Isentrope Zustandsänderung

Handelt es sich um eine isentrope Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass die Entropie $S$ konstant bleibt:

$S = const \; \rightarrow \; \triangle S = 0$.

Die isentrope Zustandsänderung liegt beispielweise dann vor, wenn es sich um ein adiabates System ($Q = 0$) mit einem reversiblen Prozess ($W_{diss} = 0$) handelt. Die Gleichung für die Änderung der Entropie

$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$

wird dann mit $dQ = 0$ und $dW_{diss} = 0$ zu

$S_2 - S_1 = 0$.

Herleitung des Zusammenhangs zwischen Volumen und Druck

Es werden die folgenden zwei Gleichungen für die Entropie betrachtet

$dS = \frac{dU + p \; dV}{T} = 0$  und   $dS = \frac{dH - V \; dp}{T} = 0$.

Aufgelöst nach $dU$ und nach $dH$ ergibt:

$dU = - p \; dV$   und   $dH = V \; dp$

Division der beiden Gleichungen:

$\frac{dH}{dU} = \frac{V \; dp}{-p \; dV}$

Der rechte Term wird auch als Isentropenexponent bezeichnet und ist beim idealen Gas gleich $\kappa$ (=Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten):

$\kappa = \frac{c_p}{c_v} = \frac{V \; dp}{-p \; dV}$.

Umgestellt erhält man:

$-\frac{dp}{p} = \kappa \frac{dV}{V}$

Diese Gleichung wird im nächsten Schritt integriert:

$-[\ln(p_2) - \ln(p_1)] = \kappa [\ln(V_2) - \ln(V_1)]$

$\ln(p_1) - \ln(p_2) = \kappa [\ln(V_2) - \ln(V_1)]$

$\ln (\frac{p_1}{p_2}) = \kappa \ln (\frac{V_2}{V_1})$.

Diese Gleichung muss entlogarithmisiert werden:

Thermische Zustandsgleichung

Es kann nun auf die thermische Zustandsgleichung übergegangen werden, indem die obige Gleichung umgestellt wird:

$p_1V_1^{\kappa} = p_2V_2^{\kappa}$     mit $pV^{\kappa} = const$.

Es gelten die zwei thermischen Zustandsgleichungen

$p_1V_1 = m \; R_i \; T_1$   und   $p_2V_2 = m \; R_i \; T_2$.

Nach $p_1$ bzw. $p_2$ aufgelöst und miteinander dividiert:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1 V_2}{T_2V_1} = (\frac{V_2}{V_1})^{\kappa}$.

Die Gleichung umgestellt nach der Temperatur:

p,V-Diagramm

Im p,V-Diagramm verläuft die Isentrope steiler als die Isotherme. Auch bei der Isentrope kann man die Tangente mit folgendem Zusammenhang bestimmen:

$\frac{dp}{dV} = -\kappa \frac{p}{V} = \frac{p}{\frac{V_1}{\kappa}}$.

Isentrope Zustandsänderung

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der $V$-Achse eine Strecke der Länge $\frac{V_1}{\kappa}$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke mit der Länge $p_1$ durch den Zustand 1 gezeichnet. Die Tangente (rot) ist dann diejenige Strecke, welche durch den Zustand 1 und durch den Endpunkt der schwarzen Strecke verläuft. Es handelt sich hierbei um ein rechtwinkliges Dreieck. Man kann die Tangente also auch mittels Satz des Pythagoras bestimmen:

$\text{Tangente} = \sqrt{p_1^2 + (\frac{V_1}{\kappa})^2}$

oder man verwendet die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens, wenn man herausfinden möchte, wie groß die Winkel sind.

Volumenänderungsarbeit

Zur Bestimmung der Volumenänderungsarbeit kann die Formel für die Änderung der inneren Energie verwendet werden:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$.

Da es sich hierbei um einen reversiblen Prozess in einem adiabaten System handelt gilt:

$U_2 - U_1 = W_V$.

Die Änderung der inneren Energie kann auch kalorisch ausgedrückt werden mit:

$U_2 - U_1 = m \cdot c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \; (T_2 - T_1)$.

Es ergibt sich nach Einsetzen der kalorischen Gleichung:

Mit der folgenden Gleichung 

$\kappa = 1 + \frac{R_i}{c_v}$

nach $c_v$ aufgelöst und eingesetzt in die obige Gleichung ergibt sich:

Die Klammern aufgelöst ergibt sich:

$W_V = \frac{m \; R_i \; T_2}{\kappa - 1} - \frac{m \; R_i \; T_1}{\kappa - 1}$

Es kann für $m \: R_i \; T_2 = p_2V_2$ und für $m \; R_i \; T_1 = p_1V_1$ eingesetzt werden:

$W_V = \frac{p_2V_2}{\kappa - 1} - \frac{p_1V_1}{\kappa - 1}$

Wir betrachten wieder die thermische Zustandsgleichung:

$p_1V_1 = m \; R_i \; T_1$

$p_1 V_1 = m \; R_i \; T_2$

Lösen beide nach $T_1$ und $T_2$ auf und dividieren beide durcheinander:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1}$

Danach nach $p_2V_2$ auflösen:

$p_2 V_2 = \frac{T_2}{T_1} \cdot p_1 V_1$

Und oben einsetzen:

$W_V = \frac{1}{\kappa - 1} (\frac{T_2}{T_1} \cdot p_1 V_1 - p_1V_1)$

Ausklammern von $p_1V_1$ ergibt:

Für die folgenden Gleichungen werden die in dem obigen Abschnitt Thermische Zustandsgleichung angegebenen Zusammenhängen angewandt:

Alle 6 Gleichungen sind relevant zur Berechnung der Volumenänderungsarbeit in Abhängigkeit davon, welche Zustandsgrößen gegeben sind.

Die Volumenänderungsarbeit lässt sich -wie in den vorherigen Kapiteln bereits gezeigt- im p,V-Diagramm darstellen und stellt die Fläche unter der Isentropen zur V-Achse dar:

Isentrope Zustandsänderung im p,V-Diagramm (Volumenänderungsarbeit)

Wärme

Da es sich um ein adiabates System mit reversiblen Prozess handelt wird weder Wärme zu- noch abgeführt:

$Q = 0$. 

Reversible technische Arbeit (Druckänderungsarbeit)

Die reversible technische Arbeit kann aus der Gleichung für die Änderung der Enthalpie am offenen System bestimmt werden:

$H_2 - H_1 = \triangle H = W_t^{rev} + W_{diss} + Q$  

Da es sich im einen reversiblen Vorgang handelt, in einem adiabaten System, wird $W_{diss} = 0$ und $Q = 0$ . Für die Enthalpie kann man auch schreiben:

$H_2 - H_1 = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$.

Eingesetzt und nach der Druckänderungsarbeit aufgelöst ergibt sich:

Es gilt

$\kappa = \frac{c_p}{c_v} = \frac{c_{pm}|_{T_1}^{T_2}}{c_{vm}|_{T_1}^{T_2}}$

Aufgelöst nach $c_{pm}$ und eingesetzt ergibt:

$W_t^{rev} = m \; \kappa \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$.

Es können nun die Gleichungen im obigen Abschnitt Volumenänderungsarbeit verwendet werden um die Druckänderungsarbeit zu bestimmen. Dazu müssen diese aber zusätzlich mit dem Isotropenexponenten $\kappa$ multipliziert werden.

Die Druckänderungsarbeit lässt sich -wie in den vorherigen Kapiteln bereits gezeigt- im p,V-Diagramm darstellen und stellt die Fläche neben der Isentropen zur p-Achse dar:

Isentrope Zustandsänderung im p,V-Diagramm (Druckänderungsarbeit)

Entropie

Die Änderung der Entropie $S$ ist gleich Null:

$S_2 - S_1 = 0$.

Im T,S-Diagramm ist die Änderung der Entropie gleich Null, das bedeutet, dass die Isentrope parallel zur T-Achse verläuft. Man kann aber durch Hinzunahmen der Isobaren bzw. der Isochoren die Änderung der Entropie bzw. die Änderung der inneren Energie darstellen. In der folgenden Grafik ist dies veranschaulicht:

Isentrope Zustandsänderung im T,S-Diagramm

Man sieht ganz deutlich, dass mittels der Isochoren und der Isobaren die Änderung der inneren Energie und die Änderung der Entropie in dem T,S-Diagramm dargestellt werden können. Da bei der isentropen Zustandsänderung von einem reversiblen Prozess in einem adiabaten System ausgegangen wird, sind Wärme $Q$ und Dissipationsarbeit $W_{diss}$ gleich Null. Das bedeutet für die Änderung der inneren Energie in einem geschlossenen System:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$   $\rightarrow U_2 - U_1 = W_V$

Die Fläche unter der gestrichelten Linie ist nicht nur die Änderung der inneren Energie sondern auch gleichzeitig die Volumenänderungsarbeit, welche bereits im p,V-Diagramm dargestellt wurde.

Für die Änderung der Enthalpie $H$ bedeutet eine isentrope Zustandsänderung mit $Q = W_{diss} = 0$ für das offene System:

$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev} + W_{diss}$    $\rightarrow H_2 - H_1 = W_t^{rev}$.

Die Fläche unter der gestrichelten Linie ist nicht nur die Änderung der Enthalpie sondern auch gleichzeitig die Druckänderungsarbeit, welche bereits im p,V-Diagramm dargestellt wurde.