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Thermodynamik

Adiabate Zustandsänderung

Ein Adiabatische Zustandsänderung liegt vor, wenn ein thermodynamischer Prozess ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung abläuft:

$Q = 0$.

Thermodynamische Systeme mit adabatischen Prozessen sind thermisch isoliert. Dies wird in der Praxis häufig durch entsprechende Isoliergefäße (Dewar-Gefäß) erreicht. Es können aber auch nicht-adiabatische Prozesse annhähernd als adiabat betrachtet werden und zwar genau dann, wenn ein Prozess hinreichend schnell abläuft, so dass die entstehenden Temperaturdifferenzen sich nicht ausgleichen können.

Adiabatisch reversible Zustandsänderung

Eine adiabatische reversible Zustandsänderung bedeutet, dass zum einen kein Wärmeaustusch mit der Umgebung stattfindet ($Q = 0$) und zum anderen keine Dissipationsarbeit ($W_{diss} = 0$) anfällt.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Handelt es sich um eine adiabatische reversible ($Q = 0$, $W_{diss} = 0$) Zustandsänderung, so liegt eine isentrope Zustandsänderung vor (siehe Abschnitt istenrope Zustandsänderung).

Für die Entropie bedeutet dies, dass diese konstant bleibt:

$S_2 - S_1 = 0$.

Für das T,S-Diagramm gilt, dass die Fläche unter der Kurve bei der adiabaten reversiblen Zustandsänderung null ist, da sich die Entropie nicht ändert.

$\int_1^2 T \; dS = 0$.

Adiabatisch irreversible Zustandsänderung

Bei der adiabatischen irreversiblen Zustandsänderung findet ebenfalls kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt, aber die Dissipationsarbeit fällt an.

Merke

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Handelt es sich hingegen um eine adiabatische irreversible ($Q = 0$) Zustandsänderung, so liegt eine polytrope Zustandsänderung vor (siehe Abschnitt polytrope Zustandsänderung), allerdings mit $Q = 0$.

Da $dQ = 0$ ergibt sich für die Änderung der Entropie:

$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dW_{diss}}{T} = S_{diss}$.

mit $S_{diss}$ = Entropieerzeugung durch Dissipation bewirkt.

Offenes System

Die Gleichung für die Änderung der Enthalpie für ein offenes System ist

$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev} + W_{diss}$.

Mit $Q = 0$ ergibt sich:

$H_2 - H_1 = W_t^{rev} + W_{diss}$.

Aufgelöst nach der Dissipationsarbeit:

$W_{diss} = H_2 - H_1 - W_t^{rev}$

bzw. mit $W_t = W_t^{rev} + W_{diss}$ ergibt sich

Methode

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$W_t = H_2 - H_1$

T,S-Diagramm (offenes System)

Für das T,S-Diagramm gilt, dass die Fläche unter der Kurve bei der adiabaten irreversiblen Zustandsänderung gleich der Dissipationsarbeit ist:

$\int_1^2 T \; dS = W_{diss}$.

Für das offene System kann die Isobare (welche zwischen $T_1$ und $T_2$ angesetzt wird) herangezogen werden. Es wird zunächst die Expansion betrachtet:

Die Fläche unter der Polytropen (da hier ein irreversibler Prozess betrachtet wird), ist die Dissipationsarbeit $W_{diss}$, die Fläche unter der Isobaren ist die technische Arbeit $W_t = H_2 - H_1$ und die gesamte Fläche ist die reversible technische Arbeit $W_t^{rev}$. 

Adiabatische Zustandsänderung für ein offenes System (Expansion)
Adiabatische Zustandsänderung für ein offenes System (Expansion)

Die gesamte Fläche ist $W_t^{rev}$. Der Grund dafür ist, weil die technische reversible Arbeit größer ist als die technische Arbeit und damit die Dissipationsarbeit negativ sein muss. Das kann man sich aus der folgenden Formel ableiten:

$W_t = W_t^{rev} + W_{diss}$.

Für $W_t < W_t^{rev}$ ist die Dissipationsenergie negativ, es gilt:

$W_t = W_t^{rev} - W_{diss} \; \rightarrow W_t^{rev} = W_t + W_{diss}$.

In der nächsten Grafik wird die Kompression bei einem offenen System betrachtet:

Die Fläche unter der Polytropen (da hier ein irreversibler Prozess betrachtet wird), ist die Dissipationsarbeit $W_{diss}$, die Fläche unter der Isobaren ist die reversible technische Arbeit $W_t^{rev}$ und die gesamte Fläche ist die technische Arbeit $W_t$. 

Adiabatische Zustandsänderung für ein offenes System (Kompression)
Adiabatische Zustandsänderung für ein offenes System (Kompression)

Die gesamte Fläche ist $W_t$. Der Grund dafür ist, weil die technische reversible Arbeit kleiner ist als die technische Arbeit und damit die Dissipationsarbeit positiv sein muss. Das kann man sich aus der folgenden Formel ableiten:

$W_t = W_t^{rev} + W_{diss}$.

Diese bleibt so stehen für $W_t > W_t{rev}$.

Geschlossenes System

Die Gleichung für die Änderung der inneren Energie für ein geschlossenes System ist

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$.


Mit $Q = 0$ ergibt sich:

Methode

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$U_2 - U_1 = W_V + W_{diss}$.

Für $U_2 - U_1 = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$ und für $W_V = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \frac{\kappa - 1}{n - 1} (T_2 - T_1)$ (aus dem vorherigen Kapitel) ergibt sich:

Methode

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$W_{diss} = m \; c_{vm} \frac{n - \kappa}{n - 1} (T_2 - T_1)$.

T,S-Diagramm (geschlossenes System)

Für das T,S-Diagramm gilt, dass die Fläche unter der Kurve bei der adiabaten irreversiblen Zustandsänderung gleich der Dissipationsarbeit ist:

$\int_1^2 T \; dS = W_{diss}$.

Für das geschlossene System kann die Isochore (welche zwischen $T_1$ und $T_2$ angesetzt wird) herangezogen werden. Es wird zunächst die Expansion betrachtet. Die Grafik wird analog zu oben gezeichnet, nur dass statt der Iosbaren die Isochore verwendet wird.

Die Fläche unter der Polytropen (da hier ein irreversibler Prozess betrachtet wird), ist die Dissipationsarbeit $W_{diss}$, die Fläche unter der Isochoren ist die gesamte Arbeit (und die Änderung der inneren Energie) $W = W_V + W_{diss}  = U_2 - U_1$ und die gesamte Fläche ist die Volumenänderungsarbeit $W_V$. 

Die Volumenänderungsarbeit ist größer als die gesamte abgegebene Arbeit und damit ist die Dissipationsarbeit negativ (verbleibt im Fluid). Das kann man sich aus der folgenden Formel ableiten:

$W = W_V + W_{diss}$

Für $W < W_V$ nimmt die Dissipationsenergie einen negativen Wert an.

Es wird noch die Kompression bei einem geschlossenen System betrachtet. Auch hier kann wieder die obige Grafik herangezogen werden, nur dass die Isobare durch die Isochore ersetzt wird.

Die Fläche unter der Polytropen (da hier ein irreversibler Prozess betrachtet wird), ist die Dissipationsarbeit $W_{diss}$, die Fläche unter der Isochoren ist die Voumenänderungsarbeit $W_V = \int_1^2 p \; dV$ und die gesamte Fläche ist die gesamte Arbeit $W = W_V + W_{diss}$. 

Die Volumenänderungsarbeit ist kleiner als die gesamte aufzubringende Arbeit und damit ist die Dissipationsarbeit positiv. Das kann man sich aus der folgenden Formel ableiten:

$W= W_V + W_{diss}$.

Für $W > W_V$ nimmt die Dissipationsenergie einen positiven Wert an.