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Thermodynamik - Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität

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Thermodynamik

Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität

Häufig wird bei Berechnungen der Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität $c_m|_{t_1}^{t_2}$ verwendet. Sofern der Mittelwert zur Berechnung verwendet werden soll und dieser nicht innerhalb der Aufgabenstellung vorgegeben ist, kann man diesen aus zwei mittleren spezifischen Wärmekapazitäten für unterschiedliche Temperaturbereiche berechnen.

Berechnet werden kann der Mittelwert $c_m|_{t_1}^{t_2}$ zweier spezifischer Wärmekapazitäten mit:

Methode

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$c_m|_{t_1}^{t_2} = \frac{1}{t_2 - t_1} (c_m|_{0 °C}^{t_2} \cdot t_2 - c_m|_{0 °C}^{t_1} \cdot t_1)$

Diese wahren bzw. mittleren Wärmekapazitäten für unterschiedliche Temperaturbereiche  $c_m|_{0 °C}^{t_2}$  bzw.  $c_m|_{0 °C}^{t_1}$  sind entweder der Aufgabenstellung zu entnehmen oder aber Tabellenwerken. Im Folgenden wird eine Tabelle mit der mittleren spezifischen isobaren Wärmekapazitäten $c_{mp}$ für einige Gase angeben.

Temperatur °C$O_2$$N_2$$H_2$$Luft$$CO$$CO_2$$SO_2$
 $c_{mp}|_{0 °C}^{t}$

$\frac{kJ}{kg \; K}$
$c_{mp}|_{0 °C}^{t}$

$\frac{kJ}{kg \; K}$
$c_{mp}|_{0 °C}^{t}$

$\frac{kJ}{kg \; K}$
$c_{mp}|_{0 °C}^{t}$

$\frac{kJ}{kg \; K}$
$c_{mp}|_{0 °C}^{t}$

$\frac{kJ}{kg \; K}$
$c_{mp}|_{0 °C}^{t}$

$\frac{kJ}{kg \; K}$
$c_{mp}|_{0 °C}^{t}$

$\frac{kJ}{kg \; K}$
00,91501,03914,21,0041,0390,81690,607
1000,92271,03914,341,0071,0410,86730,637
2000,93511,04214,421,0121,0460,91180,663
3000,94961,04814,451,0191,0540,95050,687
4000,96461,05514,481,0291,0640,98460,707
6000,99221,07514,541,0501,0871,04170,740
8001,01541,09614,641,0711,1101,08750,765
1.0001,03471,11614,781,0911,1311,12480,784

Es wird in dieser Tabelle die isobare mittlere spezifische Wärmekapazität $c_{mp}$ angegeben. Zur Berechnung der isochoren mittleren spezifischen Wärmekapazität wird gerechnet:

$c_{mv} = c_{mp} - R_i$

Die spezifische Gaskonstante $R_i$ kann ebenfalls Tabellenwerken entnommen werden.

Ist der Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität gegeben, so werden die Formeln aus den vorherigen Kapiteln abgeändert (Integral fällt weg). 

Für homogene Systeme:

Methode

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$Q + W_{diss} = m \cdot c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$      bei konstantem Volumen

Methode

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$Q + W_{diss} =  m \cdot c_{mp}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$     bei konstantem Druck

Für ideale Gase:

Methode

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$u_2 - u_1 = c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$

bzw.

$U_2 - U_1 = m \cdot c_{mv}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$

Methode

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$h_2 -h_1 = c_{mp}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$

bzw.

$H_2 - H_1 = m \cdot c_{mp}|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$

Beispiel: Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität

Beispiel

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Es wird innerhalb eines offenen Systems Schwefeldioxid (welches näherungsweise als ideales Gas angenommen werden soll) von 200°C auf 300°C erhitzt. Der Druck soll konstant sein. Wie ändert sich die spezifische Enthalpie?

Zunächst muss der Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität bestimmt werden. Hierzu nimmt man die mittlere spezifische Wärmekapazität bei 200°C (aus der Tabelle)

$c_{mp}|_{0°C}^{200 °C} = 0,663 \frac{kJ}{kg \; K}$

und die mittlere spezifische Wärmekapazität bei 300 °C:

$c_{mp}|_{0°C}^{300 °C} = 0,687 \frac{kJ}{kg \; K}$.

Man wendet nun die Formel zur Mittelwertberechnung an:

$c_m|_{t_1}^{t_2} = \frac{1}{t_2 - t_1} (c_m|_{0 °C}^{300°C} \cdot t_2 - c_m|_{0 °C}^{200°C} \cdot t_1)$

$c_m|_{200°C}^{300^C} = \frac{1}{300°C - 200°C} (0,687 \frac{kJ}{kg\;K}\cdot 300 °C - 0,663 \frac{kJ}{kg\;K} \cdot 200°C)$

$c_m|_{200°C}^{300^C} = 0,735 \frac{kJ}{kg \; K}$.

Es kann nun die Änderung der spezifischen Enthalpie bei idealen Gasen mit folgender Formel bestimmt werden:

$h_2 - h_1 = \int_{T_1}^{T_2} c_p \; dT = c_m|_{T_1}^{T_2} \cdot (T_2 - T_1)$

$\small{h_2 - h_1 = 0,735 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot ((300 + 273,15 ) K - (200 + 273,15) K) = 73,5 \frac{kJ}{kg}}$.