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Thermodynamik - Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (ideales Gas)

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Thermodynamik

Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (ideales Gas)

In diesem Abschnitt wird die kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases eingeführt. Man betrachtet wieder die kalorische Zustandsgleichung mit den zwei Zustandsgrößen, der spezifischen inneren Energie $u$ und spezifischen Enthalpie $h$:

$u = u(v, T)$     und    $h = h(p,T)$.

Es wird wieder das vollständige Differential gebildet:

$du = (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv + (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT$

$dh = (\frac{\partial h}{\partial p})_T dp + (\frac{\partial h}{\partial T})_p dT$

Der erste Term der beiden Gleichungen wird beim idealen Gas gleich Null. Das bedeutet, dass die innere Energie und die Enthalpie nur noch von der Temperatur abhängen. 

Das bedeutet, die kalorischen Zustandsgleichungen des idealen Gases sehen wie folgt aus:

Methode

$du =  (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT = c_v \; dT$

Methode

$dh = (\frac{\partial h}{\partial T})_p dT = c_p \; dT$

Spezifische Wärmekapazität des idealen Gases

Die Änderungen der spezifischen inneren Energie $u$ und der spezifischen Enthalpie $h$ können beim idealen Gas mittels der spezifischen Wärmekapazitäten $c_v$ und $c_p$ wie folgt bestimmt werden:

Methode

$u_2 - u_1 = \int_1^2 c_v \; dT$                    (konstantes Volumen)

bzw.

$U_2 - U_1 = m \cdot \int_1^2 c_v \; dT$

und

Methode

$h_2 -h_1 = \int_1^2 c_p \; dT$               (konstanter Druck)

bzw.

$H_2 - H_1 = m \cdot \int_1^2 c_p \; dT$


Betrachten wir nun die innere Energie mit:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$

Wir wollen die kalorische Zustandsgleichung mit dieser Gleichung in Verbindung bringen. Bei der kalorischen Zustandsgleichung zur Bestimmung der inneren Energie betrachten wir ein konstantes Volumen.  Da sich das Volumen nicht ändert, fällt die Volumenänderungsarbeit weg $W_V = 0$. Es gilt also:

Methode

$U_2 - U_1 = Q + W_{diss} = m \cdot \int_1^2 c_v \; dT$

Für die Enthalpie gilt:

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + (p_2 - p_1) \cdot V_1 +  p_1 \cdot (V_2 - V_1)$.

Wir betrachten bei der obigen kalorischen Zustandsgleichung für die Enthalpie den Druck als konstant $p = const$. Der Druck ändert sich also nicht. Der Term $(p_2 - p_1) V_1$ wird demnach Null, weil $p_2 - p_1 = 0$:

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 +   p_1 \cdot (V_2 - V_1)$.

Für die innere Energie (konstanter Druck) gilt:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$

Wobei hier die Volumenänderungsarbeit nicht wegfällt, weil der Druck konstant ist und das Volumen veränderlich. Die Volumenänderungsarbeit von einem Zustand 1 zu einem Zustand 2 ergibt bei einem konstanten Druck dann:

$W_V = - \int p dV = -p_1(V_2 - V_1)$

Einsetzen in die innere Energie:

$U_2 - U_1 = Q  - p_1(V_2 - V_1)  + W_{diss}$

Diese Gleichung wird nun in die Enthalpie eingesetzt:

$H_2 - H_1 = Q  - p_1(V_2 - V_1)  + W_{diss} +   p_1 \cdot (V_2 - V_1)$.

$H_2 - H_1 = Q   + W_{diss} $

Insgesamt ergibt sich also:

Methode

$H_2 - H_1 = Q   + W_{diss} = m \cdot \int_1^2 c_p \; dT$

Zusammenhang zwischen den Wärmekapazitäten

Die spezifischen Wärmekapazitäten $c_p$ und $c_v$ weisen folgenden Zusammenhang auf:

Methode

$c_p - c_v = R_i$

Die Differenz aus den spezifischen Wärmekapazitäten ist gleich der spezifischen Gaskonstante $R_i$, welche für unterschiedliche Gase aus Tabellen entnommen werden kann.

Es gilt:

Methode

$R_i = \frac{R}{M}$

mit

$R = 8,314 J/(K \; mol)$   Universelle Gaskonstante

$M$ = Molmasse


Außerdem kann man den Isentropenexponent (Abschnitt: Isentropenexponent) heranziehen:

Methode

$\frac{c_p}{c_v} = \kappa$