ +  4.658,40 \; kJ }{16 \; kJ/K } = 282,71 K$

$t_2 = 9,6 °C$.